2018年考研数学三真题与答案解析

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及答案解析一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.(1)下列函数中，在0x =处不可导的是（）(A)()sin f x x x =(B)()sin f x x =(C)()cos f x x =(D)()f x =【答案】（D）【解析】根据导数的定义：（A）sin limlim0,x x x x x x →→== 可导；（B）0,x x →→==可导；（C）1cos 12limlim0,x x xx x→→--==可导；（D）000122limlim,x x x xx x→→→-==极限不存在，故选D。

(2)()[]()10,10,f x f x dx =⎰设函数在上二阶可导，且则（）(A)1()0,()02f x f '<<当时(B)1()0,()02f x f ''<<当时(C)1()0,()02f x f '><当时(D)1()0,(02f x f ''><当时【答案】（D ）【解析】2111()11()()()()(,2222!22f f x f f x x x ξξ'''=+-+-介于，之间，故1111220000120111()11()10=()()(()((2222!222!2()11()0()0,()0..2!22f f f x dx f f x dx x dx f x dxf f x x dx f D ξξξ'''''=+-+-=+-''''>⇒-><⎰⎰⎰⎰⎰由于所以，应选(3)设()(2222222211,,1,1x x xM dx N dx K dx x e ππππππ---++===++⎰⎰⎰则（）(A)M N K >>(B)M K N >>(C)K M N >>(D)K N M>>【答案】（C）【解析】22222222222(1)122=(1).111x x x x M dx dx dx x x x πππππππ---+++==+=+++⎰⎰⎰22222111(0)11xxxxx e x N dx dx Mee πππππ--+++<≠⇒<⇒=<=<⎰⎰2222=11K dx dx M πππππ-->==⎰⎰（,K M N >>故应选C 。

考研数学三历年真题答案与解析|模拟试题展开全文第一部分历年真题及详解2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2009年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解详解2013年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2015年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2016年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2017年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2018年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2019年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解（2）模拟试题及详解部分：精选了3套模拟试题，且附有详尽解析。

考生可通过模拟试题部分的练习，掌握最新考试动态，提前感受考场实战。

第二部分模拟试题及详解全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（一）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（二）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（三）第一部分历年真题及详解解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

）1设函数f（x）在区间[－1，1]上连续，则x＝0是函数的（）。

A．跳跃间断点B．可去间断点C．无穷间断点D．振荡间断点【答案】B查看答案【考点】函数间断点的类型【解析】首先利用间断点的定义确定该点为间断点，然后利用如下的间断点的类型进行判断。

第一类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与均存在，则称x＝x0为函数f（x）的第一类间断点，其中：①跳跃型间断点：②可去型间断点：第二类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与之中至少有一个不存在，则称x＝x0为函数f（x）的第二类间断点，其中：①无穷型间断点：与至少有一个为∞；②振荡型间断点：或为振荡型，极限不存在。

2018考研数学三真题及答案一、 选择题1.下列函数中,在 0x =处不可导的是()().sin A f x x x = ().B f x x =().?C f x cos x = ().D f x =答案:() D 解析:方法一:()()()000sin 0limlim lim sin 0,x x x x x x f x f x x xx A →→→-===可导 ()()()0000limlim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导()()()20001cos 102limlim lim 0,x x x x x f x f x x C x→→→---===可导 ()()()000102limlim x x x x f f x xD x →→→--==不存在,不可导 应选()D . 方法二:因为()(1)0f f x ==()()000102lim limx x x x f x f x x→→→--==不存在 ()f x ∴在0x =处不可导,选()D对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导 对()()32:~?B f x x x =在 0x =处可导 对()():x x C f cos =在 0x =处可导. 2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且()10,f x dx =⎰则()()1'0,02A f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02B f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭当时 ()()1'0,02C f x f ⎛⎫><⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02D f x f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭当时 答案()D【解析】将函数()f x 在12处展开可得()()()()()222111000''1111',22222''1111111''',22222222f f x f f x x f f x dx ff x x dx f f x dx ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰故当''()0f x >时,()111.0.22f x dx f f⎛⎫⎛⎫>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰从而有选()D 。

2018年考研数学三真题及答案一、 选择题1.下列函数中,在 0x =处不可导的是()().sin A f x x x = ().B f x x =().?C f x cos x = ().D f x =答案:() D 解析:方法一:()()()000sin 0limlim lim sin 0,x x x x x x f x f x x xx A →→→-===可导 ()()()0000limlim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导()()()20001cos 102limlim lim 0,x x x x x f x f x x C x→→→---===可导 ()()()000102limlim x x x x f f x xD x →→→--==不存在,不可导 应选()D . 方法二:因为()(1)0f f x ==()()000102lim lim x x x x f x f x x→→→--==不存在 ()f x ∴在0x =处不可导,选()D 对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导 对()()32:~?B f x xx x =在 0x =处可导对()():x x C f cos =在 0x =处可导.2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且()10,f x dx =⎰则()()1'0,02A f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02B f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭当时 ()()1'0,02C f x f ⎛⎫><⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02D f x f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭当时 答案()D【解析】将函数()f x 在12处展开可得()()()()()222111000''1111',22222''1111111''',22222222f f x f f x x f f x dx ff x x dx f f x dx ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰故当''()0f x >时,()1011.0.22f x dx f f⎛⎫⎛⎫>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰从而有选()D 。

2018年考研（数学三）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．下列函数中，在x=0处不可导的是( )A．f(x)=|x|sin|x|B．C．f(x)=cos|x|D．正确答案：D解析：对D选项，由于f+’(0)≠f-’(0)，因此f(x)在x=0处不可导．2．设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01f(x)dx=0，则( )A．当f’(x)＜0时，B．当f”(x)＜0时，C．当f’(x)＞0时,D．当f”(x)＞0时，正确答案：D解析：对于A选项：．此时f’(x)=一1＜0，但对于B、D选项：，由∫01f(x)dx=0，可得当f”(x)=2a＜0时，=b＞0；当f”(x)=2a＞0时，对于C选项：取f(x)=此时f’(x)=1＞0，但故D选项正确．3．设则( )A．M＞N＞KB．M＞K＞NC．K＞M＞ND．K＞N＞M正确答案：C解析：由于而由定积分的性质，可知即K＞M＞N．故C选项正确．4．设某产品的成本函数C(Q)可导，其中Q为产量，若产量为Q0时平均成本最小，则( )A．C’(Q0)=0B．C’(Q0)=C(Q0)C．C’(Q0)=Q0C(Q0)D．Q0C’(Q0)=C(Q0)正确答案：D解析：平均成本函数其取最小值时，则导数为零，即从而C’(Q0)Q0—C(Q0)=0，即C’(Q0)Q0=C(Q0)．5．下列矩阵中，与矩阵相似的为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：本题考查矩阵相似的定义及相似矩阵的性质(相似矩阵的秩相等)．若存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则A～B．从而可知E一A～E一B，且r(E—A)=r(E一B)．设题中所给矩阵为A，各选项中的矩阵分别为B1，B2，B3，B4．经验证知r(E—B1)=2，r(E—B2)=r(E一B3)=r(E—B4)=1．因此A～B1，即A相似于A选项下的矩阵．6．设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)表示分块矩阵，则( )A．r(A，AB)=r(A)B．r(A，BA)=r(A)C．r(A，B)=max{r(A)，r(B)}D．r(A，B)=r(AT，BT)正确答案：A解析：解这道题的关键，要熟悉以下两个不等关系．①r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；②r(A，B)≥max{r(A)，r(B)}．由r(E，B)=n，可知r(A，AB)=r(A(E，B))≤min{r(A)，r(E，B)}=r(A)．又r(A，AB)≥max{r(A)，r(AB)}，r(AB)≤r(A)，可知r(A，AB)≥r(A)．从而可得r(A，AB)=r(A)．7．设f(x)为某分布的概率密度函数，f(1+x)=f(1—x)，∫02f(x)dx=0．6，则P{X＜0}=( )A．0．2B．0．3C．0．4D．0．6正确答案：A解析：由于f(1+x)=f(1一x)，可知f(x)图像关于x=1对称．而∫02f(x)dx=0.6，可得8．已知X1，X2，…Xn(n≥2)为来自总体N(μ，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，，则( )A．B．C．D．正确答案：B解析：解这道题，首先知道t分布的定义．假设X服从标准正态分布N(0，1)，Y服从χ2(n)分布，则的分布称为自由度为n的t分布，记为Z～t(n)．填空题9．曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是_______．正确答案：y=4x一3解析：首先求得函数f(x)=x2+2lnx的定义域为(0，+∞)．求一阶、二阶导，可得f’(x)=令y”=0，得x=1．当x＞1时f”(x)＞0；当x＜1时f”(x)＜0．因此(1，1)为曲线的拐点．点(1，1)处的切线斜率k=f’(1)=4．因此切线方程为y一1=4(x一1)，即y=4x一3．10．正确答案：解析：本题考查分部积分法。

考研数学三模拟题2018年(4) (总分100, 做题时间90分钟) 解答题 1.若随机变量序列X 1 ，X 2 ，…，X n ，…满足条件 证明：{X n }服从大数定律．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 1.5 【证】由切比雪夫不等式，对任意的ε＞0有所以对任意的ε＞0，故{X n }服从大数定律． 2.某计算机系统有100个终端，每个终端有20%的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有10个或更多个终端在使用的概率．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 1.5【解】设则同时使用的终端数所求概率为3.设X 1 ，X 2 ，…，X n 为总体X 的一个样本，EX=μ，DX=σ 2 ＜∞，求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 1.5【解】 进而有从装有1个白球，2个黑球的罐子里有放回地取球，记 这样连续取5次得样本X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 ．记Y=X 1 +X 2 +…+X 5 ，求：SSS_TEXT_QUSTI4.Y的分布律，EY，E(Y 2 )；该题您未回答:х该问题分值: 1.75【解】Y是连续5次取球中取得黑球的个数，所以从而SSS_TEXT_QUSTI5.，E(S 2 )(其中，S 2分别为样本X1，X2，…，X5的均值与方差)．该题您未回答:х该问题分值: 1.75【解】由于X的分布律为所以6.若X～χ 2 (n)，证明：EX=n，DX=2n．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】因X～χ 2 (n)，所以X可表示为其中X1，X2，…，Xn相互独立，且均服从N(0，1)，于是7.已知X～t(n)，求证：X 2～F(1，n)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】X～t(n)，则X可表示为其中Z～N(0，1)，Y～χ 2 (n)且Z，Y相互独立，又Z 2～χ 2 (1)，于是8.设X1，X2，…，Xm，Y1，Y2，…，Yn独立．Xi～N(a，σ 2 )，i=1，2，…，m，Yi～N(b，σ 2 )，i=1，2，…，n，而α，β为常数．试求的分布．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】由于Xi ～N(a，σ 2 )，i=1，2，…，m，Yi～N(b，σ 2 )，i=1，2，…，n，且X1，X2，…，Xm，Y1，Y2，…，Yn相互独立，则也服从正态分布．所以9.一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球数之比为a:1．现有放回的一个接一个地抽球，直至抽到黑球为止，记X为所抽到的白球个数．这样做了n次以后，获得一组样本：X1，X2，…，Xn基于此，求未知参数a的矩估计和最大似然估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】由题意知，随机变量X的分布律为令解得对于给定的样本X1，X2，…，Xn，似然函数为取对数，得令得解得10.罐中有N个硬币，其中有θ个是普通硬币(掷出正面与反面的概率各为0.5)，其余N-θ个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复n次，若掷出0次、1次、2次正面的次数分别为n0，n1，n2，利用(1)矩法；(2)最大似然法，求参数θ的估计量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设X为“连掷两次正面出现的次数”，A={取出的硬币为普通硬币}，则即X的分布为(1) 解得θ=N(2-μ1)，θ的矩估计为(2)解得θ的最大似然估计11.设总体X的概率密度为又设X1，X2，…，Xn是来自X的一个简单随机样本，求未知参数θ的矩估计量SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】X的数学期望为用样本均值代替①中的EX得此方程的解即为θ的矩估计量12.设总体X的概率密度为试用样本X1，X2，…，Xn求参数α的矩估计和最大似然估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】先求矩估计：解得所以α的矩估计为再求极大似然估计：解得α的极大似然估计：13.设X1，X2，…，Xn是来自对数级数分布的一个样本，求p的矩估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】因为p很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩①÷②得所以所以得p的矩估计14.设总体X服从参数为N和p的二项分布，X1，X2，Xn为取自X的样本，试求参数N和p的矩估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】解之得N=μ1/p，即所以N和p的矩估计为15.设总体X的分布列为截尾几何分布P{X=k}=θk-1(1-θ)， k=1，2，…，r，P{X=r+1}=θr，从中抽得样本X1，X2，…，Xn，其中有m个取值为r+1，求θ的极大似然估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】解似然方程得θ的极大似然估计设总体X服从正态分布N(μ，σ 2 )，X1，X2，…，Xn是其样本．SSS_TEXT_QUSTI16.求C使得是σ 2的无偏估计量；该题您未回答:х该问题分值: 2【解】可见当是σ 2的无偏估计量．SSS_TEXT_QUSTI17.求k使得为σ的无偏估计量．该题您未回答:х该问题分值: 2【解】18.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个样本，是θ的一个估计量，若θ+kn，试证：是θ的相合(一致)估计量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】由切比雪夫不等式，对任意的ε＞0有于是即依概率收敛于θ，故是θ的相合(一致)估计量．19.设X1，X2，…，Xn是取自均匀分布在[0，θ]上的一个样本，试证：Tn=max{X1，X2，…，Xn}是θ的相合估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】Tn =X(n)的分布函数为Tn的密度为所以由切比雪夫不等式有当n→∞时，故Tn是θ的相合估计．20.已知X具有概率密度X1，X2，…，Xn为X的简单随机样本．求未知参数α的矩估计和最大似然估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】先求矩估计．故再求最大似然估计得α的最大似然估计21.设总体X～N(μ，σ 2 )，X1，X2，X3是来自X的样本，证明：估计量都是μ的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】故都是μ的无偏估计．所以最有效．22.设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，设EX=μ，DX=σ 2，试确定常数C，使为μ 2的无偏估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】由题意知：23.设总体服从U[0，θ]，X1，X2，…，Xn为总体的样本，证明：为θ的一致估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】由切比雪夫不等式有：因此得为θ的一致估计．24.设从均值为μ，方差为σ 2＞0的总体中分别抽取容量为n1，n2的两个独立样本，样本均值分别为证明：对于任何满足条件a+b=1的常数a，b，是μ的无偏估计量，并确定常数a，b，使得方差DT达到最小．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】由题意得：所以故T是μ的无偏估计量．又令对a求导并解方程如下：得到所以处取得极小值，此时方差DT达到最小．25.设X1，X2，…，Xn独立同分布，X2的取值有四种可能，其概率分布分别为：p1 =1-θ，p2=θ-θ 2，p3=θ 2 -θ 3，p4=θ 3，记N，为X1，X2，…，Xn中出现各种可能的结果的次数，N1+N2+N3+N4=n．确定a1，a2，a3，a4使为θ的无偏估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】由于Ni ～B(n，pi)，i=1，2，3，4，所以E(Ni)=npi，从而有：若使T是θ的无偏估计，即要求解之得：即是θ的无偏估计．设总体X～N(μ1，σ 2 )，Y～N(μ2，σ 2 )．从总体X，Y中独立地抽取两个容量为m，n的样本X1，…，Xm和Y1，…，Yn．记样本均值分别为若是σ 2的无偏估计．求：SSS_TEXT_QUSTI26.C；该题您未回答:х该问题分值: 2【解】 同理故则SSS_TEXT_QUSTI27.Z 的方差DZ ．该题您未回答:х 该问题分值: 2 【解】因故 则有28.设有k 台仪器，已知用第i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为σ i ，i=1，2，…，k ，用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到X 1 ，X 2 ，…，X k ，设仪器都没有系统误差，即E(X i )=θ，i=1，2，…，k ，试求：a 1 ，a 2 ，…，a k 应取何值，使用 估计θ时， 是无偏的，并且最小?SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 2 【解】(1)即当 是无偏的．(2)令函数 问题归结为求多元函数g(a 1 ，a 2 ，…，a k )在条件 之下的最小值．作拉格朗日函数：G(a 1 ,a 2 ,…,a k ，λ)=g(a 1 ,a 2 ,…,a k )+λ(a 1 +a 2 +…+a k -1)．29.设{X n }是一随机变量序列，X n 的密度函数为：试证：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】对任意给定的ε＞0，由于30.设X1，X2， (X)n，…是独立同分布的随机变量序列，EXi=μ，DXi=σ2，i=1，2，…，令证明：随机变量序列{Yn}依概率收敛于μ．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】由切比雪夫不等式得：所以31.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量50千克，标准差为5千克，若用最大载重为5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977(Φ(2)=0.977)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设Xi是“装运的第i箱的重量”，n表示装运箱数．则EXi =50，DXi=5 2 =25，且装运的总重量Y=X1 +X2+…+Xn，{Xn}独立同分布，EY=50n，DY=25n．由列维—林德伯格中心极限定理知Y～N(50n，25n)．于是故也就是最多可以装98箱．32.用概率论方法证明：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】设{Xn }为一独立同分布随机变量序列，每个Xk服从参数为1的泊松分布，则EXk =1，DXk=1，服从参数为n的泊松分布．故有由列维—林德伯格中心极限定理知：33.截至2010年10月25日，上海世博会参观人数超过了7000万人．游园最大的痛苦就是人太多．假设游客到达中国馆有三条路径，沿第一条路径走3个小时可到达；沿第二条路径走5个小时又回到原处；沿第三条路径走7个小时也回到原处．假定游客总是等可能地在三条路径中选择一个，试求他平均要用多少时间才能到达中国馆．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设游客需要X小时到达中国馆，则X的可能取值为3，5+3，7+3，5+5+3，5+7+3，7+7+3，…要写出X的分布律很困难，所以无法直接求EX．为此令Y={第一次所选的路径}，即{Y=i}表示“选择第i条路径”．则因为E(X|Y=1)=3，E(X|Y=2)=5+EX，E(X|Y=3)=7+EX，所以故EX=15，即该游客平均要15个小时才能到达中国馆．34.设X1，X2， (X)n为一列独立同分布的随机变量，随机变量N只取正整数且N与{Xn}独立，求证：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】35.假设你是参加某卫视“相亲节目”的男嘉宾，现有n位女嘉宾在你面前自左到右排在一条直线上，每两位相邻的女嘉宾的距离为a(米)．假设每位女嘉宾举手时你必须和她去握手，每位女嘉宾举手的概率均为，且相互独立，若Z 表示你和一位女嘉宾握手后到另一位举手的女嘉宾处所走的路程，求EZ．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设按从左到右的顺序将女嘉宾编号为1，2，…，n．X为“已经握手的女嘉宾的编号”，Y表示“将要去握手的女嘉宾的编号”，则于是36.对于任意二事件A1，A2，考虑二随机变量试证明：随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】记pi =P(Ai)(i=1，2)，p12=P(A1A2)，而ρ是X1和X2的相关系数．易见，随机变量X1和X2都服从0—1分布，并且(1)必要性．设随机变量X1和X2独立，则P(A1 A2)=P{X1=1，X2=1}=P{X1=1}P{X2=1}=P(A1)P(A2)．从而，事件A1和A2相互独立．(2)充分性．设事件A1和A2相互独立，则也都独立，故从而，随机变量X1和X2相互独立．37.假设有四张同样卡片，其中三张上分别只印有a1，a2，a3，而另一张上同时印有a1，a2，a3．现在随意抽取一张卡片，令Ak={卡片上印有ak }．证明：事件A1，A2，A3两两独立但不相互独立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】由于对任意k，j=1，2，3且k≠j，有可见事件A1，A2，A3两两独立．但是，由于可见事件A1，A2，A3不相互独立．38.某商品一周的需求量X是随机变量，已知其概率密度为假设各周的需求量相互独立，以Uk表示k周的总需求量，试求：(1)U2和U3的概率密度fk(x)(k=2，3)；(2)接连三周中的周最大需求量的概率密度f(3)(x)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】以Xi (i=1，2，3)表示“第i周的需求量”，则Xi的概率密度均为而U2 =X1+X2，U3=U2+X3．三周中周最大需求量为X(3)=max{X1，X2，X3}．(1)当x≤0时，显然f2 (x)=f3(x)=0；对于x＞0，有于是，两周和三周的总需求量U2和U3的概率密度(2)设F(x)是随机变量X的分布函数．由题意知连续三周中的周最大需求量X(3)的分布函数为G(x)=[F(x)] 3．于是，有39.设X和Y相互独立都服从0-1分布：P{X=1}=P{Y=1}=0.6，试证明：U=X+Y，V=X-Y不相关，但是不独立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2由协方差的定义和性质，以及X和Y相互独立，可见Cov(U，V)=E(UV)-EUEV=E(X 2 -Y 2 )-E(X+Y)E(X-Y)=E(X 2 )-E(Y 2 )=0．于是，U=X+Y，V=X-Y不相关．(2)现在证明U=X+Y，V=X-Y不独立．事实上，由P{U=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=0.16，P{V=0}=P{X=0，Y=0}+P{X=1，Y=1}=P{X=0}P{Y=0}+P{X=1}P{Y=1}=0.52，P{U=0，V=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=0.16≠0.16×0.52=P{U=0}P{V=0}，可见U和V不独立．40.假设G={(x，y)|x 2 +y 2≤r 2 }是以原点为圆心，半径为r的圆形区域，而随机变量X和Y的联合分布是在网G上的均匀分布．试确定随机变量X和Y的独立性和相关性．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】(1)X和Y的联合密度为那么，X的密度函数f1 (x)和Y的密度函数f2(y)相应为由于f(x，y)≠f1 (x)f2(y)，可见随机变量X和Y不独立．(2)证明X和Y不相关，即X和Y的相关系数ρ=0．因此，有于是，X和Y的相关系数ρ=0．这样，X和Y虽然不相关，但是不独立．41.假设某季节性商品，适时地售出1千克可以获利s元，季后销售每千克净亏损t元．假设一家商店在季节内该商品的销售量X(千克)是一随机变量，并且在区间(a，b)内均匀分布．问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大?SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】根据条件随机变量X的概率密度为以Y=P(h)表示“销售利润”，它与季初应安排商品的数量h有关．由条件知为求使期望利润最大的h，我们计算销售利润Y=P(h)的数学期望．为此，首先注意到：a＜h＜b，销售利润Y=P(h)的数学期望为对h求导并令其等于0，得于是，季初安排h千克商品，可以使期望销售利润最大．42.独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为p．假设前5次试验每次的试验费用为10元，从第6次起每次的试验费用为5元．试求这项试验的总费用的期望值a．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】以X表示“试验的总次数”，首先求X的概率分布．设Ak={第k次试验成功}(k=1，2，…)，则P(Ak)=p，X的概率分布为其中q=1-p．于是试验的总次数X服从参数为p的几何分布．现在求试验的总费用的期望值a．由条件知，试验的总费用为该项试验的总费用Y是一随机变量，其期望值为例如，设p=0.8，q=0.2，得a=12.498元；设p=q=0.5，得a=19.6875元；设p=0.2，q=0.8，得a=41.808元；设p=0.1，q=0.9，得a=70.4755元．43.利用列维—林德伯格定理，证明：棣莫弗—拉普拉斯定理．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，同服从0—1分布；EXi =p，DXi=pq (i=1，2，…，n)，Sn =X1+X2+…+Xn，ESn=np，DSn=npq，其中q=1-p．X1，X2，…，Xn满足列维—林德伯格定理的条件：X1，X2，…，Xn独立同分布且数学期望和方差存在，当n充分大时近似地Sn～N(np，npq)．44.某保险公司接受了10000辆电动自行车的保险，每辆车每年的保费为12元．若车丢失，则赔偿车主1000元．假设车的丢失率为0.006，对于此项业务，试利用中心极限定理，求保险公司：(1)亏损的概率α；(2)一年获利润不少于40000元的概率β；(3)一年获利润不少于60000元的概率γ．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设X为“需要赔偿的车主人数”，则需要赔偿的金额为Y=0.1X(万元)；保费总收入C=12万元．易见，随机变量X服从参数为n，p的二项分布，其中n=10000，p=0.006；EX=np=60，DX=np(1-p)=59.64．由棣莫弗—拉普拉斯定理知，随机变量X近似服从正态分布N(60，59，64)，随机变量Y近似服从正态分布N(6，0.5964)．(1)保险公司亏损的概率(2)保险公司一年获利润不少于4万元的概率(3)保险公司一年获利润不少于6万元的概率45.将n个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入”舍去小数位后化为整数．试利用中心极限定理估计：(1)试当n=1500时求舍位误差之和的绝对值大于15的概率；(2)估计数据个数n满足何条件时，以不小于90%的概率，使舍位误差之和的绝对值小于10的数据个数n．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设Xi 是“第i个数据的舍位误差”，由条件可以认为Xi独立且都在区间[-0.5，0.5]上服从均匀分布，从而EXi =0，DXi=1/12．记Sn =X1+X2+…+Xn，为n个数据的舍位误差之和，则ESn =0，DSn=n/12．根据列维—林德伯格中心极限定理，当n充分大时Sn近似服从N(0，n/12)．记Φ(x)为N(0，1)的分布函数．(1)由于近似服从标准正态分布，且n=1500，可见(2)数据个数n应满足条件：由于近似服从N(0，1)，可见于是，当n＞721时，才能使误差之和的绝对值小于10的概率不小于90%．46.设X是任一非负(离散型或连续型)随机变量，已知的数学期望存在，而ε＞0是任意实数．证明：不等式SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】(1)设X是离散型随机变量，其一切可能值为{xi}，则(2)设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则47.设事件A出现的概率为p=0.5，试利用切比雪夫不等式，估计在1000次独立重复试验中事件A出现的次数在450到550次之间的概率α．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设vn是“1000次独立重复试验中事件A出现的次数”，则vn～B(1000，0.5)，EX=1000×0.5=500，DX=1000×0.5 2 =250．利用切比雪夫不等式，知设来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn，总体X的概率分布为其中0＜θ＜1．分别以v1，v2表示X1，X2，…，Xn中1，2出现的次数，试求SSS_TEXT_QUSTI48.未知参数θ的最大似然估计量；该题您未回答:х该问题分值: 2【解】求参数θ的最大似然估计量．样本X1，X2，…，Xn中1，2和3出现的次数分别为v1，v2和n-v1-v2，则似然函数和似然方程为似然方程的唯一解就是参数θ的最大似然估计量SSS_TEXT_QUSTI49.未知参数θ的矩估计量；该题您未回答:х该问题分值: 2【解】求参数θ的矩估计量．总体X的数学期望为EX=θ 2+4θ(1-θ)+3(1-θ) 2．在上式中用样本均值估计数学期望EX，可得θ的矩估计量SSS_TEXT_QUSTI50.当样本值为1，1，2，1，3，2时的最大似然估计值和矩估计值．该题您未回答:х该问题分值: 2【解】对于样本值1，1，2，1，3，2，由上面得到的一般公式，可得最大似然估计值矩估计值51.假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为R(未知常数)．现在按还原抽样方式随意抽取的n件中发现k件不合格品．试求R的最大似然估计值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设a是这批产品中不合格品的件数，b是合格品的件数．从而，a=Rb，合格品率为设X是“随意抽取的一件产品中不合格品的件数”，则X服从参数为p的0-1分布．对于来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn，记vn=X1+X2+…+Xn，则似然函数和似然方程为由条件知vn =X1+X2+…+Xn=k，于是似然方程的唯一解即是R的最大似然估计值．1。

2018年考研数学三真题及答案解析一、选择题（4分）1 •下列函数中在e = oil：不可导的是（）扎f⑵-\x\sin. |x|B. = |a|siii y/\^\G f @）= CM |zD、J⑵=roe \/|r|【麻】D2谡團數在［0 J「上二阶可导.且力血=0 ■则（〉化当< 0时0B.当严go时」点心D、Sf ff（T）>0【答臺】DJT 空离1C王设Af =丄玉£［斗必,N= /_¥吕^忑-K = /_刍1 + idr，则（）久N> K艮M>K >NJ K > M>N匕K>N> M【答室】C4：殳某士品的5&本囲故G（Q）可导.具中Q九产量・若产量为班时平均成本最小.则（）&"Q D）- 0氐C\Q Q）= QQa）G 仪（QJ - Qo^（<?o）P Q0缶-叽）【蒔塞］D^1 1 0'5.下列拒氏中,空阵0 1 1梧似的为（）-0 0 1 _■1 1 -1'人 0 1 L0 0 1 ■1 0 -110 1 10 0 1ri 1 -rC.0 1 0_0 0 14 o -i iD、0 1 0 I0 0 1d al【答室】A匕设4 D知阶袒阵，记伪矩肚X的枝「(&幻表示甘埃矩隹，则()人r^A, AB) = T(J4)BS 3A) = r(A)J r(A?B) = max{r(4)?r(B)}D, r(A,3) = r(A T,B T)［答案】A了蛙随机豈量工的惑養厦f 0)淒定几1 +刃=/(1 - X).且k f (工问=0』，则P{X< 0}=()入0.2B、03C x 0.4D、05【希A&设Xl.Xd，…，X n(n> 2)为来自总脚仏/脸A0)的筲单随机样本<,令天■扌f J 土丈的一那.b■侶f 因-G 侧();-1 »1-1 » t-i【答套］8二、填空题(4分)虫曲㈱=/ +型”在具拐点处的切巻方程为_________【答却V=4®-310.J*E T arcsjin. 二店血=________【答案】e1 arrsiji v 1 - e Ha一讥一严 + C口■羞分方程-轴-5凶通解是倍臺】u, = e ■ 2T+1 - 5.12＞画数汛z)萬卫甲(h 4- Az)—归⑹—2Z^(B)A S十o(A*)g? T O)fi^(O) = 2 ,则就1) = _____【答棄】网=加1 窑盂^为” Ol.0!* 巧方誌向fi® * 若Afl] = dR + flg .A HJ =+ fls Aij =01+03 二#1 = __________【軽】214随匚事件儿乩牒互独立’且-P(3)-P[C)- i .则P(AC\A LIB}-【答垂】扌三解答题(10分)1王已知宾数仏b」満足1血匸一0险足+ b)E：—彳=2 »求仏b【答秦】叙-号可得皿s*包牡1. 2其中lim t^)+ 仏岬-J 吟十 lim t^)+ 时=l™t^)+ 远”十b可那吋亠4 吟=2 —齐而臺使得压叫卫* 吟存在,必须有■血=1.1W ,有Km匕T* o^1- L - 2- b. St&-1_踪上(a = 1^ & = 1【咎秦】稅分区域口凰17将长为2m 的铁丝分成三段,依次围成HR 正方形与正三角形,三个圏形的面积之 和是否存在最小值？若存在.求出最小值.r 则有总+ J ； +之=2及乂,彭2 >^y 2 r 正三甬形的面积为気= 器H 「则问题擴化为在祭件a +y + z=2.x 隼/的最小值&令 資”+ A(i +y + z- 2) f a? +A = 0 2+入r =咗 血心n工曲=妒 r (vs (i-i 1)--占2 /少1二内滋-声丘2 x 3dx rV 』具于对于/ V3(l-z a)dz . * =血片可化为 屮僻r?g 丿应=芈圧血也⑺)=半•彳=徐「 而v 综上"昌一黒』喙一习0 J 圆前面积为 糾，总面积 ，爲之> OF .求 x-v ■鬲f'M 西+9_再9v^ir+4v ■存+9 r忑=—更—【答秦】设分成的三段分别为头闵 Si = ^x 2 t 正方形的面积为隔二 $=討+討 函数吉丞+壽/ “討+討 / QL 呢dL则有 M j 布—店龙十忍 鮫“+护+ ” 该点的囲数彳直即为最A 值,*解得唯n 牛极值点为〈 二 0 2 = 0最小值为^/X切卄 i = （一 1产日（刼 +2）=2n+2,n=O,l,2r -;口陥=需卢+ （一 1严刊（加十1）=气黑一（加+ l ）.n = 0J …Ui 益数列｛%”蒿足：4 >0^X B+1三『程-l （n = 1,2^-）.证明｛%｝收鈣I 「并 求】叽十入【答臺】由题意可和斗屮.=血吩严「 首先证阴&讣的有界性：证明跖j >■ 0 ;当n = 1时山1 > 0』斷=恵时「盹> 0 ,则孔+1 =加气詈,其中 e Jfc-1 > i fc ,可知用1 > B L 1 = 0 r 因此对于任息的U ,有弓> 0.再证明｛工讣的星疆性：JJ 因为才时]—£Xn=芒比」一已珈=e In-l-J n e Tng %令f （z ） = e* — 1 — xe^ t 则f （H ）=—詔 f f （H ）= —ze E< 0（x > 0） r 故当n > 0 时，fb ） < /（□） = 0 ,从而严羅一丹< 0 ”記却.一险C 0 ”可知｛唧单调递痰 综上「｛%｝为单希谨减有下界的憩列f 可知｛%｝收巍。