充要条件具体概念解析

ʏ朱珠充分条件与必要条件是高中数学的重要概念,因其抽象性而成为同学们难以理解的内容㊂下面就这方面的题型进行举例分析㊂一㊁充分条件㊁必要条件㊁充要条件的判断充分条件与必要条件:若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇒/q,则p不是q的充分条件,q不是p的必要条件㊂一般地,如果p⇒q,且q⇒p,就记作p⇔q,则p是q的充分必要条件,简称充要条件㊂概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件㊂判断p是q的什么条件,主要判断p⇒q,及q⇒p这两个命题的正确性,若p⇒q真,则p是q成立的充分条件;若q⇒p 真,则p是q成立的必要条件㊂要否定p与q不能相互推出时,举出一个反例即可㊂例1(1)已知实系数一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0),则下列结论正确的是()㊂①Δ=b2-4a cȡ0是这个方程有实根的充要条件;②Δ=b2-4a c=0是这个方程有实根的充分条件;③Δ=b2-4a c>0是这个方程有实根的必要条件;④Δ=b2-4a c<0是这个方程没有实根的充要条件㊂A.③④B.②③C.①②③D.①②④(2)若p:AɘB=A,q:∁U B⊆∁U A,则p 是q的()㊂A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析:对于(1),利用Δ=b2-4a c判断方程根的情况,当Δ=0时,一元二次方程有两个等根;当Δ>0时,一元二次方程有两个不相等的根;当Δ<0时,一元二次方程没有实数根㊂对于(2),画出V e n n图(如图1),结合图形,可帮助求解㊂图1解:(1)Δȡ0⇔一元二次方程a x2+b x+ c=0(aʂ0)有实根,①正确㊂Δ=0⇒一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0)有实根,②正确㊂Δ>0⇒一元二次方程a x2+b x+c=0 (aʂ0)有实根,但a x2+b x+c=0(aʂ0)有实根⇒/Δ>0,③错误㊂Δ<0⇔一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0)无实根,④正确㊂应选D㊂(2)结合图1可得AɘB=A⇔A⊆B⇔∁U A⊇∁U B,即p是q的充要条件㊂应选C㊂充分条件与必要条件的两种判断方法:直接利用定义判断;集合法,将命题p,q分别看作集合A, B,当A⊆B时,p是q的充分条件,q是p的必要条件,当A=B时,p,q互为充要条件㊂二㊁充分条件㊁必要条件㊁充要条件的应用利用充分条件㊁必要条件求参数的取值范围问题,常利用集合法求解,先化简集合A={x|p(x)}和B={x|q(x)},然后根据p 与q的关系(充分㊁必要㊁充要条件),得出集合A与B的包含关系,进而得到相关不等式组,最后求出参数的取值范围㊂例2已知集合A={x|a<x<a+2}, B={x|x<-1或x>3},且A是B的充分不必要条件,求实数a的取值范围㊂分析:由A是B的充分不必要条件,说0 1知识结构与拓展高一数学2023年9月Copyright©博看网. All Rights Reserved.明集合A 是B 的真子集,即A ⫋B ,由此可得实数a 满足的条件,从而得到实数a 的取值范围㊂解:因为A 是B 的充分不必要条件,所以A ⫋B ㊂又因为A ={x |a <x <a +2},B ={x |x <-1或x >3},所以a +2ɤ-1或a ȡ3,解得a ȡ3或a ɤ-3,所以实数a 的取值范围是{a |a ȡ3或a ɤ-3}㊂充分条件㊁必要条件中的含参数问题,往往是通过集合的包含关系来解答的㊂三㊁充要条件的证明充要条件的证明,可分为充分性和必要性的证明,证明时要注意两种叙述方式的区别:①p 是q 的充要条件,由p ⇒q 是充分性,由q ⇒p 是必要性;②p 的充要条件是q ,由p ⇒q 是必要性,由q ⇒p 是充分性㊂例3 求证:方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等实根的充要条件是0<m <13㊂分析:先找出条件和结论,然后证明充分性和必要性都成立㊂证明:先证充分性(由条件推结论)㊂因为0<m <13,所以方程m x 2-2x +3=0的判别式Δ=4-12m >0,所以方程有两个不相等的实根㊂设方程的两根为x 1,x 2,当0<m <13时,x 1+x 2=2m >0且x 1x 2=3m>0,所以方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根,所以0<m <13⇒方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根㊂再证必要性(由结论推条件)㊂若方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根,则Δ=4-12m >0,x 1x 2=3m>0,所以0<m <13,所以方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根⇒0<m <13㊂综上可得,方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13㊂ 证明p 是q 的充要条件,既要证明命题 p ⇒q为真,又要证明 q ⇒p 为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性㊂证明充要条件,即证明原命题和逆命题都成立㊂要注意 p 是q 的充要条件 与 p 的充要条件是q 这两种说法的差异,要分清哪个是条件,哪个是结论㊂1.求证:关于x 的方程a x 2+b x +c =0有一个根是1的充要条件是a +b +c =0㊂提示:先证明p ⇒q ,即证明必要性,再证明q ⇒p ,即证明充分性㊂设命题p :方程a x 2+b x +c =0有一个根是1,命题q :a +b +c =0㊂先证明p ⇒q ,即证明必要性,由x =1是方程a x 2+b x +c =0的根,可得a ㊃12+b ㊃1+c =0,即a +b +c =0㊂再证明q ⇒p ,即证明充分性,由a +b +c =0,可得c =-a -b ,因为a x 2+b x +c =0,所以a x 2+b x -a -b =0,即a (x 2-1)+b (x -1)=0,也即(x -1)(a x +a +b )=0,所以x =1是方程的一个根㊂综上可知,方程a x 2+b x +c =0有一个根是1的充要条件是a +b +c =0㊂2.已知三个不等式:a b >0,b c -a d >0,c a -db>0(其中a ,b ,c ,d 均为实数)㊂用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,则可组成的正确命题的个数是( )㊂A.0 B .1 C .2 D .3提示:a b >0为①,b c -a d >0为②,ca-d b >0为③㊂若①②成立,则1a b (b c -a d )>,可得c a -d b >0,即③成立㊂若①③成立,则a bc a -d b>0,可得b c -a d >0,即②成立㊂若②③成立,则由③得b c -a da b>0,由②b c -a d >0得a b >0,即①成立㊂应选D ㊂作者单位:江苏省阜宁县东沟中学(责任编辑 郭正华)11知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

f(z)解析的充要条件f(z)是复变函数中的一个概念，它的解析性是一个重要的性质。

在本文中，我将探讨f(z)解析的充要条件。

复数是由实部和虚部组成的，可以用z = x + yi表示，其中x和y 分别为实数部分和虚数部分。

在复变函数中，f(z)是一个将复数域映射到复数域的函数。

我们来定义f(z)在复平面上的解析性。

f(z)在复平面上解析的充要条件是它在复平面的某个区域内连续且具有一阶偏导数。

这意味着f(z)在该区域内可以展开为幂级数，即存在一个圆盘D内的幂级数展开，使得f(z)在该圆盘内解析。

我们来讨论f(z)解析的一些重要性质。

如果f(z)在某个区域内解析，那么它在该区域内无处不可导。

这是因为解析函数是可微的，即它在解析区域内的每个点都具有导数。

如果f(z)在某个区域内解析，并且在该区域内处处可导，那么它在该区域内是无穷次可导的。

这是因为解析函数具有良好的性质，可以通过求导的方式来计算其高阶导数。

如果f(z)在某个区域内解析，并且在该区域内处处可导，那么它在该区域内的导数也是解析的。

这意味着解析函数可以通过求导的方式来获得新的解析函数。

对于复变函数而言，解析函数在理论和应用中都具有重要的地位。

在理论上，解析函数是复变函数的一个基本概念，它具有丰富的性质和应用。

在应用上，解析函数在物理学、工程学和金融学等领域有广泛的应用。

例如，在物理学中，解析函数被广泛应用于电磁场和流体力学等领域的数学建模中。

在工程学中，解析函数被应用于信号处理和图像处理等领域。

在金融学中，解析函数被用于期权定价和风险管理等领域。

f(z)解析的充要条件是它在某个区域内连续且具有一阶偏导数。

解析函数具有一些重要的性质，包括无处不可导、无穷次可导以及导数也是解析的。

解析函数在理论和应用中都具有重要的地位。

它在复变函数的研究中起着核心的作用，并在物理学、工程学和金融学等领域有广泛的应用。

专题02 充要条件问题【热点聚焦与扩展】高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有三个：一是以函数、方程、三角函数、数列、不等式、立体几何线面关系、平面解析几何等为背景的充分条件和必要条件的判定与探求；二是考查等价转化与化归思想；三是由充分条件和必要条件探求参数的取值范围． 1、定义：（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q ⇒，（2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q ⇒，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面.所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件 （2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q ⇔，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价 （4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件 4、如何判断两个条件的充分必要关系(1)定义法：若 错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

是错误!未找到引用源。

的充分而不必要条件；若错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

是错误!未找到引用源。

的必要而不充分条件；若错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

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的充要条件； 若错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

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的既不充分也不必要条件.(2)等价法：即利用p q ⇒与q p ⌝⌝⇒；q p ⇒与p q ⌝⌝⇒；p q ⇔与q p ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3) 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件.4、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．5、对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性.此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）.【经典例题】例1【2020年高考浙江卷】已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由已知,,m n l 不过同一点，当,,m n l 两两相交时，,,m n l 在同一平面内；但当m //n ，l 与它们相交时，,,m n l 也在同一平面内，故选B ．例2【2020年高考上海卷】【答案】A【解析】1:q 当0a >，()0f a >，因为函数()f x 单调递减，所以()()()()f x a f x f x f a +<<+，即()()()f x a f x f a +<+，存在0a >，当满足命题1q 时，使命题p 成立，2:q 当00a x =<时，()0f a = ，因为函数()f x 单调递增，所以()()()()f x a f x f x f a +<=+，即()()()f x a f x f a +<+，存在0a <，当满足命题2q 时，命题p 成立，综上可知命题1q 、2q 都是命题p 的充分条件，故选A ．例3．（2020·黑龙江萨尔图大庆实验中学高三三模）已知命题:11p x ->，命题:1ln q x ≥，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由–11x >可得，0x <或2x >﹔由ln 1x ≥可得，x e ≥.所以p 是q 成立的必要不充分条件.故选：B.例4．（2020·北京市第五中学高三三模）已知定义域为R 的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （12）＝0，则“不等式f （log 4x ）＞0的解集”是“{x |0＜x ＜12}”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分且必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为定义域为R 的偶函数()f x 在[0，)+∞上是增函数，且1()02f =，4(log )0f x ∴>，即41(log )()2f x f >，即41(|log |)()2f x f >，即41|log |2x >，即41log 2x >，或41log 2x <-， 解之得2x >或102x <<，{|2x x ∴>或10}2x <<是1{|0}2x x <<的必要不充分条件，故选：C ．例5．（2020·山东潍坊高三三模）设i 为虚数单位，a R ∈，“复数22020i 21ia z =--是纯虚数“是“1a =”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】复数()()22020222i 11i 11i 21i 21i 21i 1i 222a a a a z +=-=-=-=-----+是纯虚数， 则21a =，1a =±，1a =±是1a =的必要不充分条件，故选：B.例6．（2020·广州大学附属中学高三三模）已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】22x y +≥ 且224x y+≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.故选:C例7．（2020·宝鸡中学高三三模）已知条件:p k =q ：直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则q 是p 的（ ）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则圆心(0,0)到直线20kx y -+=的距离1d ==，即214k +=，23k ∴=，即k =∴q 推不出p ，而p 而以推出q ，q ∴是p 的必要不充分条件．故选：B ．例8．（2020·河北新华石家庄二中高三三模）使不等式2x ≤成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．13x +≤ B ．12x +≤C ．2log (1)1x +≤D ．11||2x ≥ 【答案】A【解析】因为||2x ≤22x ⇔-≤≤，|1|342x x +≤⇔-≤≤， |1|231x x +≤⇔-≤≤，2log (1)111x x +≤⇔-<≤，11||2||2x x ≥⇔≤且0x ≠20x ⇔-≤<或02x <≤， 因为{|22}x x -≤≤ 2{|}4x x -≤≤，所以使不等式||2x ≤成立的一个必要不充分条件是42x -≤≤，故选：A ．例9．（2020·四川绵阳高三三模）已知数列{}n a 的前n 项和21nn S p =⨯+，则{}n a 为等比数列的充要条件是（ ） A ．01p << B ．1p =-C ．2p =-D ．1p >【答案】B 【解析】21n n S p =⨯+,当1n =时，112+1a S p ==，当2n 时，()11121212nn n n n n a S S p p p ---=-=⨯+-⨯+=⨯，{}n a 为等比数列，21p p ∴+=1p ∴=-当1p =-时，21nn S =-+， 可得12n n a -=-，由12(2)nn a n a -=≥知{}n a 为等比数列， 故{}n a 为等比数列的充要条件是1p =-，故选：B例10．（2020·天津南开高三三模）已知命题2:230p x x +->，命题:q x a >，且q 的一个必要不充分条件是p ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．(],1-∞C ．[)1,-+∞D ．(],3-∞-【答案】A【解析】命题2:230p x x +->，解之得：3x <-或1x >， 命题:q x a >，且q 的一个必要不充分条件是p ， 则：1a ≥，即a 的取值范围是[)1,+∞.故选：A ．【精选精练】1．（2020·浙江省兰溪市第三中学高三三模）设0a >，0b >，则“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为lg()0ab >，所以1ab >，0a >，0b >，显然,a b 中至少有一个大于1，如果都小于等于1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符. 由lg()0a b +>，可得1a b +>，,a b 与1的关系不确定，显然由“lg()0ab >”可以推出lg()0a b +>，但是由lg()0a b +>推不出lg()0ab >，当然可以举特例：如23a b ==，符合1a b +>，但是不符合1ab >，因此“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的充分不必要条件，故本题选A.2．（2020·山东高三三模）“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】B【解析】因为直线l 在平面α内，也可以与平面α内的无数条直线垂直，所以，“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”不是“直线l 与平面α垂直”的充分条件；若直线l 与平面α垂直，则直线l 与平面α内的所有直线都垂直。

2023年初高中衔接素养提升专题讲义第九讲充分必要条件（精讲）（解析版）【知识点透析】一：充分条件与必要条件的概念命题真假若“p ，则q ”为真命题“若p ，则q ”为假命题推出关系p ⇒qp ⇏q条件关系p 是q 的充分条件q 是p 的必要条件p 不是q 的充分条件q 不是p 的必要条件【注意】（1）前提p ⇒q ，有方向，条件在前，结论在后；（2）p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；（3）改变说法：“p 是q 的充分条件”还可以换成q 的一个充分条件是p ；“q 是p 的必要条件”还可以换成“p 的一个必要条件是q 二、充分条件、必要条件与集合的关系A ⊆B p 是q 的充分条件q 是p 的必要条件A B p 是q 的不充分条件q 是p 的不必要条件B ⊆A q 是p 的充分条件p 是q 的必要条件B A q 是p 的不充分条件p 是q 的不必要条件充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；三、充要条件的概念一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q .此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件.【知识点精讲】题型一充分条件与必要条件的判断【例题1】（2023·山东威海高一期末）2x =是260x x +-=的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先2026x x x +-⇒==，其次2260x x x +-==⇔或3x =-，则2260x x x +-==⇒，所以：2x =是260x x +-=的充分不必要条件，故选A.【例题2】（2022·广东·化州市第三中学高一期末）已知命题p ：x 为自然数，命题q ：x 为整数，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两个命题中的x 取值范围，分析是否能得到p ⇒q 和q ⇒p ．【详解】若x 为自然数，则它必为整数，即p ⇒q ．【例题3】（2022春•山西太原高一期中）已知非零复数a ，b ，那么“2a ab =”是“a b =”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】①若0a =，1b =时，满足2a ab =，但a b =不成立，∴充分性不成立，②若a b =时，则2a ab =，∴必要性成立，2a ab ∴=是a b =的必要不充分条件，故选B．【例题4】．（2022·河南安阳高一课时检测）设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件的一个电路图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义，逐项分析判断作答.【详解】对于A，若开关A 闭合，则灯泡B 亮，而开关A 不闭合C 闭合，灯泡B 也亮，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充分不必要条件；对于B，灯泡B 亮当且仅当开关A 闭合，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充要条件；对于C，开关A 闭合，灯泡B 不一定亮，而开关A 不闭合，灯泡B 一定不亮，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件；对于D，开关A 闭合与否，只要开关C 闭合，灯泡B 就亮，“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的既不充分也不必要条件．故选：C【例题5】（2023·江苏高一专题检测）若命题:2p x >；命题2:320q x x -+>，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】．A【解析】命题:2p x >．由命题2:320q x x -+>，解得：命题:{|1q x x <或2}x >．p q ∴⇒．即p 是q 的充分不必要条件．故选：A【例题6】．（2022·甘肃·兰州市第五十五中学高三开学考试（文））已知x ∈R ，则“31x -<”是“260x x --+<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例题7】（2022·甘肃景泰二中高一课时检测）使不等式成立的一个充分不必要条件是）A ．0x <B ．0x ≥C ．{3,5}D ．35x ≤【答案】A 【解析】由－5x ＋3≥0，得{x |x ≤35}，只有选项A 中x 的范围为其真子集.故选：A.【例题8】（2022·湖北武汉高一课时检测）伟人毛泽东的《清平乐•六盘山》传颂至今，“天高云淡，望断南飞雁.不到长城非好汉，屈指行程二万，六盘山上高峰，红旗漫卷西风，今日长缨在手，何时缚住苍龙？”现在许多人前往长城游玩时，经常会用“不到长城非好汉”来勉励自己，由此推断，“到长城”是“为好汉”的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】．B【解析】解：设p ⌝为不到长城，推出q ⌝非好汉，即p q ⌝⇒⌝，则q p ⇒，即好汉⇒到长城，故“到长城”是“好汉”的必要条件，故选：B ．【例题9】（2022·江苏高一专题检测）设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】．A【解析】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A ，B ，C ，D ，由甲是乙的充分不必要条件得，B A ⇒由乙是丙的充要条件得，C B ⇒，由丁是丙的必要不充分条件得，DC ⇒所以DA ⇒，故甲是丁的充分不必要条件.故选：A.【变式1】（2022·陕西榆林高一期末）下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的是()A ．若两个角是对顶角，则两个角相等B ．若5x >，则10x >C ．若ac bc =，则a b =D ．若x y +是偶数，则x ，y 都是偶数【答案】A【解析】对于A ，对顶角相等，正确；对于B ，若5x >，则10x >，错误；对于C ，若ac bc =，则a b =条件是0c ≠，故C 错误；对于D ，x ，y 是奇数x y +是偶数，故D 不是充要条件．故选A．【变式2】（2022·广东佛山市·高二期末）已知x ∈R ，则“2x =-”是“2560x x -->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】解：不等式2560x x -->即为：1)60()(x x -+>，解得：1x <-或6x >，因为()()2,16,-∈-∞-+∞ 可知：“2x =-”是“2560x x -->”的充分不必要条件．故选：A ．【变式3】．（2022·河北张家口高二期末）已知,a b 为实数，则“22a b >”是“330a b >>”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分与必要条件的定义，结合不等式的性质判断即可【详解】当2,1a b =-=时，2222(2)411a b =-=>==，而3381a b =-<=，所以22a b >成立不是330a b >>成立的充分条件；因为330a b >>，所以0a b >>，所以22a b >，所以22a b >成立是330a b >>成立的必要而不充分条件.故选：B.题型二充分条件与必要条件的应用【例题10】（2023·山东青岛高三专题模拟）已知p :1x >或2x <-，q :x a >，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（）A．{}2a a <-B．{}2a a >-C．{}21a a -<≤D．{}1a a ≥【答案】D【解析】设p 表示的集合为{|1A x x =>或}2x <-，q 表示的集合为{}|B x x a =>，由q 是p 的充分不必要条件，可得B 是A 的真子集，利用数轴作图如下：所以1a ≥，故选：D.【例题11】．（2023·江苏无锡高三专题模拟）已知p 2>，q ：0m x -<，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（）A ．3m <B ．3m >C ．5m <D ．5m >【例题12】．（2022·长沙市南雅中学高二月考）已知集合{}2680A x x x =-+<，()(){}10B x x a x a =---<，若x A ∈是x B ∈的必要条件，则a 的取值范围是（）A ．()2,3B ．[]2,3C ．()(),23,-∞+∞D ．(][),23,-∞⋃+∞【答案】．B【解析】由{}{}268024A x x x x x =-+<=<<，1a a +> ，{}1B x a x a ∴=<<+，若x A ∈是x B ∈的必要条件，则必有B 是A 的真子集；142a a +≤⎧∴⎨≥⎩，23a ≤≤；故答案选：B【例题13】．（2022·新疆师范大学附属中学高二阶段练习（文））已知条件p ：x a >，条件q ：1>02xx -+．若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的最大值是________．【答案】2-【分析】利用不等式的解法化简q ，根据必要不充分条件即可得出范围，进而求出最值．【变式1】．（2023·湖北省孝感市第一高级中学高一开学考试）已知p ：2x a +<，q ：x a ≥，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．1a ≤-B ．1a <-C ．1a ≥D ．1a >【答案】．A由||2x a +<可得22a x a --<<-∴p ：22a x a--<<-又p 是q 的充分不必要条件，且q ：x a ≥，∴2a a --≥∴1a ≤-【变式2】．（2022·云南曲靖高一课时检测）已知命题2:320p x x -+≤，命题22:440q x x m -+-≤．若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,)+∞C ．{0}D ．(,1][1,)-∞-+∞ 【答案】．D2:320p x x -+≤，12x ≤≤，22:440q x x m -+-≤，22m x m -≤≤+，p 是q 的充分不必要条件，则2122m m ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，1m ≥，∴1m ≤-或m 1≥．故选：D．【变式3】．（2023·江苏省海头高级中学高一月考）设全集U =R ，集合2{|650}A x x x =-+-≥，集合{|122}B x a x a =--≤≤-.（1）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】．（1）7a ≥；（2）13a <.【解析】解不等式2650x x -+-≥可化为2650x x -+≤，解得15x ≤≤，所以{|15}A x x =≤≤（1）因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，所以A B ⊆，所以12125a a --≤⎧⎨-≥⎩，解得7a ≥，所以实数a 的取值范围是7a ≥；（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，所以B A ⊆.当B =∅时，122a a -->-，解得13a <；当B ≠∅时，所以12125212a a a a --≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥--⎩，无解.综上，实数a 的取值范围是13a <.题型三充分性与必要性的证明【例3】（2022·河北保定高一课时检测）已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-．【答案】见解析【解析】证明必要性：因为1a b +=，所以10a b +-=．所以()()()33222222a b ab a b a b a ab baab b ++--=+-+--+()()221a b a ab b =+--+0=．证明充分性：因为33220a b ab a b ++--=，即()()2210a b a ab b+--+=，又0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠．因为22223024b a ab b a b ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以10a b +-=，即1a b +=．综上可得当0ab ≠时，1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++--=．【变式】（2023·云南曲靖高一课时检测）求证：关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为1的充要条件是0a b c ++=．【答案】证明见解析【解析】充分性：0a b c ++= ，c a b ∴=--，代入方程20ax bx c ++=得20ax bx a b +--=，即()()10x ax a b -++=．∴关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为1；必要性： 方程20ax bx c ++=有一个根为1，1x ∴=满足方程20ax bx c ++=，2110a b c ∴⨯+⨯+=，即0a b c ++=．故关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为1的充要条件是0a b c ++=．。

必要和充分条件怎么判断两者的关系是什么充分条件：如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。

必要条件：必要条件是数学中的一种关系形式。

充分必要条件，又称充要条件，是数学中的一种关系形式，即如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p是q的充分必要条件，且q也是p 的充分必要条件。

必要和充分条件怎么判断充分条件：如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。

其中A 为B的子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B的真子集；若属于B 的也属于A，则A与B相等。

必要条件：必要条件是数学中的一种关系形式。

如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作B→A，读作“B含于A”。

数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，我们就说A是B的必要条件。

充分条件和必要条件的关系1、充分条件：如果条件A是结论B的充分条件：A与其他条件是并连关系，即A、C、D….中任意一个存在都可以使得B成立（就像是个人英雄主义）。

2、必要条件：条件A是结论B的必要条件：A与其他条件是串联关系，即条件A必须存在，且条件C、D….也全部存在才可能导致B结论。

（团结的力量）。

3、充分必要条件，又称充要条件，是数学中的一种关系形式，即如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p 是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。

充分条件和必要条件哪个范围大一些充分条件大，充分条件：有A这个条件一定能推出B这个结果，但是有B这个结果不一定能推出A这个唯一条件。

必要条件：有B这个结果一定能推出A这个条件，但是A这个条件不能推出B这个结果。

充要条件”包含了“充分条件”和“必要条件”，范围比两者都要更大，而“充分条件”和“必要条件”则包含了小部分条件不是完整的。

相互推理不同：“充分条件”不能推理出“必要条件”和“充要条件”；“必要条件”不能推理出“充分条件”和“充要条件”；“充要条件”可以推理出一定满足“充分条件”和“必要条件”。

命题【考纲说明】1、明白得命题的概念，了解“假设p，那么q”形式的命题及其逆命题、否命题和逆否命题，会分析四种命题的彼此关系。

2、明白得必要条件、充分条件与充要条件的意义。

3、了解逻辑连接词“或”“且”“非”的含义；明白得全称量词和存在量词的意义并能对其进行否定。

【知识梳理】1.命题的概念一样地，咱们用语言、符号或式子表达的，能够判定真假的陈述句，叫做命题；其中判定为正确的命题，为真命题；判定为不正确的命题，为假命题。

2.四种命题（1）原命题与逆命题即在两个命题中，若是第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；若是把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.（2）否命题与逆否命题即在两个命题中，一个命题的条件和结论别离是另一个命题的条件的否定和结论的否定，如此的两个命题就叫做互否命题，假设把其中一个命题叫做原命题，那么另一个就叫做原命题的否命题.（3）原命题与逆否命题即在两个命题中，一个命题的条件和结论别离是另一个命题的结论的否定和条件的否定，如此的两个命题就叫做互为逆否命题，假设把其中一个命题叫做原命题，那么另一个就叫做原命题的否命题.3.四种命题的关系一样到，咱们用p和q别离表示原命题的条件和结论，用┐p和┐q别离表示p和q的否定，于是四种命题的形式确实是：原命题：假设p则q；逆命题：假设q则p；否命题：假设┐p则┐q；逆否命题：假设┐q则┐p.4.四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.原命题逆命题否命题逆否命题5. 充分条件与必要条件 （1）充分条件的概念若是p 成立时，q 必然成立，即p ⇒q ，咱们就说，p 是q 成立的充分条件．（即为使q 成立，只需条件p 就够了） （2）必要条件的概念若是B 成立时，A 必然成立，即q ⇒p ，咱们就说，q 是p 成立的必要条件．（即为使q 成立，就必需条件p 成立） （3）充要条件若p ⇒q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件。

充要条件生活中的作用和意义1、生活中的充要条件生活中表达充分必要条件一般用“当且仅当”、“需要且只需要”、“唯一条件”等语句来表示。

例如：(1)当且仅当竞争对手甲退出投标时，乙才会报一个较高的价位。

(2)任何两个端节点之间的转发需要且只需要经过三次交换。

(3)为了防止圆管内流动的水发生结冰，则需要且只需要保持圆管内壁面的最低温度在某一温度以上。

(4)俄军逼近格首都称停火唯一条件是格军放弃武力。

(5)人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。

2、生活中的充分条件生活中常用“如果……，那么……”、“若……，则……”和“只要……，就……”来表示充分条件。

例如：(1) 如果这场比赛踢平，那么中国男足就能出线。

(2)总参命令：若飞机不能降落则直接伞降汶川。

(3)只要活着，我就要写作。

3、生活中的必要条件生活中常用“只有……，才……”或“不……，不……”来表示必要条件。

例如：(1) 一个制度、一个政府，只有不断地听取批评意见，才能够不断改进工作，不断进步。

（温家宝总理关于“问题奶粉”的谈话）(2)只有同心协力，才能把事情办好。

(3)只有每年犹太历七月初十日大祭司进入至圣所时，才能在约柜前说出这个单词的正确发音。

(4)没有规矩，不成方圆。

一、全称量词和存在量词的重要性给大家举一组数学中要紧的东西来说明全称量词和存在量词是重要的。

第一个，“一个直线垂直于一个平面”是指这个直线可以垂直于平面中的任何一条直线。

那么这个全称量词对于这个概念的理解是重要的，也是关键点。

当然我们可以把这个量词找到它一个同等的一个，只要垂直于这个平面上两个相交直线，就能代表所有直线，所以你看这个就是一个存在量词。

所以存在两个平面上的相交直线，如果我一条直线和这两个相交直线垂直，就和所有直线垂直，这是一个充要条件。

所以这里头就存在着我们对于全称量词和存在量词的认识。

第二个，概念单调性对于给定范围的任意两个点x1<x2，都有f（x1）<f（x2），我们就说这个函数在这个给定范围中是严格单调上升的，或者我们叫单调上升的，等等。

第06讲充分条件、必要条件、充要条件知识点一充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p⇒/q条件关系p是q的充分条件；q是p的必要条件p不是q的充分条件；q不是p的必要条件知识点二充要条件1．定义：如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q 的充要条件是p.2．记法：如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”．3．传递性：“⇒”和“⇔”都具有传递性，即(1)如果p⇒q，q⇒s，那么p⇒s；(2)如果p⇔q，q⇔s，那么p⇔s．考点一：充分条件、必要条件的判断例1下列命题中，p是q的什么条件？(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；(2)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0.【解析】(1)∵等腰梯形的对角线相等，∴四边形的对角线相等⇒/四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等．∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件．(2)当x＝1时，x2－4x＋3＝0，∴x＝1⇒x2－4x＋3＝0.当x2－4x＋3＝0时，x＝1或x＝3.∴p是q的充分条件，p不是q的必要条件．【总结】A AB 变式(多选)下列命题是真命题的是()A ．“x ＞2”是“x ＞3”的必要条件B ．“x ＝2”是“x 2＝4”的必要条件C ．“A ∪B ＝A ”是“A ∩B ＝B ”的必要条件D ．p ：a ＞b ，q ：ac ＞bc ，p 是q 的必要条件【答案】AC【解析】∵x ＞3⇒x ＞2，∴A 是真命题；∵x ＝2⇒x 2＝4，x 2＝4⇒/x ＝2，∴B 是假命题；∵A ∩B ＝B ⇒A ∪B ＝A ，∴C 是真命题；∵q ⇒/p ，∴p 不是q 的必要条件，D 是假命题．考点二：充分条件与必要条件的应用例2已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解析】p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0).因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，－m ≥－2，＋m ＜10－m ＞－2，＋m ≤10，解得m ≤3.又m ＞0，所以实数m 的取值范围为{m |0＜m ≤3}．变式已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【解析】p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0).因为p 是q 的充分不必要条件，－m ≤－2，＋m ＞10－m ＜－2，＋m ≥10.解得m≥9，故实数m的取值范围是{m|m≥9}．考点三：充要条件的判断例3(1)(多选)下列选项中，p是q的充要条件的为()A．p：x＞0，y＜0，q：xy＜0B．p：a＞b，q：a＋c＞b＋cC．p：x＞5，q：x＞10D．p：a＞b≥0，q：a＞b(2)设A，B，U是三个集合，且A⊆U，B⊆U，则“x∈(∁U A)∩(∁U B)”是“x∈∁U(A∪B)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】(1)BD(2)C【解析】(1)对于A选项，p⇒q，但q⇒/p，故p不是q的充要条件；对于B选项，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；对于C选项，p⇒/q，但q⇒p，故p不是q的充要条件；对于D选项，p ⇒q，且q⇒p，故p是q的充要条件．故选B、D.(2)∵(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)，∴“x∈(∁U A)∩(∁U B)”是“x∈∁U(A∪B)”的充要条件．故选C.【总结】变式以下选项中，p是q的充要条件的是()A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解【答案】D【解析】对于A，p：x＞1，q：x＜1，所以p是q的既不充分又不必要条件；对于B，p⇒q，但q⇒/p，所以p是q的充分不必要条件；对于C，p⇒/q，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，显然q⇔p，所以p是q的充要条件．故选D.考点四：充要条件的证明例4求证：方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等实根的充要条件是－13＜m ＜0.【解析】证明：(1)充分性：∵－13＜m ＜0，∴方程x 2－2x －3m ＝0的判别式Δ＝4＋12m ＞0，且－3m ＞0，∴方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根，Δ＝4＋12m ＞0，x 1x 2＝－3m ＞0，解得－13＜m ＜0.综合(1)(2)知，方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－13＜m ＜0.【总结】充要条件的证明思路在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p 的充要条件是q ”，那么“充分性”是q ⇒p ，“必要性”是p ⇒q ；若证明“p 是q 的充要条件”，则与之相反．[注意]证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．变式已知a ，b ，c 均为实数，证明“ac ＜0”是“关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根”的充要条件．【解析】证明：充分性：∵ac ＜0，∴a ≠0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0为一元二次方程，且Δ＝b 2－4ac ≥－4ac ＞0，∴ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，分别设为x 1，x 2.∵ac ＜0，∴x 1·x 2＝ca＜0，∴x 1，x 2为一正一负，即ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．必要性：∵ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，∴a ≠0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0为一元二次方程．设两个根分别为x 1，x 2，则x 1·x 2＝ca＜0，∴ac ＜0.综上知，“ac ＜0”是“关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根”的充要条件．考点五：充分条件、必要条件、充要条件的探求例5(1)关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解的一个必要条件是()A ．m ＜12B ．m ＜14C ．m ＜－12D ．m ＜－14(2)若a ，b 都是实数，试从①ab ＝0；②a ＋b ＝0；③ab ＞0中分别选出适合下列条件者，用序号填空．(ⅰ)a ，b 都为0的必要条件是________；(ⅱ)使a ，b 都不为0的充分条件是________．【答案】(1)A(2)(ⅰ)①②(ⅱ)③【解析】(1)由题意可得Δ＝b 2－4ac ＝1－4×1×m ≥0，解得m ≤14.四个选项中，只有m ＜12是m ≤14的必要条件．故选A.(2)①ab ＝0即为a ＝0或b ＝0，即a ，b 中至少有一个为0；②a ＋b ＝0，即a ，b 互为相反数，则a ，b 可能均为0，也可能为一正一负；③由ab ＞0知a 与b 同号，即a ，b 都不为0.综上可知，“a ，b 都为0”能推出①②，③能推出“a ，b 都不为0”，所以a ，b 都为0的必要条件是①②，使a ，b 都不为0的充分条件是③.【总结】变式求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．【解析】(1)当a ＝0时，方程为一元一次方程，其根为x ＝－12，符合要求．(2)当a ≠0时，方程为一元二次方程，此时ax 2＋2x ＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a ≥0，从而a ≤1.设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，由根与系数的关系，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a.①方程ax 2＋2x ＋1＝01，0⇒a ＜0；②方程ax 2＋2x ＋1＝01，－2a ＜0，0⇒0＜a ≤1.综上所述，方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1.1．设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“1＜x ＜3”的()A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】“1＜x ＜2”⇒“1＜x ＜3”，反之不成立．∴“1＜x ＜2”是“1＜x ＜3”的充分不必要条件．故选B.2．设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】D【解析】若a ＋b ＞0，取a ＝3，b ＝－2，则ab ＞0不成立；反之，若ab ＞0，取a ＝－2，b ＝－3，则a ＋b ＞0也不成立，因此“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分又不必要条件．3．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p ：开关S 闭合，q ：灯泡L 亮，则p 是q 的充要条件的电路图是()【答案】BD【解析】由题知，电路图A 中，开关S 闭合，灯泡L 亮，而灯泡L 亮开关S 不一定闭合，故A 中p 是q 的充分不必要条件；电路图B 中，开关S 闭合，灯泡L 亮，且灯泡L 亮，则开关S 一定闭合，故B 中p 是q 的充要条件；电路图C 中，开关S 闭合，灯泡L 不一定亮，灯泡L 亮则开关S 一定闭合，故C 中p 是q 的必要不充分条件；电路图D 中，开关S 闭合则灯泡L 亮，灯泡L 亮则一定有开关S 闭合，故D 中p 是q 的充要条件．故选B 、D.4．设集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜1}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的______________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”).【答案】必要不充分【解析】由题可知0＜x ＜2⇒/0＜x ＜1，但0＜x ＜1⇒0＜x ＜2，故“m ∈A ”是“m ∈B ”的必要不充分条件．5．已知集合P ＝{x |－1≤x ≤4}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，若x ∈P 是x ∈S 的充分不必要条件，则m 的取值范围为________．【答案】m ≥3【解析】由题意可知，P S －m ≤－1，＋m ≥4(等号不同时成立)，解得m ≥3.6．“x >0”是“x ≠0”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．7．(多选题)使x>3成立的充分条件是()A．x>4B．x>5C．x>2D．x>1【答案】AB【解析】x>4⇒x>3，x>5⇒x>3，其他选项不可推出x>3．8．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4,x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．9．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．【答案】a≤1【解析】因为x>1⇒x>a，所以a≤1．10．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)．【答案】必要充分【解析】由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．1．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“至千里”是“积跬步”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分又不必要条件D．充要条件【答案】A【解析】荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“至千里”是“积跬步”的充分不必要条件．故选A.2．x2＝1是x＝1的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】若x2＝1，则x＝±1；而若x＝1，则必有x2＝1，因此x2＝1是x＝1必要不充分条件．故选B.3．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．故选B.4．设p：1＜x＜2，q：2x＋1＞0，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】1＜x＜2时，2x＋1＞3＞0，充分性满足；x＝0时满足2x＋1＞0，不满足1＜x＜2，必要性不满足，故p是q的充分不必要条件．故选A.5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是()A．a≥b＋1B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b3【答案】A【解析】由a≥b＋1＞b，从而a≥b＋1⇒a＞b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4＞3.5/⇒4≥3.5＋1，故a ＞b/⇒a≥b＋1.故A正确．6．(多选)命题“∀x∈R，则x＜2”的一个必要不充分条件是()A．x＜1B．x＜3C．x＞3D．x≤5【答案】BD【解析】x＜2的必要不充分条件对应的集合真包含了(－∞，2)，故只有B、D中对应的集合满足这一个要求．故选B、D.7．(多选)对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是()A．a＝b是ac＝bc的充要条件B．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．a＞b是a2＞b2的充要条件D．a＜5是a＜3的必要条件【答案】BD【解析】∵“a＝b”⇒“ac＝bc”为真命题，但当c＝0时，“ac＝bc”⇒“a＝b”为假命题，故“a ＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A为假命题；∵“a＋5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“a＋5是无理数”也为真命题，故“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，故B 为真命题；∵“a ＞b ”⇒“a 2＞b 2”为假命题，“a 2＞b 2”⇒“a ＞b ”也为假命题，故“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的既不充分又不必要条件，故C 为假命题；∵{a |a ＜3}{a |a ＜5}，故“a ＜5”是“a ＜3”的必要不充分条件，故D 为真命题．故选B 、D.8．“x ＜0”是“x ＜3”的________________条件．【答案】充分不必要【解析】设A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |x ＜3}，因为AB ，所以“x ＜0”是“x ＜3”的充分不必要条件．9．命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”中，“a 是偶数”是“a ＝4n ”的__________条件；“a ＝4n ”是“a 是偶数”的________条件(用“充分”“必要”填空).【答案】必要充分【解析】当a 是偶数时，取a ＝2，不能得到a ＝4n ，当a ＝4n 时，a 是偶数，故“a 是偶数”是“a ＝4n ”的必要条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的充分条件．10．设集合A ＝{1，2}．(1)请写出一个集合B ，________，使“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，但“x ∈A ”不是“x ∈B ”的必要条件；(2)请写出一个集合B ，________，使“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，但“x ∈A ”不是“x ∈B ”的充分条件．【答案】B ＝{1，2，3}(答案不唯一)B ＝{1}(答案不唯一)【解析】(1)由于“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，但“x ∈A ”不是“x ∈B ”的必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集，由此可得B ＝{1，2，3}符合题意．(2)由于“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，但“x ∈A ”不是“x ∈B ”的充分条件，所以集合B 是集合A 的非空真子集，由此可知B ＝{1}符合题意．11．指出下列各命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件．(1)p ：x 2＞0，q ：x ＞0；(2)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2；(3)p ：a 能被6整除，q ：a 能被3整除；(4)p ：两个角不都是直角，q ：两个角不相等．【解析】(1)p ：x 2＞0，则x ＞0或x <0，q ：x ＞0，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．(2)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2，则x ＋2≠y ，且x ＋2≠－y ，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．(3)p ：a 能被6整除，故也能被3和2整除，q ：a 能被3整除，故p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．(4)p ：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q ：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．12．(多选)给出下列四个条件：①xt 2＞yt 2；②xt ＞yt ；③x 2＞y 2；④0＜1x ＜1y.其中能成为x ＞y 的充分条件的有()A ．①B ．②C ．③D ．④【解析】AD①由xt 2＞yt 2可知t 2＞0，所以x ＞y ，故xt 2＞yt 2⇒x ＞y ；②当t ＞0时，x ＞y ，当t ＜0时，x ＜y ，故xt ＞yt ⇒/x ＞y ；③由x 2＞y 2，得|x |＞|y |，故x 2＞y 2⇒/x ＞y ；④由0＜1x ＜1y ⇒x ＞y .故选A 、D.13．一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是()A ．m ＞0，n ＞0B ．mn <0C ．m <0，n <0D ．mn ＞0【解析】D因为一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、二、四象限，所以－m n <0，且1n ＞0，解得m ＞0，n ＞0.故由一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限可以推出mn ＞0.而由mn ＞0不一定能得到一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象经过第一、二、四象限，所以mn ＞0是一次函数y ＝－m nx ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件．14．请选择“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”填入下面空格处．(1)xy ＝0是x 2＋y 2＝0的________条件；(2)已知a ，b ，c ∈R ，a ＝b ＝c 的________条件是a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac .【答案】必要不充分条件(2)充要【解析】(1)由x 2＋y 2＝0，解得x ＝0且y ＝0，由xy ＝0，解得x ＝0或y ＝0，故“xy ＝0”是“x 2＋y 2＝0”成立的必要不充分条件；(2)若a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac ，则2(a 2＋b 2＋c 2)＝2(ab ＋bc ＋ac )，∴2(a 2＋b 2＋c 2)－2(ab ＋bc ＋ac )＝0，(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2＝0，则a ＝b ＝c ，则a ＝b ＝c 的充要条件是a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac .15．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z}，k ＝0，1，2，3，4.给出下列四个结论：①2015∈[0]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”，其中正确的结论是________．【答案】①③④【解析】对于①，因2015＝5×403＋0，则2015∈[0]，正确；对于②，因－3＝5×(－1)＋2，则－3∈[2]，不正确；对于③，因任意整数除以5，余数可以且只可以是0，1，2，3，4五类，则Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，正确；对于④，若整数a，b属于同一“类”，则整数a，b被5除的余数相同，从而得a－b被5除的余数为0，即有a－b∈[0]，若a－b∈[0]，不妨令a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2(n1，n2∈Z，k1，k2∈{0，1，2，3，4})，则a－b＝5(n1－n2)＋(k1－k2)，显然(n1－n2)∈Z，|k1－k2|∈{0，1，2，3，4}，于是得|k1－k2|＝0，k1＝k2，即有整数a，b属于同一“类”，所以“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”，正确．所以正确的结论是①③④. 16．给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要．请从中选择一个补充到下面的横线上并解答．已知集合P＝{x|1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}且S≠∅，是否存在实数m使得“x∈P”是“x∈S”的______条件？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】若选择①，即“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则P S且S≠∅，－m≤1，＋m≥4，解得m≥3，当m＝3时，S＝{x|－2≤x≤4}，P S成立，因此，实数m的取值范围是m≥3；若选择②，即“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件，则S P且S≠∅，则11,14,11,mmm m-≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥+⎩解得m＝0；若选择③，即“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则P＝S－m＝1，＋m＝4，无解，故不存在实数m，使得“x∈P”是“x∈S”的充要条件．17．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.【解析】证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x20＋2ax0＋b2＝0，x20＋2cx0－b2＝0.两式相减，得x0＝b2c－a，将此式代入x20＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.①将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.故两方程有公共根x＝－(a＋c).∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.18．已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．【解析】“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下：当a，b，c∈R，a≠0时，若“a－b＋c＝0”，则x＝－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”，故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件。

解析的充要条件若问解析是什么？简单地说，解析就是通过研究问题，找出规律，最终得出结果。

那么什么是结果呢？就是我们所求的数列、或集合等数学概念。

以上这些东西都需要一定的思维逻辑性。

因此，解析又叫做“分析”。

下面将详细介绍解析的概念和结构。

解析就是把一个集合的元素，按照自己认为的意义组织起来，就成了一个解析的表达式。

解析的种类有两种，一种叫作常规解析，一种叫作变形解析。

我们所讨论的都是常规解析。

而变形解析指的是通过对一个已知的集合进行某些操作，从而得到另外一个集合。

这种方法非常复杂，在此我们不作讨论。

我们重点讲常规解析。

解析就是把一个集合的元素，按照自己认为的意义组织起来，就成了一个解析的表达式。

其中，表达式是数学中的术语，集合是现实世界中的抽象概念。

解析式则是数学中用来表示集合的公式。

也就是说，集合A是一个解析式，它表示A这个集合，而集合B则是另外一个集合， B这个集合也是由A这个集合中的元素组成的，但B这个集合中的元素并不一定要符合A中的元素的所有特征。

总之，解析式是A与B之间的联系桥梁。

比如，我们想求两个整数之间的一个加法式。

那么，可以把这两个数看成是这两个集合中的元素，分别称它们为A和B，在这两个集合中各选取两个元素，即可以得到这两个整数的一个加法式，这个式子就叫做这两个数的一个解析式。

上面的例子就是求一个解析式的步骤。

同样，一个已知的集合可以被解析成两个部分：一部分叫做A，一部分叫做B。

这两个部分只是集合A与集合B的关系，并没有必然的联系。

我们可以使用一种变形的解析。

首先，我们需要一个新的集合，称之为B×A；其次，选取B中的两个元素C和D，设C的和D的关系为： C＋D＝B，由于C＋D＝B，所以我们得到这两个元素C和D之间的关系， D就叫做A与B之间的桥梁。

注意，如果A与B之间没有任何联系，则称之为单调性。

由于AB=B，所以如果两个元素互相之间没有桥梁，则称为互补性。

总之，一个解析式可以经过几种方式的变形得到另外一个解析式，而这个过程就叫做解析。

充要条件的概念
充要条件也即充分必要条件，意思是说，如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。

如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果有事物情况B，则必然有事物情况A，那么B就是A的充分必要条件(简称：充要条件)，反之亦然。

假设A是条件，B是结论。

（1）由A可以推出B，由B可以推出A，则A是B的充分必要条件，或者说A的充分必要条件是B。

（2）由A可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的充分不必要条件。

（3）由A不可以推出B，由B可以推出A，则A是B的必要不充分条件。

（4）由A不可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的既不充分也不必要条件。

充要条件教学方法充要条件教学方法是一种以充分条件和必要条件为基础的教学方法，用于引导学生思考、分析和解决问题。

它要求学生了解充分条件和必要条件之间的关系，从而能够更好地理解和应用相关知识。

以下是关于充要条件教学方法的详细介绍。

充要条件是逻辑学中的一个概念，用于描述两个条件之间的关系。

充分条件是指一个条件成立则另一个条件一定成立，而必要条件是指一个条件成立是另一个条件成立的充分条件。

在教学中，我们可以通过引入充分条件和必要条件来帮助学生理解和掌握知识。

充要条件教学方法的核心思想是让学生通过分析和推理，找出问题中的充分条件和必要条件，并以此为基础进行问题解决。

这样的教学方法可以帮助学生发展逻辑思维和问题解决能力，同时也有助于他们更好地理解和应用所学知识。

在具体的教学实践中，我们可以采用以下几种方法来引导学生理解充要条件。

首先，教师可以通过例子来介绍和解释充要条件的概念。

例如，教师可以列举一些日常生活中的例子，让学生观察和思考其中的充分条件和必要条件。

通过这些具体的例子，学生可以更好地理解和记忆充要条件的概念。

教师还可以利用一些有趣的问题和谜题，引导学生运用充要条件来解答问题。

其次，教师可以通过提问和讨论的方式，引导学生分析问题中的充分条件和必要条件。

例如，教师可以向学生提出一个问题，然后请学生一起分析其中的充要条件。

通过这样的讨论，学生可以更加深入地理解问题的本质，同时也能够培养他们的批判性思维和分析能力。

另外，教师还可以设计一些相关的练习和任务，让学生通过实际操作来应用充要条件的知识。

例如，教师可以设计一些情景模拟的任务，要求学生根据给定的条件推断出其他的充要条件。

这样的练习可以帮助学生巩固和运用所学的充要条件知识，同时也能够激发学生的学习兴趣和动力。

最后，教师还可以引入一些相关的理论和概念，帮助学生更深入地理解和应用充要条件。

例如，教师可以介绍逻辑学中的命题关系和推理规则，让学生了解充要条件与逻辑推理之间的关系。

高中数学专题复习（2）充要条件一、高考要求:充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p 和结论q 之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.重难点归纳：(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词:“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).二、题例示范:例1．已知p :|1－31-x |≤2,q :x 2－2x +1－m 2≤0(m >0),若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.命题意图:本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.知识依托:本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.错解分析:对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.技巧与方法:利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解:由题意知:命题:若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为:p 是q 的充分不必要条件.p :|1－31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10 q :x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0:*∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集. 又∵m >0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m ∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9，∴实数m 的取值范围是［9，+∞).例2．已知数列{a n }的前n 项S n =p n +q (p ≠0,p ≠1),求数列{a n }是等比数列的充要条件.命题意图:本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性 知识依托:以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.错解分析:因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.技巧与方法:由a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n关系式去寻找a n 与a n +1的比值，但同时要注意充分性的证明.解:a 1=S 1=p +q .当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －1(p －1)∵p ≠0,p ≠1,∴)1()1(1---p p p p n n =p 若{a n }为等比数列，则nn a a a a 112+==p ∴qp p p +-)1(=p , ∵p ≠0，∴p －1=p +q ，∴q =－1这是{a n }为等比数列的必要条件.下面证明q =－1是{a n }为等比数列的充分条件.当q =－1时，∴S n =p n －1(p ≠0,p ≠1)，a 1=S 1=p －1当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －p n －1=p n －1(p －1)∴a n =(p －1)p n －1:(p ≠0,p ≠1) 211)1()1(-----=n n n n p p p p a a =p 为常数 ∴q =－1时，数列{a n }为等比数列.即数列{a n }是等比数列的充要条件为q =－1.例3．已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax +b =0有两个实数根α、β，证明:|α|<2且|β|<2是2|a |<4+b 且|b |<4的充要条件.证明:(1)充分性:由韦达定理，得|b |=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.设f (x )=x 2+ax +b ,则f (x )的图象是开口向上的抛物线.又|α|＜2,|β|＜2,∴f (±2)>0.即有⇒⎩⎨⎧>+->++024024b a b a 4+b >2a >－(4+b ) 又|b |＜4⇒4+b >0⇒2|a |＜4+b(2)必要性:由2|a |＜4+b ⇒f (±2)>0且f (x )的图象是开口向上的抛物线.∴方程f (x )=0的两根α，β同在(－2，2)内或无实根.∵α，β是方程f (x )=0的实根，∴α，β同在(－2，2)内，即|α|＜2且|β|＜2.例4．写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假.（1）若x 、y 都是奇数，则x +y 是偶数；（2）若xy =0，则x =0或y =0；（3）若一个数是质数，则这个数是奇数.解：（1）命题的否定：x 、y 都是奇数，则x +y 不是偶数，为假命题.原命题的否命题：若x 、y 不都是奇数，则x +y 不是偶数，是假命题.（2）命题的否定：xy =0则x ≠0且y ≠0，为假命题.原命题的否命题：若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0，是真命题.（3）命题的否定：一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题.原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题.例5．有A 、B 、C 三个盒子,其中一个内放有一个苹果,在三个盒子上各有一张纸条.A 盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”，B 盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”，C 盒子上的纸条写的是“苹果不在A 盒内”.如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？解：若苹果在A 盒内，则A 、B 两个盒子上的纸条写的为真，不合题意.若苹果在B 盒内，则A 、B 两个盒子上的纸条写的为假，C 盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B 盒内.同样，若苹果在C 盒内，则B 、C 两盒子上的纸条写的为真，不合题意.综上，苹果在B 盒内.三、巩固练习:1.函数f (x )=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是( )A .ab =0 B.a +b =0 C .a =b .D .a 2+b 2=02.“a =1”是函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为“π”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既非充分条件也不是必要条件3.a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +(a －1)y =a －7平行且不重合的___.4.命题A :两曲线F (x ,y )=0和G (x ,y )=0相交于点P (x 0,y 0),命题B :曲线F (x ,y )+λG (x ,y )=0(λ为常数)过点P (x 0,y 0),则A 是B 的__________条件.5.设α，β是方程x 2－ax +b =0的两个实根，试分析a >2且b >1是两根α、β均大于1的什么条件？6.已知数列{a n }、{b n }满足:b n =nna a a n +++++++ 321221,求证:数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.已知抛物线C :y =－x 2+mx －1和点A (3，0)，B (0，3)，求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件.8.p :－2<m <0,0<n <1;q :关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.(充要条件)四、参考答案:1.解析:若a 2+b 2=0,即a =b =0,此时f (－x )=(－x )|x +0|+0=－x ·|x |=－(x |x +0|+b )=－(x |x +a |+b )=－f (x ).∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的充分条件，又若f (x )=x |x +a |+b 是奇函数，即f (－x )=(－x )|(－x )+a |+b =－f (x ),则必有a =b =0,即a 2+b 2=0.∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的必要条件.答案:D2.解析:若a =1,则y =cos 2x －sin 2x =cos2x ,此时y 的最小正周期为π.故a =1是充分条件，反过来，由y =cos 2ax －sin 2ax =cos2ax .故函数y 的最小正周期为π,则a =±1,故a =1不是必要条件.答案:A3.解析:当a =3时，直线l 1:3x +2y +9=0;直线l 2:3x +2y +4=0.∵l 1与l 2的A 1∶A 2=B 1∶B 2=1∶1，而C 1∶C 2=9∶4≠1,即C 1≠C 2,∴a =3⇔l 1∥l 2.答案:充要条件4.解析:若P (x 0,y 0)是F (x ,y )=0和G (x ,y )=0的交点，则F (x 0,y 0)+λG (x 0,y 0)=0，即F (x ,y )+λG (x ,y )=0，过P (x 0,y 0);反之不成立.答案:充分不必要5.解:根据韦达定理得a =α+β,b =αβ.判定的条件是p :⎩⎨⎧>>12b a ，结论是q :⎩⎨⎧>>11βα (注意p 中a 、b 满足的前提是Δ=a 2－4b ≥0)(1)由⎩⎨⎧>>11βα，得a =α+β>2,b =αβ>1,∴q ⇒p (2)为证明p q ,可以举出反例:取α=4,β=21,它满足a =α+β=4+21>2,b =αβ=4×21=2>1,但q 不成立. 综上讨论可知a >2,b >1是α>1,β>1的必要但不充分条件.6.证明:①必要性:设{a n }成等差数列，公差为d ,∵{a n }成等差数列.1212(12)[1223(1)]1231n n a a na a n d n n b nn n +++++++⋅+⋅++-∴==+++++++12(1)3a n d =+-⋅ 从而b n +1－b n =a 1+n ·32d －a 1－(n －1).32d =32d 为常数. 故{b n }是等差数列，公差为32d . ②充分性:设{b n }是等差数列，公差为d ′,则b n =(n －1)d ′∵b n (1+2+…+n )=a 1+2a 2+…+na n① b n －1(1+2+…+n －1)=a 1+2a 2+…+(n －1)a n② ①－②得:na n =2)1(2)1(--+n n b n n n b n －1 111111113[(1)][(2)](1)22222n n n n n n n a b b b n d b n d b n d -+-+-'''=-=+--+-=+-⋅ 从而得a n +1－a n =23d ′为常数，故{a n }是等差数列. 综上所述，数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.解:①必要性:由已知得，线段AB 的方程为y =－x +3(0≤x ≤3)由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点， 所以方程组⎩⎨⎧≤≤+-=-+-=)30(312x x y mx x y *有两个不同的实数解. 消元得:x 2－(m +1)x +4=0(0≤x ≤3)设f (x )=x 2－(m +1)x +4,则有2(1)440(0)40(3)93(1)401032m f f m m ⎧∆=+-⨯>⎪=≥⎪⎪⎨=-++≥⎪+⎪<<⎪⎩ 1033m ⇒<≤ ②充分性:当3＜x ≤310时， x 1=2)1(1216)1(122+-+>-+-+m m m m >0 3216)1310(1310216)1(1222=-+++≤-+-+=m m x ∴方程x 2－(m +1)x +4=0有两个不等的实根x 1,x 2,且0＜x 1＜x 2≤3,方程组*有两组不同的实数解.因此，抛物线y =－x 2+mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条件是3＜m ≤310. 8.解:若关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，设为x 1,x 2.则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1,有0＜x 1+x 2＜2且0＜x 1x 2＜1,根据韦达定理:⎩⎨⎧<<<-<⎩⎨⎧=-=+10202121n m n x x m x x 得 有－2＜m ＜0;0＜n ＜1即有q ⇒p .反之，取m =－21491,02131,21,312⨯-=∆=+-=x x n ＜0方程x 2+mx +n =0无实根，所以p q综上所述，p 是q 的必要不充分条件.课前后备注:1.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：依题意有p ⇒r ，r ⇒s ，s ⇒q ，∴p ⇒r ⇒s ⇒q .但由于r p ，∴q p . 答案：A2..“cos2α=－23”是“α=k π+12π5，k ∈Z ”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件 解析：cos2α=－23⇔2α=2k π±6π5⇔α=k π±12π5. 答案：A3.在△ABC 中，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞B ⇔cos A ＜cos B （余弦函数单调性）.答案：C4.命题A ：两曲线F （x ，y ）＝0和G （x ，y ）=0相交于点P （x 0，y 0），命题B ：曲线F （x ，y ）+λG （x ，y ）＝0（λ为常数）过点P （x 0，y 0），则A 是B 的__________条件.答案：充分不必要5.函数f （x ）=x 2－2ax －3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是A.a ∈（－∞，1］B.a ∈［2，+∞）C.α∈［1，2］D.a ∈（－∞，1］∪［2，+∞）解析：∵f （x ）=x 2－2ax －3的对称轴为x =a ，∴y =f （x ）在［1，2］上存在反函数的充要条件为［1，2］⊆（－∞，a ］或［1，2］⊆［a ，+∞），即a ≥2或a ≤1.答案：D6.已知数列{a n }的前n 项和S n =p n +q （p ≠0且p ≠1），求数列{a n }成等比数列的充要条件. 分析：先根据前n 项和公式，导出使{a n }为等比数列的必要条件，再证明其充分条件. 解：当n =1时，a 1=S 1=p +q ；当n ≥2时，a n =S n －S n －1=（p －1）·p n －1.由于p ≠0，p ≠1，∴当n ≥2时，{a n }是等比数列.要使{a n }（n ∈N *）是等比数列，则12a a =p ，即（p －1）·p =p （p +q ），∴q =－1，即{a n }是等比数列的必要条件是p ≠0且p ≠1且q =－1.再证充分性：当p ≠0且p ≠1且q =－1时，S n =p n －1，a n =（p －1）·p n －1，1-n n a a =p （n ≥2），∴{a n}是等比数列.。