高中数学第一章导数及其应用1.1导数课堂探究新人教B版选修2-2资料

第一章导数及其应用本章综述本章内容共分为四大节.第一大节是导数.第二大节是导数的运算,主要介绍了基本初等函数的导数公式,导数的四则运算法则.第三大节是导数的应用,主要是利用导数判断函数的单调性,求函数的极值和最值问题,利用函数解实际问题和物理问题.第四大节是定积分和微积分的基本定理,主要介绍利用定积分求曲线围成的平面图形的面积.导数是微积分的核心概念之一,它是研究函数的单调性,函数的极值与最大,最小值,曲线的凹凸性,函数图形的描绘,曲线的曲率,方程的近似解等问题的最一般,最有效的工具;定积分是微积分的另一个核心概念,它在几何学上的应用有:计算平面图形的面积,体积以及平面曲线的弧长等;在物理学上它可计算变力沿直线所做的功,水压力,引力等一些重要的物理量.实际上,微积分在物理、化学、生物、天文、地理以及经济等各种科学领域中都有广泛而重要的作用,它是大学数学课程中极其重要又非常基础的一部分内容.导数来源于实践,又应用于实践.如现实生活中的瞬时速度,膨胀率,增长率问题等等,都充分反映了导数的思想.利用导数还可以解决现实生活中的最优化问题,由于其应用广泛,所以其地位在中学数学中极其重要.因此,导数及其应用已成为近几年高考的热点.导数概念的核心是变化率,学习导数应从物理和几何两方面去理解导数的意义;必须熟记常数与基本初等函数的导数;正确地运用和、差、积、商及复合函数的求导法则,就可以求出一切初等函数的导数;学会利用导数解决速度、加速度、函数的单调性、极值、最值等问题的解法,并会利用其解决实际问题.学习导数时要借助于实例,沿着从平均速度、瞬时速度到函数瞬时变化率的线索,认识和理解导数的概念;通过例题,体会利用导数的定义求导数的方法;借助于图形去认识和理解导数的几何意义,以及用导数的几何意义去解决问题;结合图形去认识和理解导数在研究函数性质中的应用;借助图形了解定积分的思想方法等.学习本章时要注意导数与导函数的区别,以及圆的切线、圆锥曲线与函数切线的区别.同时,还应明确平均变化率与瞬时变化率的区别与联系.。

导数的运算
．常数函数与幂函数的导数．导数公式表及数学软件的应用
．能根据定义求函数＝，＝，＝，＝，＝的导数．(难点)
．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)
[基础·初探]
教材整理几个常用函数的导数
阅读教材～，完成下列问题．
【答案】
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()若＝＋，则′＝＋.( )
()若＝，则′＝.( )
()若＝，则′＝.( )
【解析】()由＝＋，∴′＝.
()由＝，∴′＝－.
()由＝，∴′＝.
【答案】()×()×()√
教材整理基本初等函数的导数公式
阅读教材，完成下列问题．
－
．给出下列命题：
①＝，则′＝；
②＝，则′＝－；
③＝，则′＝；
④＝，则′＝).
其中正确命题的个数为( )
．．
．．
【解析】对于①，′＝，故①错；显然②③④正确，故选. 【答案】
．若函数()＝，则′()等于( )
．。

1.1 导数1．理解函数在某点的平均变化率的概念，并会求此平均变化率． 2．理解运动物体在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)．3．理解导数的几何意义，并会求曲线在某点处的切线方程．1．函数的平均变化率一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商________________称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率．Δx ，Δy 的值可正、可负，但Δx 的值不能为0，Δy 的值可以为0.若函数f (x )为常数函数，则Δy ＝0.【做一做1－1】已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )． A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44【做一做1－2】在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数：①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )．A ．④ B．③ C．② D．① 2．瞬时变化率与导数(1)设函数y ＝f (x )在x 0及其附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变量为Δx 时，函数值相应地改变Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于一个常数l ，那么常数l 称为函数f (x )在点x 0的__________．(2)“当Δx 趋近于0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于常数l ”可以用符号“→”记作“当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx →l ”，或记作“0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝l ”，符号“→”读作“趋近于”．函数y ＝f (x )在点x 0的瞬时变化率，通常称为f (x )在点x 0处的______，并记作f′(x 0)．这时又称f (x )在点x 0处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx →________”或“0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝________”．(3)如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )______．这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f′(x )．于是，在区间(a ，b )内，f′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的______，记为f′(x )或y′(或yx′)．导函数通常简称为______．(1)Δx 是自变量x 在x 0处的改变量，Δx ≠0，而Δy 是函数值的改变量，可以是零． (2)对于导函数的定义的几种形式表示如下：y′＝0lim x ∆→f (x ＋Δx )－f (x )Δx ；y′＝0limx ∆→f (x )－f (x ＋Δx )－Δx ；y′＝0lim x ∆→f (x －Δx )－f (x )－Δx ；y′＝0lim x ∆→f (x )－f (x 0)x －x 0.【做一做2－1】若质点按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( )． A ．6 B ．18 C ．54 D ．81【做一做2－2】已知函数f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx( )．A ．与Δx ，x 0都有关B ．仅与x 0有关而与Δx 无关C ．仅与Δx 有关而与x 0无关D ．与x 0，Δx 均无关 3．导数的几何意义设函数y =f (x )的图象如图所示．AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0+Δx ，f (x 0+Δx ))的一条割线．由此割线的斜率是()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率趋近于在点A的切线AD 的斜率，即0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝切线AD 的斜率．由导数意义可知，曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))的切线的斜率等于________．【做一做3－1】曲线y ＝－3x 2＋2在点(0,2)处的切线的斜率为( )． A ．－6 B ．6 C ．0 D ．不存在 【做一做3－2】下面说法正确的是( )．A ．若f′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f′(x 0)必存在C ．若f′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f′(x 0)有可能存在1．“函数f (x )在点x ＝x 0处的导数”“导函数”“导数”三者有何关系？ 剖析：(1)函数在点x ＝x 0处的导数f′(x 0)是一个数值，不是变量． (2)导函数也简称导数，所以(3)函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数f′(x 0)就是导函数f′(x )在点x ＝x 0处的函数值．所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算导函数在这点的函数值．2．曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？剖析：回答是否定的．这就是我们为什么要用割线的极值位置来定义切线，而不说与曲线只有一个公共点的直线叫切线，其理由如下：在初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的定义推广为一般曲线的切线的定义：直线和曲线有唯一公共点时，该直线叫做曲线在该点的切线，显然这种推广是不妥当的．观察图中的曲线C ，直线l 1虽然与曲线C 有唯一的公共点M ，但我们不能说直线l 1与曲线C 相切；而直线l 2尽管与曲线C 有不止一个公共点，我们还是说直线l 2是曲线C 在点N 处的切线．因此，对于一般的曲线，必须重新寻求曲线切线的定义．一般地，过曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)作曲线的割线PQ ，当点Q 沿着曲线无限趋近于点P 时，若割线PQ 趋近于某一确定的位置，则称这一确定位置的直线为曲线y ＝f (x )在点P 处的切线．在这里，要注意，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线：(1)与点P 的位置有关；(2)要依据割线PQ 是否存在极限位置来判定与求解．如有极限，则在此点处有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线．题型一 求瞬时速度【例题1】已知物体的运动方程如下：()223 1 (1<3),233 (3)t t s t t ⎧+≤⎪=⎨+-≥⎪⎩求此物体在t ＝1和t ＝3时的瞬时速度．(位移的单位：m ，时间的单位：s )分析：先求平均变化率，即平均速度，再取极限(注意定义域的限制)．反思：质点运动的瞬时速度不同于质点在某段时间内运动的平均速度． 题型二 导数定义的应用【例题2】过曲线y ＝f (x )＝x 3上两点P (1,1)和Q (1＋Δx ,1＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．分析：割线PQ 的斜率即为函数f (x )在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率ΔyΔx.反思：一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线上的定点，点Q (x 0＋Δx ，y 0＋Δy )是C 上与点P 邻近的点，有y 0＝f (x 0)，y 0＋Δy ＝f (x 0＋Δx )， Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)， 割线PQ 的斜率为tan β＝Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，曲线C 在点P 处的斜率为tan α＝0limx yx ∆→∆∆＝000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆.题型三 求切线方程【例题3】已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)问中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？分析：求切线方程可先求出切线的斜率，再应用点斜式写出切线方程；判断直线与曲线的交点个数，可联立方程组求其解的个数．反思：(1)求曲线的切线的斜率的步骤：①求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；②求割线的斜率tan β＝ΔyΔx；③求极限0limx ∆→yx ∆∆＝0lim x ∆→00()()f x x f x x+∆-∆；④若极限存在，则切线的斜率0lim x yk x∆→∆=∆.(2)由导数的几何意义得出求切线方程的步骤： ①先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f′(x 0)； ②根据点斜式得切线方程为y －y 0＝f′(x 0)(x －x 0)． 题型四 易错辨析易错点：在求曲线过某点的切线方程时，不注意判断该点是否在曲线上，而直接把点当成在曲线上求切线方程，导致方程求错，避免错误的方法是看到此类题目先判断该点是否在曲线上，然后根据不同情况求解．【例题4】试求过点M (1,1)且与曲线y ＝x 3＋1相切的直线方程．错解：Δy Δx ＝(x ＋Δx )3＋1－x 3－1Δx ＝3x (Δx )2＋3x 2Δx ＋(Δx )3Δx ＝3x Δx ＋3x 2＋(Δx )2，0lim x ∆→Δy Δx＝3x 2，因此y ′＝3x 2，所以切线在x ＝1处的斜率k ＝3.故切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.1一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在时间[1,1＋Δt ]内的平均速度为( )． A ．3Δt ＋6 B ．－3Δt ＋6 C ．3Δt －6 D ．－3Δt －62设函数f (x )＝ax 3＋2，若f′(－1)＝3，则a ＝( )．A ．－1B ．12C ．1D ．133设f(x)为可导函数且满足0(1)(12)lim=12x f f x x→---,则过曲线y ＝f (x )上的点(1，f (1))的切线的斜率为( )．A ．2B ．－1C ．1D ．－24一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s (m)与时间t (s)之间的函数关系为s ＝18t 2，则t ＝2 s 时，此木块在水平方向的瞬时速度为______ m/s.5已知函数f (x )＝x －1x，则它与x 轴交点处的切线方程为____________________．答案：基础知识·梳理【做一做1－1】B ∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝0.41.【做一做1－2】B 根据平均变化率的定义可求得四个函数的平均变化率依次为1,2.3,3.99，－1013.2．(1)瞬时变化率 (2)导数 f′(x 0) f′(x 0) (3)可导 导函数 导数【做一做2－1】B 瞬时速度v ＝lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0s 3＋Δt －s 3Δt ＝lim Δt →0(3Δt ＋18)＝18.【做一做2－2】B 由导数的定义，对给定的可导函数f (x )有limx ∆→∞f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝f′(x 0)．显然，f′(x 0)仅与x 0有关而与Δx 无关．3．f′(x 0)【做一做3－1】C f′(0)＝0lim x ∆→∞－30＋Δx2＋2－0＋2Δx＝0lim x ∆→∞(－3Δx )＝0.【做一做3－2】C 函数f (x )在一点x ＝x 0处的导数f′(x 0)的几何意义是y ＝f (x )在这一点处切线的斜率，但f′(x 0)不存在，并不能说明这一点处不存在切线，而是说明在这一点处的切线的斜率不存在，即若在这一点处的切线的斜率不存在，曲线在该点处也可能有切线．所以函数f (x )在某点可导，是相应曲线上过该点存在切线的充分不必要条件．典型例题·领悟【例题1】解：当t ＝1时，s ＝3t 2＋1，v ＝0limt ∆→∞Δs Δt ＝0limt ∆→∞s t ＋Δt －s tΔt＝0limt ∆→∞31＋Δt2＋1－3×12－1Δt＝0limt ∆→∞6Δt ＋3Δt2Δt ＝6(m/s)．当t ＝3时，s ＝2＋3(t －3)2，v ＝0lim t ∆→∞s t ＋Δt －s t Δt ＝0limt ∆→∞2＋33＋Δt －32－2－33－32Δt＝0limt ∆→∞3Δt 2Δt＝0lim t ∆→∞3Δt ＝0 (m/s)．∴物体在t ＝1和t ＝3时的瞬时速度分别为6 m/s 和0 m/s.【例题2】解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )3－1＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3. ∴割线PQ 的斜率 Δy Δx＝Δx3＋3Δx 2＋3ΔxΔx＝(Δx )2＋3Δx ＋3.当Δx ＝0.1时，设割线PQ 的斜率为k ， 则k ＝Δy Δx ＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31.【例题3】解：(1)将x ＝1代入曲线C 的方程， 得y ＝1，所以切点为P (1,1)． 因为y′＝0lim x ∆→∞ΔyΔx ＝0limx ∆→∞x ＋Δx 3－x 3Δx ＝0limx ∆→∞3x 2Δx ＋3x Δx2＋Δx3Δx ＝lim x ∆→∞[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝3x 2，所以1'|3x y ==.所以过点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝3x －1，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x 1＝x 2＝1，x 3＝－2.从而求得公共点为P (1,1)或P (－2，－8)，说明切线与曲线C有除切点外的公共点．【例题4】错因分析：错解中将点M (1,1)当成了曲线y ＝x 3＋1上的点．因此在求过某点的切线时，一定要先判断点是否在曲线上，再根据不同情况求解．正解：由错解可知y′＝3x 2，因为点M (1,1)不在曲线y ＝x 2＋1上，所以设过点M (1,1)的切线与y ＝x 3＋1相切于点P (x 0，x 30＋1)，依据导数的几何意义，函数在点P 处的切线的斜率为k ＝3x 2①，过点M (1,1)的切线的斜率k ＝x 30＋1－1x 0－1②，由①＝②得，3x 20＝x 30x 0－1，解之得x 0＝0或x 0＝32，所以k ＝0或k ＝274，因此曲线y ＝x 3＋1过点M (1,1)的切线方程有两条，分别为y －1＝274(x －1)和y ＝1，即27x －4y －23＝0和y ＝1.随堂练习·巩固 1．D v ＝5－31＋Δt2－5－3×12Δt＝－3Δt －6.2．C ∵f′(－1)＝0lim x ∆→∞f －1＋Δx －f －1Δx ＝0lim x ∆→∞[a (Δx )2－3a Δx ＋3a ]＝3a ＝3，∴a ＝1.3．Blimx ∆→∞f 1－f 1－2x 2x＝limx ∆→∞f 1－2x －f 1－2x＝20limx -→f [1＋－2x ]－f 1－2x ＝f′(1)＝－1.4．12 t ＝2 s 时瞬时速度为lim Δt →0182＋Δt 2－18×22Δt ＝lim Δt →018(4＋Δt )＝12. 5．2x －y ＋2＝0和2x －y －2＝0 令x －1x＝0，得x ＝±1，∴曲线与x 轴的交点坐标为(±1,0)，又f′(x )＝1＋1x2，∴f′(±1)＝2，∴所求切线方程为y ＝2(x ±1)，即2x －y ±2＝0.。

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高中数学第一章导数及其应用 1.1 导数课堂探究新人教B版选修2-2 探究一求函数的平均变化率1．求函数y＝f（x)在区间[x1，x2］上的平均变化率的步骤是：（1）求函数值的增量：Δy＝f（x2）－f（x1)；（2）求自变量的增量：Δx＝x2－x1；（3）作商即得平均变化率：错误!＝错误!。

2．运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数s（t)在区间[t0，t1］上的平均变化率，因此求平均速度的实质也是求函数的平均变化率．【典型例题1】 (1）求函数f(x)＝错误!在区间［－1，0］，[1，3]，［x0,x0＋1]上的平均变化率．(2)若某一物体的运动方程为s＝－2t2，那么该物体在t＝2到t＝3时的平均速度为__________．思路分析：(1)按照平均变化率的定义分三步求解；（2)实质就是求函数s（t)在区间［2,3]上的平均变化率．(1)解：f（x）＝错误!在区间[－1，0］上的平均变化率为：错误!＝错误!＝错误!＝－错误!；f（x）＝1x＋2在区间[1，3]上的平均变化率为:错误!＝错误!＝错误!＝－错误!；f（x）＝错误!在区间［x，x0＋1］上的平均变化率为:错误!＝错误!＝错误!－错误!＝错误!.（2)解析:平均速度为错误!＝错误!＝－10,故该物体在t＝2到t＝3时的平均速度为－10.答案：－10探究二导数定义的应用1．利用导数的定义可以求函数的导函数或函数在某一点处的导数．求导函数时,可按如下步骤进行：（1）求函数的增量Δy＝f（x＋Δx)－f(x)；(2）求平均变化率错误!＝错误!；（3)取极限，得导数f′（x）＝错误!错误!。

第一章 导数及其应用一、知识体系：1．导数的概念如果函数)(x f y = ，则称)(x f 在点0x 处可导，并称此极限值为函数)(x f y =在点0x 处的导数，记为 或 。

（答：满足xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(000lim存在，00),(x x y x f =''）2．函数)(x f y = ，就说)(x f 在区间（b a ,）内可导，其导数也是（b a ,）内的函数，叫做)(x f 的导函数，记作 或 。

（答：在开区间（a,b ）内每一点都可导，y x f ''),(）3．函数=y )(x f 在点0x 处可导是函数)(x f y =在点0x 处连续的 条件。

（答：充分而不必要）4．导数的几何意义：①设函数)(x f y =在点0x 处可导，那么 等于函数所表示曲线的相应点),(00y x M 处的切线斜率。

（答：)(0x f '）②设)(t s s =是位移函数，则 表示物体在0t t =时刻瞬时速度。

（答：)(0t s '）5．几种常见函数的导数：①='c （答：0） ②=')(nx （答：nx n-1）③=')(sin x （答：cosx ）④=')(cos x （答：-sinx ） ⑤=')(xe （答：e x）⑥=')(xa （答：a xlna ）⑦=')(ln x （答：1x ）⑧=')(log x a （答：1x log a e ）6．两个函数的四则运算的导数： 若)(),(x v x u 的导数都存在，则①='±)(v u （答：v u '±'）②='⋅)(v u , =')(cu （答：v u v u '÷'） ③=')(v u （答：2vv u v u '-'） 7．复合函数的导数：设 ，则复合函数))((x f y φ=在点x 处可导，且='x y 。