2017年高考数学第02期小题精练系列专题23综合训练2理含解析

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）理科数学一、选择题1．(2017·全国Ⅱ理，1)3＋i1＋i 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i2．(2017·全国Ⅱ理，2)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B 等于( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}3．(2017·全国Ⅱ理，3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏4．(2017·全国Ⅱ理，4)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π5．(2017·全国Ⅱ理，5)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．96．(2017·全国Ⅱ理，6)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．24种D ．36种7．(2017·全国Ⅱ理，7)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8．(2017·全国Ⅱ理，8)执行下面的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．59．(2017·全国Ⅱ理，9)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( ) A ．2 B ． 3 C ． 2D ．23310．(2017·全国Ⅱ理，10)已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A.32B.155C.105D.3311．(2017·全国Ⅱ理，11)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．112．(2017·全国Ⅱ理，12)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32C ．－43D ．－1二、填空题13．(2017·全国Ⅱ理，13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX ＝________.14．(2017·全国Ⅱ理，14)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 15．(2017·全国Ⅱ理，15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k ＝________.16．(2017·全国Ⅱ理，16)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________. 三、解答题17．(2017·全国Ⅱ理，17)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .18．(2017·全国Ⅱ理，18)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)19．(2017·全国Ⅱ理，19)如图，四棱锥P ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角MABD 的余弦值．20．(2017·全国Ⅱ理，20)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .21．(2017·全国Ⅱ理，21)已知函数f (x )＝ax 2－ax －x ln x ，且f (x )≥0. (1)求a ；(2)证明：f (x )存在唯一的极大值点x 0，且e －2<f (x 0)<2－2.22．(2017·全国Ⅱ理，22)[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．23．(2017·全国Ⅱ理，23)[选修4—5：不等式选讲]已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2，证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.参考答案一、选择题 1．【答案】D【解析】3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i.2．【答案】C【解析】∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B . ∴1－4＋m ＝0，即m ＝3.∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C. 3．【答案】B【解析】设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ， 则由题意知S 7＝381，q ＝2，∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.故选B.4．【答案】B【解析】方法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B.方法二 (估值法)由题意知，12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱，又V 圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．故选B. 5．【答案】A【解析】不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移该直线知，当直线y ＝ －2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 有最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15.故选A. 6．【答案】D【解析】由题意可得，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)．故选D. 7．【答案】D【解析】由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩． 8．【答案】B【解析】当K ＝1时，S ＝0＋(－1)×1＝－1，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝2； 当K ＝2时，S ＝－1＋1×2＝1，a ＝－1，执行K ＝K ＋1后，K ＝3； 当K ＝3时，S ＝1＋(－1)×3＝－2，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝4； 当K ＝4时，S ＝－2＋1×4＝2，a ＝－1，执行K ＝K ＋1后，K ＝5； 当K ＝5时，S ＝2＋(－1)×5＝－3，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝6；当K ＝6时，S ＝－3＋1×6＝3，执行K ＝K ＋1后，K ＝7＞6，输出S ＝3.结束循环． 故选B. 9．【答案】A【解析】设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3. 根据点到直线的距离公式，得|2b |a 2＋b2＝3，解得b 2＝3a 2.所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 故选A. 10．【答案】C【解析】方法一 将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图①所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1， 所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝ 3. 又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C.方法二 以B 1为坐标原点，B 1C 1所在的直线为x 轴，垂直于B 1C 1的直线为y 轴，BB 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图②所示．由已知条件知B 1(0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(1,0,0)，A (－1，3，1)，则BC 1→＝(1,0，－1)，AB 1→＝(1，－3，－1)． 所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝25×2＝105.所以异面直线AB 1与BC 1所成的角的余弦值为105. 故选C.11．【答案】A【解析】函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1， 则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1 ＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]． 由x ＝－2是函数f (x )的极值点，得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)e －3＝0， 所以a ＝－1.所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1， f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)．由e x －1＞0恒成立，得当x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x ＜－2时，f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0； 当x ＞1时，f ′(x )＞0.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点． 所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1. 故选A. 12．【答案】B【解析】方法一 (解析法)建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)， B (－1,0)，C (1,0)．设P 点的坐标为(x ，y )， 则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2[x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34]≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32. 当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32. 故选B.方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →.要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值．又|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3， ∴|P A →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34， ∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32. 故选B.二、填空题13．【答案】1.96【解析】由题意得X ～B (100,0.02)，∴DX ＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.14．【答案】1【解析】f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈[0，π2]，∴cos x ∈[0,1]， ∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 15．【答案】2n n ＋1【解析】 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4×32d ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. ∴S n ＝n ×1＋n (n －1)2×1＝n (n ＋1)2， 1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1. ∴∑k ＝1n 1S k ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.16．【答案】6【解析】如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2，∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.三、解答题17．解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B 2， 故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝1517. 故cos B ＝1517. (2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.18．解 (1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”．由题意知，P (A )＝P (BC )＝P (B )P (C )．旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P (B )的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，故P (C )的估计值为0.66.因此，事件A 的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表K 2＝200×(62×66－34×38)2100×100×96×104≈15.705. 由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，箱产量低于55 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋0.5－0.340.068≈52.35 (kg)． 19．(1)证明 取P A 的中点F ，连接EF ，BF .因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD . 由∠BAD ＝∠ABC ＝90°，得BC ∥AD ，又BC ＝12AD ， 所以EF BC ，四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ，又BF ⊂平面P AB ，CE ⊄平面P AB ，故CE ∥平面P AB .(2)解 由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,1，3)，PC →＝(1,0，－3)，AB →＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0<x <1)，则BM →＝(x －1，y ，z )，PM →＝(x ，y －1，z －3)．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量，所以|cos 〈BM →，n 〉|＝sin 45°， |z |(x －1)2＋y 2＋z 2＝22， 即(x －1)2＋y 2－z 2＝0.①又M 在棱PC 上，设PM →＝λPC →，则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ.②由①②解得⎩⎨⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)或⎩⎨⎧ x ＝1－22，y ＝1，z ＝62， 所以M ⎝⎛⎭⎫1－22，1，62，从而AM →＝⎝⎛⎭⎫1－22，1，62. 设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AM →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎨⎧(2－2)x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0， 所以可取m ＝(0，－6，2)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝105. 所以二面角MABD 的余弦值为105. 20．解 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝ 2 NM →，得x 0＝x ，y 0＝22y ， 因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1. 因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )，由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0，所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →，又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .21．(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，设g (x )＝ax －a －ln x ，则f (x )＝xg (x )，f (x )≥0等价于g (x )≥0，因为g (1)＝0，g (x )≥0，故g ′(1)＝0，而g ′(x )＝a －1x，g ′(1)＝a －1，得a ＝1. 若a ＝1，则g ′(x )＝1－1x. 当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以x ＝1是g (x )的极小值点，故g (x )≥g (1)＝0.综上，a ＝1.(2)证明 由(1)知f (x )＝x 2－x －x ln x ，f ′(x )＝2x －2－ln x ，设h (x )＝2x －2－ln x ，则h ′(x )＝2－1x. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，h ′(x )<0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，h ′(x )>0. 所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增． 又h (e －2)>0，h ⎝⎛⎭⎫12<0，h (1)＝0，所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上有唯一零点x 0，在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上有唯一零点1，当x ∈(0，x 0)时，h (x )>0； 当x ∈(x 0,1)时，h (x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0.因为f ′(x )＝h (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点．由f ′(x 0)＝0，得ln x 0＝2(x 0－1)，故f (x 0)＝x 0(1－x 0)．由x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，得f (x 0)<14. 因为x ＝x 0是f (x )在(0,1)上的最大值点，由e －1∈(0,1)，f ′(e －1)≠0，得f (x 0)>f (e －1)＝e －2.所以e －2<f (x 0)<2－2.22．解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知， |OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)． 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α.于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝4cos α⎪⎪⎪⎪12sin α－32cos α ＝|sin 2α－3cos 2α－3|＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当2α－π3＝－π2，即α＝－π12时，S 取得最大值2＋3， 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.23．证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24 (a ＋b ) ＝2＋3(a ＋b )34， 所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.。

2017年全国高考数学卷Ⅱ试题及答案文11.从分别写有1、2、3、4、5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）A ．110B ．15C ．310D ．25 答案：D ．命题意图：本题主要考查古典概型概率．总计有25种情况，满足条件的有10种，所以所求概率为255=，故选D ． 小结：古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化．理13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = ．答案：1.96．命题意图：本题主要考查二项分布的期望与方差．解：()~100,0.02X B ，所以()11000.020.98 1.96DX np p =-=⨯⨯=，故填1.96．小结：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：（1）一是是否为n 次独立重复试验。

在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p ；（2）二是随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数。

且()()1n k k k n p X k C p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率．理18、文19.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：（Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于kg 50，新养殖法的箱产量不低于kg 50，估计A 的概率；01.0）22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++答案：（Ⅰ）0.4092；（Ⅱ）有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（Ⅲ）52.35kg ．命题意图：本题主要考查以下几点：（1）独立事件概率公式；（2）独立性检验原理；（3）频率分布直方图估计中位数．解题思路：（Ⅰ）由题意可知：)()()()(C P B P BC P A P ==，分布求得发生的频率，即可求得其概率；（Ⅱ）完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有%99的把握认为箱产量与养殖方法有关；（Ⅲ）根据频率分布直方图即可求得其中位数．解：（Ⅰ）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于kg 50”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于kg 50”，由)()()()(C P B P BC P A P ==，则旧养殖法的箱产量低于kg 50：62.05)040.0034.0024.0014.0012.0(=⨯++++，故)(B P 的估计值62.0，新养殖法的箱产量不低于kg 50：66.05)008.0010.0046.0068.0(=⨯+++，故)(C P 的估计值为，则事件A 的概率估计值为)()()()(C P B P BC P A P ==4092.066.062.0=⨯=；∴A 发生的概率为4092.0；()222006266343815.70510010096104K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于15.705 6.635>，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。

2017届高考模拟系列试卷（二） 数学试题【新课标版】（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的 1、设集合{}21,M x x x =-≤∈R ，{}21,02N y y x x ==-+≤≤，则()R M N ⋂ð等于 （ ）A ．RB ．{}|1x x R x ∈≠且C ．{}1D ．∅ 2、在复平面内，复数2013ii 1iz =+-表示的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、若sin 601233,log cos 60,log tan 30a b c ===，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>4、设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为n S ，且1S 、2S 、4S 成等比数列，则41a a 等于（ ） A ．6B ．7C ．4D ．35、已知点()1,0A -和圆222x y +=上一动点P ，动点M 满足2MA AP =，则点M 的轨迹方程是（ ）A ．()2231x y -+=B ．223()12x y -+=C ．2231()22x y -+=D ．223122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭6、命题“存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥-”的否定为（ ）A ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥-B ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<-C ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<-D ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≤-7、设a b <，函数()()2y x a x b =--的图象可能是（ ）8、程序框图如下：如果上述程序运行的结果S 的值比2013小，若使输出的S 最大，那么判断框中应填入（ ） A ．10k ≤ B ．10k ≥ C ．9k ≤ D ．9k ≥9、图为一个空间几何体的三视图，其中俯视图是下边一个等边三角形，其内切圆的半径是1，正视图和侧视图是上边两个图形，数据如图，则此几何体的体积是（ ）A．3πB．23π C．3π D．43π10、在9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．5376-B ．5376C ．84-D ．8411、如果点P 在平面区域220140x y x x y -+≤⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线（x －1）2＋(y －1)2＝1上，那么|PQ |的最小值为（ ）A1BC1- D．31 12、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与圆222()()x a y b b -+-=相切于点A ，并与椭圆C 交与不同的两点P ，Q ，如图，若A 为线段PQ 的靠近P 的三等分点，则椭圆的离心率为 （ ）A ．3B C D 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上 13、由曲线23y x =-和直线2y x =所围成的面积为 。

.一、选择题 ( 本大题共 12 小题，共 60.0 分 )1.已知 z=（ m+3） +（ m-1） i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A. （-3，1）B. （-1 ，3）C. （ 1，+∞）D.（ - ∞， -3 ）2.已知会集 A={1， 2， 3} ， B={x|（ x+1）（ x-2 ）＜ 0，x∈Z} ，则 A∪B=（）A.{1}B.{1 ， 2}C.{0 ，1， 2， 3}D.{-1 ， 0， 1，2， 3}3.已知向量=（1， m）， =（ 3， -2 ），且（+ ）⊥，则 m=（）4.圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0的距离为1，则 a=（）C.5. 如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会集，再一同到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓能够选择的最短路径条数为（）6. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）ππππ7. 若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A.x=-（k∈Z）B.x=+（k∈Z）C.x=-（k∈Z）D.x=+（k∈Z）. . .8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．履行该程序框图，若输入的x=2， n=2，挨次输入的 a 为 2， 2，5，则输出的 s=（）9. 若 cos （- α） =，则sin2α=（）A. B.10.从区间 [0 ，1] 随机抽取 2n 个数 x1，x2，， x n，y1， y2，， y n构成 n 个数对（ x1，y1），（ x2，y2）（ x n，y n），此中两数的平方和小于 1 的数对共有m个，则用随机模拟的方法获得的圆周率π 的近似值为（）A. B. C. D.11. 已知 F ，F 是双曲线 E： -=1 的左、右焦点，点M在 E 上， MF 与x121轴垂直， sin ∠MF2F1=，则 E 的离心率为（）A. B. C.12. 已知函数 f （x）（x∈R）知足 f （ -x ）=2-f （ x），若函数 y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y ），（ x， y ），，（x ， y ），则（ x+y） =（）122mm i i二、填空题 ( 本大题共 4 小题，共20.0 分 )13. △ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a，b， c，若 cosA=，cosC=，a=1，则b= ______．14.α，β是两个平面， m， n 是两条直线，有以下四个命题：①假如 m⊥n，m⊥α， n∥β，那么α⊥β．②假如 m⊥α， n∥α，那么 m⊥n．③假如α∥β， m? α，那么 m∥β．④假如 m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n 与β所成的角相等．此中正确的命题是______（填序号）15.有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3， 2 和 3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上同样的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上同样的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是______ ．16. 若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （ x+1）的切线，则b= ______．高中数学试卷第2页，共 15页.三、解答题 ( 本大题共8 小题，共94.0 分 )17.S n为等差数列 {a n} 的前 n 项和，且 a1=1， S7=28，记 b n=[lga n] ，此中 [x] 表示不超出 x 的最大整数，如 [0.9]=0 ， [lg99]=1 ．（Ⅰ）求 b1， b11， b101；（Ⅱ）求数列 {b n} 的前 1000 项和．18.某保险的基本保费为 a（单位：元），持续购置该保险的投保人成为续保人，续保人今年度的保费与其上年度出险次数的关系以下：上年度出险01234≥5次数保费a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率以下：一年内出险01234≥5次数概率（Ⅰ）求一续保人今年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人今年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费超出60%的概率；（Ⅲ）求续保人今年度的均匀保费与基本保费的比值．19.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点 E，F 分别在 AD， CD上， AE=CF= ， EF交于 BD于点 M，将△DEF沿 EF 折到△ D′EF 的地点， OD′=．（Ⅰ）证明： D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B- D′A-C 的正弦值．. . .20. 已知椭圆E：+ =1 的焦点在 x 轴上， A 是 E 的左极点，斜率为k（ k＞ 0）的直线交E 于 A，M两点，点N 在 E 上， MA⊥NA．（Ⅰ）当 t=4 ，|AM|=|AN| 时，求△ AMN的面积；（Ⅱ）当 2|AM|=|AN| 时，求 k 的取值范围．21. （Ⅰ）议论函数 f （ x） =e x的单一性，并证明当x＞ 0 时，（ x-2 ） e x+x+2＞ 0；（Ⅱ）证明：当a∈[0 ， 1）时，函数g（ x）=（x＞0）有最小值．设g（ x）的最小值为 h（a），求函数h（ a）的值域．22.如图，在正方形 ABCD中， E， G分别在边 DA， DC上（不与端点重合），且DE=DG，过 D 点作 DF⊥CE，垂足为F．（Ⅰ）证明： B， C， G， F 四点共圆；（Ⅱ）若 AB=1，E 为 DA的中点，求四边形BCGF的面积．23.在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为（ x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．高中数学试卷第4页，共 15页.24. 已知函数 f （x） =|x- |+|x+| ， M为不等式f （ x）＜ 2 的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时， |a+b| ＜ |1+ab| ．2016 年全国一致高考数学试卷（新课标Ⅱ）（理科）答案和分析【答案】13.14.②③④15.1 和 317.解：（Ⅰ） S n为等差数列 {a n} 的前 n 项和，且 a1=1， S7=28，7a4=28．可得 a4=4，则公差 d=1．a n=n，b n=[lgn]，则b1=[lg1]=0，b11=[lg11]=1，b101=[lg101]=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1=b2=b3= =b 9=0，b10=b11=b12 = =b99=1．b100=b101=b102=b103==b999=2， b10，00 =3．数列 {b n} 的前 1000 项和为： 9×0+90×1+900×2+3=1893．18.解：（Ⅰ）∵某保险的基本保费为a（单位：元），上年度出险次数大于等于 2 时，续保人今年度的保费高于基本保费，∴由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得：一续保人今年度的保费高于基本保费的概率：p1．（Ⅱ）设事件 A 表示“一续保人今年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人今年度的保费比基本保费超出60%”，由题意 P（ A） =0.55 ， P（AB），由题意得若一续保人今年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费超出60%的概率：p2=P（ B|A） ===．（Ⅲ）由题意，续保人今年度的均匀保费与基本保费的比值为：=1.23 ，∴续保人今年度的均匀保费与基本保费的比值为 1.23 ．19.（Ⅰ）证明：∵ ABCD 是菱形，. . .∴AD=DC，又 AE=CF= ，∴，则 EF∥AC，又由 ABCD是菱形，得AC⊥BD，则 EF⊥BD，∴E F⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC=6，∴A O=3，又 AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH=，则DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH| 2+|D′H| 2，则 D′H⊥OH，又 OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，成立以下图空间直角坐标系，∵A B=5， AC=6，∴B（ 5，0，0），C（ 1，3，0），D′（ 0， 0， 3），A（ 1， -3 ，0），，，设平面 ABD′的一个法向量为，由，得，取x=3，得y=-4，z=5．∴．同理可求得平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B- D′A-C 的平面角为θ，则|cos θ|=．∴二面角 B- D′A-C 的正弦值为sin θ=．20. 解：（Ⅰ） t=4 时，椭圆 E 的方程为+=1， A（ -2 ， 0），直线 AM的方程为 y=k （ x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k 2-12=0 ，解得 x=-2 或 x=-，则|AM|=? |2-|=?，由 AN⊥AM，可得 |AN|=?=?，高中数学试卷第6页，共 15页.由 |AM|=|AN| ， k＞ 0，可得?=?，整理可得（ k-1 ）（ 4k2-k+4 ） =0，由 4k2-k+4=0 无实根，可得k=1，即有△ AMN的面积为|AM| 2=（?）2=；（Ⅱ）直线AM的方程为y=k （ x+），代入椭圆方程，可得（ 3+tk 2） x2+2t k2x+t 2k2-3t=0 ，解得 x=-或x=-，即有|AM|=? |-|=?，|AN|═?=?，由 2|AM|=|AN| ，可得 2?=?，整理得 t=，由椭圆的焦点在x 轴上，则 t ＞ 3，即有＞ 3，即有＜0，可得＜ k＜ 2，即 k 的取值范围是（， 2）．21.解：（ 1）证明： f （ x） =f' （ x） =e x（）=∵当 x∈（ - ∞， -2 ）∪（ -2 ，+∞）时， f' （ x）＞ 0∴f （ x）在（ - ∞， -2 ）和（ -2 ，+∞）上单一递加∴x＞ 0 时，＞f（0）=-1x即（ x-2 ） e +x+2＞0（ 2） g' （ x） ==a∈[0 ， 1]由（ 1）知，当 x＞0 时，f（x）=的值域为（-1，+∞），只有一解使得，t∈[0，2]当 x∈（ 0， t ）时， g' （x）＜ 0，g（ x）单一减；当 x∈（ t ，+∞）， g' （ x）＞ 0， g（ x）单一增；. . .h（ a）===记 k（t ） =，在t∈（0，2]时，k'（t）=＞0，故 k（t ）单一递加，所以 h（ a） =k（t ）∈（，] ．22.（Ⅰ）证明：∵ DF⊥CE，∴Rt△DFC∽Rt△EDC，∴=，∵DE=DG， CD=BC，∴=，又∵∠ GDF=∠DEF=∠BCF，∴△ GDF∽△ BCF，∴∠ CFB=∠DFG，∴∠ GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，∴∠ GFB+∠GCB=180°，∴B， C， G， F 四点共圆．（Ⅱ）∵E 为 AD中点， AB=1，∴ DG=CG=DE=，∴在 Rt△DFC中， GF= CD=GC，连结 GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，∴S四边形 BCGF=2S△BCG=2××1×=．2223. 解：（Ⅰ）∵圆C 的方程为（ x+6） +y =25，22∴x+y +12x+11=0，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα， y=ρsin α，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．（Ⅱ）∵直线l 的参数方程是（t为参数），∴直线 l 的一般方程y=tan α ? x，∵l与 C 交与 A， B 两点， |AB|=，圆C的圆心C（-6，0），半径r=5，∴圆心 C（ -6 ，0）到直线距离d==，解得 tan 2α=，∴ tan α=±=±．高中数学试卷第8页，共 15页.∴l的斜率 k=±．24. 解：（ I ）当 x＜时，不等式 f （x）＜ 2 可化为：-x-x-＜2，解得： x＞ -1 ，∴ -1 ＜x＜，当≤x≤时，不等式 f （ x）＜ 2 可化为：-x+x+=1＜ 2，此时不等式恒成立，∴≤x≤，当 x＞时，不等式 f （ x）＜ 2 可化为： - +x+x+＜2，解得： x＜ 1，∴＜x＜1，综上可得： M=（ -1 ， 1）；证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，22（ a -1 ）（b -1 ）＞ 0，即 a2b2+1＞a2+b2，2222即 a b +1+2ab＞ a +b +2ab，22即（ ab+1）＞（ a+b），即 |a+b| ＜ |1+ab| ．【分析】1.解： z=（ m+3） +（ m-1） i 在复平面内对应的点在第四象限，可得：，解得 -3 ＜ m＜ 1．应选： A．利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可．此题考察复数的几何意义，考察计算能力．2.解：∵会集 A={1 ， 2，3} ，B={x| （ x+1）（ x-2 ）＜ 0，x∈Z}={0 ， 1} ，∴A∪B={0， 1， 2， 3} ．应选： C．先求出会集A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．此题考察并集的求法，是基础题，解题时要仔细审题，注意并集定义的合理运用．3. 解：∵向量=（ 1， m）， =（ 3，-2 ），∴+ =（4，m-2），又∵（+）⊥，. . .∴12-2 （ m-2） =0，解得： m=8，应选： D．求出向量+的坐标，依据向量垂直的充要条件，结构对于m的方程，解得答案．此题考察的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．4.解：圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线 ax+y-1=0 的距离 d==1，解得： a=，应选： A．求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．此题考察的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．5. 解：从 E 到 F，每条东西向的街道被分红 2 段，每条南北向的街道被分红 2 段，从 E 到 F 最短的走法，不论如何走，必定包含 4 段，此中 2 段方向同样，另 2 段方向同样，每种最短走法，即是从 4 段中选出 2 段走东向的，选出 2 段走北向的，故共有2C =6 种走法．41=3 种走法．同理从 F 到 G，最短的走法，有 C3∴小明到老年公寓能够选择的最短路径条数为6×3=18 种走法．应选： B．从 E 到 F 最短的走法，不论如何走，必定包含 4 段，此中 2 段方向同样，另 2 段方向同样，每种最短走法，即是从 4 段中选出 2 段走东向的，选出 2 段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F 到 G，最短的走法，有31C =3 种走法，利用乘法原理可得结论．此题考察摆列组合的简单应用，得出构成矩形的条件和最短走法是解决问题的要点，属基础题6.解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上边是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是 2 ，∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，∴圆锥的侧面积是π× 2×4=8π，下边是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π× 2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π，应选： C．空间几何体是一个组合体，上边是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下边是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是 4，做出圆柱的表面积，注意不包含重合的平面．此题考察由三视图求表面积，此题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘掉去掉，求表面积就有这样的缺点．7.解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，获得y=2sin2 （ x+）=2sin（2x+），高中数学试卷第10 页，共 15 页2017新课标全国卷2高考理科数学试题与答案分析.由 2x+ =kπ+（k∈Z）得： x=+ （k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x= +（k∈Z），应选： B．利用函数 y=sin （+）（＞ 0，ω＞ 0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．Aωx φA此题考察函数yy= A sin （ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题．8.解：∵输入的 x=2， n=2，当输入的 a 为 2 时， S=2， k=1，不知足退出循环的条件；当再次输入的 a 为 2 时， S=6， k=2，不知足退出循环的条件；当输入的 a 为 5 时， S=17， k=3，知足退出循环的条件；故输出的 S 值为 17，应选： C依据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运转过程，可得答案．此题考察的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采纳模拟程序法进行解答．9. 解：∵ cos（- α） = ，∴sin2 α=cos（- 2α） =cos2 （ - α） =2cos 2（ - α） - 1=2× -1=-，应选： D．利用引诱公式化sin2 α=cos（ - 2α），再利用二倍角的余弦可得答案．此题考察三角函数的恒等变换及化简求值，娴熟掌握引诱公式化与二倍角的余弦是要点，属于中档题．10. 解：由题意，，∴π=．应选： C．以面积为测度，成立方程，即可求出圆周率π 的近似值．古典概型和几何概型是我们学习的两大体型，古典概型要求能够列举出全部事件和发惹祸件的个数，而不可以列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是经过长度、面积和体积的比值获得．11. 解：设 |MF1|=x ，则 |MF2|=2a+x ，∵MF 与 x 轴垂直，1222∴（ 2a+x） =x +4c ，∴x=∵s in ∠MF2F1= ，∴3x=2a+x，∴x=a，∴=a，∴a=b，. . .∴c= a，∴e= = ．应选： A．设 |MF1|=x ，则 |MF2|=2a+x ，利用勾股定理，求出x=，利用sin∠MF2F1=，求得x=a，可得=a，求出 a=b，即可得出结论．此题考察双曲线的定义与方程，考察双曲线的性质，考察学生剖析解决问题的能力，比较基础．12.解：函数 f （ x）（x∈R）知足 f （ -x ） =2-f （ x），即为 f （ x） +f （-x ） =2，可得 f （ x）对于点（ 0，1）对称，函数 y=，即y=1+的图象对于点（0， 1）对称，即有（ x1， y1）为交点，即有（-x 1， 2-y 1）也为交点，（x2， y2）为交点，即有（ -x 2，2-y 2）也为交点，则有（ x i +y i） =（ x1+y1） +（ x2+y2）++（ x m+y m）=[ （ x1+y1） +（-x 1+2-y 1） +（ x2+y2） +（-x 2+2-y 2）+ +（ x m+y m） +（ -x m+2-y m）]=m．应选 B．由条件可得 f （x） +f （ -x ） =2，即有 f （ x）对于点（ 0， 1）对称，又函数y=，即y=1+的图象对于点（ 0， 1）对称，即有（ x1， y1）为交点，即有（ -x 1， 2-y 1）也为交点，计算即可获得所乞降．此题考察抽象函数的运用：乞降，考察函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．13.解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin （ A+C） =sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．高中数学试卷第12 页，共 15 页.故答案为：．运用同角的平方关系可得sinA ， sinC ，再由引诱公式和两角和的正弦公式，可得sinB ，运用正弦定理可得 b=，代入计算即可获得所求值．此题考察正弦定理的运用，同时考察两角和的正弦公式和引诱公式，以及同角的平方关系的运用，考察运算能力，属于中档题．14.解：①假如 m⊥n，m⊥α， n∥β，那么α∥β，故错误；②假如 n∥α，则存在直线l ? α，使 n∥l ，由 m⊥α，可得 m⊥l ，那么 m⊥n．故正确；③假如α∥β， m? α，那么 m与β无公共点，则 m∥β．故正确④假如 m∥n，α∥β，那么m， n 与α所成的角和 m， n 与β所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④依据空间直线与平面的地点关系的判断方法及几何特点，剖析判断各个结论的真假，可得答案．此题以命题的真假判断与应用为载体，考察了空间直线与平面的地点关系，难度中档．15. 解：依据丙的说法知，丙的卡片上写着1和 2，或 1和3；（ 1）若丙的卡片上写着 1 和 2，依据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴依据甲的说法知，甲的卡片上写着1 和 3；（ 2）若丙的卡片上写着 1 和 3，依据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上同样的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1 和 2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和 3．故答案为： 1 和 3．可先依据丙的说法推出丙的卡片上写着 1 和 2，或 1 和 3，分别议论这两种状况，依据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样即可判断出甲卡片上的数字是多少．考察进行简单的合情推理的能力，以及分类议论获得解题思想，做这种题注意找出解题的打破口．16.解：设 y=kx+b 与 y=lnx+2 和 y=ln （ x+1）的切点分别为（ x1， kx 1+b）、（x2， kx 2+b）；由导数的几何意义可得 k= =，得x1=x2+1再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；进而 kx1+b=lnx 1+2 得出 b=1-ln2 ．先设切点，而后利用切点来找寻切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可此题考察了导数的几何意义，表现了方程思想，对学生综共计算能力有必定要求，中档题17.（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，而后求解b1， b11， b101；（Ⅱ）找出数列的规律，而后求数列{b n} 的前 1000 项和．此题考察数列的性质，数列乞降，考察剖析问题解决问题的能力，以及计算能力．18.. . .（Ⅰ）上年度出险次数大于等于 2 时，续保人今年度的保费高于基本保费，由此利用该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表依据对峙事件概率计算公式能求出一续保人今年度的保费高于基本保费的概率．（Ⅱ）设事件 A 表示“一续保人今年度的保费高于基本保费”，事件 B 表示“一续保人今年度的保费比基本保费超出 60%”，由题意求出P（ A）， P（ AB），由此利用条件概率能求出若一续保人今年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费超出60%的概率．（Ⅲ）由题意，能求出续保人今年度的均匀保费与基本保费的比值．此题考察概率的求法，是中档题，解题时要仔细审题，注意对峙事件概率计算公式、条件概率计算公式的合理运用．19.（Ⅰ）由底面 ABCD为菱形，可得AD=CD，联合 AE=CF可得 EF∥AC，再由 ABCD是菱形，得 AC⊥BD，进一步获得 EF⊥BD，由 EF⊥DH，可得 EF⊥D′H，而后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由线面垂直的判断得 D′H⊥平面 ABCD；（Ⅱ）以 H 为坐标原点，成立以下图空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，获得的坐标，分别求出平面ABD′与平面 AD′C的一个法向量，设二面角二面角B- D′A-C 的平面角为θ，求出 |cos θ| ．则二面角B-D′A-C 的正弦值可求．此题考察线面垂直的判断，考察了二面角的平面角的求法，训练了利用平面的法向量求解二面角问题，表现了数学转变思想方法，是中档题．20.（Ⅰ）求出 t=4 时，椭圆方程和极点A，设出直线 AM的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用弦长公式求得 |AM| ，由垂直的条件可得|AN| ，再由 |AM|=|AN|，解得 k=1，运用三角形的面积公式可得△AMN的面积；（Ⅱ）直线 AM的方程为 y=k（ x+），代入椭圆方程，求得交点 M，可得 |AM| ，|AN| ，再由 2|AM|=|AN| ，求得 t ，再由椭圆的性质可得t ＞ 3，解不等式即可获得所求范围．此题考察椭圆的方程的运用，考察直线方程和椭圆方程联立，求交点，以及弦长公式的运用，考察化简整理的运算能力，属于中档题．21.从导数作为切入点探究函数的单一性，经过函数单一性来求得函数的值域，利用复合函数的求导公式进行求导，而后逐渐剖析即可该题考察了导数在函数单一性上的应用，要点是掌握复合函数的求导，以及导数代表的意义，计算量较大，中档题．22.（Ⅰ）证明 B，C，G，F 四点共圆可证明四边形BCGF对角互补，由已知条件可知∠ BCD=90°，所以问题可转变为证明∠ GFB=90°；（Ⅱ）在 Rt△DFC中， GF= CD=GC，所以可得△ GFB≌△ GCB，则S=2S ，据此解答．四边形 BCGF△BCG此题考察四点共圆的判断，主要依据对角互补进行判断，注意三角形相像和全等性质的应用．23.（Ⅰ）把圆 C 的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x 2+y2，x=ρcosα， y=ρsin α，能求出圆C 的极坐标方程．（Ⅱ）由直线 l 的参数方程求出直线l 的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．高中数学试卷第14 页，共 15 页.此题考察圆的极坐标方程的求法，考察直线的斜率的求法，是中档题，解题时要仔细审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．24.（I ）分当x＜时，当≤x≤时，当x＞时三种状况，分别求解不等式，综合可得答案；（Ⅱ）当a，b∈M时，（ a2-1 ）（ b2-1 ）＞ 0，即 a2b2 +1＞ a2+b2，配方后，可证得结论．此题考察的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档．. . .。

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项: 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．=++i1i 3A ．i 21+B ．i 21-C ．i 2+D ．i 2-2． 设集合{}4 2 1，，=A ，{}042=+-=m x x B ，若{}1=B A ,则=B A ．{}3 1-， B. {}0 1， C ．{}3 1， D ．{}5 1， 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．π90 B ．π63 C ．π42 D ．π365．设y x 、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+-≤-+，，，0303320332y y x y x 则y x z +=2的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．96．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A ．12种B ．18种C ． 24种D ．36种理科数学试题 第1页（共4页）7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8．执行右面的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S A ．2B ．3C ．4D ．59．若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．33210．已知直三棱柱111C B A ABC -中， 120=∠ABC , 2=AB , 11==CC BC , 则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．23 B ．515 C ．510 D ． 33 11．若2-=x 是函数12)1()(--+=x e ax x x f 的极值点，则)(x f 的极小值为A ．1-B ．32--eC ．35-eD ．112．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(PC PB PA +⋅的最小值是A ．2-B ．23-C ．34- D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

a =a S =S +a ∙K 是否输入a S =0,K =1K ≤6开始2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国2卷)一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1.31ii+=+〔〕 A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．假设{}1AB =，那么B =〔〕A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？〞意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，那么塔的顶层共有灯〔〕A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一局部后所得，那么该几何体的体积为〔〕 A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，那么2z x y =+的最小值是〔〕A ．15-B ．9-C ．1D ．96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，那么不同的安排方式共有〔〕A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向教师询问成语竞赛的成绩．教师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，那么〔〕 A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，那么输出的S =〔〕 A ．2 B ．3 C ．4 D ．59.假设双曲线C:22221x y a b-=〔0a >，0b >〕的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，那么C 的离心率为〔〕A ．2 BD10.直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，那么异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为〔〕AC11.假设2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，那么()f x 的极小值为〔〕A.1-B.32e --C.35e -D.112.ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 一点，那么()PA PB PC ⋅+的最小值是〔〕A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

专题13 定积分1. 设210sin n xdx π=⎰，则n展开式中的常数项为 （用数字做答） 【答案】210 【解析】试题分析：由22010sin 10cos |10n xdx x ππ==-=⎰，所以二项式的通项为5510611010((1)r r rr r r r T C C x --+=⋅=-，令6r =，则常数项556666710(1)210T C x -⨯=-=.考点：二项式定理的应用. 2. 已知dx x a 2111-⎰=-，则61)22(⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+x x a π展开式中的常数项为 ．【答案】160- 【解析】考点：1、定积分；2、二项式定理. 3.()11sin x x dx -+=⎰___________．【答案】1 【解析】 试题分析：()()()111111sin sin x x dx x dx x dx ---+=+⎰⎰⎰，()11x dx -⎰根据定积分的几何意义可知，函数x 在[]1,1-上的面积为111⨯=，同理，由于sin y x =为奇函数，根据定积分的几何意义有()11sin 0x dx -=⎰，所以()11sin 1x x dx -+=⎰.考点：定积分.4. 如图曲线2y x =和直线0x =，1x =，14y =所围成的图形（如图所示）的面积为（ ）A ．23 B ．13 C.12 D ．14【答案】D 【解析】试题分析：令211,42x x ==，所以面积为11222102111444x dx x dx ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰．考点：定积分. 5．定积分0=⎰．【答案】4π 【解析】考点：定积分.6.(121x dx -+=⎰____________．【答案】232π+ 【解析】试题分析：(11222100112222213432x dx x dx ππ-+=+=⋅+⋅⋅⋅=+⎰⎰⎰.考点：定积分.7. 两曲线sin y x =，cos y x =与两直线0x =，2x π=所围成的平面区域的面积为（ ）A ．2(sin cos )x x dx π-⎰ B ．402(sin cos )x x dx π-⎰ C ．20(cos sin )x x dx π-⎰D ．402(cos sin )x x dx π-⎰【答案】D 【解析】考点：定积分的几何意义.8. 由曲线y =3y x =-及x 轴所围成的图形是面积为（ ） A ．12 B ．24C ．16D ．18【答案】D 【解析】试题分析：曲线y =直线3y x =-的交点为()9,6，由定积分的几何意义可知,曲线y =3y x =-及y 轴围成的面积为()39920094133|232x dx x x x 2⎛⎫⎡⎤--=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰9=182-,故选D. 考点：1、定积分的应用；2、定积分的几何意义. 9. 定积分()12031x x e dx ++⎰的值为 ．【答案】1e + 【解析】试题分析：()()()12310031|211x x x e dx x e x e e ++=++=+-=+⎰，故答案为1e +.考点：定积分的求法.10. 若()6x a +的展开式中3x 的系数为160，则1aa x dx ⎰的值为__________.【答案】73【解析】试题分析：因336160C a =，即320160a =，故38a =，所以2a =，故()22321117|81333x dx x ==-=⎰，故答案为73. 考点：1、二项展开式定理；2、定积分的应用. 11. 若220a x dx =⎰，230b x dx =⎰，2sin c xdx =⎰，a 、b 、c 大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】D 【解析】考点：1、定积分的应用；2、三角函数的有界性.12. 如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()()sin ,0,f x x x π=∈，及直线(),0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点， 若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是（ ）A ．712π B ．23π C.34π D ．56π 【答案】B 【解析】 试题分析：1112sin (cos )1cos ,,,60423aa S a dx x x a a S a aπ-=-=-∴==∴=-∴=⨯⎰阴影矩形,故选B. 考点：几何概型.13. 已知()20cos a x dx π=-⎰，则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（ ） A ．638 B ．6316 C ．212- D ．638- 【答案】C 【解析】考点：定积分、二项式定理.14. 曲边梯形由曲线21y x =+，0y =，1x =，2x =所围成，过曲线21y x =+（[1,2]x ∈）上一点P 作此曲线切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为（ ） A ．3(,2)2 B ．313(,)24 C.513(,)24 D ．5(,2)2【答案】B 【解析】试题分析：设200(,1)P x x +，'2y x =，所以切线方程为()2000(1)2y x x x x -+=-，分别令1,2x x ==代入上式，求得2210010021,41y x x y x x =-++=-++，梯形的面积为221200031313312244y y S x x x +⎛⎫==-++=--+≤ ⎪⎝⎭，即313,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.考点：定积分，曲边梯形的面积.15. 设()f x =()y f x =的图象，x 轴，直线1x =和直线4x =所围成的封闭图形的面积为 ． 【答案】143【解析】试题分析：34211214|33x ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰.考点：定积分．16. 函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数'()y f x =的部分图象如图所示，其中A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点，若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC ∆内的概率为 ．【答案】4π 【解析】考点：1.定积分的计算；2.几何概型.17. 用{}min ,a b 表示,a b 两个数中的较小的数，设(){2min f x x =，那么由函数()y f x =的而图像、x 轴、直线12x =和直线4x =所围成的封闭图形的面积为 ． 【答案】11924【解析】试题分析：联立方程⎪⎩⎪⎨⎧==2xy xy ，可得交点坐标为）（1,1，根据题意可得由函数)(x f y =的图象、x 轴、直线21x =和直线4x =所围成的封闭图形的面积是⎰⎰=+=+=1214123322411914x 32211x 31dx x dx x S ．故答案为：24119．考点：定积分. 18. 设()()12,x xf xg x tdt x R ++=∈⎰，若函数()f x 为奇函数，则()g x 的解析式可以为（ ）A ．3x B ．1x + C ．cos x D ．xxe 【答案】B 【解析】考点：定积分与函数的表达式及奇偶性.19. 定积分0⎰的值为（ ）A ．4π B ．2π C ．π D ．2π【答案】A 【解析】试题分析:因⎰dxx ⎰--=12)1(1,令tx =-1,则⎰4arcsin 21120012ππ==-=--⎰t dt t ,故应选A.考点：定积分的计算公式及运用.20. 已知二项式912x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为212-，则1e a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为（ ） A ．212e + B ．232e - C. 232e + D ．252e -【答案】C 【解析】试题分析：二项式9)21(ax x +的展开式的通项公式为rrr r r r r xa ax x T C C 2999912121--+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=，令3,32-9==r r ，将3=r 代入得221)21(339-=a C ，解得1-=a ，23|)ln 21()1(2121-=-=-⎰e x x dx x x ee .故选C.考点：二项式的展开，定积分.21. 已知0a >，0b >，'()f x 为()f x 的导函数，若()ln 2x f x =，且31112'()12b b dx f a b x =+-⎰，则a b+的最小值为（ ） A．B．C ．92D．92+ 【答案】C 【解析】考点：（1）定积分的计算；（2）基本不等式的应用.22.函数22x 0)f(x)=x x,(0<x 1)≤≤≤⎪⎩－－的图象与x 轴所围成的封闭图形面积为 ．【答案】1π+62【解析】试题分析：∵22x 0)f(x)=x x,(0<x 1)≤≤≤⎪⎩－－，∴函数22x 0)f(x)=x x,(0<x 1)≤≤≤⎪⎩－－的图象与x 轴所围成的封闭图形面积为12213001()(1)2136222x x dx x x πππ+-=+-=+⎰．故答案为：1π+62.考点：定积分的应用. 23. 设曲线()ny xx N *=∈与x 轴及直线1x =围成的封闭图形的面积为na，设1n n n b a a +=，则122012b b b +++=（ ）A ．5031007B ．20112012 C.20122013 D ．20132014【答案】A 【解析】考点：定积分计算公式及裂项相消法求数列和.24. 曲线 2y x =和曲线 2y x =围成的图形面积是（ ）A ．13B ．23 C.1 D ．43323120211)()|333dx x x ⇒-=，故选A. 2x .若在矩形ABCD 内随机取一点，【答案】512【解析】考点：1、几何概型；2、定积分.。

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国2卷)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2B ．3C ．4D ．59.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．23310.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）输出S K=K+1a =a S =S +a ∙K 是否输入a S =0,K =1结束K ≤6开始ABCD11.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.1 12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（） A.2- B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017年高考数学（第02期）小题精练系列专题23 综合训练2 理（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年高考数学（第02期）小题精练系列专题23 综合训练2 理（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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专题23 综合训练21. 已知集合{}{}2log ,21,0x A x x B y y x ==<=≥,则A B =（ ）A ．∅B ．{}21x x <<C ．{}21x x ≤<D ．{}21x x <≤ 【答案】C 【解析】试题分析：由已知可得{}{}0,21A x x B y y <=<=≥⇒A B =A B ={}21x x ≤<，故选C 。

考点:集合的基本运算。

2。

将直线3y x =绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位,所得到的直线为( ）A ．1133y x =-+B ．113y x =-+C ．33y x =-D ．113y x =+【答案】A 【解析】考点:图象的变换。

3。

已知命题():,0,23x x p x ∃∈-∞<；命题:0,,sin 2q x x x π⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭，则下列命题为真命题的是（ )A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝ 【答案】C 【解析】试题分析:因为当x<0时,23x⎛⎫>1⎪⎝⎭即23x x>，所以命题p为假,从而p⌝为真.因为当0,2xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，即sinx x>，所以命题q为真，所以()p q⌝∧为真，故选C.考点：命题的真假.4。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试新课标II卷理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.3 i1 •1 iA. 1 2iB. 1 -2i c. 2 i D. 2-i【答案】D【解析】试題分析：由复数除法的运算法则有：=卩卄严―"= 2-h故选D・1 +i 2【考点】真数的除法【名师点睛】复数的代数形式的运算壬要有加、冰乘、除.除进实际上是分母实数化的过程.在做复数的除法时，要注意利用共鉅复数的•性质：若*逸互为共辄复数，则刃卫=因卩=回儿通过分子、分母同乘以分母的共觇复数将分母实数优•2.设集合A ={1,2,4} , B ={x x2 -4x +m =0}.若A D B」}，则B =A.讣-3?B.「1,0?C. 11,3?D. ：1,5?【答案】c【解析】试题分析：由A n B—1得1 B ,即x=1是方程X2 -4x • m =0的根，所以1「4m=0m= ,3B=71,3 ?，故选C.【考点】交集运算、元素与集合的关系【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.两个防范：①不要忽视元素的互异性；②保证运算的准确性.3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B 【解析】试題分析：i 殳塔的顶层共有灯盖盏，贝恪层的灯数构成~个首项为I 公比为2的等比数列J 结合等比 【考点】等比数列的应用、等比数列的求和公式【名师点睛】用数列知识解木联的实际冋题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型一 列模型， 判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，艮卩搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题, 所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值I 可题，然后将经过数学推理与计算得出的结果 放回到实际冋题中，进行检验，最^得堆论.4 •如图，网格纸上小正方形的边长为1粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A. 90二 B. 63二 C. 42二 D.36-【答案】B 【解析】试题分析：由题意，该几何体是一个组合体， 下半部分是其体积« 7 32 4 = 36二，上半部分是一个底面半径为 3，高为6的圆柱的一半，其体积1 2 V 2（二 32 6） =27 二，故该组合体的体积 V -V 1 V^3^ 27^=63二.故选 B .2【考点】 三视图、组合体的体积【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮 廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视 图为主，结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的体积的 关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系， 利用相应体积公式求解.2x 3y -3 乞05.设x ，y 满足约束条件2x-3y ，3-0，贝V ^2x y 的最小值是数列的求和公式有:1-2-38b 解得艮嗎的顶层共有灯3盏，故选B.y 3_0A. -15B. -9C.D .【答案】A【解折】试题分析：画出不等式组表示的平面区域如下團中阴影部分所示，目标函数即：，=-2工+厂耳中玄表示斜率为k =-2的直线系与可行域有交点时直线的纵载距，数形结合可得目标函数在点吟T处取得最小值，=2x（-6}+{-3}=-15,故选A.【考点】应用线性规划求最值【名师点睛】求^性目标函数尸必+班端书的最值，当心0时，直^过可行域且在丁轴上截距最大时，卫值最大，在丁轴裁距最小时，2值最卜当X0时，直线过可行域且在『轴上裁距最大时宀值最小〉在V轴上截距最小时，左倍最大.6 .安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A. 12 种B. 18 种C. 24 种D. 36 种【答案】D【解析】试题分析：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有C；种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有2 3C4 A 3 = 36 种.故选D.【考点】排列与组合、分步乘法计数原理【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素（或位置）的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）.（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组.注意各种分组类型中，不同分组方法的求解.7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩•看后甲对 大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则 A .乙可以知道四人的成绩 B . 丁可以知道四人的成绩 C .乙、丁可以知道对方的成绩 D .乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D 【解析】试題分析：由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的成 绩贝U 知道自己的成绩，丁看到甲的成绩贝蜘道自己的成氟 即乙、丁可以知道自己的故选EL 【考点】合情推理【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中』在得到一个新结论前，合情推理能 帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合匱推理常常育訪证明提供思路与方向.合情推理仅 是『'合乎情理"的推理，它得到的结论不一定正确.而演经推理得到的结论一定正确商提和推理形式都 正确的前提下）•&执行右面的程序框图，如果输入的a = -1，则输出的S 二【答案】BA . 2 D . 5B .【解析】试题分折：阅读程序框图，初始化数值X-冷二詔二0. 循环结果执行如下：第一次：S' =0—1 = —\a = l a A;=2 第二次：S 1+2 = 1卫二一= 第三次：J = l-3 = -21O = l,k = 4； 第四次：S = —2+4 = 2卫= —Uc = 5： 第五次：&=2-5 = -3卫十=6； 第六次：S=—3+6=3s a=-l,t=7 ； 结束循环，输出故选B-【考点】程【名师点睛】识别、运行程序框囲口完善程序框團的思路：①要明确程序框團的顺序结构、条件结构和 循环结构』②要识别、运行程序框凰 理解框图所解决的实际问题；③按照题目的要求完成解答并验证.2 2XV2 29•若双曲线C ：T —与=1 （ a>0, bnO ）的一条渐近线被圆（x —2）+y 2=4所截得的弦a b长为2,则C 的离心率为 A . 2 B . -3【答案】A【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质， 求双曲线的离心率（或 离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a , c ,代入公式e = c :②只需要a试题分析：由几何关系可得， 2 2双曲线令一£ = 1 (a a 0, b A 0 )的渐近线方程为bx±ay = O ,a b圆心（2,0 ）到渐近线距离为 d = J22 —12 = J 3，则点（2,0 ）到直线bx+ay = 0的距离为一|暂站0L2b「/3Ja 2+b2c,【解析】-3, 整理可得D .即4^c 2 9c =4a ，双曲线的离心率根据一个条件得到关于a, b, c的齐次式，结合b2= c2—a2转化为a, c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方 程(不等式)即可得e(e 的取值范围).10.已知直三棱柱 ABC —'ABQ 中，/ABC =120 , AB = 2 , BC = CG = 1,则异面直线 AB 1与BC 1所成角的余弦值为【答案】C 【解析】试题分析:如團所示，补成直四棱柱ABCD - 4站Gd,则所求角为 ZBCyD -5C 1 = ^1J RD = V2a +l-2x2x1 xcos 60。

全国卷Ⅱ(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．3＋i,1＋i＝()A．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－i解析:3＋i,1＋i＝(3＋i)(1－i),(1＋i)(1－i)＝4－2i,2＝2－i,选择D.答案:D2．设集合A＝{1,2,4},B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1},则B＝()A．{1,－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}解析:因为A∩B＝{1},所以1∈B,所以1是方程x2－4x＋m＝0的根,所以1－4＋m＝0,m ＝3,方程为x2－4x＋3＝0,解得x＝1或x＝3,所以B＝{1,3},选择C.答案:C3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏解析:每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列,记为{an},则前7项的和S7＝381,公比q ＝2,依题意,得a1(1－27),1－2＝381,解得a1＝3,选择B.答案:B4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为() A．90πB．63πC．42πD．36π解析:法一:由题意知,该几何体由底面半径为3,高为10的圆柱截去底面半径为3,高为6的圆柱的一半所得,故其体积V＝π×32×10－1,2×π×32×6＝63π.法二:依题意,该几何体由底面半径为3,高为10的圆柱截去底面半径为3,高为6的圆柱的一半所得,其体积等价于底面半径为3,高为7的圆柱的体积,所以它的体积V＝π×32×7＝63π,选择B.答案:B5．设x,y满足约束条件2x＋3y－3≤0,2x－3y＋3≥0,y＋3≥0,则z＝2x＋y的最小值是()A．－15 B．－9C．1 D．9解析:法一:作出不等式组2x＋3y－3≤0,2x－3y＋3≥0,y＋3≥0对应的可行域,如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A(0,1),B(－6,－3),C(6,－3),当直线z＝2x＋y过点B(－6,－3)时,z取得最小值,z min＝2×(－6)－3＝－15,选择A.法二:易求可行域顶点A(0,1),B(－6,－3),C(6,－3),分别代入目标函数,求出对应的z的值依次为1,－15,9,故最小值为－15.答案:A6．安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种解析:因为安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组,即2,1,1,有C24C12C11,A22＝6种,再分配给3个人,有A33＝6种,所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．答案:D7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩．看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩．根据以上信息,则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩解析:依题意,四人中有2位优秀,2位良好,由于甲知道乙、丙的成绩,但还是不知道自己的成绩,则乙、丙必有1位优秀,1位良好,甲、丁必有1位优秀,1位良好,因此,乙知道丙的成绩后,必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后,必然知道自己的成绩,因此选择D.答案:D8.执行如图的程序框图,如果输入的a＝－1,则输出的S＝()A．2 B．3C．4 D．5解析:运行程序框图,a＝－1,S＝0,K＝1,K≤6成立；S＝0＋(－1)×1＝－1,a＝1,K＝2,K≤6成立；S＝－1＋1×2＝1,a＝－1,K＝3,K≤6成立；S＝1＋(－1)×3＝－2,a＝1,K＝4,K≤6成立；S＝－2＋1×4＝2,a＝－1,K＝5,K≤6成立；S＝2＋(－1)×5＝－3,a＝1,K＝6,K≤6成立；S＝－3＋1×6＝3,a＝－1,K＝7,K≤6不成立,输出S＝ 3.选择B.答案:B9．若双曲线C:x2,a2－y2,b2＝1(a>b,b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A．2 B．3C．2 D．23,3解析:依题意,双曲线C:x2,a2－y2,b2＝1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为bx－ay＝0.因为直线bx－ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2,所以|2b|,b2＋a2＝4－1,所以3a2＋3b2＝4b2,所以3a2＝b2,所以e＝1＋b2,a2＝1＋3＝2,选择A.答案:A10．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC＝120°,AB＝2,BC＝CC1＝1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A．3,2 B．15,5C．10,5 D．3,3解析:法一:如图所示,将直三棱柱ABC-A1B1C1补成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,连接AD1,B1D1,则AD1∥BC1,所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC＝120°,AB＝2,BC＝CC1＝1,所以AB1＝5,AD1＝2.在△B1D1C1中,∠B1C1D1＝60°,B1C1＝1,D1C1＝2,所以B1D1＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3,所以cos∠B1AD1＝5＋2－3,2×5×2＝10,5,选择C.法二:如图,设M,N,P分别为AB,BB1,B1C1的中点,连接MN,NP,MP,则MN∥AB1,NP∥BC1,所以∠PNM或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．易知MN＝1,2AB1＝5,2,NP＝1,2BC1＝2,2.取BC的中点Q,连接PQ,MQ,可知△PQM为直角三角形,PQ＝1,MQ＝1,2AC.在△ABC中,AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝4＋1－2×2×1×－1,2＝7,所以AC＝7,MQ＝7,2.在△MQP中,MP＝MQ2＋PQ2＝11,2,则在△PMN中,cos∠PNM＝MN2＋NP2－PM2,2·MN·NP＝5,22＋2,22－11,22,2×5,2×2,2＝－10,5,所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为10,5.答案:C11．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点,则f(x)的极小值为()A．－1 B．－2e－3C．5e－3 D．1解析:因为f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1,所以f′(x)＝(2x＋a)e x－1＋(x2＋ax－1)e x－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]e x－1.因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点,所以－2是x2＋(a ＋2)x＋a－1＝0的根,所以a＝－1,f′(x)＝(x2＋x－2)e x－1＝(x＋2)(x－1)e x－1.令f′(x)>0,解得x<－2或x>1,令f′(x)<0,解得－2<x<1,所以f(x)在(－∞,－2)上单调递增,在(－2,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增,所以当x＝1时,f(x)取得极小值,且f(x)极小值＝f(1)＝－1,选择A.答案:A12．已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则P A·(PB＋PC)的最小值是()A．－2 B．－3,2C．－4,3 D．－1解析:如图,以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,3),B(－1,0),C(1,0),设P(x,y),则P A＝(－x,3－y),PB＝(－1－x,－y),PC＝(1－x,－y),所以P A·(PB＋PC)＝(－x,3－y)·(－2x,－2y)＝2x2＋2y－3,22－3,2,当x＝0,y＝3,2时,P A·(PB＋PC)取得最小值,为－3,2,选择B.答案:B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题,考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中横线上)13．一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则DX＝__________.解析:依题意,X～B(100,0.02),所以DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.答案:1.9614．函数f(x)＝sin2x＋3cos x－3,4x∈0,π,2的最大值是__________．解析:依题意,f(x)＝sin2x＋3cos x－3,4＝－cos2x＋3cos x＋1,4＝－cos x－3,22＋1,因为x∈0,π,2,所以cos x∈[0,1],因此当cos x＝3,2时,f(x)max＝1.答案:115．等差数列{an}的前n项和为Sn,a3＝3,S4＝10,则∑n,k＝1 1,Sk＝__________.解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,依题意,a1＋2d＝3,4a1＋6d＝10,即a1＋2d＝3,2a1＋3d＝5,解得a1＝1,d＝1,所以Sn＝n(n＋1),2,因此∑n,k＝1 1,Sk＝21－1,2＋1,2－1,3＋…＋1,n－1,n＋1＝2n,n ＋1.答案:2n,n＋116．已知F是抛物线C:y2＝8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|＝__________.解析:法一:依题意,抛物线C:y2＝8x的焦点F(2,0),准线x＝－2,因为M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,M为FN的中点,设M(a,b)(b>0),所以a＝1,b＝22,所以N(0,42),|FN|＝4＋32＝6.法二:依题意,抛物线C:y2＝8x的焦点F(2,0),准线x＝－2,因为M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,M为FN的中点,则点M的横坐标为1,所以|MF|＝1－(－2)＝3,|FN|＝2|MF|＝6.答案:6三、解答题(解答应写出文明说明,证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A＋C)＝8sin2B,2.(1)求cos B；(2)若a＋c＝6,△ABC的面积为2,求b.解析:(1)由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2B,2,故sin B＝4(1－cos B)．上式两边平方,整理得17cos2B－32cos B＋15＝0,解得cos B＝1(舍去),或cos B＝15,17.(2)由cos B＝15,17得sin B＝8,17,故S△ABC＝1,2ac sin B＝4,17ac.又S△ABC＝2,则ac＝17,2.由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2×17,2×1＋15,17＝4.所以b＝2.18．(本小题满分12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg,新养殖法的箱产量不低于50 kg”,估计A的概率；(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法新养殖法(3)(精确到0.01)．附:P(K2≥k)0.500.0100.001k 3.841 6.63510.828K2＝n(ad－bc)2,(a解析:(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”．由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62,故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66,故P(C)的估计值为0.66.因此,事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法6238新养殖法3466K2＝200×(62由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50 kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5,箱产量低于55 kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5,故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋0.5－0.34,0.068≈52.35(kg)．19．(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面P AD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB＝BC＝1,2AD,∠BAD＝∠ABC＝90°,E是PD的中点．(1)证明:直线CE∥平面P AB；(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值．解析:(1)证明:取P A的中点F,连接EF,BF.因为E是PD的中点,所以EF∥AD,EF＝1,2AD.由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD,又BC＝1,2AD,所以EF綊BC,四边形BCEF是平行四边形,CE∥BF,又BF⊂平面P AB,CE⊄平面P AB,故CE∥平面P AB.(2)由已知得BA⊥AD,以A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,|AB|为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3),PC＝(1,0,－3),AB＝(1,0,0)．设M(x,y,z)(0<x<1),则BM＝(x－1,y,z),PM＝(x,y－1,z－3)．因为BM与底面ABCD所成的角为45°,而n＝(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以|cos 〈BM,n〉|＝sin 45°,|z|,(x－1)2＋y2＋z2＝2,2,即(x－1)2＋y2－z2＝0.①又M在棱PC上,设PM＝λPC,则x＝λ,y＝1,z＝3－3λ.②由①,②解得x＝1＋2,2,y＝1z＝－6,2(舍去),或x＝1－2,2,y＝1,z＝6,2,所以M1－2,2,1,6,2,从而AM＝1－2,2,1,6,2.设m＝(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,则m·AM＝0,m·AB＝0,即(2－2)x0＋2y0＋6z0＝0,x0＝0,所以可取m＝(0,－6,2)．于是cos〈m,n〉＝m·n,|m||n|＝10,5.因此二面角M-AB-D的余弦值为10,5.20．(本小题满分12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x2,2＋y2＝1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP＝2 NM.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上,且OP·PQ＝1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析:(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),NP＝(x－x0,y),NM＝(0,y0)．由NP＝2 NM得x0＝x,y0＝2,2y.因为M(x0,y0)在C上,所以x2,2＋y2,2＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明:由题意知F(－1,0)．设Q(－3,t),P(m,n),则OQ＝(－3,t),PF＝(－1－m,－n),OQ·PF＝3＋3m－tn,OP＝(m,n),PQ＝(－3－m,t－n)．由OP·PQ＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1,又由(1)知m2＋n2＝2,故3＋3m－tn＝0.所以OQ·PF＝0,即OQ⊥PF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ 的直线l过C的左焦点F.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2－ax－x ln x,且f(x)≥0.(1)求a；(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e－2<f(x0)<2－2.解析:(1)f(x)的定义域为(0,＋∞)．设g(x)＝ax－a－ln x,则f(x)＝xg(x),f(x)≥0等价于g(x)≥0.因为g(1)＝0,g(x)≥0,故g′(1)＝0,而g′(x)＝a－1,x,g′(1)＝a－1,得a＝1.若a＝1,则g′(x)＝1－1,x.当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)单调递减；当x>1时,g′(x)>0,g(x)单调递增．所以x＝1是g(x)的极小值点,故g(x)≥g(1)＝0.综上,a＝1.(2)证明:由(1)知f(x)＝x2－x－x ln x,f′(x)＝2x－2－ln x.设h(x)＝2x－2－ln x,则h′(x)＝2－1,x.当x∈0,1,2时,h′(x)<0；当x∈1,2,＋∞时,h′(x)>0.所以h(x)在0,1,2单调递减,在1,2,＋∞单调递增．又h(e－2)>0,h1,2<0,h(1)＝0,所以h(x)在0,1,2有唯一零点x0,在1,2,＋∞有唯一零点1,且当x∈(0,x0)时,h(x)>0；当x∈(x0,1)时,h(x)<0；当x∈(1,＋∞)时,h(x)>0.因为f′(x)＝h(x),所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点．由f′(x0)＝0得ln x0＝2(x0－1),故f(x0)＝x0(1－x0)．由x0∈0,1,2得f(x0)<1,4.因为x＝x0是f(x)在(0,1)上的最大值点,由e－1∈(0,1),f′(e－1)≠0得f(x0)>f(e－1)＝e－2.所以e－2<f(x0)<2－2.请考生在第22～23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|＝16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为2,π,3,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值．解析:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ,|OM|＝ρ1＝4,cos θ.由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),由题设知|OA|＝2,ρB＝4cos α,于是△OAB面积S＝1,2|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·|sinα－π,3|＝2|sin2α－π,3－3,2|≤2＋3.当α＝－π,12时,S取得最大值2＋3.所以△OAB面积的最大值为2＋3.23．(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知a>0,b>0,a3＋b3＝2.证明:(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.证明:(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3(a＋b)2,4(a＋b)＝2＋3(a＋b)3,4,所以(a＋b)3≤8,因此a＋b≤2.。

2017年普通高等学校招生统一考试（全国II 卷）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．3i1i+=+ A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -【答案】D2．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1AB =，则B =A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C 【解析】试题分析：由{}1AB =得1B ∈，即1x =是方程240x x m -+=的根，所以140,3m m -+==，{}1,3B =，故选C ．【考点】 交集运算、元素与集合的关系【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．两个防范：①不要忽视元素的互异性；②保证运算的准确性．3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【答案】B4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V =π⨯⨯=π，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积221(36)272V =⨯π⨯⨯=π，故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π．故选B ．【考点】 三视图、组合体的体积【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．5．设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是A ．15-B ．9-C ．D ．【答案】A6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有2343C A 36⨯=种． 故选D ．【考点】 排列与组合、分步乘法计数原理【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解． 7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】Da=-，则输出的S=8．执行右面的程序框图，如果输入的1A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B9．若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 A ．2BCD．3【答案】A 【解析】试题分析：由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d =，则点()2,0到直线0b x a y +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．2B ．5C ．5D ．3【答案】C11．若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为 A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1【答案】A 【解析】试题分析：由题可得12121()(2)e(1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)ex f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减，所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-，故选A ．【考点】 函数的极值、函数的单调性【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同学*；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．12．已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小是 A ．2-B ．32-C ． 43-D ．1-【答案】B解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX =____________． 【答案】1.96 【解析】试题分析：由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即()~100,0.02X B ，由二项分布的期望公式可得()11000.020.98 1.96DX np p =-=⨯⨯=． 【考点】 二项分布的期望与方差【名师点睛】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n 次独立重复试验，在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p ；②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且()()C 1n kk kn p X k p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率． 14．函数23()sin 4f x x x =-([0,])2x π∈的最大值是____________． 【答案】115．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑____________． 【答案】21nn + 【解析】16．已知F 是抛物线:C 28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M为FN 的中点，则FN =____________． 【答案】6 【解析】试题分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336F N F M N M=+=+=．【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=． （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =；（2）2b =．“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐． 18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）．其频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）0.4092；（2）有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）52.35kg ．【考点】独立事件概率公式、独立性检验原理、频率分布直方图估计中位数【名师点睛】（1）利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，随机变量的观测值值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大．（2）利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．19．（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点．（1）证明：直线CE ∥平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值．【答案】（1）证明略；（2）5．【考点】 判定线面平行、面面角的向量求法【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算． （2）设m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m ，n >互补或相等，故有|cos θ|＝|cos<m ，n >|=⋅m nm n．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20．（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【答案】（1） 222x y +=；（2）证明略．【考点】 轨迹方程的求解、直线过定点问题【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0． （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（4）代入(相关点)法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P (x ，y )的轨迹方程．21．（12分）已知函数2()ln f ax a x x x x =--，且()0f x ≥． （1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220e ()2f x --<<．【答案】（1）1a =；（2）证明见解析．（2）由（1）知 ()2ln f x x x x x =--，()22ln f 'x x x =--．设()22ln h x x x =--，则1()2'x h x=-． 当1(0,)2x ∈ 时，()0h'x < ；当1(,)2x ∈+∞ 时，()0h'x >，所以()h x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增．又()2e 0h ->，1()02h <，()10h =，所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ，在1[,)2+∞有唯一零点1，且当()00,x x ∈时，()0h x >；当()0,1x x ∈时，()0h x <，当()1,x ∈+∞时，()0h x >． 因为()()f 'x h x =，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点． 由0()0f 'x =得()00ln 21x x =-，故()()0001f x x x =-．由()00,1x ∈得()014f x <． 因为0x x =是()f x 在（0，1）的最大值点，由()1e 0,1-∈，1(e )0f '-≠得120()(e )e f x f -->=．所以()220e2f x --<<．【考点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．【答案】（1）()()22240x y x -+=≠；（2）2．（2）设点B 的极坐标为()(),0B B ραρ>，由题设知2,4cos B OA ρα==，于是OAB △的面积S =1sin 4cos |sin()|2|sin(2)2233B OA AOB ραααππ⋅⋅∠=⋅-=--≤+当12απ=-时，S 取得最大值2，所以OAB △面积的最大值为2． 【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程、三角形面积的最值【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。

【最新整理，下载后即可编辑】2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项: 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘 贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．=++i1i 3A ．i 21+B ．i 21-C ．i 2+D ．i 2-2． 设集合{}4 2 1，，=A ，{}042=+-=m x x B ，若{}1=B A ,则=B A ．{}3 1-，B. ．{}0 1， C ．{}3 1， D ．{}5 1，3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．π90 B ．π63 C ．π42 D ．π365．设y x 、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+-≤-+，，，0303320332y y x y x 则y x z +=2的最小值是 A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A ．12种B ．18种C ． 24种D ．36种理科数学试题 第1页（共4页）7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8．执行右面的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=SA ．2B ．3C ．4D ．59．若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．33210．已知直三棱柱111C B A ABC -中， 120=∠ABC , 2=AB , 11==CC BC , 则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．23B ．515 C ．510D ．33 11．若2-=x 是函数12)1()(--+=x e ax x x f 的极值点，则)(x f 的极小值为A ．1-B ．32--eC ．35-eD ．112．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(+⋅的最小值是A ．2-．34-D ．1-二、填空题：本题共5分，共20分。