江苏省南京外国语学校仙林分校中学部2017-2018学年高二下学期期末考试数学理试题 Word版含答案

金陵中学2017-2018学年度第二学期期末考试高二数学试卷数学I一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答题卡相应位置上. 1.设集合{2,4}A =,{2,6,8}B =,则AB = .2.已知复数2(12i)z =-,其中i 是虚数单位,则||z 的值是 .3.某校共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本,已知从女学生中抽取的人数为50人,那么n 的值为 .4.如图是一算法的伪代码,则输出值为 .5.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中, 3cm AB AD ==,12cm AA =,则三棱锥111A AB D -的体积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)x y m m-=>的一条渐近线方程为0x +=,则实数m 的值为 .7.设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若52378,13a a S -==,则数列{}n a 的通项公式为n a = .8.将一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,m n ,则“2m n >”的概率是 .9.若实数,x y 满足条件14,23,x y x y -≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则42z x y =-的取值范围为 .10.在平面直角坐标系xOy 中,已知()cos f x x =,()g x x =,两曲线()y f x =与()y g x =在区间(0,)2π上交点为A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点,则线段BC 的为 .11.如图,在平面四边形ABCD 中, O 是对角线AC 的中点,且10OB =，6OD =. 若28DA DC ⋅=-,则BA BC ⋅的值为 .12.若对满足64x y xy ++=的任意正实数,x y ,都有22210x xy y ax ay ++--+≥,则实数a 的取值范围为 .13.在平面直角坐标系xOy 中,记椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是 .14.对于任意的实数,m n ,记min{,}m n 为,m n 中的最小值.设函数21()4f x x a x=++，()ln g x x =-，函数()min{(),()}h x f x g x =,若()h x 在(0,)+∞恰有一个零点,则实数a 的取值范围是 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程.15.在平面直角坐标系xOy 中,设向量(sin ,1)m x =-,2(3cos ,cos )n x x =.(1)当3x π=时,求m n ⋅的值；(2)若[0,]4x π∈，且132m n ⋅=-.求cos2x 的值. 16.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,平面PAD ⊥平面ABCD ,AP AD =,点M 在棱PD 上, AM PD ⊥,点N 是棱PC 的中点,求证：(1) MN ∥平面PAB ; (2) AM ⊥平面PCD .17.如图,在一个水平面内,河流的两岸平行,河宽1(单位:千米)村庄,A B 和供电站C 恰位于一个边长为2(单位:千米)的等边三角形的三个顶点处,且,A C 位于河流的两岸,村庄A 侧的河岸所在直线恰经过BC 的中点D .现欲在河岸上,A D 之间取一点E ,分别修建电缆CE 和EA ,EB .设DCE θ∠=,记电缆总长度为()f θ (单位:千米).(1)求()f θ的解析式；(2)当DCE ∠为多大时,电缆的总长度()f θ最小,并求出最小值.18.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2,且过点1)2.设F 为椭圆的右焦点, ,A B 为椭圆上关于原点对称的两点,连结,AF BF 并延长,分别交椭圆于,C D 两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线,AB CD 的斜率分别为12,k k ,是否存在实数m ,使得21k mk =?若存在,求出实数m 的值;若不存在,请说明理由.19.设数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且满足12a =,对*n N ∀∈,都有1(1)2n n a p S +=-+ (其中常数1p >),数列{}n b 满足2121log ()n n b a a a n=.(1)求证:数列{}n a 是等比数列； (2)若220172p =,求2018b 的值；(3)若*k N ∃∈,使得2212k p +=,记3||2n n c b =-,求数列{}n c 的前2(1)k +项的和. 20.在平面直角坐标系xOy 中,已知函数()1n (R)f x c x c =∈的图像与直线2y x e=相切,其中e 是自然对数的底数.(1)求实数c 的值； (2)设函数()()a h x ax g x x =--在区间1(,e)e内有两个极值点. ①求实数a 的取值范围；②设函数()h x 的极大值和极小值的差为M ,求实数M 的取值范围 .高二数学Ⅱ(附加题)21.已知矩阵 2 11 3M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 1 12 1N ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. (1)求1()MN -；(2)在平面直角坐标系xOy 中,求直线:210L x y +-=在M 对应的变换T 作用下所得直线L '的方程.22.在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,以x 轴的非负半轴为极轴,取与直角坐标系xOy相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩,(θ为参数,[0,2]θπ∈),直线l 的极坐标方程为cos()4p πθ-=(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.23.假定某篮球运动员每次投篮命中率均为(01)p p <<.现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的概率是2125. (1)求p 的值；(2)设该运动员投篮命中次数为X ,求X 的概率分布及数学期望()E X .24.如图,已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2,侧棱长为3, 1AE A B ⊥,垂足为F ,AE 交1B B 于点E .(1)求证: 1D B ⊥平面AEC ;(2)记直线AE 与平面1ACD 所成的角θ,求sin θ的值.试卷答案一、填空题. 1. {2,4,6,8} 2. 5 3. 120 4. 45. 37. 31n-8.169. [5,13] 10.311. 36 12. 10(,]3-∞ 13. 111(,)(,1)32214. 5{|4a a <-或3}4a >- 二、解答题.15. 解(1)当3x π=时，1]m =-，1]4n =， 所以311442m n ⋅=-=.(2) 2cos cos m n x x x ⋅=-112cos2222x x =-- 1sin[2]62x π=--，若122m n ⋅=-.则11sin[2]6222x π--=-，即sin[2]6x π-=. 因为[0,]4x π∈，所以2663x πππ-≤-≤，所以cos[2]6x π-= 所以cos2cos[[2]]66x x ππ=-+cos[2]6x π=--1sin[2]62x π-⨯12=-=16.证明(1)因为在PAD ∆中, ,AP AD AM PD =⊥， 所以点M 是棱PD 的中点. 又点N 是棱PC 的中点, 所以MN 是PDC ∆的中位线, 所以MN DC ∥. 因为底面ABCD 是矩形, 以AB DC ∥, 所以MN AB ∥.又AB ⊂平面PAB , MN ⊄平面PAB ,所以MN ∥平面PAB . (2)因为平面PAD ⊥平面ABCD , CD ⊂平面ABCD ， 平面PAD平面,ABCD AD CD AD =⊥，所以CD ⊥平面PAD .又AM ⊂平面PAD ,所以CD AM ⊥. 因为CD AD ⊥,CD AM ⊥, CD PD D =,CD ⊂平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,所以AM ⊥平面PCD .17.解(1)易得AD 垂直平分BC ，1CD BD ==则1cos CE EB θ==，tan ED θ=，tan AE θ=，于是11()cos cos f θθθ=++2sin tan cos θθθ-=+因为E 在CD 之间,所以03πθ<<，故2sin ()cos f θθθ-=+，03πθ<<.(2) 22cos (2sin )(sin )()cos f θθθθθ----=，03πθ<<， 令()0f θ=,得1sin ,26πθθ==， 故当06πθ<<，()0f θ<，()f θ递减,当sin 62ππθ<<,()0f θ>,()f θ递增,所以,当6πθ=时, min ()()6f f πθ==12-+=答:当6DCE π∠=时, ()f θ最小值为18.解(1)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，c =，由题意知22311,4c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2,1,a b =⎧⎨=⎩所以椭圆的方程为2214x y +=. (2)设00(,)A x y ,则00(,)B x y --,010y k x =,又F , 所以直线AF的方程为y x =-.由221,4y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，得2200(7)x x --20070x -+=.因为0x x =是该方程的一个解,所以点C的横坐标C x =又点(,)C C C x y在直线y x =-上，所以C C y x =-=C的坐标为 同理,点D的坐标为，所以2k =101472y k x ==， 即存在7m =,使得217k k =.19.(1)证明:因为*n N ∀∈,都有1(1)2n n a p S +=-+，21(1)2n n a p S ++=-+所以两式相减得211(1)n n n a a p a +++-=-, 即21n n a pa ++=，当1n =时211(1)2a p a pa =-+=，所以*1,()n n a pa n N +=∈，又因为1p >,所以11n nn n a a p p++=， 所以数列{}n na p是常数列, 112,2n n n n a a a p p p p -===， 所以{}n a 是以2为首项, p 为公比的等比数列.(2)由(1)得12n n a p -=.2121log ()n n b a a a n==(1)221log (2)n n np n -=1(1)()2017n n n n -+所以20182b =.(3)由(1)得12n n a p -=.2121log ()n n b a a a n==(1)221log (2)n n n p n -=(1)2121log (22)n n n k n -+1121n k -=++. 因为322322(21)n n k b k ---=+， 所以当11n k ≤≤+时, 32n n c b =-，当2n k ≥+时，32n n c b =-. 因此数列{}n c 的前2(21)k +项的和22k T +121()k b b b +=-++++2222()k k k b b b ++++++0121k k +++=-++(1)(2)2+121k k k k ++++++ (1)221k k k +=-++2(1)(22)(1)22121k k k k k k ++++=++. 20. (1)设直线2y x e =与函数()1n f x c x =相切于点00(,1n )P x c x ，函数()1n f x c x =在点00(,1n )P x c x 处的切线方程为: 0001()c y c nx x x x -=-，02c x e=， 把0,0x y ==代入上式得0,2x e c ==. 所以,实数c 的值为2. (2)①由(1)知()21n ah x ax x x=--, 设函数()h x 在区间1(,e)e内有两个极值点1212,()x x x x <，令22()a a h x a x x x'=+--2220ax x ax -+==, 则220ax x a -+=,设2()2m x ax x a =-+,因为121x x =,故只需0,20,()0,am e ∆>⎧⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩,所以, 2211e a e <<+.②因为121x x =,所以，121()()M f x f x ax =-=1221221n (21n )a ax ax x x x ----- 11121n a ax x x =---1111(21n )a ax x x -- 21112221n aax x x =--由21120ax x a -+=,得12121x a x =+,且111x e<<. 12111211222121x x x M x x x +=-+222111211121n 4(1n )12x x x x --=-+. 设21x t =,211t e <<,令11()4(1n )+12t t t t ϕ-=-， 221()4()(+1)2t t t ϕ'=-222(1)0(1)t t t --=<+， ()t ϕ(在21(,1)e 上单调递减,从而21(1)()()t e ϕϕϕ<<， 所以,实数M 的取值范围是28(0,)1e +. 高二数学Ⅱ（附加题）21. 解(1)由题知 2 11 3MN -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 1 10 32 17 2⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，所以0 3)2l 7 det(2MN ⎡⎤==-⎢⎥-⎣⎦， 根据逆矩阵公式,得121 217)1 03(MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(2)设由L 上的任意一点(,)P x y '''在T 作用下得到L '上对应点(,)p x y .由 2 11 3x x y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2,3'x y x x y y ''-=⎧⎨''+=⎩解得3+72'7x y x y x y ⎧'=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，因为210x y ''+-=,所以3221077x y y x +-⨯+-=，即5470x y +-=.即直线L 的方程为5470x y +-=. 22.解(1)由,sin ,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得22:13x C y +=，由cos ()4p πθθ-=cos sin 4p p θθ+=,即:40l x y +-=.(2)在22:13x C y +=上任取一点,sin )P θθ(02)θπ≤≤，则点P 到直线l的距离为d=|2sin()4|πθ+-=，02θπ≤≤， 当sin()13πθ+=-，即76πθ=时，max d =23. 解(1)设事件A :“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A :“前两次投篮均不中”, 依题意, ()1()P A P A =-2211(1)25p =--=， 解得35p =.(2)依题意, X 的所有可能值为0,1,2,3, 且24(0)(1)25P X p ==-=, 2(1)(1)P X p p ==-24(1)(1)125p p p +--=， 327(3)125P X p ===， 故(2)1(0)P X P X ==-=54(1)(3)125P X P X -=-==. X 的概率分布列为:数学期望24()2125E X =+⨯54272133125125125+⨯=.24.解(1)如图,以D 为坐标原点,分别以直线1,,DA DC DD 所在直线为x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系D xyz -，易得1(0,2,3)A B =-,设BE a =,则(0,2,)AE a =，因为1A B AE ⊥,所以1(0,2,3)AB AE ⋅=- (0,2,)430a a ⋅=-=， 解得43a =,即4(0,2,)3AE =, 又1(2,2,3)D B =-,(2,2,0)AC =-, 所以1(2,23)D B AE ⋅=-4 (0,2,)03⋅=,所以1D B AE ⊥, 且1(2,2,3)(2,2,0)0D B AC ⋅=-⋅-=，所以1D B AC ⊥，又AE AC A =，所以1D B ⊥平面AEC . (2) 4(0,2,)3AE =，1(2,0,3)D A =-，1(0,2,3)DC =-， 设平面1ACD 的一个法向量(,,)n x y z =， 则110,0,D A n D C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即230,230,x z y z -=⎧⎨-=⎩令0z =，则3x y ==，即(3,3,2)n =，sin |cos ,AE θ=<|||||AE n n AE n ⋅>=⋅423=2⨯⨯==22.。

绝密★启用前江苏省南京市金陵中学2017-2018 学年第二学期期末考试高二数学试题一、单选题1,,____________.【解析】分析：求出A处切线方程，又因为A又因为A所以线段BC的长度为点睛：熟练记忆导函数公式是解导数题的前提条件，导数的几何意义是在曲线上某一点处的导数就等于该点处切线斜率，是解决曲线切线的关键，要灵活掌握.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题2,【答案】{2,4,6,8}详解：A集合和B集合“加”起来的元素，重复的元点睛：在求集合并集时要注意集合的互异性.3,____________.【答案】5【解析】分析：先将复数z右边化为.4．某校共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师,已知从女学生中抽取的人数为50人,____________.【答案】120【解析】分析：根据分层抽样的原则先算出总体中女学生的比例，再根据抽取到女学生的人数计算样本容量n详解：因为共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人女学生中抽取的人数为50人所以n=120点睛：分层抽样的实质为按比例抽，所以在计算时要算出各层所占比例再乘以样本容量即为该层所抽取的个数.5．如图是一算法的伪代码,则输出值为____________.【答案】4【解析】分析：按照循环体执行，直到跳出循环详解：第一次循环后：S=7，n=6；第二次循环后：S=13，n=5；第三次循环后：S=18，n=4；所以输出值为4点睛：程序题目在分析的时候一定要注意结束条件，逐次执行程序即可.6．如图,,为____________.【答案】3,=33点睛：在求解三棱锥体积问题时，如果所求椎体高不好确定时，往往要通过等体积转化，找到合适的高所对应的椎体进行计算，体现了数学中的转化与化归思想，要深刻体会.7,____________.x的值为x轴上，又因为该双曲线一条渐近线方程为所以的值为点睛：双曲线渐近线方程：当焦点在x y轴上时为8．，若则数列的通【解析】分析：根据基本量直接计算点睛：在等比数列问题中的未知量为首项和公比，求解这两个未知量需要两个方程，所以如果已知条件可以构造出来两个方程，则一定可以解出首项和公比，进而可以解决其他问题，因此基本量求解是这类问题的基本解法.9．将一颗均匀的骰子连续抛掷2次,则的概率是____________.【解析】分析：骰子连续抛掷2次共有366种详解：一颗均匀的骰子连续抛掷2次,(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)6种点睛：古典概型概率要准确求出总的事件个数和基本事件个数，然后根据概率公式.10____________.A点处取得最小值，在C点处取得最大值所以的取值范围为点睛：点睛：线性规划要能够准确画出可行域，尤其是判断每一个不等式代表的是直线的左侧还是右侧时不能出错，常用带点方法判断比较准确。

2017-2018学年江苏省南京市外国语学校仙林分校中学部高二（上）期中数学试卷一、填空题1．（4分）抛物线y2=x的准线方程为．2．（4分）函数y=x4﹣4x+3在区间[﹣2，3]上的最小值为．3．（4分）已知A（1，0），B（3，0），则以AB为直径的圆的方程为．4．（4分）函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为．5．（4分）若双曲线C的渐近线方程为y=±2x，且经过点（2，2），则C的标准方程为．6．（4分）若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该焦点到同侧长轴一端点距离的3倍，则椭圆的离心率e=．7．（4分）函数y=sinx的图象在点（π，0）处的切线方程为．8．（4分）圆心在x轴上且与直线l：y=2x+1切于点P（0，1）的圆C的标准方程为．9．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是．10．（4分）已知函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f（x）的极大值为．11．（4分）已知双曲线y2﹣4x2=16上一点M到一个焦点的距离等于2，则点M 到另一个焦点的距离为．12．（4分）设f（x）=，其中a为正实数，若f（x）为R上的单调递增函数，则a的取值范围是．13．（4分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则=．14．（4分）已知半径为2的动圆C2经过圆C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2=8的圆心，且与直线l：x+y﹣8=0相交，则直线l被圆C2截得的弦长最大值是．二、解答题15．（11分）（1）已知双曲线C1：的离心率e∈（1，2），求实数k的取值范围．（2）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B 两点，若线段AB的长为8，求p的值．16．（11分）已知椭圆（a＞b＞0）的右顶点A（2，0），A到右焦点的距离与其到右准线的距离之比为，（1）求椭圆的方程；（2）直线y=x+m与椭圆交于P，Q两点，问P，Q两点横坐标的平方和是否为定值？17．（11分）在边长为48cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？18．（11分）已知圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+m=0与x轴相切．（1）求m的值；（2）求圆M在y轴上截得的弦长；（3）若点p是直线3x+4y+=0上的动点，过点p作直线PA，PB与圆M相切，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．19．（10分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值．20．（10分）已知椭圆（a＞b＞0）上的一动点P到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．（1）求椭圆C的方程；（2）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；（3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围．2017-2018学年江苏省南京市外国语学校仙林分校中学部高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（4分）抛物线y2=x的准线方程为x=﹣．【解答】解：抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1∴∴抛物线y2=x的准线方程为x=﹣故答案为：x=﹣2．（4分）函数y=x4﹣4x+3在区间[﹣2，3]上的最小值为0．【解答】解：y′=4x3﹣4=4（x3﹣1）；∴x∈[﹣2，1）时，y′＜0，x∈（1，3]时，y′＞0；∴x=1时，该函数取最小值0．故答案为：0．3．（4分）已知A（1，0），B（3，0），则以AB为直径的圆的方程为（x﹣2）2+y2=1．【解答】解：∵A（1，0），B（3，0），∴AB中点为（2，0），|AB|=．因此，以AB为直径的圆的圆心为（2，0），半径r=1．∴圆的方程为（x﹣2）2+y2=1．故答案为：（x﹣2）2+y2=1．4．（4分）函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为{x|0＜x＜1} ．【解答】解：∵f（x）=x﹣lnx∴f'（x）=1﹣=令＜0，则0＜x＜1故答案为：{x|0＜x＜1}5．（4分）若双曲线C的渐近线方程为y=±2x，且经过点（2，2），则C的标准方程为．【解答】解：由题意，∵双曲线C的渐近线方程为y=±2x，∴设双曲线C的方程为y2﹣4x2=λ∵双曲线C经过点（2，2），∴8﹣16=λ∴λ=﹣8∴双曲线C的方程为y2﹣4x2=﹣8，即故答案为：6．（4分）若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该焦点到同侧长轴一端点距离的3倍，则椭圆的离心率e=．【解答】解：由题意可得，即a=3a﹣3c∴2a=3c∴故答案为：7．（4分）函数y=sinx的图象在点（π，0）处的切线方程为x+y﹣π=0．【解答】解：函数y=sinx的导数为y′=cosx，在点（π，0）处的切线斜率为k=cosπ=﹣1，即有在点（π，0）处的切线方程上午y﹣0=﹣（x﹣π），即为x+y﹣π=0．故答案为：x+y﹣π=0．8．（4分）圆心在x轴上且与直线l：y=2x+1切于点P（0，1）的圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2=5．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，∵圆心在x轴上，∴b=0，（1）∵与直线l：y=2x+1切于点P（0，1），∴=﹣，（2），由（1）、（2），得a=2，b=0，又∵P点在圆上，代入圆的方程得r2=5，∴所求圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=5．故答案为（x﹣2）2+y2=5．9．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是2．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|=x+1=3，∴x=2，故答案为：2．10．（4分）已知函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f（x）的极大值为2ln2﹣2．【解答】解：由于函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f′（x）=2f′（1）×﹣1（x＞0），f′（1）=2f′（1）﹣1，故f′（1）=1，得到f′（x）=2×﹣1=，令f′（x）＞0，解得：x＜2，令f′（x）＜0，解得：x＞2，则函数在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数，故f（x）的极大值为f（2）=2ln2﹣2故答案为：2ln2﹣211．（4分）已知双曲线y2﹣4x2=16上一点M到一个焦点的距离等于2，则点M 到另一个焦点的距离为10．【解答】解：双曲线y2﹣4x2=16即为﹣=1，可得a=4，设双曲线的两焦点为F1，F2，由题意可设|MF1|=2，由双曲线的定义可得||MF1|﹣|MF2||=2a=8，即有|2﹣|MF2||=8，解得|MF2|=10或﹣6（舍去）．故答案为：10．12．（4分）设f（x）=，其中a为正实数，若f（x）为R上的单调递增函数，则a的取值范围是（0，1] ．【解答】解：∵f（x）=，∴f'（x）=，∵f（x）为R上的单调增函数，∴f'（x）≥0在R上恒成立，又∵a为正实数，∴f'（x）≥0在R上恒成立，∴ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立，∴△=4a2﹣4a=4a（a﹣1）≤0，解得0≤a≤1，∵a＞0，∴0＜a≤1，∴a的取值范围为0＜a≤1，故答案为：（0，1]．13．（4分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则=2．【解答】解：椭圆如图，F1（﹣1，0），F2（1，0），设P（x0，y0），则x02+y02=3，∴=（x0+1，y0）•（x0﹣1，y0）=x02+y02﹣1=3﹣1=2．故答案为：2．14．（4分）已知半径为2的动圆C2经过圆C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2=8的圆心，且与直线l：x+y﹣8=0相交，则直线l被圆C2截得的弦长最大值是2．【解答】解：设动圆C2的圆心为（a，b）∵半径为2的动圆C2经过圆C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2=8的圆心，∴圆心的轨迹方程为：（a﹣1）2+（b﹣1）2=8又直线l被圆C2截得的弦长L=2，（d为圆C2的圆心（a，b）到直线l：x+y ﹣8=0的距离）．∵点（a，b）的轨迹是以（1，1）为圆心，半径为2的圆．∴d的最小值为圆心（1，1）到直线l：x+y﹣8=0的距离减去半径2，即d min==则直线l被圆C2截得的弦长最大值为2=2故答案为：2二、解答题15．（11分）（1）已知双曲线C1：的离心率e∈（1，2），求实数k的取值范围．（2）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B 两点，若线段AB的长为8，求p的值．【解答】解：（1）双曲线C1：（k＞0）的离心率e∈（1，2），可得e==∈（1，2），解得0＜k＜12，即k的取值范围是（0，12）；（2）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F（，0）作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，可得直线y=x﹣，代入抛物线的方程可得：x2﹣3px+=1，可得x1+x2=3p，由弦长公式可得|AB|=x1+x2+p=4p=8，解得p=2．16．（11分）已知椭圆（a＞b＞0）的右顶点A（2，0），A到右焦点的距离与其到右准线的距离之比为，（1）求椭圆的方程；（2）直线y=x+m与椭圆交于P，Q两点，问P，Q两点横坐标的平方和是否为定值？【解答】解：（1）椭圆（a＞b＞0）的右顶点A（2，0），∴a=2，∵A到右焦点的距离与其到右准线的距离之比为，∴=，解得c=，∴b2=a2﹣c2=1，∴椭圆方程为+y2=1，（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=x+m代入椭圆方程，化简得：x2+2mx+2（m2﹣1）=0，∴x1+x2=﹣2m，x1x2=2（m2﹣1），∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=4m2﹣4（m2﹣1）=4，∴P，Q两点的横坐标的平方和为定值．17．（11分）在边长为48cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高h=，∴箱子容积V（x）=x2h=（48x2﹣x3）（0＜x＜48）．求导数，得V′（x）=48x﹣x2，令V′（x）=0，解得x=0（不合题意，舍去），x=32，∵x∈（0，32）时，V′（x）＞0；x∈（32，48）时，V′（x）＜0，∴V（x）在区间（0，32）上为增函数，区间（32，48）上为减函数，由此可得V（x）的最大值是V（32）=8192．故箱底的边长是32cm时，箱子的容积最大，最大容积是8192cm3．18．（11分）已知圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+m=0与x轴相切．（1）求m的值；（2）求圆M在y轴上截得的弦长；（3）若点p是直线3x+4y+=0上的动点，过点p作直线PA，PB与圆M相切，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．【解答】解：（1）圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+m=0化为圆M：（x﹣2）2+（y﹣4）2=20﹣m，圆的圆心坐标（2，4），半径为，∵圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+m=0与x轴相切，∴=4，解得m=4．（2）圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+4=0，当x=0时，可得y2﹣8y+4=0，解得y1=4+2或y2=4﹣2．圆M在y轴上截得的弦长：y1﹣y2=4+2﹣4+2=4．（3）由题意知：S PAMB=2S△PAM=2וMB•PB=4PB=4，∵PM的最小值等于点M到直线3x+4y+8=0的距离，∴PM min=．∴四边形PAMB面积的最小值为4=8．19．（10分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值．【解答】解：（1）证明：当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，x∈（1，+∞），其导数．故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．（2）根据题意，函数f（x）=alnx+x2，其导数为．当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数．此时，[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0．当时，f'（x）＜0，此时，f（x）是减函数．当时，f'（x）＜0，此时，f（x）是增函数．故．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当时a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0）故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x的值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为．相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．20．（10分）已知椭圆（a＞b＞0）上的一动点P到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．（1）求椭圆C的方程；（2）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；（3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得解得，∴椭圆C的方程为；（2）如图所示：设直线PB的方程为y=k（x﹣4），B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，﹣y1）．联立，消去y化为方程（1+2k2）x2﹣16k2x+32k2﹣4=0，∵直线PB与椭圆有两个不同的交点，∴△=（16k2）2﹣4（1+2k2）（32k2﹣4）＞0．（*）x1+x2=，．直线AE的方程为，令y=0，则====．故直线AE过定点Q（1，0）．（3）①当直线MN与x轴重合时，=（2，0）•（﹣2，0）=﹣4；②当直线MN与x轴不重合时，设直线MN的方程为my=x﹣1，联立消去x化为方程（2+m2）y2+2my﹣3=0，可知△＞0．可得y M+y N=，y M y N=．∴=x M x N+y M y N=（my M+1）（my N+1）+y M y N=（1+m2）y M y N+m（y M+y N）+1==﹣4+，∵m2≥0，∴，∴，∴的取值范围是．综上可知：的取值范围是．。

2017-2018学年江苏省南京外国语学校仙林分校中学部度第二学期高一年级期中测试数学学科试题一、填空题 1．不等式20x x-<的解为____________． 【答案】()0,2 【解析】分析：不等式20x x-<化为()20x x -<，解一元二次不等式即可． 详解：不等式20x x -<化为()20x x -<，解得02x <<， ∴不等式20x x-<的解集为()0,2，故答案为()0,2． 点睛：本题考查了分式不等式转化为一元二次不等式的解法，属于基础题 2．数列{a n }是等比数列，若a 3＝1，a 5＝3，则a 7的值为__________． 【答案】9【解析】分析：根据等比数列中等比中项的性质进行求解即可.详解：在等比数列中， ()2375a a a =，即2713a ⋅=，解得79a =，故答案为9. 点睛：本题主要考查等比数列性质的应用，利用等比中项的性质是解决本题的关键，属于基础题. 3．中，，则______________【答案】 【解析】由余弦定理可得：.4．正方体1AC 中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有________条. 【答案】6【解析】分析：在正方体1AC 中，根据异面直线的定义列举出与面ABCD 的对角线AC 异面的所有的棱，由此能求出结果． 详解：如图，在正方体1AC 中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有： 1BB ， 1DD ， 11A B ， 11A D ，11D C ， 11B C ，共6条，故答案为6．点睛：本题考查正方体中与面对角线异面的棱的条数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意正方体的性质的合理运用5．在等比数列{}n a 中，公比51421156q a a a a >-=-=，，，则3=a ______． 【答案】4【解析】分析：由已知条件利用等比数列的通项公式列出关于首项和公比的方程组，求出等比数列的首项和公比，由此能求出3a .详解：由已知条件得： 41131115{ 6a q a a q a q -=-=，由1q >，解得11a =， 2q =，所以2314a a q ==，故答案为4.点睛：本题考查等比数列{}n a 的通项公式求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．6．在等差数列{}n a 中， 121a a +=， 349a a +=，则56a a +=________． 【答案】17【解析】分析：由已知的第②个等式减去第①个等式可求出等差数列的性质得到差为公差d ，将所求式子用②和公差表示，即可求出结果.详解：设等差数列的公差为d ，由121a a +=①， 349a a +=② ②-①得： ()()341248a a a a d +-+==，得2d =， 则()563449817a a a a d +=++=+=，故答案为17.点睛：本题主要考查学生掌握等差数列的性质，是一道基础题，解题的突破点是求出等差数列的公差. 7．已知正数,a b 满足141a b+=，则ab 的最小值为___________． 【答案】16【解析】分析：利用基本不等式将和为定值转化为积的最值，即可得出结果详解：∵正数,a b 满足141a b +=，∴141a b +=≥ 可化为16ab ≥，当且仅当2a =， 8b =时取等号，故ab 的最小值为16，故答案为16.点睛：本题考查了基本不等式的性质，以及运算能力，属于基础题． 8．在ABC ∆中， sin cos A Ba b=，则B ∠= ________. 【答案】4π【解析】分析：利用正弦定理，结合条件，可得sin cos B B =，结合B 的取值范围，由此可求B 的值． 详解：由正弦定理可得sin sin A B a b =，∵sin cos A Ba b=， ∴sin cos B B =， 又∵0B π<<，∴4B π=，故答案为4π点睛：本题考查正弦定理和已知三角函数只求角，考查学生的计算能力，属于基础题． 9．已知2x >，则函数162y x x =+-的最小值是_______. 【答案】10【解析】分析：先判定20x ->，再由16162222y x x x x =+=-++--根据基本不等式可求得最小值．详解：∵2x >，∴20x ->，∴16162221022y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当1622x x -=-，即6x =时，等号成立，即函数的最小值为10. 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．10．在ABC ∆中，若sin A C =， 30B =︒， 2b =，则ABC ∆的面积是______．【解析】分析：由正弦定理将已知条件化为a =，由余弦定理和条件求出a 、c 的值，代入三角形的面积公式求解.详解：因为sin A C =，所以由正弦定理可得a ，由余弦定理得， 2222cos b a c ac B =+-，即222432c c =+-，化简得2c =， a =111sin 2222ABCSac B ==⨯⨯=点睛：本题考查正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式是解题的关键；利用正弦定理实现边角之间的互化，是解三角形中常用的技巧，而当涉及三角形三边及其中一个角时主要通过余弦定理解三角形. 11．若等差数列的前项和为，，，则使得取最大值时的正整数______________ 【答案】3【解析】由等差数列的性质可得：，数列的公差： ，据此可得，数列单调递减，且：，使得取最大值时的正整数3.12．设0,0x y >>，且()1xy x y -+=，则x y +的最小值是__________.【答案】)21【解析】分析：首先根据0,0x y >>，即可得到22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，代入原不等式进而得出()()214x y x y +≤-+，解关于x y +的不等式即可得出x y +的最小值.详解：∵0,0x y >>，∴22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()214x y xy x y x y +=-+≤-+，即()()2440x y x y +-+-≥，解得2x y +≥+2x y +≤-；∴x y +的最小值为2+2+点睛：考查基本不等式： a b +≥ 0a >， 0b >，以及一元二次不等式的解法，解题的关键是构造出关于x y +的不等式.13．在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3cos 5A =， sin 2cos C B =且4a =，则△ABC 的面积为_________． 【答案】8【解析】分析：利用两角和的正弦函数公式和sin 2cos C B =即可得出sinB ， cosB ，从而得出sinC ，再利用正弦定理求出b ，代入面积公式即可得出三角形的面积. 详解：∵3cos 5A =，∴4sin 5A =，∵()sin sin 2cos C A B B =+=，∴sin cos cos sin 2cos A B A B B +=， ∴43cos sin 2cos 55B B B +=，即sin 2cos B B =，∴tan 2B =，∴sin B =，cos B =，∴sin 2cos C B ==， 由正弦定理得：sin sin a b A B=，即445=b =∴1148225ABCSabsinC ==⨯⨯=，故答案为8. 点睛：本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，两角和差的三角函数以及三角形面积的求法，属于中档题.14．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若5b =， 10a c +=， 2A C =.则a c -=_________. 【答案】2【解析】分析：对已知等式2A C =两边同时取正弦，利用二倍角正弦和正弦定理相结合可得2cos a c C =，再利用余弦定理将角化为边，最后将5b =及10a c =-代入可得关于c 的一元二次方程，解出即可.详解：∵2A C =，∴sin sin22sin cos A C C C ==，由正弦定理得： 2cos a c C =，根据余弦定理可得： 22222a b c a c ab+-=，将5b =及10a c =-代入化简得29200c c -+=，解得4{6c a ==， 5{5c a ==（根据大角对大边舍去），则2a c -=，故答案为2.点睛：本题主要考查了解三角形的问题，考查了正弦定理、余弦定理的应用和方程思想的灵活运用，属于基础题.二、解答题15．解不等式： 22530x x -+->.【答案】3{|1}2x x <<【解析】分析：在不等式两边都除以1-，不等式号方向改变，把不等式的左边分解因式后，即可得原不等式的解集.详解：由原式得22530x x -+<，即()()1230x x --<所以312x <<，因此原不等式的解集为3{|1}2x x << 点睛：本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了转化的思想，解题的关键是正确进行因式分解，是一道基础题.16．已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是AB 、AD 的中点， F 、G 分别是CB 、CD 上的点，且2CF CGFB GD==．（1）求证：四边形EFGH 是梯形；（2）若BD a =，求梯形EFGH 的中位线的长. 【答案】（1）见解析；（2）712a 【解析】分析：（1）首先根据三角的中位线定理得到//EH BD ，且12EH BD =，根据三角形相似得到//FG BD ，且23FG BD =，从而//FG BD ，且23FG BD =成立，即可得结论；（2）根据梯形中位线的长度等于上底和下底之和的一半可得结果.详解：证明：（1）在ABD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点， 所以//EH BD ，且12EH BD = 在CBD 中，2CF CGFB GD==， 所以//FG BD ，且23FG BD =所以四边形EFGH 中， //EH FG ，且EH FG ≠，因此，四边形EFGH 是梯形；（2）由（1）知12EH a =， 23FG a = 从而，梯形EFGH 的中位线的长为7212EH FG a +=. 点睛：本题考查直线与直线平行的判定，梯形中位线的长度，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题. 17．在△ABC 中，C －A ＝2π，sin B ＝13.（1）求sin A 的值；（2）设AC ABC 的面积．【答案】（1（2）【解析】分析：（1）由已知2C A π-=和三角形的内角和定理得到A 与B 的关系式22B A π=-及A 的范围，然后利用二倍角的余弦函数公式化简得到一个关于sinA 的方程，即可求得结果；（2） 先根据sin sin 2C A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求出sin C 的值，再由正弦定理求出BC ，最后根据三角形面积公式可得结果. 详解：（1）由2C A π－＝和A B C ＋＋＝π，得B ＝2π－2A , 0<A <4π.故sin cos2B A =，即1－2 2sin A ＝13， sin 3A =.（2）由(1)得 sin sin cos 2C A A π⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭.又由正弦定理sin sin BC ACA B =，得BC =所以1sin 2ABCS AC BC C ∆=⋅⋅= 点睛：本题考查了同角三角函数间的基本关系、二倍角的余弦函数公式、诱导公式及三角形的面积公式和正弦定理，是一道综合题，做题时应注意角度的变换. 18．已知正项等比数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意求得首项和公比，则数列的通项公式为；(2)结合(1)的结果错位相减可得.试题解析：（1）设正项等比数列的公比为，若，则，不符合题意；则∴ ，解得：∴ （2）①②①②得：∴点睛：一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．19．为了丰富改善居民生活，市招商局引进外商到开发区一次性投资72万元建起了一座蔬菜加工厂.以后每年还需要继续投资：第一年需要要各种经费为12万元，从第二年开始每年所需经费均比上一年增加4万元，该加工厂每年销售总收入为50万元. （1）若扣除投资及各种经费，该加工厂从第几年开始纯利润为正？ （2）若干年后，外商为开发新项目，对加工厂有两种处理方案： ①若年平均纯利润达到最大值时，便以48万元价格出售该厂； ②若纯利润总和达到最大值时，便以16万元的价格出售该厂. 问：哪一种方案比较合算？说明理由. 【答案】（1）从第三年开始获利；（2）见解析 【解析】分析：（1）利润总额()f n 即x 年中的收入50n 减去n 年所需各种经费， ()0f n >解出结果进行判断得出何年开始赢利；（2）利用基本不等式算出第一种方案总盈利，利用二次函数性质算出第二种方案的总盈利，得到每一种方案的总盈利，比较大小选择方案．详解：由题设知，每年的经费是以12首项，4为公差的等差数列。

江苏省南京市金陵国际语言中学2018年高二物理下学期期末试题含解析一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个选项符合题意1. 如图所示的速度选择器中有正交的电场和磁场，有一粒子沿垂直于电场和磁场的方向飞入其中，并沿直线运动（不考虑重力作用），则此粒子（）A．一定带正电B．一定带负电C．可能带正电或负电，也可能不带电D．一定不带电参考答案：C【考点】带电粒子在混合场中的运动．【分析】在速度选择器中，存在相互正交的匀强电场、磁场，带电粒子进入其中后受到电场力和洛伦兹力，只有两力平衡，粒子才能从左孔射入，从右孔射出．由左手定则判断洛伦兹力方向，当然也可以不带电，则做匀速直线运动．【解答】解：若带电粒子带正电，受到的洛伦竖直向下，电场力竖直向上，且qv0B=qE，即速度v0=，该电荷做匀速直线运动，从左向右运动；若带电粒子带负电，受到的洛伦竖直向上，电场力竖直向下，且qv0B=qE，即速度v0=，该电荷做匀速直线运动，也从左边射入，从右边射出．若不带电，则不受到任何力，所以做匀速直线运动，故C正确，ABD错误．故选：C2. (单选)仔细观察氢原子的光谱，发现它只有几条分离的不连续的亮线，其原因是（）A．观察时氢原子有时发光，有时不发光B．氢原子只能发出平行光C．氢原子辐射的光子的能量是不连续的,所以对应的光的频率也是不连续的D．氢原子发出的光互相干涉的结果参考答案：C3. （单选）一物体在水平面上由静止开始在水平恒力F作用下运动t s，t s末撤去该力，物体又经过2t s停止运动，在此过程中，物体受到的摩擦力大小为（）A．F/4 B．F/3 C．F/2 D．2F/3参考答案：B4. （多选）图（a）为一列简谐横波在t=2时的波形图，图（b）为媒质中平衡位置在x=1.5m处的质点的振动图像，P是平衡位置为x=2m的质点。

下列说法正确的是。

A.波速为0.5m/sB.波的传播方向向右C.0~2s时间内，P运动的路程为8cmD.0~2s时间内，P向y轴正方向运动E.当t=7s时，P恰好回到平衡位置。

本试卷满分120分第I卷第一部分英语知识运用（共三节，满分50分）第一节听力理解（共20题，每小题0.5分，满分10分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Why is Ann so upset?A. She failed one of her exams.B. She is worrying about other lesson.C. She has no time to do her math homework.2. What type of food does the woman cat?A. Junk food.B. Healthy food.C. Delivered food.3. What will the man probably do to stay warm?A. Use a blanket.B. Turn on the heater.C. Drink some hot chocolate.4. What are the speakers mainly talking about?A. The man’s career.B. The man’s travel plan.C. The man’s plan after graduating.5. What are the speakers’ opinions about the painting?A. It’s simple.B. It’s colorful.C. It’s complex.听下面5段对话。

每段对话后有几个小题，从题中所给的A、B、C、三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置，听每段对话前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟：听完后，各小题给出5秒钟的作答时间。

金陵中学2017-2018学年度第二学期期末考试高二数学试卷数学I一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答题卡相应位置上. 1.设集合{2,4}A =,{2,6,8}B =,则AB = .2.已知复数2(12i)z =-,其中i 是虚数单位,则||z 的值是 .3.某校共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本,已知从女学生中抽取的人数为50人,那么n 的值为 .4.如图是一算法的伪代码,则输出值为 .5.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中, 3cm AB AD ==,12cm AA =,则三棱锥111A AB D -的体积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)x y m m-=>的一条渐近线方程为30x y +=,则实数m 的值为 .7.设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若52378,13a a S -==,则数列{}n a 的通项公式为n a = .8.将一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,m n ,则“2m n >”的概率是 .9.若实数,x y 满足条件14,23,x y x y -≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则42z x y =-的取值范围为 .10.在平面直角坐标系xOy 中,已知()cos f x x =,()3sin g x x =,两曲线()y f x =与()y g x =在区间(0,)2π上交点为A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点,则线段BC 的为 .11.如图,在平面四边形ABCD 中, O 是对角线AC 的中点,且10OB =，6OD =. 若28DA DC ⋅=-,则BA BC ⋅的值为 .12.若对满足64x y xy ++=的任意正实数,x y ,都有22210x xy y ax ay ++--+≥,则实数a 的取值范围为 .13.在平面直角坐标系xOy 中,记椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是 .14.对于任意的实数,m n ,记min{,}m n 为,m n 中的最小值.设函数21()4f x x a x=++，()ln g x x =-，函数()min{(),()}h x f x g x =,若()h x 在(0,)+∞恰有一个零点,则实数a 的取值范围是 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程.15.在平面直角坐标系xOy 中,设向量(sin ,1)m x =-,2(3cos ,cos )n x x =.(1)当3x π=时,求m n ⋅的值；(2)若[0,]4x π∈，且3132m n ⋅=-.求cos2x 的值. 16.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,平面PAD ⊥平面ABCD ,AP AD =,点M 在棱PD 上, AM PD ⊥,点N 是棱PC 的中点,求证：(1) MN ∥平面PAB ; (2) AM ⊥平面PCD .17.如图,在一个水平面内,河流的两岸平行,河宽1(单位:千米)村庄,A B 和供电站C 恰位于一个边长为2(单位:千米)的等边三角形的三个顶点处,且,A C 位于河流的两岸,村庄A 侧的河岸所在直线恰经过BC 的中点D .现欲在河岸上,A D 之间取一点E ,分别修建电缆CE 和EA ,EB .设DCE θ∠=,记电缆总长度为()f θ (单位:千米).(1)求()f θ的解析式；(2)当DCE ∠为多大时,电缆的总长度()f θ最小,并求出最小值.18.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3,且过点1(3,)2.设F 为椭圆的右焦点, ,A B 为椭圆上关于原点对称的两点,连结,AF BF 并延长,分别交椭圆于,C D 两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线,AB CD 的斜率分别为12,k k ,是否存在实数m ,使得21k mk =?若存在,求出实数m 的值;若不存在,请说明理由.19.设数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且满足12a =,对*n N ∀∈,都有1(1)2n n a p S +=-+ (其中常数1p >),数列{}n b 满足2121log ()n n b a a a n=.(1)求证:数列{}n a 是等比数列； (2)若220172p =,求2018b 的值；(3)若*k N ∃∈,使得2212k p +=,记3||2n n c b =-,求数列{}n c 的前2(1)k +项的和. 20.在平面直角坐标系xOy 中,已知函数()1n (R)f x c x c =∈的图像与直线2y x e=相切,其中e 是自然对数的底数.(1)求实数c 的值； (2)设函数()()a h x ax g x x =--在区间1(,e)e内有两个极值点. ①求实数a 的取值范围；②设函数()h x 的极大值和极小值的差为M ,求实数M 的取值范围 .高二数学Ⅱ(附加题)21.已知矩阵 2 11 3M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 1 12 1N ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. (1)求1()MN -；(2)在平面直角坐标系xOy 中,求直线:210L x y +-=在M 对应的变换T 作用下所得直线L '的方程.22.在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,以x 轴的非负半轴为极轴,取与直角坐标系xOy相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩,(θ为参数,[0,2]θπ∈),直线l 的极坐标方程为cos()4p πθ-=(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.23.假定某篮球运动员每次投篮命中率均为(01)p p <<.现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的概率是2125. (1)求p 的值；(2)设该运动员投篮命中次数为X ,求X 的概率分布及数学期望()E X .24.如图,已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2,侧棱长为3, 1AE A B ⊥,垂足为F ,AE 交1B B 于点E .(1)求证: 1D B ⊥平面AEC ;(2)记直线AE 与平面1ACD 所成的角θ,求sin θ的值.试卷答案一、填空题. 1. {2,4,6,8} 2. 5 3. 120 4. 45. 37. 31n-8.169. [5,13] 11. 36 12. 10(,]3-∞ 13. 111(,)(,1)32214. 5{|4a a <-或3}4a >- 二、解答题.15. 解(1)当3x π=时，1]m =-，1]4n =， 所以311442m n ⋅=-=.(2) 2cos cos m n x x x ⋅=-112cos222x x =-- 1sin[2]62x π=--，若12m n ⋅=-.则11sin[2]622x π--=-，即sin[2]6x π-=. 因为[0,]4x π∈，所以2663x πππ-≤-≤，所以cos[2]6x π-= 所以cos2cos[[2]]66x x ππ=-+cos[2]6x π=--1sin[2]62x π-⨯132326-=⨯-⨯=.16.证明(1)因为在PAD ∆中, ,AP AD AM PD =⊥， 所以点M 是棱PD 的中点. 又点N 是棱PC 的中点, 所以MN 是PDC ∆的中位线, 所以MN DC ∥. 因为底面ABCD 是矩形, 以AB DC ∥, 所以MN AB ∥.又AB ⊂平面PAB , MN ⊄平面PAB ,所以MN ∥平面PAB . (2)因为平面PAD ⊥平面ABCD , CD ⊂平面ABCD ， 平面PAD平面,ABCD AD CD AD =⊥，所以CD ⊥平面PAD .又AM ⊂平面PAD ,所以CD AM ⊥. 因为CD AD ⊥,CD AM ⊥, CD PD D =,CD ⊂平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,所以AM ⊥平面PCD .17.解(1)易得AD 垂直平分BC ，1CD BD ==则1cos CE EB θ==，tan ED θ=，tan AE θ=，于是11()cos cos f θθθ=++2sin tan cos θθθ-=+因为E 在CD 之间,所以03πθ<<，故2sin ()cos f θθθ-=+，03πθ<<.(2) 22cos (2sin )(sin )()cos f θθθθθ----=，03πθ<<， 令()0f θ=,得1sin ,26πθθ==， 故当06πθ<<，()0f θ<，()f θ递减,当sin 62ππθ<<,()0f θ>,()f θ递增,所以,当6πθ=时, min ()()6f f πθ==122-+=答:当6DCE π∠=时, ()f θ最小值为18.解(1)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，c =，由题意知22311,4c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2,1,a b =⎧⎨=⎩所以椭圆的方程为2214x y +=. (2)设00(,)A x y ,则00(,)B x y --,010y k x =,又F , 所以直线AF的方程为y x =-.由221,4y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，得2200(7)x x --20070x -+=.因为0x x =是该方程的一个解,所以点C的横坐标C x =又点(,)C C C x y在直线y x =-上，所以C C y x =-=C的坐标为 同理,点D的坐标为，所以2k =101472y k x ==， 即存在7m =,使得217k k =.19.(1)证明:因为*n N ∀∈,都有1(1)2n n a p S +=-+，21(1)2n n a p S ++=-+所以两式相减得211(1)n n n a a p a +++-=-, 即21n n a pa ++=，当1n =时211(1)2a p a pa =-+=，所以*1,()n n a pa n N +=∈，又因为1p >,所以11n nn n a a p p++=， 所以数列{}n na p是常数列, 112,2n n n n a a a p p p p -===， 所以{}n a 是以2为首项, p 为公比的等比数列.(2)由(1)得12n n a p -=.2121log ()n n b a a a n==(1)221log (2)n n np n -=1(1)()2017n n n n -+所以20182b =.(3)由(1)得12n n a p -=.2121log ()n n b a a a n==(1)221log (2)n n n p n -=(1)2121log (22)n n n k n -+1121n k -=++.因为322322(21)n n k b k ---=+， 所以当11n k ≤≤+时, 32n n c b =-，当2n k ≥+时，32n n c b =-. 因此数列{}n c 的前2(21)k +项的和22k T +121()k b b b +=-++++2222()k k k b b b ++++++0121k k +++=-++(1)(2)2+121k k k k ++++++ (1)221k k k +=-++2(1)(22)(1)22121k k k k k k ++++=++. 20. (1)设直线2y x e =与函数()1n f x c x =相切于点00(,1n )P x c x ，函数()1n f x c x =在点00(,1n )P x c x 处的切线方程为: 0001()c y c nx x x x -=-，02c x e=， 把0,0x y ==代入上式得0,2x e c ==. 所以,实数c 的值为2. (2)①由(1)知()21n ah x ax x x=--, 设函数()h x 在区间1(,e)e内有两个极值点1212,()x x x x <，令22()a a h x a x x x'=+--2220ax x ax -+==, 则220ax x a -+=,设2()2m x ax x a =-+,因为121x x =,故只需0,20,()0,am e ∆>⎧⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩,所以, 2211e a e <<+.②因为121x x =,所以，121()()M f x f x ax =-=1221221n (21n )a ax ax x x x ----- 11121n a ax x x =---1111(21n )a ax x x -- 21112221n aax x x =--由21120ax x a -+=,得12121x a x =+,且111x e<<. 12111211222121x x x M x x x +=-+222111211121n 4(1n )12x x x x --=-+. 设21x t =,211t e <<,令11()4(1n )+12t t t t ϕ-=-， 221()4()(+1)2t t t ϕ'=-222(1)0(1)t t t --=<+， ()t ϕ(在21(,1)e 上单调递减,从而21(1)()()t e ϕϕϕ<<， 所以,实数M 的取值范围是28(0,)1e +. 高二数学Ⅱ（附加题）21. 解(1)由题知 2 11 3MN -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 1 10 32 17 2⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，所以0 3)2l 7 det(2MN ⎡⎤==-⎢⎥-⎣⎦， 根据逆矩阵公式,得121 217)1 03(MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(2)设由L 上的任意一点(,)P x y '''在T 作用下得到L '上对应点(,)p x y .由 2 11 3x x y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2,3'x y x x y y ''-=⎧⎨''+=⎩解得3+72'7x y x y x y ⎧'=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 因为210x y ''+-=,所以3221077x y y x +-⨯+-=， 即5470x y +-=.即直线L 的方程为5470x y +-=. 22.解(1)由,sin ,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得22:13x C y +=，由cos ()4p πθθ-=cos sin 4p p θθ+=,即:40l x y +-=.(2)在22:13xC y+=上任取一点(3cos,sin)Pθθ(02)θπ≤≤，则点P到直线l的距离为|3cos sin4|2dθθ+-=|2sin()4|32πθ+-=，02θπ≤≤，当sin()13πθ+=-，即76πθ=时，max32d=.23. 解(1)设事件A:“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A:“前两次投篮均不中”, 依题意, ()1()P A P A=-2211(1)25p=--=，解得35p=.(2)依题意, X的所有可能值为0,1,2,3,且24(0)(1)25P X p==-=,2(1)(1)P X p p==-24(1)(1)125p p p+--=，327(3)125P X p===，故(2)1(0)P X P X==-=54(1)(3)125P X P X-=-==.X的概率分布列为:数学期望24()2125E X=+⨯54272133125125125+⨯=.24.解(1)如图,以D为坐标原点,分别以直线1,,DA DC DD所在直线为x轴, y轴, z轴,建立空间直角坐标系D xyz-，易得1(0,2,3)A B=-,设BE a=,则(0,2,)AE a=，因为1A B AE⊥,所以1(0,2,3)AB AE⋅=- (0,2,)430a a⋅=-=，解得43a=,即4(0,2,)3AE=,又1(2,2,3)D B=-,(2,2,0)AC=-,所以1(2,23)D B AE⋅=-4(0,2,)03⋅=,所以1D B AE⊥,且1(2,2,3)(2,2,0)0D B AC⋅=-⋅-=，所以1D B AC⊥，又AE AC A=，所以1D B⊥平面AEC.(2)4(0,2,)3AE=，1(2,0,3)D A=-，1(0,2,3)DC=-，设平面1ACD的一个法向量(,,)n x y z=，则110,0,D A nD C n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即230,230,x zy z-=⎧⎨-=⎩令0z=，则3x y==，即(3,3,2)n=，sin|cos,AEθ=<|||||AE nnAE n⋅>=⋅22222423=2342+()3+3+23⨯⨯=⨯286=.。

2016年江苏省南京外国语学校仙林分校中学部高二下学期数学期中考试试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 命题“，”的否定是．2. 若命题：，：，又“”为真，则实数的值为．3. 某学校选修羽毛球课程的学生中，高一、高二年级分别有名、名．现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了名，则在高二年级学生中应抽取的人数为．4. 若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为．5. 数据，，，，的方差 .6. 如图，长为，宽为的矩形的外接圆为圆，在圆内任取，点在内的概率是．7. 曲线在点处的切线方程为．8. 如图是一个算法流程图，则输出的的值是．9. 请阅读下列材料：若两个正实数，满足，那么．证明：构造函数．因为对一切实数，恒有，所以，从而得，所以．根据上述证明方法，若个正实数满足时，你能得到的结论为．10. 已知：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是．11. 已知函数（其中，，为常数）为奇函数，是函数的导函数，则．12. 已知函数，如果，使．且，都有成立．又若关于的不等式的解集为，则实数的值为．13. 如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为厘米，底面半径为厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）．一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为．14. 设和分别是和的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性相反．若函数与在开区间上单调性相反，则的最大值为．二、解答题（共10小题；共130分）15. 口袋中有质地、大小完全相同的个球，编号分别为．甲先摸出一个球，记下编号为，放回袋中后，乙再摸一个球，记下编号为．（1）求" "的事件发生的概率；（2）若点落在圆内，则甲赢，否则算乙赢，这个游戏规则公平吗?试说明理由．16. 已知抛物线的顶点是双曲线的中心，焦点与该双曲线的右顶点重合．（1）求抛物线的方程；（2）过双曲线的右焦点的直线交抛物线于，两点．若直线的斜率为，求的长．17. 已知，命题：“，”，命题：“，”．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“”为真命题，命题“”为假命题，求实数的取值范围．18. 甲、乙两地相距，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为元．（1）将全程运输成本（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶?19. 设椭圆的离心率，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．（1）．求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点，，以线段为直径作圆，若圆与轴相交于不同的两点，，求的面积；（3）如图，，，，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点，设的斜率为，的斜率为，求证：为定值．20. 已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．（1）求的值；（2）求的单调区间；（3）设，其中是的导函数．证明：对任意，．21. 求到两个定点，的距离之比等于的点的轨迹方程．22. 用数字，，，，，组成没有重复数字的五位数，求其中比大的偶数的个数．23. 如图，在长方体中，，，与相交于点，点在线段上（点与点不重合）．（1）若异面直线与所成角的余弦值为，求的长度；（2）若，求平面与平面所成角的正弦值．24. 已知数列满足，且．（1）求，，的值，并猜想的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．答案第一部分1. ，2.3.4.【解析】因为复数为纯虚数，所以解得．5.【解析】这组数据的平均数为，方差6.7.【解析】曲线方程为，则，又易知点在曲线上，有，即在点处的切线方程的斜率为，所以切线方程为，即．8.【解析】模拟执行程序框图，可得，，，不满足条件；，，不满足条件；，，不满足条件；，，不满足条件；，，不满足条件；，，满足条件，退出循环，输出的的值为．9.【解析】构造函数由对一切实数，恒有．所以，得．10.11.12.13.【解析】不妨设椭圆方程为，由题意得解得，，，所以该椭圆的离心率为．14.【解析】因为，，所以，；由题意得在上恒成立，因为，所以，恒成立，所以恒成立，即；又因为，所以，即，解得；所以，当时，取“”，所以的最大值为．第二部分15. （1）设" "为事件，其包含的基本事件为：，共个，又基本事件空间有个基本事件．所以．（2）这个游戏规则不公平．设甲胜为事件，则其所包含的基本事件为：共种．所以，故对乙不公平．16. （1）由双曲线的方程得，即双曲线的右顶点为，则抛物线的焦点为，即抛物线的方程为．（2）因为，，所以，即，则双曲线的右焦点，因为直线的斜率为，所以直线的方程为，代入得，即，则，，则．17. （1）因为命题：“，”为真命题，令，根据题意，只要时，即可，也就是，解得，所以实数的取值范围是．（2）由（）可知，当命题为真命题时，，命题为真命题时，，解得或．因为命题“”为真命题，命题“”为假命题，所以命题与命题必然一真一假，当命题为真，命题为假时，，，当命题为假，命题为真时，或综上：或．18. （1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为，即，定义域为．（2）依题意知，都为正数，故有，当且仅当，即时，等号成立，①若，即时，则当时，全程运输成本最小．②若，即时，则当时，有．所以函数在上单调递减，也即当时，全程运输成本最小，综上知，为使全程运输成本最小，当时行驶速度应为千米 /时；当时行驶速度应为千米/时．19. （1）因为直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．，化为．因为离心率，，联立解得，．所以椭圆的方程为；（2）把代入椭圆方程可得：，解得．所以的方程为：．令，解得，所以，所以．（3）由（1）知：，，，所以直线的方程为，由题意，直线的方程为，，且，由解得．设，则由得．所以，所以，．所以．设，则由，，三点共线得，．即，所以，所以．所以的斜率．所以为定值．20. （1），依题意，为所求．（2）此时，记，，所以在单减，又，所以，当时，，，单增；当时，，单减．所以增区间为；减区间为．（3），先研究，再研究．①记，，，令，得，当时，，单增；当时，，单减；所以，，即．②记，，，所以在单减，所以，，即．综①、②知，．21. 设为所求轨迹上任一点，则有，，整理得．22. 根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是，其中个，末位数字为，，其中个；分两种情况讨论：①首位数字为时，末位数字有种情况，在剩余的个数中任取个，放在剩余的个位置上，有种情况，此时有个，②首位数字为时，末位数字有种情况，在剩余的个数中任取个，放在剩余的个位置上，有种情况，此时有个，共有个．23. （1）以，，为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意，知，，，，．设，所以，．设异面直线与所成角为，则，化简得：，解得：或，或．（2）因为，所以，，，，，设平面的一个法向量为，所以所以即取，，设平面的一个法向量为，所以所以即取，，设平面与平面所成角为，所以，所以．24. （1）由得，因为，所以，同理可求，，，猜想．（2）①当时，猜想成立．②设当时，猜想成立，即，则当时，有所以当时猜想也成立．综合①②，猜想对任何都成立．。

南外仙林分校中学部2017-2018学年第一学期高二年级期中测试数学试题第Ⅰ卷(100分)一、填空题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）1.抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】抛物线的准线方程为；故填.2.函数在区间[ －2,3 ]上的最小值为________．【答案】0【解析】因为，所以，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，即当时，函数取得最小值为0；故填0.3.已知，，则以为直径的圆的方程为___________．【答案】【解析】因为，，所以以为直径的圆的圆心为，半径为，即该圆的方程为；故填.4.函数的单调增区间为____________．【答案】【解析】函数的定义域为，且，令，得，即函数的单调减区间为；故填.5.若双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为____________．【答案】【解析】以直线为渐近线的双曲线方程可设为，又因为该双曲线过点，所以，即的标准方程为；故填.【技巧点睛】本题考查双曲线的几何性质；已知双曲线的渐近线方程求双曲线的标准方程时，可利用“以直线为渐近线的双曲线方程可设为”进行求解，避免对双曲线的标准方程的讨论.6.若椭圆短轴一端点到椭圆一个焦点的距离是该焦点到同侧长轴端点距离的倍，则该椭圆的离心率为___________．【答案】【解析】不妨设椭圆的标准方程为，则椭圆短轴一端点到椭圆一个焦点的距离是该焦点到同侧长轴端点的距离的倍，则，即，即该椭圆的离心率为.7.函数的图象在点处的切线方程为__________________．【答案】【解析】因为，所以，则，即函数的图象在点处的切线方程为，即.8.圆心在x轴上且与直线切于点的圆的标准方程为_______________．【答案】【解析】由题意设圆的标准方程为，则，解得，即该圆的标准方程为；故填.二、解答题（本大题共4小题，每小题13分，共52分）9.(1) 已知双曲线：的离心率，求实数的取值范围．(2)过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，若线段的长为8，求的值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1)利用双曲线的几何要素间的等量关系和离心率公式进行求解；(2)联立直线和抛物线的标准方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和两点间的距离公式进行求解.试题解析：(1) ，∴(2) 过焦点的直线方程为，∴∴∴∴【方法点睛】本题第二问考查过抛物线的焦点的弦问题；在求过抛物线的焦点的弦的长度或焦半径时，利用抛物线的定义（将抛物线的点到焦点的距离转化为到准线的距离）可起到事半功倍的效果，如：过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，则.10.已知椭圆的右顶点，到右焦点的距离与其到右准线的距离之比为，(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于，两点，问，两点横坐标的平方和是否为定值？【答案】(1) ＋y2＝1 (2)【解析】试题分析：(1)利用椭圆的第二定义（椭圆上的点到右焦点的距离与其到右准线的距离之比等于离心率）进行求解；(2)联立直线和椭圆的标准方程，整理得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解.试题解析：(1)由题意得：，∴∴椭圆的方程为；(2)设，，∴∴∴．11.在边长为48 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？【答案】当箱底边长为32时，箱底的容积最大为8192．【解析】试题分析：设箱底的边长为，建立箱子的体积关于的函数表达式，再利用导数求其最值.试题解析：设箱底的边长为，则箱高为箱子的容积为求导：当时，，当时，，∴当时，，答：当箱底边长为32时，箱底的容积最大为8192．12.已知圆M：与轴相切．(1)求的值；(2)求圆M在轴上截得的弦长；(3)若点是直线上的动点，过点作直线与圆M相切，为切点，求四边形面积的最小值．【答案】(1) (2) (3)【解析】试题分析：(1)先将圆的一般方程化成标准方程，利用直线和圆相切进行求解；(2)令，得到关于的一元二次方程进行求解；(3)将四边形的面积的最小值问题转化为点到直线的的距离进行求解.试题解析：(1) ∵圆M：与轴相切∴∴(2) 令，则∴∴(3)∵的最小值等于点到直线的距离，∴∴∴四边形面积的最小值为．第Ⅱ卷(60分)三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13.在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标是____．【答案】2【解析】若抛物线上一点到焦点的距离为3，则，解得，即点的横坐标是2.【方法点睛】本题考查过抛物线的焦点的弦问题；在求过抛物线的焦点的弦的长度或焦半径时，利用抛物线的定义（将抛物线的点到焦点的距离转化为到准线的距离）可起到事半功倍的效果，如：过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，则.14.已知函数，则的极大值为____________.【答案】【解析】因为函数的定义域为，且，令，则，即，即，，则函数在上单调递增，在区间上单调递减，即的极大值为；故填.15.已知双曲线上一点到一个焦点的距离等于2，则点到另一个焦点距离为______．【答案】10【解析】设双曲线的焦点分别为，由题意，得，所以；故填10.【技巧点睛】本题考查双曲线的定义；处理涉及椭圆或双曲线的点与两焦点间的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行求解；但要有时需要判定该点在双曲线上的哪一支上，以免出现增解.16.设，其中为正实数，若为上的单调递增函数，则的取值范围是________．【答案】（0，1]【解析】因为，所以，因为为上的单调递增函数，所以恒成立，又为正实数，所以,解得，即则的取值范围是；故填.【方法点睛】本题考查导数和函数的单调性的关系；已知函数在某区间上单调时，往往转化为导函数恒为正或恒为负，如：为上的单调递增函数，所以恒成立，而不要错误认为“恒成立”.17.已知椭圆的左、右焦点分别为，P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则______________．【答案】2【解析】由题意，得的左、右焦点分别为，设以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则，；故填2.【技巧点睛】本题考查椭圆的几何性质和平面向量的数量积运算；本题的难点在于如何设出点的坐标，而本解法借助点在以椭圆短轴为直径的圆上，常用三角函数代换设法，降低了困难.18.已知半径为的动圆经过圆的圆心，且与直线相交，则直线被圆截得的弦长最大值是__________．【答案】【解析】设半径为的且经过圆的圆心的动圆的标准方程为，即，即，则，即，解得，则，圆心到直线的距离，则直线被圆截得的弦长最大值是；故填.四、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分）19.已知函数(为实常数)．（1）若a＝－2，求证：函数在(1，+∞)上是增函数；（2）求函数在上的最小值及相应的值．【答案】（1）见解析（2）当时，的最小值为1，相应的x值为1；当时，的最小值为，相应的x值为；当时，的最小值为，相应的x值为．【解析】略20.已知椭圆的离心率为，短轴长为.(1)求椭圆的方程；(2)设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；(3)在(2)的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：⑴利用椭圆的定义和性质求出，，即可求出椭圆的方程；⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，由得，再由根与系数的关系证明直线与轴相交于定点；⑶分的斜率存在与不存在两种情况讨论，与椭圆方程联立得出点的坐标之间的关系，再表示出，进而可求出其取值范围；解析：(1)由题意知，又∵，∴，∴，解，得，故椭圆的方程为.(2)由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，由得.①设点，，则，直线的方程为，令，得，将，代入，整理，得.②由①得，代入②整理，得.∴直线与轴相交于定点.(3)当过点直线的斜率存在时，设直线的方程为，且，在椭圆上，由得，易知，∴，，，则，∵，∴，∴，当过点直线的斜率不存在时，其方程为，解得，或，.此时，∴的取值范围是.点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质及椭圆的应用和椭圆的标准方程，还考查了数量积的坐标表达式。

江苏省南京外国语学校仙林分校中学部2017--2018第一学期高二上学期期中测试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．抛物线2y x =的准线方程为________．2．函数y =x 4−4x +3在区间[ －2,3 ]上的最小值为 ________．3．已知()1,0A ， ()3,0B ，则以AB 为直径的圆的方程为___________． 4．函数()ln f x x x x =-的单调增区间为____________．5．若双曲线C 的渐近线方程为y =±2x ，且经过点(2,2√2)，则C 的标准方程为____________．6．若椭圆短轴一端点到椭圆一个焦点的距离是该焦点到同侧长轴端点距离的3倍，则该椭圆的离心率为___________．7．函数y =sinx 的图象在点(π,0)处的切线方程为__________________．8．圆心在x 轴上且与直线:21l y x =+切于点(0,1)P 的圆C 的标准方程为_______________．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2=4x 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标是____．10．已知函数()()21ln f x f x x =-'，则()f x 的极大值为________．11．已知双曲线y 2−4x 2=16上一点M 到一个焦点的距离等于2，则点M 到另一个焦点距离为______．12．设2()1xe f x ax=+，其中a 为正实数，若()f x 为R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是________．13．已知半径为的动圆2C 经过圆()()221:118C x y -+-=的圆心，且与直线:80l x y +-=相交，则直线l 被圆2C 截得的弦长最大值是__________．二、解答题14．(1) 已知双曲线C ：2214x y k-=的离心率()1,2e ∈，求实数k 的取值范围． (2)过抛物线()220y px p => 的焦点F 作倾斜角为45︒的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，求p 的值．15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点()2,0A ，A 到右焦点的距离与其到右准(1)求椭圆的方程；(2)直线12y x m =+与椭圆交于P ，Q 两点，问P ，Q 两点横坐标的平方和是否为定值？16．在边长为48 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？17．已知圆M ：()2151222m +-=-与x 轴相切． (1)求m 的值； (2)求圆M 在y 轴上截得的弦长；(3)若点P 是直线3480x y ++=上的动点，过点P 作直线,PA PB 与圆M 相切，,A B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．18．已知函数2()ln f x a x x =+ (a 为实常数)．（1）若a ＝－2，求证：函数()f x 在(1，+∞)上是增函数；（2）求函数()f x 在[1,]e 上的最小值及相应的x 值．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，短轴长为(1)求椭圆C 的方程；(2)设()4,0P ，,A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；(3)在(2)的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ⋅的取值范围.参考答案1．14x =- 【解析】抛物线2y x =的准线方程为14x =-；故填14x =-. 2．0【解析】因为y =x 4−4x +3，所以y ′=4x 3−4=4(x −1)(x 2+x +1)，所以函数y =x 4−4x +3在区间[−2,1]单调递减，在区间(1,3]单调递增，即当x =1时，函数y =x 4−4x +3取得最小值为0；故填0.3．()2221x y -+=【解析】因为()1,0A ， ()3,0B ，所以以AB 为直径的圆的圆心为()2,0，半径为212=，即该圆的方程为()2221x y -+=；故填()2221x y -+=.4．()0,1【解析】函数()ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞，且11()1x f x x x-=-='，令'()0f x <，得01x <<，即函数()ln f x x x =- 的单调减区间为(0,1)；故填(0,1).5．【解析】试题分析：由渐近线可知双曲线为4x 2−y 2=m ，代入点(2,2√2)得m =8∴4x 2−y 2=8∴x 22−y 28=1∴a =√2,b =2√2,c =√10，准线为x =±a 2c =√10=±√105考点：双曲线方程及性质6．23 【解析】不妨设椭圆的标准方程为x 2a +y 2b =1(a >b >0)，则椭圆短轴一端点B(0,b)到椭圆一个焦点F(c,0)的距离是该焦点F(c,0)到同侧长轴端点A(a,0)的距离的3倍，则√b 2+c 2=3(a −c)，即2a =3c,c a =23，即该椭圆的离心率为23.7．x +y −π=0【解析】因为y =sinx ，所以y ′=cos x ，则y ′|x=π=cosπ=−1，即函数y =sinx 的图象在点(π,0)处的切线方程为y =−(x −π)，即x +y −π=0.8．()2225x y -+=【解析】 由题意设圆的标准方程为222()(0)x a y r r -+=>，则0)22121(1a a r -⎧⨯=-⎪-⎨⎪+=⎩，解得225a r =⎧⎨=⎩，即该圆的标准方程为22(2)5x y -+=；故填22(2)5x y -+=.9．2【解析】若抛物线y 2=4x 上一点P(x,y)到焦点F(1,0)的距离为3，则x +1=3，解得x =2，即点P 的横坐标是2.【方法点睛】本题考查过抛物线的焦点的弦问题；在求过抛物线的焦点的弦的长度或焦半径时，利用抛物线的定义（将抛物线的点到焦点的距离转化为到准线的距离）可起到事半功倍的效果，如：过抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点F 的直线交抛物线于A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)两点，则|AF|=x 1+p 2,|AB|=x 1+x 2+p . 10．【解析】 2(1)2(1)()1(1)1,(1)11f f f x f f x '''=-'-='∴= ，因此()2ln f x x x =-，2()102f x x x -='=∴=时取极大值2ln22- 11．10【解析】设双曲线y 216−x 24=1的焦点分别为F 1,F 2，由题意，得|MF 1|=2<4，所以|MF 2|=|MF 1|+8=10；故填10.【技巧点睛】本题考查双曲线的定义；处理涉及椭圆或双曲线的点与两焦点间的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行求解；但要有时需要判定该点在双曲线上的哪一支上，以免出现增解.12．（0，1]【解析】因为()21xe f x ax=+，所以222(21)()(1)x e ax ax f x ax -+=+'，因为()f x 为R 上的单调递增函数，所以2210ax ax -+≥恒成立，又a 为正实数，所以2440a a =-≤,解得01a <≤，即则a 的取值范围是(0,1]；故填(0,1].【方法点睛】本题考查导数和函数的单调性的关系；已知函数在某区间上单调时，往往转化为导函数恒为正或恒为负，如：()f x 为R 上的单调递增函数，所以'()0f x ≥恒成立，而不要错误认为“'()0f x >恒成立”.13．【解析】设半径为()()221:118C x y -+-=的圆心()1,1的动圆2C 的标准方程为()()228x a y b -+-=，即()()22118a b -+-=，即()22260a b a b +-+-=，则()()()222622a b a b a b ab ++-+-=≤，即()()22602a b a b +-+-≤，解得26a b -≤+≤，则1082a b -≤+-≤-，圆心(),a b 到直线l 的距离d =≥则直线l 被圆2C 截得的弦长最大值是l ==.14．(1) ()0,12k ∈(2) 2p =【解析】试题分析：(1)利用双曲线的几何要素间的等量关系和离心率公式进行求解；(2)联立直线和抛物线的标准方程，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系和两点间的距离公式进行求解.试题解析：(1) 24c k =+ ，()1,22c e a ==∈ ∴()0,12p ∈(2) 过焦点F 的直线方程为2p y x =-，222y px p y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴22304p x px -+= ∴123x x p += 2124p x x = ∴8AB ==== ∴2p =【方法点睛】本题第二问考查过抛物线的焦点的弦问题；在求过抛物线的焦点的弦的长度或焦半径时，利用抛物线的定义（将抛物线的点到焦点的距离转化为到准线的距离）可起到事半功倍的效果，如：过抛物线()220y px p => 的焦点F 的直线交抛物线于1122(,)(,)A x y B x y 两点，则112,2p AF x AB x x p =+=++. 15．(1) 24x ＋y 2＝1 (2) 22124x x += 【解析】试题分析：(1)利用椭圆的第二定义（椭圆上的点到右焦点的距离与其到右准线的距离之比等于离心率）进行求解；(2)联立直线和椭圆的标准方程，整理得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解.试题解析：(1)由题意得：2a =，e =∴1b = ∴椭圆的方程为2214x y +=； (2)设()11,P x y ，()22,Q x y ，221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∴()222210x mx m ++-=∴()21212221x x mx x m +=-=- ∴22124x x +=． 16．当箱底边长为40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16000cm 3.【解析】设箱底边长为x cm ，则箱高ℎ=60−x 2cm ，得箱子容积．V ′(x)=60x −3x 22令V ′(x)=60x −3x 22＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)="16" 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值故当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 317．(1) 4m =(2) (3)【解析】试题分析：(1)先将圆的一般方程化成标准方程，利用直线和圆相切进行求解；(2) 令0x =，得到关于y 的一元二次方程进行求解；(3)将四边形的面积的最小值问题转化为点到直线的的距离进行求解.试题解析：(1) ()()222420x y m -+-=- ∵圆M ：22480x y x y m +--+=与x 轴相切4= ∴4m =(2) 令0x =，则2840y y -+= ∴4y =±∴12y y -=(3) 12242PAMB PAM S S MB PB PB ∆==⨯⨯⨯== ∵PM 的最小值等于点M 到直线3480x y ++=的距离，∴min 6PM = ∴()min PAMB S =∴四边形PAMB 面积的最小值为．18．（1）见解析（2）当2a ≥-时，()f x 的最小值为1，相应的x 值为1；当222e a -<<-时，()f x 的最小值为ln()222aa a ，相应的x 当22a e ≤-时，()f x 的最小值为2a e +，相应的x 值为e ．【解析】试题分析：（Ⅰ）代入2a =-，求导，通过导数恒为正值进行证明；（Ⅱ）求导，通过讨论参数的取值，研究函数的极值点与所给区间的关系，进而研究函数在所给区间上的单调性和极值、最值进行求解.试题解析：（Ⅰ）当a=﹣2时，f （x ）=x 2﹣2lnx ，当x∈（1，+∞），，故函数f （x ）在（1，+∞）上是增函数．（Ⅱ），当x∈[1，e]，2x 2+a∈[a+2，a+2e 2]． 若a≥﹣2，f'（x ）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x ）=0），故函数f （x ）在[1，e]上是增函数，此时[f （x ）]min =f （1）=1．若﹣2e 2＜a ＜﹣2，当时，f'（x ）=0；当时，f'（x ）＜0， 此时f （x ）是减函数；当时，f'（x ）＞0，此时f （x ）是增函数． 故[f （x ）]min ==若a≤﹣2e 2，f'（x ）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e 2，x=e 时，f'（x ）=0），故函数f （x ）在[1，e]上是减函数，此时[f （x ）]min =f （e ）=a+e 2．综上可知，当a≥﹣2时，f （x ）的最小值为1，相应的x 值为1；当﹣2e 2＜a ＜﹣2时，f （x ）的最小值为，相应的x 值为； 当a≤﹣2e 2时，f （x ）的最小值为a+e 2，相应的x 值为e19．（1）22143x y += （2）5[4,]4-- 【解析】试题分析：⑴利用椭圆的定义和性质求出23b =，24a =，即可求出椭圆的方程；⑵由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为()4y k x =-，由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222433264120k x k x k +-+-=，再由根与系数的关系证明直线AE 与x 轴相交于定点()10Q ，；⑶分MN 的斜率存在与不存在两种情况讨论，与椭圆方程联立得出点MN 的坐标之间的关系，再表示出OM ON→→，进而可求出其取值范围； 解析：(1)由题意知12c e a ==，又∵2b =b =23b =， 解22222214c a b e a a -===，得24a =，故椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为()4y k x =-，由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222433264120k x k x k +-+-=.① 设点()11,B x y ，()22,E x y ，则()11,A x y -，直线AE 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得()221221y x x x x y y -=-+，将()114y k x =-，()224y k x =-代入， 整理，得()121212248x x x x x x x -+=+-.② 由①得21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+代入②整理，得1x =.∴直线AE 与x 轴相交于定点()1,0Q .(3)当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()1y m x =-，且()33,M x y ，()44,N x y 在椭圆C 上，由()221143y m x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120m x m x m +-+-=，易知0∆>， ∴2342843m x x m +=+，234241243m x x m -=+，2342943m y y m =-+， 则()2223434222241295125334343434443m m m OM ON x x y y m m m m -+⋅=+=-=-=--++++， ∵20m ≥，∴()2113304443m -≤-<+， ∴54,4OM ON ⎡⎫⋅∈--⎪⎢⎣⎭， 当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =， 解得31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 此时54OM ON ⋅=-，∴OM ON ⋅的取值范围是54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质及椭圆的应用和椭圆的标准方程，还考查了数量积的坐标表达式．该题目的主要目的是检查学生对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解．。

1．()0,2【解析】分析：不等式20x x-<化为()20x x -<，解一元二次不等式即可． 详解：不等式20x x -<化为()20x x -<，解得02x <<， ∴不等式20x x-<的解集为()0,2，故答案为()0,2．点睛：本题考查了分式不等式转化为一元二次不等式的解法，属于基础题点睛：本题主要考查等比数列性质的应用，利用等比中项的性质是解决本题的关键，属于基础题. 3．【解析】由余弦定理可得：.4．6【解析】分析：在正方体1AC 中，根据异面直线的定义列举出与面ABCD 的对角线AC 异面的所有的棱，由此能求出结果． 详解：如图，在正方体1AC 中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有： 1BB ， 1DD ， 11A B ， 11A D ， 11D C ， 11B C ，共6条，故答案为6．点睛：本题考查正方体中与面对角线异面的棱的条数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意正方体的性质的合理运用5．4【解析】分析：由已知条件利用等比数列的通项公式列出关于首项和公比的方程组，求出等比数列的首项和公比，由此能求出3a .详解：由已知条件得： 41131115{ 6a q a a q a q -=-=，由1q >，解得11a =， 2q =，所以2314a a q ==，故答案为4.点睛：本题考查等比数列{}n a 的通项公式求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．点睛：本题主要考查学生掌握等差数列的性质，是一道基础题，解题的突破点是求出等差数列的公差. 7．16【解析】分析：利用基本不等式将和为定值转化为积的最值，即可得出结果 详解：∵正数,a b 满足141a b+=，∴141a b +=≥， 可化为16ab ≥，当且仅当2a =， 8b =时取等号，故ab 的最小值为16， 故答案为16.点睛：本题考查了基本不等式的性质，以及运算能力，属于基础题．8．4π【解析】分析：利用正弦定理，结合条件，可得sin cos B B =，结合B 的取值范围，由此可求B 的值．详解：由正弦定理可得sin sin A B a b =，∵sin cos A B a b=， ∴sin cos B B =，又∵0B π<<，∴4B π=，故答案为4π点睛：本题考查正弦定理和已知三角函数只求角，考查学生的计算能力，属于基础题． 9．10【解析】分析：先判定20x ->，再由16162222y x x x x =+=-++--根据基本不等式可求得最小值．详解：∵2x >，∴20x ->，∴16162221022y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当1622x x -=-，即6x =时，等号成立，即函数的最小值为10. 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．点睛：本题考查正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式是解题的关键；利用正弦定理实现边角之间的互化，是解三角形中常用的技巧，而当涉及三角形三边及其中一个角时主要通过余弦定理解三角形.11．3【解析】由等差数列的性质可得：，数列的公差： ，据此可得，数列单调递减，且：，使得取最大值时的正整数3.12．)21+【解析】分析：首先根据0,0x y >>，即可得到22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，代入原不等式进而得出()()214x y x y +≤-+，解关于x y +的不等式即可得出x y +的最小值.详解：∵0,0x y >>，∴22x y xy +⎛⎫≤⎪⎝⎭，∴()()()214x y xy x y x y +=-+≤-+，即()()2440x y x y +-+-≥，解得2x y +≥+2x y +≤-； ∴x y +的最小值为2+，故答案为2+.点睛：考查基本不等式：a b +≥ 0a >， 0b >，以及一元二次不等式的解法，解题的关键是构造出关于x y +的不等式.由正弦定理得：sin sin a b A B =，即445=b =∴114822ABCSabsinC ==⨯⨯=，故答案为8. 点睛：本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，两角和差的三角函数以及三角形面积的求法，属于中档题.14．2【解析】分析：对已知等式2A C =两边同时取正弦，利用二倍角正弦和正弦定理相结合可得2cos a c C =，再利用余弦定理将角化为边，最后将5b =及10a c =-代入可得关于c 的一元二次方程，解出即可.详解：∵2A C =，∴sin sin22sin cos A C C C ==，由正弦定理得： 2cos a c C =，根据余弦定理可得： 22222a b c a c ab+-=，将5b =及10a c =-代入化简得29200c c -+=，解得4{6c a ==， 5{5c a ==（根据大角对大边舍去），则2a c -=，故答案为2.点睛：本题主要考查了解三角形的问题，考查了正弦定理、余弦定理的应用和方程思想的灵活运用，属于基础题.15．3{|1}2x x <<点睛：本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了转化的思想，解题的关键是正确进行因式分解，是一道基础题. 16．（1）见解析；（2）712a【解析】分析：（1）首先根据三角的中位线定理得到//EH BD ，且12EH BD =，根据三角形相似得到//FG BD ，且23FG BD =，从而//FG BD ，且23FG BD =成立，即可得结论；（2）根据梯形中位线的长度等于上底和下底之和的一半可得结果.详解：证明：（1）在ABD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点， 所以//EH BD ，且12EH BD = 在CBD 中，2CF CGFB GD==， 所以//FG BD ，且23FG BD =所以四边形EFGH 中， //EH FG ，且EH FG ≠， 因此，四边形EFGH 是梯形；（2）由（1）知12EH a =， 23FG a = 从而，梯形EFGH 的中位线的长为7212EH FG a +=.点睛：本题考查直线与直线平行的判定，梯形中位线的长度，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.17．（1；（2）【解析】分析：（1）由已知2C A π-=和三角形的内角和定理得到A 与B 的关系式22B A π=-及A 的范围，然后利用二倍角的余弦函数公式化简得到一个关于sinA 的方程，即可求得结果；（2） 先根据sin sin 2C A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求出sin C 的值，再由正弦定理求出BC ，最后根据三角形面积公式可得结果.详解：（1）由2C A π－＝和A B C ＋＋＝π，得B ＝2π－2A, 0<A<4π.故sin cos2B A =，即1－2 2sin A ＝13， sin A =.点睛：本题考查了同角三角函数间的基本关系、二倍角的余弦函数公式、诱导公式及三角形的面积公式和正弦定理，是一道综合题，做题时应注意角度的变换. 18．（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意求得首项和公比，则数列的通项公式为；(2)结合(1)的结果错位相减可得.试题解析： （1）设正项等比数列的公比为，若，则，不符合题意；则∴ ，解得：∴（2）①②①②得：∴点睛：一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解． 19．（1）从第三年开始获利；（2）见解析【解析】分析：（1）利润总额()f n 即x 年中的收入50n 减去n 年所需各种经费， ()0f n >解出结果进行判断得出何年开始赢利；（2）利用基本不等式算出第一种方案总盈利，利用二次函数性质算出第二种方案的总盈利，得到每一种方案的总盈利，比较大小选择方案．（2）①年平均纯利润为()22407236402f n n n n nn n -+-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，又3612n n+≥，当且仅当6n =时取等号，此时()16f n n ≤， 这样以第一种方案共获利16648144⨯+=万元；②若纯利润总和()()2210128f n n =--+，所以10n =时，纯利润总和达到最大值，此时共获利12816144+=万元；由上可知，两种方案获利相同，但是第一种方案需要时间比第二种方案需要时间少得多，故选择第一种方案较好.点睛：本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及基本不等式求最值和应用题中利润最大化的问题，在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题，属于中档题． 20．（1）()*2n n a n N =∈；（2）见解析【解析】分析：（1）求出数列的首项和公比，即可求数列{}n a 的通项公式；（2）①求出数列的前几项，根据等差数列的性质建立方程即可求出t ；②讨论m 的取值，根据12m m T c +=的关系进行求解即可． 详解：（1）当1n =时， 111122422a S +==-=-=， 21221222844a S S +==-=--=-=， 则公比21422a q a ===，则1222n n n a -=⋅=②由题意知， 1123425678932,2,4,2,8,c a c c c a c c c c c a ============则当1m =时， 12224T c =≠=，不合题意，舍去； 当2m =时， 212342T c c c =+==，所以2m =成立；当3m ≥时，若12m c +=，则12m m T c +≠，不合题意，舍去；从而1m c +必是数列{}n a 中的某一项1k a +， 则： 123123422222222k m k b b b b T a a a a a =+++++++++++++++++个个个个()()2312322222k k b b b b =+++++++++()()1222221222222kk k k k k ++=-+⨯=++-又1112222k m k c a +++==⨯，所以122222k k k +++-=122k +⨯，即2210k k k --+=，所以()2211kk k k k +=+=+因为()*21k k N +∈为奇数，而()21k k k k +=+为偶数，所以上式无解．即当3m ≥时， 12m m T c +≠ 综上所述，满足题意的正整数仅有2m =．点睛：本题主要考查等比数列和等差数列的综合应用，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．。

一、选择题1．如图，,,,A B C D 是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（ ）A ．AB CD BC DA +=+ B ．AC BD BC AD +=+ C ．AC DB DC BA +=+D ．AB DA AC DB +=+2．已知关于x 的方程20ax bx c ++=，其中,,a b c 都是非零向量，且,a b 不共线，则该方程的解的情况是（ ） A ．至少有一个解 B ．至多有一个解 C ．至多有两个解D ．可能有无数个解3．若函数sin()(0,||)y x ωϕωϕπ=-><的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）A ．52,125πωϕ==B ．5,126πωϕ==C ．122,55πωϕ==D ．12,56πωϕ== 4．将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（ ）A ．54π-B ．4π-C ．4π D ．34π5．已知1sin()62πθ-=，且02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则cos()3πθ-=( ) A ．0B ．12C ．1D ．326．已知函数()()π2cos 332f x x ϕϕ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，若ππ,612x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，()f x 的图象恒在直线3y =的上方，则ϕ的取值范围是( ) A ．ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭ B ．ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭ 7．已知函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为π，则下列选项正确的是 A ．函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 B ．函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 D ．函数()f x 的图象关于直线π12x =-对称 8．已知角α的终边过点()4,3(0)P m m m -<,则2sin cos αα+的值是 A ．1B ．25C ．25-D ．-19．O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆是（ ）A ．以AB 为底面的等腰三角形 B ．以BC 为底面的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形10．在ABC ∆中,已知sin 2sin()cos C B C B =+,那么ABC ∆一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 11．在中，,,A B C ∠∠∠所对的边长分别是,,a b c ，若sin sin()sin 2C B A A +-=，则的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形12．已知向量(3,4),(sin ,cos )a b αα==，且//a b ，则tan α=（ ） A ．34B ．34-C ．43D ．43-13．若()2sin sinsin777n n S n N πππ︒=+++∈，则在中，正数的个数是（ ） A ．16B ．72C ．86D ．10014．如图，在ABC ∆中，23AD AC =，13BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则=λμ( )A ．3-B ．3C ．2D ．2-15．已知tan 3a =，则21cos sin 22a a +=（） A ．25-B ．3C ．3-D ．25二、填空题16．已知(,)2πθπ∈，且3cos()45πθ-=，则tan()4πθ+=_________________. 17．函数()1sin cos 533f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为________________. 18．已知向量()()()12311a b c λ===，，，，，.若2a b -与c 共线，则a 在c 方向上的投影为 ________. 19．已知4tan()5αβ+=，1tan 4β=，那么tan α=____．20．设向量()sin ,2m θ=，()1,cos n θ=-，且m n ⊥，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为__________．21．若向量(2,1)m =，(3,2)n λ=-，且(2)//(3)m n m n -+，则实数λ=__________． 22．若点(3cos ,sin )P θθ在直线:0l x y +=上，则tan θ=________.23．已知ABC ∆，4AB AC ==，2BC =，点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连结CD ，则cos BDC ∠=__________．24．函数2sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调增区间是________.25．已知1tan 2α=，则2(sin cos )cos 2ααα+=____________ .三、解答题26．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，S 为ABC ∆的面积，若2cos 0S A =．（1）求cos A ；（2）若3a b c =-=，求,b c 的值．27．设函数f (x )=cosx −cos (x −π3),x ∈R .（1）求f (x )的最大值，并求取得最大值时x 的取值集合；（2）记ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (B )=0，b=1，c=√3，求a 的值.28．已知函数()2sin 22cos 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调增区间； （2）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 29．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量(sin ,sin sin )A B C =-m ，n =(,)a b c +，且m n ⊥．（1）求角C 的值；（2）若ABC 为锐角三角形，且1c =b -的取值范围．30．已知函数()()0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤<⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和ϕ的值；(2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()y f x =的最大值和最小值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．B3．C4．C5．C6．C7．B8．C9．B10．C11．D12．A13．C14．B15．D二、填空题16．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件17．【解析】【分析】先利用两角和与差的正弦余弦公式将函数的解析式展开合并同类项后利用辅助角公式进行化简即可得出函数的最大值【详解】其中因此函数的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值解题的关键就18．【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示求出参数再依据投影的概念求出结果即可【详解】∵∴又∵与共线∴∴∴∴在方向上的投影为【点睛】本题主要考查共线向量的坐标表示以及向量投影的概念注意投影是个数量19．【解析】【分析】根据题干得到按照两角和与差公式得到结果【详解】已知那么故答案为【点睛】这个题目考查了给值求值的问题常见的解题方式有：用已知角表示未知角再由两角和与差的公式得到结果20．【解析】分析：先根据向量垂直得再根据两角差正切公式求解详解：因为所以因此点睛：向量平行：向量垂直：向量加减：21．【解析】依题设由∥得解得22．【解析】分析：由点在直线上将P点的坐标代入直线方程利用同角三角函数间的基本关系求出的值详解：因为点在直线上所以即可以求得故答案是点睛：该题考查的是有关点在直线上的条件是点的坐标满足直线的方程再者就是23．【解析】取中点中点由题意中又所以故答案为24．【解析】即单调增区间是【点睛】函数的性质(1)(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间;25．3【解析】【分析】由题意首先展开三角函数式然后结合同角三角函数基本关系转化为的式子最后求解三角函数式的值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查三角函数式的化简求值问题三角函数齐次式的计算同角三三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B 解析：B 【解析】 【分析】用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证． 【详解】DC BC BD =-，DC AC AD =-，∴AC AD BC BD -=-， ∴AC BD BC AD +=+．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量的加减法及其几何意义，属于容易题．2．B解析：B 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知(),c a b R λμλμ=+∈，从而将方程整理为()()20x a x b λμ+++=，由,a b 不共线可得200x x λμ⎧+=⎨+=⎩，从而可知方程组至多有一个解，从而得到结果. 【详解】由平面向量基本定理可得：(),c a b R λμλμ=+∈则方程20ax bx c ++=可变为：20ax bx a b λμ+++= 即：()()20xa xb λμ+++=,a b 不共线 200x x λμ⎧+=∴⎨+=⎩可知方程组可能无解，也可能有一个解∴方程20ax bx c ++=至多有一个解本题正确选项：B 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用定理将方程进行转化，利用向量和为零和向量不共线可得方程组，从而确定方程解的个数.3．C解析：C 【解析】给出三角函数图像，求相关系数，可以通过读取周期，某些特殊值来求解. 【详解】 由图可以读取5=066T ππ，（，）为五点作图的第一点2512==65T ππωω⇒⇒= 1222()2565k k Z k ππϕπϕπ⨯-=∈⇒=+，||ϕπ<25πϕ⇒=选择C. 【点睛】由三角函数sin()y A x ωϕ=+图像，获取相应参数的值一般遵循先定A ，然后根据周期定ω，最后通过带值定ϕ. 4．C解析：C 【解析】试题分析：()1sin()cos()sin 2222y x x x ϕϕϕ=++=+将其向右平移8π个单位后得到：11sin 2sin 22824y x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若为偶函数必有：()42k k Z ππϕπ-=+∈，解得：()34k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，D 正确，1k =-时，B 正确，当2k =-时，A 正确，综上，C 错误. 考点：1.函数的图像变换；2.函数的奇偶性.5．C解析：C 【解析】 【分析】解法一：由题意求出θ的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果 【详解】解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得，πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，πcos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础解析：C 【解析】分析：根据函数()f x 的解析式，利用x 的取值范围，结合题意求出ϕ的取值范围． 详解：函数函数()()π2cos 332f x x ϕϕ⎛⎫=++≤⎪⎝⎭，ππ,612x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，324x ππϕϕϕ+∈-++（，），又()f x 的图象恒在直线3y =的上方，2223333042cos x cos x ππϕϕϕππϕ⎧-+≥-⎪⎪∴++∴+∴⎨⎪+≤⎪⎩（）＞，（）＞，，解得04πϕ≤≤；∴ϕ的取值范围是π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选C ．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．7．B解析：B 【解析】 【分析】根据函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为π，求解ω可得解析式，对各选项逐一考察即可． 【详解】函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则 即22T ππωω=∴=＝， ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由对称轴方程：262x k k Z πππ+=+∈，（）得：126x k ππ=+，（k∈Z） 经考查C ，D 选项不对．由对称中心的横坐标：26x k k Z ππ+=∈，（），得：1212x k k Z ππ=-∈，（） 当k=0时，可得图象的对称中心坐标为,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故选B ． 【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，求出解析式是解决本题的关键．属于中档题．8．C解析：C 【解析】因为角α的终边过点()4,3(0)P m m m -<，所以sin α=35-，4cos 5α=，所以2sin cos αα+=642555-+=-，故选C.9．B解析：B 【解析】试题分析：根据题意，涉及了向量的加减法运算，以及数量积运算． 因此可知2()()OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+OB OC CB -=，所以(2)OB OC OA +-⋅()0OB OC -=可知为故有||AB AC =，因此可知b=c ，说明了是一个以BC 为底边的等腰三角形，故选B. 考点：本试题主要考查了向量的数量积的运用．点评：解决该试题的关键是利用向量的加减法灵活的变形，得到长度b=c ，然后分析得到形状，注意多个变量，向一组基向量的变形技巧，属于中档题．10．C解析：C 【解析】 【分析】根据三角形内角和及两角和的正弦公式化简，利用三角函数性质求解. 【详解】在ABC ∆中,由()sin 2sin cos C B C B =+可得sin()2sin cos A B A B +=,化简sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=,即in 0()s A B -=，由0,0A B ππ<<<<知A B ππ-<-<，所以0A B -=,故选C.【点睛】本题考查了三角形中内角和定理及两角和差的正弦公式的应用，属于中档题.解题的关键是对三角恒等式的变形.11．D解析：D 【解析】试题分析：由sinC ＋sin(B －A)＝sin2A再注意到：，所以有，故知△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故选D. 考点：三角恒等变形公式.12．A解析：A 【解析】 【分析】直接利用向量平行的充要条件列方程求解即可. 【详解】由//a b 可得到sin 34sin 3cos 0tan cos 4ααααα-=⇒==. 故选A 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.13．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 令7πα=，则7n n πα=，当1≤n≤14时，画出角序列n α终边如图，其终边两两关于x 轴对称，故有均为正数，而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k 时，Sn>0，而，其中k=1,2,…,7，所以在中有14个为0，其余都是正数，即正数共有100－14＝86个，故选C.14．B解析：B 【解析】 ∵21,33AD AC BP BD =∴=121()393AD AB AC AB -=- ∴2239AP AB BP AB AC =+=+ 又AP AB AC λμ=+，∴22,,339λλμμ=== 故选B.15．D解析：D 【解析】 【分析】根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，可得222221cos sin cos cos sin 2cos sin cos 2cos sin a a a a a a a a a a++=+=+221tan 1321tan 135a a ++===++，故选D ．【点睛】 本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题16．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件解析：34-【解析】试题分析：因为(,)2πθπ∈，所以3(,)424πππθ-∈，所以4sin()45πθ-=，所以4tan()43πθ-=，即tan tan4431tan tan 4πθπθ-=+，解得tan 7θ=-，所以tan()4πθ+＝tan tan71341741tan tan 4πθπθ+-+==-+-． 考点：1、同角三角形函数间的基本关系；2、两角和与差的正切公式．【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数，通常将结论角利用条件角来表示，利用同角三角函数基本关系化为相关角的三角函数后，再利用两角和与差的三角函数公式可求解．17．【解析】【分析】先利用两角和与差的正弦余弦公式将函数的解析式展开合并同类项后利用辅助角公式进行化简即可得出函数的最大值【详解】其中因此函数的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值解题的关键就. 【解析】 【分析】先利用两角和与差的正弦、余弦公式将函数()y f x =的解析式展开，合并同类项后利用辅助角公式进行化简，即可得出函数()y f x =的最大值. 【详解】()1111sin cos sin cos cos 53352222f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()x x x ϕ==+，其中tan ϕ==，因此，函数()y f x =，.【点睛】本题考查三角函数的最值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式进行化简，同时也考查了三角函数的基本性质，考查计算能力和转化思想，属于中等题.18．【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示求出参数再依据投影的概念求出结果即可【详解】∵∴又∵与共线∴∴∴∴在方向上的投影为【点睛】本题主要考查共线向量的坐标表示以及向量投影的概念注意投影是个数量解析：【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示求出参数λ，再依据投影的概念求出结果即可． 【详解】∵()()123a b λ==，，，∴()()21222336a b λλ-=-⨯⋅-⨯=--，. 又∵2a b -与c 共线，∴36λ-=-，∴3λ=，∴()13a =，， ∴a 在c 方向上的投影为22a c c⋅=.【点睛】本题主要考查共线向量的坐标表示以及向量投影的概念，注意投影是个数量．19．【解析】【分析】根据题干得到按照两角和与差公式得到结果【详解】已知那么故答案为【点睛】这个题目考查了给值求值的问题常见的解题方式有：用已知角表示未知角再由两角和与差的公式得到结果 解析：1124【解析】 【分析】根据题干得到an α=()tan αββ+-，按照两角和与差公式得到结果. 【详解】 已知()4tan 5αβ+=,1tan 4β=, 那么tan α=()tan αββ+-()()tan tan 111tan tan 24αββαββ+-==++． 故答案为1124. 【点睛】这个题目考查了给值求值的问题，常见的解题方式有：用已知角表示未知角，再由两角和与差的公式得到结果.20．【解析】分析：先根据向量垂直得再根据两角差正切公式求解详解：因为所以因此点睛：向量平行：向量垂直：向量加减：解析：13【解析】分析：先根据向量垂直得sin 2cos 0θθ-= ，再根据两角差正切公式求解.详解：因为m n ⊥ ，所以=0m n ⋅,sin 2cos 0tan 2,θθθ-==，因此tan 1211tan().41tan 123πθθθ---===++点睛：向量平行：1221//a y b x y x ⇒=，向量垂直：121200a b x x y y ⋅=⇒+=，向量加减： 1212(,).a b x x y y ±=±±21．【解析】依题设由∥得解得解析：34-. 【解析】依题设，2(7,22),3(7,16)m n m n λλ-=-+=-+，由(2)m n -∥(3)m n +得，7(16)7(22)0λλ++-=，解得34λ=-. 22．【解析】分析：由点在直线上将P 点的坐标代入直线方程利用同角三角函数间的基本关系求出的值详解：因为点在直线上所以即可以求得故答案是点睛：该题考查的是有关点在直线上的条件是点的坐标满足直线的方程再者就是解析：3- 【解析】分析：由点(3cos ,sin )P θθ在直线0x y +=上，将P 点的坐标代入直线方程，利用同角三角函数间的基本关系求出tan θ的值.详解：因为点(3cos ,sin )P θθ在直线0x y +=上， 所以3cos sin 0θθ+=，即sin 3cos θθ=-， 可以求得sin tan 3cos θθθ==-，故答案是3-. 点睛：该题考查的是有关点在直线上的条件是点的坐标满足直线的方程，再者就是同角三角函数关系式中的商关系，注意公式的正确使用.23．【解析】取中点中点由题意中又所以故答案为【解析】取BC 中点,E DC 中点F ，由题意,AE BC BF CD ⊥⊥，cos BDC sin DBF ∠=∠,ABE ∆中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1cos 4DBC ∴∠=-，又21cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，所以cos BDC ∠=，故答案为4. 24．【解析】即单调增区间是【点睛】函数的性质(1)(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间;解析：()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】πππ3π2sin(2)2π22π()4242y x k x k k =--∴+≤-≤+∈Z3π7πππ()88k x k k +≤≤+∈Z ，即单调增区间是()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质(1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω=(3)由 ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴 (4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间; 25．3【解析】【分析】由题意首先展开三角函数式然后结合同角三角函数基本关系转化为的式子最后求解三角函数式的值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查三角函数式的化简求值问题三角函数齐次式的计算同角三解析：3 【解析】 【分析】由题意首先展开三角函数式，然后结合同角三角函数基本关系转化为tan α的式子，最后求解三角函数式的值即可. 【详解】由题意可得：22222(sin cos )sin 2sin cos cos cos 2cos sin ααααααααα+++=- 22tan 2tan 11tan ααα++=-1114114++=-3=. 【点睛】本题主要考查三角函数式的化简求值问题，三角函数齐次式的计算，同角三角函数基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题 26．（1）12-；（2）52b c =⎧⎨=⎩【解析】【试题分析】（1）利用三角形的面积公式化简题目所给等式可求得A 的大小，进而求得cos A 的值.（2）结合（1）用A 的余弦定理，化简得出10bc =，结合3b c -=可求出,b c 点的值.【试题解析】 （1）由1sin 2S bc A =有sin 3cos 0bc A bc A +=，得tan 3A =-， 由0A π<<可得23A π=，故21cos cos32A π==-． （2）由余弦定理有：22222cos3a b c bc π=+-，得2239b c bc ++=，即()2339b c bc -+=，可得10bc =，由510b c bc -=⎧⎨=⎩，解得：52b c =⎧⎨=⎩． 27．（1）f (x )max =1，．（2）a =1或a =2【解析】 【分析】 【详解】解：f (x )=cosx −(cosxcos π3+sinxsin π3)=12cosx −√32sinx =cos(x +π3)，则f (x )max =1， 此时x 的取值集合为，即．（2）f (B )=cos(B +π3)=0，得B =π6，由余弦定理，b 2=a 2+c 2−2accosB ，得12=a 2+(√3)2−2√3acos π6，即，得a =1或a =2．28．（1）()π5ππ,π1212k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）5312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】 化简()f x 解析式.（1）根据三角函数单调区间的求法，求得函数()f x 的单调增区间；（2）根据三角函数值域的求法，求得函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 【详解】 依题意()()ππsin 2cos cos 2sin 1cos 266f x x x x =--+32cos 212x x =--π213x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（1）由πππ2π22π232k x k -+≤-≤+，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，所以()f x 的单调增区间为()π5ππ,π1212k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由于π02x ≤≤，所以ππ2π2333x -≤-≤π521132x ⎛⎫⎡⎤--∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为512⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查三角函数值域的求法，考查运算求解能力，属于基础题.29．（1）6C π=；（2）【解析】 【分析】（1）根据()sin ()(sin sin )0m n a A b c B C ⋅=-++-=和正弦定理余弦定理求得6C π=.(2)先利用正弦定理求出R=1,b -化成2sin()6A π-，再利用三角函数的图像和性质求解. 【详解】（1）因为m n ⊥，所以()sin ()(sin sin )0m n a A b c B C ⋅=-++-=，由正弦定理化角为边可得2220a b c +-=，即222a b c +-=，由余弦定理可得cos C =，又0C π<<，所以6C π=．（2）由（1）可得56A B π+=，设ABC 的外接圆的半径为R ， 因为6C π=，1c =，所以122sin sin30c R C ===︒，则52sin 2sin 2sin )2sin()]6b R A R B R A B R A A π-=-=-=--= 2sin()2sin()66R A A ππ-=-，因为ABC 为锐角三角形，所以025062A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即32A ππ<<，所以663A πππ<-<，所以1sin()262A π<-<，所以12sin()6A π<-<b -的取值范围为．【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数sin()y A wx h φ=++的最值.30．（1）=2=6πωϕ-，；（2）最小值为【解析】 【分析】（1）由题意易得周期为π，可得ω，再由对称轴可得ϕ值；（2）利用（1）可得解析式，由x 范围结合三角函数的性质可得最值． 【详解】 （1）函数()f x 图象上相邻两个最高点的距离为π，()f x ∴的最小正周期T π=，22Tπω∴==， 又()f x 图象关于直线3x π=对称，232k ππϕπ∴⨯+=+，k Z ∈，22ππϕ-<，6πϕ∴=-．（2）由（1）知())6f x x π=-，[0x ∈，]2π，2[66x ππ∴-∈-，5]6π， 1sin(2)[62x π∴-∈-，1]，()(0)min f x f ∴==()()3max f x f π==【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的对称性和最值，属中档题．。

1．(1,2)【解析】分析：直接利用交集的定义求.详解：由题得={}∩{}=（1,2），故答案为：（1,2）.点睛：本题主要考查交集的定义，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.2．【解析】分析：先化简复数z＝,再确定复数z的实部.详解：由题得z＝=，所以复数z的实部为，故答案为：.点睛：(1)本题主要考查复数的运算和复数的实部的概念，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本运算能力.(2) 复数的实部是a,虚部为b，不是bi.3．32【解析】试题分析：设高一年级抽取x名学生，所以3248010xx=∴=，高一年级抽取24名学生考点：分层抽样故答案为：9．点睛：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．【解析】分析：直接解不等式组得函数的定义域.详解：由题得，所以函数的定义域是.故答案为：点睛：（1）本题主要考查函数定义域的求法和对数不等式的解法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)考虑函数的定义域时，要考虑全面，不能遗漏，本题不要漏掉了6．12【解析】试题分析：求出从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议的基本事件，甲被选中的基本事件，即可求出甲被选中的概率．考点：计数原理的应用．7．27【解析】由是等差数列.8．【解析】试题分析：考点：三角函数周期【方法点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.9．【解析】右准线方程为，渐近线方程为，设，则，，，则．点睛:（1）已知双曲线方程求渐近线：；（2）已知渐近线可设双曲线方程为；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点．10．【解析】设正方体棱长为，则正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为，圆柱侧面积11．【解析】由题意可知，故答案为.12．-2【解析】试题分析：因为函数是定义在上周期为2的奇函数，所以，所以，即，，所以.考点：函数的奇偶性和周期性.14．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则，解得，故m的取值范围是.【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.15．（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）已知的向量的数量积，要证明的是角的关系，故我们首先运用数量积定义把已知转化为三角形的边角关系，由已知可得，即，考虑到求证式只是角的关系，因此我们再应用正弦定理把式子中边的关系转化为角的关系，即有，而这时两边同除以即得待证式（要说明均不为零）.（2）要求解的大小，一般是求出这个角的某个三角函数值，本题应该求，因为（1）中有可利用，思路是.试题解析：(1)∵,∴,即. 2分由正弦定理,得,∴. 4分又∵,∴.∴即. 6分(2)∵,∴.∴.8分∴,即.∴. 10分由(1) ,得,解得. 12分∵,∴.∴. 14分考点：（1）向量的数量积的定义与正弦定理；（2）已知三角函数值，求角.16．（1）见解析；（2）见解析．【解析】分析：（1）先证明，再证明FG//平面PBD. （2）先证明平面，再证明BD⊥FG．（II）因为菱形ABCD，所以，又PA⊥面ABCD，平面，所以，因为平面，平面，且，平面，平面，∴BD⊥FG .点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象转化能力.(2)证明空间位置关系，一般有几何法和向量法，本题利用几何法比较方便.17．（1）；（2）时，征地面积最大．【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用梯形面积公式建立函数关系求解；(2)依据题设运用导数与函数的单调性的关系进行探求.试题解析：（1）连接，可得，，，，所以，．故时，征地面积最大．考点：梯形面积公式、导数与函数单调性的关系等有关知识的综合运用．18．（1）；（2）．【解析】分析：（1）根据题意得到a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的方程.(2)先考虑直线l的斜率不存在时的值，再考虑当直线l的斜率存在时，的范围，最后综合得到的范围.详解：（1）由题得所以椭圆的方程为．（2）①当直线l的斜率不存在时，，所以．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，消去y整理得，由，可得，且，所以，所以，综上．点睛：（1）本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和最值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力基本计算能力.(2)设直线的方程时，如果涉及斜率，一定要分斜率存在和不存在两种情况讨论，所以本题要先讨论当直线l的斜率不存在时的值. 19．（1）；（2）；（3）存在，m=2．【解析】分析：（1）先根据已知条件列方程求出b1=﹣2，d=3,得到等差数列{b n}的通项，再求出，即得等比数列{a n}的通项.(2)利用错位相减法求T n.(3)对m分类讨论，探究是否存在正整数m，使得c m·c m+1·c m+2+8=3（c m+c m+1+c m+2）．（2）T n=a1b1+a2b2+…+a n b n=﹣2×1+1×2+…+（3n﹣5）2n﹣1，①∴2T n=﹣2×2+1×22+…+（3n﹣5）2n，②①﹣①得﹣T n=﹣2+3（2+22+…+2n﹣1）﹣（3n﹣5）2n=（8﹣3n）2n﹣8，∴T n=（3n﹣8）2n+8，n∈N*（3）∵设，当m=1时，c1•c2•c3+8=1×1×4+8=12，3（c1+c2+c3）=18，不相等，当m=2时，c2•c3•c4+8=1×4×7+8=36，3（c2+c3+c4）=36，成立，当m≥3且为奇数时，c m，c m+2为偶数，c m+1为奇数，∴c m•c m+1•c m+2+8为偶数，3（c m+c m+1+c m+2）为奇数，不成立，当m≥4且为偶数时，若c m•c m+1•c m+2+8=3（c m+c m+1+c m+2），则（3m﹣5）•2m•（3m+1）+8=3（3m﹣5+2m+3m+1），即（9m2﹣12m﹣8）2m=18m﹣20，（*）∵（9m2﹣12m﹣8）2m≥（9m2﹣12m﹣8）24＞18m﹣20，∴（*）不成立，综上所述m=2．点睛：（1）本题主要考查等差等比数列的通项的求法，考查错位相减法求和，考查数列的综合应用，意在考查对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力基本运算能力.(2)本题的难点是第3问，关键是对m分m=1,m=2,m≥3且为奇数, m≥4且为偶数四种情况讨论.20．（1）极大值，无极小值；（2）(0，1)∪(1，＋∞)；（3）见解析．（3）由斜率计算公式得，而，将看成一个整体构造函数（），分析其最大值即可.解：（1），，当时，，在上单调递增，无极值；当时，，在上单调递增；，在上单调递减，函数有极大值，无极小值．（2）由（1）可知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；当a＞0时，函数有极大值，令（x＞0），，，，在(0，1)上单调递减；，，在(1，＋∞)上单调递增，函数有最小值．令()，，在上单调递减，，则，所以在上有零点，又在上单调递减，所以在上有惟一零点，从而有两个零点．②当时，，，易证，可得，所以在上有零点，又在上单调递减，所以在上有惟一零点，从而有两个零点．综上，的范围是．（3）证明：，，又，，点睛：考查导数在函数的应用、零点定理、导数证明不等式，对复杂函数的正确求导和灵活转化为熟悉的语言理解是解导数难题的关键，属于难题.21．．【解析】分析：由列方程求出a和b的值，求得矩阵A,|A|及,由即可求得.详解：依题意得所以所以A＝．因为|A|＝＝1×(－1)－0×2＝－1，所以＝．点睛：本题主要考查矩阵的变换和逆矩阵的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.22．．【解析】分析：先求圆心C到直线l的距离d＝，再解不等式即得m的范围.解得2－2＜m＜2＋2．点睛：(1)本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)判断直线与圆的位置关系常用的是几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系：①②③23．（1）分布列见解析；（2）期望为．【解析】分析：（1）先写出X的所有可能取值，再求出每一个值对应的概率，再写出X的分布列.(2)直接利用数学期望的公式求E(X)．详解：（1）耗用子弹数X的所有可能取值为1，2，3，4．当X＝1时，表示射击一次，命中目标，则P(X＝1)＝；当X＝2时，表示射击两次，第一次未中，第二次射中目标，则P(X＝2)＝(1－)×＝；当X＝3时，表示射击三次，第一次、第二次均未击中，第三次击中，则P(X＝3)＝(1－)×(1－)×＝；当X＝4时，表示射击四次，前三次均未击中，第四次击中或四次均未击中，则P(X＝4)＝(1－)×(1－)×(1－)×＋(1－)×(1－)×(1－)×(1－)＝．所以X的分布列为X1234P(2)由题得E(X)＝1×＋2×＋3×+4×＝．点睛：（1）本题主要考查随机变量的分布列和数学期望，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的关键是计算概率，本题主要涉及独立事件的概率，一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即．24．（1）；（2）．【解析】分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线DF与BE所成角的余弦值.(2)利用向量法求二面角A－DF－B的大小.详解：⑴以{ }为正交基底，建立如图空间直角坐标系C－xyz，则D(，0，0)，F(，，1)，E(0，0，1)，B(0，，0)，C(0，0，0)，所以＝(0，，1)，＝(0，–，1)，从而cos<， >＝．所以直线DF与BE所成角的余弦值为．(2)平面ADF的法向量为＝(，0，0).设面BDF的法向量为 = (x，y，z)．又＝(，0，1)．由＝0，＝0，得y＋z＝0， x＋z＝0取x＝1，则y＝1，z＝–，所以= (1，1，－)，所以cos<>＝．又因为<>∈[0， ]，所以<>＝．所以二面角A – DF – B的大小为．点睛：（1）本题主要考查异面直线所成角的求法，考查二面角的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力转化能力.(2)求二面角常用的有两种方法，方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）.。

江苏省南京市金陵中学2017-2018学年高二下学期期期末考试英语试题本试卷满分120分第一部分英语知识运用（共三节，满分50分）第一节听力理解（共20题，每小题0.5分，满分10分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Why is Ann so upset?A. She failed one of her exams.B. She is worrying about other lesson.C. She has no time to do her math homework.2. What type of food does the woman cat?A. Junk food.B. Healthy food.C. Delivered food.3. What will the man probably do to stay warm?A. Use a blanket.B. Turn on the heater.C. Drink some hot chocolate.4. What are the speakers mainly talking about?A. The man’s career.B. The man’s travel plan.C. The man’s plan after graduating.5. What are the speakers’ opinions about the painting?A. It’s simple.B. It’s col orful.C. It’s complex.听下面5段对话。

每段对话后有几个小题，从题中所给的A、B、C、三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置，听每段对话前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟：听完后，各小题给出5秒钟的作答时间。

江苏省南京市仙林中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知随机变量服从正态分布,若,则（）A．0.477 B. 0.628 C. 0.954 D. 0.977参考答案：C2. 已知直线m，n和平面α，下列推理正确的是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A，直线m垂直平面α内一条直线，不能得到直线m垂直平面α；B，m⊥n，n⊥α?m∥α或m?α；C，m⊥α?m垂直α内及与α平行的所有直线；D，若m∥α，n?α，?m∥n或m、n异面．【解答】解：对于A，直线m垂直平面α内一条直线，不能得到直线m垂直平面α，故错；对于B，m⊥n，n⊥α?m∥α或m?α，故错；对于C，m⊥α?m垂直α内及与α平行的所有直线，故正确；对于D，若m∥α，n?α，?m∥n或m、n异面，故错．故选：C．3. 如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A．3 B．2 C．D．参考答案：B【考点】圆锥曲线的共同特征．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分，可得椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，利用双曲线与椭圆有公共焦点，即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值．【解答】解：∵M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍∵双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2故选B．【点评】本题考查椭圆、双曲线的几何性质，解题的关键是确定椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍．4. 已知等差数列{a n}中，，公差，则等于( )A．8 B．11 C．14 D．5参考答案：B5. 在独立性检验中，统计量有两个临界值：3.841和6.635；当＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当 3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算的=20.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间（）A．有95%的把握认为两者有关B．约有95%的打鼾者患心脏病C．有99%的把握认为两者有关D．约有99%的打鼾者患心脏病参考答案：C略6. 一个等差数列的前n项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和为( )A．－24 B．84 C．72 D．36参考答案：D略7. 下列说法正确的是（）A．若两个平面有三个公共点，则它们一定重合；B．一个棱锥截去一个小棱锥后，剩下部分一定是一个棱台；C．若一条直线a有无数个点不在平面内，则直线a//平面;D.一个圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台。

2017—2018学年度第二学期期末考试高二数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U A B =U ，则集合）（B A C U I 中的元素共有（ ） A .3个 B. 4个C.5个D.6个2. 复数3223ii+=-( ) A.1 B.1-C.iD.i -3．已知)1,1(),2,(a n a m -=-=，且n m //，则a=（ ） A ．﹣1B ．2或﹣1C ．2D ．﹣24. 在区间[]1,1-上随机选取一个实数x ，则事件"210"x -< 的概率为（ ）A ．12B ．34C ．23D ．145. 已知tan a =4,cot β=13,则tan(a+β)=（ ）A.711B.711-C. 713D.713-6．在6)2(y x -的展开式中，含24y x 的项的系数是（ ） A ．15 B ．-15C ．60D ． -607.执行如图所示的程序框图，若输入的a 为2，则输出 的a 值是（ ）A. 2B. 1C.21D.1-8. 设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,（ ） A.150°B.120°C.60°D.30°9. 甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ） A.150种B.180种C.300种D.345种10．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题,:0R x p ∈∃使得0120≤-x ，则,:R x p ∈∀⌝都有012>-x ； （2）已知),2(~2σN X ，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为32ˆ-=x y； （4）“1≥x ”是“21≥+xx ”的充分不必要条件. A ．1B ．2C ．3D ．411.正方体1111ABCD A B C D -中，若1D AC △外接圆半径为26，则该正方体外接球的表面积为( ) A.2πB.8πC.12πD.16π12.已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，若11(),()a f b ef e e e==--，()1c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．a c b <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。