高中数学3_2一元二次不等式2学案无答案苏教版必修5

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3.2一元二次不等式（2）【教学目标】通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．【教学重点】处理含参数的一元二次不等式恒成立问题．【教学难点】一元二次不等式的解法、不等式恒成立问题的处理．【教学过程】一、引入：1．一元二次函数 、一元二次方程、一元二次不等式之间的转化：一元二次函数 c bx ax y ++=2（0a >）与x 轴有交点，则: 图象均在x 轴上方，则： 图象均在x 轴下方，则：一元二次方程 20ax bx c ++=（0a >）在R 上无解，则: 在R 上有解，则: 有相异实数解,则：一元二次不等式20ax bx c ++>（0a >)在R 上无解，则： 在R 上有解，则： 在R 上恒成立，则：二、新授内容：例1．分别求实数m 的取值范围，使方程032=+--m mx x 的两根满足下列条件:（1）两根都大于5-； (2）一根大于0小于1，一根大于1小于2．例2．已知关于x 的一元二次不等式0622<+-k x kx ．（1）若不等式的解集是3|{-<x x 或}2->x ,求实数k 的值；（2）若不等式的解集是R ，求实数k 的取值范围．【变式拓展】1．若x 2－2ax ＋2≥a 在x ∈[－1,＋∞）上恒成立，求a 的取值范围．2．对任意实数[1,1]a ∈-，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零，求x 的取值范围．三、课堂反馈:1．若函数)(x f =268kx kx k -++的定义域为R ，则实数k 的取值范围为 ．2．若2(21)4202x m x m m αβαβ+-+-=<<，是方程两根，且，则取值范围为 ．3．若关于x 的不等式2210(0)ax x a ++< ≠的解集是空集，则a 的取值范围为 ．4．已知对任意x ∈（0，＋∞)不等式x 2－ax ＋2〉0恒成立，则实数a 的取值范围为 ．四、课后作业： 姓名:___________ 成绩：___________1．已知不等式01222>-+-k x x 对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围 ．2．已知不等式064)1(2>+--x x a 的解集是{}13<<-x x ,求a 的值 ．3．若022=++ax x 的两根都小于−1，求a 的取值范围 ．4．不等式02>++c bx ax 的解集是1|{<x x 或}3>x ,则=c b a :: ．5．对任意a ∈[－2，3]，不等式x 2＋（a －6)x ＋9－3a >0恒成立,则x 的取值范围为____________．6．关于x 的方程mx 2＋(2m ＋1）x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．7．已知不等式049)1(22>++++m x m mx 。

［学习目标］1•理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2掌握图象法解一元二次不等式3培养数形结合、分类讨论思想方法解一元二次不等式的能力自主学习一兀二次不等式定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一兀二次不等式表达式ax2+ bx+ c> 0, ax2+ bx+ c v 0, ax2+ bx+ c> 0, ax2+ bx+ c< 0,其中a丰 0,a, b, c均为常数解集2ax + bx+ c>0(a z 0)解集是使f(x) = ax2+ bx+ c的函数值为正数的自变量x的取值集合2ax + bx+ c v0(a z 0)解集是使f(x) = ax2+ bx+ c的函数值为负数的自变量x的取值集合2ax + bx+ c> 0(a z 0)解集是使f(x) = ax + bx+ c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合2ax + bx+ c< 0(a z 0)解集是使f(x) = ax + bx+ c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合思考下列不等式是一元二次不等式的有______________ .①x2>0;②一3x2-X W 5;③ x3+ 5x—6> 0;④ax2—5y v 0(a 为常数弱⑤ ax2+ bx+ c>0. 答案①② 解析①②是，符合定义；③不是，因为未知数的最高次数是3，不符合定义；④不是，当a= 0时，它是一元一次不等式，当a z0时，它含有两个变量x, y;⑤不是，当a= 0时，不符合一元二次不等式的定义•知识点二一元二次不等式的解法利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式•解一元二次不等式的一般步骤:(1) 将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；(2) 计算相应的判别式；⑶当A> 0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集知识点三“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系思考一元二次不等式ax2+ 2x—1v 0的解集为R，贝U a的取值范围是___________答案(— R, —1)l a v 0, a v 0,解析？？ a v —1.Av 0 4+ 4a v 0〒题型探究重点突破题型一一元二次不等式的解法例1 解下列不等式：2(1) 2x + 7x+ 3 > 0;2 81⑵—4x + 18x—4》0；2(3) —2x + 3x—2v 0 ；⑷-]2+ 3x—5> 0.解⑴因为A= 72—4X 2 X 3= 25> 0,所以方程2x2+ 7x+ 3 = 0有两个不等实根X j=—3, X21 2 、1=-2.又二次函数y= 2x + 7x+ 3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x> —1或X V —3}.(2)原不等式可化为?x—9 ,2< 0，所以原不等式的解集为ixX = ~4".(3)原不等式可化为2x2—3x+ 2>0,因为A= 9 —4X 2X 2=—7V0，所以方程2x2—3x+ 2 = 0无实根，又二次函数y= 2x2—3x+ 2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.⑷原不等式可化为x2—6x+ 10V 0, A= (—6)2—40=—4V 0，所以方程x2—6x+ 10= 0无实根，又二次函数y= x2—6x+ 10的图象开口向上，所以原不等式的解集为？.反思与感悟解一元二次不等式的一般步骤(1) 通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2) 计算对应方程的判别式；⑶求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；⑷根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.跟踪训练1解下列不等式：(1) x2—5x—6> 0; (2)(2 —x)(x+ 3) V 0;2(3) 4(2x —2x+ 1) > x(4 —x).解⑴方程x2—5x—6= 0的两根为X1=—1, X2 = 6.结合二次函数y= x2—5x—6的图象知，原不等式的解集为{x|x V—1或x> 6}.(2) 原不等式可化为(x—2)(x+ 3) >0.方程(x—2)(x+ 3) = 0 的两根为X1= 2, X2=—3.结合二次函数y= (x—2)(x+ 3)的图象知，原不等式的解集为{xX V —3或x>2}.2 2⑶由原不等式得8x —8x+ 4>4x—x .•••原不等式等价于9x2—12x+ 4 > 0.2 2解方程9x —12x + 4 = 0，得X1= X2= 3.2 结合二次函数y= 9X2—12x+ 4的图象知，原不等式的解集为{X|X M 3}.题型二解含参数的一元二次不等式例2 解关于x 的不等式：ax 2— (a — 1)x — 1v 0(a € R ). 解 原不等式可化为：(ax + 1)(x — 1) v 0,当 a = 0 时，x v 1 ；—-v x v 1 a当 a =— 1 时，X M 1 ；当一1 v a v 0 时,x +a (x —1) > 0,• •• x >— —或 x v 1 ； a1当 a v- 1 时，—1v 1,综上，当a = 0时，原不等式的解集是｛x|x v 1｝；1 1当a >0时，原不等式的解集是c x| —x v 1「；当a =— 1时，原不等式的解集是｛X |X M 1｝; 当一1v a v 0时，原不等式的解集是ix|x v 1或x >— - F ； L 弘当a v — 1时，原不等式的解集是 ix|x v —1或x > 1匸L a , 反思与感悟 含参数不等式的解题步骤(1)将二次项系数化为正数；(2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此 步);(3)根据根的情况写出相应的解集 (若方程有两个相异实根， 为了写出解集还要比较两个根的大小).另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为 0,这决定不等式是否为二次不等式•跟踪训练2解关于x 的不等式x 2—(a + a 2)x + a 3> 0. 解原不等式可化为： 2(x — a)(x — a )>0,当a >0时,x+ a (x — 1) v 0,• x > 1 或x v- a.讨论a与a2的大小:(1) 当 a 2>a 即 a > 1 或 a v 0 时， x >a 2或 x v a.(2) 当 a 2= a 即 a = 0 或 a = 1 时，X M a.(3) 当 a 2v a 即 0 v a v 1 时， x >a 或 x v a 2.综上，当a v 0或a > 1时，解集为{x|x >a 2或x v a}, 当a = 0或1时，解集为{X |X M a}, 当O v a v 1时，解集为{x|x > a 或x v a 2}. 题型三“三个二次”关系的应用例3 已知一元二次不等式 ax 2 + bx + c >0的解集为(a, 且0v av 3,求不等式 cx 2 + bx + a v 0的解集. 解 方法一由题意可得a v 0,且a, 3为方程ax 2 + bx + c = 0的两根，a =_(计3戶0,①由根与系数的关系得f = a > 0,② ■ a■/ a v 0,0 v av 3 •••由②得 c v 0, b a则 cx 2 + bx + a v 0 可化为 x 2 + b x + a > 0.c c• a 1为方程x 2+ b x + a = 0的两根. 厂 1 1又■/ 0v av 3, • 0 v ：V 一，3 ab a 11•不等式x 2 + b x + ->0的解集为、|x v 1 或x >一 ：2 ^11 即不等式cx 2+ bx + a v 0的解集为》|x v?或Y >_①电，得 —a + 3a3由②得a =；•> °.x >a方法二由题意知a v 0:2 c 2 b•••由cx + bx + a v 0，得—X +—X+ 1 > 0.a a将方法一中的①②代入，得a3 x ( a+ ®X + 1 > 0 ,即(ax 1)( 3 x 1) > 0.1 1又T 0V aV 3, •- 0.3 a1 1•所求不等式的解集为x|x<3或x>a.反思与感悟求一般的一元二次不等式ax2+ bx+ c>0(a>0)或ax2+ bx+ c<0(a>0)的解集，先求出一元二次方程ax2+ bx+ c= 0(a丰0)的根，再根据二次函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集•当两个“有关联”的不等式同时出现时，应注意根与系数的关系的应用跟踪训练3 已知关于x的不等式x2+ ax+ b v 0的解集为｛x|1v x v 2｝，求关于x的不等式bx2+ ax+ 1 > 0 的解集.解I x2+ ax+ b v 0 的解集为｛x|1v x v 2｝,•-1,2是方程x2+ ax+ b = 0的两根.[一 a = 1 + 2, [a =—3,由根与系数的关系得$ 得彳lb= 1 X 2, b = 2,代入所求不等式，得2x2—3x+ 1 > 0.1解得x v 2或x> 1.2、1• bx + ax+ 1 > 0 的解集为｛x|x v 或x> 1｝.不注意一元二次不等式二次项系数的正负致误例4 若一元二次不等式ax2+ bx+ c v 0的解集为｛x|x v—3或x> 5｝，贝U ax2—bx+ c v 0的解集为_______________ .错解由根与系数的关系得：b=- 2a, ?c=—15a.代入得ax2+ 2ax—15a v 0,①••• x2+ 2x —15v 0,②--(x —3)(x+ 5) v 0,--—5v x v 3.答案{x|— 5 v x v 3}错因①式化为②式，忽略了二次项系数a的符号，并非同解变形正解由根与系数的关系得：l b=—2a,|c=—15a.2--ax + 2ax—15a v 0,又由解集的形式知a v 0,•••上式化为x2+ 2x—15>0, --(x —3)(x+ 5) > 0,• x> 3 或x v — 5.防范措施1.注意隐含信息的提取有些信息是隐含在题设的条件中的，适当挖掘题设信息可较好地完成对解答题目不明信息的突破，如本例借助不等式及其解集的对应关系得出“a v 0”这一关键信息，从而避免不必要的讨论.2.注意“三个二次”的关系二次函数的零点，就是相应一元二次方程的根，也是相应一元二次不等式解集的分界点〒当堂检测自查自纠2 2 21•下面所给关于x的几个不等式：①3x+ 4v 0;②x + mx —1>0:③ax + 4x—7>0;④x v0•其中一定为一元二次不等式的有 __________ 个•答案2解析②④- -定是- -元二次不等式•f1 1，贝U a, c的值为_______2•若不等式ax2+ 5x+ c> 0的解集为伙3< x v-3 2答案—6,—15 1 1,—2 =尹3，f a=—6,解析易知a v 0，且？C=!x1|c一1.a 3 2，3•已知x= 1是不等式k2x2—6kx+ 8> 0的解，贝V k的取值范围是________________ •答案{k|k w 2 或k>4}解析x= 1是不等式k2x2—6kx+ 8> 0的解，把x= 1代入不等式得k2—6k+ 8>0，解得k>4或k< 2.4•不等式x2+ 3x— 4 V 0的解集为________ •答案(—4,1)解析易得方程x2+ 3x—4= 0的两根为一4,1，所以不等式x2+ 3x—4V 0的解集为(一4,1)・5.已知关于x的不等式mx2—(2m+ 1)x+ m— 1 >0的解集为空集，求实数m的取值范围•解(1)当m = 0时，原不等式化为一x—1>0,--xw — 1 ,解集非空•[mv 0,(2)当m z 0 时，2[△= [ —(2m+ 1 ] —4m(m —1 v 0,1--m v —,8，1•••综上，m v —二8「课堂那结------------------------------------ 11. 解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0) 或ax2＋bx＋c<0(a>0) ；②求方程ax2+ bx+ c= 0(a>0)的根，并画出对应二次函数y= ax2+ bx+ c图象的简图；③由图象得出不等式的解集.(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助因式分解或配方求解.当m<n 时，若(x—m)(x—n)>0，则可得x>n 或x<m;若(x—m)(x—n)<0，则可得m<x<n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间2. 含参数的一元二次不等式在解含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏讨论需从如下三个方面进行考虑：(1) 关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0, a<0, a = 0.(2) 关于不等式对应的方程的根的讨论：二根(40)，—根(A= 0)，无根(A<0).(3) 关于不等式对应的方程的根的大小的讨论：X1>X2, x i = X2, x i<x2.。

［学习目标］1•会解可化为一元二次不等式 (组)的简单分式不等式 2能够从实际生活和生产 中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3•掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的 解法•产知识梳理______ 自主学习知识点一分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式举)> 0( V 0) g (x )方法一：错误!或错误！ 方法二： f(x) g(x) > 0( < 0) > 0( < 0) g(x )()方法一： 错误!或错误！方法二： 错误！f < a 、 购> a > ag(x )丿 y a 丿先移项转化为上述两种形式知识点二简单的一元高次不等式的解法一元高次不等式f(x) >0常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解，其步骤是： (1) 将f(x)最高次项的系数化为正数；(2) 将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积； (3) 将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线 (注意重根情况，偶重根驻而不穿，奇重根既穿又过);(4) 根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集 .思考 (x — 1)(x -2)(x — 3)2(x -4) >0 的解集为 _________________ .第3隹不等戌§3.2 一元二次不等式(二)答案 {x|1v X V 2 或 x >4}解析利用数轴穿根法知识点三一元二次不等式恒成立问题 对一元二次不等式恒成立问题，可有以下2种思路:⑵分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k >f(x)恒成立？ k > f(X )max ； k W f(X )恒成立？ k W f(X )min .車点突破题型一分式不等式的解法例1 解下列不等式：x + 4 x + 4解⑴由 v 0,得 >0,3 — x x — 3 此不等式等价于(x + 4)(x — 3)> 0, •••原不等式的解集为{x|x v — 4或x > 3}.x + 1(2)方法一 移项得一2W 0, x — 2 —x + 5x — 5左边通分并化简有W 0，即 > 0, x —2 x — 2(1)转化为一元二次不等式解集为2. a >0,R 的情况，即 ax 2 + bx + c>0(a ^ 0)恒成立？I A< 0.ax ? + bx + c<O(a 丰 0)恒成立 a v 0,AV 0. (1) x + 4 3 —xV 0; (2) x + 1x -2 W 2.[(x—2 (x—5戶0, 同解不等式为x—2工0,• x v 2 或x>5.•原不等式的解集为{x|x v 2或x> 5}.仪一5》0,此不等式等价于丫 ①x — 2> 0x —5< 0, 或②x —2v 0,解①得x > 5,解②得X V 2,•••原不等式的解集为{x|x v 2或x > 5}. 反思与感悟分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型 f2L> 0(<0)或丄> O (w 0),g (x )')g (x )再化成整式不等式来解•如果能判断出分母的正负，直接去分母也可.x ? — 2x — 2跟踪训练1不等式<2的解集为x 十x 十1 -------------答案{X|X M — 2}解析 •/ x 2+ x + 1= x + 2 2+ 4> 0, .•.原不等式? x 2 — 2x — 2<2x 2+ 2x + 2? x 2+ 4x + 4>0? (x2+ 2) >0, ••• X M — 2..不等式的解集为{X |X M — 2}. 题型二解一元高次不等式 例2解下列不等式： (1) x 4— 2x 3— 3x 2v 0; (2) 1 + x — x 3 — x 4> 0;(3) (6x 2— 17x + 12)(2x 2— 5x + 2) > 0. 解 ⑴原不等式可化为x 2(x — 3)(x + 1) V 0,2当 x M 0 时，x > 0,由(x — 3)(x + 1) V 0,得一1V x v 3; 当x = 0时，原不等式为 0V 0，无解.方法原不等式可化为 x — 5> 0,x — 2•原不等式的解集为{x|— 1 v x v 3，且x M 0}.2⑵原不等式可化为(x+ 1)(x—1)(x + x+ 1)V0,2而对于任意x € R，恒有x + x+ 1 > 0,•••原不等式等价于(x+ 1)(x—1)v 0,•••原不等式的解集为{X— 1 V X V 1}.⑶原不等式可化为(2x—3)(3x—4)(2x—1)(x—2)>0,进一步化为x—I x— 3 x —1 (x—2)> 0,“ 1 4 | [如图所示，得原不等式的解集为c x|x v -或|V x v 3或x>2 :反思与感悟解高次不等式时，主导思想是降次，即因式分解后，能确定符号的因式应先考虑约分，然后可以转化为一元二次不等式，当然也可考虑数轴穿根法2x + px + q跟踪训练2若不等式x2+ px+ q v 0的解集是{x|1v x v 2}，则不等式> 0的解集是x —5x—6答案{x|x< — 1 或1<x<2 或x>6}2 2解析由题意知x + px+ q = (x—1)(x—2)，则待解不等式等价于(x—1)(x—2)(x —5x—6) > 0 ? (x—1)(x—2)(x—6)(x+ 1) > 0? x v—1 或1 v x v 2 或x> 6.题型三不等式恒成立问题例I 对任意的x€ R，函数f(x) = x2+ (a—4)x+ (5 —2a)的值恒大于0，贝U a的取值范围为答案(一2,2)解析由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x) > 0恒成立，只需Av 0即可，即(a—4)2—4(5 —2a)v 0,解得—2v a v 2.反思与感悟有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种：(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；⑵若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立关于参数的不等式求解跟踪训练3对任意a€ [ —1,1]，函数f(x)= x2+ (a —4)x+ 4-2a的值恒大于零，则x的取值范围是 ________ .答案{x|x v 1 或x> 3}解析f(x) > 0,2••• x + (a—4)x+ 4 —2a> 0,2即(x—2)a+ (x + 4—4x) > 0,设g(a) = (x —2)a+ (x2—4x+ 4)由题意g —1 > 0,x—2+ x2—4x+ 4= x2—3x+ 2> 0,即—x + 2+ x2+ 4—4x= x2—5x+ 6> 0,•x v 1 或x>3.题型四一元二次不等式在生活中的应用例4某人计划收购某种农产品，如果按每吨200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万吨，政府为了鼓励个体多收购这种农产品，决定将征税率降低X(X M 0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.(1)写出税收y(万元)与x 的函数关系式；⑵要使此项税收在征税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.解(1)降低后的征税率为(10 —x)%，农产品的收购量为a(1 + 2x%)万吨，收购总金额为200a(1 + 2x%).依题意得，y= 200a(1 + 2x%)(10 —x)%1=50a(100 + 2x)(10 —x)(0 v x v 10).⑵原计划税收为200a 10% = 20a(万元).1依题意得，50a(100 + 2x)(10 —x)> 20a x 83.2% ,化简得x2+ 40x—84 W 0,•—42 W x< 2.又••• 0v x v 10,/• 0 v x w 2.x的取值范围是{x|0v x< 2}.反思与感悟不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键 .跟踪训练4在一个限速40km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲= 20.1x+ 0.01x ,_ 2S 乙=0.05x+ 0.005x .问超速行驶谁应负主要责任.解由题意列出不等式S甲=0.1x + 0.01X2>12 ,2S乙=0.05x+ 0.005x >10.分别求解，得x< —40 或x>30.x<—50 或x>40.由于x>0 ,从而得x 甲>30km/h , x 乙>40 km/ h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任.已当堂检理 ______ 自查自纠x —21. 若集合A= {x|—1 w 2X+ 1 w3} , B= {x—w 0}，贝V A Q B = ________ .x答案{x|0v x w 1}解析•/ A= {x|— 1 w x w 1}, B = {x|0v x w 2},• A Q B= {x|0v x w 1}.2. _________________________________________________________ 若集合A= {x|ax2—ax+ 1<0} = ?，则实数a的值的集合是__________________________________ .答案{a|0w a w 4}解析a= 0时符合题意.a>0时，相应二次方程中的△= a2—4a w 0,得{a|0<a w4}，综上，得{ a|0w a w 4}.3. 不等式L仆2)0+3 L 0的解集为 ______________________________ .x + 4答案{x|—4v x v—3 或x>—1}解析原式可转化为(x+ 1)(x+ 2)2(X+ 3)(x + 4) >0,根据数轴穿根法，解集为—4v x v —3或x>— 1.4. 设x2—2x+ a—8W 0对于任意x€ (1,3)恒成立，求a的取值范围.解原不等式x2—2x+ a—8w 0转化为a< —x2+ 2x + 8对任意x€ (1,3)恒成立，设f(x)=—x2+ 2x+ 8,易知f(x)在(1,3)上的最小值为f(3) = 5.••• aw 5.5•某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏•为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？解设每盏台灯售价x元，则x> 15,并且日销售收入为x[30 —2(x—15)]，由题意知，当x> 15时，有x[30 —2(x—15)] >400,解得：15W x v 20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x€ [15,20).「课堂小结 ------------------------------------ 11•解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解.若不等式含有等号时，分母不为零.2•对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法•这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决•当然这必须以参数容易分离作为前提•分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立？ a>f(X)max；(2)a<f(x)恒成立？ a<f(x)min.3•解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解。

第 4课时：§ 一元二次不等式（3）【三维目标】：一、知识与技术1.经历从实质情形抽象出一元二次不等式模型的过程，从中领会由实质问题成立数学模型的方法；2.让学生充足领会数学知识、数学思想方法在问题解决中的重要作用，进一步提升学习数学的兴趣．3.培育学生经过平时生活中的例子，找到数学知识规率，进而在实质生活问题中数形联合的应用以及计算机在数学中的应用。

二、过程与方法经历从实质情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，从中领会由实质问题成立数学模型的方法；三、感情、态度与价值观1.激发学习数学的热忱，培育勇于探究的精神，培育学生的合作意识和创新精神，同时领会事物之间广泛联系的辩证思想；经过等与不等的对峙一致关系的认识，对学生进行辨证唯心主义教育.2.创建问题情形，激发学生察看、剖析、探究的学习激情、加强学生参加意识及主体作用。

【教课要点与难点】：要点：从实质情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

难点：从实质情境中抽象出一元二次不等式模型；【学法与教课器具】：1.学法：2.教课方法：诱思引探教课法3.教课器具：多媒体、实物投影仪 .【讲课种类】：新讲课【课时安排】： 1 课时【教课思路】：一、创建情形，揭露课题1. 复习:一元二次不等式 ax 2bx c0(a0) 与相应的函数 y ax2bx c( a0)、相应的方程ax2bx c0(a0) 之间有什么关系？2. 解不等式 :(1)x23x 4 ；(2)x22x 3 0；(3) ( x 1)( x2x 30)0 ；(4)132x2．x1 1 x2 3．概括解一元二次不等式的步骤：（ 1）二次项系数化为正数；（2）解对应的一元二次方程；（ 3）依据一元二次方程的根，联合不等号的方向绘图；（4）写出不等式的解集．二、研探新知，怀疑辩论，排难解惑，发展思想例 1 （教材P69例 2）用一根长为100m的绳索能围成一个面积大于600m2的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？解：设矩形一边的长为 x(m) ，则另一边的长为 50x( m) ，0x 50 ．由题意，得x(50 x) 600，即x250x 600 0 ．解得20x30 ．因此，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于 600m2的矩形．( x 25)2用 S 表示矩形的面积，则S x(50x)625(0 x50) ．当 x25 时， S 获得最大值，此时50 x25 ．即当矩形的长、宽都为25m 时，所围成的矩形的面积最大．例 2 （教材P70例 3 ）某小型服饰厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p元／件之间的关系为p 160 2x ，生产 x 件所需成本为C500 30x 元，问：该厂日产量多大时，日赢利许多于1300 元？解：由题意，得 (1600 2x) x (50030 x)1300 ，化简得x265 x 900 0，解之得20x45 ．因此，该厂日产量在 20 件至 45 件时，日赢利许多于1300 元．例 3（教材P70例 4）汽车内行驶中，因为惯性的作用，刹车后还要持续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是剖析事故的一个重要要素．在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现状况不对，同时刹车，但仍是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超出12m，乙车的刹车距离略超出10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m) 与车速 x(km / h) 之间分别有以下关系：s甲0.1x 0.01 x2 , s乙0.05x 0.005 x2．问：甲、乙两车有无超速现象？剖析：依据汽车的刹车距离能够预计汽车的车速．解：由题意知，关于甲车，有212 ，即 x210 x1200 0 ，解得x 30或x40（不合实质意义，舍去），这表示甲车的车速超出30km/h．但依据题意刹车距离略超出12m，由此预计甲车车速不会超出限速 40km/h．关于乙车，有210 ，即 x210 x 20000 ，解得x 40或x50 （不合实质意义，舍去），这表示乙车的车速超出40km/h，超出规定限速．三、稳固深入，反应改正教材 P71练习四、概括整理，整体认识相关一元二次不等式的实质问题，在于理清各个量之间的关系，成立数学模型；五、承前启后，留下悬念六、板书设计（略）七、课后记：。

3.2 一元二次不等式(1)【学习目标】1．通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数方程的联系;2．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式;3．体会三个二次关系及数形结合的数学思想.【重点难点】重点是一元二次不等式的解法难点是三个二次关系的理解【学习过程】一、自主学习与交流反馈画出函数65)(2--=x x x f 的图像回答问题:(1)函数的零点为 ;(2)观察函数图像,不等式0)(>x f 的解集为 . 二、知识建构对一元二次不等式02>++c bx ax （a>0）有:三、例题例1 解下列不等式:（1） 01272>+-x x （2）0322≥+-x x（3）0122<+-x x （4）0222<+-x x例2 解不等式21212≤-+<-x x例3 若02>++c bx ax 的解集为{}βα<<x x )0(βα<<，求不等式02<++a bx cx 的解集.四、巩固练习1．不等式0)3)(1(>--x x 的解集为 .2．不等式0422>-+-x x 的解集为 .3．x 是什么实数时,函数2514y x x =-++的值是:(1)0; (2)正数; (3)负数.4．解关于x 的不等式－6＜x 2－5x ＜24.5．解下列不等式:(1)01242>-+x x ; (2)01692≤+-x x(3)231x x <- (4)1)2)(2(>+-x x6．若不等式ax 2+bx+2>0的解集是}3121|{<<-x x ，则b a -的值是 ．。

普通高中课程标准实验教科书—数学必修五[苏教版]§3.2 一元二次不等式(3)教学目标（1）掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法；（2）从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题；（3）从二次函数或是一元二次方程的角度，来解决一元二次不等式的综合题． 教学重点，难点从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题，掌握一元二次不等式恒成立的解题思路．教学过程一．问题情境复习:一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>之间有什么关系？（由学生上黑板画出相应表格）二．数学运用1．例题：例1.已知关于x 的不等式20x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，求实数,m n 之值． 解：Q 不等式20x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤ ∴125,1x x =-=是20x mx n -+=的两个实数根，∴由韦达定理知：5151m n -+=⎧⎨-⨯=⎩∴45m n =-⎧⎨=-⎩．例2．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式20cx bx a -+>的解集．解：由题意 23230b a c a a ⎧+=-⎪⎪⎪⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩， 即560b a c a a =-⎧⎪=⎨⎪<⎩． 代入不等式20cx bx a -+>得： 2650(0)ax ax a a ++=<．即26510x x ++<，∴所求不等式的解集为11{|}32x x -<<-． 例3．已知一元二次不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ，求m 的取值范围．解：Q 2(2)2(2)4y m x m x =-+-+为二次函数，2m ∴≠ Q 二次函数的值恒大于零，即2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ．200m ->⎧∴⎨∆<⎩， 即224(2)16(2)0m m m >⎧⎨---<⎩，解得：226m m >⎧⎨<<⎩m ∴的取值范围为{|26}m m <<（2m =适合）．拓展：1．已知二次函数2(2)2(2)4y m x m x =-+-+的值恒大于零，求m 的取值范围．2．已知一元二次不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+≤的解集为φ,求m 的取值范围．3．若不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+≤的解集为φ,求m 的取值范围．归纳：一元二次不等式恒成立情况小结：20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔00a >⎧⎨∆<⎩． 20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔00a <⎧⎨∆<⎩．例4．若函数y 中自变量x 的取值范围是一切实数，求k 的取值范围．解：Q y =中自变量x 的取值范围是R ，∴220x kx k ++≥恒成立．∴2440k k ∆=-≤ ∴01k ≤≤故k 的取值范围是{|01}k k ≤≤． 拓展：若将函数改为y =k 的取值范围？ 例5．若不等式2210mx x m -+-<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求实数x 的取值范围．解：已知不等式可化为2(1)(12)0x m x -+-<．设2()(1)(12)f m x m x =-+-，这是一个关于m 的一次函数（或常数函数），从图象上看，要使()0f m <在22m -≤≤时恒成立，其等价条件是：22(2)2(1)(12)0,(2)2(1)(12)0,f x x f x x ⎧=-+-<⎪⎨-=--+-<⎪⎩ 即222230,2210.x x x x ⎧+->⎪⎨--<⎪⎩ 解得1122x -+<<．所以，实数x 的取值范围是⎝⎭． 2．练习：关于x 的不等式223x x k k x x -+>-+对一切实数x 恒不成立，求k 的取值范围． 三．回顾小结：1．从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题；2．一元二次不等式恒成立的问题．四．课外作业：课本第73页 第5、6题； 第96页 复习题 第4、11题．补充：1．设12,x x 是关于x 的方程22210()x kx k k R -+-=∈的两个实根，求2212x x +的最小值； 2．不等式02x a x->-的解集为{|22}x x -<<，求不等式20x x a ++>的解集； 3．已知不等式2222(1)0x ax a x x a +++>++对一切实数x 都成立，求a 的取值范围．。

一般高中课程标准实验教科书— 数学必修五 [苏教版 ]§3.2 一元二次不等式 (3)教课目的（ 1）掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法； （ 2）从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题；（ 3）从二次函数或是一元二次方程的角度，来解决一元二次不等式的综合题．教课要点，难点从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题，掌握一元二次不等式恒建立的解题思路． 教课过程一．问题情境复习 : 一元二次不等式 ax 2 bx c 0( a0) 与相应的函数 yax 2 bx c(a 0) 、相应的方程 ax 2 bx c 0( a 0) 之间有什么关系？（由学生上黑板画出相应表格）二．数学运用1．例题：例 1. 已知对于 x 的不等式 x 2 mx n 0 的解集是 { x |5 x 1} ，务实数 m, n 之值．解： Q 不等式 x 2mx n0的解集是 { x | 5 x1}x 1 5, x 2 1 是 x 2mx n 0的两个实数根，5 1m m4由韦达定理知：5 1nn．5例 2．已知不等式 ax 2bx c0 的解集为 { x | 2x 3} 求不等式 cx 2 bx a 0 的解集．2 3bab5ac解：由题意2 3 ， 即 c6a ．a aa 0代入不等式 cx 2 bxa 0 得： 6ax 2 5ax a0( a 0) ．即6x 25x 10 ，所求不等式的解集为1 x 1{ x | } ．2) x 23 2例 3．已知一元二次不等式(m2(m 2) x4 0 的解集为 R ，求 m 的取值范围．解： Q y( m 2) x 2 2(m 2) x 4 为二次函数，m 2Q 二次函数的值恒大于零，即 (m 2) x 2 2( m 2) x4 0的解集为 R ．m2m 2，解得：m 2， 即2)2 16(m 2) 2 m64(m 0m 的取值范围为 { m | 2 m 6} （ m 2 合适）．拓展： 1．已知二次函数y(m 2) x 2 2(m 2) x 4 的值恒大于零，求 m 的取值范围． 2(m 2) x 22( m 2) x 4 0的解集为,求 m 的取值范围．．已知一元二次不等式2(m4 03(m2) x2 2) x的解集为 ,求 m 的取值范围．．若不等式概括： 一元二次不等式恒建立状况小结：ax 2 bx c0 （ a 0 ）恒建立a 0 ．0 ax2bx c0 （ a 0 ）恒建立a 0．例 4．若函数 yx 2 2kx k 中自变量 x 的取值范围是一确实数，求k 的取值范围．解： Q yx 22kx k 中自变量 x 的取值范围是 R ，x 2 2kx k0 恒建立．4k 2 4k 0 0 k 1故 k 的取值范围是 { k | 0 k 1} ．拓展：若将函数改为y1 ，怎样求 k 的取值范围？x 2 2kxk例 5．若不等式 mx 22x 1 m0 对知足 2 m2 的全部 m 都建立，务实数 x 的取值范围．解：已知不等式可化为 (x 2 1)m (1 2 x) 0 ．设 f (m)( x 2 1)m(1 2x) ，这是一个对于 m 的一次函数（或常数函数） ，从图象上看，要使 f (m) 0 在 2 m 2 时恒建立，其等价条件是：f (2) 2( x 2 1) (1 2 x) 0,2x 22x 3 0, 解得1 71 3 f ( 2)2( x 21) (1 2x)0, 即2x10.2 x．2x 22因此，实数 x 的取值范围是1 7 , 1 3 ．222．练习：对于 x 的不等式x 2x kk 对一确实数 x 恒不建立，求 k 的取值范围．x 2x 3三．回首小结：1．从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题； 2．一元二次不等式恒建立的问题．四．课外作业： 课本第 73 页第 5、6题； 第 96 页 复习题 第 4、11 题．增补：1．设 x 1, x 2 是对于 x 的方程 x 2 2kx 1 k 2 0( k R) 的两个实根，求 x 12x 22 的最小值；2．不等式xa0的解集为 { x | 2 x 2} ，求不等式 x 2x a 0 的解集；2 x3．已知不等式 x22ax (1 a 2)对一确实数 x 都建立，求 a 的取值范围．x 2x a 0。