北京市育才学校2014届高三上学期期中考试 理科数学 Word版含答案

海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科) 答案2013.11一、选择题1、A2、C3、B4、C5、B6、B7、D8、C二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.210..211. a b c >> 12..2π3,π613..2λ>14. 4；6(31)n -三、解答题: 本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。

15.解：（Ⅰ）由60A = 和332ABC S ∆=可得133sin6022bc = , ---------------------------2分 所以6bc =， --------------------------------------3分又32,b c =所以2,3b c ==. ------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A = ,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得 ------------------------------------7分2222367a =+-=，即7a =. ------------------------------------9分 由正弦定理sin sin a b A B=可得------------------------------------11分 72sin sin60B= ，------------------------------------12分 所以21sin 7B =.------------------------------------13分 16. 解：（I ）π()3cos4cos(4)2f x x x =-+------------------------------------2分 3cos4sin 4x x =+------------------------------------4分π2sin(4)3x =+------------------------------------6分()f x 最小正周期为πT 2=，------------------------------------8分 （II ）因为ππ64x -≤≤，所以ππ4π4333x -≤+≤-----------------------------------10分 所以3πsin(4)123x -≤+≤-----------------------------------12分 所以π32sin(4)23x -≤+≤， -----------------------------------13分 所以()f x 取值范围为[3,2]-. ------------------------------------14分17.解：（I ）由已知11,1AH t PH t =-=+ -------------------------------------1分所以APH ∆的面积为1()(11)1,1112f t t t t =-+-<<. ---------------------4分 （II ）解法1. 111'()1(11)2221f t t t t =-++⨯-⨯+ 3(3)41t t -=+ -------------------------------------7分 由'()0f t =得3t =， -------------------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况下表： t(1,3)- 3 (3,11) '()f t+ 0 - ()f t ↗ 极大值 ↘-----------------------------------12分所以当3t =时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分解法2.由211()(11)1(11)(1),11122f t t t t t t =-+=-+-<< 设2()(11)(1),111g t t t t =-+-<<， -------------------------------------6分 则2'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)g t t t t t t t t t =--++-=--++=--.-------7分 函数()g t 与'()g t 在定义域上的情况下表： t(1,3)- 3 (3,11) '()g t+ 0 - ()g t ↗ 极大值 ↘------------------------------------11分所以当3t =时，函数()g t 取得最大值， -----------------------------------12分所以当3t =时，函数()f t 取得最大值1(3)82g =.------------------------------------13分 18.解：（I ）由②可得2112a a ⋅=，3122a a ⋅= -------------------------------2分由①可得12a =. -------------------------------3分（II ）由②可得112n n a a +⋅=， ------------------------------6分所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. ------------------------------7分（III ）由（II ）可得21(1)421n n n n b a +=+=++，易得1{4},{2}n n +分别为公比是4和2的等比数列，------------------------------8分 由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1(416)214123n n n n n S n n ++--=++=-++--.--13分19.解：（I ）因为1a =，2()42ln f x x x x=-+, 所以2242'()(0)x x f x x x-+=>, ------------------------------1分 (1)3f =-，'(1)0f =, ------------------------------3分 所以切线方程为3y =-. ------------------------------4分(II ）222(1)22(1)()'()(0)x a x a x x a f x x x x-++--==>, ----------------------------5分 由'()0f x =得12,1x a x ==, ------------------------------6分 当01a <<时，在(0,)x a ∈或(1,)x ∈+∞时'()0f x >，在(,1)x a ∈时'()0f x <,所以()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间是(,1)a ； ---------------7分 当1a =时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x ≥，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞；-----8分 当1a >时，在(0,1)x ∈或(,)x a ∈+∞时'()0f x >，在(1,)x a ∈时'()0f x <.所以()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调减区间是(1,)a . ---------------10分 (III ）由（II ）可知()f x 在区间[1,e]上只可能有极小值点，所以()f x 在区间[1,e]上的最大值在区间的端点处取到，-------------------------12分 即有(1)12(1)0f a =-+≤且2(e)e 2(1)e 20f a a =-++≤, 解得2e 2e 2e 2a -≥-. ---------------------14分 20.解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3. --------------------------------------3分（II ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3k k k k a a a a ++=+=+； 若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13k k a a +≤++；若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a +=,3123k k a a +≤+； 所以3123k k a a +≤+， 所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a +-≥-+=- 所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a >，则3k k a a +>”. 因为*k a ∈N ，所以31k k a a +-≥.所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤（否则会与上述结论矛盾！）若3m a =,则121,2m m a a ++==；若2m a =,则123,1m m a a ++==,若1m a =,则122,3m m a a ++==, 由递推关系易得{1,2,3}A ⊆. ---------------------------------------8分 （III ）集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21.由已知递推关系可推得数列{}n a 满足：当{1,2,3}m a ∈时，总有3n n a a +=成立，其中,1,2,n m m m =++ .下面考虑当12014a a =≤时，数列{}n a 中大于3的各项：按逆序排列各项，构成的数列记为{}n b ，由（I ）可得16b =或9，由（II ）的证明过程可知数列{}n b 的项满足：3n n b b +>，且当n b 是3的倍数时，若使3n n b b +-最小，需使2112n n n b b b ++=-=-， 所以，满足3n n b b +-最小的数列{}n b 中，34b =或7，且33332k k b b +=-， 所以33(1)13(1)k k b b +-=-，所以数列3{1}k b -是首项为41-或71-的公比为3的等比数列， 所以131(41)3k k b --=-⨯或131(71)3k k b --=-⨯，即331k k b =+或3231k k b =⨯+， 因为67320143<<，所以，当2014a ≤时，k 的最大值是6，所以118a b =，所以集合A 重元素个数()Card A 的最大值为21.---------------13分。

海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科) 答案2013.11一、选择题1、A2、C3、B4、C5、B6、B7、D8、C二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.210..211. a b c >> 12..2π3,π6 13..2λ> 14. 4；6(31)n - 三、解答题: 本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。

15.解：（Ⅰ）由60A =和332ABC S ∆=可得133sin6022bc =, ---------------------------2分 所以6bc =， --------------------------------------3分又32,b c =所以2,3b c ==. ------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A =,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得 ------------------------------------7分2222367a =+-=，即7a =. ------------------------------------9分由正弦定理sin sin a b A B=可得------------------------------------11分 72sin sin60B =，------------------------------------12分 所以21sin B =.------------------------------------13分 16. 解：（I ）π()3cos4cos(4)2f x x x =-+------------------------------------2分 3cos4sin 4x x =+------------------------------------4分π2sin(4)3x =+------------------------------------6分 ()f x 最小正周期为πT 2=，------------------------------------8分 （II ）因为ππ64x -≤≤，所以ππ4π4333x -≤+≤-----------------------------------10分 所以3πsin(4)13x -≤+≤-----------------------------------12分 所以π32sin(4)23x -≤+≤， -----------------------------------13分 所以()f x 取值范围为[3,2]-. ------------------------------------14分17.解：（I ）由已知11,1AH t PH t =-=+ -------------------------------------1分所以APH ∆的面积为1()(11)1,1112f t t t t =-+-<<. ---------------------4分（II ）解法1. 111'()1(11)2221f t t t t =-++⨯-⨯+ 3(3)41t t -=+ -------------------------------------7分 由'()0f t =得3t =， -------------------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况下表：t (1,3)-3 (3,11) '()f t +0 - ()f t↗ 极大值 ↘-----------------------------------12分 所以当3t =时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分 解法2.由211()(11)1(11)(1),11122f t t t t t t =-+=-+-<< 设2()(11)(1),111g t t t t =-+-<<， -------------------------------------6分则2'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)g t t t t t t t t t =--++-=--++=--.-------7分函数()g t 与'()g t 在定义域上的情况下表：t (1,3)-3 (3,11) '()g t +0 - ()g t↗ 极大值 ↘------------------------------------11分 所以当3t =时，函数()g t 取得最大值， -----------------------------------12分 所以当3t =时，函数()f t 取得最大值1(3)82g =.------------------------------------13分18.解：（I ）由②可得2112a a ⋅=，3122a a ⋅= -------------------------------2分 由①可得12a =. -------------------------------3分（II ）由②可得112n n a a +⋅=， ------------------------------6分所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. ------------------------------7分（III ）由（II ）可得21(1)421n n n n b a +=+=++，易得1{4},{2}n n +分别为公比是4和2的等比数列，------------------------------8分由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1(416)214123n n n n n S n n ++--=++=-++--.--13分19.解：（I ）因为1a =，2()42ln f x x x x =-+,所以2242'()(0)x x f x x x-+=>, ------------------------------1分 (1)3f =-，'(1)0f =, ------------------------------3分所以切线方程为3y =-. ------------------------------4分(II ）222(1)22(1)()'()(0)x a x a x x a f x x x x-++--==>, ----------------------------5分 由'()0f x =得12,1x a x ==, ------------------------------6分 当01a <<时，在(0,)x a ∈或(1,)x ∈+∞时'()0f x >，在(,1)x a ∈时'()0f x <,所以()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间是(,1)a ； ---------------7分 当1a =时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x ≥，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞；-----8分 当1a >时，在(0,1)x ∈或(,)x a ∈+∞时'()0f x >，在(1,)x a ∈时'()0f x <.所以()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调减区间是(1,)a . ---------------10分 (III ）由（II ）可知()f x 在区间[1,e]上只可能有极小值点，所以()f x 在区间[1,e]上的最大值在区间的端点处取到，-------------------------12分 即有(1)12(1)0f a =-+≤且2(e)e 2(1)e 20f a a =-++≤,解得2e 2e 2e 2a -≥-. ---------------------14分 20.解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3. --------------------------------------3分（II ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3k k k k a a a a ++=+=+； 若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13k k a a +≤++； 若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a +=,3123k k a a +≤+； 所以3123k k a a +≤+， 所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a +-≥-+=- 所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a >，则3k k a a +>”.因为*k a ∈N ，所以31k k a a +-≥.所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤（否则会与上述结论矛盾！）若3m a =,则121,2m m a a ++==；若2m a =,则123,1m m a a ++==,若1m a =,则122,3m m a a ++==, 由递推关系易得{1,2,3}A ⊆. ---------------------------------------8分 （III ）集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21.由已知递推关系可推得数列{}n a 满足：当{1,2,3}m a ∈时，总有3n n a a +=成立，其中,1,2,n m m m =++.下面考虑当12014a a =≤时，数列{}n a 中大于3的各项：按逆序排列各项，构成的数列记为{}n b ，由（I ）可得16b =或9，由（II ）的证明过程可知数列{}n b 的项满足： 3n n b b +>，且当n b 是3的倍数时，若使3n n b b +-最小，需使2112n n n b b b ++=-=-， 所以，满足3n n b b +-最小的数列{}n b 中，34b =或7，且33332k k b b +=-，所以33(1)13(1)k k b b +-=-，所以数列3{1}k b -是首项为41-或71-的公比为3的等比数列， 所以131(41)3k k b --=-⨯或131(71)3k k b --=-⨯，即331k k b =+或3231k k b =⨯+， 因为67320143<<，所以，当2014a ≤时，k 的最大值是6，所以118a b =，所以集合A 重元素个数()Card A 的最大值为21.---------------13分。

2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上.C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(2D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin（2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.18.（本小题13分）已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤； （2）若sin xa b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.19.（本小题14分） 已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率. （2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.2014北京高考（理科）数学题解析1．集合{}{}2|2002A x x x =-==，．故{}02AB =，，选C ．2． A ．1y x =+[)1-+∞，上为增函数，符合题意． B ．2(1)y x =-在(01)，上为减函数，不合题意． C ．2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意． D ．0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意． 故选A ．3． 参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，即选项B ．4． 当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为7，6，5．顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⋅⋅=，故选C ． 5．D对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列． 故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >． 综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D ． 6．D若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意． 若0k <，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，z y x =-在点20k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处取最小值．故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，即选项D 正确．7．D （23S S =且13S S ≠）D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =，设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D ABC -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵(2012D ，，，(3102D ，，．D 1O D 3D 2DCB A zyx +y -2=0-2kkx -y +2=022O y x故232S S == 综上，选项D 正确． 8．B用ABC 分别表示优秀、及格和不及格。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则A B =I （ ）A.{0} B ．{0,1} C ．{0,2} D ．{0,1,2} 【答案】C【解析】∵{}2,0=A ，∴{}{}{}2,02,1,02,0==I I B A .2. 下列函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是（ ）A ．1y x =+B ．2(1)y x =-C ．2x y -=D ．0.5log (1)y x =+【答案】A【解析】由初等函数的性质得选项B 在()1,0上递减，选项C 、D 在()+∞,0为减函数，所以排除B 、C 、D.3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨==⎩，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上 【答案】B【解析】试题分析：参数方程⎩⎨⎧+=+-=θθsin 2cos 1y x 所表示的曲线为圆心在)2,1(-，半径为1的圆，其对称中心为)2,1(-，逐个代入选项可知，点)2,1(-满足x y 2-=，故选B. 4. 当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．7B ．42C ．210D ．8405.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：对等比数列}{n a ，若1>q ，则当0,1a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则}{n a 满足01<a 且10<<q ，故当“1>q ”是”数列}{n a 为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.6. 若x 、y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12 D ．12- 【答案】D【解析】可行域如图所示，当0>k 时，知x y z -=无最小值，当0<k 时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值，联立⎩⎨⎧=+-=020y kx y ，解之得⎪⎭⎫⎝⎛-0,2k A ，420min -=+=k z ，即21-=k .7.在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ．123S S S == B ．21S S =且23S S ≠ C ．31S S =且32S S ≠ D ．32S S =且31S S ≠ 【答案】D【解析】设顶点D 在三个坐标面xoy 、yoz 、zox 的正投影分为'1D 、'2D 、'3D ，则211='='BD AD ，2=AB ，∴2222211=⨯⨯⨯=S ，2222122=⨯⨯=='OCD S S ，2222133=⨯⨯=='OAD S S .8.学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲2=-+y x 02=+-y kx A=-x y的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ ）A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人 【答案】B【解析1】试题分析：用A 、B 、C 分别表示优秀、及格和不及格，依题意，事件A 、B 、C 中都最多只有一个元素，所以只有AC ，BB ，CA 满足条件，故选B.【解析2】假设AB 两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的.因为数学成绩只有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件.二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.二、填空题9. 复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.【答案】1-【解析】()()()122111112222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+i i i i i i . 10.已知向量a r 、b r 满足1a =r，()2,1b =r ，且()0a b R λλ+=∈r r ，则λ=________.【答案】5【解析】∵0=+b a λ，∴b a -=λ，∴515||||===a b λ. 11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.【答案】112322=-y x ；x y 2±= 【解析】设双曲线C 的方程为λ=-224x y ，将()2,2代入λ=-=-324222，∴双曲线方程为112322=-y x .令0422=-x y 得渐近线方程为x y 2±=.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 【答案】8【解析】∵038987>=++a a a a ，098107<+=+a a a a ，∴0,098<>a a ，∴8=n 时数列{}n a 前n 和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_____种. 【答案】36【解析】36326132233=⨯⨯=A A A .14.设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 【答案】π【解析】结合图象得26223224ππππ+-+≥T ，即π≥T .三、解答题共6小题，共80分。

北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期中统一考试理科数学第Ⅰ卷〔共40分〕一、选择题：本大题共8个小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0,1,2}A =，{1,}B m =．假设AB B =，则实数m 的值是( )A ．0B ．2C ．0或2D ．0或1或22.命题p ：对任意x ∈R ，210x+>的否认是( )A ．p ⌝：对任意x ∈R ，210x+≤ B ．p ⌝：不存在0x ∈R , 0210x+≤ C ．p ⌝：存在0x ∈R , 0210x+≤ D ．p ⌝：存在0x ∈R , 0210x +>3.执行如下列图的程序框图，则输出的T 值为( ) A ．91B ． 55C ．54D ．304.假设01m <<， 则( )A ．log (1)log (1)m m m m +>-B ．log (1)0m m +>C ．2)1(1m m +>- D ．1132(1)(1)m m ->-考点：5.由直线0x =，3x 2π=，0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于( ) A ．3 B ．32 C ．1 D ．12【答案】A【解析】试题分析：考点：定积分6.已知平面向量(1,2)=-a ，(2,1)=b ，(4,2)--c =，则以下结论中错误的选项是．．．．．．( ) A ．向量c 与向量b 共线B ．假设12λλ=+c a b 〔1λ，2λ∈R 〕，则10λ=，22λ=-C ．对同一平面内任意向量d ，都存在实数1k ，2k ，使得12k k =d b +cD ．向量a 在向量b 方向上的投影为07.假设函数2()f x x k =-的图象与函数()3g x x =-的图象至多有一个公共点，则实数k 的取值范围是( ) . .A. (,3]-∞B. [9,)+∞C. (0,9]D. (,9]-∞ 【答案】D 【解析】试题分析：函数()2f x x k =-是将函数2y x =的图像先向下平移k 个单位，然后将x 轴下方的图像向上翻折得到的，如下列图：8.同时满足以下4个条件的集合记作k A ：〔1〕所有元素都是正整数；〔2〕最小元素为1；〔3〕最大元素为2014；〔4〕各个元素可以从小到大排成一个公差为k ()k *∈N 的等差数列．那么6133A A 中元素的个数是( )A ．96B ．94C ．92D ．90【答案】B 【解析】第Ⅱ卷〔共110分〕二、填空题〔每题5分，总分值30分，将答案填在答题纸上〕9.在公比小于零的等比数列{}n a 中，12a =，532a =，则数列{}n a 的前三项和3S = ．10.函数43y x x =++(3)x >-的最小值是 ． 【答案】1 【解析】 试题分析：()()444332331333y x x x x x x =+=++-≥+⨯=+++，当且仅当12.已知平面向量a 与b 的夹角为6π，3=a ，1=b ，则-=a b ；假设平行四边形ABCD 满足AB =+a b ，AD =a -b ，则平行四边形ABCD 的面积为 ．13.已知函数222,0,()2,0.x x x f x x x x ⎧--≥=⎨-<⎩ 假设2(3)(2)f a f a -<，则实数a 的取值范围是 ．【答案】31a -<< 【解析】试题分析：根据所给的分段函数，画图像如下：可得135a a a <<<，246a a a >>>，所以函数1()n n a f a +=从第一项开始，函数值先增大后减小再增大再减小，最后趋于平稳值，奇数项的值慢慢变大趋于平稳值，偶数项慢慢变小趋于平稳值，所以偶数项的值总是大于奇数项的值，所以20a ，25a ，30a 的大小关系是253020a a a <<. 考点：三、解答题 〔本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕15.(本小题总分值13分)已知函数2π()2sin(2)4cos 4f x x x =-+．(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期及最小值； (Ⅱ)假设π[0,]2α∈，且()3f α=，求α的值．sin 2cos 22x x =++π2)24x =++． ………4分(Ⅰ) 函数()f x 的最小正周期为2ππ2=， 函数()f x 的最小值为22- ………6分(Ⅱ)由()3f α=π)234α++=．所以πsin(2)42α+=………8分 又因为π[0,]2α∈，所以ππ5π2444α≤+≤， ………10分所以ππ244α+=或π3π244α+=．所以0α=或π4α=． ………13分考点：16.(本小题总分值13分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos2A =． (Ⅰ)假设5=bc ，求ABC ∆的面积； (Ⅱ)假设1a =，求b c +的最大值.〔Ⅱ〕因为,552sinA17.(本小题总分值13分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，且364a a +=，55S =-. (Ⅰ)求n a ；(Ⅱ)假设123n n T a a a a =++++，求5T 的值和n T 的表达式.试题解析：(Ⅰ)等差数列{}n a 的公差为d ，则1112545(51)552a d a d a d +++=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩18.(本小题总分值14分)已知函数2()43f x x x a =-++,a ∈R . (Ⅰ)假设函数()y f x =的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围； (Ⅱ)假设函数()y f x =在[1,1]-上存在零点，求 a 的取值范围；(Ⅲ)设函数()52g x bx b =+-，b ∈R .当0a =时，假设对任意的1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得12()()f x g x =，求b 的取值范围．【答案】(Ⅰ)1a >；(Ⅱ) 80a -≤≤ ；(Ⅲ) 6b ≥或3b ≤-. 【解析】试题分析：(Ⅰ) 函数()y f x =的图像与x 轴无交点，那么函数对应的方程的判别式0∆<，解不等式即可；(Ⅱ)先判断函数()y f x =在闭区间[1,1]-的单调性，然后根据零点存在性定理，可知(1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≥⎩，解方程组求得同时满足两个表达式的的取值范围；(Ⅲ) 假设对任意的1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使12()()f x g x =，只需函数()y f x =的值域为函数()y g x =值域的子集()y f x =在区间[1,4]上的值域是[1,3]-，然后判断函数()y g x =0b =，0b >，0b <三种情况进行分类讨论，当0b ≠时，函数()y g x =是一次函数，最值在两个区间端点处取得，所以假设其值域是[],m n ，那么就有13mn -≥⎧⎨≤⎩成立，解相应的不等式组即可. 试题解析：(Ⅰ)假设函数()y f x =的图象与x 轴无交点，则方程()0f x =的判别式0∆<， 即164(3)0a -+<，解得1a >. ………3分52153b b +≤-⎧⎨-≥⎩，解得3b ≤-； 综上：实数b 的取值范围6b ≥或3b ≤-. ………14分 考点：19.(本小题总分值14分)已知函数21()(3)3ln 2f x x m x m x =-++，m ∈R .(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间；(Ⅱ)设1(A x ，1())f x ，2(B x ，2())f x 为函数()f x 的图象上任意不同两点，假设过A ，B 两点的直线l 的斜率恒大于3-，求m 的取值范围.试题解析：(Ⅰ) 依题意，()f x 的定义域为()0,+∞，3()(3)m f x x m x '=-++2(3)3x m x m x-++=(3)()x x m x --=.(ⅰ)假设0m ≤，当3x >时，()0f x '>，()f x 为增函数. (ⅱ)假设3m =，2(3)()0x f x x-'=≥恒成立，故当0x >时，()f x 为增函数.20.(本小题总分值13分)如果项数均为()*2,n n n N≥∈的两个数列{}{},n n a b 满足()1,2,...,k k a b k k n -==且集合{}{}1212,,...,,,,...,1,2,3,...,2n n a a a b b b n =，则称数列{}{},n n a b 是一对 “n 项相关数列”.(Ⅰ)设}{},{n n b a 是一对“4项相关数列”，求1234a a a a +++和1234b b b b +++的值，并写出一对“4项相 关数列” {}{},n n a b ；(Ⅱ)是否存在 “15项相关数列” }{},{n n b a ？假设存在，试写出一对}{},{n n b a ；假设不存在，请说明理由；(Ⅲ)对于确定的n ，假设存在“n 项相关数列”，试证明符合条件的“n 项相关数列”有偶数对． 【答案】(Ⅰ) 23；13；}{n a ：8，4，6，5；}{n b ：7，2，3，1 ；(Ⅱ)不存在，理由见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ) 依题意有，112233441,2,3,4a b a b a b a b -=-=-=-=，以及1234123436a a a a b b b b +++++++=，求得1234a a a a +++以及1234b b b b +++的值，写出符合条件的数列即可，答案不唯一；(Ⅱ)先假设存在，利用反证法证明得出矛盾，即可证明满足已知条件的“10项相关数列”112215151,2,,15a b a b a b -=-=-=，以及12101210465a a a b b b +++++++=成立，解出12155852a a a +++=与已知矛盾，即证；(Ⅲ) 对于确定的n ，任取一对 “n 项相关数列”}{},{n n b a ，构造新数对k k b n c -+=12，k k a n d -+=12),,2,1(n k =，则可证明新数对也是“n 项相关数列”，但是数列}{n c 与}{n a 是不同的数列，可知“n 项相关数列”都是成对对应出现的，即符合条件的 “n 项相关数列”有偶数对.试题解析：(Ⅰ)依题意，112233441,2,3,4a b a b a b a b -=-=-=-=，相加得，12341234()10a a a a b b b b +++-+++=，又1234a a a a +++123436b b b b ++++=，则123423a a a a +++=， 123413b b b b +++=.“4项相关数列”}{n a ：8，4，6，5；}{n b ：7，2，3，1〔不唯一〕………3分又因为。

北京市育才学校2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知集合2{|320},{|1}A x x x B x x =-+<=≥,则A B = A ．(,2]-∞B ．(1,)+∞C ．(1,2)D ．[1,)+∞2．下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A ．12y x =B ．3y x =C ．e x y =D ．lg y x=3．若0,0a b >>，且220a b +-=，则ab 的最大值为A ．1 2B ．1C ．2D ．44．函数()2sin y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（）A ．3π2sin 8y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．7π2sin 216x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5．在ABC V 中，“π4A >”是“sin 2A >”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数()log a f x x =，()x g x b =，的图像都经过点1(,2)4，则ab 的值为A ．1B ．2C ．4D ．87．已知函数()f x 的部分对应值如表所示.数列{}n a 满足11a =，且对任意*n ∈N ，点()1,n n a a +都在函数()f x 的图象上，则2024a 的值为（）.x1234()f x 3124A ．1B ．2C ．3D ．48．已知向量()sin ,cos a θθ= ，()3,4b = ，若//a b ，则tan 2θ等于（）A ．247B ．67C ．2425-D ．247-9．在直角梯形ABCD 中，已知//BC AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4=AD ，若P 为CD的中点，则P ⋅P 的值为（）A ．5-B ．4-C ．4D ．510．已知集合{(,)()}M x y y f x ==∣，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“好集合”.给出下列4个集合：①1(,) M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭②{}(,)e 2x M x y y ==-∣③{(,)cos }M x y y x ==∣④{(,)ln }M x y y x ==∣其中所有“好集合”的序号是（）A ．②③B ．①②④C ．③④D ．①③④二、填空题11．41(2)x x+的展开式中的常数项为．12．若向量,a b 满足||1,||2a b == ，且,a b 的夹角为π3，则a b ⋅=，||a b +=.13．已知0a ≥，函数()2,xx af x x a⎧≤⎪=>若0a =，则()f x 的值域为；若方程()20f x -=恰有一个实根，则a 的取值范围是.14．已知数列{}n a 满足1n n a a +>，且其前n 项和n S 满足1n n S S +<，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式n a =.15．已知函数2cos ()1xf x x π=+，给出下列四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 有无数个零点；③()f x 的最小值为12-；④()f x 的最大值为1.其中，所有正确结论的序号为.三、解答题16．已知等差数列{}n a 满足1241,10a a a =+=.(1)求{}n a 的通项公式;(2)若等比数列{}1122,0,0n b b a b a -=+=，求{}n b 的通项公式;17．已知函数32()1f x x ax bx =++-在1x =处有极值-1.(1)求实数a ，b 的值;(2)求函数()ln 2g x ax x =+的单调区间.18．在ABC V 中，sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求B ；(2)若5c =，___________.求a .从①7b =，②4C π=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X 为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.20．已知函数e ()xf x x=.(1)求函数()y f x =的图象在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程；(2)当0x >时，求证：()f x x >；(3)讨论函数()y f x bx =-（b ∈R 且为常数）零点的个数.21．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z 拓展”.如数列1，2第1次“Z 拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z 拓展”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a ，b ，c 经过第n 次“Z 拓展”后所得数列的项数记为Pn ，所有项的和记为Sn .（1）求P 1，P 2；（2）若Pn ≥2020，求n 的最小值；（3）是否存在实数a ，b ，c ，使得数列{Sn }为等比数列？若存在，求a ，b ，c 满足的条件；若不存在，说明理由.。

2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =I ( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2xC y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.C 1.D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a r 、b r 满足1a =r ，()2,1b =r ，且()0a b R λλ+=∈r r，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种.14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在学科网区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小学科网（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P - 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤；（2）若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率.（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b L，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤L ，其中112max{(),}k k T P a a a -+++L 表示1()k T P -和12k a a a +++L 两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）C （5）D （6）D （7）D （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）-1 （10（11）221312x y -= 2y x =± （12）8（13）36 （14）π三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC∠=，所以sin ADC ∠=。

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）房山区良乡中学 任宝泉录入整理一、选择题（共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合{}2|20A x x x =-=，{}0,1,2B =，则AB =（ ）A ．{}0 B.{}0,1 C.{}0,2 D.{}0,1,2 2.下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ ） A．y =B.2(1)y x =-C.2x y -=D.0.5log (1)y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上 B.在直线2y x =-上 C.在直线1y x =-上 D.在直线1y x =+上4．当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）5．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的（ ）A ．充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ．2 B.2- C.12 D.12- 7.在空间直角坐标系O x y z 中，已知(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C，(1,1D ，若123,,S S S 分别表示三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A ．123S S S == B. 12S S =且31S S ≠ C. 13S S =且32S S ≠ D. 23S S =且13S S ≠ 8．有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”、“合格”、“不合格”三种。

若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好”。

海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科) 答案2013.11一、选择题1、A2、C3、B4、C5、B6、B7、D8、C二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.210..211. ab c 12..2π3,π613..214. 4；6(31)n 三、解答题: 本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。

15.解：（Ⅰ）由60A 和332ABCS 可得133sin6022bc , ---------------------------2分所以6bc，--------------------------------------3分又32,bc 所以2,3bc . ------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3b c ,60A ,由余弦定理2222cos a bc bc A 可得------------------------------------7分2222367a ，即7a . ------------------------------------9分由正弦定理sin sin ab AB 可得------------------------------------11分72sin sin60B，------------------------------------12分所以21sin 7B.------------------------------------13分16. 解：（I ）π()3cos4cos(4)2f x x x ------------------------------------2分3cos4sin4xx ------------------------------------4分π2sin(4)3x ------------------------------------6分()f x 最小正周期为πT 2，------------------------------------8分（II ）因为ππ64x ，所以ππ4π4333x -----------------------------------10分所以3πsin(4)123x -----------------------------------12分所以π32sin(4)23x ，-----------------------------------13分所以()f x 取值范围为[3,2]. ------------------------------------14分17.解：（I ）由已知11,1AH t PH t -------------------------------------1分所以APH 的面积为1()(11)1,1112f t t t t . ---------------------4分（II ）解法 1. 111'()1(11)2221f t t t t 3(3)41t t -------------------------------------7分由'()0f t 得3t ，-------------------------------------8分函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况下表：t (1,3) 3 (3,11)'()f t + 0()f t ↗极大值↘-----------------------------------12分所以当3t 时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分解法 2.由211()(11)1(11)(1),11122f t t t t t t 设2()(11)(1),111g t t t t ，-------------------------------------6分则2'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)g t t t t t t t t t .-------7分函数()g t 与'()g t 在定义域上的情况下表：t (1,3) 3 (3,11)'()g t + 0()g t ↗极大值↘------------------------------------11分所以当3t 时，函数()g t 取得最大值，-----------------------------------12分所以当3t 时，函数()f t 取得最大值1(3)82g .------------------------------------13分18.解：（I ）由②可得2112a a ，3122a a -------------------------------2分由①可得12a . -------------------------------3分（II ）由②可得112n n a a ，------------------------------6分所以数列{}n a 的通项公式2n na . ------------------------------7分（III ）由（II ）可得21(1)421n n nn b a ，易得1{4},{2}n n 分别为公比是4和2的等比数列，------------------------------8分由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1(416)214123n n n n n S n n .--13分19.解：（I ）因为1a，2()42ln f x x x x , 所以2242'()(0)x x f x x x,------------------------------1分(1)3f ，'(1)0f ,------------------------------3分所以切线方程为3y. ------------------------------4分(II ）222(1)22(1)()'()(0)x a x a x x a f x x x x , ----------------------------5分由'()0f x 得12,1x a x , ------------------------------6分当01a 时，在(0,)x a 或(1,)x 时'()0f x ，在(,1)x a 时'()0f x , 所以()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)，单调减区间是(,1)a ；---------------7分当1a时，在(0,)x 时'()0f x ，所以()f x 的单调增区间是(0,)；-----8分当1a 时，在(0,1)x 或(,)x a 时'()0f x ，在(1,)x a 时'()0f x .所以()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a ，单调减区间是(1,)a . ---------------10分(III ）由（II ）可知()f x 在区间[1,e]上只可能有极小值点，所以()f x 在区间[1,e]上的最大值在区间的端点处取到，-------------------------12分即有(1)12(1)0f a 且2(e)e 2(1)e 20f a a ,解得2e 2e 2e 2a . ---------------------14分20.解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3.--------------------------------------3分（II ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a ,2312,(2)3k k k k a a a a ；若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a ,21(1)3k k a a ,31(1)13k ka a ；若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a ,3123k k a a ；所以3123k ka a ，所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a 所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a ，则3k k a a ”. 因为*k a N ，所以31k k a a .所以数列{}n a 中必存在某一项3m a （否则会与上述结论矛盾！）若3m a ,则121,2m m a a ；若2m a ,则123,1m m a a ,若1m a ,则122,3m m a a , 由递推关系易得{1,2,3}A .---------------------------------------8分（III ）集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21. 由已知递推关系可推得数列{}n a 满足：当{1,2,3}m a 时，总有3nn a a 成立，其中,1,2,n m m m . 下面考虑当12014a a 时，数列{}n a 中大于3的各项：按逆序排列各项，构成的数列记为{}n b ，由（I ）可得16b 或9，由（II ）的证明过程可知数列{}n b 的项满足：3n n b b ，且当n b 是3的倍数时，若使3n n b b 最小，需使2112nn n b b b ，所以，满足3nn b b 最小的数列{}n b 中，34b 或7，且33332k k b b ，所以33(1)13(1)kk b b ，所以数列3{1}k b 是首项为41或71的公比为3的等比数列，所以131(41)3k kb 或131(71)3k k b ，即331k k b 或3231k k b ，因为67320143，所以，当2014a 时，k 的最大值是6，所以118a b ，所以集合A 重元素个数()Card A 的最大值为21.---------------13分。

2014-2015学年北京十四中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合S=R，A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x||x﹣2|＜2}，那么集合∁R（A∩B）等于（）A． {x|0＜x≤3} B． {x|﹣1≤x＜2} C．{x|x≤0，或x＞3} D． {x|x＜﹣1，或x≥2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：通过解二次不等式化简集合A，通过解绝对值不等式化简集合B，利用交集的定义求出两个集合的交集，再利用补集的定义求出补集．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}B={x||x﹣2|＜2}={x|0＜x＜4}∴A∩B={x|0＜x≤3}∴∁R（A∩B）={x|x≤0或x＞3}故选C．点评：本题考查二次不等式的解法、绝对值不等式的解法、利用交集补集的定义求集合的交集补集．2．（5分）下列说法错误的是（）A．“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件B．若p且q为假命题，则p、q均为假命题C．命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”D．命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析： A，|x|＞1⇒x＞1或x＜﹣1，可判断A；B，若p且q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，可判断B；C，写出命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题，可判断C；D，写出命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定，可判断D．解答：解：对于A，由于|x|＞1⇒x＞1或x＜﹣1，故“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件，A正确；对于B，若p且q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，故B错误；对于C，命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”，故C 正确；对于A，命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故D 正确．综上所述，只有B错误，故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查对充分必要条件概念的理解与应用，考查复合命题的真假判断与“全称量词”与“存在量词”的应用，属于中档题．3．（5分）若向量、满足+=（2，﹣1），=（1，2），则向量与的夹角等于（） A．135° B．120° C．60° D．45°考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的坐标运算和向量的模的公式以及向量的数量积的坐标表示，结合向量的夹角公式，计算即可得到．解答：解：向量、满足+=（2，﹣1），=（1，2），则=（1，﹣3），=1﹣6=﹣5，||=，||=，即有cos＜＞===﹣，由于0°≤＜＞≤180°，则有向量与的夹角等于135°．故选A．点评：本题考查向量的数量积的定义和坐标表示，主要考查向量的夹角公式和夹角的求法，属于基础题．4．（5分）（2014秋•西城区校级期中）下列函数中，周期为1的奇函数是（）A． y=1﹣2sin2πx B． y=sinπxcosπx C． y=tan x D． y=sin（2πx+）考点：三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．专题：三角函数的图像与性质．分析：对A先根据二倍角公式化简为y=cos2πx为偶函数，排除；对于D验证不是奇函数可排除；对于C求周期不等于1排除；故可得答案．解答：解：A，y=1﹣2sin2πx=1﹣（1﹣cos2πx）=cos2πx，由于f（﹣x）=cos（﹣2πx）=cos2πx=f（x），故为偶函数，不符合；B，对于y=sinπxcosπx=sin2πx，为奇函数，且T==1，满足条件．C，由正切函数的周期公式可得T=2，不符合；D，对于函数y=sin （2πx+），f（﹣x）=sin（﹣2πx+）≠﹣sin（2πx+），不是奇函数，排除．故选：B．点评：本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法，一般先将函数化简为y=Asin （wx+ρ）的形式，再由最小正周期的求法T=、奇偶性的性质、单调性的判断解题，属于基础题．5．（5分）（2014秋•通化期中）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x）且x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=log3|x|的零点个数是（）A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 6个考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：方程f（x）=log3|x|的零点个数即函数y=f（x）与函数y=log3|x|的交点的个数，作图得到答案．解答：解：方程f（x）=log3|x|的零点个数即函数y=f（x）与函数y=log3|x|的交点的个数，作函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象如下，则由图象可知，有四个不同的交点，故选C．点评：本题考查了方程的根与函数图象的交点的关系及函数图象的作法，属于中档题．6．（5分）（2015•遵义校级二模）设函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和是（）A． B． C． D．考点：数列的求和；导数的运算．专题：计算题．分析：函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出m，a，然后利用裂项法求出的前n项和，即可．解答：解：f′（x）=mx m﹣1+a=2x+1，∴a=1，m=2，∴f（x）=x（x+1），==﹣，用裂项法求和得S n=．故选A点评：本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项法的应用，是好题，常考题，基础题．7．（5分）已知△ABC中，∠A=30°，AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（）A． B． C．或 D．或考点：正弦定理；等差数列的性质；等比数列的性质．专题：计算题；数形结合．分析：由题意，根据等差数列及等边数列的性质分别求出AB与BC的值，再由A的度数，求出sinA的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，根据A和C的度数，利用内角和定理求出B的度数，根据B的度数判断出三角形的形状为直角三角形或等腰三角形，分别求出三角形的面积即可．解答：解：∵AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，∴AB=，BC=1，又A=30°，根据正弦定理=得：sinC=，∵C为三角形的内角，∴C=60°或120°，当C=60°时，由A=30°，得到B=90°，即三角形为直角三角形，则△ABC的面积为××1=；当C=120°时，由A=30°，得到B=30°，即三角形为等腰三角形，过C作出AB边上的高CD，交AB于点D，在Rt△ACD中，AC=BC=1，A=30°，∴CD=，则△ABC的面积为××=，综上，△ABC的面积为或．故选C点评：此题考查了等差数列、等比数列的性质，正弦定理以及特殊角的三角函数值，利用数形结合及分类讨论的思想，由C的度数有两解，得到三角形的形状有两种，故求出的三角形面积有两解，不要漏解．8．（5分）对于下列命题：①已知i是虚数单位，函数f（x）=在R上连续，则实数a=2．②五本书排成一排，若A、B、C三本书左右顺序一定（不一定相邻），那么不同排法有A33•A33③如图，⊙O中的弦AB与直径CD相交于点p，M为DC延长线上一点，MN为⊙O的切线，N为切点，若AP=8，PB=6，PD=4，MC=6，则MN的长为2④在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1交点的极坐标为（，）⑤设n=4cosxdx，则二项式（x﹣）n的展开式的常数项为6其中假命题的序号是（）A．②⑤ B．②③ C．② D．①④考点：命题的真假判断与应用．专题：坐标系和参数方程．分析：①利用•i=f（0），计算即可；②采用插空法，依次插入即可；③通过相交弦定理可得半径，利用勾股定理计算即可；④利用平方关系可得ρ=，代回原式可得θ=π，进而可得结论；⑤通过定积分的性质可得n=4，代入计算即可．解答：解：①•i==﹣1，f（0）=a0﹣a=1﹣a，∵函数f（x）=在R上连续，∴﹣1=1﹣a，即a=2，故正确；②采用插空法，当A、B、C三本书左右顺序一定时（不一定相邻），插入第4本书，有4中方法，再插入第5本书，有5中方法，∴不同排法有4×5=20种，故不正确；③由相交弦定理可得：CP===12，∴圆O的半径为：==8，∵MN为⊙O的切线，∴OM2=ON2+MN2，∴MN2=OM2﹣ON2=（OC+CM）2﹣ON2=（8+6）2﹣82=132，∴MN==2，故正确；④∵ρ=2sinθ，ρcosθ=﹣1，∴sinθ=，cosθ=﹣，∴sin2θ+cos2θ=（）2+（）2=1，整理得：，解得：ρ=，∴sinθ=，cosθ=﹣，又∵0≤θ＜2π，∴θ=π，∴交点的极坐标为（，），故正确；⑤∵n=4cosxdx=4dsinx=4，∴（x﹣）4的展开式的常数项为=6，故正确；综上所述，只有②是假命题，故选：C．点评：本题是一道综合题，考查复数、排列组合、平面几何、极坐标、定积分与展开式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：（本大题每小题5分，满分30分）9．（5分）若sin（π﹣α）=，且α的终边过点P（x，2），则x= ；tan（π+α）= ．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由sin（π﹣α）=，可得cosα=﹣，根据α的终边过点P（x，2），求出x，再求tan（π+α）=tanα=．解答：解：∵sin（π﹣α）=，∴cosα=﹣，∵α的终边过点P（x，2），∴=﹣，x＜0，∴x=，∴tan（π+α）=tanα=，故答案为：，．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式，考查学生的计算能力，比较基础．10．（5分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，a4=，S4=12．则数列{a n}的通项公式a n= ﹣n ；n= 5 时，S n最大．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意易得公差d和首项的方程组，解方程组可得通项公式，可得{a n}的前5项均为正数，从第6项开始为负数，易得答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则a4=a1+3d=，S4=4a1+d=12，解得a1=，d=﹣1∴通项公式a n=﹣n；令≤0可得n≥，∴等差数列{a n}的前5项均为正数，从第6项开始为负数，∴当n=5时，S n最大．故答案为：﹣n；5点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．11．（5分）函数y=Asinωxcosφ+Acosωxsinφ+2（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的图象如图，则ω= 3 ，φ= ．考点：二倍角的正弦；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据两角和的正弦公式化简解析式，由图象和周期公式求出ω的值，再把点（，2）代入解析式，根据正弦函数值求出φ的值．解答：解：由题意得，y=Asinωxcosφ+Acosωxsinφ+2=Asin（ωx+φ）+2，由图得，T==，得T=，∴ω=3，∵函数的图象过点（，2），∴Asin（ω×+φ）+2=2，则sin（ω×+φ）=0，∴3×+φ=kπ（k∈Z），解得φ=kπ﹣（k∈Z），∵0＜φ＜2π，∴φ=，故答案为：3；．点评：本题考查两角和的正弦公式，三角函数的周期公式，以及读图能力，属于中档题．12．（5分）（2015•天津模拟）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为8 ．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），2m+n=1，把要求的式子化为 4++，利用基本不等式求得结果．解答：解：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1=0上，∴2m+n=1，则+=+=4++≥4+2=8，当且仅当时，等号成立，故答案为：8．点评：本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为 4++，是解题的关键．13．（5分）（2014•和平区四模）如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N 为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是 6 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：在平面内建立合适的坐标系，将向量的数量积用坐标表示，再利用线性规划解决问题．解答：解：以A为坐标原点，以AD方向为x轴正方向，以AB方向为y轴负方向建立坐标系，则=（1，﹣2）设N点坐标为（x，y），则=（x，y），则0≤x≤2，﹣2≤y≤0令Z==x﹣2y，将A，B，C，D四点坐标依次代入得：Z A=0，Z B=4，Z C=6，Z D=2故Z=的最大值为6故答案为：6点评：向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题．14．（5分）已知函数（a是常数且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有．其中正确命题的序号是①③④．考点：函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．专题：综合题．分析：①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；②只需说明函数f（x）在R上的单调性即可；③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，从而求得a的取值范围是a＞1；④已知函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，故D正确．解答：解：①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；故正确；②由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；故错；③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，求得a的取值范围是a＞1；故正确；④已知函数函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f（）＜，故正确．故答案为：①③④．点评：利用函数的图象研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值是常用的方法，解答本题的关键是图象法．三、解答题（本大题共6小题，共80分.）15．（13分）（2012•新泰市校级模拟）在数列{a n}中，a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2且n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）证明：数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（3）求数列{a n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2且n∈N*），对n进行赋值，可求出a2，a3的值；（2）直接利用等比数列的定义进行证明，然后利用等比数列性质求其通项公式即可；（3）先求出数列{a n}的通项公式，然后利用分组求和法进行求和即可．解答：解：（1）∵a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2，n∈N*），∴a2=﹣a1﹣4+1=﹣6，a3=﹣a2﹣6+1=1．（2）∵===﹣1，∴数列{a n+n}是首项为a1+1=4，公比为﹣1的等比数列．∴a n+n=4•（﹣1）n﹣1，即a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n，∴{a n}的通项公式为a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n（n∈N*）．（3）∵{a n}的通项公式为a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n（n∈N*），所以S n=a k=[4•（﹣1）k﹣1﹣k]=[4•（﹣1）k﹣1﹣=4×﹣=2[1﹣（﹣1）n]﹣（n2+n）=﹣﹣2（﹣1）n．点评：本题主要考查了数列的通项公式，以及等比数列的判定和数列的求和，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．16．（13分）盒内含有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出一个白球得0分，取出一个黑球得﹣1分，现从盒内一次性取3个球．（1）求取出的三个球得分之和恰为1分的概率（2）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）分别求出“取出1个红色球，2个白色球”、“取出2个红色球，1个黑色球”的概率，从而求出3个球得分之和恰为1分的概率；（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，可得ξ分布列和数学期望．解答：解：（1）记“取出1个红色球，2个白色球”为事件A，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件B，则P（A+B）=P（A）+P（B）=+=（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3Pξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=1．点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，互斥事件与对立事件的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（13分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，﹣2cosx），﹣．（Ⅰ）若∥，求x；（Ⅱ）设f（x）=•，求f（x）的单调减区间；（Ⅲ）函数f（x）经过平移后所得的图象对应的函数是否能成为奇函数？如果是，说出平移方案；如果否，说明理由．考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用两个向量共线的性质求得 tan2x=﹣1，再由﹣＜x＜求得x的值．（II）利用两个向量的数量积公式化简 f（x）的解析式为sin（2x﹣）﹣1，令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．（Ⅲ）将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移（ k∈N）个单位，或向右平移（ k∈N）个单位即可．解答：解：（I）若，则 sinx（sinx﹣2cosx）=cos2x，…（1分）即﹣sin2x=cos2x，∴tan2x=﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又∵﹣＜x＜，∴﹣＜2 x＜π，∴2x=﹣，或 2x=，即 x=﹣或 x=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）∴f（x）==2sinxcosx﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）﹣1，…（7分）令 2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，解得kπ+≤x≤kπ+．又，∴f（x）的单调减区间时（﹣，﹣）、（，）．…（11分）（Ⅲ）能，将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移（ k∈N）个单位，或向右平移（ k∈N）个单位，即得函数 g（x）=sin2x的图象，而 g（x）为奇函数．…（13分）点评：本题主要考查两个向量共线的性质、两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．18．（13分）已知函数f（x）=ln（x+2）﹣x2+bx+c（Ⅰ）若函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，且f（﹣1）=0，求函数f（x）在区间[0，3]上的最小值；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，1]上为单调减函数，求b的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，求得b 的值，利用f（﹣1）=0，求得c的值，可得函数解析式，再确定函数f（x）在区间[0，3]上的单调性，即可求得f（x）在区间[0，3]上的最小值；（Ⅱ）f（x）是减函数等价于≤0，即恒成立，求出右边函数的最小值，即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）求导函数，可得∵函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，∴f′（1）=，∴，∴b=4又f（﹣1）=ln（2﹣1）﹣1﹣4+c=0，∴c=5∴f（x）=ln（x+2）﹣x2+4x﹣5，∴由=0得x=∴当x∈[0，]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增当x∈[，3]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减又f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，所以f（x）在[0，3]最小值为ln2+5；（Ⅱ）因为f（x）是减函数，所以≤0，即恒成立令t=，则t′=2+，∴t=，在[0，1]上单调递增∴t min=﹣所以当b≤﹣时，f（x）在区间[0，1]上单调递减．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查函数的单调性，考查分离参数法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（14分）（2011•淮南一模）设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（1）若在定义域内存在x0，而使得不等式f（x0）﹣m≤0能成立，求实数m的最小值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x2﹣x﹣a在区间（0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．分析：（1）依题意得，求m的最小值，就是求f（x）的最小值，利用导数研究函数的单调性，可以得到f（x）在（﹣1，0）上为减函数，f（x）在（0，+∞）为增函数，即f（x）的最小值为f（0）=1，所以m的最小值为1（2）解出g（x）=x+1﹣2ln（x+1）﹣a，原题设即方程1+x﹣2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根，令h（x）=1+x﹣2ln（1+x），这时只需解出h（x）在[0，2]上的值域，画出图象，可以得出a的取值范围．解答：解：（1）要使得不等式f（x0）﹣m≤0能成立，只需m≥f（x）max．求导得f′（x）=2（1+x）﹣2，定义域为（﹣1，+∞），∵当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上是减函数；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．∴f（x）mix=f（0）=1，∴m≥1．故实数m的最小值为1．（2）由f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）得：g（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）﹣（x2+x+a）=x+1﹣2ln（x+1）﹣a原题设即方程1+x﹣2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根．设h（x）=（1+x）﹣2ln（1+x）．∵h′（x）=1﹣，列表如下：∵h（0）﹣h（2）=1﹣（3﹣2ln3）=2（ln3﹣1）＞2（lne﹣1）=0，∴h（0）＞h（2）．从而有h（x）max=1，h（x）min=2﹣2ln2画出函数h（x）在区间[0，2]上的草图（如图）易知要使方程h（x）=a在区间（0，2]上恰有两个相异实根，只需：2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3，即：a∈（2﹣2ln2，3﹣2ln3]．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，本题比较新颖的地方是，求解（2）中的a的取值范围，经过等价变换，只需求h（x）=（1+x）﹣2ln（1+x）的值域，再根据图象，解出a的取值范围．在教学中，多加强训练和指导，以便掌握其要领．20．（14分）已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且∀x1，x2∈R，总有f（x1+x2）=f （x1）+f（x2）+1恒成立．（Ⅰ）记g（x）=f（x）+1，求证：g（x）是奇函数；（Ⅱ）对∀n∈N*，有a n=，b n=f（）+1，记c n=，求{c n}的前n项和S n；（Ⅲ）求F（n）=a n+1+a n+2+…+a2n（n≥2，n∈N）的最小值．考点：数列的应用；函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用；数列的求和．专题：函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）令x1=x2=0得f（0）=﹣1，再令x1=x，x2=﹣x，得g（x）=f（x）+1是奇函数．（2）令x1=n，x2=1，得f（n）=2n﹣1，从而c n=，计算即可．（3）通过计算可知F（n+1）＞F（n），又n≥2，从而得出结果．解答：解：（1）证明：f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，令x1=x2=0得f（0）=﹣1，再令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1．故f（﹣x）+1=﹣[f（x）+1]，从而g（x）=f（x）+1是奇函数；（2）令x1=n，x2=1，得f（n+1）=f（n）+2，故f（n）=2n﹣1，从而，，又c n=，S n=①=②由①﹣②得S n=；（3）∵F（n+1）﹣F（n）=a2n+1+a2n+2﹣a n+1=∴F（n+1）＞F（n）．又n≥2，故F（n）的最小值为．点评：本题考查抽象函数的奇偶性，以及数列的求和，需要一定的计算能力，属于中档题．。

2014-2015学年北京十四中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合S=R，A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x||x﹣2|＜2}，那么集合∁R（A∩B）等于（）A． {x|0＜x≤3} B． {x|﹣1≤x＜2} C．{x|x≤0，或x＞3} D． {x|x＜﹣1，或x≥2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：通过解二次不等式化简集合A，通过解绝对值不等式化简集合B，利用交集的定义求出两个集合的交集，再利用补集的定义求出补集．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}B={x||x﹣2|＜2}={x|0＜x＜4}∴A∩B={x|0＜x≤3}∴∁R（A∩B）={x|x≤0或x＞3}故选C．点评：本题考查二次不等式的解法、绝对值不等式的解法、利用交集补集的定义求集合的交集补集．2．（5分）下列说法错误的是（）A．“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件B．若p且q为假命题，则p、q均为假命题C．命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”D．命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析： A，|x|＞1⇒x＞1或x＜﹣1，可判断A；B，若p且q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，可判断B；C，写出命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题，可判断C；D，写出命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定，可判断D．解答：解：对于A，由于|x|＞1⇒x＞1或x＜﹣1，故“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件，A正确；对于B，若p且q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，故B错误；对于C，命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”，故C 正确；对于A，命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故D 正确．综上所述，只有B错误，故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查对充分必要条件概念的理解与应用，考查复合命题的真假判断与“全称量词”与“存在量词”的应用，属于中档题．3．（5分）若向量、满足+=（2，﹣1），=（1，2），则向量与的夹角等于（） A．135° B．120° C．60° D．45°考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的坐标运算和向量的模的公式以及向量的数量积的坐标表示，结合向量的夹角公式，计算即可得到．解答：解：向量、满足+=（2，﹣1），=（1，2），则=（1，﹣3），=1﹣6=﹣5，||=，||=，即有cos＜＞===﹣，由于0°≤＜＞≤180°，则有向量与的夹角等于135°．故选A．点评：本题考查向量的数量积的定义和坐标表示，主要考查向量的夹角公式和夹角的求法，属于基础题．4．（5分）（2014秋•西城区校级期中）下列函数中，周期为1的奇函数是（） A． y=1﹣2sin2πx B．y=sinπxcosπx C． y=tan x D． y=sin（2πx+）考点：三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．专题：三角函数的图像与性质．分析：对A先根据二倍角公式化简为y=cos2πx为偶函数，排除；对于D验证不是奇函数可排除；对于C求周期不等于1排除；故可得答案．解答：解：A，y=1﹣2sin2πx=1﹣（1﹣cos2πx）=cos2πx，由于f（﹣x）=cos（﹣2πx）=cos2πx=f（x），故为偶函数，不符合；B，对于y=sinπxcosπx=sin2πx，为奇函数，且T==1，满足条件．C，由正切函数的周期公式可得T=2，不符合；D，对于函数y=sin （2πx+），f（﹣x）=sin（﹣2πx+）≠﹣sin（2πx+），不是奇函数，排除．故选：B．点评：本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法，一般先将函数化简为y=Asin （wx+ρ）的形式，再由最小正周期的求法T=、奇偶性的性质、单调性的判断解题，属于基础题．5．（5分）（2014秋•通化期中）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x）且x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=log3|x|的零点个数是（）A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 6个考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：方程f（x）=log3|x|的零点个数即函数y=f（x）与函数y=log3|x|的交点的个数，作图得到答案．解答：解：方程f（x）=log3|x|的零点个数即函数y=f（x）与函数y=log3|x|的交点的个数，作函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象如下，则由图象可知，有四个不同的交点，故选C．点评：本题考查了方程的根与函数图象的交点的关系及函数图象的作法，属于中档题．6．（5分）（2015•遵义校级二模）设函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和是（）A． B． C． D．考点：数列的求和；导数的运算．专题：计算题．分析：函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出m，a，然后利用裂项法求出的前n项和，即可．解答：解：f′（x）=mx m﹣1+a=2x+1，∴a=1，m=2，∴f（x）=x（x+1），==﹣，用裂项法求和得S n=．故选A点评：本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项法的应用，是好题，常考题，基础题．7．（5分）已知△ABC中，∠A=30°，AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（）A． B． C．或 D．或考点：正弦定理；等差数列的性质；等比数列的性质．专题：计算题；数形结合．分析：由题意，根据等差数列及等边数列的性质分别求出AB与BC的值，再由A的度数，求出sinA的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，根据A和C的度数，利用内角和定理求出B的度数，根据B的度数判断出三角形的形状为直角三角形或等腰三角形，分别求出三角形的面积即可．解答：解：∵AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，∴AB=，BC=1，又A=30°，根据正弦定理=得：sinC=，∵C为三角形的内角，∴C=60°或120°，当C=60°时，由A=30°，得到B=90°，即三角形为直角三角形，则△ABC的面积为××1=；当C=120°时，由A=30°，得到B=30°，即三角形为等腰三角形，过C作出AB边上的高CD，交AB于点D，在Rt△ACD中，AC=BC=1，A=30°，∴CD=，则△ABC的面积为××=，综上，△ABC的面积为或．故选C点评：此题考查了等差数列、等比数列的性质，正弦定理以及特殊角的三角函数值，利用数形结合及分类讨论的思想，由C的度数有两解，得到三角形的形状有两种，故求出的三角形面积有两解，不要漏解．8．（5分）对于下列命题：①已知i是虚数单位，函数f（x）=在R上连续，则实数a=2．②五本书排成一排，若A、B、C三本书左右顺序一定（不一定相邻），那么不同排法有A33•A33③如图，⊙O中的弦AB与直径CD相交于点p，M为DC延长线上一点，MN为⊙O的切线，N为切点，若AP=8，PB=6，PD=4，MC=6，则MN的长为2④在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ 与ρcosθ=﹣1交点的极坐标为（，）⑤设n=4cosxdx，则二项式（x﹣）n的展开式的常数项为6其中假命题的序号是（）A．②⑤ B．②③ C．② D．①④考点：命题的真假判断与应用．专题：坐标系和参数方程．分析：①利用•i=f（0），计算即可；②采用插空法，依次插入即可；③通过相交弦定理可得半径，利用勾股定理计算即可；④利用平方关系可得ρ=，代回原式可得θ=π，进而可得结论；⑤通过定积分的性质可得n=4，代入计算即可．解答：解：①•i==﹣1，f（0）=a0﹣a=1﹣a，∵函数f（x）=在R上连续，∴﹣1=1﹣a，即a=2，故正确；②采用插空法，当A、B、C三本书左右顺序一定时（不一定相邻），插入第4本书，有4中方法，再插入第5本书，有5中方法，∴不同排法有4×5=20种，故不正确；③由相交弦定理可得：CP===12，∴圆O的半径为：==8，∵MN为⊙O的切线，∴OM2=ON2+MN2，∴MN2=OM2﹣ON2=（OC+CM）2﹣ON2=（8+6）2﹣82=132，∴MN==2，故正确；④∵ρ=2sinθ，ρcosθ=﹣1，∴sinθ=，cosθ=﹣，∴sin2θ+cos2θ=（）2+（）2=1，整理得：，解得：ρ=，∴sinθ=，cosθ=﹣，又∵0≤θ＜2π，∴θ=π，∴交点的极坐标为（，），故正确；⑤∵n=4cosxdx=4dsinx=4，∴（x﹣）4的展开式的常数项为=6，故正确；综上所述，只有②是假命题，故选：C．点评：本题是一道综合题，考查复数、排列组合、平面几何、极坐标、定积分与展开式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：（本大题每小题5分，满分30分）9．（5分）若sin（π﹣α）=，且α的终边过点P（x，2），则x= ；tan（π+α）= ．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由sin（π﹣α）=，可得cosα=﹣，根据α的终边过点P（x，2），求出x，再求tan（π+α）=tanα=．解答：解：∵sin（π﹣α）=，∴cosα=﹣，∵α的终边过点P（x，2），∴=﹣，x＜0，∴x=，∴tan（π+α）=tanα=，故答案为：，．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式，考查学生的计算能力，比较基础．10．（5分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，a4=，S4=12．则数列{a n}的通项公式a n= ﹣n ；n= 5 时，S n最大．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意易得公差d和首项的方程组，解方程组可得通项公式，可得{a n}的前5项均为正数，从第6项开始为负数，易得答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则a4=a1+3d=，S4=4a1+d=12，解得a1=，d=﹣1∴通项公式a n=﹣n；令≤0可得n≥，∴等差数列{a n}的前5项均为正数，从第6项开始为负数，∴当n=5时，S n最大．故答案为：﹣n；5点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．11．（5分）函数y=Asinωxcosφ+Acosωxsinφ+2（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的图象如图，则ω= 3 ，φ=．考点：二倍角的正弦；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据两角和的正弦公式化简解析式，由图象和周期公式求出ω的值，再把点（，2）代入解析式，根据正弦函数值求出φ的值．解答：解：由题意得，y=Asinωxcosφ+Acosωxsinφ+2=Asin（ωx+φ）+2，由图得，T==，得T=，∴ω=3，∵函数的图象过点（，2），∴Asin（ω×+φ）+2=2，则sin（ω×+φ）=0，∴3×+φ=kπ（k∈Z），解得φ=kπ﹣（k∈Z），∵0＜φ＜2π，∴φ=，故答案为：3；．点评：本题考查两角和的正弦公式，三角函数的周期公式，以及读图能力，属于中档题．12．（5分）（2015•天津模拟）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为8 ．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），2m+n=1，把要求的式子化为 4++，利用基本不等式求得结果．解答：解：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1=0上，∴2m+n=1，则+=+=4++≥4+2=8，当且仅当时，等号成立，故答案为：8．点评：本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为 4++，是解题的关键．13．（5分）（2014•和平区四模）如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N 为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是 6 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：在平面内建立合适的坐标系，将向量的数量积用坐标表示，再利用线性规划解决问题．解答：解：以A为坐标原点，以AD方向为x轴正方向，以AB方向为y轴负方向建立坐标系，则=（1，﹣2）设N点坐标为（x，y），则=（x，y），则0≤x≤2，﹣2≤y≤0令Z==x﹣2y，将A，B，C，D四点坐标依次代入得：Z A=0，Z B=4，Z C=6，Z D=2故Z=的最大值为6故答案为：6点评：向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题．14．（5分）已知函数（a是常数且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有．其中正确命题的序号是①③④．考点：函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．专题：综合题．分析：①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；②只需说明函数f（x）在R上的单调性即可；③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，从而求得a的取值范围是a＞1；④已知函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，故D正确．解答：解：①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；故正确；②由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；故错；③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，求得a的取值范围是a＞1；故正确；④已知函数函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f（）＜，故正确．故答案为：①③④．点评：利用函数的图象研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值是常用的方法，解答本题的关键是图象法．三、解答题（本大题共6小题，共80分.）15．（13分）（2012•新泰市校级模拟）在数列{a n}中，a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2且n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）证明：数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（3）求数列{a n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2且n∈N*），对n进行赋值，可求出a2，a3的值；（2）直接利用等比数列的定义进行证明，然后利用等比数列性质求其通项公式即可；（3）先求出数列{a n}的通项公式，然后利用分组求和法进行求和即可．解答：解：（1）∵a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2，n∈N*），∴a2=﹣a1﹣4+1=﹣6，a3=﹣a2﹣6+1=1．（2）∵===﹣1，∴数列{a n+n}是首项为a1+1=4，公比为﹣1的等比数列．∴a n+n=4•（﹣1）n﹣1，即a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n，∴{a n}的通项公式为a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n（n∈N*）．（3）∵{a n}的通项公式为a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n（n∈N*），所以S n=a k=[4•（﹣1）k﹣1﹣k]=[4•（﹣1）k﹣1﹣=4×﹣=2[1﹣（﹣1）n]﹣（n2+n）=﹣﹣2（﹣1）n．点评：本题主要考查了数列的通项公式，以及等比数列的判定和数列的求和，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．16．（13分）盒内含有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出一个白球得0分，取出一个黑球得﹣1分，现从盒内一次性取3个球．（1）求取出的三个球得分之和恰为1分的概率（2）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）分别求出“取出1个红色球，2个白色球”、“取出2个红色球，1个黑色球”的概率，从而求出3个球得分之和恰为1分的概率；（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，可得ξ分布列和数学期望．解答：解：（1）记“取出1个红色球，2个白色球”为事件A，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件B，则P（A+B）=P（A）+P（B）=+=（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3Pξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=1．点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，互斥事件与对立事件的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（13分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，﹣2cosx），﹣．（Ⅰ）若∥，求x；（Ⅱ）设f（x）=•，求f（x）的单调减区间；（Ⅲ）函数f（x）经过平移后所得的图象对应的函数是否能成为奇函数？如果是，说出平移方案；如果否，说明理由．考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用两个向量共线的性质求得 tan2x=﹣1，再由﹣＜x＜求得x的值．（II）利用两个向量的数量积公式化简 f（x）的解析式为sin（2x﹣）﹣1，令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．（Ⅲ）将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移（ k∈N）个单位，或向右平移（ k∈N）个单位即可．解答：解：（I）若，则 sinx（sinx﹣2cosx）=cos2x，…（1分）即﹣sin2x=cos2x，∴tan2x=﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又∵﹣＜x＜，∴﹣＜2 x＜π，∴2x=﹣，或 2x=，即 x=﹣或 x=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）∴f（x）==2sinxcosx﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）﹣1，…（7分）令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，解得kπ+≤x≤kπ+．又，∴f（x）的单调减区间时（﹣，﹣）、（，）．…（11分）（Ⅲ）能，将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移（ k∈N）个单位，或向右平移（ k∈N）个单位，即得函数 g（x）=sin2x的图象，而 g（x）为奇函数．…（13分）点评：本题主要考查两个向量共线的性质、两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．18．（13分）已知函数f（x）=ln（x+2）﹣x2+bx+c（Ⅰ）若函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，且f（﹣1）=0，求函数f（x）在区间[0，3]上的最小值；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，1]上为单调减函数，求b的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，求得b 的值，利用f（﹣1）=0，求得c的值，可得函数解析式，再确定函数f（x）在区间[0，3]上的单调性，即可求得f（x）在区间[0，3]上的最小值；（Ⅱ）f（x）是减函数等价于≤0，即恒成立，求出右边函数的最小值，即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）求导函数，可得∵函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，∴f′（1）=，∴，∴b=4又f（﹣1）=ln（2﹣1）﹣1﹣4+c=0，∴c=5∴f（x）=ln（x+2）﹣x2+4x﹣5，∴由=0得x=∴当x∈[0，]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增当x∈[，3]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减又f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，所以f（x）在[0，3]最小值为ln2+5；（Ⅱ）因为f（x）是减函数，所以≤0，即恒成立令t=，则t′=2+，∴t=，在[0，1]上单调递增∴t min=﹣所以当b≤﹣时，f（x）在区间[0，1]上单调递减．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查函数的单调性，考查分离参数法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（14分）（2011•淮南一模）设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（1）若在定义域内存在x0，而使得不等式f（x0）﹣m≤0能成立，求实数m的最小值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x2﹣x﹣a在区间（0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．分析：（1）依题意得，求m的最小值，就是求f（x）的最小值，利用导数研究函数的单调性，可以得到f（x）在（﹣1，0）上为减函数，f（x）在（0，+∞）为增函数，即f（x）的最小值为f（0）=1，所以m的最小值为1（2）解出g（x）=x+1﹣2ln（x+1）﹣a，原题设即方程1+x﹣2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根，令h（x）=1+x﹣2ln（1+x），这时只需解出h（x）在[0，2]上的值域，画出图象，可以得出a的取值范围．解答：解：（1）要使得不等式f（x0）﹣m≤0能成立，只需m≥f（x）max．求导得f′（x）=2（1+x）﹣2，定义域为（﹣1，+∞），∵当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上是减函数；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．∴f（x）mix=f（0）=1，∴m≥1．故实数m的最小值为1．（2）由f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）得：g（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）﹣（x2+x+a）=x+1﹣2ln（x+1）﹣a原题设即方程1+x﹣2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根．设h（x）=（1+x）﹣2ln（1+x）．∵h′（x）=1﹣，列表如下：∵h（0）﹣h（2）=1﹣（3﹣2ln3）=2（ln3﹣1）＞2（lne﹣1）=0，∴h（0）＞h（2）．从而有h（x）max=1，h（x）min=2﹣2ln2画出函数h（x）在区间[0，2]上的草图（如图）易知要使方程h（x）=a在区间（0，2]上恰有两个相异实根，只需：2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3，即：a∈（2﹣2ln2，3﹣2ln3]．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，本题比较新颖的地方是，求解（2）中的a的取值范围，经过等价变换，只需求h（x）=（1+x）﹣2ln（1+x）的值域，再根据图象，解出a的取值范围．在教学中，多加强训练和指导，以便掌握其要领．20．（14分）已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且∀x1，x2∈R，总有f（x1+x2）=f （x1）+f（x2）+1恒成立．（Ⅰ）记g（x）=f（x）+1，求证：g（x）是奇函数；（Ⅱ）对∀n∈N*，有a n=，b n=f（）+1，记c n=，求{c n}的前n项和S n；（Ⅲ）求F（n）=a n+1+a n+2+…+a2n（n≥2，n∈N）的最小值．考点：数列的应用；函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用；数列的求和．专题：函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）令x1=x2=0得f（0）=﹣1，再令x1=x，x2=﹣x，得g（x）=f（x）+1是奇函数．（2）令x1=n，x2=1，得f（n）=2n﹣1，从而c n=，计算即可．（3）通过计算可知F（n+1）＞F（n），又n≥2，从而得出结果．解答：解：（1）证明：f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，令x1=x2=0得f（0）=﹣1，再令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1．故f（﹣x）+1=﹣[f（x）+1]，从而g（x）=f（x）+1是奇函数；（2）令x1=n，x2=1，得f（n+1）=f（n）+2，故f（n）=2n﹣1，从而，，又c n=，S n=①=②由①﹣②得S n=；（3）∵F（n+1）﹣F（n）=a2n+1+a2n+2﹣a n+1=∴F（n+1）＞F（n）．又n≥2，故F（n）的最小值为．点评：本题考查抽象函数的奇偶性，以及数列的求和，需要一定的计算能力，属于中档题．。

绝密★启封并使用完毕前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(理）(北京卷）本试卷共5页,150分。

考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1) 已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，若AB =(A ） {0} （B) {0,1} (C ） {0,2} (D) {0,1,2}（2） 下列函数中,在区间(0,}+∞上为增函数的是(A) y = (B) 2=(1)y x - （C) 2x y -= （D) 0.5log (1)y x =+（3） 曲线1cos 2sin x y =-+⎧⎨=+⎩θθ ,(θ为参数）的对称中心(A) 在直线2y x =上 （B ） 在直线2y x =-上 (C ） 在直线1y x =-上 (D) 在直线1y x =+上（4） 当7m =,3n =时,执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 (A) 7 （B) 42 （C ） 210 （D ） 840(5) 设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的 （A) 充分且不必要条件 （B) 必要且不充分条件 (C ） 充分且必要条件 (D ） 既非充分也非必要条件(6) 若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为4-，则k 的值是（A) 2 (B ） 2- （C ）12 (D ） 12- S k（7） 在空间坐标系O xyz -中，已知(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，D ,若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 则坐标平面上的正投影图形的面积,则(A ） 1S =2S =3S （B) 1S =2S 且31S S ≠ （C) 1S =3S 且32S S ≠ （D) 2S =3S 且13S S ≠（8) 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一颗成绩比B 高，则称 “A 同学比B 同学成绩好,”现在若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好,且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的。

北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类） 2013.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{0,1,2}A =，{1,}B m =．若AB B =，则实数m 的值是A ．0B ．2C ．0或2D ．0或1或22.命题p ：对任意x ∈R ，210x+>的否定是A ．p ⌝：对任意x ∈R ，210x+≤ B ．p ⌝：不存在0x ∈R , 0210x+≤ C ．p ⌝：存在0x ∈R , 0210x+≤ D ．p ⌝：存在0x ∈R , 0210x+> 3.执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为 A ．91 B ． 55 C ．54 D ．304.若01m <<， 则 A ．log (1)log (1)m m m m +>- B ．log (1)0m m +>C ．2)1(1m m +>- D ．1132(1)(1)m m ->-5.由直线0x =，3x 2π=，0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于A ．3B ．32C ．1D ．126.已知平面向量(1,2)=-a ，(2,1)=b ，(4,2)--c =，则下列结论中错误．．的是 A ．向量c 与向量b 共线B ．若12λλ=+c a b （1λ，2λ∈R ），则10λ=，22λ=-C ．对同一平面内任意向量d ，都存在实数1k ，2k ，使得12k k =d b +cD ．向量a 在向量b 方向上的投影为07. 若函数2()f x x k =-的图象与函数()3g x x =-的图象至多有一个公共点，则实数k 的取值范围是 . .A. (,3]-∞B. [9,)+∞C. (0,9]D. (,9]-∞8.同时满足以下4个条件的集合记作k A ：（1）所有元素都是正整数；（2）最小元素为1；（3）最大元素为2014；（4）各个元素可以从小到大排成一个公差为k ()k *∈N 的等差 数列．那么6133A A 中元素的个数是 A ．96B ．94C ．92D ．90第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．在公比小于零的等比数列{}n a 中，12a =，532a =，则数列{}n a 的前三项和3S = ． 10．函数43y x x =++(3)x >-的最小值是 ． 11．曲线()e x f x =在点0(x ，0())f x 处的切线经过点(1P ，0)，则0x = ．12．已知平面向量a 与b 的夹角为6π，=a ，1=b ，则-=a b ；若平行四边形ABCD 满足AB =+a b ，AD =a -b ，则平行四边形ABCD 的面积为 ．13．已知函数222,0,()2,0.x x x f x x x x ⎧--≥=⎨-<⎩ 若2(3)(2)f a f a -<，则实数a 的取值范围是 ．14．已知函数xa x f =)(（10<<a ），数列}{n a 满足)1(1f a =，)(1n n a f a =+，n *∈N .则2a 与3a中，较大的是 ；20a ，25a ，30a 的大小关系是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数2π())4cos 4f x x x =-+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最小值； （Ⅱ）若π[0,]2α∈，且()3f α=，求α的值．16. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 25A =． （Ⅰ）若5=bc ，求ABC ∆的面积； （Ⅱ）若1a =，求b c +的最大值.17.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，且364a a +=，55S =-. （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）若123n n T a a a a =++++，求5T 的值和n T 的表达式.18. （本小题满分14分）已知函数2()43f x x x a =-++,a ∈R .（Ⅰ）若函数()y f x =的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()y f x =在[1,1]-上存在零点，求 a 的取值范围；（Ⅲ）设函数()52g x bx b =+-，b ∈R .当0a =时，若对任意的1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得12()()f x g x =，求b 的取值范围．19.（本小题满分14分）已知函数21()(3)3ln 2f x x m x m x =-++，m ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设1(A x ，1())f x ，2(B x ，2())f x 为函数()f x 的图象上任意不同两点，若过A ，B 两点的直线l 的斜率恒大于3-，求m 的取值范围.20. （本小题满分13分）如果项数均为n ()2,n n *≥∈N的两个数列{}na ，{}nb 满足),,,2,1(n k k b ak k==-且集合}2,,3,2,1{},,,,,,,{2121n b b b a a a n n =，则称数列}{},{n n b a 是一对 “n 项相关数列”.（Ⅰ）设}{},{n n b a 是一对“4项相关数列”，求1234a a a a +++和1234b b b b +++的值，并写出一对“4项相关数列” }{},{n n b a ；（Ⅱ）是否存在 “15项相关数列” }{},{n n b a ？若存在，试写出一对}{},{n n b a ；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）对于确定的n ，若存在“n 项相关数列”，试证明符合条件的“n 项相关数列”有偶数对．北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷答案（理工类） 2013.11一、选择题：二、填空题：（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解： 2π())4cos 4f x x x =-+ππ1cos 2sin 2cos cos 2sin 4442xx x +=⋅⋅+⋅sin 2cos22cos22x x x =-++sin 2cos22x x =++π)24x =++．（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，函数()f x 的最小值为2 ………6分（Ⅱ）由()3f α=π)234α++=．所以πsin(2)42α+=． 又因为π[0,]α∈，所以ππ5π2α≤+≤，所以ππ244α+=或π3π244α+=． 所以0α=或π4α=． ………13分16. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为cos2A =，0A <<π，所以sin2A =. 所以4sin 2sin cos 225A A A ==. 因为5=bc ， 所以2sin 21==∆A bc S ABC . ………6分 （Ⅱ）因为,552sin=A 所以532sin21cos 2=-=A A . 因为A bc c b a cos 2222-+=)cos 1(2)(2A bc c b +-+=1=.()2255()16164b c bc b c +=+-≤，所以b c +≤当且仅当2b c ==时等号成立.所以b c +………13分 17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）等差数列{}n a 的公差为d ，则1112545(51)552a d a d a d +++=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩ 解得，15a =-，2d =，则27n a n =-，n *∈N . ………5分（Ⅱ）当4n ≥时， 270n a n =->，当3n ≤时，270n a n =-<. 则5T =12345()13a a a a a -++++=3n ≤T =26n n -4n ≥22618T S S n n =-=-+即226,3,618,4,n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩n *∈N . ………13分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）若函数()y f x =的图象与x 轴无交点，则方程()0f x = 的判别式0∆<，即164(3)0a -+<，解得1a >. ………3分（Ⅱ）2()43f x x x a =-++的对称轴是2x =，所以()y f x =在[1,1]-上是减函数，()y f x =在[1,1]-上存在零点，则必有：(1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≥⎩，即080a a ≤⎧⎨+≥⎩， 解得：80a -≤≤，故实数的取值范围为80a -≤≤； ………8分（Ⅲ）若对任意的1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使12()()f x g x =，只需函数()y f x =的值域为函数()y g x =值域的子集.当0a =时，2()43f x x x =-+的对称轴是2x =，所以()y f x =的值域为[1,3]-， 下面求()52g x bx b =+-，[1,4]x ∈的值域， ①当0b =时，()5g x =，不合题意，舍②当0b >时，()52g x bx b =+-的值域为[5,52]b b -+，只需要51523b b -≤-⎧⎨+≥⎩，解得6b ≥ ③当0b <时，()52g x bx b =+-的值域为[52,5]b b +-，只需要52153b b +≤-⎧⎨-≥⎩，解得3b ≤- 综上：实数b 的取值范围6b ≥或3b ≤- ………14分 19. （本小题满分14分）解:（Ⅰ） 依题意，()f x 的定义域为()0,+∞，3()(3)m f x x m '=-++2(3)3x m x m -++=(3)()x x m --=.（ⅰ）若0m ≤，当3x >时，()0f x '>，()f x 为增函数. (ⅱ)若3m =,2(3)()0x f x x-'=≥恒成立，故当0x >时，()f x 为增函数.（ⅲ）若03m <<,当0x m <<时，()0f x '>，()f x 为增函数； 当3x >时，()0f x '>，()f x 为增函数. (ⅳ)若3m >,当03x <<时，()0f x '>，()f x 为增函数； 当x m >时，()0f x '>，()f x 为增函数.综上所述，当0m ≤时，函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞；当03m <<时，函数()f x 的单调递增区间是()0,m ,()3,+∞；当3m =时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当3m >时，函数()f x 的单调递增区间是()0,3,(),m +∞. ………6分 （Ⅱ）依题意，若过,A B 两点的直线l 的斜率恒大于3-，则有1212()()3f x f x x x ->--，当120x x >>时，1212()()3()f x f x x x ->--，即1122()3()3f x x f x x +>+； 当120x x <<时，1212()()3()f x f x x x -<--，即1122()3()3f x x f x x +<+. 设函数()()3g x f x x =+，若对于两个不相等的正数12,x x ，1212()()3f x f x x x ->--恒成立，则函数21()3ln 2g x x mx m x =-+在()0,+∞恒为增函数， 即在()0,+∞上，3()0mg x x m x'=-+≥恒成立.(1)当0m <时，当0x →，()g x '→-∞，说明此时()0g x '≥不恒成立； 或3()111m m mg m m m m m '=-+=---12322011m m m m m +-=+-<--，说明此时()0g x '≥不恒成立；(2)当0m =时，()0g x x '=>在()0,+∞上恒成立； (3)当0m >时，若3()0m g x x m x '=-+≥恒成立，而当0x >时，3m x x+≥ （ 当且仅当x =时取等号）即0m ≥成立，即0≥，解得0<，即012m <≤，显然12m =符合题意.综上所述，012m ≤≤时，过,A B 两点的直线l 的斜率恒大于3-. 解法二：在()0,+∞上，3()0m g x x m x '=-+≥恒成立，等价于3(1)m x x-≥-，在()0,x ∈+∞成立，即3(1)m x x-≤在()0,x ∈+∞成立. （ⅰ）当3x =时，上式显然满足；（ⅱ）当03x <<时，上式等价于23x m x ≥-，设2()3x h x x =-，此时()h x 为减函数，()(),0h x ∈-∞，只需0m ≥；（ⅲ）当3x >时，上式等价于23x m x ≤-，设2()3x h x x =-，则()h x = 2(3)6(3)93x x x -+-+-9363x x =-++-，当3x >时，()12h x ≥（当且仅当6x =时等号成立）. 则此时12m ≤.在()0,+∞上，当012m ≤≤时，3()0mg x x m x'=-+≥成立. 过,A B 两点的直线l 的斜率恒大于3-.解法三：在()0,+∞上，3()0mg x x m x'=-+≥恒成立，等价于2()30h x x mx m =-+≥在),0(+∞∈x 恒成（1）0≤∆时，即0122≤-m m ，所以 120≤≤m 或（2）0∆>时，需02m<且()3h x m >，即30m ≥显然不成立. 综上所述，120≤≤m . ………………14分 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，112233441,2,3,4a b a b a b a b -=-=-=-=，相加得，12341234()10a a a a b b b b +++-+++=，又1234a a a a +++123436b b b b ++++=，则123423a a a a +++=，123413b b b b +++=.“4项相关数列”}{n a ：8，4，6，5；}{n b ：7，2，3，1（不唯一）………3分 参考：（“4项相关数列”共6对：}{n a ：8，5，4，6；}{n b ：7，3，1，2 或}{n a ：7，3，5，8；}{n b ：6，1，2，4 或}{n a ：3，8，7，5；}{n b ：2，6，4，1 或}{n a ：2，7，6，8；}{n b ：1，5，3，4或}{n a ：2，6，8，7；}{n b ：1，4，5，3 或}{n a ：8，4，6，5；}{n b ：7，2，3，1 （Ⅱ）不存在． 理由如下：假设存在 “15项相关数列”}{},{n n b a ，则15,,2,115152211=-=-=-b a b a b a ，相加，得120)()(15211521=+++-+++b b b a a a又由已知465302115211521=+++=+++++++ b b b a a a ，由此585)(21521=+++a a a ，显然不可能，所以假设不成立。

2014北京高考理科数学试题第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.1 B.23 C.1321D.6109875.函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )= A.1ex + B. 1ex - C. 1ex -+ D. 1ex --6.若双曲线22221x y a b-=的离心率为3，则其渐近线方程为A.y =±2xB.y =2x ±C.12y x =±D.22y x =±7.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于A.43 B.2 C.83 D.16238.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m 的取值范围是A.4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsin θ=2的距离等于 10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = .11.如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，PA=3，916PD DB =，则PD= ，AB= .12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa ＋μb (λ，μ∈R ) ，则λμ=14.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。

数学（理）（北京卷） 第 1 页（共 11 页）绝密★启封并使用完毕前2014年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合2{20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则A B =I（A ）{0} （B ）{0,1} （C ）{0,2}（D ）{0,1,2}（2）下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（A）y = （B ）2(1)y x =- （C ）2x y -=（D ）0.5log (1)y x =+（3）曲线1cos ,2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（A ）在直线2y x =上 （B ）在直线2y x =-上 （C ）在直线1y x =-上 （D ）在直线1y x =+上（4）当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）7 （B ）42 （C ）210 （D ）840数学（理）（北京卷） 第 2 页（共 11 页）（5）设{}n a 是公比为q 的等比数列．则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）若,x y 满足20,20,0,x y k x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥ 且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（A ）2 （B ）2-（C ）12（D ）12-（7）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知(2,0,0)A ,(2,2,0)B ,(0,2,0)C,(1,1,D ．若1S ,2S ,3S 分别是三棱锥D ABC –在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则 （A ）123S S S == （B ）21S S =且23S S ≠ （C ）31S S =且32S S ≠（D ）32S S =且31S S ≠（8）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有 （A ）2人 （B ）3人 （C ）4人（D ）5人数学（理）（北京卷） 第 3 页（共 11 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2023-2024学年北京市育才学校高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．已知集合A ＝{x |x 2﹣3x +2＜0}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣∞，2]B ．（1，+∞）C ．（1，2）D ．[1，+∞）2．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．y ＝lgxB ．y ＝x 3C ．y ＝sin xD ．y =x 123．已知向量a →=（x +1，2），b →=（﹣1，x ）．若a →与b →垂直，则|b →|＝（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．44．已知直线m ⊥平面α，n 表示直线，β表示平面，有以下四个结论：①α⊥β⇒m ∥β；②m ∥n ，n ⊂β⇒α⊥β；③n ∥α⇒m ⊥n ；④若β与m 相交，则β与α相交．其中正确的结论的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．15．△ABC 中，“∠A =π4”是“sinA =√22”的（ ）条件．A ．充分而不必要B ．必要而不充分C ．充分且必要D ．既不充分也不必要6．函数y ＝2sin （ωx +φ）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（ ）A ．y ＝2sin （2x −π4） B ．y ＝2sin （2x +π4）C ．y ＝2sin （x +3π8） D ．y ＝2sin （x2+7π16）7．设数列{a n }是首项为1公比为3的等比数列，把{a n }中的每一项都减去2后，得到一个新数列{b n }，{b n }的前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，下列结论正确的是（ ） A ．b n +1＝3b n ，且S n =12（3n ﹣1）B ．b n +1＝3b n ﹣2，且S n =12（3n ﹣1）C ．b n +1＝3b n +4，且S n =12（3n ﹣1）﹣2n D ．b n +1＝3b n ﹣4，且S n =12（3n ﹣1）﹣2n8．已知向量a →=(sinθ，cosθ)，b →=(3，4)，若a →∥b →，则tan2θ等于（ ）A ．247B ．67C ．−2425D ．−2479．在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝4，若P 为CD 的中点，则PA →⋅PB →的值为（ ） A ．﹣5B ．﹣4C ．4D ．510．“开车不喝酒，喝酒不开车”．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg /mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg /mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过（ ）小时，才能开车？（精确到1小时）（参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.5） A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则a n ＝ ．12．已知平面向量a →，b →满足a →•（a →+b →）＝3，且|a →|＝2，|b →|＝1，则向量a →与b →的夹角为 ． 13．从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A ﹣BCD ，则它的体积与正方体体积的比为 ；它的表面积与正方体表面积的比为 ．14．将函数y ＝3sin （2x +π4）的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ．15．已知函数f(x)={−x 2−3x ，x ＜0，f(x −3)，x ≥0，以下结论正确的序号是 ．①f （x ）在区间[7，9]上是增函数 ②f （﹣2）+f （2022）＝2③若函数y ＝f （x ）﹣b 在（﹣∞，6）上有6个零点x i （i ＝1，2，3，4，5，6），则6个零点的和∑ 6i=1x i =9 ④若方程f （x ）＝kx +1恰有3个实根，则k ∈(−1，−13)三、解答题：本大题共6小题，共85分.16．（13分）在△ABC中，bsinA=acos(B−π6)．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若c＝5，_____．求a．从①b＝7，②C=π4这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．（13分）已知等差数列{a n}满足a1＝1，a2+a4＝10．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}，b1﹣a1＝0，b2+a2＝0，求{b n}的通项公式；（Ⅲ）若c n=a n+b an，求数列{c n}的前n项和．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形．且P A⊥平面ABCD，M，N分别为PB，PD的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；（Ⅱ）若P A＝AB＝2，求CN与平面PBD所成角的正弦值．19．（15分）为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动．为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查．求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导．规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”．在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1．在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”．能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由．20．（15分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1，a∈R是常数．（Ⅰ）求函数y＝f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；（Ⅱ）证明：函数y＝f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；（Ⅲ）讨论函数y＝f（x）零点的个数．21．（15分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”．如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a，b，c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为P n，所有项的和记为S n．（Ⅰ）求P1，P2；（Ⅱ）若P n≥2020，求n的最小值；（Ⅲ）是否存在实数a，b，c，使得数列{S n}为等比数列？若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，说明理由．2023-2024学年北京市育才学校高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．已知集合A ＝{x |x 2﹣3x +2＜0}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣∞，2]B ．（1，+∞）C ．（1，2）D ．[1，+∞）解：A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}；∴A ∪B ＝{x |x ≥1}＝[1，+∞）． 故选：D ．2．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．y ＝lgxB ．y ＝x 3C ．y ＝sin xD ．y =x 12解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝lgx ，为对数函数，不是奇函数，不符合题意； 对于B ，y ＝x 3，为幂函数，既是奇函数又是增函数，符合题意； 对于C ，y ＝sin x ，为正弦函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意； 对于D ，y =x 12=√x ，其定义域为[0，+∞），不是奇函数，不符合题意；故选：B ．3．已知向量a →=（x +1，2），b →=（﹣1，x ）．若a →与b →垂直，则|b →|＝（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．4解：∵向量a →=（x +1，2），b →=（﹣1，x ），a →与b →垂直 ∴a →•b →=x ﹣1＝0解得x ＝1，则b →=（﹣1，1），∴|b →|=√2 故选：B ．4．已知直线m ⊥平面α，n 表示直线，β表示平面，有以下四个结论：①α⊥β⇒m ∥β；②m ∥n ，n ⊂β⇒α⊥β；③n ∥α⇒m ⊥n ；④若β与m 相交，则β与α相交．其中正确的结论的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1解：对于①，α⊥β⇒m ∥β或m ⊂β，故①错误；对于②，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α，又n ⊂β，所以α⊥β，故②正确； 对于③，m ⊥α，n ∥α⇒m ⊥n ，故③正确；对于④，若β与m 相交，则β与α相交或平行，故④错误． 故正确的结论的个数是2． 故选：C ．5．△ABC 中，“∠A =π4”是“sinA =√22”的（ ）条件． A ．充分而不必要 B ．必要而不充分C ．充分且必要D ．既不充分也不必要解：∵A =π4，∴sinA =√22，故“A =π4“是”“sinA =√22“的充分条件； ∵sin A =√22，∴A =π4或A =3π4，故“A =π4“不是“sinA =√22“的必要条件． 故选：A ．6．函数y ＝2sin （ωx +φ）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（ ）A ．y ＝2sin （2x −π4）B ．y ＝2sin （2x +π4）C ．y ＝2sin （x +3π8）D ．y ＝2sin （x2+7π16）解：由图象可知，T2=5π8−π8=π2，所以T ＝π， 由T =2πω，得ω＝2， 所以y ＝2sin （2x +φ）． ∵点（π8，2）在函数图象上，∴2＝2sin （2×π8+φ）， ∴φ＝2k π+π4（k ∈Z ）， 解得φ=π4，所以解析式为y ＝2sin （2x +π4）． 故选：B ．7．设数列{a n }是首项为1公比为3的等比数列，把{a n }中的每一项都减去2后，得到一个新数列{b n }，{b n }的前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，下列结论正确的是（ ） A ．b n +1＝3b n ，且S n =12（3n ﹣1）B ．b n +1＝3b n ﹣2，且S n =12（3n ﹣1）C ．b n +1＝3b n +4，且S n =12（3n ﹣1）﹣2n D ．b n +1＝3b n ﹣4，且S n =12（3n ﹣1）﹣2n解：因为数列{a n }是首项为1公比为3的等比数列，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3n ﹣1，则依题意得，数列{b n }的通项公式为b n ＝3n ﹣1﹣2，∴b n +1＝3n ﹣2，3b n ＝3（3n ﹣1﹣2）＝3n ﹣6，∴b n +1＝3b n +4．{b n }的前n 项和为：S n ＝（1﹣2）+（31﹣2）+（32﹣2）+（33﹣2）++（3n ﹣1﹣2）＝（1+31+32+33++3n ﹣1）﹣2n =(1−3n)1−3−2n=12（3n ﹣1）﹣2n ． 故选：C ．8．已知向量a →=(sinθ，cosθ)，b →=(3，4)，若a →∥b →，则tan2θ等于（ ） A ．247B ．67C ．−2425D ．−247解：∵向量a →=(sinθ，cosθ)，b →=（3，4）， 由a →∥b →可得4sin θ＝3cos θ， ∴tan θ=sinθcosθ=34，则tan2θ=2tanθ1−tan 2θ=34×21−916=247． 故选：A ．9．在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝4，若P 为CD 的中点，则PA →⋅PB →的值为（ ） A ．﹣5B ．﹣4C ．4D ．5解：由题意可得 DA →=2CB →，PD →=−PC →，|PD →|＝|PC →|=12√16+4=√5，∴tan ∠PDA ＝2，cos ∠PDA =√55．∴PA →⋅PB →=（PD →+DA →）•（PC →+CB →）＝（PD →+2CB →）•（−PD →+CB →） =−PD →2−PD →⋅CB →+2CB →2=−5﹣2×√5×cos （π﹣∠PDA ）+2×4 ＝﹣5﹣2×√5×（−√55）+8＝5， 故选：D ．10．“开车不喝酒，喝酒不开车”．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg /mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg /mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过（ ）小时，才能开车？（精确到1小时）（参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.5） A ．3B ．4C ．5D ．6解：设x 小时后，该驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09mg /mL ， 则0.3（1﹣25%）x ≤0.09，即（34）x ≤0.3，∴xlg 34≤lg310=lg 3﹣1≈﹣0.5，∴x ≥−0.5lg3−2lg2≈−0.50.5−0.6=5， 故至少经过5小时，才能开车． 故选：C ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则a n ＝ 2n ﹣5 ． 解：设公差为d ，则由条件有{S 4=4a 1+6d =0a 5=a 1+4d =5，解得{a 1=−3d =2．所以a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝2n ﹣5． 故答案为：2n ﹣5．12．已知平面向量a →，b →满足a →•（a →+b →）＝3，且|a →|＝2，|b →|＝1，则向量a →与b →的夹角为 2π3．解：设向量a →与b →的夹角为θ，θ∈[0，π] 由a →•（a →+b →）＝3可得a →2+a →⋅b →=3， 代入数据可得22+2×1×cos θ＝3， 解之可得cos θ=−12， 故可得θ=2π3 故答案为：2π313．从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A ﹣BCD ，则它的体积与正方体体积的比为13；它的表面积与正方体表面积的比为√33．解：设正方体的棱长为1，则正三棱锥A ﹣BCD 的棱长为√2，∴正方体的体积为1，正三棱锥A ﹣BCD 的体积为1﹣4×13×12×1×1×1=13， ∴正三棱锥A ﹣BCD 的体积与正方体体积的比为131=13；∵正三棱锥A ﹣BCD 的表面积为4×12×√2×√2×√32=2√3，而正方体表面积为6×1×1＝6，∴正三棱锥A ﹣BCD 的表面积与正方体表面积的比为2√36=√33． 故答案为：13；√33．14．将函数y ＝3sin （2x +π4）的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 x =−5π24 ．解：因为函数y ＝3sin （2x +π4）的图象向右平移π6个单位长度可得g （x ）＝f （x −π6）＝3sin （2x −π3+π4）＝3sin （2x −π12）， 则y ＝g （x ）的对称轴为2x −π12=π2+k π，k ∈Z ， 即x =7π24+kπ2，k ∈Z ， 当k ＝0时，x =7π24， 当k ＝﹣1时，x =−5π24，所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是x =−5π24， 故答案为：x =−5π24，15．已知函数f(x)={−x 2−3x ，x ＜0，f(x −3)，x ≥0，以下结论正确的序号是 ②③ ．①f （x ）在区间[7，9]上是增函数 ②f （﹣2）+f （2022）＝2③若函数y ＝f （x ）﹣b 在（﹣∞，6）上有6个零点x i （i ＝1，2，3，4，5，6），则6个零点的和∑ 6i=1x i =9 ④若方程f （x ）＝kx +1恰有3个实根，则k ∈(−1，−13) 解：由题意可知，当x ≥﹣3时，f （x ）是以3为周期的函数， 故f （x ）在[7，9]上的单调性与f （x ）在[﹣2，0]上的单调性相同，而当x ＜0时，f(x)=−(x +32)2+94，f （x ）在﹣2，0]上不单调，故①错误； f （2022）＝f （﹣3）＝0，f （﹣2）＝2，故f （﹣2）+f （2022）＝2，故②正确； 作出y ＝f （x ）的函数图象如图所示：由于y ＝f （x ）﹣b 在（﹣∞，6）上有6个零点，故直线y ＝b 与y ＝f （x ）在（﹣∞，6）上有6个交点，不妨设x i ＜x i +1，i ＝1，2，3，4，5，由图象可知x 1，x 2关于直线x =−32对称，x 3，x 4关于直线x =32对称，x 5，x 6关于直线x =92对称， 则∑ 6i=1x i =−32×2+32×2+92×2=9，故③正确；若直线y ＝kx +1经过点（3，0），则若直线y ＝kx +1经过点（3，0），则k =−13； 若直线y ＝kx +1与y ＝﹣x 2﹣3x （x ＜0）相切，消元可得x2+（3+k）x+1＝0，Δ＝（3+k）2﹣4＝0，解得k＝﹣1或k＝﹣5，当k＝﹣1时，x＝﹣1，当k＝﹣5时，x＝1（舍去），故k＝﹣1；若直线y＝kx+1与y＝f（x）在（0，3）上的图象相切，由对称性可得k＝1．方程f（x）＝kx+1恰有3个实根，故直线y＝kx+1与y＝f（x）的图象有3个交点，则−1＜k＜−13或k＝1，故④错误．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，共85分.16．（13分）在△ABC中，bsinA=acos(B−π6)．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若c＝5，_____．求a．从①b＝7，②C=π4这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得asinA =bsinB，得b sin A＝a sin B，又b sin A＝a cos（B−π6）．∴a sin B＝a cos（B−π6），即sin B＝cos（B−π6）＝cos B cosπ6+sin B sinπ6=√32cos B+12sin B，整理可得：sin B=√3cos B，∴tan B=√3，又B∈（0，π），∴B=π3．（Ⅱ）若选①b＝7，则在△ABC中，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得a2﹣5a﹣24＝0，解得a＝8，或a＝﹣3（舍去），可得a＝8．若选②C=π4，则sin A＝sin（B+C）＝sinπ3cosπ4+cosπ3sinπ4=√6+√24，由正弦定理asinA =csinC，可得√6+√24=√22，解得a=5√3+52．综上所述：若选①a＝8；若选②a=5+5√35．17．（13分）已知等差数列{a n}满足a1＝1，a2+a4＝10．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}，b1﹣a1＝0，b2+a2＝0，求{b n}的通项公式；（Ⅲ）若c n=a n+b an，求数列{c n}的前n项和．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a1＝1，a2+a4＝10，可得1+d+1+3d＝10，解得d＝2，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1：（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，由b1﹣a1＝0，b2+a2＝0，可得b1＝1，b2＝q＝﹣3，则b n＝（﹣3）n﹣1；（Ⅲ）c n=a n+b an=（2n﹣1）+（﹣3）2n﹣2＝（2n﹣1）+9n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+...+2n﹣1）+（1+9+...+9n﹣1）=12n（1+2n﹣1）+1−9n1−9=n2+9n−18．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形．且P A⊥平面ABCD，M，N分别为PB，PD的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；（Ⅱ）若P A＝AB＝2，求CN与平面PBD所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为PB，PD的中点．取PC中点Q，连结QM，QN，则QM∥BC，QN∥CD，∵QM∩QN＝Q，BC∩CD＝C，∴平面ABCD ∥平面QMN ，∵MN ⊂平面PMN ，∴MN ∥平面ABCD ．（Ⅱ）∵底面ABCD 为正方形．P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝2，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则C （2，2，0），N （0，1，1），P （0，0，2），B （2，0，0），D （0，2，0）， CN →=（﹣2，﹣1，1），PB →=（2，0，﹣2），PD →=（0，2，﹣2）， 设平面PBD 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅PB →=2x −2z =0n →⋅PD →=2y −2z =0，取x ＝1，得n →=（1，1，1）， 设CN 与平面PBD 所成角为θ，则CN 与平面PBD 所成角的正弦值为：sin θ=|CN →⋅n →||CN →|⋅|n →|=2√6⋅√3=√23． 19．（15分）为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动．为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查．求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X 为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导．规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”．在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1．在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”．能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由．解：（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S ，现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为∁102．参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共C42=6种，所以P(S)=C42C102=4×3210×92=215．（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所．P(X=0)=C40⋅C62C102=13，P(X=1)=C41⋅C61C102=815，P(X=2)=C42⋅C60C102=215．X的分布列为：E(X)=0×13+1×815+2×215=45．（Ⅲ）答案不唯一．答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：C32⋅0.12⋅0.9+C33⋅0.13=0.028．指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．答案示例2：无法确定．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：C32⋅0.12⋅0.9+C33⋅0.13=0.028．虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化．20．（15分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1，a∈R是常数．（Ⅰ）求函数y＝f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；（Ⅱ）证明：函数y＝f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；（Ⅲ）讨论函数y＝f（x）零点的个数．解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′(x)=1x−a，f（1）＝﹣a+1，所以切线斜率k＝f'（1）＝1﹣a，所以切线l的方程为y﹣（1﹣a）＝（1﹣a）（x﹣1），即y＝（1﹣a）x．（Ⅱ）令F（x）＝f（x）﹣（1﹣a）x＝lnx﹣x+1，x＞0，则F'（x）=1x−1=1−xx=0，解得x＝1．F（1）＜0，所以∀x＞0且x≠1，F（x）＜0，所以f（x）＜（1﹣a）x，即函数y ＝f （x ）（x ≠1）的图象在直线l 的下方． （Ⅲ）令f （x ）＝lnx ﹣ax +1＝0，则a =1+lnxx． 令 g （x ）=1+lnx x ，则g '（x ）=1−(1+lnx)x 2=−lnxx 2， 则g （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 当x ＝1时，g （x ）的最大值为g （1）＝1．所以若a ＞1，则f （x ）无零点；若f （x ）有零点，则a ≤1．若a ＝1，f （x ）＝lnx ﹣ax +1＝0，由（Ⅰ）知f （x ）有且仅有一个零点x ＝1．若a ≤0，f （x ）＝lnx ﹣ax +1单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知f （x ）有且仅有一个零点（或：直线y ＝ax ﹣1与曲线y ＝lnx 有一个交点）． 若0＜a ＜1，解f '（x ）=1x −a =0，得x =1a ，由函数的单调性得知f （x ）在x =1a 处取最大值，f （1a）＝ln 1a＞0，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x 充分大时f （x ）＜0，即f （x ）在单调递减区间（1a，+∞）有且仅有一个零点；又因为f （1e )=−a e＜0=−ae＜0，所以f （x ）在单调递增区间（0，1a）有且仅有一个零点．综上所述，当a ＞1时，f （x ）无零点； 当a ＝1或a ≤0时，f （x ）有且仅有一个零点； 当0＜a ＜1时，f （x ）有两个零点．…（13分）21．（15分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z 拓展”．如数列1，2第1次“Z 拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z 拓展”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a ，b ，c 经过第n 次“Z 拓展”后所得数列的项数记为P n ，所有项的和记为S n ．（Ⅰ）求P 1，P 2；（Ⅱ）若P n ≥2020，求n 的最小值；（Ⅲ）是否存在实数a ，b ，c ，使得数列{S n }为等比数列？若存在，求a ，b ，c 满足的条件；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数P 1＝3+2＝5； 经第2次拓展后的项数P 2＝5+4＝9．（Ⅱ）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第n 次拓展后的项数为P n ，则经第n +1次拓展后增加的项数为P n ﹣1， 所以P n +1＝P n +（P n ﹣1）＝2P n ﹣1所以P n +1﹣1＝2P n ﹣2＝2（P n ﹣1），由（Ⅰ）知P 1﹣1＝4，P n −1=4⋅2n−1=2n+1 所以P n =2n+1+1，由P n =2n+1+1≥2020，即2n +1≥2019，解得n ≥10 所以n 的最小值为10．（Ⅲ）设第n 次拓展后数列的各项为a ，a 1，a 2，a 3，…，a m ，c 所以S n ＝a +a 1+a 2+a 3+…+a m +c因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，所以S n +1＝a +（a +a 1）+a 1+（a 1+a 2）+a 2+（a 2+a 3）+…+a m +（a m +c ）+c 即S n +1＝2a +3a 1+3a 2+…+3a m +2c 所以S n +1＝3S n ﹣（a +c ），S n+1−a+c 2=3(S n −a+c2) 得S n −a+c2=(S 1−a+c2)⋅3n−1由S 1＝2a +3b +2c ，则S n =(b +a+c2)⋅3n +a+c2若使S n 为等比数列，则{a+c 2=0b +a+c 2≠0或{b +a+c2=0a+c 2≠0所以，a ，b ，c 满足的条件为{a +c =0b ≠0或者{2b +a +c =0b ≠0．。

一 •选择题（共8小题, 21. 已知集合A {x|xA.{0}B.{0,1} 2. 下列函数中，在区间 2014年北京高考数学（理科）试题每小题5分， 2x 0}, B C.{0,2} 共40分•在每小题列出的四个选项中, {0,1,2}，则 D.{0,1,2} 选出符合题目要求的一项）AI A.y . x 1 B.y (x 1)2 C.y 2 x D.y log 0.5(x 1) x 1 3.曲线 y 2 cos ( sin 为参数）的对称中心（） A.在直线y 2x 上 B.在直线y 2x 上C.在直线y x 1上D.在直线y x 1上 4.当 m 7, n 3时，执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A.7B.4C.210D.840) （0,）上为增函数的是（ 1"是"{a n }"为递增数列的（ A.充分且不必要条件 B.要且不充分条件C.充分必要条件D.既不卜充分也不必要条件 x y 2 0 6.若x, y 满足kx y 2 0且z y x 的最小值为-4,贝U k 的值为（ ) y 0 A.2 B. 2 C 1 D . 12 2) 7.在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知A 2,0,0 ，B 2,2,0 ，C 0,2,0 ，D 1,1/. 2，若 (A ) S 1 S 2 S 3 (B ) S 1 S 2 且 S 3 S (C ) S 1 S 3 且 S 3 S 2 (D ) S 2 S 3且 S 1 S 38.有语文、 数学两学科， 成绩评定为“优秀” “合格” “不合格” 三种 若 A 同学每科成绩不3， S 2， S 3分别表示三棱锥 D ABC 在xOy ， yOz ， zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（） 低于B 同学，且至少有一科成绩比 B 高，则称“ A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学,他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（）(A ) 2(B) 3(C) 4(D) 5二、填空题(共2i6小题, 每小题5分，共30分）19.复数1i r r r r r r10.已知向量a b满足a 1 ,b 2,1，且a b 0R，则| |21 111.设双曲线C经过点2,2，且与丄X21具有相同渐近线，则C的方程为；4渐近线方程为_________ .12.若等差数列a n满足a7 a8 a9 0，a? a io 0 ,则当n _________ 时a n的前n项和最大.13.把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有 __________ 种14.设函数f（x） sin（ x ），A 0, 0，若f （x）在区间［一，］上具有单调性，且6 2f — f — f —，贝U f （x）的最小正周期为2 3 6三•解答题（共6题，满分80分）1 15.（本小题13分）如图，在ABC中，B , AB 8，点D在BC边上，且CD 2,cos ADC3 7（1）求sin BAD(2)求BD,AC的长16.（本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率•（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率.（3）记X是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这比赛中的命中次数，比较E（X）与x的大小（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B,C分别为AM , MD的中点，在五棱锥P ABCDE 中，F为棱PE 的中点，平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H .（1）求证：AB//FG ；（2）若PA 底面ABCDE，且AF PE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.V ■、¥ nL■Jr■ Jr_ r18.（本小题13分）12」、选择题 (1) C (5) D2014年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷)参考答案 每小题8小题,(2) A (6) D 5分，共40分) (3) B (4) C (7) D (8) B 二、填空题 (9) 6小题, 每小题(11)(13) 12x 3362y_ 2x三、解答题(共 (15)(共 13 分)6小题, 5分，共30分)_(10)亦共 80 分) (12) 8 (14)已知函数 f(x) xcosx sinx, x [0,—],2(1)求证： f(x) 0 ；(2)若 asin x b 在(0,—)上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值x219.(本小题 14分)2 2已知椭圆C : x 2y 4 , (1) 求椭圆C 的离心率.(2) 设O 为原点，若点 A 在椭圆C 上，点B 在直线y 2上，且OA OB ，求直线 AB 与圆2 2x y 2的位置关系，并证明你的结论 •20.(本小题13分)对于数对序列 P(a i ,d),(a 2,b 2),L ,(a n ,b n )，记=(P) a 〔 b ，T k (P) b k max{T k 1(P)e a ? La k }(2 k n)，其中max{T k 1(P),Q a 2 L a k }表示T k 1 (P)和a i a 2 L 比两个数中最大的数， (1) 对于数对序列 P(2,5), P(4,1)，求T i (P),T 2(P)的值.(2) 记m 为a,b,c,d 四个数中最小值，对于由两个数对(a, b),(c,d)组成的数对序列 P(a,b),(c,d)和P'(a,b),(c,d)，试分别对m a 和m d 的两种情况比较T 2(P)和T 2(P')的大 小.(3) 在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使T 5(P)最小，并写出T s (P)的值•(只需写出结论)•解：(I )在 ADC 中，因为 COS ADC 1，所以 sin ADC 4-^ 7 7所以 sin BAD sin( ADC B)sin ADC cosB cos ADC sinB_ 431=72(U)在ABD 中，由正弦定理得在ABC 中，由余弦定理得AC 2 AB 2 BC 2 2AB BC cosB2 2 182 52 2 8 5 — 492所以AC 7(16) (I)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场, 分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 0.6的概率是05.(U)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6 ”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6 ”， 事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6 , 一场不超过0.6 ”。

2014-2015学年度第一学期期中练习题年级：高三科目：数学（理）一、选择题（每小题5分，共40分）1．若集合{}21,A m =，集合{}2,4B =，则"2"m =是{}"4"A B =I 的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．若O 是ABC △所在的平面内的一点，且满足()()0BO OC OC OA +⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC △是（ ）．A ．等边三角形B ．斜三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形3．已知圆222x y +=上任一点(),P x y ，其坐标均使得不等式0x y m ++≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．[)2,+∞B ．(],2-∞-C ．[)3,-+∞D ．(],3-∞-4．若直线220ax y ++=与直线()2310x a y +-+=平行，则实数a 的值为（ ）． A ．4 B ．1- C ． 4或1- D ．325．已知等比数列{}n a 中，154a a ⋅=，那么12345a a a a a ⋅⋅⋅⋅等于（ ）． A ．64± B ．64 C ．32± D ．326．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，以原点为圆心，a 为半径作圆O ，过点2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆的切点，两切线的夹角为3π，则椭圆的离心率为（ ）．A ．2B ．12C ．2 D7．如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有（ ）． A ．50种B ．60种C ．120种D ．210种8．已知等差数列{}n a 的通项公式()211,2,3,n a n n =-=L ，记11T a =， 1121122,,n n n n n n T a n T T a a n -+-++⎧⎪=⎨++⎪⎩为奇数,为偶数()2,3,n =L ，那么2n T =（ ）． A ．21n + B ．1162n -C ．251,436,1n n n n =⎧⎨-+≠⎩，D ．232n n +二、填空题（每小题5分，共30分）9．若双曲线()222109x y a a -=>的一条渐近线方程为320x y -=，则a =_________．10．若()()2312311,nn x a x a x a x x n N *+=+++++∈L ，且12:1:3a a =，则n =_________．11．若向量a r ，b r 满足：()()24a b a b -⋅+=-r r r r ，且2a =r ，4b =r ，则a r 与b r的夹角等于_________．12．函数11y x=-的图象与函数()2sin 24y x x =-≤≤π的图象所有交点的横坐标之和等于_________．13．已知14k ≤≤，直线1:2280l kx y k --+=和直线2:2440l x ky k +--=与x 轴围成一个三角形，则这个三角形面积最小值为_________．14．某种球赛比赛结束后，获胜一方全部上场队员的数据统计如下：给出下列四个结论： ①本场得分最多的选手是32号； ②球队的两分球命中率高于50％； ③双方上场队员各4人；④一场比赛的时间大约为60分钟．其中，所有正确结论的序号是_________．三、解答题15．（13分）已知在ABC ∆中，A B >，且tan A 与tan B 是方程2560x x -+=的两个根． （1）求()tan A B +的值； （2）若5AB =，求BC 的长．16．（13分）袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．（1）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两个颜色不同的概率；（2）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记随机变量X为摸出两球中白球的个数，求X的期望和方差．17．（13分）已知圆22:430C x y y ++-=，直线l 的斜率为1． （1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆交与A ，B 两点，且以弦AB 为直径的圆过原点，求直线l 的方程．18．（14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，()21n n S na n n =--()1,2,3,n =L ． （1）求证：数列{}n a 为等差数列，并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式；答案见解析 （2）求12231111n na a a a a a -+++L ； （3）求数列{}2n n a 的前n 项和n T ．19．（14分）已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆上不同两点M，N（M，N不是椭圆的左、右顶点）满足AM AN（A 为椭圆右顶点），过点A作直线MN的垂线，垂足为Q，问在x轴上是否存在一点P，使PQ为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．（13分）一个函数()f x ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在()f x的定义域内，就有()f a ，()f b ，()f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“保三角形函数”．（1）判断()1f x =()22f x x =是否是“保三角形函数”，并说明理由；答案见解析 （2）如果()g x 是定义在R 上的周期函数，且值域为()0,+∞，证明()g x 不是“保三角形函数”；（3）若函数()sin F x x =，()0,x A ∈是“保三角形函数”，求A 的最大值．（只写结果即可） （可利用公式sin sin 2sincos22x y x yx y +-+=）2014-2015学年度第一学期期中练习题(答案与解析)一、选择题（每小题5分，共40分） 1．【答案】A ．【解析】由于{}4A B =I ，则24m =，得2m =±，因此"2"m =是{}"4"A B =I 的充分不必要条件，故选A ．2．【答案】D ．【解析】根据向量运算法则：BO OC BC +=u u u r u u u r u u u r ，OC OA AC -=u u u r u u u r u u u r ，那么()()0BO OC OC OA BC AC +⋅-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以90C =︒，因此ABC △是直角三角形，故选D ．3．【答案】A ．【解析】因为0x y m ++≥，即m x y --≥恒成立，所以只需求出x y --的最大值即可，因为222122x y x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭≥，所以()24x y +≤，解得22x y -+≤≤， 所以22x y ---≤≤，则2m ≥，则实数m 的取值范围是[)2,+∞，故选A ．4．【答案】B ．【解析】因为两直线平行，则有()3220a a --⨯=且()21230a ⨯--≠，解得实数a 的值为1-，故选B ．5．【答案】C ．【解析】因为152433+=+=+，所以215243a a a a a ⋅=⋅=，又因为154a a ⋅=，所以32a =±所以512345332a a a a a a ⋅⋅⋅⋅==±，故选C ．6．【答案】B ．【解析】根据题意，图象大致如图所示，由于两切线的夹角为3π， 即3APB ∠=π，在Rt ABC △中，6APO ∠=π，有22a a c =⋅所以，12c a =，故选B ．7．【答案】C ．【解析】分两步计算：第一步，先安排甲学校参观，因为甲学校连续参观两天，从7天中找连续的两天，可以是周一周二，可以是周二周三，可以是周三周四，可以是周四周五，可以是周五周六，可以是周六周日，有16A 种方法．第二步，安排另两所学校，因为另两所学校各参观一天，从剩下的5天中任选2天，有25A 种方法．最后，两步方法数相乘，共有1265120A A =种方法，故选C ． 8．【答案】D ．【解析】 因为1121122,,n n n n n n T a n T T a a n -+-++⎧⎪=⎨++⎪⎩为奇数,为偶数()2,3,n =L ，所以2211n n n n T T a a -+=++()()()()2212311231112334121223333333121232211221232n n n n n n n n n n n n n n n T a a a T a a a T a a T a a a a a a a a a n a n n n n n-+--+-+++=+++=+++=++=+++++++++-=⨯+++--=+++=+L 故选D ．二、填空题（每小题5分，共30分） 9．【答案】2．【解析】根据题意可知3b =，再由渐近线方程知32b a =，因此2a =． 10．【答案】7．【解析】根据题意可知，11n a C =，22n a C =，因为12:1:3a a =，即12:1:3nn C C =， 可得()1:1:32n n n -=，即16n -=，解得7n =．11．【答案】23π． 【解析】因为()()2222222cos ,4a b a b a a b b a a b a b b -⋅+=-⋅-=-⋅<>-=-r r r r r r r r r r r r r r ，即88cos ,164a b -<>-=-r r ，所以1cos ,2a b <>=-r r ，a r 与b r 的夹角等于23π．12．【答案】8． 【解析】函数11y x=-的图象与函数()2sin 24y x x =-≤≤π的图象大致如图所示，两个函数均关于点()1,0中心对称，公有4对 点关于其对称，因此两函数所有交点的横坐标之和等于8．13．【答案】16．【解析】根据已知，直线1l 与2l 恒过定点()2,4Q ，且两直线互相垂直，图象大致如图所示，1l 与x 轴交点82,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2l 与x 轴交点()22,0B k +，由于14k ≤≤，所以820k -<，220k +>，所以82222AB k k k ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭所以118421622QBC S QC AB k k ⎛⎫==⋅⋅+ ⎪⎝⎭≥△ 当且仅当82k k=，即2k =时等号成立， 因此三角形面积最小值为16．14．【答案】①④．【解析】①正确，由表知，9号选手得17分，51号选手得12分，33号选手得0分，1 号选手得9分，3号选手得23分，20号选手得6分，6号选手得2分， 35号选手得分0，32号选手得分为25分；因此本场得分最多的选手是32号； ②错误，球队的两分球命中率23619211544912117432P ++++==<+++++++；③错误，获胜方上场队员9人；④正确，根据已知本场比赛最少用时44:43分钟，最多44:4336:3881:21+= 分钟，一场比赛的时间大约为60分钟，比较合理． 因此正确的序号是①④．三、解答题15．解：（1）因为tan A 与tan B 是方程2560x x -+=的两个根，根据韦达定理：tan tan 5A B +=，tan tan 6A B ⋅=， ()tan tan 5tan 11tan tan 16A B A B A B ++===---．（2）因为tan tan 5A B +=，tan tan 6A B ⋅=，且A B >，解得tan 3A =，从而sin A = 由（1）知，34A B +=π，所以4C =π， 则sin 2C =根据正弦定理：sin sin a cA C =，即BC ==16．解：（1）记摸出一球，放回后再摸出一个球“两球恰好颜色不同”为事件A ，摸出一球得白球的概率为25，摸出一球为黑球的概率为35， 所以()1223125525P A C =⋅⋅=． 答：两球颜色不同的概率是1225． （2）由题意，X 的可能取值为0，1，2，则有()32305410P X ==⨯=，()32233154545P X ==⨯+⨯=，()21125410P X ==⨯=，因此3314012105105EX =⨯+⨯+⨯=， 22243434190125105551025DX ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．答： 摸出白球个数ξ的期望和方差分别是45，925．17．解：（1）根据题意，圆的标准方程为()2227x y ++=，则圆心为()0,2-， 设直线l 的方程为：y x b =+，由于直线l 与圆C 相切，有=2b =-，因此直线l的方程为：2y x =-±（2）因为以弦AB 为直径的圆过原点，则0OA OB ⋅=u u u r u u u r，设()11,A x y ，()22,B x y ，那么12120x x y y +=．联立22430y x bx y y =+⎧⎨++-=⎩，得()22224430x b x b b ++++-=， ()()222244243416400b b b b b ∆=+-⨯+-=--+>，即22b --<<-+()122x x b +=-+，212432b b x x +-=()()()212121221y y x b x b x x b x x b =++=+++，那么()()2222121212122432230x x y y x x b x x b b b b b b b b +=+++=+--++=+-=，解得1b =或3b =-，所以直线l 的方程为3y x =-或1y x =+．18．解：（1）证明：因为()21n n S na n n =--当2n ≥时，()()()111212n n S n a n n --=---- 所以()11144n n n n S S na n a n ---=---+，即()1144n n n a na n a n -=---+，整理得：()()()11141n n n a n a n --=-+-， 由于2n ≥，所以14n n a a --=，所以数列{}n a 是以1为首项4为公差的等差数列． 因此43n a n =-，22n S n n =-．（2）因为()()111111474344743n na a n n n n -⎛⎫==- ⎪----⎝⎭所以，12231111111111145594743n n a a a a a a n n -⎛⎫+++=-+-++- ⎪--⎝⎭L L111144343n n n -⎛⎫=-=⎪--⎝⎭． （3）因为43n a n =-，所以()2432n n n a n =-，()123125292432n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，()23412125292432n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯L ，两式相减得：()12312424242432n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⋅L ，()()()111412244321214472n n n n n -++-=+⨯--⋅-=---⋅所以，()114472n n T n +=+-⋅．19．解：（1）根据题意：22c =，2b =，所以1c =，b =2a =因此椭圆的标准方程为：22143x y +=．（2）由题意知，当斜率不存在时，PQ 为任意值．当斜率k 存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y 联立2234120y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩， 整理得：222(43)84120k x kx m +++-=，显然0∆>，122834km x x k-+=+，212241234m x x k -=+， 因为()2,0A ，所以()12AM x =-u u u u r ，()22AN x =-u u u r，那么()()1212220AM AN x x y y ⋅=--+=u u u u r u u u r，即()()()2212121240k x x km x x m ++-+++= 整理得：2241670k km m ++=，解得27km =-或2m k =-（舍）． 设()00,Q x y ，根据题意有00002ky x y kx m =-+⎧⎨=+⎩，解得0221km x k -=+，0221k my k +=+， 所以()()22214212,7171k k Q k k ⎛⎫+ ⎪ ⎪++⎝⎭，设(),0P t ， 所以()()222222142127171k k PQ k k ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()22424227227147144147499849t k t t k t k k -----+-⎡⎤⎣⎦=++，所以()()()()2222714714427147499849t t t t ----⎡⎤--⎣⎦==，所以87t =，所以点P 的坐标为8,07⎛⎫ ⎪⎝⎭． 20．解：（1） ()1f x 是“保三角形函数”，()2f x 不是“保三角形函数”．任给三角形，设它的三边长分别为,,a b c ，则a b c +>，不妨假设,a c b c 剟，0，所以()1f x 是“保三角形函数”． 对于()2f x ，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但222335+<，所以不存在三角形以23，23，25为三边长，故()3f x 不是“保三角形函数”． （2）设0T >为()g x 的一个周期，由于其值域为()0,+∞，所以，存在0n m >>，使得()()1,2g m g n ==，取正整数n mT->λ，可知T m +λ，T m +λ，n 这三个数可作为一个三角形的三边长，但()1g T m +=λ，()1g T m +=λ，()2g n =不能作为任何一个三角形的三边长．故()g x 不是“保三角形函数”． （3）A 的最大值为56π． 一方面，若56A >π，下证()F x 不是“保三角形函数”． 取2π，56π，()50,6A ∈π，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但sin 12=π，51sin 62=π，51sin 62=π不能作为任何一个三角形的三边长，故()F x 不是“保三角形函数”． 另一方面，以下证明56A =π时，()F x 是“保三角形函数”． 对任意三角形的三边,,a b c ，若5,,(0,)6a b c ∈π，则分类讨论如下： ①2a b c ++≥π， 此时5522663a b c -->--=≥πππππ，同理，b ，3c >π， ∴5,,(,)36a b c ∈ππ，故1sin ,sin ,sin (,1]2a b c ∈，11sin sin 1sin 22a b c +>+=…．同理可证其余两式．∴sin ,sin ,sin a b c 可作为某个三角形的三边长． ②2a b c ++<π 此时，22a b c++<π，可得如下两种情况： 22a b +≤π时，由于a b c +>，所以，0222c a b +<<≤π．由sin x 在(0,]2π上的单调性可得 0sin sin 122c a b+<<≤；22a b +>π时，0222c a b +<<-<ππ， 同样，由sin x 在0,2⎛⎫⎪⎝⎭π上的单调性可得 0sin sin 122c a b +<<<；总之，0sin sin 122c a b+<<≤．又由56a b c -<<π及余弦函数在()0,π上单调递减，得 5coscos cos cos 022212a b a b c --=>>>π， ∴sin sin 2sin cos 2sin cos sin 2222a b a b c ca b c +-+=>=．同理可证其余两式，所以sin ,sin ,sin a b c 也是某个三角形的三边长．故56A =π时，()F x 是“保三角形函数”． 综上，A 的最大值为56π．。