正态分布 - 复旦大学精品课程共42页

2024/1/29
4
正态分布定义及特点
特点
分布的形状由标准差决定，标准 差越小，曲线越陡峭；标准差越 大，曲线越平缓。
定义：正态分布是一种连续型概 率分布，描述了许多自然现象的 概率分布情况。在统计学中，正 态分布又被称为高斯分布。
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曲线呈钟形，对称于均值，且均 值、中位数和众数相等。
正态分布在实际问题中解 决方案
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问题背景描述
2024/1/29
实际问题中，很多数据分布情况呈现出一种钟型曲线， 即正态分布。 正态分布在自然界、社会科学、工程技术等领域都有广 泛应用。
掌握正态分布的性质和参数估计方法，对于解决实际问 题具有重要意义。
25Βιβλιοθήκη 解决方案设计思路确定问题背景和数据来源，对数据进行 收集和整理。
02
正态分布是一种连续型概率 分布，具有钟形曲线特征。
03
正态分布的概率密度函数由 均值和标准差决定。
29
关键知识点总结回顾
正态分布具有对称性 、可加性和稳定性等 重要性质。
标准正态分布是均值 为0、标准差为1的正 态分布。
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标准正态分布及其性 质
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关键知识点总结回顾
标准正态分布的概率密度函数具有标准形式，便于计算和分析。
如果数据符合正态分布，则可以利用正 态分布的性质和参数估计方法，对数据
进行建模和分析。
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利用统计分析方法，对数据进行描述性 统计和推断性统计，判断数据是否符合 正态分布。 根据建模结果，对实际问题进行解释和 预测，提出相应的解决方案。
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具体实施步骤和结果展示

创设情景，引入新课
你见过高尔顿板吗 ? 图2. 4 1 所示的就是一块高尔顿 板示意 图.在一块木板上钉上若干 排相 互平行但相互错开的圆柱 形小 木块,小木块之间留有适当的空 隙作为通道, 前面挡有一块玻璃. 图2.4 1 让一个小球从高尔顿板 上方的 通道口落下,小球在下落过 程中 . 与层层小木块碰撞, 最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
m
正态曲线下的面积规律
对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
m
x2 x1
5、特殊区间的概率:
若X~N
( m , s 2 ),则对于任何实数a>0,概率
m + a
P( m s X m s ) 0.6826, P( m 2s X m 2s ) 0.9544, P( m 3s X m 3s ) 0.9974.
P( m s X m s ) 0.6826, P( m 2s X m 2s ) 0.9544, P( m 3s X m 3s ) 0.9974.
a
b
2、正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
P(a X b) m ,s ( x)dx
a
b
则称为X 的正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定. 正态分布记作N（ μ，σ2）.其图象称为正态曲线.
如果随机变量X服从正态分布， 则记作 X~ N（ μ，σ2）

详细描述
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象

词了．例如，我们常提起学生的考试成绩是不是正态分布，
某个城市的家庭收入是不是正态分布，等等．那么，究竟什
么是正态分布呢？平日所说的正态分布，大体上是指数据对
称地分布在某个中心值两边，且离中心值越远，分布得越少
一包米的外包装上标示的 5 0 0 0 g，但实际上是有误差的．假设包
装米的公司没有故意偷工减料，计量员精确地检测所有在售的该种米，
大？（结果精确到０．１％）
解用x表示糖果质量，由题意，可知X ～N
（500, 2.52）．要求｜X －500｜＞５的概率，
X 500
即求（｜
P
X －５００｜＞５）的值．令Y=
则Y ～N
（0.1）．因此，有
2.5
即误差超过５g的可能性约是％．
例６ 设X为任取的某袋有包装误差的产品的质量，X～N（μ，σ２）．
分别求｜X－μ｜＜σ，｜X－μ｜＜２σ及｜X－μ｜＜３σ的概率．
（结果精确到０．１％）
解令
那么P（｜X－μ｜＜σ）＝P（｜Y｜＜１）．而P（｜Y｜＜１）是标准正
态分布的密度函数在区间（－１，１）上的面积，它等于函数在区间
（－∞，１）上的面积减去在区间（－∞，－１）上的面积．这样，就
有
同样，
因此，随意购买一袋该产品，约有６８．３％的可能性其质量在μ左
也可以通过某些型号的计算器来查它或者它的反函数的值，如
容易验证y＝φ（ｘ）是一个偶函数，所以该函数在区间
（－∞，－r）上的面积等于其在区间（r，＋∞）上的面积，如
图７-３-５所示．此外，由于y＝φ（r）与r轴所围面积为１，因此
y＝Φ（r）满足
如果X～N（μ，σ２），那么将X 平移再伸缩后将服从标准正
右σ的范围内；约有９５．４％的可能性其质量在μ左右２σ的范围内；

在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度 以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（μ－σ，μ＋σ]
0.6826
（μ－2σ，μ＋2σ]
0.9544
（μ－3σ，μ＋3σ]
0.9974
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（4）曲线与x轴之间的面积为1.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
（5）若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
5、特殊区间的概率:
m-a
m+a
x=μ
若X~N ,则对于任何实数a>0,概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
0.15
[1.5,2)
22
0.22
[2,2.5)
25
0.25
[2.5,3)
14
0.14
[3,3.5)
6
0.06
[3.5,4)
4
0.04
[4,4.5)
2
0.02
11
高尔顿钉板实验的 频率分布直方图
这条曲线具有 “中间高，两头低” 的特征，像这种类型的曲线, 就是（或近似地是）以下函数的图像:

正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。

通过样本数据可以估计总体的均值、方差等 参数，进而对总体进行推断和分析。
假设检验
质量控制
在假设检验中，通常需要比较样本数据与某 个理论分布的差异，中心极限定理提供了理 论依据。
在工业生产等领域中，可以利用中心极限定 理对产品质量进行监控和预测。
03
正态分布在各领域应用举例
自然科学领域应用
1 2
描述自然现象的概率分布 正态分布可以描述许多自然现象的概率分布情况， 如身高、体重、智商等的分布情况。
根据显著性水平和自由度 确定t分布的临界值，进 而确定拒绝域。
将计算得到的t统计量与 拒绝域进行比较，若t统 计量落在拒绝域内，则拒 绝原假设，否则接受原假 设。
配对样本t检验原理及步骤
01
02
03
04
05
原理：配对样本t检验是 提出假设：设立原假设 用于比较同一组受试者 （H0）和备择假设 在两个不同条件下的测 （H1），原假设通常为 量值是否存在显著差异 两个测量值的均值相等。 的统计方法。它基于正 态分布假设和配对设计， 通过计算t统计量来推断 两个测量值的差异是否 显著。
设立原假设（H0）和备择假 设（H1），原假设通常为样 本均值等于总体均值。
计算t统计量，公式为t=(样 本均值-总体均值)/标准误， 其中标准误=样本标准差/根 号n。
根据显著性水平和自由度确 定t分布的临界值，进而确 定拒绝域。
将计算得到的t统计量与拒 绝域进行比较，若t统计量 落在拒绝域内，则拒绝原假 设，否则接受原假设。
06
非参数检验在处理非正态数据 时应用
非参数检验方法简介
非参数检验的概念
非参数检验是一种基于数据秩次的统计推断方法，它不依赖于总 体分布的具体形式，因此适用于处理非正态数据。

[一点通] 解答此类问题的关键在于充分利用正态 曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概 率进行转化，在此过程中注意数形结合思想的运用．
3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.
解析：若随机变量 X～N(μ，σ2)，则其正态密度曲 线关于 x＝μ 对称，故 P(X≤μ)＝12. 答案：12
1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数 f(x)的图象，
且
f(x)＝
1 8πe
(
x
10 )2 8
，则这个正态总体的均值与标准差
分别是
()
A．10 与 8
B．10 与 2
C．8 与 10
D．2 与 10
解析：由正态曲线 f(x)＝
1 2πσe
(
x )2 8
知，
2πσ＝ 8π， μ＝10，
即 μ＝10，σ＝2.
[例3] (10分)据调查统计，某市高二学生中男生的身高 X(单位：cm)服从正态分布N(174,9)．若该市共有高二男生3 000人，试估计该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数．
[思路点拨] 因为μ＝174，σ＝3，所以可利用正态分布 的性质可以求解．
[精解详析] 因为身高X～N(174,9)，
4．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝ P(X<c－1)，则c＝________.
解析：∵μ＝2，P(X>c＋1)＝P(X<c－1)， ∴c＋1＋2 c－1＝2，解得 c＝2. 答案：2
5．若X～N(5,1)，求P(5<X<7)．
解：∵X～N(5,1)，∴μ＝5，σ＝1. 因为该正态曲线关于 x＝5 对称， 所以 P(5<X<7)＝12P(3<X<7)＝12×0.954 4＝0.477 2.

；
• 特别地有：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0.6862 ；
• P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.9544 ；
• P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.9974 .
[答案] B
[解析] 仔细对照正态分布密度函数：f(x)＝ 21πσe－
(x－μ)2
2σ2 (x∈R)，注意指数 σ 和系数的分母上的 σ 要一致，以及
正态分布
• 1．当样本容量无限增大时，它的频率分 布直方图 无限接近于 一条总体密度曲 线，在总体所在系统相对稳定的情况下， 总体密度曲线就是或近似地是以下函数的 图象：
• 其中μ和σ(σ>0)为参数．我们称φμ，σ(x)的图 象为 正态分布密度曲线，简称 正态曲线 ．
• (4)曲线与x轴之间的面积为 1 ；
• (5) 当 σ 一 定 时 ， 曲 线 随 μ 的 变 化而沿 x 轴 平移；
• (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定：σ越小，
曲线越“
瘦高”，表示总体的分布越
集中 ；σ越大，曲线越“
矮胖 ”，表示
总体的分布越 分散 ．
• 4．若X～N(μ，σ2)，则对任何实数a>0，概
率P(μ－a<X≤μ＋a)＝
称 性 得 P(3<X≤4) ＝ P(6<X≤7) ， 所 以
P(6<X≤7)＝
＝0.1359.
• [点评] 解此类题首先由题意求出μ及σ的
值，然后根据三个特殊区间上的概率值及
正态曲线的特点(如对称性，与x轴围成的 面积是1等)进行求解．
• [例5] 某年级的一次信息技术测验成绩近 似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于 60分为不及格，求：

_N__(μ_，__σ2_)_．
批注❶ 概率密度曲线能反映随机变量X的取值规律以及它取值在
某个区间的概率，它所起到的作用与离散型随机变量分布列的作用是
相同的．
要点二 正态分布密度曲线的特点
1．曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
2．曲线是单峰的，它关于直线___x_＝_μ___对称；
3．p(x)在___x_＝_μ___处达到最大值
1；
2πσ
4．当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
5．σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越尖陡；
6．曲线与x轴之间所夹区域的面积等于____1____．
要点三 正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)❷，则E(X)＝____μ____， D(X)＝____σ_2___．
批注❷ 特别地，数学期望μ＝0，方差σ2＝1时的正态分布为标准正 态分布．
答案：AD
解析：由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等， 由正态密度曲线的性质， 可知σ越大， 正态曲线越扁平；σ越小， 正态曲线越尖陡， 故三科总体的标准 差从小到大依次为甲、乙、丙.
题型 2 正态分布的概率计算 例2 设X～N(1，22)，试求： (1)P(－1＜X≤3)； (2)P(3＜X≤5)．
4 ． 已 知 随 机 变 量 X ～ N(μ ， σ2) ， 若 P(X< － 1) ＝ P(X>5) ， 则 μ ＝ ____2____．
解析：因为P(X<－1)＝P(X>5)，故μ＝−12+5＝2.
题型探究·课堂解透
题型 1 正态曲线的应用 例1 已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如
答案：D
解析：因为X～N(4，σ2)，所以直线X＝4为正态分布的对称轴，所以P(X<4)＝12.

收集数据
从实际问题中收集相关数据，如某产品的质量指 标数据。
数据拟合
使用正态分布函数对数据进行拟合，判断数据是 否符合正态分布特征。
参数估计
采用最大似然估计等方法，估计出正态分布的均 值和标准差等参数值。
案例分析：某产品质量指标服从正态分布检验
案例背景介绍
介绍某产品的质量指标数据及其背景信息。
正态性检验
选举结果预测 在政治学中，选举结果的预测也往往基于正态分布模型， 通过分析选民的支持率和投票行为来预测选举结果。
经济金融数据中正态分布检验
在金融市场中，股票价格的波动往往呈现出正态分布 的特点，即大部分价格波动都集中在平均值附近，而
极端波动出现的概率很小。
输入 收益标率题分布
在投资组合理论和风险管理中，收益率的分布也往往 假设为正态分布，以便进行风险度量和资产配置。
连续型随机变量及其性质
均匀分布
均匀分布是描述在某一区间内取值的随机变量，其取值具有等可能性。
指数分布
指数分布是描述无记忆性的随机变量的概率分布，常用于可靠性分析 和排队论中。
正态分布
正态分布是描述连续型随机变量的最重要的一种分布，具有对称性和 集中性等特点，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
其他连续型随机变量
概率分布的概念
概率分布用于描述随机变量取不同值 的概率规律，包括离散型概率分布和 连续型概率分布。
离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量取值为有限个或可数 个，其概率分布通常用分布列表示。
连续型随机变量的概率分布
连续型随机变量取值充满某个区间， 其概率分布用概率密度函数表示。
期望与方差
期望的概念
方差的概念
利用正态分布性质，识别 并处理回归模型中的异常 值。

范围为-∞～x时所对应的正态曲线下的面积占
总面积的比例，F(x)实际上反映了随机变量X
取值范围为-∞～x的概率大小，因此，称该正
态分布为随机变量X的概率分布。
二、正态分布曲线下的面积
❖ 例 设某地成年男性身高的均数为170cm，标 准差为7cm，假设该地共有成年男性10 000人， 求该地身高不超过160cm者有多少人？又该地身 高在160cm～180cm之间者共有多少人？
X占的百
分比(%)
68.27
95.00
99.00
四、正态分布的应用
❖（一）估计频数分布 ❖（二）制定参考值范围 ❖（三）质量控制 ❖（四）正态分布是许多统计方法的理论基
础
四、正态分布的应用
❖（三）利用正态分布进行质量控制
❖
由于随机测量误差的分布符合以0为中
心的正态分布，假如对同一份样品采用同样的
❖ 男女身高的频数分布图形的比较：
❖
1.共同点：
❖
男女在不同身高的频数分布均为完全对称的钟
形分布，以均数所在处频数最多，两侧逐渐减少。
❖
2.不同点：
❖ ①位置不同，男性身高的均数大于女性，故图形 靠右；
❖ ②高低不同，男性身高的方差大于女性，故变量 值更分散，图形更低平。
医学上脑血管疾病的问题
临床发现脑中风病人在脑血流图 （CBF）指标偏低，正常人的CBF平 均为75，标准差为17，如CBF低于 40，认为有中风的危险。
如用CBF低于40为界限,问一个脑血流 图正常（无中风）被错误诊断中风的 概率为多少？
求：p（x≤40）的概率。
二、正态分布曲线下的面积
❖ 如果以曲线下的总面积为1，则从-∞至x 的面积可用下列积分公式求得：

医学研究
正态分布经常被用来描述人体的生理指标，例 如血压、体重、心率和血糖等。
工程技术
正态分布在工程技术中也有着很重要的应用， 例如在质量控制和可靠性分析中。
正态分布在数据分析中的应用
偏度和峰度
使用偏度和峰度帮助了解正态 分布的形状和分布。偏度描述 了平均值分布在曲线的何处， 而峰度则描述了曲线的陡峭程 度。
正态分布在适用性和排除异常值方面存在一 些限制。如果样本不符合正态分布，此时用 正态分布进行分析可能会导致错误的结论。
Hale Waihona Puke 正态分布的常用假设及检验假设检验
假设检验是指在一定的显著水平下，对总体参数提 出假设，并根据样本数据的分布，用统计学方法判 断原假设是否成立。
P值
P值是在假设检验中使用的一个统计量，通常一起出 现的是显著性水平。 p值是落在拒绝域的概率，越小 说明差异越显著。
正态分布优缺点
1 优点
2 缺点
正态分布具有左右对称性，易于使用和理解， 广泛适用于各行各业的数据分析。
中心极限定理
中心极限定理告诉我们，样本 均值的分布逼近于正态分布， 无论样本分布如何。这意味着 我们可以在特定条件下使用正 态分布来预测总体分布。
置信区间
使用正态分布来计算置信区间。 在数据分析中，置信区间是指 根据样本数据计算出的一个区 间，以此来推测总体参数的范 围。
正态分布的概率计算方法
1
累积分布函数
正态性检验方法
正态Q-Q图
Q-Q图是通过将样本数据分布和正态分布进行比较来检验正态性的。如果点的分布趋近于一 条直线，则样本数据符合正态分布。
Shapiro-Wilk检验
Shapiro-Wilk检验是一种经典的正态性检验方法。该检验基于样本数据的偏度、峰度、样本 大小和简单随机抽样的原则，可以判断样本数据是否符合正态分布。

矩估计
定义
矩估计法是利用样本矩估计总体矩的一种方法。
原理
基于概率论中的矩理论，通过样本矩来估计总体 矩。
方法
首先需要计算样本的一阶矩（均值）和二阶矩（ 方差），然后用样本矩来估计总体矩。
贝叶斯估计
定义
01
贝叶斯估计法是通过贝叶斯定理来估计参数的方法。
原理
02
基于概率论中的贝叶斯定理，通过已知的先验概率和样本信息
应用
累积分布函数在统计学中 有广泛应用，如概率模拟 、置信区间的计算等。
正态分布的分位数函数
定义
正态分布的分位数函数是Φ(x) = (1/2) * [1 + erf(x / (√(2) * σ))] ，其中erf是误差函数。
解释
分位数函数描述了随机变量取值大于等于x的概率，即Φ(x) = P(X >= x)。
预测
正态分布还被用于时间 序列数据的预测，例如 在ARIMA模型中，差分 项通常假定服从正态分 布。
状态空间模型
在状态空间模型中，正 态分布被用于描述系统 扰动项的分布，以确保 模型的有效性和准确性 。
在金融风险管理中的应用
风险度量
正态分布被广泛用于金融风险度量，例如在计算VaR（风险价值 ）时，通常假定回报率服从正态分布。
率密度函数为f(x)
=
(1/√(2πσ^2)) * exp(-(x-
μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ
为标准差。
正态分布的特点
钟形曲线
正态分布的曲线呈钟形，左右对 称，最高点位于均值μ处，而标准 差σ则决定了曲线的宽度和扁平程
度。
连续性
正态分布是一种连续型概率分布， 其概率密度函数在全实数域上定义 。

2024/1/27
体重
同样地，人类体重也呈现 正态分布，过重或过轻的 人相对较少。
其他生理指标
如血压、心率等生理指标， 在正常情况下也服从正态 分布。
12
考试成绩、智商等心理指标分布情况
考试成绩
在教育领域，学生的考试 成绩往往呈现正态分布， 中等成绩的学生最多，高 分和低分的学生较少。
2024/1/27
2024/1/27
结果解释
根据检验结果，解释两组数据是 否存在显著差异，并结合实际背
景进行讨论。
22
06
正态分布在生活中的应用举例
2024/1/27
23
质量控制领域应用举例
01
产品规格设定
在制造业中，正态分布用于设定产品规格。通过对产品特性进行统计分
析，可以确定产品特性的均值和标准差，进而设定合理的上下规格限。
02
过程能力分析
正态分布也用于评估生产过程的能力。通过计算过程能力指数（如Cp
和Cpk），可以了解生产过程是否稳定，并确定是否需要采取改进措施。
2024/1/27
03
不合格品率控制
在质量控制中，正态分布可用于预测和控制不合格品率。通过对历史数
据进行统计分析，可以估计不合格品率的均值和标准差，并设定相应的
描述性统计量计算
均值（Mean）：表示数据的“中心” 或“平均”水平，计算方法是所有数 值之和除以数值个数。
偏度（Skewness）：描述数据分布 形态的偏斜程度，正偏态表示数据向 右偏，负偏态表示数据向左偏。
2024/1/27
标准差（Standard Deviation）：衡 量数据分布的离散程度，即数据偏离 均值的程度，计算方法是方差的平方 根。

(1)如何描述这100个样本误差数据的分布？ (2)如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布？
观察图形可知：误差观测值有正有负．并大 致对称地分布在X=O的两侧，而且小误差比 大误差出现得更频繁．
如何画频率分布折线图？
随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,由频 率的稳定性可知,频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光 滑的钟形曲线，如图7.5-2所示
(4)曲线在_x___μ__处达到峰值σ
1； 2π
(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近__x_轴_．
中间高 两头低 左右对 称
4.正态分布的特征
思考一个正态分布由参数 和 完全确定，这两个参数对正态曲
线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？
(1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定．曲线随着μ的变化而沿x_轴___
总体密度曲线
y=f(x)?
根据频率与概率的关系，可用图 7.5-3中的钟形曲线（曲线与水平 轴之间的面积为 1 ) 来描述袋装食盐质量误差的概率分布．例如, 任意抽取一袋食盐，误差落在[-2,-1]内的概率，可用图中黄色阴影 部分的面积表示．
1.正态密度函数（简称正态曲线）
若 f(x)＝__σ__12_π__e_－_（_x－ 2_σ_μ2）_2_，x∈R，其中μ∈R，σ>0 为参数，我们
解:(1)随机变量X的样本均值为30,样本标准差为6;随机变量Y的样
本均值为34,样本标准差为2.用样本均值估计参数 ,用样本标准
差估计参数 可以得到
X ~ N 30,62 , Y ~ N 34,22 ,
三、例题讲解
例1李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了 50 次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车 平均用时30min ，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本 方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布． (1)估计X,Y的分布中的参数； (2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密 度曲线； (3)如果某天有38min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天 只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由． (2)X和Y的分布密度曲线如图 (3)应选择在给定时间内不迟到的概率 大的交通工具．由图7.5一7可知，

()
A．0
B．σ
C．－μ
D．μ
答案:D
题型一 正态分布下的概率计算
例1 设X～N(1,22),试求: (1)P(－1＜X≤3);(2)P(3＜X≤5)． 【解】 因为X～N(1,22),所以μ＝1,σ＝2. (1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2) ＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6.
示总体的分布越分散．
3．正态分布 一般地,如果对于任何实数 a＜b,随机变量 X 满足 P(a＜
X≤b)＝___ab_φ_μ_，_σ_x__d_x__,则称随机变量 X 服从正态分布．
正态分布完全由参数__μ__和___σ_确定,因此正态分布常记
作 _N_(_μ_,σ__2)___． 如 果随 机 变量 X 服 从 正 态分 布 ,则 记 为 _X__～__N_(_μ_,_σ_2)__．
(2)因为 P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1), 所以 P(3＜X≤5) ＝12[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)] ＝12[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)] ＝12[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)] ＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.
【名师点评】 对于正态分布N(μ,σ2),由x＝μ是正态曲 线的对称轴知: (1)对任意的a,有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a); (2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0); (3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．
题型二 正态分布的实际应用
例2 某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态 分布N(70,102),如果规定低于60分的学生 为不及格学 生． (1)成绩不及格的人数占多少？ (2)成绩在80～90之间的学生占多少？ 【 解 】 (1) 设学 生的 得分 情况 为随 机变 量 X,则 X～ N(70,102),其中 μ＝70,σ＝10. 在 60 到 80 之间的学生占的比为 P(70－10<X≤70＋10)＝ 0.682 6＝68.26%, ∴不及格的学生所占的比为12×(1－0.682 6)＝0.158 7＝ 15.87%.

(2)如图所示是一个正态曲线,其解析式为f(x)=
1
e
(
x)2
， 22
试根据该图象写出其正态分布参数μ,
σ22的 值.
【解题指南】(1)正态曲线沿着横轴方向水平移动只改 变对称轴位置,曲线的形状没有改变,所得的曲线依然是 正态曲线. (2)给出了一个正态曲线,就给出了该曲线的对称轴和最 大值,从而就能求出总体随机变量的均值、方差.
矮胖
分散
3.正态分布及正态变量在三个特殊区间内取值的概率: (1)正态分布: ①如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X ≤b)=_________,则称随机变量X服从正态分布.
②记为:ab X～, Nx(_d_x____).
μ,σ2
(2)正态变量在三个特殊区间内取值的概率:
130分及以上的人数为54×0.15865≈9(人).
【方法总结】 1.生活中常见的正态分布 (1)在生产中,各种产品的质量指标一般都服从正态分 布. (2)在测量中,测量结果、测量的随机误差都服从正态 分布.
(3)在生物学中,同一群体的某种特征都服从正态分布. (4)在气象中,某地每年某月份的平均气温、平均湿度、 降雨量等都服从正态分布.
类型一 正态分布的概念与性质 【典例1】(1)把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动 2个单位,得到一条新的曲线C2,下列说法中不正确的 是( ) A.曲线C2仍然是正态曲线 B.曲线C1和曲线C2的最高点的纵坐标相等
C.以曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C1为 概率密度曲线的总体的均值大2 D.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为 概率密度曲线的总体的方差大2
正态分布
主题 正态分布 1.由函数φμ,σ(x)= 1 e（x22）2,x∈(-∞,+∞)的解析式,