2019年年秋华师大版八年级上册数学习题课件：12.5 因式分解(第二课时)精品物理
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2019-2020年初二数学下试题及答案页数:12
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八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.5 因式分解 第2课时 因式分解教案 (新版)华东师大版
第2课时因式分解(2)1．能熟练运用公式将多项式进行因式分解．2．能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底．3．提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力．重点掌握公式法进行因式分解．难点找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底．一、创设情境1．乘法公式有哪些？(1)两数和乘以这两数的差的公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(2)两数和或差的完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.2．试计算：(1)(a＋3)(a－3)；(2)(a－3b)2；(3)(a＋2b)2.二、探究新知1．根据上面得到的结果，你会做下面的填空吗？(1)a2－6ab＋9b2＝( )( )；(2)a2－9＝( )( )；(3)a2＋4ab＋4b2＝( )( )．2．观察复习与回顾的练习，你能发现它们之间的联系与区别吗？学生反复仔细观察、对比，找出其中的联系与区别．议一议：由a(a＋1)(a－1)得到a3－a是什么运算？由a3－a得到a(a＋1)(a－1)的变形与它有什么不同？3．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.4．说一说：利用a2－b2＝(a＋b)(a－b)和a2±2ab＋b2＝(a±b)2乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法就称为公式法．其中，a，b可以表示单项式，也可以表示多项式．判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解？(1)x2－4y2＝(x－2y)(x＋2y)；(2)2x(x－3y)＝2x2－6xy；(3)(5a－1)2＝25a2－10a＋1；(4)x2＋4x＋4＝(x＋2)2；(5)(a＋3)(a－3)＝a2－9；(6)m2－4＝(m＋2)(m－2)．三、练习巩固1．把下列各式分解因式：(1)－492＋x2；(2)4(x＋m)2－(x－m)2.2．把下列各式分解因式：(1)x2－12xy＋36y2；(2)a2－14ab＋49b2；(3)16a4＋24a2b2＋9b4；(4)49a2－112ab＋64b2.3．把下列各式分解因式：(1)a3－14a2＋49a；(2)3a3－27ab2；(3)2am＋an＋2bm＋bn；(4)－20xy＋25x2＋4y2.四、小结与作业小结1．在这节课中你学到了什么？2．因式分解和整式乘法有何区别？3．分解因式要注意几个问题？4．常用的因式分解有几种方法？作业教材第45页习题12.5第1题(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)，第3题．本节课中公式法与提公因式法常综合使用，注意通过适当地训练与归纳使之熟练化，对于复杂变形后的因式分解，课标不做要求，不必加重学生负担．。
2019华东师大版八年级上册数学课件12.5 因式分解 (共32张PPT)
相同字母最低次幂 关键确定公因式
一、问题情景导入 分解因式
x4-x2
你会做吗？
二、探究新知
1、（a+b)(a-b)=__a_2-_b_2__.
这个公式叫__平__方__差__公__式__. 从左边到右边的这个过程叫_整__式__乘__法____.
2、反过来，a2-b2=（__a_+_b_)_(_a_-_b_)__ .
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4x²+y² B.4x-(-y)² C.-4x²-y³ D.-x²+y²
2) -4a² +1分解因式的结果应是 （ D ）
A. -(4a+1)(4a-1) B.-(2a-1)(2a-1)
C. -(2a+1)(2a+1) D.-(2a+1)(2a-1)
分解因式注意事项： 1、有公因式可提的要先提公因式，再用公式法. 2、分解之后要看每一项是否分解彻底. 3、提公因式后不要漏掉“1”或“-1”这项. 4、答案要写成最简形式.
做一做
下列分解因式是否正确？为什么？如果不正确， 请给出正确的结果.
x4 16 y4 (x2 )2 (4 y2 )2 (x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
ab 2 a2 2abb2 ab 2 a2 2abb2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我 们把它称为“完全平方公式”.
我们把 a2 2abb2 , a2 2abb2 这两个式子叫做
完全平方式.
“头”平方,“尾”平方,“头”“尾”两倍中间放.
华师大版八年级数学上册《因式分解》课件
1.把下列多项式分解因式 （1）3a+3b= 3(a+b) (2) 5x-5y+5z= 5(x-y+z)
(3) 3a2-9ab= 3a(a-3b) (4) -5a2 +25a= -5a(a-5)
2.已知,x+y=2,xy=-3,求x2y+xy2的值.
3 . 已知代数式x2+3x+5的值是7,求 3x2+9x-2的值.
察是思考和识记之母。”2021年11月8日星期一8时49分18秒08:49:188 November 2021 ❖ 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。上午8时49
分18秒上午8时49分08:49:1821.11.8
注 意
提公因式后，另一个因式：
(2)xy+yz=y(x+z)
(7)(x-y)2+(x-y)=(x-y)(x-y+1)
(8) –3ax2y+6x3yz= -3x2y(a-2xz)
(3)2ac-4abc= 2ac(1-2b)
(4)m2n+mn2=mn(m+n) (5)3m2a-12ma+3ma2= 3ma(m-4+a)
提公因式，首项系数是负数时，提公因式时 要提“-”号，且添括号时每一项一定先变号
找公因式的方法：
1.公因式的系数应取各项系数的最大公约数 （当系数是整数时） （如：5ab2c+15abc2公因式的系数应取5）
5abc
2.字母取各项的相同字母，且相同字母的指 数取最低次幂。
(如:3x2y+6x3yz中相同字母x应取x2)
3x2y
(3) 3a2-9ab= 3a(a-3b) (4) -5a2 +25a= -5a(a-5)
2.已知,x+y=2,xy=-3,求x2y+xy2的值.
3 . 已知代数式x2+3x+5的值是7,求 3x2+9x-2的值.
察是思考和识记之母。”2021年11月8日星期一8时49分18秒08:49:188 November 2021 ❖ 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。上午8时49
分18秒上午8时49分08:49:1821.11.8
注 意
提公因式后，另一个因式：
(2)xy+yz=y(x+z)
(7)(x-y)2+(x-y)=(x-y)(x-y+1)
(8) –3ax2y+6x3yz= -3x2y(a-2xz)
(3)2ac-4abc= 2ac(1-2b)
(4)m2n+mn2=mn(m+n) (5)3m2a-12ma+3ma2= 3ma(m-4+a)
提公因式，首项系数是负数时，提公因式时 要提“-”号，且添括号时每一项一定先变号
找公因式的方法：
1.公因式的系数应取各项系数的最大公约数 （当系数是整数时） （如：5ab2c+15abc2公因式的系数应取5）
5abc
2.字母取各项的相同字母，且相同字母的指 数取最低次幂。
(如:3x2y+6x3yz中相同字母x应取x2)
3x2y
最新华东师大版八年级数学上册精品课件12.5 因式分解 第2课时
是a,•b两第数二的级平方差的形式. 平方差公• 第式•三：第级四级
• 第五级 整式乘法 ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
单击此处编母版标题样式
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
（• 1单）击x2+此y2处编辑母×版文本样式
• 第二级
★符合
平方
差的
形
式的
（2）x2-•y2第三级
√
• 第四级
（3）-x2-y2 • 第五-级(x×2+y2)
多项式才能用平方差公 式进行因式分解，即能
（4）-x2+y2
y2√-x2
写成: ( )2-( )2的形式.
（5）x2-25y2 （6）m2-1
• 第五级
2、m²-6m+9=( m)²- 2·(m ) ·(3 )+( 3 )²=(m - 3 )²
3、a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+(2b )²=( a + 2b )²
a2 ± 2 . a . b + b2 = （ a ± b )²
首2 2 首 尾 尾2 (首 尾)2
2019/8/21
11
单击此处编母版标题样式 a2 ± 2 . a . b + b2
首2 2 首 尾 尾2
下列各式是不是完全平方式？
• 单击此处编辑母版文本样式
（• 1第）二a2级－4a+4;
是 （2）1+4a²; 不是
• 第五级 整式乘法 ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
单击此处编母版标题样式
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
（• 1单）击x2+此y2处编辑母×版文本样式
• 第二级
★符合
平方
差的
形
式的
（2）x2-•y2第三级
√
• 第四级
（3）-x2-y2 • 第五-级(x×2+y2)
多项式才能用平方差公 式进行因式分解，即能
（4）-x2+y2
y2√-x2
写成: ( )2-( )2的形式.
（5）x2-25y2 （6）m2-1
• 第五级
2、m²-6m+9=( m)²- 2·(m ) ·(3 )+( 3 )²=(m - 3 )²
3、a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+(2b )²=( a + 2b )²
a2 ± 2 . a . b + b2 = （ a ± b )²
首2 2 首 尾 尾2 (首 尾)2
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11
单击此处编母版标题样式 a2 ± 2 . a . b + b2
首2 2 首 尾 尾2
下列各式是不是完全平方式？
• 单击此处编辑母版文本样式
（• 1第）二a2级－4a+4;
是 （2）1+4a²; 不是
华师版八年级数学上册 12.5因式分解第2课时公式法(1)1
－__5__)2，再化为__1_002－2×100×5＋52 __9_025 _；
_，结果等于
2019/9/17
3
12.5.3 运用两数和(差)的平方公式因式分解
(4)计算 1052－2×100×5＋52 时，可以逆着(2)的思路把 它化为(_1_0_5_－__5__)2，结果等于_1_0_0_0．0 感谢您下载包图网平台上提供的PPT作品，为了您和包图网以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！包图网将对作品进
2019/9/17
4
12.5.3 运用两数和(差)的平方公式因式分解
新知梳理
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► 知识点 利用两数和(差)的平方公式因式分解
行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！
技巧：
(1)当多项式有公因式时，首先提取公因式． (2)当多项式为两项时，常用平方差公式分解因式． (3)当多项式为三项时，常用两数和(差)的平方公式分解因 式．
(4)当多项式是四项以上时，常用分组分解法．
2019/9/17
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[解析] (3)小题中把 x2－4 利用平方差公式可转化为(x＋2)(x －2)，这时多项式中有公因式(x＋2)，因此再利用提公因式法便 感谢您下载包图网平台上提供的PPT作品，为了您和包图网以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！包图网将对作品进
华东师大版八年级数学上册12.5《因式分解》教学课件2
下列分解因式是否正确？为什么？如果不正确， 请给出正确的结果。
x4 16 y4 (x2 )2 (4 y2 )2
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
不正确 分解到不能再分解为止
巩固练习
1、在多项式x²+y², x²-y²,-x²+y², -x²-y²中,能 利用平方差公式分解的有( B ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
12.5 因式分解
12.5.2平方差公式法
目 Contents 录
01 回顾思考 02 合作探究
03 学以致用
04 巩固练习
05 总结提升
预习检测： 下列分解因式是否正确？
x4 16 y4 (x2 )2 (4 y2 )2
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
回顾思考
找出下列各题公因式：
(6) 169x2 －4y2 解:原式＝(13x)2－(2y)2
＝ (13x＋2y)(13x－2y)
(8) -16x4 ＋81y4 (解7):9原a2式p2＝＝－((b332aaqpp2＋)2－bq()b(q3)a2p－解b:q原) 式＝＝＝＝(((89991yyyy２ 224++－)442－xx1226))〔(x9(4y4(2x3-２4yx))222-)(2x)2〕
2．变式巩固练习
变式一：把下列各式分解因式.
（1）1-25b2
（2）x2y2-z2 （3） -0.01n2+m2
解：（1） 1-25b2 =12-(5b)2=(1+5b)(1-5b)
（2） x2y2-z2 =(xy)2- z2 =(xy+z)(xy-z)
（3） -0.01n2+ m2 = -0.01n2+m2 = (m)2-(0.1n)2 = (m+0.1n)(m-0.1n)
华师大版数学八上13.5《因式分解》(第2课时)ppt课件
分式方程
在解分式方程时，因式分解可以帮助 我们消去分母，将方程化简为更易于 求解的形式。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
在几何图形中，因式分解可以帮助我们计算图形的面积和周长，特别是对于一 些不规则的图形。
分割与拼接
通过因式分解，可以将一个复杂的几何图形分割或拼接成更简单的图形，从而 简化问题的解决过程。
简化代数式
通过因式分解，可以将复 杂的代数式化简为更易于 处理的形式，从而简化计 算过程。
约分与通分
因式分解可以帮助我们进 行分式的约分和通分，使 分数的计算更加简便。
求解代数方程
在求解代数方程时，因式 分解是一种常用的方法， 可以将方程化简为更易于 求解的形式。
在解方程中的应用
一元二次方程
对于一元二次方程，因式分解是一种 常用的解法，可以将方程化简为更易 于求解的形式。
十字相乘法是利用十字相乘法将二次多项式化为两个一次多项
式的乘积的一种因式分解方法。
步骤
02
首先观察多项式的各项系数，然后尝试将某些系数相乘得到其
他系数，使得乘积之和等于原多项式的常数项。
例子
03
$2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)$。
04 因式分解的应用
在代数式中的应用
05 练习与巩固
基础练习题
1. 把下列各式因式分解
$(x + 1)(x - 3) + 2$
3. 因式分解
$a^2 - 4ab + 4b^2$
2. 利用因式分解计算
$202^2 - 202 times 196 + 98^2$
4. 利用因式分解解方程
$x^2 - 4x = 0$
在解分式方程时，因式分解可以帮助 我们消去分母，将方程化简为更易于 求解的形式。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
在几何图形中，因式分解可以帮助我们计算图形的面积和周长，特别是对于一 些不规则的图形。
分割与拼接
通过因式分解，可以将一个复杂的几何图形分割或拼接成更简单的图形，从而 简化问题的解决过程。
简化代数式
通过因式分解，可以将复 杂的代数式化简为更易于 处理的形式，从而简化计 算过程。
约分与通分
因式分解可以帮助我们进 行分式的约分和通分，使 分数的计算更加简便。
求解代数方程
在求解代数方程时，因式 分解是一种常用的方法， 可以将方程化简为更易于 求解的形式。
在解方程中的应用
一元二次方程
对于一元二次方程，因式分解是一种 常用的解法，可以将方程化简为更易 于求解的形式。
十字相乘法是利用十字相乘法将二次多项式化为两个一次多项
式的乘积的一种因式分解方法。
步骤
02
首先观察多项式的各项系数，然后尝试将某些系数相乘得到其
他系数，使得乘积之和等于原多项式的常数项。
例子
03
$2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)$。
04 因式分解的应用
在代数式中的应用
05 练习与巩固
基础练习题
1. 把下列各式因式分解
$(x + 1)(x - 3) + 2$
3. 因式分解
$a^2 - 4ab + 4b^2$
2. 利用因式分解计算
$202^2 - 202 times 196 + 98^2$
4. 利用因式分解解方程
$x^2 - 4x = 0$
华师大版八年级数学上册《因式分解的一般步骤》课件
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月上午8时49分21.11.808:49November 8, 2021
解：都存在的问题是：结果中的因式还有能分解的， 即 分 解 因 式 不 彻 底 ． 正 确 的 结 果 应 是 ①x(x ＋ 2)(x － 2) ； ②x(x－1)2；③(x2＋1)(x＋1)(x－1)．
12.5.4 因式分解的一般步骤
新知梳理
► 知识点 因式分解的一般步骤 一、提公因式，找出多项式中各项的公因式，应用提公因式 法分解； 二、若没有公因式，则考虑用公式法分解，两项的考虑用平 方差公式，三项的考虑用两数和(差)的平方公式； 三、因式分解后，再看分解结果中的各因式有没有还能因式 分解的，若有，则继续进行下去； 四、部分多项式需用整式乘法整理后再进行因式分解(应用上 面三步)； 五、用“整式的乘法”检验分解的结果是否正确．
整式乘法运算，然后再应用完全平方公式分解．
解：(1)x2y－4xy＋4y ＝y(x2－4x＋4)＝y(x－2)2. (2)ax4－81a ＝a(x4－81)＝a(x2＋9)(x2－9) ＝a(x2＋9)(x＋3)(x－3)． (3)(x－1)(x－3)＋1 ＝x2－4x＋3＋1 ＝x2－4x＋4 ＝(x－2)2.
• 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观 察是思考和识记之母。”2021年11月8日星期一8时49分48秒08:49:488 November 2021
12.5 因式分解的综合应用 课件 2024-2025学年华东师大版八年级数学上册
=(x+1)(x-7).
4.用十字相乘法分解因式:
(1)a2-6a-16.
【解析】(1)a2-6a-16=a2+(-8+2)a+(-8)×2=(a-8)(a+2).
(2)(x+1)(x-2)-4.
【解析】(2)(x+1)(x-2)-4=x2-2x+x-2-4=x2-x-6=(x-3)(x+2).
类型二 简便运算
用因式分解进行简便计算的策略
1.观察式子,若是两个数都临近某个数,一般考虑用平方差公式进行计算,若是三
项式一般考虑用Leabharlann 全平方公式进行计算.2.若多个数相乘,则需进行因式分解后再观察式子的特点并转化为实数的计算技
巧进行运算.
针对训练
5.利用因式分解计算:11×1022-11×982的结果是( D )
【解析】∵a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0,
∴(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)=0,
∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,
∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,
∴a=b=c,
∴该△ABC是等边三角形.
解成两个因数p,q的积,并使p+q正好等于一次项的系数.
如:x2+x-2=x2+(2-1)x+(-1)×2=(x+2)(x-1).
针对训练
1.用分组分解法将x2-xy+2y-2x分解因式,下列分组不恰当的是( C )
A.(x2-2x)+(2y-xy)
4.用十字相乘法分解因式:
(1)a2-6a-16.
【解析】(1)a2-6a-16=a2+(-8+2)a+(-8)×2=(a-8)(a+2).
(2)(x+1)(x-2)-4.
【解析】(2)(x+1)(x-2)-4=x2-2x+x-2-4=x2-x-6=(x-3)(x+2).
类型二 简便运算
用因式分解进行简便计算的策略
1.观察式子,若是两个数都临近某个数,一般考虑用平方差公式进行计算,若是三
项式一般考虑用Leabharlann 全平方公式进行计算.2.若多个数相乘,则需进行因式分解后再观察式子的特点并转化为实数的计算技
巧进行运算.
针对训练
5.利用因式分解计算:11×1022-11×982的结果是( D )
【解析】∵a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0,
∴(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)=0,
∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,
∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,
∴a=b=c,
∴该△ABC是等边三角形.
解成两个因数p,q的积,并使p+q正好等于一次项的系数.
如:x2+x-2=x2+(2-1)x+(-1)×2=(x+2)(x-1).
针对训练
1.用分组分解法将x2-xy+2y-2x分解因式,下列分组不恰当的是( C )
A.(x2-2x)+(2y-xy)
华师大版数学八年级上册12.5《因式分解》(第2课时)教学设计
华师大版数学八年级上册12.5《因式分解》（第2课时）教学设计一. 教材分析《因式分解》（第2课时）是华师大版数学八年级上册12.5章的重要内容。
这部分内容主要包括提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法。
学生在学习这部分内容时，需要掌握因式分解的基本概念和方法，能够运用这些方法解决实际问题。
教材通过例题和练习题，帮助学生巩固因式分解的技巧，提高解题能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了整式的乘法，具备一定的代数基础。
但是，对于因式分解的概念和方法，部分学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平进行教学。
同时，由于因式分解的方法较多，学生可能难以区分和选择合适的方法，教师需要引导学生理解各种方法的适用场景，提高学生的解题能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解的基本方法，能够运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法：通过例题和练习题，培养学生运用因式分解方法解题的能力，提高学生的逻辑思维和运算能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、合作探讨的学习态度，使学生感受到数学的实用性。
四. 教学重难点1.重点：掌握因式分解的基本方法，包括提公因式法、公式法、分组分解法。
2.难点：如何选择合适的因式分解方法，以及如何灵活运用各种方法解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，帮助学生理解因式分解的概念和方法。
2.示例法：教师通过讲解典型例题，展示因式分解的过程，引导学生模仿和理解。
3.练习法：学生通过大量练习，巩固因式分解的方法，提高解题能力。
4.讨论法：学生分组讨论，合作解决问题，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教材：华师大版数学八年级上册。
2.教案：详细的教学设计。
3.课件：用于辅助教学的PPT或其他多媒体材料。
4.练习题：针对本节课内容的练习题，用于巩固和检验学生的学习效果。