一次函数的定义及练习题

第1讲 一次函数的概念及图像（练习）夯实基础一、单选题1．下列函数中，一次函数是（ ）A ．21y x =-B ．23y x =+C ．3y x =D ．y k b =+(k 、b 是常数)2．下列命题错误的是（ ）A ．正比例函数是一次函数B ．反比例函数不是一次函数C ．如果1y -和x 成正比例，那么y 是x 的一次函数D ．一次函数也是正比例函数3．函数y ＝12x ﹣3的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．直线21y x =-的截距是（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-5．一次函数y kx k =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b 的图象如图所示，则k 和b 的取值范围是（ ）A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜0二、填空题7．若函数y=(m-2)x+5是一次函数，则m 满足的条件是____________．8．已知一次函数()32f x x =+，那么()1f -=______．9．如果23(2)2m y m x -=-+是一次函数，那么m 的值是__________．10．已知某汽车油箱中剩余油量y （升）与汽车行驶里程数x （千米）是一次函数关系，油箱中原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升，那么行驶120（千米）后油箱中剩余油量为_______．11．把直线y ＝2x ﹣3沿y 轴方向向上平移4个单位后，所得直线的表达式_____．12．若正比例函数y kx =（k 是常数，0k ¹）的图象经过第二、四象限，则的值可以是_______(写出一个即可).13．已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过点（0，3），则截距为_____．三、解答题14．如图，是甲、乙两种机器人根据电脑程序工作时各自工作量y 关于工作时间x 的函数图像，线段OA 表示甲机器人的工作量1y （吨）关于时间x （时）的函数图像，线段BC 表示乙机器人的工作量2y （吨）关于时间x （时）的函数图像．根据图像信息回答下列填空题．（1）甲种机器人比乙种机器人早开始工作 小时；甲种机器人每小时的工作量是 吨；（2）直线BC 的表达式为 ；当乙种机器人工作5小时后，它完成的工作量是 吨．能力提升一、单选题1．下列函数关系式：①y ＝2x ；②y ＝2x +11；③y ＝3﹣x ；④y ＝2x．其中一次函数的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列函数中图象不经过第三象限的是（ ）A ．y ＝﹣3x ﹣2B ．yC ．y x +1D ．y ＝3x +23．一次函数1y ax b =+与2y bx a =+在同一坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于21k x k x b <+的不等式的解为（ ）．A ．1x >-B ．2x <-C ．1x <-D ．无法确定5．已知正比例函数y kx =（k 是常数，0k ¹）的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y x k =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．若直线y=kx+b 经过第一、二、四象限，则直线y=bx+k 的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．7．如图，已知一次函数y ＝kx+b 的图象经过A 、B 两点，那么不等式kx+b ＞0的解集是（ ）A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＞5D ．x ＜5二、填空题8．已知点A （2,0）和C （4，0），点P 在正比例函数2y x =上，且A C P S =4，D 则点P 的坐标是__________9．已知：y=（m ﹣1）x |m|+4，当m= _________ 时，图象是一条直线．10．(1)已知函数y =3+(m ―3)x m 是一次函数，则m=________.(2)若函数y =(k +2)x +(k 2―4)是正比例函数，则k =_________.11．我们知道：当2x =时，不论k 取何实数，函数(2)3y k x =-+的值为3，所以直线(2)3y k x =-+一定经过定点(2,3)；同样，直线(2)3y k x k =-+一定经过的定点为______.12．已知点()11,x y ,()22,x y 是直线4y kx =-上的两点，且当 1x ＜2x 时，1y ＞2y ，则该直线经过______________象限．13．已知，一次函数y kx b =+的图像经过点A （2,1）（如下图所示），当1y ³时，x 的取值范围是______14．己知(),4P a 是直线2y x =+上的一个点，点M 在坐标轴正半轴上，当PM=5时，那么点M 的坐标是___________三、解答题15．已知点A （﹣1，1）是直线y ＝kx +3上的一点，若该直线和x 轴相交于点B ，求点B 的坐标．16．已知一次函数y=(1-2m)x+m+1(m ≠12)，函数值y 随自变量x 值的增大而减小．(1)求m 的取值范围；(2)在平面直角坐标系xOy 中，这个函数的图象与x 轴的交点M 位于x 轴的正半轴还是负半轴？请简述理由．17．已知正比例函数图象经过（﹣2，4）．（1）如果点（a ，1）和（﹣1，b ）在函数图象上，求a ，b 的值；（2）过图象上一点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，S △OPQ ＝154，求Q 的坐标．18．一次函数图像经过点(4,-1)，且与直线122y x =+平行，求一次函数解析式和这个函数图像与两坐标轴围成的三角形的面积.19．如图，直线3y kx =+与x 轴、y 轴分别相交于E F 、.点E 的坐标为()40-，，点P 是线段EF 上的一点.（1）求k 的值；（2）若OPE D 的面积为2，求点P 的坐标.。

一次函数基础训练题一、一次函数的定义与表达式1. 题目下列函数中，是一次函数的是（）A. y = (1)/(x)+1B. y = x^2+1C. y = 2x 1D. y=√(x)+1解析一次函数的一般形式为y = kx + b（k，b为常数，k≠0）。

选项A，y=(1)/(x)+1是反比例函数与常数函数的和，不是一次函数，因为反比例函数y = (1)/(x)不符合一次函数形式。

选项B，y = x^2+1是二次函数，因为自变量x的次数是2，不符合一次函数自变量次数为1的要求。

选项C，y = 2x 1符合一次函数y = kx + b的形式，其中k = 2，b=-1。

选项D，y=√(x)+1，自变量x在根号下，不是一次函数。

所以答案是C。

2. 题目已知一次函数y=(m 1)x+3，求m的取值范围。

解析因为一次函数的一般形式为y = kx + b（k≠0），在函数y=(m 1)x+3中，k = m 1。

要使函数为一次函数，则m 1≠0，解得m≠1。

二、一次函数的图象与性质1. 题目一次函数y = 2x+1的图象经过哪几个象限？解析对于一次函数y = kx + b（k，b为常数，k≠0），当k>0，b>0时，图象经过一、二、三象限。

在函数y = 2x+1中，k = 2>0，b = 1>0，所以图象经过一、二、三象限。

2. 题目已知一次函数y=-3x + b的图象经过点(1, -1)，求b的值，并判断函数图象的单调性。

解析因为函数y=-3x + b的图象经过点(1,-1)，将x = 1，y=-1代入函数可得：-1=-3×1 + b-1=-3 + b移项可得b=-1 + 3=2。

对于一次函数y = kx + b，这里k=-3<0，所以函数y=-3x + 2的图象是单调递减的，即y随x的增大而减小。

三、一次函数的应用1. 题目某汽车油箱中原有油100升，汽车每行驶50千米耗油9升，求油箱剩余油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的函数关系式。

一次函数的定义及经典习题 济宁附中李涛1、判断正误:（1）一次函数是正比例函数； （ ） (2)正比例函数是一次函数； （ ）(3)x ＋2y ＝5是一次函数； （ ）(4)2y －x=0是正比例函数． （ ）2、选择题（1）下列函数中一次函数的个数为（ ）①y=2x ；②y=3+4x ；③y=21；④y=ax （a ≠0的常数）；⑤xy=3；⑥2x+3y-1=0；A ．3个B 4个C 5个D 6个3、填空题（1）若函数y=(m-2)x+5是一次函数，则m 满足的条件是____________。

（2）当m=__________时，函数y=3x + m 是一次函数。

(3 )关于x 的一次函数y=x+5m-5，若使其成为正比例函数，则m 应取_______。

（4）已知函数23(2)m y m x -=-是正比例函数，则m 的值为 ．（5）下列函数中，是一次函数的有 （填序号）① 2c r π=；② 2(3)y x =-；③ 22n m -=； ④ (50)s x x =-；⑤ 100t v =． 4、已知函数(12)1y k x k =--+．（1） 当k 取何值时，这个函数是正比例函数；（2） 当k 取何值时，这个函数是一次函数．5、函数：①y=-2x+3；②x+y=1；③xy=1；④y=1+x ；⑤y=221x +1；⑥y=0.5x 中，属一次函数的有 ，属正比例函数的有 （只填序号）（2）当m= 时，y=()()m x m x m +-+-1122是一次函数。

(3)请写出一个正比例函数，且x =2时，y= －6请写出一个一次函数，且x=－6时，y=26、汽车以40千米/小时的平均速度从A 站出发，行驶了t 小时，那么汽车离开A 站的距离s(千米)和时间t(小时)之间的函数关系是什么？的函数关系式为 ，它是 函数7、曾子伟叔叔的庄园里已有50棵树，，他决定今后每年栽2棵树，则曾叔叔庄园树木的总数y （棵）与年数x 的函数关系式为 它是 函数8、圆柱底面半径为5cm ，则圆柱的体积V （cm 3）与圆柱的高h （cm ）之间的函数关系式为 ，它是 函数9、甲市到乙市的包裹邮资为每千克0.9元，每件另加手续费0.2元，求总邮资y（元）与包裹重量x（千克）之间的函数解析式，并计算5千克重的包裹的邮资。

一次函数 一、函数1.定义（1）在变化过程中有两个变量；（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；（3）自变量的每一个确定值，函数有且只有一个值与之对应，即单值对应。

2.自变量的取值范围（1）整式时，自变量取全体实数； （2）分式时，自变量使分母不为零；（3）有偶次根式时，自变量必须使被开方数是非负数； （4）实际问题中，要使实际问题有意义；（5）在有些函数关系式中，自变量的取值范围应是其公共解。

二、一次函数（——正比例函数）1.定义（1）函数为一次函数⇔其解析式可化为y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）的形式。

（2）一次函数y kx b =+结构特征：0k ≠；自变量x 次数为1；常数b 可为任意实数。

（3）一般情况下，一次函数中自变量的取值范围是全体实数。

（4）若0k =，则y b =（b 为常数），这样的函数叫做常函数，它不是一次函数； 若0b =，则y=kx （k 为常数），这样的函数叫做正比例函数。

2.图像一次函数的图像是一条直线，确定两点，便能确定其图像。

3.性质（1）增减性：0k >时，y 随着x 的增大而增大；0k <时，y 随着x 的增大而减小。

（2）图像位置：直线y kx b =+过两个象限或三个象限，由,k b 的符号共同决定。

例题1. 求出下列函数中自变量x 的取值范围（1）112y x =+ （2）y = （3）y = （4）521y x -=-2.已知23(2)3my m x -=-+，当m 为何值时，y 是x 的一次函数？3. 已知一次函数(2)(1)y m x m =++-，若y 随x 的增大而减小，且该函数图象与x 轴的交点在原点右侧，求m 的取值范围。

4. 若正比例函数y ＝(1－2m)x 的图象经过点A(x 1，y 1)和点B(x 2，y 2)，当x 1<x 2时，y 1>y 2，则求m 的取值范围。

一次函数经典题一．定义型例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。

解：由一次函数定义知，，故一次函数的解析式为y=-6x+3。

注意：利用定义求一次函数y=kx+b解析式时，要保证k≠0。

如本例中应保证m-3≠0。

二. 点斜型例2. 已知一次函数y=kx-3的图像过点(2, -1)，求这个函数的解析式。

解：一次函数的图像过点(2, -1)，，即k=1。

故这个一次函数的解析式为y=x-3。

变式问法：已知一次函数y=kx-3 ，当x=2时，y=-1，求这个函数的解析式。

三. 两点型例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4)，则这个函数的解析式为_____。

解：设一次函数解析式为y=kx+b，由题意得，故这个一次函数的解析式为y=2x+4四. 图像型例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。

解：设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数的图像过点(1, 0)、(0, 2)有故这个一次函数的解析式为y=-2x+2五. 斜截型例5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。

解析：两条直线；。

当k1=k2，b1≠b2时，直线y=kx+b与直线y=-2x平行，。

又直线y=kx+b在y轴上的截距为2，故直线的解析式为y=-2x+2六. 平移型例6. 把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。

解析：设函数解析式为y=kx+b，直线y=2x+1向下平移2个单位得到的直线y=kx+b与直线y=2x+1平行直线y=kx+b在y轴上的截距为b=1-2=-1，故图像解析式为七. 实际应用型例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。

解：由题意得Q=20-0.2t ，即Q=-0.2t+20故所求函数的解析式为Q=-0.2t+20（）注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。

第1讲 一次函数的概念及图像（练习）夯实基础一、单选题1．（2019·上海黄浦区·）下列函数中，是一次函数的是（ ）A ．21y x =+B ．12y x =-C ．23y x =+D ．y kx b =+（k 、b 是常数）【答案】C【分析】根据一次函数的定义逐项分析即可．【详解】A ． 21y x =+中自变量的次数是2，故不是一次函数； B ． 12y x=-中自变量在分母上，故不是一次函数； C ． 23y x =+是一次函数；D ． 当k=0时，y kx b =+（k 、b 是常数）不是一次函数．故选C ．【点睛】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如y =kx +b ，（k 为常数，k ≠0）的函数叫做一次函数．2．（2019·上海市敬业初级中学）下列命题错误的是（ ）A ．正比例函数是一次函数B ．反比例函数不是一次函数C ．如果1y -和x 成正比例，那么y 是x 的一次函数D ．一次函数也是正比例函数【答案】D【分析】直接利用正比例函数与一次函数的定义判断得出即可．【详解】解：A 、正比例函数是一次函数，此选项正确；B 、反比例函数不是一次函数，故此选项正确；C 、如果1y -和x 成正比例，则y-1=kx ，即y=kx+1，那么y 是x 的一次函数，故此选项正确；D 、一次函数可能是正比例函数，也可能不是正比例函数，故此选项错误；故选：D ．【点睛】此题主要考查了正比例函数与一次函数的定义，正确把握它们的区别与联系是解题关键．3．（2020·上海市奉贤区弘文学校八年级期末）正比例函数的图像在第二、四象限内，则点（--1m m ，）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据一次函数图象与系数的关系由正比例函数y ＝mx 的图象在第二、四象限内得到m ＜0，则﹣m>0，m −1＜0，于是得到点（−m ，m −1）在第四象限．【详解】解：∵正比例函数y ＝mx 的图象在第二、四象限内，∴m ＜0，∴-m>0，m −1＜0，∴点（-m ，m −1）在第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0），当k ＞0，图象经过第一、三象限；当k ＜0，图象经过第二、四象限；当b ＞0，图象与y 轴的交点在x 轴上方；b ＝0，图象过原点；当b ＜0，图象与y 轴的交点在x 轴下方．4．（2018·上海全国·八年级期中）一次函数y kx k =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可【详解】解：当k>0时，函数图象经过一、二、三象限；当k<0时，函数图象经过二、三、四象限，故A 正确.故选A.【点睛】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数y=kx+b （k ≠0）中，当k<0，b<0时，函数图像经过二、三、四象限是解答此题的关键.5．（2020·上海徐汇区·八年级期末）若一次函数的图像不经过第三象限，则k b 、的取值范围是（ ）．A ．k ﹤0，0b ≥；B ．k ﹥0，b ﹥0；C ．k ﹤0，b ﹥0；D ．k ﹥0，b ﹤0；【答案】A【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．【详解】∵一次函数y kx b =+的图象不经过第三象限，∴直线y kx b =+经过第一、二、四象限或第二、四象限，∴0k <，0b ≥．故选：A ．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数一次函数y kx b=+(0k ≠)的图象与系数k ，b 的关系是解答此题的关键．6．（2018·上海松江区·八年级期中）如图，一次函数y kx b =+的图像经过，两点，那么当3y >时，x 的取值范围是（ ）A ．0x <B ．2x <C ．1x >D ．1x <【答案】D【分析】根据一次函数的图象可直接进行解答.【详解】由函数图象可知，此函数是减函数，当y=3时x=1，故当y>3时，x<1，故选：D.【点睛】此题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特点.7．（2019·上海市闵行区明星学校）在一次函数y=ax-a 中，y 随x 的增大而减小，则其图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据y 随x 的增大而减小可得a ＜0，−a ＞0，然后判断函数图象即可．【详解】解：∵一次函数y ＝ax-a 中，y 随x 的增大而减小，∴a ＜0，−a ＞0， ∴其图象过一、二、四象限，故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，根据增减性判断出a ＜0，−a ＞0是解题的关键．8．（2020·上海市南汇第四中学八年级月考）一次函数y mx n =+的图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ）A ．当0x >时，2y >-B ．当1x ≥时，0y ≤C ．当1x <时，0y >D ．当0x <时，20y -<<【答案】A【分析】根据图像，结合一次函数的性质逐项分析即可．【详解】A ． 由图像可知，当0x >时，2y >-，故正确；B ． 由图像可知， 当1x ≥时，0y ≥，故不正确；C ． 由图像可知， 当1x <时，0y ＜，故不正确；D ． 由图像可知，当0x <时，2y <-，故不正确；故选A ．【点睛】本题主要考查函数和不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．9．（2019·青浦东方中学八年级期中）在函数y ＝kx （k ＞0）的图象上有三点A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），A 3（x 3，y 3），已知x 1＜x 2＜0＜x 3，则下列各式中正确的是（ ）A ．y 1＜0＜y 3B ．y 3＜0＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 3＜y 1＜y 2【答案】A【分析】根据正比例函数的图象性质.【详解】k >0,正比例函数，y 随x 增大而增大.【点睛】正比例函数y=kx (k 图象性质: 0,k >，正比例函数图象过一、三象限和原点,y 随x 增大而增大；0,k <，正比例函数图象过二、四象限和原点,y 随x 增大而减小.二、填空题10．（2020·上海嘉定区·八年级期末）已知一次函数，那么()1f -=______．【答案】1-【分析】代入1x =-，即可求出()1f -的值．【详解】当1x =-时，．故答案为：1-．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y kx b =+是解题的关键．11．（2019·上海市闵行区明星学校）如果ｙ关于x 的函数y=(k-1)x+1是一次函数，那么k 的取值范围是______．【答案】k ≠1【分析】根据一次函数的定义条件求解即可．【详解】解：∵y ＝(k －1)x+1是一次函数，∴k －1≠0，即k ≠1，故答案为：k ≠1．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，属于基础题，注意掌握一次函数y ＝kx ＋b 的定义条件是：k 、b 为常数，k ≠0．12．（2020·上海市静安区实验中学八年级期中）已知点(,)P a b 在一次函数21y x =+的图象上，则21a b --=_____.【答案】【分析】根据点在函数图像上，即将点代入函数解析式，能够使解析式成立，将本题中P 点的坐标代入解析式，变形即可解决.【详解】解：将(,)P a b 代入函数解析式得：b=2a+1，将此式变形即可得到：210a b -+=，两边同时减去2，得：21a b --=-2，故答案为：.【点睛】本题考查了通过函数上点的坐标，求相关代数式的值，解决本题的关键要熟练掌握一次函数的性质，明白函数上的点都能使函数解析式成立.13．（2019·上海）．已知函数y=（k+2）x+k 2﹣4，当k _________ 时，它是一次函数．【答案】﹣2【分析】根据一次函数的定义可知自变量的系数不为零.【详解】解：∵函数y=（k+2）x+k 2﹣4是一次函数，∴k+2≠0，即k ≠﹣2.故答案为：≠﹣2.【点睛】本题考点：一次函数的定义，正确把握定义是解题的关键.14．（2019·上海）根据图中的程序，当输入x=-3时，输出结果y =________.【答案】1【分析】根据题意可知当x=-3≤1时，应代入函数y=x+4，然后求解即可.【详解】解：∵x=-3≤1，∴当x=-3时，y= x+4=﹣3+4=﹣1.故答案为：﹣1.【点睛】本题主要考查一次函数，解此题的关键在于理解题意，根据自变量的取值范围选择正确的函数进行求解.15．（2019·上海）若298y m x x =-+表示一次函数，则m 满足的条件是__________________。

一次函数复习课知识点1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数.【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.（3）当b=0，k ≠0时，y= kx 仍是一次函数.（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.知识点2 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点 3一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-kb ，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.知识点4 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上；②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；①如图11－18（l）所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②如图11－18（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．知识点3 正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．知识点4 点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．知识点5 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．知识点6 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b 中，k ，b 就是待定系数．知识点7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b ；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k 与b 的值，得到函数表达式．例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．解：设一次函数的关系式为y ＝kx+b （k ≠0），由题意可知，⎩⎨⎧+-=-+=,3,21b k b k 解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.35,34b k ∴此函数的关系式为y=3534-x ． 【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b ，其中k ，b 是未知的常量，且k ≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k ，b ）；第三步，求（把求得的k ，b 的值代回到“设”的关系式y=kx+b 中）；第四步，写（写出函数关系式）.思想方法小结 （1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结 （1）常数k ，b 对直线y=kx+b(k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交；当b=0时，直线经过原点；当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交．②当k ，b 异号时，即-k b ＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b=0时，即-kb =0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即-kb ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限；当k ＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限；当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限；当k ﹤O ，b=0时，图象经过第二、四象限；当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．（2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系．直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0)当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ；当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ．（3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行； ④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合.典例讲解 基本题本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件．例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-21x ； （2）y=-x2； （3）y=-3-5x ；（4）y=-5x 2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x 2. [分析] 本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解．解：（1）（3）（5）（6）是一次函数，（l ）（6）是正比例函数．例2 当m 为何值时，函数y=-（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数？[分析] 某函数是一次函数，除应符合y=kx+b 外，还要注意条件k ≠0． 解：∵函数y=（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数，∴⎩⎨⎧≠--=-,0)2(,132m m ∴m=-2.∴当m=-2时，函数y=（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数．小结 某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0．而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0．基础应用题本节基础知识的应用主要包括：（1）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式．例3 一根弹簧长15cm ，它所挂物体的质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 的物体，弹簧就伸长0．5cm ，写出挂上物体后，弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x(kg ）之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并判断y 是否是x 的一次函数．[分析] （1）弹簧每挂1kg 的物体后，伸长0．5cm ，则挂xkg 的物体后，弹簧的长度y 为（l5+0．5x ）cm ，即y=15+0．5x ．（2）自变量x 的取值范围就是使函数关系式有意义的x 的值，即0≤x ≤18．(3)由y=15+0．5x 可知，y 是x 的一次函数．解：（l ）y=15+0．5x ．（2）自变量x 的取值范围是0≤x ≤18．（3）y 是x 的一次函数．学生做一做 乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米／时，则火车离库尔勒的距离s （千米）与行驶时间t （时）之间的函数关系式是 .老师评一评 研究本题可采用线段图示法，如图11－19所示．火车从乌鲁木齐出发，t 小时所走路程为58t 千米，此时，距离库尔勒的距离为s 千米，故有58t+s=600，所以，s=600-58t ．例4 某物体从上午7时至下午4时的温度M （℃）是时间t （时）的函数：M=t 2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为 ℃．［分析］ 本题给出了函数关系式，欲求函数值，但没有直接给出t 的具体值．从题中可以知道，t=0表示中午12时，t=1表示下午1时，则上午10时应表示成t=-2，当t=-2时，M=（-2）3-5×（-2）+100=102（℃）．答案：102例5 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y 的值；（3）当y=4时，求x 的值．[分析] 由y-3与x 成正比例，则可设y-3=kx ，由x=2，y=7，可求出k ，则可以写出关系式．解：（1）由于y-3与x 成正比例，所以设y-3=kx ．把x=2，y=7代入y-3=kx 中，得7-3＝2k ，∴k ＝2．∴y 与x 之间的函数关系式为y-3=2x ，即y=2x+3．（2）当x=4时，y=2×4+3=11．（3）当y ＝4时，4=2x+3，∴x=21. 学生做一做 已知y 与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y 关于x 的函数关系式是 .老师评一评 由y 与x+1成正比例，可设y 与x 的函数关系式为y=k （x+1）.再把x=5，y=12代入，求出k 的值，即可得出y 关于x 的函数关系式． 设y 关于x 的函数关系式为y=k （x+1）.∵当x=5时，y=12，∴12=（5+1）k ，∴k=2．∴y 关于x 的函数关系式为y=2x+2．【注意】 y 与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1.例6 若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ﹤OB ．m ＞0C ．m ﹤21D ．m ＞M[分析] 本题考查正比例函数的图象和性质，因为当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，说明y 随x 的增大而减小，所以1-2m ﹤O,∴m ＞21，故正确答案为D 项． 学生做一做 某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元．（1）写出年产值y （万元）与年数x （年）之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）求5年后的产值．老师评一评 （1）年产值y （万元）与年数x （年）之间的函数关系式为y=15+2x ．（2）画函数图象时要特别注意到该函数的自变量取值范围为x ≥0，因此，函数y=15+2x 的图象应为一条射线．画函数y=12+5x 的图象如图11－21所示．（3）当x=5时，y ＝15+2×5=25（万元）∴5年后的产值是25万元．例7 已知一次函数y=kx+b 的图象如图11－22所示，求函数表达式． ［分析］ 从图象上可以看出，它与x 轴交于点（-1，0），与y 轴交于点（0，-3），代入关系式中，求出k 为即可．解：由图象可知，图象经过点（-1，0）和（0，-3）两点，代入到y=kx+b 中，得⎩⎨⎧+=-+-=,03,0b b k ∴⎩⎨⎧-=-=.3,3b k ∴此函数的表达式为y=-3x-3.例8 求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．［分析］图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出b即可．解：由题意可设所求函数表达式为y=2x+b，∴图象经过点（2，-1），∴-l=2×2+b．∴b=-5，∴所求一次函数的表达式为y=2x-5.综合应用题本节知识的综合应用包括：（1）与方程知识的综合应用；（2）与不等式知识的综合应用；（3）与实际生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题．例8 已知y+a与x+b（a，b为是常数）成正比例．（1）y是x的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，y是x的正比例函数？［分析］判断某函数是一次函数，只要符合y=kx+b（k，b中为常数，且k≠0）即可；判断某函数是正比例函数，只要符合y=kx(k为常数，且k ≠0)即可．解：（1）y是x的一次函数．∵y+a与x+b是正比例函数，∴设y+a=k(x+b)（k为常数，且k≠0）整理得y=kx+（kb-a）．∵k≠0，k，a，b为常数，∴y=kx+(kb-a)是一次函数．（2）当kb-a=0，即a=kb时，y是x的正比例函数．例9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元（均指市内通话）若1个月内通话x分，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元．（1）写出y1，y2与x之间的关系；（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？［分析］这是一道实际生活中的应用题，解题时必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算，方可得出正确结论．解：（1）y1=50+0．4x（其中x≥0，且x是整数）y2=0．6x（其中x≥0，且x是整数）(2)∵两种通讯费用相同，∴y 1=y 2，即50+0．4x=0．6x ．∴x ＝250．∴一个月内通话250分时，两种通讯方式的费用相同．（3）当y 1=200时，有200=50+0．4x ，∴x=375（分）．∴“全球通”可通话375分．当y 2=200时，有200=0．6x ，∴x=33331（分）． ∴“神州行”可通话33331分． ∵375＞33331， ∴选择“全球通”较合算．例10 已知y+2与x 成正比例，且x=-2时，y=0．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x 取何值时，y ≥0？（4）若点（m ，6）在该函数的图象上，求m 的值；（5）设点P 在y 轴负半轴上，（2）中的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且S △ABP =4，求P 点的坐标．［分析］ 由已知y+2与x 成正比例，可设y+2=kx ，把x=-2，y=0代入，可求出k ，这样即可得到y 与x 之间的函数关系式，再根据函数图象及其性质进行分析，点（m ，6）在该函数的图象上，把x=m ，y=6代入即可求出m 的值．解：（1）∵y+2与x 成正比例，∴设y+2=kx （k 是常数，且k ≠0）∵当x=-2时，y=0．∴0+2＝k ·（-2），∴k ＝-1．∴函数关系式为x+2=-x ，即y=-x-2．（2）列表；x0 -2（3）由函数图象可知，当x ≤-2时，y ≥0．∴当x ≤-2时，y ≥0．(4)∵点（m ，6）在该函数的图象上，∴6=-m-2,∴m ＝-8．（5）函数y=-x-2分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，∴A （-2，0），B （0，-2）．∵S △ABP =21·|AP|·|OA|=4， ∴|BP|=428||8==OA . ∴点P 与点B 的距离为4．又∵B 点坐标为(0，-2),且P 在y 轴负半轴上，∴P 点坐标为(0，-6).例11 已知一次函数y=（3-k ）x-2k 2+18.（1）k 为何值时，它的图象经过原点？（2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k 为何值时，它的图象平行于直线y=-x ？（4）k 为何值时，y 随x 的增大而减小？[分析] 函数图象经过某点，说明该点坐标适合方程；图象与y 轴的交点在y 轴上方，说明常数项b ＞O ；两函数图象平行，说明一次项系数相等；y 随x 的增大而减小，说明一次项系数小于0．解：（1）图象经过原点，则它是正比例函数．∴⎩⎨⎧≠-=+-,03,01822k k ∴k ＝-2． ∴当k=-3时，它的图象经过原点． （2）该一次函数的图象经过点（0，-2）.∴-2=-2k 2+18，且3-k ≠0，∴k=±10∴当k=±10时，它的图象经过点(0，-2)（3）函数图象平行于直线y=-x ，∴3-k=-1，∴k ＝4．∴当k ＝4时，它的图象平行于直线x=-x ．（4）∵随x 的增大而减小，∴3-k ﹤O ．∴k ＞3．∴当k ＞3时，y 随x 的增大而减小．例12 判断三点A （3，1），B （0，-2），C （4，2）是否在同一条直线上．[分析] 由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．解：设过A ，B 两点的直线的表达式为y=kx+b ．由题意可知，⎩⎨⎧+=-+=,02,31b b k ∴⎩⎨⎧-==.2,1b k ∴过A ，B 两点的直线的表达式为y=x-2．∴当x=4时，y=4-2=2．∴点C （4，2）在直线y=x-2上．∴三点A （3，1）， B （0，-2），C （4，2）在同一条直线上．学生做一做 判断三点A （3，5），B （0，-1），C （1，3）是否在同一条直线上.探索与创新题主要考查学生运用知识的灵活性和创新性，体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用．例13 老师讲完“一次函数”这节课后，让同学们讨论下列问题：（1）x 从0开始逐渐增大时，y=2x+8和y=6x 哪一个的函数值先达到30？这说明了什么？（2）直线y=-x 与y=-x+6的位置关系如何？甲生说：“y=6x 的函数值先达到30，说明y=6x 比y=2x+8的值增长得快．” 乙生说：“直线y=-x 与y=-x+6是互相平行的．”你认为这两个同学的说法正确吗？［分析］ （1）可先画出这两个函数的图象，从图象中发现，当x ＞2时，6x ＞2x+8，所以，y=6x 的函数值先达到30．（2）直线y=-x 与y=-x+6中的一次项系数相同，都是-1，故它们是平行的，所以这两位同学的说法都是正确的．解：这两位同学的说法都正确．例14 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，用旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠．”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠．”已知全票价为240元．（1）设学生人数为x ，甲旅行社的收费为y 甲元，乙旅行社的收费为y 乙元，分别表示两家旅行社的收费；（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．［分析］ 先求出甲、乙两旅行社的收费与学生人数之间的函数关系式，再通过比较，探究结论．解：（1）甲旅行社的收费y 甲（元）与学生人数x 之间的函数关系式为 y 甲=240+21×240x=240+120x. 乙旅行社的收费y 乙（元）与学生人数x 之间的函数关系式为y 乙=240×60％×（x+1）=144x+144．（2）①当y 甲=y 乙时，有240+120x=144x+144，∴24x ＝96，∴x=4．∴当x=4时，两家旅行社的收费相同，去哪家都可以．②当y 甲＞y 乙时，240+120x ＞144x+144，∴24x ＜96，∴x ＜4．∴当x ﹤4时，去乙旅行社更优惠．③当y 甲﹤y 乙时，有240+120x ﹤140x+144，∴24x ＞96，∴x ＞4．∴当x ＞4时，去甲旅行社更优惠．小结 此题的创新之处在于先通过计算进行讨论，再作出决策，另外，这两个函数都是一次函数，利用图象来研究本题也不失为一种很好的方法．学生做一做 某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案．甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y （元）与所购买的水果量x （千克）之间的函数关系式，并写出自变量X 的取值范围；（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？并说明理由． 老师评一评 先求出两种购买方案的付款y （元）与所购买的水果量x （千克）之间的函数关系式，再通过比较，探索出结论．（1）甲方案的付款y 甲（元）与所购买的水果量x （千克）之间的函数关系式为y 甲=9x （x ≥3000）；乙方案的付款y 乙（元）与所购买的水果量x （千克）之间的函数关系式为y 乙=8x+500O （x ≥3000）．（2）有两种解法：解法1：①当y 甲=y 乙时，有9x=8x+5000，∴x=5000．∴当x=5000时，两种方案付款一样，按哪种方案都可以．②当y 甲﹤y 乙时，有9x ﹤8x+5000，∴x ＜5000．又∵x ≥3000，∴当3000≤x ≤5000时，甲方案付款少，故采用甲方案．③当y 甲＞y 乙时，有9x ＞8x+5000，∴x ＞5000．∴．当x ＞500O 时，乙方案付款少，故采用乙方案．解法2：图象法，作出y 甲=9x 和y 乙=8x+5000的函数图象，如图11－24所示，由图象可得：当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时，y 甲﹤y 乙,即选择甲方案付款少；当购买量为5000千克时，y 甲﹥y 乙即两种方案付款一样；当购买量大于5000千克时，y 甲＞y 乙，即选择乙方案付款最少．【说明】 图象法是解决问题的重要方法，也是考查学生读图能力的有效途径.例15 一次函数y=kx+b 的自变量x 的取值范围是-3≤x ≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y ≤-2，则这个函数的解析式为 .[分析] 本题分两种情况讨论：①当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，则有：当x=-3，y=-5；当x=6时，y=-2，把它们代入y=kx+b 中可得⎩⎨⎧+=-+-=-,62,35b k b k ∴⎪⎩⎪⎨⎧-==,4,31b k ∴函数解析式为y=-31x-4．②当k ﹤O 时则随x 的增大而减小，则有：当x=-3时，y=-2；当x=6时，y=-5，把它们代入y=kx ＋b 中可得⎩⎨⎧+=-+-=-,65,32b k b b ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,3,31b k ∴函数解析式为y=-31x-3. ∴函数解析式为y=31x-4，或y=-31x-3. 答案：y=31x-4或y=-31x-3. 【注意】 本题充分体现了分类讨论思想，方程思想在一次函数中的应用，切忌考虑问题不全面.中考试题预测例1 某地举办乒乓球比赛的费用y （元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b （元），另一部分与参加比赛的人数x （人）成正比例，当x=20时y=160O ；当x=3O 时，y=200O ．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）动果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？[分析] 设举办乒乓球比赛的费用y （元）与租用比赛场地等固定不变的费用b （元）和参加比赛的人数x （人）的函数关系式为y=kx+b （k ≠0）.把x=20，y=1600；x=30，y=2000代入函数关系式，求出k ，b 的值，进而求出y 与x 之间的函数关系式，当x=50时，求出y 的值，再求得y ÷50的值即可．解：（1）设y 1=b ，y 2=kx （k ≠0，x ＞0），∴y=kx+b ．又∵当x=20时，y=1600；当x=30时,y=2000，∴⎩⎨⎧+=+=,302000,201600b k b k ∴⎩⎨⎧==.800,40b k∴y 与x 之间的函数关系式为y=40x+800（x ＞0）.（2）当x=50时，y=40×50+800=2800（元）．∴每名运动员需支付2800÷50=56（元〕答：每名运动员需支付56元．例2 已知一次函数y=kx+b ，当x=-4时，y 的值为9；当x=2时，y 的值为-3．（1）求这个函数的解析式。

一次函数经典例题20题（最新版）目录1.题目概述2.一次函数的基本概念3.一次函数的性质4.例题解析5.总结正文一次函数经典例题 20 题一次函数是数学中的基本概念之一，它在各个领域的数学问题中都有广泛的应用。

本文将通过 20 个经典例题，介绍一次函数的基本概念和性质，并解析如何解决一次函数的题目。

一、一次函数的基本概念一次函数是指形如 y=ax+b 的函数，其中 a 和 b 是常数，且 a 不等于 0。

在这个函数中，x 的次数为 1，因此称为一次函数。

其中，y 表示函数的输出，x 表示函数的输入，a 表示斜率，b 表示截距。

二、一次函数的性质1.斜率斜率是指函数图像在坐标系中的倾斜程度。

在一次函数 y=ax+b 中，斜率 a 表示函数图像的倾斜程度。

当 a>0 时，函数图像是向上倾斜的;当 a<0 时，函数图像是向下倾斜的。

2.截距截距是指函数图像与坐标轴的交点。

在一次函数 y=ax+b 中，截距 b表示函数图像与 y 轴的交点。

当 b>0 时，函数图像与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上;当 b<0 时，函数图像与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上。

3.函数的单调性一次函数的单调性是指函数值随着自变量的增大或减小而单调增加或单调减少的性质。

当斜率 a>0 时，函数图像是向上倾斜的，函数值随着 x 的增大而单调增加;当斜率 a<0 时，函数图像是向下倾斜的，函数值随着 x 的增大而单调减少。

三、例题解析以下是 20 个一次函数的经典例题及其解析:1.已知函数 y=2x+3，求当 x=2 时的函数值。

解：将 x=2 代入函数 y=2x+3 中，得到 y=2×2+3=7。

2.已知函数 y=-x+7，求当 x=5 时的函数值。

解：将 x=5 代入函数 y=-x+7 中，得到 y=-5+7=2。

3.已知函数 y=3x-2，求函数的斜率。

解：函数的斜率是 3。

一次函数知识点及分类练习题一、一次函数的定义1.若函数y=(k+1)x+k2-1是正比例函数，则k的值为（）A. 0B. ﹣1C. ±1D. 12.若函数是一次函数，则m的值为( )A. B. -1 C. 1 D. 23.下列函数：①y= x，②y=2x-1，③ ，④y=-x中，是一次函数的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.已知函数y=(k－1)x＋k2－1，当k________时，它是一次函数，当k________时，它是正比例函数．二、一次函数的性质5.已知一次函数. 若随的增大而增大，则的取值范围是（）A. B. C. D.6.已知一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围在数轴上表示为（）． A. B.C. D.7.已知(－1，y1)，(1.8，y2)，(- , y3)是直线y = -3x + m (m 为常数)上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是( )A. y3＞y1＞y2B. y1＞y3＞y2C. y1＞y2＞y3D. y3＞y2＞y18.下列图象中，哪个是一次函数的大致图象（）A. B. C. D.9.在一次函数y＝kx＋2中，若y随x的增大而增大，则k________0.(填“>”或“<”)，它的图象不经过第________象限．10.若点P(-3，)，Q(2，)在一次函数的图象上，则与的大小关系是________三、一次函数图像的平移11.直线y=2x+2向下平移4个单位后与x轴的交点坐标是（）A. （0，1）B. （0，-1）C. （-1，0）D. （1，0）12、一次函数的图像先向下平移5个单位后再向右平移4个单位，其函数关系式为13、一次函数能过平移后变为y=-5x+6,其平移过程是14.将一次函数y=﹣2x﹣1的图象沿y轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为________．四、一次函数的求值15.若点A（2，-3）、B(4，3)、C(5，a)在同一条直线上，则a的值是( )A. 6或-6B. 6C. -6D. 6或316.下列哪一个点在直线y=-2x-5上（）A. （2，-1）B. （3，1）C. （-2，1）D. （-1，-3）17.当x=-1时，一次函数y=kx+3的值为5，则k的值为________ ．18.一次函数y=﹣2x+6的图象与x轴交点坐标是________，与y轴交点坐标是________.19.在一次函数中，随的增大而________（填“增大”或“减小”），当时，y的最小值为________.20.在函数y=﹣3x+7中，如果自变量x大于2，那么函数值y的取值范围是________．五、一次函数的解析式21.已知一次函数的图象过点(3,5) 与(-4, -9)，那么这个函数的解析式是________，则该函数的图象与轴交点的坐标为________.22.已知直线经过点﹙1，2﹚和点﹙3，0﹚，这条直线的解析式．23.已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=﹣2时，y=﹣4，求此一次函数的解析式．六、一次函数与方程及不等式的关系24.如图，直线l1的解析式是y＝2x－1，直线l2的解析式是y＝x＋1，则方程组的解是________．25.如图，直线与直线交于P ，则方程组的解是________．26.如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是________．27.已知二元一次方程组的解是，直线y=2x与y=﹣3x+b的交点坐标是________．24题25题26题28.已知二元一次方程组的解是，直线y=2x与y=﹣3x+b的交点坐标是________．七、一次函数的应用29.一次函数y=x+4与坐标轴所围成的三角形的面积为________30、如图，直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连接CQ．若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为________．31.一个一次函数的图象与直线y=﹣2x+1平行，且经过点（﹣2，﹣6），则这个一次函数的解析式为________．32.某养猪专业户利用一堵砖墙（长度足够）围成一个长方形猪栏，围猪栏的栅栏一共长40m ，设这个长方形的相邻两边的长分别为x (m)和y(m)．（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围；（2）若长方形猪栏砖墙部分的长度为5m ，求自变量x 的取值范围．33.如图，直线y=kx+6(k≠0)与x轴，y轴分别交于点E，F，点E的坐标为(-8，0)，点A 的坐标为(-6，0)，点P(x，y)是线段EF上的一个动点（1）求k的值；（2）求点P在运动过程中△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△OPA的面积为9时，求点P的坐标．34.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，直线与轴交于点B，与直线y=2x+3交于点C（-1，n）.（1）求n、k的值；（2）求△ABC的面积.。

中考数学复习----《一次函数之定义、图像与性质》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 一次函数的定义：一般地，形如()0≠+=k b k b kx y 是常数且，的函数叫做一次函数。

2. 一次函数的图像：是不经过原点的一条直线。

3. 一次函数的图像与性质：一次函数与x 轴的交点坐标公式为：⎪⎭⎫ ⎝⎛−0 ，k b；与y 轴的交点坐标公式为：()b ，0。

专项练习题1．（2022•沈阳）在平面直角坐标系中，一次函数y ＝﹣x +1的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】依据一次函数y ＝x +1的图像经过点（0，1）和（1，0），即可得到一次函数y ＝﹣x +1的图像经过一、二、四象限．【解答】解：一次函数y ＝﹣x +1中，令x ＝0，则y ＝1；令y ＝0，则x ＝1， ∴一次函数y ＝﹣x +1的图像经过点（0，1）和（1，0）， ∴一次函数y ＝﹣x +1的图像经过一、二、四象限， 故选：C ．2．（2022•安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax +a 2与y ＝a 2x +a 的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】利用一次函数的性质进行判断．【解答】解：∵y＝ax+a2与y＝a2x+a，∴x＝1时，两函数的值都是a2+a，∴两直线的交点的横坐标为1，若a＞0，则一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a都是增函数，且都交y轴的正半轴，图像都经过第一、二、三象限；若a＜0，则一次函数y＝ax+a2经过第一、二、四象限，y＝a2x+a经过第一、三、四象限，且两直线的交点的横坐标为1；故选：D．3．（2022•辽宁）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图像分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（）A．k1•k2＜0B．k1+k2＜0C．b1﹣b2＜0D．b1•b2＜0【分析】根据一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图像位置，可得k1＞0，b1＞0，k2＞0，b2＜0，然后逐一判断即可解答．【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1的图像过一、二、三象限，∴k1＞0，b1＞0，∵一次函数y＝k2x+b2的图像过一、三、四象限，∴k2＞0，b2＜0，∴A、k1•k2＞0，故A不符合题意；B、k1+k2＞0，故B不符合题意；C、b1﹣b2＞0，故C不符合题意；D、b1•b2＜0，故D符合题意；故选：D．4．（2022•六盘水）如图是一次函数y＝kx+b的图像，下列说法正确的是（）A．y随x增大而增大B．图像经过第三象限C．当x≥0时，y≤b D．当x＜0时，y＜0【分析】根据一次函数的图像和性质进行判断即可．【解答】解：由图像得：图像过一、二、四象限，则k＜0，b＞0，当k＜0时，y随x的增大而减小，故A、B错误，由图像得：与y轴的交点为（0，b），所以当x≥0时，从图像看，y≤b，故C正确，符合题意；当x＜0时，y＞b＞0，故D错误．故选：C．5．（2022•兰州）若一次函数y＝2x+1的图像经过点（﹣3，y1），（4，y2），则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据﹣3＜4即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，∴y随着x的增大而增大．∵点（﹣3，y1）和（4，y2）是一次函数y＝2x+1图像上的两个点，﹣3＜4，∴y1＜y2．故选：A．6．（2022•凉山州）一次函数y＝3x+b（b≥0）的图像一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据一次函数的图像与系数的关系即可得出结论．【解答】解：∵函数y＝3x+b（b≥0）中，k＝3＞0，b≥0，∴当b＝0时，此函数的图像经过一、三象限，不经过第四象限；当b＞0时，此函数的图像经过一、二、三象限，不经过第四象限．则一定不经过第四象限．故选：D．7．（2022•济宁）已知直线y1＝x﹣1与y2＝kx+b相交于点（2，1）．请写出一个b值（写出一个即可），使x＞2时，y1＞y2．【分析】由题意可知，当b＞﹣1时满足题意，故b可以取0．【解答】解：直线y1＝x﹣1与y2＝kx+b相交于点（2，1）．∵x＞2时，y1＞y2．∴b＞﹣1，故b可以取0，故答案为：0（答案不唯一）．8．（2022•上海）已知直线y＝kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：．【分析】根据一次函数的性质，写出符合条件的函数关系式即可．【解答】解：∵直线y＝kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，∴k＜0，b＞0，∴符合条件的函数关系式可以为：y＝﹣x+1（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣x+1（答案不唯一）．9．（2022•无锡）请写出一个函数的表达式，使其图像分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交：．【分析】设函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再根据一次函数的图像分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交可知k＞0，b＞0，写出符合此条件的函数解析式即可．【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵一次函数的图像分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交，∴k＞0，b＞0，∴符合条件的函数解析式可以为：y＝x+1（答案不唯一）．故答案为：y＝x+1（答案不唯一）．10．（2022•湘潭）请写出一个y随x增大而增大的一次函数表达式．【分析】根据y随着x的增大而增大时，比例系数k＞0即可确定一次函数的表达式．【解答】解：在y＝kx+b中，若k＞0，则y随x增大而增大，∴只需写出一个k＞0的一次函数表达式即可，比如：y＝x﹣2，故答案为：y＝x﹣2（答案不唯一）．11．（2022•宿迁）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图像经过点（0，2）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是．【分析】根据甲、乙两位同学给出的函数特征可判断出该函数为一次函数，再利用一次函数的性质，可得出k＜0，b＝2，取k＝﹣1即可得出结论．【解答】解：∵函数值y随自变量x增大而减小，且该函数图像经过点（0，2），∴该函数为一次函数．设一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），则k＜0，b＝2．取k＝﹣1，此时一次函数的表达式为y＝﹣x+2．故答案为：y＝﹣x+2（答案不唯一）．12．（2022•甘肃）若一次函数y＝kx﹣2的函数值y随着自变量x值的增大而增大，则k＝（写出一个满足条件的值）．【分析】根据函数值y随着自变量x值的增大而增大得到k＞0，写出一个正数即可．【解答】解：∵函数值y随着自变量x值的增大而增大，∴k＞0，∴k＝2（答案不唯一）．故答案为：2（答案不唯一）．13．（2022•柳州）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（）A．1B．2C．4D．6【分析】由于P的纵坐标为2，故点P在直线y＝2上，要求符合题意的m值，则P点为直线y＝2与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得．【解答】解：∵点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，∴点P 在直线y ＝2上，如图所示，当P 为直线y ＝2与直线y 2的交点时，m 取最大值， 当P 为直线y ＝2与直线y 1的交点时，m 取最小值， ∵y 2＝﹣x +3中令y ＝2，则x ＝1， y 1＝x +3中令y ＝2，则x ＝﹣1， ∴m 的最大值为1，m 的最小值为﹣1．则m 的最大值与最小值之差为：1﹣（﹣1）＝2． 故选：B ．14．（2022•遵义）若一次函数y ＝（k +3）x ﹣1的函数值y 随x 的增大而减小，则k 值可能是（ ） A ．2B ．23C ．﹣21 D ．﹣4【分析】根据一次项系数小于0时，一次函数的函数值y 随x 的增大而减小列出不等式求解即可．【解答】解：∵一次函数y ＝（k +3）x ﹣1的函数值y 随着x 的增大而减小， ∴k +3＜0， 解得k ＜﹣3．所以k 的值可以是﹣4， 故选：D ．15．（2022•包头）在一次函数y ＝﹣5ax +b （a ≠0）中，y 的值随x 值的增大而增大，且ab ＞0，则点A （a ，b ）在（ ） A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【分析】根据一次函数的增减性，确定自变量x 的系数﹣5a 的符号，再根据ab ＞0，确定b 的符号，从而确定点A （a ，b ）所在的象限．【解答】解：∵在一次函数y ＝﹣5ax +b 中，y 随x 的增大而增大， ∴﹣5a ＞0，∴a ＜0． ∵ab ＞0， ∴a ，b 同号， ∴b ＜0．∴点A （a ，b ）在第三象限． 故选：B ．16．（2022•眉山）一次函数y ＝（2m ﹣1）x +2的值随x 的增大而增大，则点P （﹣m ，m ）所在象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】根据一次函数的性质求出m 的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P 点所处的象限即可．【解答】解：∵一次函数y ＝（2m ﹣1）x +2的值随x 的增大而增大， ∴2m ﹣1＞0， 解得：m ＞，∴P （﹣m ，m ）在第二象限， 故选：B ．17．（2022•天津）若一次函数y ＝x +b （b 是常数）的图像经过第一、二、三象限，则b 的值可以是 （写出一个即可）．【分析】根据一次函数的图像可知b ＞0即可．【解答】解：∵一次函数y ＝x +b （b 是常数）的图像经过第一、二、三象限， ∴b ＞0， 可取b ＝1，故答案为：1．（答案不唯一，满足b ＞0即可） 18．（2022•邵阳）在直角坐标系中，已知点A （23，m ），点B （27，n ）是直线y ＝kx +b（k ＜0）上的两点，则m ，n 的大小关系是（ ） A ．m ＜nB ．m ＞nC ．m ≥nD ．m ≤n【分析】根据k ＜0可知函数y 随着x 增大而减小，再根＞即可比较m 和n 的大小．【解答】解：点A （，m ），点B （，n ）是直线y ＝kx +b 上的两点，且k ＜0，∴一次函数y 随着x 增大而减小， ∵＞，∴m ＜n ， 故选：A ．19．（2022•株洲）在平面直角坐标系中，一次函数y ＝5x +1的图像与y 轴的交点的坐标为（ ） A ．（0，﹣1）B ．（﹣51，0） C ．（51，0） D ．（0，1）【分析】一次函数的图像与y 轴的交点的横坐标是0，当x ＝0时，y ＝1，从而得出答案． 【解答】解：∵当x ＝0时，y ＝1，∴一次函数y ＝5x +1的图像与y 轴的交点的坐标为（0，1）， 故选：D ．20．（2022•绍兴）已知（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3）为直线y ＝﹣2x +3上的三个点，且x 1＜x 2＜x 3，则以下判断正确的是（ ） A ．若x 1x 2＞0，则y 1y 3＞0 B ．若x 1x 3＜0，则y 1y 2＞0C ．若x 2x 3＞0，则y 1y 3＞0D ．若x 2x 3＜0，则y 1y 2＞0【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵直线y ＝﹣2x +3，∴y 随x 的增大而减小，当y ＝0时，x ＝1.5，∵（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3）为直线y ＝﹣2x +3上的三个点，且x 1＜x 2＜x 3， ∴若x 1x 2＞0，则x 1，x 2同号，但不能确定y 1y 3的正负，故选项A 不符合题意； 若x 1x 3＜0，则x 1，x 3异号，但不能确定y 1y 2的正负，故选项B 不符合题意； 若x 2x 3＞0，则x 2，x 3同号，但不能确定y 1y 3的正负，故选项C 不符合题意；若x 2x 3＜0，则x 2，x 3异号，则x 1，x 2同时为负，故y 1，y 2同时为正，故y 1y 2＞0，故选项D 符合题意； 故选：D ．21．（2022•盘锦）点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在一次函数y ＝（a ﹣2）x +1的图像上，当x 1＞x 2时，y 1＜y 2，则a 的取值范围是 ． 【分析】根据一次函数的性质，建立不等式计算即可．【解答】解：∵当x1＞x2时，y1＜y2，∴a﹣2＜0，∴a＜2，故答案为：a＜2．22．（2022•永州）已知一次函数y＝x+1的图像经过点（m，2），则m＝．【分析】由一次函数y＝x+1的图像经过点（m，2），利用一次函数图像上点的坐标特征可得出2＝m+1，解之即可求出m的值．【解答】解：∵一次函数y＝x+1的图像经过点（m，2），∴2＝m+1，∴m＝1．故答案为：1．。