正截面受弯承载力计算 混凝土结构

h0—有效高度。 1.最大配筋率及界限相对受压区高度
r As f y As a1 fcbx x a1 fc
bh0 bh0 f y bh0 f y h0 f y
令
x
h0
则
r
a1 fc
fy
令b为 = r max时的相对受压区高度，即
rmax
b
a1
f
fc
y
= r max时的破坏形态为受压区边缘混凝土达到极限压
c fc e0 e ecu
n
2
1 60
(
fcu,k
50)
2.0
各系数查表4-3
e0 0.002 0.5( fcu,k 50)105 0.002
ecu 0.0033 0.5( fcu,k 50)105 0.0033
4.钢筋应力—应变关系的假定（本构关系）
Ese e e y fy e ey
4.3钢筋混凝土受弯构件正截面试验研究
一、受弯构件正截面破坏过程
受弯构件正截面破坏分为三个阶段 • 第一阶段：裂缝开裂前 • 第二阶段：从开裂到钢筋屈服 • 第三阶段：从钢筋屈服到梁破坏
（1）第I阶段
当荷载比较小时，混凝土基本处 于弹性阶段，截面上应力分布为三 角形，荷载-挠度曲线或弯矩-曲率 曲线基本接近直线。截面抗弯刚度 较大，挠度和截面曲率很小，钢筋 的应力也很小，且都于弯矩近似成 正比。
My
Mu
Failure”，破坏前
可吸收较大的应变
能。
0
f
2．超筋梁(Over reinforced)破坏
钢筋配置过多，将发生这种破坏。 破坏特征：破坏时钢筋没有达到屈服强度，破坏是由 于压区混凝土被压碎引起，没有明显预兆，为脆性破 坏。

应变图
ec max
应力图 M
et max
Mcr
M ft sAs Ia II My
ey
xf M fyAs IIa III Mu fyAs IIIa z T=fyAs D
sAs
I
sAs
各阶段截面应力、应变分布
受弯构件正截面破坏形态
钢筋混凝土受弯构件有两种破坏性质：
塑性破坏（延性破坏）：结构或构件在破坏前有明显变形
结构中常用的梁、板是典型的受弯构件。
中小跨径，多采用矩形及T形截面 大跨径，多采用工字形或箱形截面
截面尺寸
为统一模板尺寸、便于施工，通常采用梁
宽度b=120、150、180、200、220、250mm， 250mm以上者以50mm为模数递增。 梁高度h=250、300、350、400 、…800mm ， 800mm以上者以100mm为模数递增。
As (%) 定义 配筋率 bh0
ρ在一定程度上反映了正
截面上纵向受拉钢筋与混 凝土之间的面积比率，它 是对梁的受力性能有很大 影响的一个重要指标。
受弯构件正截面的受力特性
百分表 应变测点 百分表
位移计
在梁的纯弯段内，沿梁高布置 测点，量测梁截面不同高度处 的纵向应变。
采用预贴电阻应变片或其它方 法量测纵向受拉钢筋应变，从 而得到荷载不断增加时钢筋的 应力变化情况。 在梁跨中的下部设置位移计， 以量测梁跨中的挠度。
受力分为三个阶段
第Ⅰ阶段——未裂阶段
荷载很小，应力与应变之
间基本成线性关系； 荷载↑，砼拉应力达到ft， 拉区呈塑性变形；压区应 力图接近三角形； 砼达到极限拉应变 （et=etu），截面即将开裂 （Ⅰa状态），弯矩为开裂 弯矩Mcr； Ⅰa状态是抗裂计算依据。

位移计
L/3
L/3
L
受弯构件正截面承载力计算
数据采集系 统
h0
h
As b
2 试验研究 2.2 受弯构件正截面工作的三个阶段
受弯构件正截面承载力计算
2 试验研究 2.2 受弯构件正截面工作的三个阶段
弹性阶段（Ⅰ阶段）
受弯构件正截面承载力计算
2 试验研究 2.2 受弯构件正截面工作的三个阶段
受弯构件正截面承载力计算
• 一裂即断, 由砼的抗拉强度控制, 承载力很低。 • 破坏很突然, 属脆性破坏。 • 砼的抗压承载力未充分利用。 • 设计不允许。
受弯构件正截面承载力计算
3 配筋率对梁正截面破坏形态的影响
由上述分析可知，少筋破坏和超筋破坏都具有脆性 性质，破坏前无明显预兆，破坏时将造成严重后果，材 料的强度得不到充分利用。因此，应避免将受弯构件设 计成少筋构件和超筋构件，只允许设计成适筋构件。
e
受弯构件正截面承载力计算
4 基本假定和基本概念 4.1 基本假定
c
fc
11ee0c
n
fc
c fc
fy
0 e0
砼
ecu
0 fy
e
钢筋
受弯构件正截面承载力计算
4 基本假定和基本概念 4.2 等效矩形应力图形
（1）问题的提出：由于采用混凝土的真实压应力图来计 算极限弯矩Mu，需要进行比较复杂的积分运算，不利于工 程应用。
第 II 阶段 带裂缝工作阶段 有裂缝，挠度还不明显
曲线
第 III 阶段 破坏阶段 钢筋屈服，裂缝宽，挠度大 接近ຫໍສະໝຸດ 平的曲线混受凝
压
土
区
应
力
图
受

fy
(3)
相对受压区高度ξ不仅反映了钢筋与混凝土的面积比（配筋率 ρ），也反映了钢筋与混凝土的材料强度比，是反映构件中两种材 料配比本质的参数。
桥梁工程系－杨 剑
界限相对受压区高度ξb
ecu
x>xb’ Xb ’ x<xb’
ρ<ρmax
ρ=ρmax ρ>ρmax
ey
桥梁工程系－杨 剑
h0
有明显屈服点钢筋：
2
(5) (5a)
桥梁工程系－杨 剑
三. 适用条件
1. b x b h0
或
max b
a fc
f sd
2 0
M M u ,max a s ,max a f cbh
a s a s ,max b (1 - 0.5b )
防止所设计的梁为超筋梁
桥梁工程系－杨 剑
4
受弯构件强度和变形计算 ——混凝土结构规范部分
本章按照混凝土结构设计规范对钢筋砼受弯 构件进行分析
桥梁工程系－杨 剑
本章主要内容
4-1 受弯构件的应力阶段及破坏状态
4-2 受弯构件正截面承载力计算 4-3 单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算 4-4 双筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算
4-5 T形截面受弯构件正截面承载力计算
b =(1/3~1/4)h － T形截面，焊接骨架；
简支板可取h = (1/30 ~ 1/35)L
桥梁工程系－杨 剑
给定M时 ● 截面尺寸b、h(h0)越大，所需的As就越少， 越小，但 混凝土用量和模板费用增加，并影响使用净空高度； ● 反之，b、h(h0)越小，所需的As就越大， 增大。
b as

求：截面配筋As
2.已知：矩形截面钢筋混凝土简支梁，计算跨度为6000mm， as=35mm, 作用均布荷载25 kN/m，混凝土强度等级C20，钢筋HRB335级。 （ fc =9.6 N/mm2 ， ft =1.1 N/mm2 ， fy =300 N/mm2 ）
试设计此梁
3.已知：矩形截面梁尺寸b＝200mm、h＝450mm，as=35mm。混凝土 强度等级C70，钢筋HRB335级，实配4根20mm的钢筋。 （ fc =31.8 N/mm2 ， ft =2.14 N/mm2 ， fy =300 N/mm2 ）
b
max
b
1 fc
fy
受弯构件正截面承载力计算
最小配筋率ρmin
最小配筋率规定了少筋和适筋的界限
m in
As bh
0.45
ft fy
且同时不应小于0.2%
受弯构件正截面承载力计算
造价
总造价
混凝土
钢
经济配筋率
经济配筋率 板：0.4~0.8%
矩形梁：0.6~1.5% T形梁：0.9~1.8%
受弯构件正截面承载力计算
小相等； 2. 等效矩形应力图形与实际抛物线应力图形的形心位置相同，即合
力作用点不变。
受弯构件正截面承载力计算
表 5.1 混凝土受压区等效矩形应力图系数
≤C50 C55
C60
C65
C
0.8
0.99 0.98 0.97 0.96 0.95 0.94 0.79 0.78 0.77 0.76 0.73 0.74
钢筋与混凝土的材料强度比，是反映构件中两种材料配比的本质参数。
基本方程改为：
N 0, M 0,
1 fcb h0 s As M u 1 fcbh02 (1 0.5 )

（1）
Ms 0
M
1
fcbx(h0
x) 2
（2a）
或
Mc 0
M
f y As (h0
x) 2
（2b）
湖南大学
混凝土结构设计原理.第四章
3.基本公式适用条件 （1）为了防止少筋，要求：
式中
As minbh
（3）
min ——最小配筋率，按腹板全截面
计算，此值取 0.2% 和 45 ft / f y (%)
1 fc (bf b)hf 1 fcbx f y As （37）
M
1 fc (bf b)hf (h0
1
fcbx(h0
x 2
)
hf 2
)
（38）
适用条件：
混凝土结构设计原理.第四章
x bh0
As minbh
（39） （40）
湖南大学
混凝土结构设计原理.第四章
（五）深受弯构件正截面承载力
（三）双筋矩形截面正截面承载力
1．适用情况 ● 结构构件承受应变作用时； ● 弯矩设计值大于单筋截面的最大抵抗弯
矩值而截面尺寸等因素又不宜改变时； ● 受压区由于某种原因已布置受力钢筋时
候。 双筋截面不经济，尽量少用。
湖南大学
2．计算公式及使用条件
混凝土结构设计原理.第四章
X 0 M 0
f y As f y ' A's 1 fcbx
湖南大学
2．梁
（1）截面尺寸：h / l 1 ~ 1
8 16
h/b 2~ 4
混凝土结构设计原理.第四章
；悬臂梁 h / l 1
6
b 120,150,180,200,220,250,300,350,400,

fsd
即：
截面应力图
截面等效应力图
fcdb x k1 fcdb xc
x 2 xc yc 2 1 k2 xc
令：x xc ，可求出 21 k2 ,
k1
21 k2
对 C50 及以下混凝土， 1.0 ， 0.8 ；C80时， 0.94
0.74 ，中间内插值。《公路桥规》直接取 1.0。
k2 xc
cu c c d c
0
式中k1、k2与混凝土的 强度等级有关，对C50 及以下混凝土，积分 可得 k1=0.797
k2=0.588
4.3 正截面受弯承载力计算原理
第4章 受弯构件的正截面受弯承载力
3.等效矩形应力图
fcd
等效原则：
合力大小C 相等
合力点位置 yc不变
fsd
4.3 正截面受弯承载力计算原理
第4章 受弯构件的正截面受弯承载力
4.适筋梁与超筋梁的界限及界限配筋率 （1）界限破坏
适筋破坏：受拉钢筋先屈服，
然后混凝土受压区边缘达到极限压
应变。
超筋破坏：受拉钢筋不屈服，
混凝土受压区边缘达到极限压应变。
界限破坏：受拉钢筋屈服的同 时混凝土受压区边缘达到极限压应
适筋、超筋、界限破坏时的截面应变
4.1 梁、板的一般构造
第4章 受弯构件的正截面受弯承载力
常用直径为8mm、10mm、12mm和14mm。 ■ 板内钢筋： 受力钢筋宜采用HPB300、HRB400和HRBF400钢筋。 常用直径为8mm、10mm、12mm和14mm。 分布钢筋宜采用HPB300、HRB335钢筋。 常用直径为6mm、8mm。 ■ 钢筋净距、保护层及有效高度 截面有效高度h0为受拉钢筋合力点至受压区边缘的距离。 h0 h as

载力的设计值，它是由正截面上材料所产生的抗力。
（1） 截面形状
梁、板常用பைடு நூலகம்形、T形、I字形、槽形、空心板和倒 L形梁等对称和不对称截面
(2) 梁、板的截面尺寸
1)矩形截面梁的高宽比h/b一般取2.0～3.5；T形截面梁 的h/b一般取2.5～4.0(此处b为梁肋宽)。矩形截面的宽度 或T形截面的肋宽b一般取为100、120、150、(180)、200、 (220)、250和300mm，300mm以下的级差为50mm；括 号中的数值仅用于木模。
3.1受弯构件的一般构造
与构件的计算轴线相垂直的截面称为正截面。
结构和构件要满足承载能力极限状态和正常使用极
限状态的要求。梁、板正截面受弯承载力计算就是从满
足承载能力极限状态出发的，即要求满足
M≤Mu
(4—1)
式中的M是受弯构件正截面的弯矩设计值，它是由结构上
的作用所产生的内力设计值；Mu是受弯构件正截面受弯承
第三章 正截面受弯承载力计算
其特点是：1)纵向受拉钢筋屈服， 拉力保持为常值；裂缝截面处，受拉区 大部分混凝土已退出工作，受压区混凝 土压应力曲线图形比较丰满，有上升段 曲线，也有下降段曲线；2)弯矩还略有 增加；3)受压区边缘混凝土压应变达到 其极限压应变实验值εcu时，混凝土被 压碎，截面破坏；4)弯矩—曲率关系为 接近水平的曲线。
M0=Mcr0时，在纯弯段抗拉能力最薄弱的某一截 面处，当受拉区边缘纤维的拉应变值到达混凝土极限 拉应变实验值εtu0时，将首先出现第一条裂缝，一旦 开裂，梁即由第I阶段转入为第Ⅱ阶段工作。
随着弯矩继续增大，受压区混凝土压应变与受拉钢 筋的拉应变的实测值都不断增长，当应变的量测标距较 大，跨越几条裂缝时，测得的应变沿截面高度的变化规 律仍能符合平截面假定，

当受压钢筋按两排布置时，可取 as' = 60mm。对于板， 可取 as' = 20mm
公式的适用条件：
（1）x £ xb h0 可防止受压混凝土在受拉区纵向受力钢筋屈服前压碎
（2） x ³ 2 a s'可防止受压区纵向钢筋在构件破坏时达不到抗压强度
设计值。当不满足时，受压钢筋的应力达不到
f
' y
而成为未知数，
•由跨高比确定截面初步尺寸
•由受力特性及使用功能确定材性
•由基本公式, 求x
•验算公式的适用条件 xxbb
•由基本公式 (4-2) 求As
r = A s 验算
bh0
min
•选择钢筋直径和根数, 布置钢筋
截面校核：已知： b h ， f c , f y ，As 求：抗弯承载力Mu= ?
实际工程设计时的步骤：
力分布如图4-14所示，纵向压应力沿宽度分布不均匀。
办法：
限 使制 压的 应力b 分'f 宽布度,
均匀,并取 f c 。
b
' f
的取值与
梁的跨度l0, 深
的净距 s n , 翼
缘高度 h
' f
及受
力情况有关,
图5-14 T形截面的应力分布图
《规范》规定 按表5-3中的最小值取用。
T型及倒L形截面受弯构件翼缘计算宽度bf
As'
a1 fcb
①如果满足 x bh0
x
2
a
' s
则截面能够抵抗的弯矩为：
M u=fy 'A s '(h 0-as ')+a1fcbx(h 0-2 x)
②如果

发生条件： ρmin.h/h0≤ρ≤ρb
c
c
c
c
MI
Mcr
MII
My
(Mu) MIII
t<ft
sAs
sAs t=ft(t =tu)
s<y
sAs
s= fyAs
y
(c=cu) c
fyAs s>y
1.适筋梁特点：
min.h/h0 max
• 一开裂, 砼应力由裂缝截面处的钢筋承担, 荷 载继续增加, 裂缝不断加宽。受拉钢筋屈服, 压区砼压碎
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混凝土结构设计原理
第4章
§4.1 概 述
4.1.1几个基本概念
1.受弯构件:主要指各种类型的梁和板。 内力特点:截面上通常有弯矩和剪力共同作用。
２. 正截面：与构件计算轴线相垂直的截面。
３. 承载力计算公式： M ≤Mu
M —— 受弯构件正截面弯矩设计值； Mu——受弯构件正截面受弯承载力设计值。
宽度 ：b = 120、150、（180）、200、（220）、 250、300、350、…(mm)
高度：h=250、300、350、400、……、750、800、 900、…(mm)。
二、 截面尺寸和配筋构造
2. 板
c15mm d
分布钢筋
h0
h
d 6 ~ 12mm
h0 h 20
板厚的模数为10mm
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混凝土结构设计原理
第4章
§4.3 正截面受弯承载力计算原则
4.3.1 基本假设
截面应变保持平面； 不考虑混凝土抗拉强度； 钢筋的应力-应变具有以下关系：

3.5.3计算方法 1）截面计算
情况1：已知截面尺寸、材料的强度类别，弯 矩计算值，求 As和As 。
（1）假设 as和as ，求得h0 has。
（2）验算是否需要双筋截面。
M M ufcb d02 hb(1.5b)
（3）补充条件xbh0 ，求得 As和As 。
（4）分别选择受压及受拉钢筋的直径和根数，进 行截面布置。
第三章
受弯构件正截面承载力计算
受弯构件的主要破坏形态:
3.1受弯构件的截面形式与构造 3.1.1截面的形式和尺寸
板
受压区
现浇板宽度 比较大，计算 时可取单位宽 度的矩形截面 计算。
b 整体式板
受拉钢筋
钢筋混凝土简支板的标准跨径不宜大于13m，连 续板桥的标准跨径不宜大于25m，预应力连续板桥 的标准跨径不宜大于30m。
As

M fsd(h0 as)
（4）当 xbh0且 x2as时，由基本公式求 A s 。
（5）选择钢筋的直径和根数，布置截面钢筋。
2)截面复核 （1）检查钢筋布置是否符合要求。 （2）按双筋截面求受压区高度x。
（3）当 xbh0且 x2as时，由下式求受拉钢筋面积。
As

M fsd(h0 as)
箍筋直径不小于8mm或受压钢筋直径的1/4倍。
受压钢筋的应力 由图可得：
cu 0.0033
x c xc as s
a s
cs uxcx cas (1a xc s)(10.8 xas)
A s
As
s
0.00(1303.8as) x
取 x 2as
C0bx0bxc 0bch0 yc 2x12xc 12ch0
x = βxc

3.2 梁板结构的一般构造
第4章 受弯构件正截面承载力
分布钢筋的作用：
抵抗混凝土收缩和温度变化所引起的内力； 浇捣混凝土时，固定受力钢筋的位置； 将板上作用的局部荷载分散在较大的宽度上，以便 使更多的受力钢筋参与工作； 对四边支撑的单向板，可承受在计算中没有考虑的 长跨方向上实际存在的弯矩。
板中单位长度上的分布钢筋，其截面面积不应小于 单位长度上受力钢筋截面面积的15%，且配筋率不宜小于 0.15%。间距不应大于250mm，直径不宜小于6mm。
4.2 梁板结构的一般构造
第4章 受弯构件正截面承载力
弯起钢筋 架立钢筋
腰筋
箍筋
纵向钢筋
梁的钢筋构造
梁中钢筋由纵向受力钢筋、弯起钢筋、箍筋和架立钢筋组 成，纵向受力钢筋的作用是承受由弯矩在梁内产生的拉力。 常用直径：10～32mm。 当h ≥ 300mm，直径不小于10mm；当h<300mm，直径 不小于8mm。
第4章 受弯构件正截面承载力
梁的配筋率ρ 很小，梁拉区开裂后，钢筋 应力趋近于屈服强度，即开裂弯矩Mcr趋近于拉 区钢筋屈服时的弯矩 My，这意味着第Ⅱ阶段的 缩短，当ρ 减少到当 Mcr=My 时，裂缝一旦出现，
钢筋应力立即达到屈服强度，这时的配筋百分
率ρ 称为最小配筋率ρ
min。
min b max
h0
h
第4章 受弯构件正截面承载力
正截面受弯的三种破坏形态
(1) 适筋破坏形态——破坏始自受拉区 钢筋的屈服
受拉钢筋先屈服，受压区混凝土后 压坏，破坏前有明显预兆——裂缝、变 形急剧发展，为“塑性破坏”。
(2) 超筋破坏形态——破坏始自受压混 凝土的压碎
受压区混凝土先压碎，钢筋不屈服， 破坏前没有明显预兆，为“脆性破坏”。 钢筋的抗拉强度没有被充分利用。

•
一般取2.0～4.0
•
梁宽度多为150、200、250、300、350mm等
b. 板
a) 设计时通常取单位宽度（b＝1000mm）进行计算
b) 板厚除应满足各项功能要求外，尚应满足最小厚度要求
4.1.2 材料选择与一般构造
① 混凝土强度等级
•
工程中常用的梁、板混凝土强度等级是：C20、C25、C30、C35、
Mu的计算、应用是本章的中心问题
截面破坏形式 • 破坏通常有正截面和斜截面
两种形式
Ｖ Ｖ
•M
受弯构件设计的内容
正截面受弯承载力计算（按已知弯矩设计值M确定截 面尺寸和纵向受力钢筋）；
斜截面受剪承载力计算（按剪力设计值V计算确定箍 筋和弯起钢筋的数量）；
钢筋布置（为保证钢筋与混凝土的粘结，并使钢筋充 分发挥作用，根据荷载产生的弯矩图和剪力图确定钢 筋沿构件轴线的布置）；
梁的截面尺寸主要应根据所承受的外部作用决
定，同时也需考虑模板尺寸、构件的截面尺寸符合模数、
方便施工。
现浇梁、板的截面尺寸可参考下述原则 选a. 取梁：
a) 高度h
•
较为常见的取值为：300、350、400、450、500、
550、600、650、700、750、800、900、1000mm等
b) 梁的高宽比（h/b）
根数：不少于2根，同时应满足图4－2所示对纵筋净距的要求（便于 浇注混凝土，保证钢筋周围混凝土的密实性）
b) 梁内箍筋
强度等级：常采用HPB300级、HRB400级 直径：常采用6mm、8mm、10mm和12mm等
c) 梁内纵向构造钢筋
架立钢筋：梁上部无受压计算钢筋时，仍需配置2根架立筋，以便与 箍筋和梁底部纵筋形成钢筋骨架，直径一般不小于10mm 纵向构造（腰筋）： 梁的腹板高度hw≥450mm时，在梁的两个侧面 应沿高度配置纵向构造钢筋以减小梁腹部的裂缝宽度。每侧纵向构 造钢筋（不包括梁上、下部受力钢筋及架立钢筋）的截面面积不应 小于腹板截面面积bhw的0.1％，且其间距不宜大于200mm 梁的腹板高度hw：对矩形截面，取有效高度h0；对T形截面，取有效 高度h0减去翼缘高度；对I形截面，取腹板净高。

（1）已知：b、h、a、a’、As、As’ 、fy、 fy’、fc
求：Mu≥M 未知数：x 和Mu两个未知数，有唯一解 求解过程：应用基本公式和公式的条件
（2）当 >b时，Mu=?
取M1 s,max 1 fcbh02
（3）当x<2a’时，Mu =?
可偏于安全的按下式计算
Mu f y As (h0 a)
As
As
1 fc
fy
b h0
2
M
1 fcbh02 (1
f y (h0 a)
0.5 )
为使As 、 As’的总量最小，必须使
d ( As As )
d
0
a'
0.5(1 ) 0.55 故取 = b h0 即取 M1 s,max 1 fcbh02
（注：为提高破坏时的延性也可取 = 0.8b）
4.5 正截面受弯承载力计算
1、双筋矩形截面的概念 双筋截面是指同时配置受拉和受压钢筋的情况。
受压钢筋 （不是架立筋）
A s'
As
受拉钢筋
4.5 正截面受弯承载力计算
第四章 受弯构件正截面承载力
2、双筋矩形截面的应用场合---即何时使用？
（一般来说采用双筋是不经济的，工程中通常仅在以下情 况下采用）
▲ 当 M>s,max 1fcbh02 ，而截面尺寸和材料强度受建
4.5 正截面受弯承载力计算
第四章 受弯构件正截面承载力
▲经济配筋率的取值
梁： =（0.5~1.6）% 板： =（0.4~0.8）%
▲由经济配筋率计算截面尺寸
M
f y As (h0
x) 2
fybh02(1 0.5)
h0
1