优化方案高考数学浙江·理科二轮专题复习课件：第一部分专题四 立体几何第讲

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专题四 立体几何
2．在空间四边形 ABCD 中，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD， M、N 分别是对角线 AC 与 BD 的中点，则 MN 与( B ) A．AC、BD 之一垂直 B．AC、BD 都垂直 C．AC、BD 都不垂直 D．AC、BD 不一定垂直 解析：连接 AN、CN(图略)，因为 AD＝BC，AB＝CD，BD ＝BD，所以△ABD≌△CDB，则 AN＝CN，在等腰△ANC 中，由 M 为 AC 的中点知 MN⊥AC.同理可证 MN⊥BD.
专题四 立体几何
1．必记概念与定理 (1)直线、平面平行的判定及其性质 ①线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. ②线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. ③面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α， b∥α⇒α∥β. ④面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b⇒a∥b.
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专题四 立体几何
3．如图，在几何体 ABDCE 中，AB＝AD＝2， AB⊥AD，AE⊥平面 ABD，M 为线段 BD 的中 点，MC∥AE，且 AE＝MC＝ 2. (1)求证：平面 BCD⊥平面 CDE； (2)若 N 为线段 DE 的中点，求证：平面 AMN∥平面 BEC. 证明：(1)因为 AB＝AD＝2，AB⊥AD，M 为线段 BD 的中点， 所以 AM＝12BD＝ 2，AM⊥BD. 因为 AE⊥平面 ABD，MC∥AE，所以 MC⊥平面 ABD， 因为 AM⊂平面 ABD. 所以 MC⊥AM，又 MC∩BD＝M，
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专题四 立体几何
方法归纳 (1)证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交 直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证 明线面平行，再转化为证明线线平行． (2)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过 另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂 直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线， 则借助中线、高线或添加辅助线解决．
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专题四 立体几何
2．(2015·高考广东卷节选) 如图，三角 形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所 在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6， BC＝3. (1)求证：BC∥平面 PDA； (2)证明：BC⊥PD.
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专题四 立体几何
证明：(1)因为四边形 ABCD 为长方形，所以 BC∥AD.又 BC ⊄平面 PDA，AD⊂平面 PDA， 所以 BC∥平面 PDA. (2)因为 BC⊥CD，平面 PDC⊥平面 ABCD 且平面 PDC∩平 面 ABCD＝CD，BC⊂平面 ABCD，所以 BC⊥平面 PDC. 因为 PD⊂平面 PDC，所以 BC⊥PD.
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考点二 空间线面位置关系的证明 [命题角度] 1．线面、面面平行关系的证明． 2．线面、面面垂直关系的证明．
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(2015·高考北京卷改编)如图，在三棱锥 V-ABC 中，平 面 VAB⊥平面 ABC，△VAB 为等边三角形，AC⊥BC 且 AC ＝BC，O，M 分别为 AB，VA 的中点． (1)求证：VB∥平面 MOC； (2)求证：平面 MOC⊥平面 VAB.
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专题四 立体几何
1．在本例条件下，若 AC＝BC＝ 2，求三棱锥 V-ABC 的 体积． 解：在等腰直角三角形 ACB 中，AC＝BC＝ 2， 所以 AB＝2，OC＝1. 所以等边三角形 VAB 的面积 S△VAB＝ 3. 又因为 OC⊥平面 VAB， 所以三棱锥 C-VAB 的体积等于13OC·S△VAB＝ 33. 又因为三棱锥 V-ABC 的体积与三棱锥 C-VAB 的体积相等， 所以三棱锥 V-ABC 的体积为 33.
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考点三 空间几何中的“翻折”问题 [命题角度] 图形翻折后的平行、垂直的判定与证明．
(2015·高考陕西卷)如图(1)，在直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC，∠BAD＝π2 ，AB＝BC＝12AD＝a，E 是 AD 的中点， O 是 AC 与 BE 的交点．将△ABE 沿 BE 折起到图(2)中△A1BE 的位置，得到四棱锥 A1­BCDE.
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2．辨明易错易混点 (1)证明线面平行时，忽视“直线在平面外”“直线在平面 内”的条件． (2)证明线面垂直时，忽视“平面内两条相交直线”这一条 件． (3)“展开”“翻折”问题易忽略展开及翻折前后元素之间 的关系．
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专题四 立体几何
考点一
空间线面位置关系的判断
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专题四 立体几何
所以 AM⊥平面 CBD. 又 AE＝MC＝ 2， 所以四边形 AMCE 为平行四边形，所以 EC∥AM， 所以 EC⊥平面 CBD， 因为 EC⊂平面 CDE， 所以平面 BCD⊥平面 CDE. (2)因为 M 为 BD 的中点，N 为 DE 的中点， 所以 MN∥BE. 由(1)知 EC∥AM 且 AM∩MN＝M，BE∩EC＝E， 所以平面 AMN∥平面 BEC.
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在△C1MC 中， MC1＝ 2，MC＝ 2，CC1＝2， 所以 CC21CD-A1B1C1D1 知， B1C1⊥平面 CDD1C1，所以 B1C1⊥CM. 又 B1C1∩C1M＝C1， 所以 CM⊥平面 B1C1M，得 CM⊥B1M. 同理可证，B1M⊥AM. 又 AM∩MC＝M，所以 B1M⊥平面 MAC.
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(2)直线、平面垂直的判定及其性质 ①线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m， l⊥n⇒l⊥α. ②线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. ③面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. ④面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒ a⊥β.
[命题角度]
1．线、面平行的判定及其性质的应用．
2．线、面垂直的判定及其性质的应用．
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专题四 立体几何
(1)(2015·高考北京卷)设 α，β 是两个不同的平面，m 是直
线且 m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的( B )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
V＝13S·A1O＝13×a2× 22a＝ 62a3.
由 62a3＝36 2，得 a＝6.
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专题四 立体几何
方法归纳 解决与折叠有关的问题的两个关键
(1)要明确折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，线段的 长度是不变量，而位置关系往往会发生变化． (2)在解决问题时，要比较折叠前后的图形，既要分析折叠后 的图形，也要分析折叠前的图形．
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(2)由已知，平面 A1BE⊥平面 BCDE， 且平面 A1BE∩平面 BCDE＝BE， 又由(1)可得 A1O⊥BE，所以 A1O⊥平面 BCDE. 即 A1O 是四棱锥 A1­BCDE 的高．
由题图(1)知，A1O＝AO＝ 22AB＝ 22a，平行四边形 BCDE 的面积 S＝BC·AB＝a2， 从而四棱锥 A1­BCDE 的体积为
(2)(2015·高考浙江卷)设 α，β 是两个不同的平面，l，m 是两条不
同的直线，且 l⊂α，m⊂β.( A )
A．若 l⊥β，则 α⊥β
B．若 α⊥β，则 l⊥m
C．若 l∥β，则 α∥β
D．若 α∥β，则 l∥m
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专题四 立体几何
[思路点拨] (1)结合平面与平面平行的判定与性质进行 判断． (2)结合线面平行、垂直的相关知识进行判断． [解析] (1)当 m∥β 时，过 m 的平面 α 与 β 可能平行也可能
相交，因而 m∥βD α∥β；当 α∥β 时，α内任一直线与 β 平行，因为 m⊂α，所以 m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”
的必要而不充分条件．
(2)因为 l⊥β，l⊂α，所以 α⊥β(面面垂直的判定定理)，故 A
正确．
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专题四 立体几何
方法归纳 空间线面位置关系判定的两种方法
(1)定理法：借助空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐 项判断来解决问题． (2)模型法：借助空间几何模型，如在长方体、四面体等模型 中观察线面位置关系，结合有关定理作出选择．
C―D―∥→BE
结论
(2)
面面垂直
A―1O―⊥→BE
线面垂直
―已―知→
量
高、面积值
―→
结果
[解] (1)证明：在题图(1)中，因为 AB＝BC＝12AD＝a，E 是
π AD 的中点，∠BAD＝ 2 ，所以 BE⊥AC.
即在题图(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而 BE⊥平面 A1OC. 又 CD∥BE，所以 CD⊥平面 A1OC.
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第2讲 空间点、线、面的位置关系
专题四 立体几何
2016考向导航 高考对本讲知识的考查主要有： (1)以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质 及线线、线面和面面位置关系的判定与性质定理对命题真假 进行判断，属基础题． (2)以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和 垂直关系的证明，且为解答题中的第一问，难度中等．
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专题四 立体几何
如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝AD ＝1，AA1＝2，M 为棱 DD1 上的一点． (1)求三棱锥 A-MCC1 的体积； (2)当 A1M＋MC 取得最小值时，求证：B1M⊥ 平面 MAC.
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专题四 立体几何
解：(1)由长方体 ABCD-A1B1C1D1 知，AD⊥平面 CDD1C1， 所以点 A 到平面 CDD1C1 的距离等于 AD＝1. 又 S△MCC1＝12CC1·CD＝12×2×1＝1， 所以 VA­MCC1＝13AD·S△MCC1＝13. (2)证明：将侧面 CDD1C1 绕 DD1 逆时针转 90°展开，与侧面 ADD1A1 共面(如图)，当 A1，M，C′共线时，A1M＋MC 取得最小 值．由 AD＝CD＝1，AA1＝2， 得 M 为 DD1 的中点．