高中数学第一章常用逻辑用语章末复习课学案新人教A版选修2-1

第一章常用逻辑术语知识系统整合规律方法收藏1．命题（１)判断一个语句是不是命题就是要看它是否符合是“陈述句”和“可以判断真假"这两个条件，只有同时满足这两个条件的才是命题．（２)一个命题要么是真的，要么是假的,但不能同时既真又假,也不能模棱两可，无法判断其真假.当一个命题改写成“若p,则ｑ"的形式之后，判断这种命题的真假的办法是：①若由“ｐ”经过逻辑推理得出“q",则可确定“若p,则q”是真；确定“若p，则q”为假，则只需举一个反例说明．②从集合的观点看,我们建立集合A，B与命题中的ｐ，q之间的一种特殊联系：设集合A＝{x｜ｐ(x)成立}，Ｂ={x｜q(x)成立}，就是说,A是全体能使条件p成立的对象x所构成的集合，B ﻬ是全体能使条件q成立的对象ｘ所构成的集合,此时,命题“若p,则ｑ”为真(意思就是“使p成立的对象也使ｑ成立"),当且仅当A⊆B时满足．(3）若将含有大前提的命题改写为“若p,则q”的形式时,大前提不变，仍作为大前提，不能写在条件p中.(4）当一个命题的真假不易判断时,往往可以判断原命题的逆否命题的真假，从而判断出原命题的真假.(5）注意否命题与命题的否定是不同的，若p表示命题,“非p”叫做命题的否定.如果原命题是“若p,则q",否命题是“若綈ｐ,则綈q”,而命题的否定是“若p,则綈q”，即只否定结论.2．逻辑联结词“或”“且"“非＂真值表是根据简单命题的真假,判断由这些简单命题构成的复合命题的真假,要掌握以下规律:(1)“非p"形式的复合命题的真假与命题“ｐ”的真假相反；（2）“p或q”形式的复合命题只有当命题“p”与命题“q＂同时为假时才为假,否则为真;（3）“p且q"形式的复合命题只有当命题“p"与命题“q”同时为真时才为真,否则为假.３．全称命题与特称命题的真假判断及联系（1)要判定全称命题是真命题，需对集合Ｍ中每个元素x，证明ｐ(ｘ）成立;如果在集合M中找到一个元素x0，使得p（x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题.(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个x＝x0，使p（ｘ0）成立即可;否则，这一特称命题就是假命题.(3)全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,因此,我们可以通过“举反例”来否定一个全称命题．学科思想培优一、四种命题及其关系由原命题构成逆命题只要将p和ｑ换位就可以.由原命题构成否命题只要将p和ｑ分别否定为綈p和綈q，但p和ｑ不必换位.由原命题构成逆否命题时,不但要将p和q换位,而且要将换位后的ｐ和q否定.原命题为真，它的逆命题不一定为真．原命题为真,它的否命题不一定为真．原命题为真，它的逆否命题一定为真.因为互为逆否命题同真同假，所以讨论四种命题的真假性只讨论原命题和逆否命题中的一个,逆命题和否命题中的一个．只讨论两种就可以了,不必对四种命题形式一一加以讨论．[典例1]π为圆周率,a，b,ｃ,d∈Q,已知命题p:若ａπ＋ｂ＝cπ＋d，则ａ=ｃ且b＝d．（1)写出綈p并判断真假；（2)写出ｐ的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假.解(１)綈ｐ：“若ａπ＋b＝cπ＋d,则a≠c或ｂ≠d”．因为a,b,ｃ，ｄ∈Q,又aπ+ｂ=cπ＋d，所以π(ａ－c)＝d-b∈Q,则ａ＝c且b=d.故p是真命题,所以綈p是假命题．（2）逆命题:“若ａ＝c且b=d,则aπ＋b＝cπ＋d".真命题．否命题:“若aπ＋b≠ｃπ+d，则ａ≠c或b≠d”．真命题．逆否命题:“若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ+d"．真命题.拓展提升1．写四种命题的步骤（1）找出命题的条件p和结论ｑ；(2)写出条件ｐ的否定綈p和结论ｑ的否定綈ｑ;(3)按照四种命题的结构写出所有命题.2.每一个命题都由条件和结论组成,要分清条件和结论．３．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断,这也是反证法的理解基础.二、充要条件充要条件是数学中的一个重要概念,是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识.高考对充要条件的考查主要以其他知识为载体进行两类问题的考查:一类是充要条件的判别；一类是有关充要性命题的证明,尤以考查充要条件的判别为主.下面就介绍几种充要条件的判定方法.1．直接用定义判定能够保证一个事件一定发生的条件,叫做这个事件发生的充分条件；一个事件要发生必须具备的条件叫做这个事件发生的必要条件;一个条件既能保证某个事件发生,同时又是这个事件发生必须具备的条件,就叫做这个事件发生的充要条件.在实际应用中，体现充要条件的文字还有“当且仅当”“有且仅有”“必需且只需”等语句．用逻辑符号表示为：（1)若p⇒q,且q错误!p,则ｐ是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；（2)若q⇒ｐ,且p错误!未定义书签。

1、1命题及其关系学习目标（1）了解命题概念及其构成形式（2）理解命题的真假判断（3）掌握四种命题之间的相互关系自我评价1.在数学中,我们把用、、或表达的，可以的叫做命题.其中的语句叫做真命题，的语句叫做假命题2.命题的数学形式：“若p，则q”，命题中的p叫做命题的，q叫做命题的. 1）对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做原命题为：“若p，则q”，则逆命题为：“”.(2) 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 我们把这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的.若原命题为：“若p，则q”，则否命题为：“”（3）一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 我们把这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的.若原命题为：“若p，则q”，则否命题为：“”命题表述形式原命题若p,则q逆命题(1)否命题(2)逆否命题(3)原命题逆命题否命题逆否命题真真假假系：（1）(2)精典范例例1：下列语句是否为命题？你能判断它们的真假吗？①若平面四边形的边都相等，则它是菱形。

②空集是任何集合的真子集③对顶角相等吗？④对顶角不相等；⑤6>3⑥3>x命题有，真命题有假命题有.变式1：下列语句的是否为命题？能判断它们的真假吗？①若1=xy，则yx,互为倒数；②相似三角形的周长相等；③2+4=5④如果b≤－1，那么方程2220x bx b b-++=有实根；⑤若A B B=U，则B A⊆；⑥3不能被2整除；命题有，真命题有假命题有.变式2下列语句哪些是命题?是真命题还是假命题? （1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）指数函数是增函数吗？（4）若空间有两条直线不相交，则这两条直线平行；（52(2)2-；（6）15x>.命题有，真命题有假命题有.例2：指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）菱形的对角线相等且互相平分；（3）相等的两个角是对顶角。

第一章常用逻辑用语全章素养整合授课提示：对应学生用书第17页授课提示：对应学生用书第17页类型一四种命题及真假判断题型特点命题涉及知识点多，知识跨度大，主要考查命题及其关系以及对命题真假的判断．高考中多以选择题、填空题的形式命题．方法归纳1。

四种命题的写法（1)明确条件和结论：认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出命题的逆命题、否命题、逆否命题．（2）注意:原命题中的前提条件不能作为命题的条件．2．简单命题真假的判断方法（1）直接法:判断简单命题的真假，通常用直接法判断．用直接法判断时,应先分清条件和结论，运用命题所涉及的知识进行推理论证．(2)间接法：当命题的真假不易判断时，还可以用间接法，转化为等价命题或举反例．用转化法判断时，需要准确地写出所给命题的等价命题．［例1]原命题：“a，b为两个实数,若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是（)A．逆命题:若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，为假命题B．否命题：若a＋b〈2,则a,b都小于1，为假命题C．逆否命题：若a，b都小于1,则a＋b<2,为真命题D．“a＋b≥2"是“a，b中至少有一个不小于1"的必要不充分条件［解析］“a＋b≥2"可以得到“a,b中至少有一个不小于1”,但“a，b中至少有一个不小于1”,不一定能得出“a＋b≥2”,所以原命题为真命题，逆命题为假命题，则逆否命题为真命题,否命题为假命题，且A,B，C变换形式正确;而对于选项D，“a＋b≥2”是“a，b 中至少有一个不小于1”的充分不必要条件,故选项D的说法错误．［答案] D跟踪训练1。

（1）下列命题的逆命题为真命题的是(）A．若x>2,则(x－2）（x＋1）>0B．若x2＋y2≥4，则xy＝2C．若x＋y＝2，则xy≤1D．若a≥b,则ac2≥bc2解析:对于A的逆命题是“若(x－2）（x＋1）〉0，则x〉2”假命题．对于B的逆命题是“若xy＝2，则x2＋y2≥4”真命题．对于C的逆命题是“若xy≤1，则x＋y＝2”假命题．对于D的逆命题是“ac2≥bc2,则a≥b”假命题．故选B。

第一章常用逻辑用语章末复习学习目标 1.掌握充分条件、必要条件的判定方法.2.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．1．充分条件、必要条件和充要条件(1)定义一般地，若p则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)特征充分条件与必要条件具有以下两个特征：①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件；②传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件．即若p⇒q，q⇒r，则p⇒r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定．2．量词(1)短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”．(2)短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词，通常用符号“∃x0”表示“存在x0”．3．含有全称量词的命题叫做全称命题，含有存在量词的命题叫做特称命题．(1)“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题．(√)(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(√)(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)类型一 充要条件例1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 (1)A (2)A解析 (1)当b ＜0，且x ＝－b2＞0时，f (x )取得最小值－b 24，则f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 24，＋∞，则当f (x )＝－b2时，f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等，故是充分条件；当b ＝0时，f (x )＝x 2，f (f (x ))＝x 4的最小值都是0，故不是必要条件．故选A. (2)当两个平面内的直线相交时，这两个平面有公共点，即两个平面相交；但当两个平面相交时，两个平面内的直线不一定有交点． 反思与感悟 分清条件与结论，准确判断p ⇒q ，还是q ⇒p . 跟踪训练1 已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)， 得1－m ≤x ≤1＋m . 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10.由q 是p 的必要不充分条件知，p 是q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，且不等式组中的等号不能同时成立，得m ≥9.类型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假 例2 下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1 D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2答案 B解析 当x ∈N *时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B.反思与感悟 判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立． 跟踪训练2 下列命题中的真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝32B ．∀x ∈R ，－1≤sin x ≤1C ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x 答案 B解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2<32，故A 错误；由正弦函数的值域可知B 正确；当x <0时，y ＝2x 的图象在y ＝3x 的图象上方，故C 错误；因为当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4时，sinx <cosx ，故D 错误．故选B.命题点2 含一个量词的命题的否定例3 (1)命题“∀x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＞0”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，013x⎛⎫ ⎪⎝⎭＜0 B ．∀x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≤0C ．∀x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＜0D ．∃x 0∈R ，013x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤0 答案 D解析 全称命题的否定是特称命题，“>”的否定是“≤”． (2)命题“∃x 0∈R,1＜f (x 0)≤2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R,1＜f (x )≤2 B ．∃x 0∈R,1＜f (x 0)≤2C．∃x0∈R，f(x0)≤1或f(x0)＞2D．∀x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2答案 D解析特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2”．反思与感悟对全(特)称命题进行否定的方法(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；(2)对原命题的结论进行否定．跟踪训练3 已知命题p：“∃x0∈R，0x e－x0－1≤0”，则命题p的否定为( )A．∃x0∈R，0x e－x0－1≥0B．∃x0∈R，0x e－x0－1>0C．∀x∈R，e x－x－1>0D．∀x∈R，e x－x－1≥0答案 C解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得命题p的否定为“∀x∈R，e x－x－1>0”，故选C.1．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析x＞y⇏x＞|y|(如x＝1，y＝－2)，但当x＞|y|时，能有x＞y.∴“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件．2．“0≤m≤1”是“函数f(x)＝cos x＋m－1有零点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析方法一若0≤m≤1，则0≤1－m≤1，∴cos x＝1－m有解．要使函数f(x)＝cos x＋m－1有零点，只需|m－1|≤1，解得0≤m≤2，故选A.方法二函数f(x)＝cos x＋m－1有零点，则|m －1|≤1，解得0≤m ≤2， ∵{m |0≤m ≤1}{m |0≤m ≤2}．∴“0≤m ≤1”是“函数f (x )＝cos x ＋m －1”有零点的充分不必要条件．3．已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)答案 B解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，即－1＜a ＜3.4．对任意x ∈[－1,2]，x 2－a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0]解析 由x 2－a ≥0，得a ≤x 2，故a ≤(x 2)min ，得a ≤0. 5．已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ 解析 由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方，故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞.(1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立． (2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．一、选择题1．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“直线l垂直于平面α”的( ) A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 C2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )A．有一个α，使tan(90°－α)＝1tan αB．存在实数x0，使sin x0＝π2C．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD．sin 15°＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45°答案 A3．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )A．∀x∈R，|x|＞0 B．∃x0∈R，|x0|＞0C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x0∈R，|x0|≤0答案 C4．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若x＝4，则a＝(4,3)，∴|a|＝42＋32＝5，若|a|＝5，则x2＋32＝5，∴x＝±4，故“x＝4”是“|a|＝5”的充分不必要条件．5．王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析 “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．故选B. 6．命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( ) A ．∀x ∉R ，x 2≠x B ．∀x ∈R ，x 2＝x C ．∃x 0∉R ，x 20≠x 0 D ．∃x 0∈R ，x 20＝x 0答案 D解析 全称命题的否定是特称命题，所以“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定为“∃x 0∈R ，x 20＝x 0”． 二、填空题7．若命题p ：常数列是等差数列，则其否定为：______________________________________. 答案 存在一个常数列，不是等差数列 解析 全称命题的否定是特称命题．8．设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 当x >1，y >1时，x ＋y >2一定成立，即p ⇒q ，当x ＋y >2时，可令x ＝－1，y ＝4，则x ＞1且y ＞1不成立，即qD ⇒/p ， 故p 是q 的充分不必要条件．9．已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x ＜0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． 答案 (0,3)解析 令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴MN ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a ＋1＜4，解得0＜a ＜3.10．定义f (x )＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“取上整函数”，例如{1.2}＝2，{4}＝4.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的．以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是________． ①f (2x )＝2f (x )；②若f (x )＝f (y )，则x －y <1；③任意x ，y ∈R ，f (x ＋y )≤f (x )＋f (y )；④f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f (2x )；⑤函数f (x )为奇函数．答案 ②③解析 根据新定义“取上整函数”的意义f (2x )＝2f (x )不一定成立，如x 取1.5；f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f (2x )不一定成立，如x 取0；函数f (x )不满足奇函数的关系，如f (1.6)＝f (2)，f (－1.6)＝f (－1)．故答案为②③. 三、解答题11．设p ：2x 2－3x ＋1≤0，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若q 是p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 由题意得，p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1.∵q 是p 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞1，a ≤12，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ＜12，∴0≤a ≤12.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 12．求证：函数f (x )＝x 2＋|x ＋a |＋1是偶函数的充要条件是a ＝0. 证明 先证充分性，若a ＝0，则函数f (x )＝x 2＋|x ＋a |＋1是偶函数． 因为a ＝0，所以f (x )＝x 2＋|x |＋1(x ∈R )． 因为f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝x 2＋|x |＋1， 所以f (x )是偶函数．再证必要性，若f (x )＝x 2＋|x ＋a |＋1是偶函数，则a ＝0. 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 即(－x )2＋|－x ＋a |＋1＝x 2＋|x ＋a |＋1， 从而|x －a |＝|x ＋a |，即(x －a )2＝(x ＋a )2， 展开并整理，得ax ＝0.因为x ∈R ，所以a ＝0.13．已知c >0，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R .如果p 和q 有且仅有一个为真命题，求c 的取值范围．解 函数y ＝c x在R 上单调递减等价于0<c <1. 不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R等价于函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上恒大于1.∵x ＋|x －2c |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2c ，x ≥2c ，2c ，x <2c ，∴函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上的最小值为2c ， ∴2c >1，得c >12.如果p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<c <1，0<c ≤12，解得0<c ≤12；如果q 真p 假，则⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1，c >12，解得c ≥1.∴c 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)． 四、探究与拓展14．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，易知k ≠0，且圆心O 到直线l 的距离d ＝11＋k2＜1，所以|AB |＝21－d 2＝21－11＋k 2＝2k 21＋k2.若k ＝1，则|AB |＝2，d ＝22， 所以△OAB 的面积为12×2×22＝12.反过来，若△OAB 的面积为12，则S ＝12×11＋k 2×2k 21＋k 2＝k 21＋k 2＝12， 解得k ＝±1.故“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．15．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )＞0对任意x ∈R 恒成立？说明理由． (2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)＞0成立，求实数m 的取值范围．解 (1)不等式m ＋f (x )＞0可化为m ＞－f (x )，即m ＞－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m ＞－(x －1)2－4对任意x ∈R 恒成立，只需m ＞－4即可．故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )＞0对任意x ∈R 恒成立，此时，只需m＞－4.(2)不等式m－f(x0)＞0可化为m＞f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m＞f(x0)成立，则只需m＞f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m＞4，∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．。

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第一章常用逻辑用语1 怎样解逻辑用语问题1。

利用集合理清关系充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点。

要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来,看得见、想得通,才是最好的方法。

本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好.集合模型解释如下：(1）A是B的充分条件,即A⊆B。

(2）A是B的必要条件,即B⊆A.（3）A是B的充要条件，即A=B.(4）A是B的既不充分也不必要条件，即Ａ∩B=∅或A、B既有公共元素也有非公共元素.或例1 设集合Ｓ=｛0，a},T＝{x∈Z|ｘ２<２},则“a＝1"是“S⊆T”的_＿_＿_＿条件。

(填“充分不必要”“必要不充分"“充要”或“既不充分也不必要”)解析Ｔ={x∈Z|x２<2}={-1，０，１｝,a＝1时，S={０,１}，所以S⊆Ｔ；反之,若Ｓ⊆Ｔ，则S＝｛0,1｝或Ｓ＝｛0,－1｝．所以“a＝1”是“S⊆T”的充分不必要条件。

答案充分不必要2.抓住量词，对症下药全称命题与特称命题是两类特殊的命题,这两类命题的否定是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词,理解其相应的含义,从而对症下药。

1。

3。

1 “且”与“或”自主预习·探新知情景引入要在某居民楼一楼与二楼的楼梯间安一盏灯，一楼和二楼各有一个开关，使得任意一个开关都能独立控制这盏灯,你能运用“或”“且”的方法解决吗？新知导学1．逻辑联结词“或”“非"构成新命题记作读作用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就__p∧q____p且q__得到一个新命题用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，__p∨q____p或q__就得到一个新命题p q p∧q p∨q真真__真____真__真假__假____真__假真__假____真__假假__假____假__预习自测1．“xy≠0"是指( A ）A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少一个不为0 D．不都是0[解析］xy≠0当且仅当x≠0且y≠0.2．p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p∧q"为真命题的一个点P（x，y）是( C ）A．（0，－3）B．（1,2）C．（1,－1）D．(－1,1)［解析］点P（x，y）满足错误!，解得P（1,－1）或P(－3，－9),故选C．3．下列判断正确的是（ B ）A．命题p为真命题,命题“p或q”不一定是真命题B．命题“p且q”是真命题时，命题p一定是真命题C．命题“p且q”是假命题，命题p一定是假命题D．命题p是假命题，命题“p且q”不一定是假命题［解析] 因为p、q都为真命题时,“p且q”为真命题．4．由下列各组命题构成的新命题“p或q"“p且q”都为真命题的是( B ）A．p：4＋4＝9,q:7〉4B．p:a∈{a，b，c｝,q：｛a｝｛a，b，c}C．p：15是质数,q：8是12的约数D．p：2是偶数，q:2不是质数[解析] “p或q"“p且q”都为真，则p真q真,故选B．5．给出下列条件：(1)“p成立，q不成立”；(2）“p不成立,q成立”；(3）“p与q都成立”；（4）“p与q都不成立”．其中能使“p或q"成立的条件是__(1）(2）（3）__(填序号)．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶命题的构成形式典例1 分别指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题．（1)小李是老师，小赵也是老师;（2）1是合数或质数；（3）他是运动员兼教练员；（4）这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且政治上有错误;（5）要么周长相等的两个三角形全等，要么面积相等的两个三角形全等．［规范解答］(1）这个命题是“p∧q"的形式，其中，p：小李是老师；q：小赵是老师．（2）这个命题是“p∨q”的形式,其中，p：1是合数;q：1是质数．（3）这个命题是“p∧q”的形式，其中，p：他是运动员；q：他是教练员．（4）这个命题是“p∧q"的形式，其中，p：这些文学作品艺术上有缺点;q：这些文学作品政治上有错误．（5）这个命题是p∨q形式，其中p：周长相等的两个三角形全等，q：面积相等的两个三角形全等．『规律总结』1。

安阳县二中分校“四步教学法”导学案
A nyangxian erzhong fenxiao sibujiaoxuefa daoxuean
课题：第一章常用逻辑用语（复习）
设计人：审核人：
班级：________ 组名：________姓名：________ 时间：________
一、自主学习：（1０分钟完成）
1 学习目标
1. 命题及其关系
（1）了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题间的相互关系；
（2）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
一、课前准备
复习1：
复习2：
1.什么是命题?其常见的形式是什么?什么是真命题?什么是假命题?
2.有哪四种命题?他们之间的关系是怎样的?
3.什么是充分条件、必要条件和充要条件？
4你学过哪些逻辑联结词?四逻辑联结词联结而成的命题的真假性怎样?
5.否命题与命题的否定有什么不同?
6.什么是全称量词和存在量词?。

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第一章常用逻辑用语章末复习学习目标1。

掌握充分条件、必要条件的判定方法.2.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假,会求含有一个量词的命题的否定．1．充分条件、必要条件和充要条件(1)定义一般地，若p则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q。

这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件．一般地,如果既有p⇒q，又有q⇒p,就记作p⇔q。

此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2）特征充分条件与必要条件具有以下两个特征:①对称性:若p是q的充分条件，则q是p的必要条件；②传递性：若p是q的充分条件,q是r的充分条件，则p是r的充分条件．即若p⇒q,q⇒r,则p⇒r。

必要条件和充分条件一样具有传递性,但若p是q的充分条件，q是r的必要条件,则p与r的关系不能确定．2．量词(1)短语“所有"“任意”“每一个"等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”．(2)短语“有一个”“有些"“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词,通常用符号“∃x0”表示“存在x0"．3．含有全称量词的命题叫做全称命题,含有存在量词的命题叫做特称命题．(1)“所有奇数都是质数"的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题．（√)(2）当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．（√)(3）当q是p的必要条件时,p是q的充分条件．(√)类型一充要条件例1 （1)已知函数f（x）＝x2＋bx，则“b＜0”是“f(f（x）)的最小值与f(x)的最小值相等”的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案(1）A (2）A解析(1）当b＜0，且x＝－错误!＞0时，f(x)取得最小值－错误!,则f（x）的值域为错误!,则当f(x）＝－错误!时，f(f（x）)的最小值与f(x）的最小值相等，故是充分条件；当b＝0时，f（x）＝x2，f（f(x）)＝x4的最小值都是0，故不是必要条件．故选A。

第一章常用逻辑用语第2节充分条件与必要条件1.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件2.“a >b 且c >d ”是“a +c >b +d ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A B⊆”的() A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在△ABC中，“A>30°”是“1sin2A>”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设x∈R，则“12x>”是“2x2+x－1>0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.设，是向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：1.A2.A3.B4.Aa rb r ||||a b =r r ||||a b a b +=-r r rr5.A6.A7.D。