重庆市高二数学上学期期中考试 理

高二（上学期）期中考试数学试卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一直线过点(0,3),(3,0)-，则此直线的倾斜角为（ ）A ．45°B ．135°C ．－45°D ．－135°2．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和．若3133S a =+，则d =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．已知ABC 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC 的周长是（ ）A ．B ．6C ．4D ．4．设a R ∈，若直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行，则a 的值是（ ）A ．1B ．1,1-C ．0D ．0，15．已知直线:sin cos 1l x a y a -=，其中a 为常数且[0,2)a π∈．有以下结论：①直线l 的倾斜角为a ；①无论a 为何值，直线l 总与一定圆相切；①若直线l 与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；①若(,)p x y 是直线l 上的任意一点，则221x y +≥．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22145x y -= B ．221810x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 7．在平面直角坐标系xoy 中，已知点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若ABC 的面积的最大值为8，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3-+B ．[]1,5C ．][(35,3-⋃+D ．][(),15,∞∞-⋃+8．已知A ，B 为圆22:2430C x y x y +--+=上的两个动点，P 为弦AB 的中点，若90ACB ∠=︒，则点P 的轨迹方程为（）A ．221(1)(2)4x y -+-=B ．22(1)(2)1x y -+-=C ．221(1)(2)4x y +++=D ．22(1)(2)1x y +++=二、多选题9．已知直线30ax y a -+-=在两坐标轴上的截距相等，则实数=a （ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3-10．设抛物线24y x =，F 为其焦点，P 为抛物线上一点.则下列结论正确的是（ ）A ．若()1,2P ，则2PF =B ．若P 点到焦点的距离为3，则P 的坐标为(2,.C ．若()2,3A ，则PA PF +D ．过焦点F 做斜率为2的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则6AB =11．如图，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=的交点依次为,,,.A B C D 则下列说法正确的是（ ）A ．四边形ABCD 为正方形B ．阴影部分的面积大于3.C ．阴影部分的面积小于4.D ．四边形ABCD 的外接圆方程为222x y +=12．已知圆222:22(1)2230()C x y mx m y m m m R ++-+++-=∈上存在两个点到点(0,1)A -的距离为4，则m 的可能的值为A ．1B ．1-C ．3-D ．5-三、填空题13．设()1,0F c -，()2,0F c 分别为椭圆()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点，若直线22a x c=上存在点P ，使22PF c =，则椭圆离心率的取值范围为______.14．已知在数列{}n a 中，12a =，111n na a +=-，*n N ∈，则2021a =________．15．已知焦点为1F ，2F 的双曲线C P 为C 上一点，且满足2123PF PF =，若12PF F △的面积为C 的实轴长为________四、双空题16．抛物线2:2C y x =的焦点坐标是______；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=______．五、解答题17．已知{n a }为等差数列，Sn 为其前n 项和，若1356,0a a a =+=．(1)求数列{n a }的通项公式；(2)求Sn ．18．已知A (4, 9), B (6, 3)两点，求以线段AB 为直径的圆的方程．19．已知直线10:4l mx y ++=和直线()()2:2100,0l m x ny m n +-+=>>互相垂直，求m n 的取值范围． 20．已知①ABC 的顶点A （-1，5），B （-1，-1），C （3，7）.(1)求边BC 上的高AD 所在直线的方程；(2)求边BC 上的中线AM 所在直线的方程；(3)求①ABC 的面积.21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且M 点的纵坐标为4，52p MF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(0,4)Q -作直线交抛物线C 于,A B 两点，试问抛物线C 上是否存在定点N 使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数？若存在求出点N 的坐标，若不存在说明理由．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆C 的四个顶点为顶点的四边形面积为 (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左顶点为A ，右焦点是F ．点P 是椭圆C 上的点（异于左、右顶点），M 为线段PA 的中点，过M 作直线PF 的平行线l ．延长PF 交椭圆C 于Q ，连接AQ 交直线l 于点B ．①求证：直线l 过定点．①是否存在定点1D 、2D ，使得12BD BD +为定值，若存在，求出1D 、2D 的坐标；若不存在说明理由．参考答案：1．A【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，得到tan 1α=，即可求解.【详解】设直线的倾斜角为α， 由斜率公式，可得03130k -==--，即tan 1α=， 因为0180α≤<，所以45α=，即此直线的倾斜角为45.故选：A.2．C【解析】根据{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，利用等差数列的前n 项和公式求解.【详解】因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，所以113333a d a +=+，解得1d =，故选：C3．D【分析】先由椭圆方程求出a =.【详解】由椭圆2213x y +=，得：a =由题意可得ABC 的周长为:221224AC CF F B BF a a a +++=+==.故选：D.4．A【分析】根据两直线平行则两直线斜率相等截距不相等可得答案.【详解】0a =时，两直线为10y -=、直线10x +=，显然不平行；所以0a ≠，两直线为1y ax =-+，1(1)=-+y x a， 所以1a a -=-，且11a -≠， 解得1a =．故选：A.5．C【分析】根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可.【详解】对于①，直线l 的倾斜角的取值范围为[0,)π，与角a 的不同，故①错误；对于①，(0,0)1=，则无论a 为何值，直线l 总与221x y +=相切，故①正确；对于①，若直线l 与两坐标轴都相交，则截距分别为1sin a ，1cos a -，则与两坐标轴围成的三角形的面积为111112sin cos sin 2a a a⋅=≥，故①正确； 对于①，由①知直线l 总与221x y +=相切，则直线l 上的点到原点的距离大于等于1，即221x y +≥，故①正确；综上所述，①①①共3个正确；故选：C6．A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程为221123x y +=，可得21239c =-=，即3c =， 因为双曲线C 的焦点与椭圆221123x y +=的焦点相同，所以双曲线C 中，半焦距3c =，又因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，即b =，又由222+=a b c ，即229a ⎫⎪⎪⎝⎭+=，解得24a =，可得25b =， 所以双曲线C 的方程为22145x y -=. 故选：A ．7．C【分析】由题知圆心为(),1,4C m r =，进而根据三角形面积公式得ABC 面积最大时，AB =，圆心C 到直线AB 的距离为4PC ≤<即可得答案.【详解】解：圆222:22150C x y mx y m +--+-=，即圆()()22:116C x m y -+-=，即圆心为(),1,4C m r =， 所以ABC 的面积为21sin 8sin 82ABC S r ACB ACB =∠=∠≤△，当且仅当2ACB π∠=，此时ABC 为等腰直角三角形，AB =C 到直线AB 的距离为= 因为点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，所以4PC ≤<，即4<，所以，28(3)416m ≤-+<，解得31m -≤或53m ≤<+所以，实数m 的取值范围是][(35,3-⋃+故选：C8．B【分析】在直角三角形中利用几何关系即可获解【详解】圆C 即22(1)(2)2x y -+-=,半径r =因为CA CB ⊥,所以2AB ==又P 是AB 的中点,所以112CP AB == 所以点P 的轨迹方程为22(1)(2)1x y -+-=故选：B9．BC【分析】显然0a ≠，再分30a -=与30a -≠两种情况讨论，若30a -≠，求得直线在,x y 轴上的截距，即可得到方程，解得即可；【详解】解：依题意可知0a ≠，所以当30a -=，即3a =时，直线30ax y a -+-=化为30x y -=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当30a -≠，即3a ≠时，直线30ax y a -+-=在x 轴上的截距为3a a-，在y 轴上的截距为3a -，故33a a a -=-，解得1a =-； 综上所述，实数3a =或1a =-.故选：BC10．AC【分析】由抛物线的性质依次计算各选项所求，即可得出结果.【详解】抛物线24y x =，()1,0F .对于A ，()1,2P ，2PF ，A 正确；对于B ，设(,P x ±，()22143x x -+=，2x =，P 的坐标为(2,±.B 错误；对于C,()min PA PF AF +==正确；对于D ，直线:22l y x =-，联立24y x =，得：2310x x -+=，3A B x x +=,2=5B A x x AB ++=,D 错误. 故选：AC.11．ABC【分析】根据曲线的对称性，可判定A 正确；联立方程组求得A 的坐标，求得ABCD 的面积为13S =，可判定B 正确；由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积可判定C 正确；由232OA =，得出圆的方程，可判定D 错误．【详解】由题意，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=，根据曲线的对称性， 可得四边形ABCD 为正方形，选项A 正确；联立方程组，求得A ，所以正方形ABCD 的面积为13S =， 所以阴影部分的面积大于3，选项B 正确：由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积为2=4S ，所以阴影部分的面积小于4，选项C 正确；由232OA =，所以四边形ABCD 的外接圆方程为2232x y +=，选项D 错误． 故选：ABC .12．ACD【解析】根据题意，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.【详解】由题知，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，所以，4242CA -<<+，即26，解得()()1,20,171m ∈--，即m 的值可以为：1或3-或5-.故选：ACD.【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题. 13．0e <≤【分析】由题设易知222||a PF c c≥-，结合椭圆离心率的性质即可得离心率的取值范围. 【详解】由题设，222||2a PF c c c=≥-，则22223c e a =≤，而01e <<，所以0e <≤故答案为：0e <≤14．12##0.5 【分析】由递推关系依次求出数列的前几项，归纳出周期后可得结论．【详解】由题意12a =，211122a =-=，311112a =-=-，41121a =-=-， 所以数列{}n a 是周期数列，周期为3，所以202136732212a a a ⨯+===． 故答案为：12．15【分析】由2123PF PF =和双曲线定义可得12,46a PF a PF ==，再结合余弦定理和c e a ==122cos 3F PF ∠=，利用面积公式1212121||||sin 2PF F S PF PF F PF =∠=a =. 【详解】由题意，221123PF PF PF PF ∴=> 由双曲线定义可知，122PF PF a -=21,46a PF a PF ==∴222222221212122212||||||36164524cos 2||||4848PF PF F F a a c a c F PF PF PF a a +-+--∴∠===又122cos 3c e c F PF a ===∴∠=又1212(0,)sin F PF F PF π∠∈∴∠=122121211||||sin 2422PF F S PF PF F PF a =∠=⨯=221,a ∴=又0a a >∴=故双曲线C16． ()1,0##0.5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； 9. 【分析】由抛物线的解析式可知22p =，即可得出焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；过A 、B 、P 作准线的垂线且分别交准线于点M 、N 、K ，根据抛物线的定义可知AM BN AF BF +=+，由梯形的中位线的性质得出()1942212AM BN PK +==+=，进而可求出AF BF +的结果. 【详解】解：由抛物线2:2C y x =，可知22p =，则122p =， 所以抛物线2:2C y x =的焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 如图，过点A 作AM 垂直于准线交准线于M ，过点B 作BN 垂直于准线交准线于N ，过点P 作PK 垂直于准线交准线于K ，由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+，再根据()4,1P 为线段AB 的中点，而四边形AMNB 为梯形， 由梯形的中位线可知()1942212AM BN PK +==+=， 则9AM BN +=，所以9AF BF +=. 故答案为：1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；9. 17．(1)an ＝8﹣2n ；(2)27n S n n =-+.【分析】（1）应用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）由等差数列前n 项和公式求Sn . （1）设等差数列{an }的公差为d ，由a 1＝6，a 3+a 5＝0，则6+2d +6+4d ＝0，解得d ＝﹣2， 因此an ＝a 1+（n ﹣1）d ＝8﹣2n ， 所以{an }的通项公式为an ＝8﹣2n ． （2）由题意知：()21172n n n S na d n n -=+=-+，18．(x -5)2＋(y -6)2＝10【分析】根据题意，求得圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程.【详解】因为线段AB 为直径，所以线段AB 的中点C 为该圆的圆心，即C (5, 6)．又因为AB ，所以所求圆的半径r ＝2AB， 因此，所求圆的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10. 19．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】通过两直线垂直的充要条件得到22n m m =+，然后两边同时除以m ，使用不等式即可解决. 【详解】因为12l l ⊥，所以()()210m m n ++⨯-=，所以22n m m =+，因为0m >，所以2221m m m m n m +==+． 因为0m >，所以22m +>，所以11022m <<+，故m n 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 20．(1)x +2y -9=0 (2)4y x =-+ (3)12【分析】（1）求得BC k ，根据垂直关系可得12AD k =-，再根据点斜式求解高AD 所在直线的方程即可；（2）根据中点坐标公式，结合两点式方程求解即可；（3）根据两点式方程可得边BC 所在直线的方程，再根据点到线的距离公式可得点A 到直线BC 的距离，进而根据三角形的面积公式求解即可. （1） 因为7(1)23(1)BC k --==--，所以12AD k =-，从而边BC 上的高AD 所在直线的方程为()1512y x -=-+，即x +2y -9=0（2）因为M 是BC 的中点，所以M （1，3），从而边BC 上的中线AM 所在直线的方程为315311y x --=---，即4y x =-+ （3）由题意知，边BC 所在直线的方程为()()()()117131y x ----=----，即210,x y BC -+==所以点A 到直线BC 的距离h ==ABC 的面积1122BC h =⋅=.21．(1)24y x =(2)存在，()44，【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求得点M 的横坐标，进而求得p,可得答案;（2）根据题意可设直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系式，利用直线NA 与NB 的斜率互为倒数列出等式，化简可得结论. (1)（1）0(,4)M x 设 则05||22p pMF x =+=， 02x p ∴=， 2416p ∴=，0,2p p >∴=，故C 的方程为：24y x = ；(2)假设存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数， 由题意可知，直线AB 的斜率存在，且不为零，(4)AB x m y =+设的方程为，2011220(,),(,),(,)4y A x y B x y N y ，()244x m y y x ⎧=+⎨=⎩由， 24160y my m --=得，所以{Δ>0y 1+y 2=4m y 1y 2=−16m ， 即4m <- 或0m > ，01020102222222000012010212441444444NA NB y y y y y y y y k k y y y y y y y y y y x x ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=++---- 2001212()16y y y y y y ∴+++=，200(416)160y m y ∴-+-=恒成立，则024160160y y -=⎧⎨-=⎩ ，04y ∴=， (4,4),N ∴存在定点使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数. 22．(1)2211612x y +=；(2)（i ）证明见解析；（ii ）存在，且()13,0D -、()21,0D -.【分析】（1）根据已知条件得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆C 的方程； （2）（i ）分析可知直线PQ 不与x 轴重合，设设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，写出点M 的坐标，化简直线l 的方程，即可得出直线l 所过定点的坐标；（ii ）点(),B x y ，写出点B 的坐标，利用相关点法求出点B 的轨迹方程，可知点B 的轨迹为椭圆，求出椭圆的两个焦点坐标，结合椭圆的定义可得出结论. (1)解：由题意可得222121222c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 因此，椭圆C 的方程为2211612x y +=. (2)解：（i ）易知点()2,0F 、()4,0A -，若PQ 与x 轴重合，则P 或Q 与点A 重合，不合乎题意，设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，点M 的坐标为004,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭，直线MB 的方程为00422x y x m y -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且002x my =+， 所以，直线l 的方程为1x my =-，因此，直线l 过定点()1,0-. （ii ）因为B 为AQ 的中点，则114,22x y B -⎛⎫ ⎪⎝⎭，且有221111612x y +=， 设点(),B x y ，则11422x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得11242x x y y =+⎧⎨=⎩， 所以，()()2224211612x y ++=，即()222143x y ++=，即点B 的轨迹方程为()222143x y ++=，因为椭圆22143x y +=的两个焦点坐标分别为()1,0-、()1,0， 椭圆()222143x y ++=可由椭圆22143x y +=向左平移2个单位得到， 故椭圆()222143x y ++=的两个焦点坐标别为()3,0-、()1,0-， 故存在定点()13,0D -、()21,0D -使得124BD BD +=为定值. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.。

2022-2023学年第一学期期中考高二年级数学科试卷参考答案及评分标准一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8 ADDABBCD8．【解析】由题意可知，22221()()33332211222=()()333999OM OG OA AG OA AB AC OA OB OA OC OA OA OB OC ⎡⎤==+=+⨯+⎢⎥⎣⎦⎡⎤+-+-=++⎢⎥⎣⎦因为D ，E ，F ，M 四点共面，所以存在实数λ，μ，使DM DE DF λμ=+，所以()()OM OD OE OD OF OD ，所以(1)(1)OMODOEOFkOAmOBnOC ，所以2(1)92929k m n λμλμ⎧--=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以1119999(1)2222k m n λμλμ++=--++=. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9 10 11 12 ADBCACDABD12．【解析】A 选项：连接11B D ，由正方体可得1111AC B D ⊥，且1BB ⊥平面1111D C B A ，又11A C ⊂平面1111D C B A ，则111BB A C ⊥，因为1111B D BB B ⋂=，所以11A C ⊥平面11BD B ，又1BD ⊂平面11BD B ，故111AC BD ⊥；同理，连接1AD ，易证得11A D BD ⊥，因为1111A D AC A ⋂=，所以1BD ⊥平面11AC D ，故A 正确；B 选项：1111P ACD C A PD V V --=，因为点P 在线段1B C 上运动，所以1112A DP S A D AB =⋅，面积为定值，且1C 到平面1A PD 的距离即为1C 到平面11A B CD 的距离，也为定值，故体积为定值，故B 正确；C 选项：当点P 与线段1B C 的端点重合时，AP 与1AD 所成角取得最小值为60︒，故C 错误； D 选项：因为直线1BD ⊥平面11AC D ，所以若直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值最大，则直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大，即P 运动到1B C 中点处，所成角为11C BD ∠，设棱长为1，在11Rt D C B中，1111cos C B C BD BD ∠==D 正确. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.(3,)+∞16．【解析】设点P 坐标为(,)m n ，由题可知存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ， 所以一定有无穷多对直线1l 和2l斜率存在满足题意，故可设直线12,l l 的方程分别为：()1(),()0y n k x m y n x m k k -=--=--≠，即：110,0kx y n km x y n m k k -+-=--++=，因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等， 由垂径定理，得圆心1C 到直线1l 与圆心2C 到直线2l 的距离相等， =化简，得(2)3m n k m n --=--，或(8)5m n k m n -+=+-，关于k 的方程有无穷多解，有2030m n m n --=⎧⎨--=⎩或8050m n m n -+=⎧⎨+-=⎩，解方程组，得点P 坐标为51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，经检验以上两点满足题意.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：（1）依题意，直线1l 的斜率112k =-，且12l l ⊥，所以直线2l 的斜率为22k =， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 2分故直线2l 的方程为12(1)y x ＝--，即21y x -＝； ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分 （2）设,0,0,A a B b ，由AB 的中点为()2,1，得4,2a b ＝＝， ┉┉┉┉┉┉┉ 7分 故直线3l 的方程为142x y＝+，即240x y +-＝． ┉┉┉┉┉┉┉ 10分18．（1）证明：连接BD 、MO ，在平行四边形ABCD 中，O 为AC 、BD 的中点， ∴M 为PD 中点，∴//PB MO ， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分 又∴PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 4分 ∴//PB 平面ACM ； ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分 （2）证明：∴45CDA ∠=，且1AD AC ==，∴90DAC ∠=，即DA AC ⊥， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 7分∴PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PO AD ⊥，┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 9分 ∴ACPO O =，AC 、PO ⊂平面PAC ，∴AD ⊥平面PAC ，┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 10分又∴AD ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PAC . ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 12分19．解：（1）2224690x y mx y m +--+-=，配方得222()(2)(3)4x m y m -+-=-+， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 2分当3m =时，圆C 的半径有最小值2，此时圆的周长最小. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 4分 （2）由（1）得，3m =，圆的方程为：22(3)(2)4x y -+-=. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分 当直线与x 轴垂直时，方程为1x =，此时直线与圆相切，符合条件；┉┉┉┉┉┉ 7分 当直线与x 轴不垂直时，设方程为()12y k x =--，┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 8分2=，解得34k =， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 10分 所以切线方程为31144y x =-，即34110x y --=. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 11分 综上，直线方程为1x =或34110x y --=. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 12分20．（1）证明：依题意，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，如图所示，分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 1分 则(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(2C ，2，0)，(0D ，2，0)，(0P ，0，2)，(1M ，0，0)，(1N ，1，1)，∴(0MN =，1，1)，(1ND =-，1，1)-，(0PD =，2，2)- ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 2分设(m x =，y ，)z 是平面MND 的一个法向量，可得00m MN y z m ND x y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+-=⎩，取1y =-，得2x =-，1z =，∴(2m =-，1-，1)是平面MND 的一个法向量，┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 4分同理可得(0n =，1，1)是平面PCD 的一个法向量， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分 20(1)1110m n ⋅=-⨯+-⨯+⨯=，∴m n ⊥， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分∴ 平面MND ⊥平面PCD ； ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 7分（2）解：由（1）得(2m =-，1-，1)是平面MND 的一个法向量，┉┉┉┉┉┉┉ 8分(0PD =，2，2)-，得0(2)2(1)(2)14PD m ⋅=⨯-+⨯-+-⨯=-， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 10分∴点P 到平面MND 的距离||||4m PD d m ⋅== ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 12分21．解：（1）在BCD △中，2CD BC ==，45BDC ∠=， 由余弦定理得：2222cos BC CD BD CD BD BDC =+-⋅∠， 即2440BD BD -+=，解得2BD =， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分 在ADC 中，2,135AD BD ADC ==∠=，由余弦定理得：2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠，所以AC == ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分 （2）设(0π)BCD θθ∠=<<，在BCD △中，由余弦定理得：BD = ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 7分 由正弦定理得：sin 2sin sin BC BDC BD BDθθ∠==，AD BD == 8分 在ADC 中，由余弦定理得：2222cos(BDC)2ACAD CDAD CDπ128sin 20cos )2016sin()4BDC θθθθ=-++∠=+-=+-，┉ 10分当且仅当ππ42θ-=，即3π4θ=时，2AC 取得最大值36，即AC 取得最大值6，所以当3π4θ=时，线段AC 长度的最大值为6. ┉┉┉┉┉┉┉ 12分 22．解：（1）由题可知，设圆的方程为222()x a y r -+=， 由直线340x +=与圆相切于点，得22(1)+7=1a r ⎧--⎩，解得=4a ，4r =， ┉┉┉┉┉┉┉ 2分 ∴圆的方程为22(4)16x y -+=； ┉┉┉┉┉┉┉ 3分（2）由直线:(21)(1)74(R)l m x m y m m +++=+∈可得(27)(4)0m x y x y +-++-=；得2+7=0+4=0x y x y -⎧⎨-⎩，即 =3=1x y ⎧⎨⎩，即直线l 恒过定点(3,1)； ┉┉┉┉┉┉┉ 5分又22(34)+1=2<16-，即点(3,1)在圆C 内部； 圆C 的圆心为(4,0)C ；设直线l 恒过定点(3,1)P ；当直线l 与直线CP 垂直时，圆心到直线的距离最长，此时弦长最短；此时||CP =┉┉┉┉┉┉┉ 7分（3）由题意知，π2AOB ∠=，设直线OA 的斜率为(0)k k ≠，则直线OA 的方程为=y kx ，由22=+8=0y kx x y x ⎧⎨-⎩，得22(1)80k x x +-=，解得=0=0x y ⎧⎨⎩或228=1+8=1+x k k y k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，则点A 的坐标为2288(,)11kk k ++， 又直线OB 的斜率为1k-，同理可得：点B 的坐标为22288(,)11k kk k -++ ┉┉┉┉┉┉┉ 9分 由题可知：8(8,8),(8,)C k D k-，∴12||||||||.||||||||S OA OB OA OB S OD OC OC OD ==，┉┉┉┉┉┉┉┉ 10分 又228||11||81A C x OA k OC x k +===+，同理22||||1OB k OD k =+，∴214222221111214122S k S k k k k k===++++⋅．当且仅当||1k =时等号成立．∴12S S 的最大值为14． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 12分。

重庆八中2022—2023学年度（上）半期考试高二年级数学试题命题：王虎军、邓媛媛审核：伍晓琴打印：王虎军校对：邓媛媛一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．倾斜角为120°的直线经过点()2,3和()3,a ，则a =A ．0B ．23C ．233D ．4332．经过点()5,0A ，且与直线210x y +-=垂直的直线方程为A ．250x y +-=B ．250x y --=C ．210x y --=D ．2100x y +-=3．若圆221:1C x y +=与圆222:860C x y x y m +--+=内切，则m =A ．25B ．9C ．9-D ．11-4.油纸伞是中国传统工艺品，使用历史已有1000多年。

以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面。

油纸伞是世界上最早的雨伞，纯手工制成，全部取材于天然，是中国古人智慧的结晶。

在某市开展的油纸伞文化艺术节中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子，此时阳光照射方向与地面的夹角为75 ，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则该椭圆的长轴长为A ．3262-B ．622-C ．326-D ．62-5．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则直线CE 与1AD 所成的角的余弦值为A ．55B ．105C ．155D ．2556．已知圆22100x y y +-=，过点(2,2)P 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A ．22B ．23C ．42D ．437．设12,F F 分别是椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左､右焦点，若椭圆上存在点P ，使得22()0,OP OF F P +⋅=，其中O 为坐标原点，且12||||PF PF a =+，则该椭圆的离心率为A ．104B ．102C ．12D ．548.已知双曲线2222:1x y C a b-=，过右焦点F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为点A ，l 与C 的另一条渐近线交于点B ，若3AB AF =，则C 的离心率为A ．2B ．2C ．3D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线:230l ax y a +++=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值可能是A ．12B ．12-C ．3D ．3-10.已知P 是椭圆2212516x y +=上一点，椭圆的左､右焦点分别为12,F F ，122co 1s F PF ∠=，则下列结论正确的是A ．12F PF △的周长为16B ．123F PF S =VC ．点P 到xD ．2183PF PF ⋅=uuu r uuu r 11.已知正三棱柱111ABC A B C -，各棱长均为4，且点E 为棱1CC 上一动点（包含棱的端点），则下列结论正确的是AB ．三棱锥1B ABE -C ．直线1AB 与直线BE 恒不垂直D ．直线BE 与平面11ABB A 所成角的正弦值范围是⎣⎦12.1675年法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现了一种特殊的曲线——卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹.已知在平面直角坐标系xOy 中，()3,0M -，()3,0N ，动点P 满足12PM PN ⋅=，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是A ．曲线C 关于y 轴对称B ．曲线C 与x 轴交点为()-,()C ．PMN △面积的最大值为6D ．OP 的取值范围是三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．13.双曲线22124y x -=的渐近线方程为______________．14.已知双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)离心率为5，A 、B 分别为左、右顶点，点P 为双曲线C 在第一象限内的任意一点，点O 为坐标原点，若PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k ⋅=_______________．15.在直三棱柱111ABC A B C -中，12,4AB AC BC AA ====，则该直三棱柱的外接球的表面积为_______________.16．已知直线1l ：()1kx y k R +=∈与直线2l ：340x ky k -+-=相交于点M ，点N 是圆()()22:3109C x y +++=上的动点，则MN 的最大值为______________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．把答案填写在答题卡相应位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率e =（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知直线l 倾斜角为135 ，经过()2,1-且与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.18.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，14AA =，,E F 分别为1,AB A C 的中点.（1）证明：11//EF AA D D 平面；（2）求点1C 到平面1ACE 的距离.19.（本小题满分12分）已知圆22:4C x y +=.（1）若圆C 与直线:320l x my m -+-=相切，求m 的值；（2）已知点()1,0M ，过点P 作圆C 的切线，切点为Q ，再过P 作圆22:(1)(1)12C x y '-+-=的切线，切点为R ，若||||PQ PR =，求||MP 的最小值.20.（本小题满分12分）已知12(3,0),(3,0)F F -，点P 满足124PF PF -=，记点P 的轨迹为曲线C .斜率为k 的直线l 过点2F ，且与曲线C 相交于,A B 两点.（1）求曲线C 的方程；（2）求斜率k 的取值范围；（3）在x 轴上是否存在定点M ，使得无论直线l 绕点2F 怎样转动，总有0AM BM k k +=成立？如果存在，求出定点M ；如果不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，2AC CD ==，AD =PD =，3PC =.（1）求证：AD PC⊥（2）求平面PAB 与平面PCD 的夹角的正弦值.22.（本小题满分12分）定义：若点00(,)x y ，00(,)x y ''在椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>上，并满足0000220x x y y a b''+=，则称这两点是关于M 的一对共轭点，或称点00(,)x y 关于M 的一个共轭点为00(,)x y ''.已知点(2,1)A 在椭圆22:163x y M +=上，O 是坐标原点.（1）求点A 关于M 的所有共轭点的坐标；（2）设点P ，Q 在M 上，且PQ OA∥，求点A 关于M 的所有共轭点和点P ，Q 所围成封闭图形面积的最大值.。

俯视图侧视图正视图重庆一中2014-2015学年高二上学期期中考试数学理试题2014.11.数学试题共4页。

满分150 分。

考试时间120 分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线0122:=+-yxl的倾斜角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.下列四条直线中, 哪一条是双曲线1422=-yx的渐近线?( )A.xy21-= B.xy41-=C.xy2= D.xy4=3.如图1,一个几何体的三视图是由两个矩形和一个圆所组成,则该几何体的表面积是( )A.π7B.π8C.π10 D.12+π(图1)4.设x、y、z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③x、y是平面，z是直线；④x、y、z均为平面。

其中能使“yxzyzx//⇒⊥⊥且”为真命题的是( )A.③④B.①③C.②③D.①②5.直线l不经过坐标原点O, 且与椭圆1222=+yx交于A、B两点，M是线段AB的中点．那么,直线AB与直线OM的斜率之积为( )A.1-B.1C.21- D.26.已知命题:p直线2+=xy与双曲线122=-yx有且仅有一个交点；命题:q若直线l垂直于直线m,且,//α平面m则α⊥l. 下列命题中为真命题的是( )A.()()p q⌝∨⌝ B.()p q⌝∨ C.()()p q⌝∧⌝D.p q∧7.下列有关命题的说法错误．．的是( )侧视图B CA.对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p ：x R ∀∈， 均有210x x ++≥.B.“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件.C.命题“若12=x , 则1=x ”的否命题为：“若12≠x ,则1≠x ”.D.命题“若5≠+y x ，则32≠≠y x 或”是假命题.8.(原创)如下图2, 在平行四边形ABCD 中, AD=2AB=2, ∠BAC=90°. 将△ACD沿AC 折起, 使得BD=5. 在三棱锥D-ABC 的四个面中,下列关于垂直关系的叙述错误．．的是( ) A.面ABD ⊥面BCD B.面ABD ⊥面ACD C.面ABC ⊥面ACD D.面ABC ⊥面BCD (图2)(图3)9.(原创)如上图3, 四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形, 面PA B ⊥面ABCD. 在面PAB 内的有一个动点M, 记M 到面PAD 的距离为d . 若1||22=-d MC , 则动点M 在面PAB 内的轨迹是( ) A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分10.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12e =,右焦点为F （c, 0），方程20ax bx c +-=的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1, x 2)的位置( )A.必在圆222x y +=内B.必在圆222x y +=上C.必在圆222x y +=外D.以上三种情形都有可能二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上.11.过点P(3,1)向圆012222=+--+y x y x 作一条切线, 切点为A, 则切线段PA 的长为 .12.椭圆1002x +362y =1上一点P 到它的右准线的距离是10,那么P 点到左焦点的距离是 .13.一个几何体的三视图如图4, 则这个几何体的体积为 .A1B 1C 1E FGA B14.半径为5的球内包含有一个圆台, 圆台的上、下两个底面都是 球的截面圆, 半径分别为3和4. 则该圆台体积的最大值为 .15.(原创)设A 为椭圆12222=+by a x (0>>b a )上一点, 点A 关于原点的对称点为B, F 为椭圆的右焦点, 且AF ⊥BF. 若∠ABF ∈[12π,4π], (图4)则该椭圆离心率的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.(本小题13分)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>实轴长为2。

重庆市第一中学2021-2022高二数学上学期期中试题注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。

2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3. 考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列{}n a 的公差为2，且3a 是1a 与7a 的等比中项，则1a 等于( ) A. 6B.4C.3D.1-2. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，4,30a A ==，60B =，则b 等于( )B.6C. D.93. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为y =，则其离心率为（ ）D.24. 已知直线1:10l x ay +-=与直线2:210l x y -+=平行，则1l 与2l 的距离为（ ）A.15C.355．已知抛物线C ：28x y =的焦点为F ，()00A x y ，是C 上一点，且02AF y =，则0x =（ ） A.2B.2±C.4D.4±6．椭圆221259x y +=上一点M 到左焦点1F 的距离是2，N 是1MF 的中点，O 是坐标原点，则ON 的值为（ ） A. 8B. 4C.3D.27.已知双曲线方程为2222x y -=，则以点(2,3)A 为中点的双曲线的弦所在的直线方程为（ ）A.4310x y -+=B.210x y --=C.3460x y -+=D. 10x y -+=8. 若圆222:(0)C x y r r +=>与圆22:(3)(4)16E x y -+-=有公共点，则r 的范围（ ）A. (3,6)B. [1,7]C. [1,9]D. [4,8]9. 若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ）A.2B.3C.6D.810. 过抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F ，作斜率大于0的直线l 交抛物线于,A B 两点（A 在B 的上方），且l 与抛物线E 的准线交于点C ，若3CB BF =，则||||AF BF =（ ） A.2B.52C.3D.9411. 设1F 是双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的一个焦点，1A ，2A 是C 的两个顶点，C上存在一点P ，使得1PF 与以12A A 为直径的圆相切于Q ，且Q 是线段1PF 的中点，则C 的渐近线方程为（ ）A.y x =±B.y =C. 2y x =±D. 12y x =±12．设,A B 分别是双曲线2213y x -=的左右顶点，设过1(,)2P t 的直线,PA PB 与双曲线分别交于点,M N ,直线MN 交x 轴于点Q ，过Q 的直线交双曲线的于,S T 两点，且2SQ QT =，则BST ∆的面积（ ）D. 32二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。

重庆市巴蜀中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题本试卷共4页，22题．全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．综合题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，将答题卡交回，试题卷自行保存．一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．直线l 的方程是3260x y -+=，则直线l 经过（ )A ．一、二、三象限B ．一、二、四象限C ．一、三、四象限D ．二、三、四象限2．已知椭圆22:14y C x +=,则椭圆C 的（ ）A ．焦距为B ．焦点在x 轴上C ．离心率为12D ．长轴长为43．下列说法正确的是( ） A ．直四棱柱是正四棱柱B ．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C ．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线D ．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥4．下列双曲线中，渐近线方程为43y x =±的是( ） A ．22143x y -=B ．22143y x -=C ．221169x y -=D ．221169y x -=5．直线250x y ++=与直线20kx y +=互相垂直，则它们的交点坐标为（ ）A ．(1,3)--B ．(2,1)--C ．1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(1,2)-- 6．直线10()x my m R ++=∈与椭圆2212x y +=的位置关系是(）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种关系都可能7．赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥,因赵具古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米,拱顶离水面4米;当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（ )A ．10米B ．C ．D ． 8．已知,αβ是空间中两个不同的平面，m ,n 是空间中两条不同的直线,则下列命题正确的是（ ）A ．若//,//m n αβ,且//αβ，则//m nB ．若m α⊥，//n β,且αβ⊥，则m n ⊥C ．若,m ααβ⊥⊥，则//m βD ．若//,m m αβ⊥，则αβ⊥ 9．已知(4,0)A -,B 是圆22(1)(4)1x y -+-=上的点,点P在双曲线22197x y -=的右支上，则||||PA PB +的最小值为( ） A ．9 B ．6+ C ．10 D ．1210．已知F 为椭圆C ：2212x y +=的右焦点，点F 关于直线:1m y x =+的对称点为Q ，若直线l 过点Q ,且//l m ，则椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值为（ ）AB C D11．已知点P是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一动点，AB 为圆2224a x y +=的直径，若PA PB ⋅最小值为22c ，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2 D12．已知三棱锥P ABC -的所有棱长均为2，点M 为BC 边上一动点，若AN PM ⊥且垂足为N ，则线段CN 长的最小值为（ ）A B C D ．1二、填空题（本大题共4小题，每题5分,共20分．） 13．已知双曲线2222mx my -=的一个顶点是(0,1),则m 的值是_______________． 14．过两圆224x y +=和22(2)(1)1x y -++=交点的直线方程为____________．15．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体,它们的棱长都相等,其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若该二十四等边体棱长为1，则该二十四等边体的体积为____________．16．如图,已知P 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上的点，点A 、B 分别在直线12y x =与12y x =-上，点O 为坐标原点，四边形OAPB 为平行四边形，若平行四边形OAPB 四边长的平方和为定值,则椭圆C 的离心率为________．三、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分） 已知12,F F 分别是双曲线C :22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，点P 是双曲线上一点，满足12PF PF ⊥且128,6PF PF ==．（1)求双曲线C 的标准方程；(2)若直线l 交双曲线于A ，B 两点，若AB 的中点恰为点(2,6)M ，求直线l 的方程．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，1PA =,直线PB 、PD 与平面ABCD 所成角分别为30°、45°，E 为CD 的中点．（1)已知点F 为PB 中点，求证://CF 平面PAE ； （2）求二面角P BD A --的余弦值． 19．（本小题满分12分） 已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． (1）求椭圆C 的标准方程；(2)直线:1l y x =+与椭圆C 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，若点E 满足()OE t OM ON =+，且点E 在椭圆C 上，求实数t 的值． 20．（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在第一象限内，圆C 关于直线3y x =对称,与x 轴相切，被直线y x =截得的弦长为27． (1)求圆C 的方程；（2）若点P 在直线10x y ++=上运动，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B 点,求四边形PACB 面积的最小值．21．（本小题满分12分）如图，已知四棱柱ABCD A B C D '-'''的侧棱长为4，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E 为BC 中点，直线AE 和CD 交于点H ，C H '⊥面ABCD ．（1）求证:BD A H ⊥'；（2)若3BAD π∠=,在线段AA '上是否存在一点M ，使得平面MBD 与平面BCC '所成锐二面角为60°,若存在，求||MA AA'的值；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为1F ，2F ，P是椭圆上的点，当点P 在椭圆上运动时，12PF F 面积的最大值为4，当1PF x ⊥轴时，12PF F 面积为22．(1）求椭圆C 的标准方程；（2)如图，若直线1PF 、2PF 交椭圆另一点分别是A 、B ，点P 不在x 轴上，且||||2PA PB +=P 的坐标．高2022届高二（上）期中考试参考答案数学一、单选题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A DCD BAC DCB A A二、填空题答案131415162-240x y --=52332解析：9题:设点(1,4)C ，点B 在圆上，则||||||1PB PC r PC ≥-=-，由点P 在双曲线右支上，点A 为双曲线左焦点，设A '为双曲线右焦点，所以由双曲线定义知|?|||2||6PA PA a PA =+=+'， 所以||||||6||61||55510PA PB PA PB PA PC A C '+=++≥++-≥+=+=''，故选C ． 10题：由点2(1,0)F 关于直线1PF ：1y x =+对称点为(1,2)Q -，所以直线:3l y x =+，设椭圆的参数方程为2cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，设点(2cos ,sin )M θθ，则点M 到直线l 的距离为：|2cos 3sin ||33sin()|33222d θθθφ+--++==≤，故选B ．11题：222223()()()()44a a PA PB PO OA PO OB PO OA PO OA PO OA a ⋅=++=+-=-≥-=，所以222233422a c c a =⇒=，所以23622e e =⇒=，故选A ．12题：取PA 中点O ,因为AN PM ⊥，所以点N 在以O 为球心，半径为1的球面上，又点N 在平面PBC 上,故N 的轨迹为一段圆弧,设点O 在平面PBC 的投影点为1O ，且点1O PS ∈（S 为BC 中点)，则点N在以1O 为圆心的圆弧上，经计算得163OO=,则133NO =，1213CO=,当点N 在1CO 上时,CN 取最小值2133-,故选A．14解：两圆方程相减就得公共弦的方程:240x y --=．152，则正方体的体积为22又截去的8个三棱锥为全等三棱锥，都有三条互相垂直的棱长，故截去体积为211832223⎛⨯⨯⨯⨯= ⎝⎭,所以24等边体的体积为V ==．16解：（法一）设()0,P x y ，则直线PA 的方程为0122xy x y =-++，直线PB 方程为00122x y x y =-+，联立方程组0012212x y x y y x⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得0000,242x x y A y ⎛⎫++⎪⎝⎭， 联立方程组0012212x y x y y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得0000,242x x y B y ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， 则2222222200000000005524224282x x y x x y PA PB y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-++++=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又点P 在椭圆上，则有22222200b xa y ab +=，因为22005582x y +为定值,则22222213,,44b a b e e a a -====法二：设()121200,,,,,22x x A x B x P x y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由AB 和OP 中点相同，则1201202x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 所以()222221201204224x x x AB x x y ⎛⎫=-++=+ ⎪⎝⎭平行四边形性质边长平方和等于222222220000004544x x AB OP y x y y ⎛⎫+=+++=+ ⎪⎝⎭为定值,又点P 在椭圆上,则有2222220b xa y ab +=，因为220014x y +为定值,则22222213,,44b a b e e a a -====．三、解答题答案： 17．解：(1)1222a PF PF =-=，所以1a =，在三角形12PF F 中，2221212100F F PF PF =+=，所以24100c =，22225c a b ==+，则224b =，故双曲线的标准方程为：22124y x -=(5分） (2）设()()1122,,,A x y B x y ，有222212122112222212424124y x y y x x y x ⎧-=⎪-⎪⇒-=⎨⎪-=⎪⎩,所以221212122112122224y y y y y y x x x x x x --+==⋅--+ 又121212126,32ABy y y y kx x x x -+===-+，所以3248AB AB k k ⋅=⇒=,所以直线AB 方程为：68(2)810y x y x -=-⇒=-,满足0∆>，符合题意 （10分）18．（1）取AB 中点G ，连结GF ，CG ,∵在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为CD 的中点，∴//,//CG AE FG PA ， ∵,CG FG G AE PA A ⋂=⋂=，∴//CG 平面PAE ，//FG 平面PAE ∴平面//CFG 平面PAE ，∵CF ⊂平面CFG ,∴//CF 平面PAE ． （6分）(2)由PA ⊥面ABCD ，所以PBA ∠为PB 与面ABCD 所成角，30PBA ∠=︒ 所以PDA ∠为PB 与面ABCD 所成角，45PDA ∠=︒由1PA =，所以1AB AD ==，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 为x ，y ,z 正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B D P ，平面PBD 中：(3,0,1)PB =-，(0,1,1)PD =-，设法向量(,,)n x y z =,则0PB n PDn ⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩，0z y z -=-=⎪⎩取z =则1,x y ==,则(1,3,n =，又PA ⊥平面ABCD ，故平面ABD 的法向量为：(0,0,1)m =， 设二面角P BD A --的平面角为θ，所以||3cos ||77m n m n θ⋅===． （12分）也可以不建系，直接找出二面角的平面角来求．19．解：（1）122c a c a =⇒=，所以22224,3a c b c ==，所以椭圆方程为：22243x y c +=,过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以2914143c =+=，所以椭圆方程为：22143x y +=，（4分）（2)设()()1122,,,M x y N x y ,联立2212212817788043817x x x y x x x x y x ⎧⎧+=-⎪⎪+=⎪⎪⇒+-=⇒⎨⎨⎪⎪=-=+⎪⎪⎩⎩所以12128611277yy x x +=+++=-+= 又()()()121286(),,77t t OE t OM ON t xx t y y ⎛⎫=+=++=- ⎪⎝⎭，所以点86,77t t E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，带入椭圆中：2226436749491434t t t t +=⇒=⇒= （12分）20．解：（1)设圆C 的标准方程为：222()(),(0,0)x a y b r a b -+-=>>，所以圆心C 为(,)a b由圆C 关于直线3y x =对称有：3b a = ① 与x 轴相切：3r b a == ② 点C 到y x =的距离为:d ===， 被直线y x =截得的弦长为有:222r d =+,结合②有：22927a a =+，所以21a=,又0a >,所以1a =,33r b a ===, 所以圆的标准方程为：22(1)(3)9x y -+-=， （6分）(2）由,PA PB 与圆相切，所以,,3CA PA CB PB CA CB ⊥⊥==,由PAC PAB≌，所以12232PABPACBSSCA PA PA ==⨯⨯=四边形，又PA ==C l PC d →≥==（当PC l ⊥时取等）所以3PACBSPA =≥=四边形（当PC l ⊥时取等）所以四边形PACB 面积的最小值为2 （12分） 21．解：（1）由菱形ABCD 中：BD AC ⊥，又//AC A C ''，所以BD A C ⊥''， 又C H '⊥面ABCD，所以C H BD '⊥，所以BD ⊥面A C H'',所以BD A H '⊥（4分) （2）在HAD 中,1//,2CE AD CE AD =，所以 CE 为中位线,则C 为DH 中点，CD CH=,∴AB CH =又//AB CH ，所以ABHC 为平行四边形,∴,//BH AC BH AC =，又ACC A ''为平行四边形,∴BH A C =''，//BH A C '',∴BHC A ''为平行四边形 ∴//,C H A B C H A B ''''=又C H '⊥面ABCD ,所以A B '⊥面ABCD ． 在RtC CH'中，4,2CC CH ='=，则23C H '=,三角形ABD 中,,3AB AD BAD π=∠=，所以2BD AB ==，所以三角形BCD 为正三角形，以点B 为坐标原点,,BA BA '为y ，z 轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则(0,0,0),(3,1,0),(0,2,23)(0,2,0),(0,0,23),(3,1,0)B C B A A D -''-设(0,2,23),(01),(0,223)AM AA BM BA AM λλλλλλ'==-≤≤=+=-，所以点(0,22,23)M λλ-，面MBD 中：(3,1,0)BD =,(0,22,23)BM λλ=-,设法向量(,,)n x y z =00n BD n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则30(22)30x y y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取3y λ=, 则,1x z λλ=-=-，所以(,3,1)n λλλ=--平面BB C '中，(3,1,0),(0,2,23)BC BB =-=-'，设法向量(,,)m x y z =，00m BC m BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 则302230x y y z -=-+=⎪⎩,取3y =，则1,1x z ==，所以(1,3,1)m =若存在，则22||1cos60254(1)n m n m λλ⋅︒===+-∣∣，化简有：()2224(31)54(1)λλλ-=+- 有2111410λλ--=，所以7215λ-=7215+由721572151-+<>，且01λ≤≤，所以在线段AA '上不存在点M ． （12分) 22．解（1）2222422222bc a b c a b c a b c=⎧⎪⎧=⎪⎪⇒=⎨⎨==⎪⎩⎪⎪=+⎩，所以椭圆方程为22184x y +=(4分）（2）设直线1PF 为：2x my =-，2PF ：2x ny =+联立方程22228x my x y =-⎧⎨+=⎩,消x 有：()222440m y my +--=，则()21221223214242m m y y m y y m ⎧∆=+⎪⎪⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩则()2212224211||142122m PA m y y m m +⎫=+-==-⎪++⎭同理可得：)2212224211||142122n PB n y n n +⎫=+-==-⎪++⎭，由||||2PA PB +=，所以2211211222m n ⎫-+-=⎪++⎭2222122m n ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭，则224||2m n mn =⇒=， 又00001212y m x y n x ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪-⎩，则20201142y mn x ==±-，若22200020112442y y x mn x ==-⇒=--,又220028x y +=，有220048x x +-=，矛盾,不成立,若22200020112442y y x mn x ==⇒=--，又220028x y +=，所以2002006611x x y y ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨==±⎪⎪⎩⎩所以点P 的坐标为6,1),(6,1),(6,1),(6,1)--． （12分）。

高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。

）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。

高二上学期数学期中考试卷含解析数学在科学进展和现代生活生产中的应用专门广泛，查字典数学网为大伙儿举荐了高二上学期数学期中考试题，请大伙儿认真阅读，期望你喜爱。

一、填空题(本题共14小题，每小题5分，合计70分。

请把答案直截了当填写在答题纸相应的位置上.)1. 不等式3-xx-10的解集为____ ▲____.2. 若命题对xR，x2+4cx+1是假命题，则实数c的取值范畴是___ ▲_ ____.3.从1、2、3、4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则那个两位数大于20的概率为____ ▲____.4. 某人5 次上学途中所花的时刻(单位：分钟)分别为x,8,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，则其方差为____ ▲____.5.假如执行如图所示的流程图，那么输出的S=___ ▲_____.6.已知△ABC的三个内角A、B、C,B是sinAsinB的_______ ▲_____ ___条件.(选填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)7.在区间[-5,5]内随机地取出一个数a，则使得a{a|-a2+a+20}的概率为_ ___ ▲____.8. 已知椭圆x210-m+y2m-2=1，长轴在y轴上.若焦距为4，则m=___ ▲____.9.已知变量x、y满足x-4y+303x+5y-251，则的最大值______ ▲____ ___.10. 已知正数x，y满足x+ty=1，t是给定的正实数.若1x+1y的最小值为16，则正实数t的值是▲.11.已知函数f(x)=21-x，x1，2-log2x，x1，则满足f(x)1的x的取值范畴是_______▲_____.12.已知椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a0)，过椭圆右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，x轴一点M( ,0)，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于____▲____.13. 不等式a2+8b2b(a+b)对任意a、bR恒成立，则实数的取值范畴为_ _____▲______.14.设a=x2-xy+y2，b=pxy，c=x+y，若对任意的正实数x、y，都存在以a、b、c为三边长的三角形，则实数p的取值范畴是____▲______.二、解答题(本题共6小题，合计90分。

高二上册数学期中试卷及答案精选学生的时代只有课本、作业、同学和试卷，单纯却美好。

下面小编整理了高二上册数学期中试卷及答案精选，欢迎阅读参考。

高二上册数学期中试卷及答案精选(一)一、单项选择(注释)1、在△ABC中，已知60°，如果△ABC 两组解，则x的取值范围是 ( )A.(1，2)B. (3，+∞)C.( 2，+∞)D.( 1，+∞)2、已知函数，若则实数的取值范围是 ( )A.(1，+∞)B. (1，-∞)C. (+∞，2)D.(-∞，2)3、设函数则不等式的解集是( )A.(1，2) (3，+∞)B.(1，2) (2，+∞)C. (1，2) (3，-∞)D.(1，2) (2，-∞)4、已知正数满足 , ,则的取值范围是______ .5、已知实数满足则的最大值是( )A.4B.5C. 7D.46、设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为( )A.(1，2) (3，+∞)B.( ，+∞)C.(1，2) ( ，+∞)D.(1，2)7、下列不等式(1)m-3>m-5;(2)5-m>3-m;(3)5m>3m ;(4)5+m>5-m其中正确的有( )(A)1个 (B)2个(C)3个 (D)4个8、已知等差数列的前项和为，，，取得最小值时的值为( )A. B. C. D.9、设等差数列的前项和为 ,若 ,则等于( )A.18B.36C.45D.6010、S={1,2,…,2003}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等差数列.那么，这样的三元子集A的个数是( )A. B.C. D.11、设等差数列满足： ,则 ( )A.14B.21C.28D.3512、在中，，，分别是，，的对边，已知，，成等比数列，且，则的值为( )A. 4B.2C. 1D.5评卷人得分二、填空题(注释)13、已知 ,若恒成立,则实数的取值范围_________14、已知不等式(x+y) 对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为__________15、在△ 中，若，则△ 的形状是16、在△ABC中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC=________.评卷人得分三、解答题(注释)17、设数列满足下列关系：为常数)， ;数列满足关系： .(1)求证：(2)证明数列是等差数列.18、已知集合A={x|x2<4}，B={x|1< }.(1)求集合A∩B;(2)若不等式2x2+ax+b<0的解集为B，求a、b的值.19、已知数列的各项均为正整数,且 ,设集合 .性质1 若对于 ,存在唯一一组 ( )使成立,则称数列为完备数列,当k取最大值时称数列为k阶完备数列.性质2 若记 ,且对于任意 , ,都有成立,则称数列为完整数列,当k取最大值时称数列为k阶完整数列.性质3 若数列同时具有性质1及性质2,则称此数列为完美数列,当取最大值时称为阶完美数列;(Ⅰ)若数列的通项公式为 ,求集合 ,并指出分别为几阶完备数列,几阶完整数列,几阶完美数列;(Ⅱ)若数列的通项公式为 ,求证:数列为阶完备数列,并求出集合中所有元素的和 .(Ⅲ)若数列为阶完美数列,试写出集合 ,并求数列通项公式.20、已知数列为等差数列,公差 ,其中恰为等比数列,若 , , ,⑴求等比数列的公比⑵试求数列的前n项和21、已知是各项均为正数的等比数列,且 ,;(1)求的通项公式;(2)设 ,求数列的前项和 .22、在数列中, .(1)证明数列是等比数列;(2)设是数列的前项和,求使的最小值.参考答案一、单项选择1、【答案】C2、【答案】C【解析】由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择C。

2023-2024学年高二数学上学期期中考试一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．“lg 0m >”是“方程()2211m x y m -+=-表示椭圆”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】lg 0m >等价于1m >.若2m =，则方程()2211m x y m -+=-表示单位圆.若方程()2211m x y m -+=-表示椭圆，则椭圆方程可化为2211y x m +=-，则1m >且2m ≠.故“lg 0m >”是“方程()2211m x y m -+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B.2．直线()()()2212:110,:120l a x ay l a x a a y -+-=-+++=，若12//l l ，则实数a 的值不可能是（）A ．1-B ．0C ．1D ．2-【答案】A【分析】根据平行列式，求得a 的值，进而确定正确答案.【详解】由于12//l l ，所以()()()2211a a a a a -⨯+=⨯-，()()()21110a a a a a +---=，()()()()()()22211112120a a a a a a a a a a ⎡⎤-+-=-+=-+=⎣⎦，解得0a =或1a =或2a =-.当0a =时，12:10,:20l x l x --=-+=，即12:1,:2l x l x =-=，两直线平行，符合题意.当1a =时，12:10,:220l y l y -=+=，即12:1,:1l y l y ==-，两直线平行，符合题意.当2a =-时，12:3210,:3220l x y l x y --=-++=，即12:3210,:3220l x y l x y --=--=，两直线平行，符合题意.所以a 的值不可能是1-.故选：A3．如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===．点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN等于（）A ．121232a b c-+ B ．211322a b c-++C ．111222a b c+- D ．221332a b c+-【答案】B【分析】连接ON ，利用空间向量基本定理可得答案.【详解】连接()12211,23322ON MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选：B.4．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，P 是1AA 的中点，若1AM AB AA λμ=+，[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，若1D M CP ⊥，则BCM 面积的最小值为（）A ．4B ．8C ．855D ．82【答案】C【分析】由题意知点M 在平面11ABB A 内，建立如图空间直角坐标系A xyz -，设(,0,)M a b ，根据空间向量的数量积的坐标表示可得24b a =-，取AB 的中点N ，连接1B N ，则点M 的轨迹为线段1B N ，过点B 作1BQ B N ⊥，结合线面垂直的性质即可求解.【详解】由1,[0,1]AM AB AA λμλμ=+∈、，知点M 在平面11ABB A 内，以1,,AB AD AA 所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系A xyz -，则1(0,0,2),(4,4,0),(0,4,4)P C D ，设(,0,)M a b ，则1(,4,4),(4,4,2)D M a b CP =--=-- ，由1D M CP ⊥，得1416280D M CP a b ⋅=-++-=，即24b a =-，取AB 的中点N ，连接1B N ，则点M 的轨迹为线段1B N ，过点B 作1BQ B N ⊥，则4245525BQ ⨯==，又BC ⊥平面11ABB A ，故BC BQ ⊥，所以BCM S △的最小值为145854255QBC S =⨯⨯= .故选：C.5．在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，将军从点()2,0A 出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程（）A ．101-B ．251-C ．25D ．10【答案】B【分析】根据题意作出图形，然后求出()2,0A 关于直线4x y +=的对称点A '，进而根据圆的性质求出A '到圆上的点的最短距离即可.【详解】若军营所在区域为22:1x y Ω+≤，圆：221x y +=的圆心为原点，半径为1，作图如下：设将军饮马点为P ，到达营区点为B ，设(),A x y '为A 关于直线4x y +=的对称点，因为()2,0A ，所以线段AA '的中点为2,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭，则2422x y ++=即60x y +-=，又12AA yk x '==-，联立解得：42x y =⎧⎨=⎩，即()4,2A '，所以总路程||||||||PB PA PB PA '+=+，要使得总路程最短，只需要||||PB PA '+最短，即点A '到圆22=1x y +上的点的最短距离，即为11OA OB OA ''-=-=.故选：B.6．在等腰直角三角形ABC 中，4AB AC ==，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图）．若光线QR 经过ABC 的重心，则QR 的长度等于（）AB．9C．9D．9【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，得出ABC 各顶点以及重心的坐标，设(),0P a ，04a <<.求出直线BC 的方程，根据光的反射原理得出点P 关于BC 以及y 轴的对称点的坐标，表示出RQ 的方程，代入重心坐标，求出a 的值，得出RQ 的方程.进而求出,R Q 的坐标，即可根据两点间的距离公式得出答案.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()4,0B ，()0,4C ，ABC 的重心坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭，BC 方程为40x y +-=，设(),0P a ，04a <<.根据光的反射原理以及已知可知，点P 关于BC 的对称点1P 在QR 的反向延长线上，点P 关于y 轴的对称点2P 在QR 的延长线上，即12,,,P P Q R 四点共线.由已知可得点()111,P x y 满足()11110422011a x y y x a++⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯-=--⎪⎩，解得1144x y a =⎧⎨=-⎩，所以()14,4P a -.易知()2,0P a -.因为12,,,P P Q R 四点共线，所以有直线QR 的斜率为()40444a ak a a ---==--+，所以，直线QR 的方程为()44ay x a a-=++.由于直线QR 过重心44,33⎛⎫⎪⎝⎭，所以有444343a a a -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，整理可得2340a a -=，解得43a =或0a =（舍去），所以直线QR 的方程为44434343y x -⎛⎫=+⎪⎝⎭+，整理可得3640x y -+=.所以，R 点坐标为20,3⎛⎫⎪⎝⎭.联立QR 与BC 的方程364040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得209169x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2016,99Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，QR ==.故选：B.7．正四面体的棱长为3，点M ，N 是它内切球球面上的两点，P 为正四面体表面上的动点，当线段MN 最长时，PM PN ⋅的最大值为（）A ．2B ．94C ．3D ．52【答案】C【分析】设四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，根据题意求出内切球的半径，当MN 为内切球的直径时，MN 最长，再化简()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+可求得其最大值.【详解】设正四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，则AO BO =.因为正四面体的棱长为3，所以22333BG BE ==所以AG ===r ，则()222AG r r BG -=+，)22rr =+，解得4r =，当MN 为内切球的直径时MN 最长，此时0+= OM ON，238OM ON ⋅=-=-⎝⎭ ，()()PM PN PO OM PO ON⋅=+⋅+()2238PO PO OM ON OM ON PO =+⋅++⋅=- ，因为P 为正四面体表面上的动点，所以当P 为正四体的顶点时，PO 最长，POPM PN ⋅的最大值为23348⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C8．已知M 为椭圆：()222210x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 为左右焦点，设12MF F α∠=，21MF F β∠=，若sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+，则离心率e =（）A ．12B ．13C ．12D ．23【答案】C【分析】设12||,||MF m MF n ==，12||2F F c =，结合三角恒等变换以及正余弦定理将sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+化为22243224c n m n m m c cm+--⋅=+，继而推出,,a b c 的关系，求得答案.【详解】设12||,||MF m MF n ==，12||2F F c =，则2m n a +=，由sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+得3sin 3sin cos sin cos sin ααββαβ-=+，即3sin 2sin cos sin sin cos cos sin sin sin()ααββαβαββαβ-=++=++，在12MF F △中，由正弦定理得1222sin sin sin sin()n m c cF MF αβαβ===∠+，故32cos 2n m m c β-=+，又2224cos 4c n mcmβ+-=，故22243224c n m n m m c cm+--⋅=+，即282(3)()()0c c m n m n n m +-++-=，即[4()][2()]0c m n c n m -+--=，即4c m n =+或2c n m =-，结合椭圆定义可知2m n c +>且||2m c -<，故4c m n =+，即142,2c c a e a =∴==，故选：C【点睛】关键点睛：本题是椭圆的离心率的求解问题，即求,,a b c 之间的关系，解答的关键是对于已知等式的化简，即利用三角恒等变换结合正余弦定理将sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+转化为三角形边之间的关系式，进而化简可得,,a b c 的关系，即可求解答案.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积可能是（）A ．1B ．3C ．4D ．7【答案】BC【分析】根据给定条件，求出线段AB 长，点P 到直线AB 的距离范围，再利用三角形面积公式求解即得.【详解】依题意，点(2,0),(0,2)A B --，则||AB =圆()2222x y -+=的圆心(2,0)C ，半径2r =，则点C 到直线AB 的距离4222r =>，因此点P 到直线AB 的距离[2,32]d ∈，ABP 的面积1||2[2,6]2S AB d d =⋅=∈，显然BC 满足，AD 不满足.故选：BC10．已知圆2221:2100C x y mx y m ++-+=，圆222:450C x y y ++-=，则下列说法正确的是（）A ．若点()1,1在圆1C 的内部，则24m -<<B ．若2m =，则圆12,C C 的公共弦所在的直线方程是41490x y -+=C ．若圆12,C C 外切，则15m =±D ．过点()3,2作圆2C 的切线l ，则l 的方程是3x =或724270x y -+=【答案】BCD【分析】根据点在圆的内部解不等式2112100m m ++-<+即可判断A 错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B 正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C 正确；对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D 正确.【详解】对于A ，由点(1,1)在圆1C 的内部，得2112100m m ++-<+，解得42m -<<，故A 错误；对于B ，若2m =，则圆221:41040C x y x y ++-+=，将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是41490x y -+=，故B 正确；对于C ，圆1C 的标准方程为22()(5)25x m y ++-=，圆心为()1,5C m -，半径15r =，圆2C 的标准方程为22(2)9x y ++=，圆心为()20,2C -，半径23r =，若圆12,C C 外切，则1212C C r r =+，即24953m +=+，解得15m =±，故C 正确；对于D ，当l 的斜率不存在时，l 的方程是3x =，圆心2C 到l 的距离23d r ==，满足要求，当l 的斜率存在时，设l 的方程为()32y k x =-+，圆心2C 到l 的距离224331k d r k -===+，解得724k =，所以l 的方程是724270x y -+=，故D 正确.故选：BCD.11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为11A B 的中点，P 为棱BC 上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（）A ．存在点P ，使11D P AC ⊥B ．存在点P ，使1PE D E =C ．四面体11EPCD 的体积为定值83D ．二面角11P DE C --的余弦值的取值范围是23⎡⎢⎣⎦【答案】AB【分析】利用向量法，根据线面垂直，两点间的距离，几何体的体积，二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设()02CP a a =≤≤，则(),2,0P a ，()2,1,2E ，()()12,0,0,0,2,2A C ，()10,0,2D ，则()12,2,2AC =- ，()1,2,2D P a =-，112442D AC a a P ⋅=-+-=-，当0a =时，即P 点与C 点重合时，11D P AC ⊥，故A 正确.由1PE D E =2a =，此时P 点与B 点重合，故B 正确.111111111422223323E PC D P C D E C D E V V S --==⨯⋅=⨯⨯⨯⨯= 为定值，故C 错误.又()12,1,0D E = ，()1,2,2D P a =-，设平面1D EP 的法向量()1,,n x y z = ，由11112002200D E n x y D P n ax y z ⎧⋅=+==⎪⎨⋅=+-==⎪⎩，令1x =则=2y -，22a z =-，11,2,22a n ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭ ，又平面11D EC 的法向量()20,0,2n =，12cos ,22n an ∴=-又02a ≤≤，122cos ,3n n ⎤∴∈⎣⎦，故D 错误.故选：AB12．已知椭圆222:12x y C m+=的焦点分别为()10,2F ，()20,2F -，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（）A ．26m =B．椭圆C C ．直线l 的方程为320x y +-=D ．2F MN的周长为【答案】AC【分析】先由题意求出2m 即可判断A ；再根据离心率公式即可判断B ；由点差法可以求出直线l 的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C ；由焦点三角形的周长公式即可判断D.【详解】如图所示：根据题意，因为焦点在y 轴上，所以224m -=，则26m =，故选项A 正确；椭圆C的离心率为2636c e a ===，故选项B 不正确；不妨设()()1122,,,M x y N x y ，则2211126x y +=，2222126x y +=，两式相减得()()()()1212121226x x x x y y y y +-+-=-，变形得121212123y y x x x x y y -+=-⨯-+，又注意到点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点，所以121212121221122P P x x x x x y y y y y ++====++，所以直线l 的斜率为121212123313l y y x k xx x y y ⨯=-+⨯--=-+=-=，所以直线l 的方程为11322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即320x y +-=，故选项C 正确；因为直线l 过1F ，所以2F MN 的周长为()()22212122446F M F N MN F M F M F N F N a a a ++=+++=+==，故选项D 不正确.故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在三棱锥-P ABC 中，PC ⊥底面,90,4,45ABC BAC AB AC PBC ∠∠==== ，则点C 到平面PAB 的距离是.【答案】463/463【分析】建立空间直角坐标系，设平面PAB 的一个法向量为(),,m x y z =，由点C 到平面PAB 的距离为PC m d m⋅=求解.【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,0,4,42A B C P ，所以()()()0,4,42,4,0,0,0,0,42AP AB PC ===-.设平面PAB 的一个法向量为(),,m x y z =，则0,0,m AP m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即4420,40,y z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩令y 1z =-，所以()1m =-，所以点C 到平面PAB的距离为PC m d m⋅==14．若非零实数对(),a b满足关系式1771a b a b ++=-+=，则a b=．【答案】34-或43【分析】化简转化为点到直线的距离，利用直线的位置关系即可求解.【详解】由1771a b a b ++=-+=5==，()1,1A 到直线10ax by ++=的距离1d，()7,7B -到直线10ax by ++=的距离2d ，5==，所以125d d ==.因为10AB =，1210d d +=，所以当点A ，B 在直线10ax by ++=同侧时，直线AB 与直线10ax by ++=平行，当点A ，B 在直线10ax by ++=异侧时，A ，B 关于直线10ax by ++=对称，因为直线AB 的斜率174173k +==--，直线10ax by ++=的斜率为ab-，所以43a b -=-或413a b ⎛⎫⎛⎫-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以43a b =或34ab=-.故答案为：34-或43.15．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为(2,1)P 且斜率为1-的直线与C 相交于,A B 两点，若P 恰好是AB 的中点，则椭圆C 上一点M 到F 的距离的最大值为.【答案】3/3+【分析】利用点差法可求基本量的关系，再结合通径的长可求基本量，故可求焦半径的最大值.我们也可以联立直线方程和椭圆方程，从而可用基本量表示中点，从而得到基本量的一个关系式，同样结合通径长可取基本量，故可求焦半径的最大值.【详解】法一：将x c =代入椭圆C 的方程得2b y a =±，所以22ba=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，又124x x +=，1212122,1y y y y x x -+==--，所以22210a b-=②，解①②得3a b ==，所以3c =，所以C 上的点M 到焦点F的距离的最大值为3a c +=.法二：将x c =代入椭圆C 的方程得2by a=±，所以22b a =，直线AB 的方程是1(2)y x -=--，即3y x =-，代入椭圆的方程并消去y 整理得()2222222690a b x a x a a b +-+-=，则()()()()22222222222490694a a b a a b a b a b ∆=--++-->=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122264a x x a b+==+，即222a b =②，解①②得3a b ==，满足0∆>，所以3c =，所以C 上的点M 到焦点F的距离的最大值为3a c +=.故答案为：3.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A --，圆22:1O x y +=，在直线AO 上存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQλλ=为常数），则Q 的坐标为．【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设00(,)Q x y ，(,)P x yλ=对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立，从而得到202202(22)()320x x y x λλλ+++--=对任意[x y +∈恒成立，从而得到202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩，即可求出λ与0x ，从而得解.【详解】设00(,)Q x y ，(,)P x y ，则PA =PQ =若在直线AO 上存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQλλ=为常数)，λ=对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立，即22222200(1)(1)()()x y x x y y λλ+++=-+-，整理得222222022000(1)()(22)(22)2()0x y x x y y x y λλλλ-++++++-+=，因为点Q 在直线AO 上，所以00x y =，由于P 在圆O 上，所以221x y +=，故202202(22)()320x x y x λλλ+++--=恒成立，其中点(),P x y 在圆22:1O x y +=上，令x y m +=，则0x y m +-=，所以直线0x y m +-=与圆有交点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即1d ≤，解得m ≤≤[x y +∈，所以202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩，显然0λ≠，所以021x λ=-，故22230λλ--=，因为0λ>，解得λ=1λ=.当1λ=时，(1,1)Q --，此时,Q A 重合，舍去.当λ=11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，综上，存在满足条件的定点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时λ=故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用题设条件，结合221x y +=与00x y =化简得202202(22)()320x x y x λλλ+++--=恒成立，从而得到关于0,x λ的方程组，由此得解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD DC =，E ，F 分别是AB ，PB 的中点.(1)求证：EF CD ⊥.(2)已知点G 在平面PAD 内，且GF ⊥平面PCB ，试确定点G 的位置.【答案】(1)证明见解析(2)点G 为AD 的中点【分析】（1）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设AD a =，再根据0EF DC ⋅= 即可证明.（2）设(,0,)G x z ，根据GF ⊥平面PCB 得到0FG CB ⋅= ，0FG CP ⋅= ，即可得到答案.【详解】（1）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图），设AD a =，则(0,0,0)D ，(,,0)B a a ，(0,,0)C a ，,,02a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,0,)P a ，,,222a a a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以,0,22a a EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，(0),,0DC a = ，所以,0,(0,,0)022a a EF DC a ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪⎝⎭ ，所以EF CD ⊥.（2）因为∈G 平面PAD ，设(,0,)G x z ，所以,,222a a a FG x z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ .由（1），知(,0,0)CB a = ，(0,),CP a a =- .因为GF ⊥平面PCB ，所以,,(,0,0)()02222a a a a FG CB x z a a x ⎛⎫⋅=---⋅=-= ⎪⎝⎭ ，2,,(0,,)022222a a a a a FG CP x z a a a z ⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以2a x =，0z =，所以点G 的坐标为,0,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即点G 为AD 的中点.18．（12分）已知直线:1l y kx k =+-．(1)求证：直线l 过定点；(2)若当44x -<<时，直线l 上的点都在x 轴下方，求k 的取值范围；(3)若直线l 与x 轴、y 轴形成的三角形面积为1，求直线l 的方程．【答案】(1)证明见解析(2)11[,]35-(3)(21y x =+++(21y x =+【分析】（1）由直线方程观察得定点坐标即证；（2）由4x =±时对应点的纵坐标不小于0可得；（3）求出直线与坐标轴的交点坐标，再计算三角形面积从而得直线的斜率，即得直线方程．【详解】（1）由1y kx k =+-，得1(1)y k x +=+．由直线方程的点斜式可知，直线l 过定点(1,1)--；（2）若当44x -<<时，直线l 上的点都在x 轴下方，则410,410,k k k k -+-≤⎧⎨+-≤⎩解得1135k -≤≤，所以k 的取值范围是11[,35-；（3）设直线l 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，坐标原点为O ．当0x =时，得||||1|OB k =-，当0y =时，得|1|||||k OA k -=，所以11|1||||||1|22||AOB k S OA OB k k -==-⨯△，即211|1|12||k k -⨯=，解得2k =2，所以直线l 的方程为(21y x =+(21y x =+19．（12分）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX 中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD （包含边界和内部，A 为坐标原点），AD 10米，在AB 边上距离A 点4米的F 处放置一只电子狗，在距离A 点2米的E v ，电子狗行走速度为2v ，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M ，那么电子狗将被机器人捕获，点M 叫成功点．(1)求在这个矩形场地内成功点M 的轨迹方程；(2)若P 为矩形场地AD 边上的一点，若电子狗在线段FP 上都能逃脱，问：P 点应在何处？【答案】(1)2241640393x y x ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)P 的横坐标范围为⎤⎥⎝⎦即可逃脱.【分析】（1）分别以,AD AB 为,x y 轴，建立平面直角坐标系，由题意2MF ME v v =，利用两点间的距离公式可得答案.（2）利用三角函数得到极端情况时P 点的横坐标即可得到答案.【详解】（1）分别以AD ，AB 为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则()0,2E ，()0,4F ，设成功点(),M x y ，可得2MF ME v v ==化简得2241639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，因为点M 需在矩形场地内，所以403x ≤≤，故所求轨迹方程为2241640393x y x ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）当线段FP 与（1）中圆相切时，则413sin 4243AFP ∠==-，所以30AFP ∠=︒，所以4tan 30AP =︒=，若电子狗在线段FP 上都能逃脱，P点的横坐标取值范围是⎤⎥⎝⎦．20．（12分）．如图，//AD BC 且2,,//AD BC AD CD EG AD =⊥且,//EG AD CD FG =且2,CD FG DG =⊥平面,2ABCD DA DC DG ===．(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ；(2)求平面BCE 和平面BCF 夹角的正弦值；(3)若点P 在线段DG 上，且直线与平面ADGE 所成的角为45︒，求点P 到平面CDE 的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)10；(3)2.【分析】（1）取GD 中点为Q ，连接NQ ，MQ ，通过证明平面//MQN 平面CDE ，可得//MN 平面CDE ；（2）如图，建立以D 为原点的空间直角坐标系，分别求出平面BCE 和平面BCF 夹角的法向量，即可得答案；（3）由（2），设()0,0,P t ，直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒可得点P 坐标，可得点P 到平面CDE 的距离.【详解】（1）取GD 中点为Q ，连接NQ ，MQ .因M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，Q 为GD 中点，由三角形及梯形中位线定理，可得,NQ ED MQ DC .又注意到，,ED DC ⊂平面EDC ，,NQ MQ ⊄平面EDC ，,NQ MQ ⊂平面MNQ ，∩NQ MQ Q =，则平面//MQN 平面CDE .又MN ⊂平面MQN ，则//MN 平面CDE .（2）因DG ⊥平面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，则,DG DC DG DA ⊥⊥，又AD DC ⊥，则如图建立以D 为原点的空间坐标系.则()()()()()()()000200020002120202012,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D A C G B E F .()()()100122112,,,,,,,,BC BE BF =-=-=--.设平面BCE 和平面BCF 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z == .则1111110220BC n x BE n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取()10,1,1n = ；222222020BC n x BF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，取()20,2,1n = .设平面BCE 和平面BCF 夹角为θ，则1210cos cos ,θn n === .则平面BCE 和平面BCF夹角的正弦值为sin θ=（3）由（2），设()0,0,P t ，其中[]0,2t ∈，则()12,,BP t =-- 又由题可得，平面ADGE 的一个法向量可取()30,1,0n = .结合直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒，则32cos ,n BP t ==⇒=则(DP = ，()()020202,,,,,DC DE == .设平面CDE 法向量为()4444,,n x y z = ，则4444420220DC n y DE n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ .取()4101,,n =- ，则点P 到平面CDE的距离442n DP d n ⋅=== .21．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 是圆O ：228x y +=上的两个动点，P 是弦AB 的中点，且90AOB ∠=︒；(1)求点P 的轨迹方程；(2)点P 轨迹记为曲线τ，若C ，D 是曲线τ与x 轴的交点，E 为直线l ：4x =上的动点，直线CE ，DE 与曲线τ的另一个交点分别为M ，N ，判断直线MN 是否过定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．【答案】(1)224x y +=(2)过定点()1,0Q ．【分析】（1）设点(),P x y 为曲线上任意一点，根据几何关系得到2OP =，得到轨迹方程.（2）设()4,E t ()0t ≠，分别计算CE ，DE 的直线方程，联立圆方程得到交点坐标，考虑直线MN 斜率存在和不存在两种情况，计算直线方程得到答案.【详解】（1）设点(),P x y 为曲线上任意一点，P 是弦AB 的中点，且90AOB ∠=︒，圆O ：228x y +=的半径r =122OP AB ===，故点P 的轨迹方程为：224x y +=．（2）不妨取()2,0C -，()2,0D ，设()4,E t ()0t ≠，则直线CE 的方程为()26t y x =+，直线DE 的方程为()22t y x =-，联立()22264t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得2222364440363636t t t x x +++-=，则224236M t x t -=-+，即2272236M t x t -=+，()2242636M M t t y x t =+=+，所以22272224,3636t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．联立()22224t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得22224404t x t x t +-+-=，则22424N t x t +=+，即22284N t x t -=+，()28224N N t t y x t -=-=+，所以222288,44t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．①当t ≠±MN 的斜率222222224883647222812364MNt t t t t k t t t t t --++==----++，则直线MN 的方程为222288284124t t t y x t t t ⎛⎫---=- ⎪+-+⎝⎭，即()28112t y x t =--，直线过定点()1,0，所以()1,0Q ；②当t =±MN 垂直于x 轴，方程为1x =，也过定点()1,0Q ．综上所述：直线MN 恒过定点()1,0Q ．【点睛】关键点睛：本题考查了圆的轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中设出E 的坐标，分别计算,M N 坐标再计算直线方程是解题的关键.22．（12分）如图所示，已知椭圆2219x y +=中()3,0A ，()0,1B ；P 在椭圆上且为第一象限内的点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N(1)求证：①||||AN BM ⋅为定值；②PMN 与PAB 面积之差为定值；(2)求MON △面积的最小值.【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)92+【分析】（1）①设00(,)P x y ，利用直线方程求出点,M N 坐标，从而可得||||AN BM ⋅的表达式，结合点在椭圆上化简，即可证明结论；②利用PMN 与PAB 面积之差为MAN BAN S S - ，利用三角形面积公式，结合①的定值即可证明结论；（2）利用三角形面积公式表示出MON △面积的表达式，利用（1）的定值结合基本不等式，即可求得答案.【详解】（1）证明：①设00(,)P x y ，()001,030x y <<<<，则220019x y +=，即220099x y +=，直线()0033:y PA y x x =--，令0x =，则0033M y y x =--，故003|||1|3y BM x =+-；直线0011:y PB y x x =+-，令0y =，则001N x x y -=-，故00|||3|1x AN y =+-；所以00000000003|||||3||1||33|||133331x y x y x y AN BM y x y x ⋅=+⋅+⋅-+----+()()()2220000000000000033996618||||3133x y x y x y x y x y x y x y +-+++--==----+000000001666183|38x y x y x y x y --++-==-，即||||AN BM ⋅为定值6；②PMN 与PAB 面积之差为11||||||||22MAN BAN S S AN OM AN OB -=⋅-⨯⋅ 1||||32AN BM =⨯⋅=,即PMN 与PAB 面积之差为定值3；（2）MON △面积()()11||||3||1||22OMN S ON OM AN BM =⋅=++ ()1||||||3||32AN BM AN BM =⋅+++()1966322+≥+=，当且仅当||3||AN BM =，结合||||6AN BM ⋅=，即|||AN BM ==时取等号，即MON △面积的最小值为92+.【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于证明||||AN BM ⋅为定值，解答时要利用直线方程表示出||,||AN BM ，从而求得||||AN BM ⋅表达式，结合点在椭圆上化简即可证明结论.。

2023-2024学年重庆市巴蜀中学高二上学期期中考试物理试卷1.下列光学现象，属于光的干涉现象的是（）A．丁达尔效应B．阳光下的肥皂泡呈现彩色条纹C．沙漠中出现的海市蜃楼现象D．雨后天晴出现的彩虹2.如图，物体静止在水平地面上，受到与水平方向成θ角的恒定拉力F，在作用t时间后，物体仍保持静止。

则下列说法正确的是（）A．拉力F的冲量方向水平向右B．拉力F的冲量大小是C．摩擦力的冲量大小为0D．合外力的冲量大小为03.如图表示两列频率相同的横波相遇时某一时刻的情况，实线表示波峰，虚线表示波谷，下列叙述正确的是（）A．M、N两点均处在振动加强的位置B．随着时间的推移，质点M始终处在波峰位置，质点N始终位于平衡位置C．经过四分之一的周期，两质点均处在平衡位置D．经过二分之一个周期，质点M将移动到N点4.位于坐标原点处的波源发出一列沿x轴正方向传播的简谐横波。

t=0时波源开始振动，其位移y随时间t变化的关系式为，则t=T时的波形图为（）A．B．C．D．5.一个单摆的共振曲线如图所示，已测得当地的重力加速度g=10m/s2，则有（）A．该单摆的摆长为B．该单摆达到共振时，驱动力的频率为0.3HzC．若增大摆长，该单摆的固有频率将增大D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动6.一束光线穿过介质1、2、3时，光路如图所示，则（）A．三种介质的折射率B．光在介质中的速度C．相对于介质1来说，介质2是光密介质D．当入射角由逐渐增大时，在2、3分界面上可能发生全反射7.如图所示，两个带等量正电的点电荷位于M、N两点上，E、F是MN连线中垂线上的两点，O为EF、MN的交点，EO=OF。

一带负电的点电荷在E点由静止释放后（）A．先做匀加速直线运动，过O点后做匀减速运动B．在O点所受静电力最大C．点电荷运动到O点时加速度为零，速度达最大值D．点电荷从E到F点的过程中，加速度先增大再减小，速度先增大后减小8.用图甲所示的装置可以测量物体做匀加速直线运动的加速度，用装有墨水的小漏斗和细线做成单摆，水平纸带中央的虚线在单摆平衡位置的正下方。

重庆复旦中学2021-2022学年度（上期）半期考试高2023届 数学试题尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱。

本试卷分为I 卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分。

请将答案工整地书写在答题卡上一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)I 卷1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝10，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．不存在D ．线段2．原点到直线3x ＋4y －26＝0的距离是( ) A.2677 B.265 C.245 D.2753．若直线ax ＋by －11＝0与3x ＋4y －2＝0平行，并且经过直线2x ＋3y －8＝0和x －2y ＋3＝0的交点，则a ，b 的值分别为( )A ．－3，－4B ．3，4C ．4，3D ．－4，－34．椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．16B ．32C ．8D ．45.已知直线l 1的方向向量为a ＝(1，3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k)，若直线l 2过点(0，5)，且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是( )A ．x ＋3y －5＝0B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝06．已知a ，b 为异面直线，A ∈a ，B ∈a ，C ∈b ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角θ为( ) A.π6 B.2π3C.π2D.π37．我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c 2＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a>b>c>0)．如图所示，设点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点，A 1，A 2和B 1，B 2是“果圆”与x 轴和y 轴的交点，若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A.72，1B.3，1 C ．5，3 D ．5，48. 如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是平面A 1B 1C 1D 1的中心，则BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为（ ）A. 13B.23C ．36D ．269．【多选题】已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则下列结论正确的有( )A.AB→与AC →是共线向量 B ．与AB →共线的单位向量是(1，1，0) C.AB →与BC →夹角的余弦值是－5511D ．平面ABC 的一个法向量是(1，－2，5) 10.【多选题】下列说法中正确的是( )A ．平面上任何一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示B ．当C ＝0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示的直线过原点C ．当A ＝0，B ≠0，C ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示的直线与x 轴平行D ．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化11．【多选题】已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P 使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的有________．A.y ＝x ＋1B.y ＝2C.y ＝43xD.y ＝2x ＋1.12.【多选题】已知P 是椭圆E ：x 28＋y 24＝1上一点，F 1，F 2为其左、右焦点，且△F 1PF 2的面积为3，则下列说法正确的是( )A ．P 点纵坐标为3B ．∠F 1PF 2>π2C ．△F 1PF 2的周长为4(2＋1)D ．△F 1PF 2的内切圆半径为32(2－1)Ⅱ卷二、填空题（每题5分，共20分）13. 若点A(1，2，3)，B(－3，2，7)，且AC→＋BC →＝0，则点C 的坐标为________． 14．已知椭圆x 2＋y 24＝1上一点P ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，E 为线段PD 的中点，则点E 的轨迹方程为 ．15．棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则点D 到平面EFD 1B 1的距离为________．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若圆M ：(x －4)2＋(y －m)2＝4上存在唯一的点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________．三、解答题（共70分）17、（本小题满分10分）(1)已知曲线C ：(5－m)x 2＋(m －2)y 2＝8(m ∈R )．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围.(2)求满足下列条件的椭圆的标准方程：经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，142.18、（本小题满分12分）直线l ：y ＝x ＋1与y 轴交于点A ，将l 绕点A 旋转15°得到直线l′，求l ，l ′与x 轴围成三角形的面积．19、（本小题满分12分）如图①在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD ＝DC ＝PD ＝2，E ，F ，G 分别是线段PC ，PD ，BC 的中点，现将△PDC 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD(如图②)．(1)求证：AP ∥平面EFG ；(2)求二面角G －EF －D 的大小．20、（本小题满分12分）已知圆C 经过点A(－1，0)和B(3，4)，且圆心C 在直线x ＋3y －15＝0上．(1)求圆C 的标准方程；(2)设点Q(－1，m)(m>0)在圆C 上，求△QAB 的面积．21、（本小题满分12分）已知点P(－2，2)和圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝0.(1)求过P 点的圆C 的切线方程；(2)若(x ，y)是圆C 上一动点，由(1)所得写出y －2x ＋2的取值范围． 22、（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A(2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC|＝|OA|，求直线l 的方程；(3)设点T(t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA→＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．重庆复旦中学高二上数学半期考试试题尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱。

重庆市第一中学 2019-2020学年上学期期中试题高二数学理科第Ⅰ卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.直线 x 3y3 0的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2.3个班分别从 5个风景区中选择一处游览，不同选法的种数是（ ）3 A ． 5 5 B ． 3C ． A 3 5D ．C35 3. 对任意的实数m ，直线 xmy 1与圆 x y 4 的位置关系一定是（2 2 ）A ． 相切B ．相交且直线过圆心D ． 相离C ．相交且直线不过圆心 x 2 y 21的左、右焦点分别为F , F ，过左焦点 的直线交椭圆于 A B 两点，则 F ,4. 已知椭圆方程为9 41 2 1 ABF 的周长为（ ）2A ．12B ．9 C.6 D ．4x 2 y 21 m 5. 若方程表示焦点在 y 轴上的双曲线，则实数 的取值范围为（ ）m 1 mA ． mB ．0 m mD ．1 mC. x 2 y 2521 F , F ，点 P 在椭圆上，若 PF PF PF PF 6.设椭圆A ．2 的左右焦点分别为 ，则 （）4 31 2 1 2 1 27C.9 2B ．3D ．21n1 nN2x7. 在 xn的二项展开式中，若只有第 4项的二项式系数最大，则 的二项展开式x中的常数项为（ ） A ．960B ．-160C. -560D ．-9608. 已知棱长为 1的正方体的俯视图是一个面积为 1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能为（ ）2 1 2 1 2A ．1B ． C.D ．2 2x 2 y 21 , 的右支上一点，M N 分别是圆x y 10x 21 0 9. P 是双曲线2 2 和 9 16 x 2 y 2 10x 24 0 上的点，则 P M P N 的最大值为（）A ．6B ．7 C. 8 D ．910. （原创）4个男生 4个女生站成一排，要求相邻两人性别不同且男生甲与女生乙相邻，则这样的站法有 （）A ． 576种B ．504种C. 288种D ．252种x y x 2 2 P x ,y 在椭圆 1 x y y 4 4 11. （原创）已知点 上运动，设d 2 2 ，则d 的最小值为4 32（ ）5 2 B ．2 2 15 16 1D ．A ． C.: x 1 y 2 r l 12. （原创）已知直线l 与坐标轴不垂直且横、纵截距相等，圆C 2 2 2 ，若直线 和圆C 相切，且满足条件的直线 恰好有三条，则圆的半径 的取值集合为（l）r1, 52 2 2 5, 1, 5, 1,2, 5, A ． B ．C.D ．2 2 2第Ⅱ卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 2x 13.抛物线 y 的焦点到准线的距离为．2x 1,y 1 0, y 2 的最小值是 14.已知x ，则 x．2 2x y 2 015.（原创）将编号 1,2,3,4,5的小球放入编号 1,2,3,4,5的盒子中，每个盒子放一个小球，则至多有两个 小球的编号与盒子的编号相同的放法共有种．16. （原创）已知双曲线C 的右焦点为 F ，过 F 的直线l 与双曲线C 交于不同两点 A、BA 、B ，且 两点．间的距离恰好等于焦距，若这样的直线l 有且仅有两条，则双曲线C 的离心率的取值范围为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分 12分）ABC 中，点 AB C . 1,2 , 1,3 , 3,3（1）求 AC 边上的高所在直线的方程； （2）求 AB 边上的中线的长度.2xx 1 1 2x a a x a x a x 6 18. （本小题满分 12分）已知 2 2 8 .128（1）求a ；22a a aaa a a（2）求 a2.24681357 1,2xy 6A, B交于两点19. （本小题满分 12分）已知过点 P的直线l 和圆 2 2（1）若点 P 恰好为线段 AB 的中点，求直线l 的方程； 2 5 （2）若 AB，求直线 的方程.ly 25x上的动点，点 D 是 P 在 轴上投影， M 为线段 PD 上一20. （本小题满分 12 分）设 P 是圆 x 22 4PD 点，且 M D .5（1）当 P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；4F3,0 ABF，3,0 , B （2）过点 且斜率为 的直线交轨迹C 于 A两点，若点 求的面积.5p: y2px p 0l : 4x 3y 6 0 和直线l : x 221. （本小题满分 12 分）已知直线，若抛物线C 221上的点到直线l 和直线l 的距离之和的最小值为 2.12（1）求抛物线C 的方程；k x 3 （2）在抛物线C 上恒有两点关于直线 y 对称，求 的取值范围.kxy b 2 2 : 1 a b 0 F , F，动点P22. （原创）（本小题满分 10 分）已知椭圆T 的左、右焦点分别为 a 2 2 1 2 PF 在椭圆上运动， PF 的最大值为 25，且点 P 到 F 的距离的最小值为 1.121（1）求椭圆T 的方程；3 R 5 ）于 点 B ，求 A B: xy R 、 （2）直线l 与椭圆T 有且仅有一个交点 A ，且l 切圆 M 两点间的距离 AB 的最大值；2（其中 2 210,1 、的动直线与椭圆T 相交于两不同点G H 时，在线段G H 上取一点 D ，满足（3）当过点CG C HD = G D CH ，求证：点 D 在定直线上.试卷答案一、选择题1-5: DBCAA二、填空题6-10: CBCDB 11、12：AD1+171，2，+13. 1 14. 5 15. 109 16.4三、解答题2112C 14C 7418. 解：（1）分析项的构成，知：a.16226a a a a a a a a a a a，（2）原式= a1238123456781a 1，令x令x令x，得=2=1a a a，a8a8，得a a a a01231231=2916，得a a a a a a a a a012345678a a a a a a a a=291512345678从而原式=2915.19. 解：（1）易知圆心为原点O，由已知O P l，所以k k 1，而k 2，解出O P l O P 1k ，由点斜式可得直线的方程为：x 2y 502l251；（2）当直线的斜率不存在时刚好满足AB，此时直线方程为xl2k x 1kx y 2k 0若直线斜率存在，设为y，整理为d22r 1由垂径定理圆心到直线的距离h22k31，解出k ，此时直线的方程为3x 4y 50所以h4k2113x 4y 50或.综上可知满足条件的直线方程为：xx2y2120. 解：（1）.25164 415 : y x 3 AB 1 k x x （2）直线 AB ，弦长 ， 2 5 1 2 241 12 41 5 d AB d 点 F 到 AB 的距离为 ，故 S .2 4121. 解：（1）由抛物线的定义知：距离之和的最小值为点F 到直线 的距离，故l 12p 62 p 2 y 4x .，从而抛物线的方程为 2 5 , y ,B x , y y k x 3对称，故可设直线 AB ：x k y m y （2）设 A x 关于直线.代入 1122y 1y 4x 得 y 4ky 4m 0 .设 AB 的中点为 M x , y ，则 y 2k ，所以22 22 0 0 0xk y m 2k m .因为点 M x , y 在 y kx 3上，则2k k 2k 2 m 3 2 .即 00 02k 2k 33 m.又 AB 与抛物线有两个不同的交点，故 16k 16m 0 .将 m 代入上 2 k k 2k 3 k 1,0.3 0 k k 1 k k 3 0 1 k 0 式得2 ，故k 的取值范围为 k PF PF222. 解：（1）由于 PF PFa 2 ，所以 PF PF的最大值为a 2 ， 1 2 2 121 2PF a25 时取等号，由已知可得 25 ，又a cc ， 1 4 当 PF，即 a 1 2 x y 2 2 b a c 9 ，故椭圆的方程为 1 .所以 22 2 25 9 , y ,B x , y （2）设 A x 分别为直线 与椭圆和圆的切点，设直线 AB 的方程为l1122x y 2 21y kx m .因为 A 既在椭圆上，又在直线 AB 上，从而有25 9 ，消 y 得y kx m25k 9 x 50kmx 25 m 9 0 2 2 2 .由于直线与椭圆相切，故，50km4 25k 9 25 m9 0 2 2 2，25k9 25k x 1 从而可得m 2 ①，且 ②.2mx y R2 2 21 x 2kmx m R 0 由 ，消 y 得 k2 2 2 2 .由于直线与椭圆相切，得 k x m y kR 2mmR1 k ③，且 x 222④. 2R 92由①③得 k 2，故 AB 2 x x2yy2225 R 22 1212 12k 25 R 225R 2 2 2R 29 225 m 2 R 225 9 R2 m 2R 2 25 R 2R 2225 34 2 R 34 30 4 2.，即 AB 2R 215 AB 的最大值为 2. 当且仅当 R （3）设G、H 、DG C时取等号，所以 , , , ,, x y ，由题设知 G C H D G D C H , , ,的坐标分别为 x y x y 1122G D D H0 且四点共线，则1，又C 、G 、D 、H均不为零，记，则 C Hx xx x 10 x y 1 2 1 2 1 1G C = C H G D D H .于是 , 且.从而 y y y y 1 1 2 1211 x x2 2 2 10x 1 2 9 25 925 x 1 22 1 y 2 1 .又G 、H 在椭圆上，则 , , , ，消去 x y x y 得 9x 25y 925 y 1 1 2 2 y 2 2 2 2 2 y 122 21 290x 25y 925 18x 5y 45 0 ，即点 在定直线 D上.。

一中2021-2021学年度上学期期中考试高二数学试卷〔理〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

命题人 审题人 备课组长一、选择题〔5′×12=60′〕1．与同一平面平行的两条直线 。

A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或者相交或者异面2．A 〔-4，2，3〕关于xoz 平面的对称点为11,A A 关于z 轴的对称点为2A ，那么2AA 等于 。

A ．8B ．12C ．16D ．193．假设四棱柱的侧面是全等的矩形，那么该棱柱是 。

A ．长方体B ．正四棱柱C ．正方体D ．底面是菱形的直棱柱4．方程1x -=表示的曲线为 。

A ．1个圆B ．2个圆C ．1个半圆D ．2个半圆5．棱长都相等的正棱锥不可能是 。

A ．正三棱锥B ．正四棱锥C ．正五棱锥D ．正六棱锥6．一个三棱锥的底面是边长为2cm ，那么其全面积为 2cm 。

A ．B ．C ．D ．7．三棱锥S －ABC 是正三棱锥且侧棱长为a 、E 、F 分别为SA 、SB 上的动点且△CEF 那么SA 与SB 的夹角为 。

A ．30°B ．60°C ．20°D ．90°8．直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M 、N 两点，假设MN ≥K 的取值范围是 。

A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3(,]4-∞-∪[0,)+∞C ．[D ．2[,0]3-9．集合{}1(,)1,(,)(1)01y M x y N x y a x y M n x φ⎧+⎫===-+=⋂=⎨⎬-⎩⎭若，那么a 的值是 。

A ．0B ．2C ．0或者2D ．110．在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，△ABC 、△ACD 、△ADB ，那么三棱锥A －BCD 的外接球的体积为 。

AB ．C ．D ．11．点P 〔a,b 〕在圆222x y r +=的内部，那么直线2ax by r +=与圆的位置关系 。

上学期数学高二年级期中试题大家在学习的时候一定要结合题目来学习哦，今天小编就给大家分享一下高二数学，有喜欢的一起来参考一下吧高二数学上学期期中试卷阅读一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.过点，斜率是3的直线的方程是( )A. B. C. D.2.在正方体中，若是的中点，则直线垂直于( )A. B. C. D.3.在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是( )A B C D4.若有直线、和平面、，下列四个命题中，正确的是( )A.若，，则B.若，，，，则C.若，，则D.若，，，则5.直线与的交点坐标为( )A. B. C. D.6.一个棱长为1的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.7.两圆和的位置关系是( )A. 相交B. 内切C. 外切D. 外离8.P、Q分别为与上任一点，则的最小值为( )A. B. C. 3 D. 69.已知，若直线过点与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是( )A. B. C. D.10圆上的点到直线的距离的最大值是( )A. B. C. D.11.正方体的全面积为,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是( )A. B. C. D.12.过点引直线与曲线交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线的斜率等于( )A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.直线过定点，定点坐标为.14.如图，正方形O'A'B'C'的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是.15.已知 , .16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，下面四个结论：(1)AC⊥BD;(2)△ACD是等边三角形;(3)二面角B-AC-D的余弦值为 ;(4)AB与CD所成的角为60°.则正确结论的序号为.三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答时应写出文字说明、证明过程或解题步骤)17.(本小题满分10分)已知两直线，当为何值时，(1)直线∥ ;(2)直线 .18.(本小题满分12分)如图，直三棱柱中，，∠ACB=90°，AA1= ，D，F 分别是A1B1、BB1中点.(1)求证：C1D⊥AB1 ;(2)求证：AB1⊥平面C1DF.19.(本小题满分12分)如图1，在四棱锥中，底面，面为正方形，为侧棱上一点，为上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示.(1)证明：∥平面 ;(2)证明：平面平面 .20.(本小题满分12分)已知圆的圆心坐标，直线：被圆截得弦长为.(1)求圆的方程;(2)从圆外一点向圆引切线，求切线方程.21. (本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，是上的一点，，且.(1)求证：平面;(2)若，求点到平面的距离.22.(本小题满分12分)已知直线：，半径为4的圆与直线相切，圆心在轴上且在直线的右上方.(1)求圆C的方程;(2)过点M (2，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在轴上方)，问在轴正半轴上是否存在定点N，使得轴平分∠ANB?若存在，请求出点N的坐标;若不存在，请说明理由.高二数学答案一、选择题1-5 DBADD 6-10 DBCCB 11-12 BA二、填空题13、(0，-3) 14、 15、 16、(1)(2)(4)三、解答题17.解、(1)若l1∥l2，则……4分解之得m=-1.……5分(2)若l1⊥l2，则1•(m-2)+3m=0，……9分∴m= .……10分18. (1)证明：如图，∵ ABC—A1B1C1是直三棱柱，∴ A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°.又 D是A1B1的中点，∴ C1D⊥A1B1. ………3分∵ AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，∴ AA1⊥C1D，∴ C1D⊥平面AA1B1B.∴C1D⊥AB1 ………6分(2)证明：连结A1B，∵D，F分别是A1B1，BB1的中点，∴DF∥A1B.又直角三角形A1B1C1中，A1B12= A1C12+ B1C12，∴A1B1= ，∴A1B1= AA1，即四边形AA1B1B为正方形，∴A1B⊥AB1，即AB1⊥DF ………9分又(1)已证C1D⊥平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1 ………10分又DF C1D=D，∴AB1⊥平面C1DF. ………12分19.解(1)证明：取中点，连结，. ………1分由正(主)视图可得为的中点，所以∥ ，.……2分又因为∥ ，，所以∥ ， .所以四边形为平行四边形，所以∥ . ………………4分因为平面，平面，所以直线∥平面. ………………6分(2)证明：因为平面，所以 .因为面为正方形，所以 .所以平面.……………8分因为平面，所以 .因为，为中点，所以 .所以平面.……10分因为∥，所以平面. ………………11分因为平面，所以平面平面. ………………12分20.解(1)设圆的标准方程为：圆心到直线的距离：，………2分则………4分圆的标准方程：………6分(2)①当切线斜率不存在时，设切线：，此时满足直线与圆相切.………7分②当切线斜率存在时，设切线：，即………8分则圆心到直线的距离：………9分解得：………10分则切线方程为：………11分综上，切线方程为：………12分21.解(1)如图，连接，交于点，再连接，………1分据直棱柱性质知，四边形为平行四边形，为的中点………2分，∵当时，，∴是的中点，∴，………3分又平面，平面，∴平面.………4分(2)∵是中点，∴点到平面与点到平面距离相等，∵平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，即等于点到平面距离相等，设距离为d.………6分………8分………12分22.解(1)设圆心，………1分则.………3分所以圆C的方程为x2+y2=16. ………4分(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.………5分当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(x-2)， (6)分假设符合题意，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2+1) x2-4k2x+4k2-16=0，………7分所以………8分若x轴平分∠ANB，则kAN=-kBN ………9分即⇒2x1x2-(t+2)(x1+x2)+4t=0………11分所以存在点N为(8，0)时，能使得∠ANM=∠BNM总成立.………12分第一学期高二数学考试试卷题一. 选择题(共12小题，60分)1.在空间直角坐标系中，已知M(﹣1，0，2)，N(3，2，﹣4)，则MN的中点P到坐标原点O的距离为( )A. B. C.2 D.32.已知集合A={(x，y)|y=5x}，B={(x，y)|x2+y2=5}，则集合A∩B中元素的个数为( )A.0B.1C.2D.33.设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是( )A.a∥b，b⊂α，则a∥αB.a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC.a⊂α，b⊂α，b∥β，则a∥βD.α∥β，a⊂α，则a∥β4.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π5.一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是( )A. B.C. D.6.在下列图形中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.已知等比数列{an}中，各项都是正数，且，，成等差数列，则等于( )A.6B.7C.8D.98.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是( )A.f(x)=﹣x|x|B.f(x)=log0.5xC.f(x)=﹣tanxD.f(x)=3x9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|< )的图象如图所示，则tanφ=()A. B.C. D.10.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=11.在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA=AB，则二面角A﹣PB﹣C的平面角的正切值为( )A. B. C. D.12.已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，BC=4，若AM是BC边上的高，垂足为M，点P在△ABC内部或边界上运动，则的取值范围是( )A.[﹣4，0]B.[﹣3，0]C.[﹣2，0]D.[﹣1，0]二. 填空题(共4小题，20分)13.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，那么它的通项公式为an= .14.若x>0，y>0，且log2x+log2y=2，则的最小值为.15.如图，四边形ABCD中 .将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'﹣BCD，则四面体A'﹣BCD体积的最大值为.16.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变;②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变;③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变;④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线;其中正确的命题编号是.三. 解答题(共6小题，70分)17.(10分)已知三角形ABC的顶点坐标为A(0，3)，B(﹣2，1)，C(4，3)，M是BC边上的中点.(1)求BC边的中线所在的直线方程;(2)求点C关于直线AB对称点C’的坐标.18.(12分)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2.(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积;(2)设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图.求异面直线PM与OB所成的角的正切值.19.(12分)锐角△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且∥ .(1)求B的大小;(2)如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值.20.(12分)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC= ，AA1= ，BB1= ，点E和F分别为BC和A1C的中点.(1)求证：EF∥平面A1B1BA;(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1;(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.21.(12分)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：交于点M、N两点.(1)求k的取值范围;(2)若，其中O为坐标原点，求|MN|.22.(12分)已知函数y=f(x)，x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f(x+T)>m•f(x)成立，则称函数f(x)是D上的m级类增周期函数，周期为T.若恒有f(x+T)=m•f(x)成立，则称函数f(x)是D上的m级类周期函数，周期为T.(1)试判断函数是否为(3，+∞)上的周期为1的2级类增周期函数?并说明理由;(2)已知T=1，y=f(x)是[0，+∞)上m级类周期函数，且y=f(x)是[0，+∞)上的单调递增函数，当x∈[0，1)时，f(x)=2x，求实数m的取值范围.参考答案1-6 ACDCCB 7-12DACCAB13. 2n 14. 15. 16. ①③④17.解：(1)x+y-3=0(2)设点C关于直线AB对称点C′的坐标为(a，b)，则AB为线段CC′的垂直平分线，由直线AB的方程为：x﹣y+3=0，故，解得：a=0，b=7，即点C关于直线AB对称点C′的坐标为C’(0，7)18.解：(1)∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V= == .(2)19.解：(1)∵ =(2sinB，﹣ )， =(cos2B，2cos2 ﹣1)且∥ ，∴2sinB(2cos2 ﹣1)=﹣ cos2B，∴2sinBcosB=﹣ cos2B，即sin2B=﹣ cos2B，∴tan2B=﹣，又B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B= ，则B= ;(2)当B= ，b=2时，由余弦定理cosB= 得：a2+c2﹣ac﹣4=0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4(当且仅当a=c=2时等号成立)，∴S△ABC= acsinB= ac≤ (当且仅当a=c=2时等号成立)，则S△ABC的最大值为 .20.(1)证明：连接A1B，在△A1BC中，∵E和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥A1B，又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA，∴EF∥平面A1B1BA;(2)证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1，又∵AE⊂平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1;(3)取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NE平行且等于 B1B，∴NE平行且等于A1A，∴四边形A1AEN是平行四边形，∴A1N平行且等于AE，又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，在△ABC中，可得AE=2，∴A1N=AE=2，∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB且A1M=AB，又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，在RT△A1MB1中，A1B1= =4，在RT△A1NB1中，sin∠A1B1N= = ，∴∠A1B1N=30°，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°21.(1)由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A(0，1)的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0.由已知可得圆C的圆心C的坐标(2，3)，半径R=1.故由 <1，故当(2)设M(x1，y1);N(x2，y2)，由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C 的方程(x﹣2)2+(y﹣3)2=1，可得 (1+k2)x2﹣4(k+1)x+7=0，∴x1+x2= ，x1•x2= ，∴y1•y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1= •k2+k• +1= ，由• =x1•x2+y1•y2= =12，解得 k=1，故直线l的方程为 y=x+1，即 x﹣y+1=0.圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径.所以|MN|=2.22.解：(1)∵(x+1﹣1)﹣(x﹣1)2=﹣(x2﹣3x+1)<0，即)(x+1﹣1)<(x﹣1)2，∴ > ，即 >2 ，即 f(x+1)>2f(x)对一切x∈(3，+∞)恒成立，故函数f(x)= 是(3，+∞)上的周期为1的2级类增周期函数.(2)∵x∈[0，1)时，f(x)=2x，∴当x∈[1，2)时，f(x)=mf(x﹣1)=m•2x﹣1，…当x∈[n，n+1)时，f(x)=mf(x﹣1)=m2f(x﹣2)=…=mnf(x﹣n)=mn•2x﹣n，即x∈[n，n+1)时，f(x)=mn•2x﹣n，n∈N*，∵f(x)在[0，+∞)上单调递增，∴m>0且mn•2n﹣n≥mn﹣1•2n﹣(n﹣1)，即m≥2.高二上学期数学期中试题试卷第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列则是它的(A)第项 (B)第项 (C)第项 (D)第项2.已知命题，命题，则命题是命题成立的(A)充分必要条件 (B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件3.已知椭圆的两个焦点是，过点的直线交椭圆于两点，在中，若有两边之和是，则第三边的长度为(A)3 (B)4 (C)5 (D)64.已知是单调递增的等比数列，满足，则数列的前项和(A) (B)(C) (D)5.已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上，是直角三角形，则的面积为(A) (B) 或4 (C) (D) 或46.已知，且，则的最小值为(A)100 (B)10 (C)1 (D)7.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是腰长为的等腰三角形( 为原点)，，则双曲线的方程为(A) (B)(C) (D)8.设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是(A) (B) (C) (D)第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.设等差数列的前项和为，若，则 __________.10.已知数列满足，且，则 __________.11.设直线与双曲线相交于两点，分别过向轴作垂线，若垂足恰为双曲线的两个焦点，则实数 __________.12.已知，且，则的最小值为___________.13.已知数列满足，，，则 _______.14.已知椭圆与双曲线有公共焦点，为与的一个交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则 _______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)解关于的不等式 .16.(本小题满分13分)已知数列满足，且 .(Ⅰ)求证：数列是等比数列，并求的通项公式;(Ⅱ)求数列的前项和.17.(本小题满分13分)设各项均为正数的数列满足 .(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)设，，求的前n项和 .18.(本小题满分13分)已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上.(Ⅰ)求椭圆的方程.(Ⅱ)设斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，且点的横坐标取值范围是，求的取值范围.19.(本小题满分14分)已知椭圆的右焦点为，离心率为 .(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点，设，且满足恒成立，求的值.20.(本小题满分14分)已知数列的前项和为，，且，为等比数列， .(Ⅰ)求和的通项公式;(Ⅱ)设，数列的前项和为，若对均满足，求整数的最大值.2018～2019学年度第一学期期中七校联考高二数学参考答案第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.第Ⅱ卷(非选择题，共80分)二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.6 10. 11. 12. 13. 4 14.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)解：(1)当时，有，即 (2)(2)当时， .①当，即时，. (4)②当，即时，且 (6)③当，即时，方程两根，，且，所以或 (9)综上，关于的不等式的解集为：当时，解集为当时，解集为且当时，解集为或当时，解集为 (13)16.(本小题满分13分)解：(Ⅰ)证明：由已知得，所以数列是等比数列， (2)公比为2，首项为所以 (4)(Ⅱ)数列的前项和即记，，则 (5)(1)(2)(1)-(2)得 (6) (8) (9) (11)所以数列的前项和 (13)17.(本小题满分13分)解：(Ⅰ)由题设知 . (1)当时，有 (3)整理可得因为数列各项均为正数， (5)所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以的通项公式为 . (6)(Ⅱ)由， (9)所以 (11). (13)18.(本小题满分13分)解：(Ⅰ)椭圆的长轴长为4，则所以， (1)因为点在椭圆上，所以，所以. (3)故椭圆的标准方程为. (4)(Ⅱ)设直线的方程为，设，的中点为，由消去，得， (6)所以即 (7)，故，,即 (9)所以线段的垂直平分线方程为， (10)故点的横坐标为，即所以符合式 (11)由 (12)所以 (13)19.(本小题满分14分)解：(Ⅰ)设椭圆的焦距为，由已知有 ,又由，得，故椭圆的标准方程为. (3)(Ⅱ)由消去得， (5)所以，即. (6)设，则，即. (8)因为，所以 (9)由恒成立可得，即恒成立， (11)故 (13)所以 . (14)20.(本小题满分14分)解：(Ⅰ)由题设知 .当时，有 (1)整理得 (2)故 (4)经检验时也成立，所以的通项公式为. (5)设等比数列的公比为 .由，可得，所以，故所以的通项公式为. (7)(Ⅱ)因为 (9) (11)因为所以，即单调递增 (12)故 (13)即，所以. (14)。

高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。