贵州省遵义航天高级中学_学年高二数学上学期期中试题【含答案】

2017-2018学年贵州省遵义市航天高级中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）已知直线l经过点A（﹣2，0）与点B（﹣5，3），则该直线的倾斜角为（）A．150°B．135°C．60°D．45°2．（5分）若直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行，则m的值为（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．3．（5分）关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；其中真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③4．（5分）已知直线l过点P（，1），圆C：x2+y2=4，则直线l与圆C的位置关系是（）A．相交B．相切C．相交和相切D．相离5．（5分）过点P（﹣2，2）且垂直于直线2x﹣y+1=0的直线方程为（）A．2x+y+2=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣2=0 D．x﹣2y+7=06．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm37．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B． C．2πD．4π8．（5分）光线从点A（﹣2，）射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C（1，2），则光线BC所在直线的倾斜角为（）A．B．C． D．9．（5分）如图，已知三棱锥A﹣BCD的棱长都相等，E，F分别是棱AB，CD的中点，则EF与BC所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．（5分）点M（3，﹣1）是圆x2+y2﹣4x+y﹣2=0内一点，过点M最长的弦所在的直线方程为（）A．x+3y=0 B．2x+3y﹣3=0 C．x+2y﹣1=0 D．x+2y﹣1=011．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P（m，n）的坐标，那么点P在圆x2+y2=17内部的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0与圆x2+y2+2x﹣13=0相交于P，Q两点，则直线PQ的方程为．14．（5分）已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），则sin（2）=．15．（5分）已知x，y满足则目标函数z=2x+y的最大值为．16．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，则l被圆C截得的最短弦长为．三、解答题（本题6小题，第17小题10分，第18-22小题，每小题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）等比数列{a n}中，a1=2，a4=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第4项和第16项，试求数列{b n}的前项和S n．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面CA1D；（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B．19．（12分）已知直线m：2x﹣y﹣3=0与直线n：x+y﹣3=0的交点为P．（1）若直线l过点P，且点A（1，3）和点B（3，2）到直线l的距离相等，求直线l的方程；（2）若直线l1过点P且与x，y正半轴交于A、B两点，△ABO的面积为4，求直线l1的方程．20．（12分）已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x上．（1）求圆C的方程；（2）设直线l经过点（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为2，求直线l的方程．21．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表：（1）求出y关于x的线性回归方程=x+；（2）试预测加工10个零件需要多少小时？（参考公式：==；=﹣；）22．（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE，AC与BD交于点G．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求证：AE∥平面BFD；（3）求三棱锥C﹣BFG的体积．2017-2018学年贵州省遵义市航天高级中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）已知直线l经过点A（﹣2，0）与点B（﹣5，3），则该直线的倾斜角为（）A．150°B．135°C．60°D．45°【解答】解：设该直线的倾斜角为θ，则tanθ==﹣1，∴θ=135°．故选：B．2．（5分）若直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行，则m的值为（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．【解答】解：直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行，可得，得：m=1，故选：A．3．（5分）关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；其中真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③【解答】解：若m∥α，n∥β且α∥β，则m，n可能平行也可能异面，也可以相交，故①错误；若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m，n一定垂直，故②正确；若m⊥α，n∥β且α∥β，则m，n一定垂直，故③正确；若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m，n可能相交、平行也可能异面，故④错误故选：D．4．（5分）已知直线l过点P（，1），圆C：x2+y2=4，则直线l与圆C的位置关系是（）A．相交B．相切C．相交和相切D．相离【解答】解：∵直线l过点P（，1），而点P在圆C：x2+y2=4上，故直线l和圆相交或相切，故选：C．5．（5分）过点P（﹣2，2）且垂直于直线2x﹣y+1=0的直线方程为（）A．2x+y+2=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣2=0 D．x﹣2y+7=0【解答】解：由于直线2x﹣y+1=0的斜率为2，故要求直线的斜率为﹣，利用点斜式求得过点P（﹣2，2）且垂直于直线2x﹣y+1=0的直线的方程为y﹣2=﹣（x+2），即x+2y﹣2=0．故选：C．6．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选：B．7．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B． C．2πD．4π【解答】解：∵正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，∴正四棱柱的外接球的直径2R=，则R=1．∴球的表面积为4π×12=4π．故选：D．8．（5分）光线从点A（﹣2，）射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C（1，2），则光线BC所在直线的倾斜角为（）A．B．C． D．【解答】解：点A关于x轴的对称点为A′（﹣2，﹣），A′在直线BC上，∴直线BC的斜率是k BC===；∴直线BC的倾斜角是．故选：B．9．（5分）如图，已知三棱锥A﹣BCD的棱长都相等，E，F分别是棱AB，CD的中点，则EF与BC所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图，设G是AC的中点，连接EG、GF，∴EG∥BC、GF∥AD（三角形的中位线平行于第三边的一半），∵EG与BC在同一平面上，EG∥BC，∴∠GEF的大小就等于EF与BC所成的角的大小．又∵三棱锥A﹣BCD是棱长都相等的正三棱锥，所以BD⊥AC，∵EG∥BC、GF∥AD，∴∠EGF=90°，EG=BC/2；GF=，（三角形的中位线平行于第三边的一半）又∵BC=AD（棱长都相等），∴EG=GF，∴△EGF是等腰直角三角形，∴∠GEF=45°，∴EF与BC所成的角为45°．故选：B．10．（5分）点M（3，﹣1）是圆x2+y2﹣4x+y﹣2=0内一点，过点M最长的弦所在的直线方程为（）A．x+3y=0 B．2x+3y﹣3=0 C．x+2y﹣1=0 D．x+2y﹣1=0【解答】解：把圆的方程x2+y2﹣4x+y﹣2=0化为标准方程得：（x﹣2）2+（y+）2=6.25，所以圆心坐标为（2，﹣），又M（3，0），根据题意可知：过点M最长的弦为圆的直径，则所求直线为过圆心和M的直线，设为y=kx+b，∴解得：k=﹣，b=1，则过点M最长的弦所在的直线方程是y=﹣x+1，即x+2y﹣1=0．故选：C．11．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即∠O1OD1，直角三角形OO1D1中，cos∠O1OD1===，故选：D．12．（5分）连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P（m，n）的坐标，那么点P在圆x2+y2=17内部的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：这是一个古典概型由分步计数原理知：连续掷两次骰子，构成的点的坐标有6×6=36个，而满足x2+y2＜17的有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）共有8个，∴P==，故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0与圆x2+y2+2x﹣13=0相交于P，Q两点，则直线PQ的方程为x﹣2y+6=0．【解答】解：圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0与圆x2+y2+2x﹣13=0相交于P，Q两点，由圆系方程可知：直线PQ的方程为：x2+y2+4x﹣4y﹣1﹣（x2+y2+2x﹣13）=0即：x﹣2y+6=0．故答案为：x﹣2y+6=0．14．（5分）已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），则sin（2）=．【解答】解：∵sinα﹣cosα=，sin2α+cos2α=1，又∵α∈（0，π），∴sinα≥0，解方程组可得，∴sin2α=2sinαcosα=，cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣，∴sin（2）=sin2α﹣cos2α=．故答案为：．15．（5分）已知x，y满足则目标函数z=2x+y的最大值为7.5．【解答】解：作出约束条件则的可行域如图，目标函数z=2x+y在的交点M（3.5，0.5）处取最大值为z=2×3.5+0.5=7.5．故答案为：7.516．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，则l被圆C截得的最短弦长为4．【解答】解：直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0 即（x+y﹣4）+m（2x+y ﹣7）=0，过定点M（3，1），由于点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，故直线被圆截得的弦长最短时，CM垂直于直线l，CM==l被圆C截得的最短弦长为2=4，故答案为：4．三、解答题（本题6小题，第17小题10分，第18-22小题，每小题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）等比数列{a n}中，a1=2，a4=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第4项和第16项，试求数列{b n}的前项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公比为q，由a1=2，a4=16得：16=2q3，解得q=2，又a1=2，所以a n=a1q n﹣1=2•2n﹣1=2n；（Ⅱ）由（I）得a3=8，a5=32，则b4=8，b16=32，设{b n}的公差为d，则有，解得b1=d=2，则数列{b n}的前n项和S n=2n+n（n﹣1）•2=n2+n．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面CA1D；（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B．【解答】证明：如图，（1）连接AC1，交A1C于点O，连接DO在△ABC1中，点D是AB的中点，点O是A1C的中点∴BC1∥DO，BC1⊈平面CA1D，DO⊆平面CA1D∴BC1∥平面CA1D…（6分）（2）∵AC=BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC=AB ∴CD⊥平面AA1B1B，又CD⊂平面CA1D∴平面CA1D⊥平面AA1B1B…（12分）19．（12分）已知直线m：2x﹣y﹣3=0与直线n：x+y﹣3=0的交点为P．（1）若直线l过点P，且点A（1，3）和点B（3，2）到直线l的距离相等，求直线l的方程；（2）若直线l1过点P且与x，y正半轴交于A、B两点，△ABO的面积为4，求直线l1的方程．【解答】解：（1）由的交点为（2，1），由直线l与A，B的距离相等可知，l∥AB或l过AB的中点，∴由l∥AB得l的方程为，即x+2y﹣4=0，由l过AB的中点得l的方程为x=2，故x+2y﹣4=0或x=2为所求．（2）方法一：由题可知，直线l1的斜率k存在，且k＜0．则直线l1的方程为y=k（x﹣2）+1=kx﹣2k+1．令x=0，得y=1﹣2k＞0，令y=0，得，∴，解得，故l1的方程为．方法二：由题可知，直线l1的横、纵截距a、b存在，且a＞0、b＞0，则，又l1过点（2，1），△ABO的面积为4，∴，解得，故l1方程为，即．20．（12分）已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x上．（1）求圆C的方程；（2）设直线l经过点（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为2，求直线l的方程．【解答】解：（1）设圆C的圆心坐标为（a，a），依题意，有=，…（2分）即a2﹣6a+9=a2+2a+1，解得a=1，…（4分）所以r2=（1﹣1）2+（3﹣1）2=4，所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4…（6分）．（2）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，所以直线x=2符合题意…（8分）设直线l方程为y+2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣2=0，则=1，解得k=﹣，所以直线l的方程为y+2=﹣（x﹣2），即4x+3y﹣2=0…（10分）综上，直线l的方程为x﹣2=0或4x+3y﹣2=0…（12分）21．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表：（1）求出y关于x的线性回归方程=x+；（2）试预测加工10个零件需要多少小时？（参考公式：==；=﹣；）【解答】解：（1）由表中数据得：==3.5，==3.5，x i y i=52.5，=54，∴==0.7，∴=﹣=1.05，∴线性回归方程是=0.7x+1.05；（2）将x=10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05，∴预测加工10个零件需要8.05小时．22．（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE，AC与BD交于点G．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求证：AE∥平面BFD；（3）求三棱锥C﹣BFG的体积．【解答】证明：（1）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC，又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF，∵BC∩BF=B，且BC，BF平面BCE，∴AE⊥平面BCE．…（4分）（2）∵矩形ABCD中，AC与BD交于点G．∴依题意可知点G是AC的中点．由BF⊥平面ACE，知CE⊥BF而BC=BE，∴点F是EC中点．∴在△AEC中，FG∥AE又∵FG⊂平面BFD，AE⊄平面BFD∴AE∥平面BFD…（8分）解：（3）∵AE∥FG且AE⊥平面BCE∴FG⊥平面BCE，即FG⊥平面BCF∵点G是AC中点，F是CE中点，∴FG=AE=1又知RtBCE中，CE==BF=CF=CE=所以S BCF==1所以V CBFG=V GBCF=S BCF FG=…（12分）。

贵州省遵义航天高级中学2014-2015学年高二数学上学期第二次月考试题1、将函数)6sin(x y π+=图像上所有点向左平移6π个单位长度，再把各个点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变）得到的图像的解析式为（）A )3π、y=sin(2x+B )23x π、y=sin(+C 2x 、y=sinD 2x 、y=cos 2、设α、β分别为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要3、已知 1.52.13131log c 0.6b 0.7a ===--，，，则（ ）A 、c<a<bB 、c<b<aC 、a<b<cD 、b<a<c4、下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出线性回归方程0.70.35x y Λ=+，那么表中m 的值为（ ）A 、4B 、3.5C 、3D 、4.522151n 452n x y -=、以双曲线的离心率为首项，的公比的等比数列的前项和S （ ）3A 2、3(2n-1)- 32n B 、3- n+122C -33、 n42D -33、 6、三角形ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边长分别是a ，b ，c 。

若)sin c C +，则角B 的大小为（ ）A 6π、B 3π、 5C 6π、 2D 3π、7、执行如图所示的程序框图，若输入a 的值为2，则输出p 的值是（ ）A 、2 3B 2、 C 、3 D 、48、已知12F F 、是双曲线2222-1(0,0)x y a b a b=>>的两个焦点，以坐标原点O 为圆心, 1|OF |为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且三角形2F AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A 1B 1C 2、D 2、 9、已知几何体M 的正视图是一个面积为2π的半圆，俯视图是正三角形。

贵州省遵义航天高级中学2018-2019学年高二上学期期中考试（理）一．选择题。

(每题5分)1．点P (a ，b ，c )到坐标平面xOy 的距离是( ) A.a 2＋b 2B ．|a |C ．|b |D ．|c |2．过两点)3,2(),,4(-B y A 的直线的倾斜角为 45，则=y （ ） A ．23-B ．23C ．1-D ． 13.直线3x +4y =b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ）A. -2或12B. 2或-12C.-2或-12D.2或124.已知m ，n 为两条不同的直线， α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A. βαββαα////,//,,⇒⊂⊂n m n m B. n m n m //,,//⇒⊂⊂βαβα C. αα//,n n m m ⇒⊥⊥ D. αα⊥⇒⊥m n m n ,//5.等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和S 9等于（ ）A ．99B ． 66C ．144D ．2976.直线(a ＋2)x ＋(1－a)y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．±1 D ．－327.一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（ ） A ．B ．1﹣C ．1﹣D ．1﹣8、一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为（ ）A ． 9B ． 10C ． 11D ． 129. 集合{}1-≥=x y y x A ),(,集合{}5+-≤=x y y x B ),(，先后掷两颗骰子，掷第一颗骰子得点数为a,掷第二颗骰子得点数为b,则B A b a ⋂∈),(的概率等于（ ）A.14B.29C.736D.113610.在正四面体ABCD 中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则EF 与AC 所成角为( )A.90°B.60°C.45°D.30°11．已知Q P ,分别是直线02:=--y x l 和圆1:22=+y x C 上的动点，圆C 与x 轴正半轴交于点)0,1(A ，则PQ PA +的最小值为（ ） A ．15- B ． 2 C ．2 D ．12102-+ 12. 设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )A. [－1，1]B. ⎣⎡⎦⎤－12，12C. [－2，2]D. ⎣⎡⎦⎤－22，22 二．解答题。

2017-2018学年贵州省遵义市航天高级中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合M={x|﹣1≤x≤3}，B={x|﹣2≤x≤1}，则M∩B=（）A．[﹣2，1]B．[﹣1，1]C．[1，3]D．[﹣2，3]2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C．D．4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．105．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．B．C．D．26．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．7．（5分）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A．[0，6]B．[0，4]C．[6，+∞）D．[4，+∞）8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．149．（5分）函数y=的部分图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．60 B．30 C．20 D．1011．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）直线l过点M（1，﹣2），倾斜角为30°，则直线l的方程为．14．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=．15．（5分）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为．16．（5分）关于函数，下列叙述正确的是．①其图象关于直线对称；②其图象可由的图象上所有点的横坐标变为原来的得到；③其值域是[﹣2，4]；④其图象关于点对称．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量，，且．（I）求角B的大小；（II）若b=6，求△ABC面积的最大值．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n+1+S n﹣1=2S n+2，（n≥2），a1=2，a2=4．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设，记数列{b n}的前n项和为T n，求证：．19．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥面ABC，PC=3，∠ACB=，D，E 分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（I）证明：DE⊥面PCD；（II）求三棱锥P﹣BDE的体积．20．（12分）如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况．乙组某个数据的个位数模糊，记为x，已知甲、乙两组的平均成绩相同．（1）求x的值，并判断哪组学生成绩更稳定；（2）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．22．（12分）已知圆心在直线y=2x上的圆C，与x轴相切，在y轴正半轴上截得的弦长为．（I）求圆C的方程；（II）若直线l：x+y﹣5=0交圆C于A、B两点，求|AB|．2017-2018学年贵州省遵义市航天高级中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合M={x|﹣1≤x≤3}，B={x|﹣2≤x≤1}，则M∩B=（）A．[﹣2，1]B．[﹣1，1]C．[1，3]D．[﹣2，3]【解答】解：集合M={x|﹣1≤x≤3}，B={x|﹣2≤x≤1}，则M∩B={x|﹣1≤x≤1}=[﹣1，1]．故选：B．2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B．3．（5分）已知s inα﹣cosα=，则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sinα﹣cosα=，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=，∴sin2α=﹣，故选：A．4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．10【解答】解：由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，∴3a3=3，∴a3=1，∴S5==5a3=5．故选：A．5．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．B．C．D．2【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d=，解得：a=﹣，故选：C．6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴+=（+）+（+）=+=（+）=，故选：A．7．（5分）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A．[0，6]B．[0，4]C．[6，+∞）D．[4，+∞）【解答】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选：D．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．9．（5分）函数y=的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=，可知函数是奇函数，排除选项B，当x=时，f（）==，排除A，x=π时，f（π）=0，排除D．故选：C．10．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．60 B．30 C．20 D．10【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，该三棱锥的体积==10．故选：D．11．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB 1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．故选：C．12．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，AOB故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）直线l过点M（1，﹣2），倾斜角为30°，则直线l的方程为．【解答】解：由题意可得直线l的方程为：y+2=（x﹣1）tan30°，化为：．故答案为：．14．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=9．【解答】解：由函数f（x）=，可得f（﹣2）+f（log212）=（1+log24 ）+=（1+2）+=3+6=9，故答案为：9．15．（5分）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为8．【解答】解：直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则+=1，由2a+b=（2a+b）×（+）=2+++2=4++≥4+2=4+4=8，当且仅当=，即a=，b=1时，取等号，∴2a+b的最小值为8，故答案为：8．16．（5分）关于函数，下列叙述正确的是①②③．①其图象关于直线对称；②其图象可由的图象上所有点的横坐标变为原来的得到；③其值域是[﹣2，4]；④其图象关于点对称．【解答】解：对于函数，当x=时，求得函数y=﹣2，为最小值，故函数的图象关于直线对称，故①正确；它的图象可由的图象上所有点的横坐标变为原来的得到的，故②正确；由于该函数的最小值为﹣3+1=﹣2，它的最大值为3+1=4，故它的值域是[﹣2，4]；由于当x=时，函数y=﹣+1=﹣，不是最值，故它的图象不关于点对称，故④错误，故答案为：①②③．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量，，且．（I）求角B的大小；（II）若b=6，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（I）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，，且．∴由得，a2﹣2ac+c2﹣b2+ac=0，即a2+c2﹣b2=ac，∴，∵B是△ABC内角，∴．（II）∵b=6，∴，即36=a2+c2﹣ac≥ac又，∴∴当且仅当a=b=c=6时，S△ABC的最大值为．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n+1+S n﹣1=2S n+2，（n≥2），a1=2，a2=4．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设，记数列{b n}的前n项和为T n，求证：．【解答】解：（I）∵数列{a n}的前n项和为S n，满足S n+1+S n﹣1=2S n+2，（n≥2），∴S n+1﹣S n=S n﹣S n﹣1+2，n≥2，即a n+1﹣a n=2又a1=2，a2=4，则a2﹣a1=2∴数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列∴a n=2+（n﹣1）2=2n．证明：（II）∵则=∵，∴．19．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥面ABC，PC=3，∠ACB=，D，E 分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（I）证明：DE⊥面PCD；（II）求三棱锥P﹣BDE的体积．【解答】（I）证明：因为PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，所以PC⊥DE又因为，则CD2+DE2=CE2，所以CD⊥DE又CD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩CD=C，所以DE⊥平面PCD．（II）解：设CE的中点为F，连结DF，由于CD=DE且CD⊥DE，则所以．20．（12分）如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况．乙组某个数据的个位数模糊，记为x，已知甲、乙两组的平均成绩相同．（1）求x的值，并判断哪组学生成绩更稳定；（2）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率．【解答】解：（1）=（9+9+11+11）=10，=（8+9+10+x+12）=10，解得：x=1 …（2分），又=[（9﹣10）2+（9﹣10）2+（11﹣10）2+（11﹣10）2]=1；=[（8﹣10）2+（9﹣10）2+（11﹣10）2+（12﹣10）2]=，…（4分）∴＜，∴甲组成绩比乙组稳定．…（6分）（2）记甲组4名同学为：A1，A2，A3，A4；乙组4名同学为：B1，B2，B3，B4；分别从甲乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4）（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），共16个基本事件，其中得分之和低于（20分）的共6个基本事件，…（10分）∴得分之和低于（20分）的概率是：P==．…（12分）21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，PB==．作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离．22．（12分）已知圆心在直线y=2x上的圆C，与x轴相切，在y轴正半轴上截得的弦长为．（I）求圆C的方程；（II）若直线l：x+y﹣5=0交圆C于A、B两点，求|AB|．【解答】解：（I）∵圆C的圆心在直线y=2x上的圆C，与x轴相切，设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2=4a2（a＞0）若在y轴正半轴上截得的弦长为，则，则a=1或a=﹣1（舍去）所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4；（II）因为圆心到l的距离所以．。

2017-2018学年度第一学期半期考试高二数学（文科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则MB =（ ）A.[]2,1-B.[]1,1-C.[]1,3 D.[]2,3-2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．π8C ．12D ．π43．已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．794.设n S 是等差{}n a 的前n 项和.若1353a a a ++=，则5S =（ ）A ．5B ．7C ．9D ．115.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）A.B.34-C.43-D. 26.设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+（ ）A.B.AD 21C.BC 21D. BC 7．设x ，y 满足约束条件20300x y x y x -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则z =x +2y 的取值范围是（ ）A ．[]0,6B ．[]0,4C ．[]6,+∞D ．[]4,+∞8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14，18，则输出的a =( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．149．函数sin 21cos xy x=-的部分图像大致为（ ）A B C D 10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A.60B.30C.20D.1011．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A．2B．5C．5D．312.已知A 、B 是球O 的球面上两点， 90=∠AOB ，C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A. π36B. π64C. π144D. π256二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 直线l 过点()1,2M -，倾斜角为30，则直线l 的方程为 ； 14．设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+= ；15. 若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2),则2a b +的最小值为 ；16.关于函数3cos 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述正确的是 ． ①其图象关于直线3x π=对称；②其图像可由3cos 13y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的12得到； ③其值域是[]2,4-； ④其图象关于点5,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量2(,)m a c ba c =--，(,1)n a c =--，且0m n ∙=.（I ）求角B 的大小；（II ）若6b =，求ABC ∆面积的最大值.18.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1122,(2)n n n S S S n +-+=+≥，122,4a a ==.（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1184n T ≤<.19.（本小题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，PC ABC ⊥面，3PC =，=2ACB π∠，,D E 分别为线段AB BC ，上的点，且22CD CE EB ==.（I ）证明：DE CD ⊥面P ； （II ）求三棱锥P BDE -的体积.20.（本小题满分12分）如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊,记为错误！未找到引用源。

贵州省遵义市航天高中2018-2019学年上学期期中考试高二数学试卷一、选择题：（共60分，5分/题）1．已知集合A={0，1，2，3，4}，集合B={x|x=2n，n∈A}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，4} C．{2，4} D．{0，2，4}2．“x＜﹣1”是“x＜﹣1或x＞1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要3．某校有高一学生650人，高二学生550人，高三学生500人，现用分层抽样抽取样本为68人的身高来了解该校学生的身高情况，则高一，高二，高三应分别有多少学生入样（）A．26，21，20 B．26，22，20 C．30，26，20 D．30，22，204．若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为（）A．B．C．1 D．5．已知函数f（x）=，则f（f（））=（）A．B．C．D．6．下列程序执行后输出的结果是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．27．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”8．已知等差数列{an }，且a9=20，则S17=（）A．170 B．200 C．340 D．3609．若椭圆x2+my2=1的离心率为，则m为（）A．4 B．C．3 D．4 或10．动点P到点M（1，0）与点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线11．函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4，则函数f（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x=B．x=C．x=4 D．x=212．偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=x2，g（x）=ln|x|，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（共20分，5分/题）转换为十进制数是．13．85（9）14．双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点为（0，3），则k的值为．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为16．点P在椭圆+=1上运动，点A、B分别在x2+（y﹣4）2=16和x2+（y+4）2=4上运动，则PA+PB的最大值．三、解答题：（共70分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2acosC﹣（2b﹣c）=0．（1）求角A；（2）若sinC=2sinB，且a=，求边b，c．18．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别做记录，抽查数据如下：甲车间：102，101，99，98，103，98，99；乙车间：110，115，90，85，75，115，110．问：（1）这种抽样是何种抽样方法；（2）估计甲、乙两车间包装产品的质量的均值与方差，并说明哪个均值的代表性好，哪个车间包装产品的质量较稳定．19．如图，在三棱锥V ﹣ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，三角形VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且 AC=BC=，O 、M 分别为AB 和VA 的中点．（1）求证：VB ∥平面MOC ；（2）求直线MC 与平面VAB 所成角．20．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为，左焦点到左顶点的距离为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点M （1，1）的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，且点M 为弦AB 中点，求直线AB 的方程．21．已知数列{a n }满足a 1=2，前n 项和为S n ，若S n =2（a n ﹣1），（n ∈N +）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =（log 2a n+1）2﹣（log 2a n ）2，若c n =a n b n ，求{c n }的前n 项和T n ．22．如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P 在圆x 2+y 2=1上运动时．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点T （0，t ）作圆x 2+y 2=1的切线交曲线C 于A ，B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．贵州省遵义市航天高中2018-2019学年上学期期中考试高二数学试卷参考答案一、选择题：（共60分，5分/题）1．已知集合A={0，1，2，3，4}，集合B={x|x=2n，n∈A}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，4} C．{2，4} D．{0，2，4}【考点】交集及其运算．【分析】由集合B中的元素的属性用列举法写出集合B，直接取交集即可．【解答】解：因为集合A={0，1，2，3，4}，所以集合B={x|x=2n，n∈A}={0，2，4，6，8}，所以A∩B={0，1，2，3，4}∩{0，2，4，6，8}={0，2，4}．故选D．2．“x＜﹣1”是“x＜﹣1或x＞1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：“x＜﹣1”是“x＜﹣1或x＞1”的充分而不必要条件，故选：A3．某校有高一学生650人，高二学生550人，高三学生500人，现用分层抽样抽取样本为68人的身高来了解该校学生的身高情况，则高一，高二，高三应分别有多少学生入样（）A．26，21，20 B．26，22，20 C．30，26，20 D．30，22，20【考点】分层抽样方法．【分析】先求出每个个体被抽到的概率，用各年级的人数乘以每个个体被抽到的概率，即得高一，高二，高三入样学生人数．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，高一，高二，高三入样学生分别有26，22，20，故选B．4．若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为（）A．B．C．1 D．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】将条件“∀x∈[0，]，tanx≤m”转化为“x∈[0，]时，m≥（tanx）”，再利用y=tanxmax在[0，]的单调性求出tanx的最大值即可．【解答】解：∵“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，，∴x∈[0，]时，m≥（tanx）max∵y=tanx在[0，]的单调递增，∴x=时，tanx取得最大值为，∴，即m的最小值为．故选：D．5．已知函数f（x）=，则f（f（））=（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【分析】首先求出的函数值，然后判断此函数值所在范围，继续求其函数值．【解答】解：因为＞0，所以f（）==﹣2，又﹣2＜0，所以f（﹣2）=2﹣2=；故选：B．6．下列程序执行后输出的结果是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】伪代码．【分析】该程序是一个当型循环结构．第一步：s=0+5=5，n=5﹣1=4；第二步：s=5+4=9，n=4﹣1=3；第三步：s=9+3=12，n=3﹣1=2；第四步：s=12+2=14，n=2﹣1=1；第五步：s=14+1=15，n=1﹣1=0．【解答】解：该程序是一个当型循环结构．第一步：s=0+5=5，n=5﹣1=4；第二步：s=5+4=9，n=4﹣1=3；第三步：s=9+3=12，n=3﹣1=2；第四步：s=12+2=14，n=2﹣1=1；第五步：s=14+1=15，n=1﹣1=0．∵s=15，∴结束循环．∴n=0．故选B ；7．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．“至少有一个红球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C ．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D ．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”【考点】互斥事件与对立事件．【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【解答】解：对于A ：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A 不正确对于B ：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B 不正确对于C ：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C 不正确对于D ：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件， 又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D 正确故选D8．已知等差数列{a n }，且a 9=20，则S 17=（ ）A ．170B ．200C ．340D ．360【考点】数列的求和．【分析】等差数列{a n }中S 17=17•a 9，代入可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n }中a 9=20，∴a 1+a 17=2a 9=40，∴S 17=（a 1+a 17）•17=340，故选：C ．9．若椭圆x 2+my 2=1的离心率为，则m 为（ ）A ．4B ．C ．3D ．4 或【考点】椭圆的简单性质．【分析】首先将方程转化成标准方程，进而能够得出a 2、b 2，然后求出m ，从而得出长半轴长．【解答】解：椭圆x 2+my 2=1即 +x 2=1，当椭圆焦点在y 轴上时，∴a 2=，b 2=1，由c2=a2﹣b2得，c2=，∵=1﹣m=得m=，∴则m为，当椭圆焦点在x轴上时，b2=，a2=1，∴，可得m=4．故选：D．10．动点P到点M（1，0）与点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线【考点】轨迹方程．【分析】根据双曲线的定义：动点到两定点的距离的差的绝对值为小于两定点距离的常数时为双曲线；距离当等于两定点距离时为两条射线；距离当大于两定点的距离时无轨迹．【解答】解：|PM|﹣|PN|=2=|MN|，点P的轨迹为一条射线故选D．11．函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4，则函数f（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x=B．x=C．x=4 D．x=2【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据题意可求得ω、φ的值，从而可得f（x）的解析式及其对称轴方程，继而可得答案．【解答】解：∵f（x）=2cos（ωx+φ）为奇函数，∴f（0）=2cosφ=0，∴cosφ=0，又0＜φ＜π，∴φ=；∴f（x）=2cos（ωx+）=﹣2sinωx=2sin（ωx+π），又ω＞0，∴其周期T=；设A（x1，2），B（x2，﹣2），则|AB|==4，∴|x1﹣x2|=x1﹣x2=4．即T=4，∴T==8，∴ω=．∴f（x）=2sin（x+π），∴其对称轴方程由x+π=kπ+（k∈Z）得：x=4k﹣2．当k=1时，x=2．故选D．12．偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=x2，g（x）=ln|x|，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f（x﹣1）=f（x+1）求出函数的周期，利用条件和偶函数的性质求出在[﹣1，1]的解析式，由周期性画出f（x）在整个定义域上的图象，由对数函数的图象画出g（x）=ln|x|的图象，由图和函数零点与图象交点的关系即可得到答案．【解答】解：由f（x﹣1）=f（x+1）得f（x）=f（x+2），所以函数周期为2，由f（x）为偶函数知图象关于y轴对称，∵当x∈[0，1]时，f（x）=x2，∴x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，则f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2=x2，∴x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，在同一直角坐标系中做出：函数f（x）的图象和g（x）=ln|x|图象，由图可知有2个交点，∴函数h（x）=f（x）﹣g（x）有两个零点，故选B．二、填空题：（共20分，5分/题）转换为十进制数是77 ．13．85（9）【考点】进位制．【分析】利用累加权重法，即可将九进制数转化为十进制，从而得解．=8×91+5×90=77，【解答】解：由题意，85（9）故答案为：77．14．双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点为（0，3），则k的值为﹣1 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先把双曲线8kx2﹣ky2=8的方程化为标准形式，焦点坐标得到c2=9，利用双曲线的标准方程中a，b，c的关系即得双曲线方程中的k的值．【解答】解：根据题意可知双曲线8kx2﹣ky2=8在y轴上，即，∵焦点坐标为（0，3），c2=9，∴，∴k=﹣1，故答案为：﹣1．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为96+4（﹣1）π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出该几何体是边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的组合体．【解答】解：由三视图可知几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的，圆锥的底面半径为2，高为2，∴圆锥的母线长为2；∴该正方体的平面面积为6×42﹣π×22=96﹣4π；又圆锥体的侧面面积为π×2×2=4π．∴该几何体的表面积为96﹣4π+4π=96+4（﹣1）π．故答案为：96+4（﹣1）π．16．点P在椭圆+=1上运动，点A、B分别在x2+（y﹣4）2=16和x2+（y+4）2=4上运动，则PA+PB的最大值16 ．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由题意得：椭圆+=1的两个焦点（0，±4）分别是圆x2+（y﹣4）2=16和x2+（y+4）2=4的圆心，故P为椭圆的下顶点，A，B分别为相应圆上纵坐标最大的点时，PA+PB取最大值．【解答】解：由题意得：椭圆+=1的两个焦点（0，±4）分别是圆x2+（y﹣4）2=16和x2+（y+4）2=4的圆心，P到两个焦点的距离和为定值2×5=10，两圆的半径分别为4和2，故P为椭圆的下顶点，A，B分别为相应圆上纵坐标最大的点时，PA+PB的最大值为：2×5+2+4=16，故答案为：16．三、解答题：（共70分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2acosC﹣（2b﹣c）=0．（1）求角A；（2）若sinC=2sinB，且a=，求边b，c．【考点】余弦定理的应用．【分析】（1）由题意和正弦定理以及和差角的三角函数公式可得cosA=，进而可得角A；（2）若sinC=2sinB，c=2b，由a=，利用余弦定理，即可求边b，c．【解答】解：（1）在△ABC中，由题意可得2acosC=2b﹣c，结合正弦定理可得 2sinAcosC=2sinB﹣sinC，∴2sinAcosC=2sin（A+C）﹣sinC，∴2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC﹣sinC，∴2cosAsinC=sinC，即cosA=，∴A=60°；（2）∵sinC=2sinB，∴c=2b，∵a=，∴3=b2+c2﹣2bc•，∴3=b2+4b2﹣2b2，∴b=1，c=2．18．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别做记录，抽查数据如下：甲车间：102，101，99，98，103，98，99；乙车间：110，115，90，85，75，115，110．问：（1）这种抽样是何种抽样方法；（2）估计甲、乙两车间包装产品的质量的均值与方差，并说明哪个均值的代表性好，哪个车间包装产品的质量较稳定．【考点】系统抽样方法．【分析】（1）每隔1小时抽取一包产品，等间隔抽取，属于系统抽样．（2）做出两组数据的平均数和方差，把两组数据的方差和平均数进行比较，看出平均数相等，而甲的方差小于乙的方差，得到甲车间比较稳定．【解答】解：（1）由于是每隔1小时抽取一包产品，是等间隔抽取，属于系统抽样；（2）甲的平均数为=100乙的平均数为=100∴两人的均值相同，甲的方差为 [2+2+（99﹣100）2+2+（98﹣100）2+（99﹣100）2+（98﹣100）2]=乙的方差为 [2+2+（90﹣100）2+（85﹣100）2+（75﹣100）2+2+2]=． ∴s 2甲＜s 2乙，∴甲车间包装的产品质量较稳定．19．如图，在三棱锥V ﹣ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，三角形VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且 AC=BC=，O 、M 分别为AB 和VA 的中点．（1）求证：VB ∥平面MOC ；（2）求直线MC 与平面VAB 所成角．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由中位线定理得VB ∥OM ，故而VB ∥平面MOC ；（2）证明∠CMO 是直线MC 与平面VAB 所成角，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵O ，M 分别为AB ，VA 的中点，∴VB ∥OM ，又VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ，∴VB ∥平面MOC ．（2）解：由题意，CO ⊥AB ，∵平面VAB ⊥平面ABC ，平面VAB ∩平面ABC=AB ，∴CO ⊥平面VAB ，∴∠CMO 是直线MC 与平面VAB 所成角．∵AC ⊥BC 且AC=BC=，∴CO=AB=1，∵MO=1，∴∠CMO=45°，∴直线MC 与平面VAB 所成角是45°．20．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为，左焦点到左顶点的距离为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点M （1，1）的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，且点M 为弦AB 中点，求直线AB 的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆离心率为，左焦点到左顶点的距离为1，列出方程组，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的标准方程．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由点M （1，1）为弦AB 中点，利用点差法能求出直线AB 的方程．【解答】解：（1）设椭圆C 的方程为=1（a ＞b ＞0），半焦距为c ．依题意e=，由左焦点到左顶点的距离为1，得a ﹣c=1．解得c=1，a=2．∴b 2=a 2﹣c 2=3．所以椭圆C 的标准方程是．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵点M （1，1）为弦AB 中点，∴，把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）代入椭圆C 的标准方程．得：，∴3（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+4（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）=0，∴6（x 1﹣x 2）+8（y 1﹣y 2）=0，∴k==﹣，∴直线AB 的方程为y ﹣1=﹣（x ﹣1），整理，得：3x+4y ﹣7=0．∴直线AB 的方程为：3x+4y ﹣7=0．21．已知数列{a n }满足a 1=2，前n 项和为S n ，若S n =2（a n ﹣1），（n ∈N +）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =（log 2a n+1）2﹣（log 2a n ）2，若c n =a n b n ，求{c n }的前n 项和T n ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）由题意和当n ≥2时a n =S n ﹣S n ﹣1进行化简，得到数列的递推公式，由等比数列的定义判断出数列{a n }是等比数列，由等比数列的通项公式求出{a n }的通项公式；（2）由（1）和对数的运算化简b n =（log 2a n+1）2﹣（log 2a n ）2，代入c n =a n b n 化简后，利用错位相减法和等比数列的前n 项和公式求T n ．【解答】解：（1）∵S n =2（a n ﹣1），∴当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2（a n ﹣1）﹣2（a n ﹣1﹣1）=2（a n ﹣a n ﹣1），则a n =2a n ﹣1，又a 1=2，则数列{a n }是以2为首项、公比的等比数列，∴=2n ；（2）由（1）得，b n =（log 2a n+1）2﹣（log 2a n ）2=（n+1）2﹣n 2=2n+1，∴c n =a n b n =（2n+1）•2n ，∴T n =3×2+5×22+…+（2n+1）×2n ，①则2T n =3×22+5×23+…+（2n+1）×2n+1，②①﹣②得：﹣T n =6+2（22+23+…+2n ）﹣（2n+1）•2n+1=6+2×﹣（2n+1）•2n+1=（﹣2n+1）•2n+1﹣2，∴T n =（2n ﹣1）•2n+1+2．22．如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P 在圆x 2+y 2=1上运动时．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点T （0，t ）作圆x 2+y 2=1的切线交曲线C 于A ，B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；直线与圆相交的性质．【分析】（I ）设出M 的坐标为（x ，y ），点P 的坐标为（x 0，y 0），由题意DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且|DM|=2|DP|，找出x 0与x 的关系及y 0与y 的关系，记作①，根据P 在圆上，将P 的坐标代入圆的方程，记作②，将①代入②，即可得到点M 的轨迹方程；（Ⅱ）由过点T （0，t ）作圆x 2+y 2=1的切线l 交曲线C 于A ，B 两点，得到|t|大于等于圆的半径1，分两种情况考虑：（i ）当t=1时，确定出切线l 为x=1，将x=1代入M 得轨迹方程中，求出A 和B 的坐标，确定出此时|AB|的长，当t=﹣1时，同理得到|AB|的长；（ii ）当|t|大于1时，设切线l 方程为y=kx+t ，将切线l 的方程与圆方程联立，消去y 得到关于x 的一元二次方程，设A 和B 的坐标，利用根与系数的关系表示出两点横坐标之和与之积，再由切线l 与圆相切，得到圆心到切线的距离d=r ，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后得到k 与t 的关系式，然后利用两点间的距离公式表示出|AB|，将表示出的两根之和与两根之积，以及k 与t 的关系式代入，得到关于t 的关系，利用基本不等式变形，得到|AB|的最大值，以及此时t 的取值，而三角形AOB 的面积等于AB 与半径r 乘积的一半来求，表示出三角形AOB 的面积，将|AB|的最大值代入求出三角形AOB 面积的最大值，以及此时T 的坐标即可．【解答】（本小题满分13分）解：（I ）设点M 的坐标为（x ，y ），点P 的坐标为（x 0，y 0），则x=x 0，y=2y 0，所以x 0=x ，y 0=，①因为P （x 0，y 0）在圆x 2+y 2=1上，所以x 02+y 02=1②，将①代入②，得点M 的轨迹方程C 的方程为x 2+=1；…（Ⅱ）由题意知，|t|≥1，（i ）当t=1时，切线l 的方程为y=1，点A 、B 的坐标分别为（﹣，1），（，1），此时|AB|=，当t=﹣1时，同理可得|AB|=；（ii ）当|t|＞1时，设切线l 的方程为y=kx+t ，k ∈R ，由，得（4+k 2）x 2+2ktx+t 2﹣4=0③，设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由③得：x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，又直线l 与圆x 2+y 2=1相切，得=1，即t 2=k 2+1，∴|AB|===，又|AB|==≤2，且当t=±时，|AB|=2，综上，|AB|的最大值为2，依题意，圆心O到直线AB的距离为圆x2+y2=1的半径，∴△AOB面积S=|AB|×1≤1，当且仅当t=±时，△AOB面积S的最大值为1，相应的T的坐标为（0，﹣）或（0，）．…。

2017～2018学年度第一学期期中考试高二文科数学试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ,则MB =( )A.[]2,1-B.[]1,1-C.[]1,3 D.[]2,3-2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π43.已知4sin cos 3αα-=,则sin 2α＝( ) A.79-B.29-C.29D.794.设n S 是等差{}n a 的前n 项和.若1353a a a ++=,则5S ＝( )A.5B.7C.9D.115.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1,则a ＝( )A.B.34-C.43-D. 26.设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点,则=+( )A.B.AD 21C.BC 21D. BC 7.设x ,y 满足约束条件20300x y x y x -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩,则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A.[]0,6B.[]0,4C.[]6,+∞D.[]4,+∞8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入,a b 分别为14,18,则输出的a =( ) A.0B.2C.4D.149.函数sin 21cos xy x=-的部分图像大致为( )A B C D 10.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为A.60B.30C.20D.1011.已知直三棱柱111ABC A B C -中,120ABC ∠=︒,2AB =,11BC CC ==,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为12.已知A 、B 是球O 的球面上两点, 90=∠AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为( )A. π36B. π64C. π144D. π256二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 直线l 过点()1,2M -,倾斜角为30,则直线l 的方程为 ；14.设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+= ；15. 若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2),则2a b +的最小值为 ； 16.关于函数3cos 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,下列叙述正确的是 . ①其图象关于直线3x π=对称；②其图像可由3cos 13y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的12得到； ③其值域是[]2,4-； ④其图象关于点5,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,已知向量2(,)m a c b ac =--,(,1)n a c =--,且0m n ∙=.(I)求角B 的大小；(II)若6b =,求ABC ∆面积的最大值.18.(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足1122,(2)n n n S S S n +-+=+≥,122,4a a ==.(I)求数列{}n a 的通项公式； (II)设11n n n b a a +=,记数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:1184n T ≤<.19.(本小题满分12分)如图,三棱锥P ABC -中,PC ABC ⊥面,3PC =,=2ACB π∠,,D E分别为线段AB BC ，上的点,且22CD CE EB ==. (I)证明:DE CD ⊥面P ； (II)求三棱锥P BDE -的体积.20.(本小题满分12分)如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊,记为错误！未找到引用源。

贵州省遵义市航天高中 2022-2022 学年高二上学期期中数学试卷〔理科〕一、选择题〔此题共12 小题，每题5 分，共60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，请将正确答案填写在答题卡上．〕1．〔5 分〕集合A={x|﹣3≤x＜4}，B={x|﹣2≤x≤5}，那么A∩B=〔〕A．{x|﹣3≤x≤5}B．{x|﹣2≤x＜4} C．{x|﹣2≤x≤5}D．{x|﹣3≤x＜4} 2．〔5 分〕某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸〔单位：cm〕，那么可得这个几何体的体积是〔〕A．cm3cm3cm3cm33．〔5 分〕函数的值为〔〕A． B．C． D．184．〔5 分〕如果函数f〔x〕=x2+2〔a﹣1〕x+2 在〔﹣∞，4]上是减函数，那么实数a 取值范围是〔〕A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5D．a≥55．〔5 分〕等差数列{a n}的前n 项和为S n，a5=5，S5=15，那么数的前100 项和为〔〕A． B． C． D．6．〔5 分〕垂直于直线y=x+1 且与圆x2+y2=1 相切于第一象限的直线方程是〔〕A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．2 7．〔5 分〕两个不同的平面 α、β 和两条不重合的直线 m 、n ，那么以下四个命题中，假命题是〔〕A ．假设 m ∥n ，m ⊥α，那么 n ⊥αC ．m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β 那么 α⊥βB ．假设 m ⊥α，m ⊥β，那么 α∥β D ．m ∥α，α∩β=n ，那么 m ∥n8．〔5 分〕执行如下图的程序框图，那么输出的 S 值为〔〕A ．10B ．15C ．21D ．28 9．〔5 分〕等比数列{a n }的各项均为正数且 a 4a 7+a 5a 6=18，那么 log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=〔〕 A ．12B ．10C ．8D ．2+log 3510．〔5 分〕函数 的零点所在的大致区间是〔〕 A ．〔6，7〕B ．〔7，8〕C ．〔8，9〕D ．〔9，10〕11．〔5 分〕设 a=log 0.7，b=40.9，c=80.48，d=0.5﹣1.5，那么有〔〕 A ．a ＜b ＜c ＜d B ．a ＜c ＜d ＜b C ．b ＜a ＜c ＜d D ．b ＜d ＜a ＜c 12．〔5 分〕设 x ，y 满足约束条件 ，假设目标函数 z=ax+by 〔a ＞0，b ＞0〕的值是最大值为 12，的最小值为〔〕A ．B ．C ．D ．4二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上． 13．〔5 分〕函数 的定义域是．14．〔5 分〕设向，，，那么cos2θ=．15．〔5 分〕如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300 颗黄豆，数得落在阴影局部的黄豆数为138 颗，那么我们可以估计出阴影局部的面积为．16．〔5 分〕函数假设关于x 的方程f〔x〕=k 有两个不同的实根，那么数k 的取值范围是．三、解答题：此题共 6 小题，共70 分．请将解答写在答题卡指定位置．17．〔10 分〕在△ABC 中，a、b、c 分别为内角A、B、C 的对边，且b2+c2﹣a2=bc．〔1〕求角A 的大小；〔2〕设函时，假设，求b 的值．18．〔12 分〕如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC= AA1，D 是棱AA1的中点．〔Ⅰ〕证明：平面BDC1⊥平面BDC〔Ⅱ〕平面BDC1分此棱柱为两局部，求这两局部体积的比．19．〔12 分〕为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：组别频数频率145.5～149.5 1 0.02149.5～153.5 4 0.08153.5～157.5 20 0.40157.5～161.5 15 0.30161.5～165.5 8 0.16165.5～169.5 m n合计M N〔1〕求出表中m，n，M，N 所表示的数分别是多少？画出频率分布直方图；〔2〕全体初三女生的平均身高是多少？初三女生身高的中位数是多少？〔3〕从身高为161.5 以上选取2 人，求她们在同一身高段的概率．20．〔12 分〕等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0 的两根，数列{b n}的前n 项的和为S n，．〔Ⅰ〕求数列{a n}，{b n}的通项公式；〔Ⅱ〕记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n 项和T n．21．〔12 分〕函是定义在〔﹣1，1〕上的奇函数，．〔1〕确定函数的解析式；〔2〕证明函数f〔x〕在〔﹣1，1〕上是增函数；〔3〕解不等式f〔t﹣1〕+f〔t〕＜0．22．〔12 分〕如下图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，点E 在线段PC 上，PC⊥平面BDE．PA=1，AD=2．〔1〕证明：BD⊥平面PAC；〔2〕求二面角B﹣PC﹣A 的正切值．贵州省遵义市航天高中2022-2022 学年高二上学期期中数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔此题共12 小题，每题5 分，共60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，请将正确答案填写在答题卡上．〕1．〔5 分〕集合A={x|﹣3≤x＜4}，B={x|﹣2≤x≤5}，那么A∩B=〔〕A．{x|﹣3≤x≤5}B．{x|﹣2≤x＜4} C．{x|﹣2≤x≤5}D．{x|﹣3≤x＜4}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：题设中两个集合已经是最简，故由集合的交集的定义直接求出它们的公共局部，得到交集解答：解：∵集合A={x|﹣3≤x＜4}，集合B={ x|﹣2≤x≤5}，∴A∩B={|﹣2≤x＜4}应选B．点评：此题考查交集及其运算，解答此题关键是理解交集的定义，由定义进行运算求出交集．2．〔5 分〕某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸〔单位：cm〕，那么可得这个几何体的体积是〔〕A．cm3cm3cm3cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图判断几何体为三棱锥，求出三棱锥的高与底面面积，代入棱锥的体积公式计算．．解答：解：由三视图判断几何体为三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形底边长和高都为2．∴棱锥的体积××2×2×2=〔cm〕．应选C．点评：此题考查由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量．3．〔5 分〕函数那么的值为〔〕A． B．C． D．18考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：，由f〔3〕=32﹣3﹣3=3，能求出的值．解答：解：∵，∴f〔3〕=32﹣3﹣3=3，∴ =f〔〕=1﹣〔〕2=，应选C．点评：此题考查分段函数的函数值的求法，是根底题．解题时要认真审题，仔细解答．4．〔5 分〕如果函数f〔x〕=x2+2〔a﹣1〕x+2 在〔﹣∞，4]上是减函数，那么实数a 取值范围是〔〕A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5D．a≥5考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：先用配方法将二次函数变形，求出其对称轴，再由“在〔﹣∞，4]上是减函数〞，知对称轴必须在区间的右侧，求解即可得到结果．解答：解：∵f〔x〕=x2+2〔a﹣1〕x+2=〔x+a﹣1〕2+2﹣〔a﹣1〕2其对称轴为：x=1﹣a∵函数f〔x〕=x2+2〔a﹣1〕x+2 在〔﹣∞，4]上是减函数∴1﹣a≥4∴a≤﹣3应选A点评：此题主要考查二次函数的单调性，解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向，这是研究二次函数单调性和最值的关键．5．〔5 分〕等差数列{a n}的前n 项和为S n，a5=5，S5=15，那么数的前100 项和为〔〕A．B．C．D．考点：数列的求和；等差数列的前n 项和．专题：计算题．分析：由等差数列的通项公式及求和公式，结合可求a1，d，进而可求a n，代入可得==，裂项可求和解答：解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，a n=a1+〔n﹣1〕d=1+〔n﹣1〕×1=n∴===1﹣=应选A点评：此题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于根底试题6．〔5 分〕垂直于直线y=x+1 且与圆x2+y2=1 相切于第一象限的直线方程是〔〕A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．考点：圆的切线方程；直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：设所求的直线为l，根据直线l 垂直于y=x+1，设l 方程为y=﹣x+b，即x+y+b=0．根据直线l 与圆x2+y2=1 相切，得圆心0 到直线l 的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b 的方程，解之可得，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．解答：解：设所求的直线为l，∵直线l 垂直于直线y=x+1，可得直线l 的斜率为k=﹣1∴设直线l 方程为y=﹣x+b，即x+y﹣b=0∵直线l 与圆x2+y2=1 相切，∴圆心到直线的距离，解之得b=±当b=﹣时，可得切点坐标，﹣〕，切点在第三象限；当b= 时，可得切点坐标，〕，切点在第一象限；∵直线l 与圆x2+y2=1 的切点在第一象限，∴b=﹣不符合题意，可得，直线方程为=0应选：A点评：此题给出直线l 垂直于直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l 的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于根底题．7．〔5 分〕两个不同的平面α、β 和两条不重合的直线m、n，那么以下四个命题中，假命题是〔〕A．假设m∥n，m⊥α，那么n⊥αC．m⊥α，m∥n，n⊂β 那么α⊥βB．假设m⊥α，m⊥β，那么α∥β D．m∥α，α∩β=n，那么m∥n考点：平面的根本性质及推论．专题：证明题．分析：根据直线与平面垂直的性质和直线与平面所成角的定义，得到A 项正确；根据直线与平面垂直的定义，结合平面与平面平行的判定定理，得到B 项正确；根据直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理，得到C 项正确；根据直线与平面平行的性质定理的大前提，可得D 项是错误的．由此可得正确答案．解答：解：对于A，∵m⊥α，∴直线m 与平面α 所成角为90°，∵m∥n，∴n 与平面α 所成角，等于m 与平面α 所成角，∴n 与平面α 所成的角也是90°，即“n⊥α〞成立，故A 正确；对于B，假设m⊥α，m⊥β，那么经过m 作平面γ，设γ∩α=a，γ∩β=b∵a⊂α，b⊂β∴在平面γ 内，m⊥a 且m⊥b可得a、b 是平行直线∵a⊄β，b⊂β，a∥b∴a∥β经过m 再作平面θ，设θ∩α=c，θ∩β=d用同样的方法可以证出c∥β∵a、c 是平面α 内的相交直线∴α∥β，故 B 正确；对于C，∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊂β∴α⊥β，故 C 正确；对于D，m∥α，α∩β=n，当直线m 在平面β 内时，m∥n 成立但题设中没有m⊂β 这一条，故D 不正确．应选D点评：此题以命题判断真假为例，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，以及平面与平面的平行、垂直的判定定理等知识点，属于根底题．8．〔5 分〕执行如下图的程序框图，那么输出的S 值为〔〕A．10 B．15 C．21 D．28考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由程序框图的流程依次计算运行的结果，直到满足n＞5，运行终止，计算输出S 的值．解答：解：由程序框图知，第一次运行n=1，S=0+1；第二次运行n=2，S=0+1+2；第三次运行n=3，S=0+1+2+3；第四次运行n=4，S=0+1+2+3+4；第五次运行n=5，S=0+1+2+3+4+5；第六次运行n=6，S=0+1+2+3+4+5+6，满足n＞5，运行终止，输出S=0+1+2+3+4+5+6=21．应选C．点评：此题是循环结构的程序框图，根据框图的运行流程判断程序框图的功能及终止程序运行的n 值是解答此题的关键．9．〔5 分〕等比数列{a n}的各项均为正数且a4a7+a5a6=18，那么log3a1+log3a2+…+log3a10=〔〕A．12 B．10 C．8 D．2+log35考点：等比数列的通项公式；对数的运算性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由a4a7+a5a6=18，利用等比数列的性质可得：a4a7=a5a6=9=a n•a11﹣n，再利用对数的运算法那么即可得出．解答：解：∵a4a7+a5a6=18，由等比数列的性质可得：a4a7=a5a6=9=a n•a11﹣n〔n∈N*，n≤10〕，∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3〔a1a2•…a10〕==10．应选：B．点评：此题考查了等比数列的性质、对数的运算法那么，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．10．〔5 分〕函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是〔〕2 A ．〔6，7〕 B ．〔7，8〕 C ．〔8，9〕 D ．〔9，10〕考点： 函数零点的判定定理． 专题： 计算题．分析： 由于函数 在〔0，+∞〕上是增函数，f 〔9〕＜0，f 〔10〕＞0，由 此得出结论．解答： 解：由于函数 在〔0，+∞〕上是增函数， f 〔9〕=lg9﹣1＜0，f 〔10〕=1﹣=＞0，f 〔9〕•f 〔10〕＜0，故函数 的零点所在的大致区间是〔9，10〕， 应选 D ．点评： 此题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于根底题．11．〔5 分〕设 a=log 0.7，b=40.9，c=80.48，d=0.5﹣1.5，那么有〔〕 A ．a ＜b ＜c ＜d B ．a ＜c ＜d ＜b C ．b ＜a ＜c ＜d D ．b ＜d ＜a ＜c 考点： 对数值大小的比拟． 专题： 函数的性质及应用．分析： 根据对数函数的图象和性质可得 a ＜0，但 b ，c ，c 均大于 0，结合指数的运算性质， 将三者都化为以 2 为底后，结合指数函数的单调性，可得答案．解答： 解：∵a=log 20.7∈〔﹣∞，0〕， b=40.9=21.8， c=80.48=21.44，d=0.5﹣1.5=21.5，∵y=2x 为增函数，且 1.44＜1.5＜1.8， 故 a ＜c ＜d ＜b ， 应选：B点评： 此题考查的知识点是数的大小比拟，指数函数和对数函数的单调性，其中熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质是解答的关键． 12．〔5 分〕设 x ，y 满足约束条件 ，假设目标函数 z=ax+by 〔a ＞0，b ＞0〕的 值是最大值为 12，的最小值为〔〕A ．B ．C ．D ．4考点： 根本不等式；二元一次不等式〔组〕与平面区域． 专题： 不等式的解法及应用．分析：2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答．解答：解：不等式表示的平面区域如下图阴影局部，当直线ax+by=z〔a＞0，b＞0〕过直线x﹣y+2=0 与直线3x﹣y﹣6=0 的交点〔4，6〕时，目标函数z=ax+by〔a＞0，b＞0〕取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，= ，应选A．点评：此题综合地考查了线性规划问题和由根本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共20 分．把答案填在题中横线上．13．〔5 分〕函数的定义域是〔，1 〕．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：根据题意列出方程组解此不等式组求得x 的范围，即为所求．解答：解：要使函数有意义，那么解得＜x＜1故函数的定义域为，1〕，故答案为〔，1〕．点评：此题考查函数的定义域的求法，是根底题．解题时要认真审题，仔细解答．14．〔5 分〕设向，，，那么cos2θ=．考点：二倍角的余弦；平行向量与共线向量．专题：计算题．分析：由两向量的坐标，及两向量平行时满足的关系列出关系式，求出sin2θ的值，将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，把sin2θ的值代入即可求出值．解答：解=〔1，sinθ〕，=〔3sinθ，1〕，∥，∴3sin2θ=1，即sin2θ= ，那么=．故答案为：点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及平面向量的数量积运算法那么，熟练掌握公式及法那么是解此题的关键．15．〔5 分〕如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300 颗黄豆，数得落在阴影局部的黄豆数为138 颗，那么我们可以估计出阴影局部的面积．考点：几何概型．专题：应用题．分析：先由黄豆试验估计，黄豆落在阴影局部的概率，再转化为几何概型的面积类型求解．解答：解：根据题意：黄豆落在阴影局部的概率是矩形的面积为10，设阴影局部的面积为s那么有∴s=故答案为：点评：此题主要考查实验法求概率以及几何概型中面积类型，将两者建立关系，引入方程思想．16．〔5 分〕函数假设关于x 的方程f〔x〕=k 有两个不同的实根，那么数k 的取值范围是〔0 ，1 〕．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：要求程f〔x〕=k 有两个不同的实根是数k 的取值范围，根据方程的根与对应函数零点的关系，我们可以转化为求函数y=f〔x〕与函数y=k 交点的个数，我们画出函数的图象，数形结合即可求出答案．解答：解：函数的图象如以下图所示：由函数图象可得当k∈〔0，1〕时方程f〔x〕=k 有两个不同的实根，故答案为：〔0，1〕点评：此题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据方程的根与对应函数零点的关系，将方程问题转化为函数问题是解答的关键．三、解答题：此题共 6 小题，共70 分．请将解答写在答题卡指定位置．17．〔10 分〕在△ABC 中，a、b、c 分别为内角A、B、C 的对边，且b2+c2﹣a2=bc．〔1〕求角A 的大小；〔2〕设函时，假设，求b 的值．考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．专题：计算题．分析：〔I〕利用三角形的余弦定理求出cosA，根据A 的范围，求得A 的值．〔Ⅱ〕利用二倍角公式及两角和的正弦公式，化简f〔x〕为，由求，再根据B 的范围，求得B 的值，再由正弦定理求得b 的值．解答：解：〔Ⅰ〕在△ABC 中，由余弦定理知，注意到在△ABC 中，0＜A＜π，所为所求．〔Ⅱ〕，由，，注意，所，由正弦定理，，所为所求．点评：此题考查正弦定理、余弦定理的应用，二倍角公式，三角函数值求角的大小，化简f〔x〕为，是解题的关键．18．〔12 分〕如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC= AA1，D 是棱AA1的中点．〔Ⅰ〕证明：平面BDC1⊥平面BDC〔Ⅱ〕平面BDC1分此棱柱为两局部，求这两局部体积的比．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：〔Ⅰ〕由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；〔Ⅱ〕设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求××1×1=，三棱柱ABC﹣AB1C1的体积V=1，于是可得〔V﹣V1〕：V1=1：1，从而可得答案．1解答：证明：〔1〕由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；〔2〕设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得××1×1=，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，∴〔V﹣V1〕：V1=1：1，∴平面BDC1分此棱柱两局部体积的比为1：1．点评：此题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．19．〔12 分〕为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：组别频数频率145.5～149.5 1 0.02149.5～153.5 4 0.08153.5～157.5 20 0.40157.5～161.5 15 0.30161.5～165.5 8 0.16165.5～169.5 m n合计M N〔1〕求出表中m，n，M，N 所表示的数分别是多少？画出频率分布直方图；〔2〕全体初三女生的平均身高是多少？初三女生身高的中位数是多少？〔3〕从身高为161.5 以上选取2 人，求她们在同一身高段的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布表；频率分布直方图．专题：计算题；概率与统计．分析：〔1〕由第一组中频率与频数的关求出M，进一步得出m，n，N 即可．计算出每组的纵坐标，完成频率分布直方图．〔2〕根据频率分布直方图，中位数，平均数公式求解．〔3〕根据表可得在161.5～165.5 有8 人，165.5～169.5 有2 人，利用排列组合求出个数，再运用概率公式求解．解答：解=50，m=50﹣〔1+4+20+15+8〕=2，N=1，n===0.04．∴M=50，m=2，N=1，n=0.04．作出直角坐标系，组距为4，纵轴表示频率/组距，横轴表示身高，画出直方图如以下图．〔2〕根据频率分布直方图，知由图知：前两个矩形的面积为〔0.005+0.02〕×4=0.1，0.5﹣0.1=0.4，×4≈3.6，∴中位数为153.5+3.6=157.1．平均数=147.5×0.02+151.5×0.08+155.5×0.44+159.5×0.26+163.5×0.16+167.5×0.04=157.98．〔3〕在161.5～165.5 有8 人，165.5～169.5 有 2 人设从身高为161.5 以上选取2 人，她们在同一身高段的事件为D．P〔D〕= =从身高为161.5 以上选取2 人，她们在同一身高段的概率．点评：此题主要考查频率分布直方图和表，还考查同学们通过数据作出频数直方图、表的能力．属于根底题．20．〔12 分〕等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0 的两根，数列{b n}的前n 项的和为S n，．〔Ⅰ〕求数列{a n}，{b n}的通项公式；〔Ⅱ〕记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n 项和T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题；转化思想．分析：〔Ⅰ〕由可得，且a5＞a3，联立方程解得a5，a3，进一步求出数列{a n}通项，数列{b n}中，利用递推公式〔Ⅱ〕用错位相减求数列{c n}的前n 和解答：解：〔Ⅰ〕∵a3，a5是方程x2﹣14x+45=0 的两根，且数列{a n}的公差d＞0，∴a3=5，a5=9，公．∴a n=a5+〔n﹣5〕d=2n﹣1．〔3 分〕又当n=1 时，∴当，∴．∴数列{b n}是首，公等比数列，∴．〔6 分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕，〔1〕∴=〔2〕〔10 分〕〔1〕﹣〔2〕得=化简得：〔12 分〕点评：此题主要考查了等差数列的通项公式的求解，利用递推公式求通项，表达了数学中的转化思想；一般的，假设数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，求数列{a n•b n}的前n 和可采用错位相减法．21．〔12 分〕函是定义在〔﹣1，1〕上的奇函数，．〔1〕确定函数的解析式；〔2〕证明函数f〔x〕在〔﹣1，1〕上是增函数；〔3〕解不等式f〔t﹣1〕+f〔t〕＜0．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：〔1〕根据奇函数性质有f〔0〕=0，可求出b，可求得a 值．〔2〕根据函数单调性的定义即可证明；〔3〕根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f〞，再考虑到定义域可得一不等式组，解出即可．解答：解：〔1〕因为f〔x〕为〔﹣1，1〕上的奇函数，所以f〔0〕=0，即b=0．又〕=，所以，解得a=1．所以．〔2〕设﹣1＜x1＜x2＜1，那么﹣=，因为﹣1＜x1＜x2＜1，所以x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，所以f〔x1〕﹣f〔x2〕＜0，即f〔x1〕＜f〔x2〕．所以函数f〔x〕在〔﹣1，1〕上是增函数；〔3〕f〔t﹣1〕+f〔t〕＜0 可化为f〔t﹣1〕＜﹣f〔t〕．又f〔x〕为奇函数，所以f〔t﹣1〕＜f〔﹣t〕，f〔x〕为〔﹣1，1〕上的增函数，所以t﹣1＜﹣t①，且﹣1＜t﹣1＜1②，﹣1＜t＜1③；联立①②③解得．所以不等式f〔t﹣1〕+f〔t〕＜0 的解集．点评：此题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解，定义是解决函数单调性、奇偶性常用方法，而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理．22．〔12 分〕如下图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，点E 在线段PC 上，PC⊥平面BDE．PA=1，AD=2．〔1〕证明：BD⊥平面PAC；〔2〕求二面角B﹣PC﹣A 的正切值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：〔1〕由PC⊥平面BDE，得到PC⊥BD，再由PA⊥平面ABCD 得到PA⊥BD，然后由线面垂直的判断得答案；〔2〕设AC 与BD 交于点O，连接OE，可得∠OEB 就是二面角B﹣PC﹣A 的平面角，然后利用△OEB∽△PAC 及解直角三角形求得二面角B﹣PC﹣A 的正切值．解答：解：〔1〕证明：如图，∵PC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，∴PC⊥BD，又∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，而PC∩PA=P，PC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC；〔2〕设AC 与BD 交于点O，连接OE∵PC⊥平面BDE，OE⊂平面BDE，BE⊂平面BDE，∴PC⊥OE，PC⊥BE，于是∠OEB 就是二面角B﹣PC﹣A 的平面角，又∵BD⊥平面PAC，OE⊂平面PAC，∴△OEB 是直角三角形．由△OEB∽△PAC，可，而AB=AD=2，∴AC= ，OC=，而PA=1，∴PC=3，于，而OB= ，于是二面角B﹣PC﹣A 的正切值．点评：此题考查了直线与平面垂直的判断，考查了二面角的平面角的找法与求解，解答此题的关键在于找到二面角的平面角，是中档题．。

2018-2019学年贵州省遵义市航天高中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.点P （a ，b ，c ）到坐标平面xOy 的距离是（ ）A. B. C. D. a2+b2|a||b||c|2.过两点A （4，y ），B （2，-3）的直线的倾斜角为45°，则y =（ ）A. B. C. D. 1‒3232‒13.直线3x +4y =b 与圆x 2+y 2-2x -2y +1=0相切，则b =（ ）A. 或12 B. 2或 C. 或 D. 2或12‒2‒12‒2‒124.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. ，，，m ⊂αn ⊂αm//βn//β⇒α//βB. ，，α//βm ⊂αn//β⇒m//nC. ，m ⊥αm ⊥n⇒n//αD. ，m//n n ⊥α⇒m ⊥α5.等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7=39，a 3+a 6+a 9=27，则数列{a n }前9项的和S 9等于（ ）A. 99B. 66C. 144D. 2976.直线（a +2）x +（1-a ）y -3=0与（a -1）x +（2a +3）y +2=0互相垂直，则a 的值为（ ）A. B. 1 C. D. ‒1±1‒327.如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（ ）A. π12B.1‒π3C. 1‒π6D.1‒π128.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 2329.已知α=sin150°，b =tan60°，c =cos （-120°），则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. B. C. D. a >b >c b >a >c a >c >b b >c >a10.如图，在正四面体ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CD 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为（ ）A. 90∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘11.已知P ，Q 分别是直线l ：x -y -2=0和圆C ：x 2+y 2=1上的动点，圆C 与x 轴正半轴交于点A （1，0），则|PA |+|PQ |的最小值为（ ）A. B. 2 C. D. 25‒12+102‒112.设点M （x 0，1），若在圆O ：x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OMN =45º，则x 0的取值范围是（ ）A. B. C. D. [‒1,1][‒12,12][‒2,2][‒22,22]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x ，y 满足约束条件，则z =3x -4y 的最小值为______．{x ‒y ≥0x +y ‒2≤0y ≥014.若曲线与直线始终有两个交点，则的取值范围是_____．y =1‒x 2y =x +b b 15.三棱锥P -ABC 中，PA =AB =BC =2，PB =AC =2，PC =2，则三棱锥P -ABC 的外23接球的表面积为______．16.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱DD 1，AB 上的点．已知下列判断：①A 1C ⊥平面B 1EF ；②△B 1EF 在侧面BCC 1B 1上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A 1B 1C 1D 1内总存在与平面B 1EF 平行的直线；④平面B 1EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位置无关．其中正确结论的序号为______（写出所有正确结论的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆x 2+y 2=9内有一点P （-1，2），AB 为过点P 的弦且倾斜角为θ．（1）若θ=135°，求弦AB 的长；（2）当弦AB 被点P 平分时，求出直线AB 的方程．18.在等差数列{a n }中，a 1=3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1=1，公比为q ，且b 2+S 2=12，．q =S 2b 2（1）求a n 与b n ；（2）设数列{c n }满足，求{c n }的前n 项和T n ．c n =1S n19.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 、N 分别为A 1B和AC 上的点，A 1M =AN =a ，如图．23（1）求证：MN ∥面BB 1C 1C ；（2）求MN 的长．20.在△ABC 中，D 为BC 上一点，AD =CD ，BA =7，BC =8．（1）若B =60°，求△ABC 外接圆的半径R ；（2）设∠CAB =∠ACB =θ，若，求△ABC 面积．sinθ=331421.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PC⊥BC，M为PB的中点，且△AMB为正三角形．（I）求证：BC⊥平面PAC；（II）若PA=2BC，求二面角A-BC-P的余弦值．22.已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：点P在XOY平面的投影点的坐标是P'（a，b，0），所以|PP'|2=[（a-a）2+（b-b）2+（c-0）2]=c2，∴点P（a，b，c）到坐标平面xOy的距离是|c|，故选：D．先求出点P在XOY平面的投影点的坐标，然后利用空间任意两点的距离公式进行求解即可．本题主要考查了空间一点点到平面的距离，同时考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：经过两点A（4，y），B（2，-3）的直线的斜率为k=．又直线的倾斜角为45°，∴=tan45°=1，即y=-1．故选：C．由两点坐标求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值列式求得y的值．本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．3.【答案】D【解析】解：由圆x2+y2-2x-2y+1=0，化为标准方程为（x-1）2+（y-1）2=1，∴圆心坐标为（1，1），半径为1，∵直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，∴圆心（1，1）到直线3x+4y-b=0的距离等于圆的半径，即，解得：b=2或b=12．故选：D．化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值．本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．4.【答案】D【解析】解：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A、若平面AC是平面α，平面BC1是平面β，直线AD是直线m，点E，F分别是AB，CD的中点，则EF∥AD，EF是直线n，显然满足α∥β，m⊂α，n⊂β，但是m与n异面；B、若平面AC是平面α，平面A1C1是平面β，直线AD是直线m，A1B1是直线n，显然满足m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，但是α与β相交；C、若平面AC是平面α，直线AD是直线n，AA1是直线m，显然满足m⊥α，m⊥n，但是n∈α；故选：D．根据m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，可得该直线与直线可以平行，相交或异面，平面与平面平行或相交，把平面和直线放在长方体中，逐个排除易寻到答案．此题是个基础题．考查直线与平面的位置关系，属于探究性的题目，要求学生对基础知识掌握必须扎实并能灵活应用，解决此题问题，可以把图形放入长方体中分析，体现了数形结合的思想和分类讨论的思想．5.【答案】A【解析】解：由等差数列的性质可得a1+a7=2a4，a3+a9=2a6，又∵a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，∴a1+a4+a7=3a4=39，a3+a6+a9=3a6=27，∴a4=13，a6=9，∴a4+a6=22，∴数列{a n}前9项的和S9====99故选：A．由等差数列的性质可得a4=13，a6=9，可得a4+a6=22，再由等差数列的求和公式和性质可得S9=，代值计算可得．本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．6.【答案】C【解析】解：由题意，∵直线（a+2）x+（1-a）y-3=0与（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直∴（a+2）（a-1）+（1-a）（2a+3）=0∴（a-1）（a+2-2a-3）=0∴（a-1）（a+1）=0∴a=1，或a=-1故选：C．根据两条直线垂直的充要条件可得：（a+2）（a-1）+（1-a）（2a+3）=0，从而可求a 的值本题以直线为载体，考查两条直线的垂直关系，解题的关键是利用两条直线垂直的充要条件．7.【答案】D【解析】解：三角形ABC的面积为离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P=1-故选：D．求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对理事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率．本题考查几何概型概率公式、对立事件概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式．8.【答案】C【解析】解：．由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，V三棱锥==1，所以V=4×3-1=11．故选：C．根据得出该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案．本题考查了空间几何体的性质，求解体积，属于计算题，关键是求解底面积，高，运用体积公式．9.【答案】B【解析】解：α=sin150°=sin（180°-30°）=sin30°=，b=tan60°=，c=cos（-120°）=cos（90°+30°）=-sin30°=-．∴b＞a＞c，故选：B．利用诱导公式化简在同一象限，即可比较．本题考查了诱导公式的化简能力．属于基础题．10.【答案】C【解析】解：取BC的中点G，连接EG，FG，∵E，G分别为AB，BC的中点，∴EG∥AC，FG∥BD，EG=，FG=∴∠FEG为异面直线EF与AC所成的角∵四面体ABCD为正四面体，∴AC=BD，∴EG=FG过点A作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为△BCD的重心，AO⊥BD∵CO⊥BD，AO∩CO=O∴BD⊥平面AOC∵AC⊂平面AOC∴BD⊥AC∵EG∥AC，FG∥BD∴EG⊥FG在Rt△EGF中，∵∠EGF=90°，且EG=FG∴∠FEG=45°故选：C．根据正四面体的性质，每条棱都相等，相对的棱互相垂直，可借助中位线，平移直线AC，得到异面直线EF与AC所成的角，再放入直角三角形中，即可求得．本题主要考查了正四面体中线线位置关系，以及异面直线所成角的求法，综合考查了学生的识图能力，作图能力，以及空间想象力．11.【答案】C【解析】解：如图，圆C：x2+y2=1的圆心O（0，0），半径r=1，设A（1，0）关于l：x-y-2=0的对称点为B（a，b），则，解得：，即B（2，-1），连接BO，交直线l：x-y-2=0与P，则|PA|+|PQ|的最小值为|BO|-r=．故选：C．由题意画出图形，求出A关于直线l的对称点B的坐标，再求出B到圆心的距离，则答案可求．本题考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．12.【答案】A【解析】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[-1，1]．故选：A．根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．13.【答案】-1【解析】解：由z=3x-4y，得y=x-，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=x-，由平移可知当直线y=x-，经过点B（1，1）时，直线y=x-的截距最大，此时z取得最小值，将B的坐标代入z=3x-4y=3-4=-1，即目标函数z=3x-4y的最小值为-1．故答案为：-1．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x-4y的最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．214.【答案】[1，）【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由曲线y=，得到此曲线的图象为一个半圆，由圆心到直线距离等于半径求得直线与半圆相切时的b值，数形结合得答案．【解答】解：由y=，得x2+y2=1（y≥0），表示半圆，图象如图所示．当直线与半圆相切时，圆心（0，0）到直线y=x+b的距离d=，解得b=，b=-（舍去），由图可知，当曲线y=与直线y=x+b有两个交点时，b的取值范围是：[1，）．故答案为[1，）．15.【答案】12π【解析】解：∵AP=2，AC=2，PC=2，∴AP2+AC2=PC2∴△PAC是Rt△．∵PB=2，BC=2，PC=2，∴△PBC是Rt△．∴取PC中点O，则有OP=OC=OA=OB=，∴O为三棱锥P-ABC的外接球的球心，半径为．∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR2=12π．故答案为：12π可得△PAC是Rt△．PBC是Rt△．可得三棱锥P-ABC的外接球的球心、半径，即可求出三棱锥P-ABC的外接球的表面积．本题考查了三棱锥P-ABC的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P-ABC的外接球的球心、半径是关键．属于中档题．16.【答案】②③【解析】解：若A1C⊥平面B1EF，则A1C⊥B1F，由三垂线逆定理知：B1F⊥A1B，又当F 与A不重合时，B1F与A1B不垂直，∴①错误；∵E在侧面BCC1B1上的投影在CC1上，F在侧面BCC1B1上的投影是B，∴△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是三角形，三角形的面积S=×棱长×棱长为定值．∴②正确；设平面A1B1C1D1∩平面B1EF=l，∵平面A1B1C1D1内总存在与l平行的直线，由线面平行的判定定理得与l 平行的直线，与平面B 1EF 平行，∴③正确；设E 与D 重合，F 位置变化，平面B 1EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小也在变化，∴④错误．故答案为：②③．利用线面垂直的性质及三垂线逆定理，证明当F 与A 不重合时，A 1C 与平面B 1EF 不垂直；可得①错误；根据射影的定义及三角形的面积公式可得射影三角形的面积；从而判断②是否正确；根据线面平行的判定定理可得③正确；固定E 的位置，变化F 的位置，可得二面角的大小是变化的，由此可得④正确．本题考查了线面垂直的性质，线面平行的判断及二面角的平面角的求法，考查了学生的空间想象能力与识图能力，熟练掌握线面平行的判定定理及线面平行的性质定理是解题的关键．17.【答案】解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵AB 为过点P 的弦且倾斜角为θ=135°，∴依题意：直线AB 的斜率为-1，∴直线AB 的方程为x +y -1=0，联立直线方程与圆的方程：，{x +y ‒1=0x 2+y 2=9得x 2-x -4=0，则x 1+x 2=-1，x 1x 2=-4，由弦长公式得AB ==．（6分）(1+1)[(‒1)2‒4×(‒4)]34（2）设直线AB 的斜率为k ．则直线AB 的方程为y -2=k （x +1）；∵P 为AB 的中点，∴OP 丄AB ，由斜率公式，得直线OP 斜率为k OP ==-2，2‒1则-2k =-1，解得k =12∴直线AB 的方程为：x -2y +5=0．【解析】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由直线AB 的斜率为-1，得到直线AB 的方程为x+y-1=0，联立直线方程与圆的方程，得x 2-x-4=0，由此利用韦达定理、弦长公式，能求出AB 的长．（2）设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y-2=k （x+1），由P 为AB 的中点，得OP 丄AB ，由斜率公式，求出直线OP 斜率为-2，从而-2k=-1，由此求出k=，由此能求出直线AB 的方程．本题考查弦长的求法，考查直线方程的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式、勾股定理、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18.【答案】解：（1）设{a n }的公差为d ，由b 2+S 2=12，，得，q =S 2b 2{q +6+d =12q =6+d q 解得q =3或q =-4（舍），d =3．故a n =3+3（n -1）=3n ，；b n =3n ‒1（2）∵，S n =n(3+3n)2=32n(n +1)∴．c n =1S n =23n(n +1)=23(1n ‒1n +1)故[=．T n =23(1‒12)+(12‒13)+…+(1n ‒1n +1)23(1‒1n +1)=2n 3(n +1)【解析】（1）由已知列关于q ，d 的方程组，求解后代入等差数列与等比数列的通项公式得答案；（2）写出等差数列的前n 项和，再由裂项相消法求{c n }的前n 项和T n ．本题考查数列递推式，考查了裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．19.【答案】证明：∵正方体棱长为a ，建立D -xyz 坐标系，如图，因为A 1M =AN =a ，23∴M （a ，a ，a ），N （a ，a ，0），所以=（-a ，0，-a ），13232313⃗MN 1323又∵=（0，a ，0）是平面B 1BCC 1的法向量，⃗DC 且=0，⃗MN ⋅⃗DC ∴，⃗MN ⊥⃗DC ∴MN ∥平面B 1BCC 1．（2）∵=（-a ，0，-a ），⃗MN 1323∴MN ==a ．(‒13a )2+0+(‒23a )253【解析】（1）由于CD ⊥平面B 1BCC 1，所以是平面B 1BCC 1的法向量，因此只需证明向量=0，建立空间直角坐标系，得到所需向量的坐标，通过数量积证明MN 所在的向量与面BB 1C 1C 的法向量垂直；（2）由（1）得到的坐标，通过求其模求MN 的长度．本题考查线面平行的判定以及线段长度，在正方体为载体的几何证明中，通常建立空间直角坐标系，通过向量的运算证明线面关系等．20.【答案】解：（1）由余弦定理AC 2=BA 2+BC 2-2BA •BC •cos B =57，解得；AC =57又，ACsinB =2R 解得；R =19∴△ABC 外接圆的半径R 为；…（5分）19（2）由AD =CD ，所以∠DCA =∠DAC ，所以θ=∠CAB -∠ACB =∠BAD ；由，sinθ=sin∠BAD =3314得；cosθ=cos∠BAD =1314设BD =x ，则DC =8-x ，DA =8-x ，在△ABD 中，BA =7，BD =x ，DA =8‒x ，cos∠BAD =1314由余弦定理得，x 2=72+(8‒x )2‒2×7×(8‒x)×1314解得x =3；所以BD =3，DA =5；由正弦定理，BDsin∠BAD =AD sinB 即，33314=5sinB 解得；sinB =5314所以，S △ABC =12BA ⋅BC ⋅sinB =103即△ABC 的面积为10．…（10分）3【解析】（1）利用余弦定理求出AC 的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径；（2）由题意，利用正弦、余弦定理求得∠ABC 的正弦值，再计算△ABC 的面积．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．21.【答案】（I ）证明：△AMB 为正三角形，∴AM =BM =AB ，∠MAB =∠AMB =60°M 是M 的中点，∴BM =MP ，∴AM =MP ，∴∠MPA =∠MAP =30°在△PAB 中，∴∠PAB =∠MAP +∠MAB =90°，即PA ⊥AB ，又PA ⊥AC∴PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC ，又PC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAC ；（II ）解：∵BC ⊥平面PAC ，∴∠PCA 就是二面角A -BC -P 的平面角设BC =a ，则PA =2a ，在Rt △PAB 中，，AB =PA ⋅tan∠APB =23a 3在Rt △ACB 中，，在Rt △PAC 中，AC =3a 3PC =39a 3∴，cos∠PCA =AC PC =1313即二面角A -BC -P 的平面角的余弦值为．1313【解析】（I ）证明PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，推出PA ⊥平面ABC ，得到PA ⊥BC ，PC ⊥BC ，即可证明BC ⊥平面PAC ；（II ）说明PCA 就是二面角A-BC-P 的平面角，设BC=a ，则PA=2a ，在Rt △PAB 中，求出AB ，在Rt △ACB 中，转化求解即可．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．22.【答案】解：（1）设圆心C （a ，0）（a ＞-），52∵直线l ：4x +3y +10=0，半径为2的圆C 与l 相切，∴d =r ，即=2，|4a +10|5解得：a =0或a =-5（舍去），则圆C 方程为x 2+y 2=4；（2）当直线AB ⊥x 轴，则x 轴必平分∠ANB ，此时N 可以为x 轴上任一点，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =k （x -1），（k ≠0），N （t ，0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由得（k 2+1）x 2-2k 2x +k 2-4=0，经检验△＞0，{x 2+y 2=4y =k(x ‒1)∴x 1+x 2=，，2k 2k 2+1x 1x 2=k 2‒4k 2+1若x 轴平分∠ANB ，设N 为（t ，0）则k AN =-k BN ，即+=0，k(x 1‒1)x 1‒t k(x 2‒1)x 2‒t 整理得：2x 1x 2-（t +1）（x 1+x 2）+2t =0，即+2t =0，2(k 2‒4)k 2+1‒2k 2(t +1)k 2+1解得：t =4，当点N （4，0），能使得∠ANM =∠BNM 总成立．【解析】（1）设出圆心C 坐标，根据直线l 与圆C 相切，得到圆心到直线l 的距离d=r ，确定出圆心C 坐标，即可得出圆C 方程；（2）当直线AB ⊥x 轴，则x 轴平分∠ANB ，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为y=k （x-1），联立圆与直线方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若x 轴平分∠ANB ，则k AN =-k BN，求出t的值，确定出此时N坐标即可．此题考查了直线与圆的方程的应用，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及斜率的计算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．。

2019-2020学年贵州省遵义航天高级中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．设集合{|(2)(3)0}S x x x =--…，{|0}T x x =>，则()(R S T =ð ) A ．[2，3] B ．(,2)[3-∞-，)+∞C ．(2,3)D ．(0,)+∞2．sin 600︒的值是( )A ．12B ．12-C D ． 3．设向量a ，b 满足||4a b +=，1a b =，则||(a b -= )A ．2B ．3C ．D ．4．正方体1111ABCD A B C D -中AB 的中点为M ，1DD 的中点为N ，则异面直线1B M 与CN 所成的角是( ) A ．0︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒5．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱6．设α，β为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面7．直线30mx ny ++=在y 轴上的截距为3-y -=倾斜角的2倍，则( )A ．1m n ==B ．3m n ==-C ．3m n ==-D ．1m n ==8．设等比数列{}n a 中，前n 项之和为n S ，已知38S =，67S =，则789(a a a ++= ) A ．18-B ．18C ．578D ．5589．如图给出的是计算1111352017+++⋯+的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．1009i …B ．1009i >C ．1010i …D ．1010i >10．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+，若f （1）2=，则f （1）f +（2）f +（3）(50)(f +⋯+= ) A ．50-B ．0C ．2D ．5011．经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为( )A ．3[0,][,)44πππB ．[0,]4πC ．3[,)4ππD ．3[0,][,]44πππ12．已知()21x f x =-，2()1g x x =-，规定：当|()|()f x g x …时，()|()|h x f x =；当|()|()f x g x <时，()()h x g x =-，则()(h x ) A ．有最小值1-，最大值1 B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值1-，无最大值D ．有最大值1-，无最小值二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）.13．在区间[0，5]上随机取一个数a ，则2a 的值介于1到4之间的概率为 ． 14．已知直线l 经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程 ． 15．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l m ⊥；②//m α；③l α⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ． 16．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为 ． 三、解答题17．已知直线l 经过点(2,5)P -，且斜率为34-（1）求直线l 的方程；（2）若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11A C 的中点，求证：（1）B ，C ，H ，G 四点共面； （2）平面1//EFA 平面BCHG ．19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足424S =，763S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2a C c b -=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若c =B 的平分线BD =a ．21．已知直线:120()l kx y k k R -++=∈． （1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．22．如图，四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，PD AB ⊥，O 是AD 的中点，BO CO =． （1）求证：AB ⊥平面PAD ；（2）若24AD AB ==，PA PD =，点M 在侧棱PD 上，且3PD MD =，二面角P BC D --的大小为4π，求直线BP 与平面MAC 所成角的正弦值．23．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，侧面PAD为等边三角形，AB =，AD =PB =．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD（2）M 是棱PD 上一点，三棱锥M ABC -的体积为1．记三棱锥P MAC -的体积为1V ，三棱锥M ACD -的体积为2V ，求12V V ．2019-2020学年贵州省遵义航天高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．设集合{|(2)(3)0}S x x x =--…，{|0}T x x =>，则()(R S T =ð ) A ．[2，3] B ．(,2)[3-∞-，)+∞C ．(2,3)D ．(0,)+∞【解答】解：{|2S x x =…或3}x …，{|0}T x x =>， {|23}R S x x ∴=<<ð，()(2R S T ∴=ð，3)．故选：C ．2．sin 600︒的值是( )A ．12B ．12-C D ． 【解答】解：sin 600sin(2360120)︒=⨯︒-︒ sin120sin(18060)=-︒=-︒-︒sin 60=-︒=． 故选：D ．3．设向量a ，b 满足||4a b +=，1a b =，则||(a b -= )A ．2B ．3C ．D ．【解答】解：向量a ，b 满足||4a b +=，1a b =， 222||()24a b a b a b a b ∴+=+=++=，解得2214a b +=，222||()2142a b a b a b a b ∴-=-=+-=-=故选：C ．4．正方体1111ABCD A B C D -中AB 的中点为M ，1DD 的中点为N ，则异面直线1B M 与CN 所成的角是( ) A ．0︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【解答】解：取1AA 的中点E ，连接EN ，BE 角1B M 于点O ， 则//EN BC ，且EN BC = ∴四边形BCNE 是平行四边形//BE CN ∴BOM ∴∠就是异面直线1B M 与CN 所成的角，而Rt △1Rt ABE BB M ≅∆1ABE BB M ∴∠=∠，1BMB AEB ∠=∠， 90BOM ∴∠=︒．故选：D ．5．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱【解答】解：根据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图， 可知几何体如图：几何体是三棱柱． 故选：B ．6．设α，β为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【解答】解：对于A ，α内有无数条直线与β平行，αβ或//αβ；对于B ，α内有两条相交直线与β平行，//αβ； 对于C ，α，β平行于同一条直线，αβ或//αβ； 对于D ，α，β垂直于同一平面，αβ或//αβ．故选：B ．7．直线30mx ny ++=在y 轴上的截距为3-y -=倾斜角的2倍，则( )A ．1m n ==B ．3m n ==-C ．3m n ==-D ．1m n ==【解答】解：对于直线30mx ny ++=，令0x =，得到3y n =-，即33n-=-， 解得：1n =，0y --=的斜率为60︒，∴直线30mx ny ++=的倾斜角为120︒，即斜率为mm n∴-=-=m =． 故选：D ．8．设等比数列{}n a 中，前n 项之和为n S ，已知38S =，67S =，则789(a a a ++= )A ．18-B ．18C ．578D ．558【解答】解：45663781a a a S S ++=-=-=-，3333456123123()a a a a q a q a q a a a q ++=++=++，所以318q =-，则33378945618a a a a q a q a q ++=++=． 故选：B ．9．如图给出的是计算1111352017+++⋯+的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．1009i …B ．1009i >C ．1010i …D ．1010i >【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示： 第一次循环：01S =+，1i =， 第二次循环：113S =+，2i =，第三次循环：11135S =++，3i =，⋯依此类推，第1009次循环：1111352017S =+++⋯+，1010i =，此时不满足条件，退出循环其中判断框内应填入的条件是：1009i …， 故选：A ．10．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+，若f （1）2=，则f（1）f +（2）f +（3）(50)(f +⋯+= ) A ．50- B ．0C ．2D ．50【解答】解：()f x 是奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，(1)(1)(1)f x f x f x ∴-=+=--，(0)0f =，则(2)()f x f x +=-，则(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 即函数()f x 是周期为4的周期函数， f （1）2=，f ∴（2）(0)0f ==，f （3）(12)(1)f f f =-=-=-（1）2=-， f （4）(0)0f ==，则f （1）f +（2）f +（3）f +（4）20200=+-+=，则f （1）f +（2）f +（3）(50)12[f f +⋯+=（1）f +（2）f +（3）f +（4）](49)(50)f f ++ f =（1）f +（2）202=+=，故选：C ．11．经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为( )A ．3[0,][,)44πππB ．[0,]4πC ．3[,)4ππD ．3[0,][,]44πππ【解答】解：如图所示，设直线l 的倾斜角为α，[0α∈，)π． 12101PA k -+==--，11102PB k --==-． 直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 的线段总有公共点，1tan 1α∴-剟．3[0,][,)44ππαπ∴∈．故选：A ．12．已知()21x f x =-，2()1g x x =-，规定：当|()|()f x g x …时，()|()|h x f x =；当|()|()f x g x <时，()()h x g x =-，则()(h x ) A ．有最小值1-，最大值1 B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值1-，无最大值D ．有最大值1-，无最小值【解答】解：画出|()||21|x y f x ==-与2()1y g x x ==-的图象， 它们交于A 、B 两点．由“规定”，在A 、B 两侧，|()|()f x g x …故()|()|h x f x =； 在A 、B 之间，|()|()f x g x <，故()()h x g x =-． 综上可知，()y h x =的图象是图中的实线部分， 因此()h x 有最小值1-，无最大值． 故选：C ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）.13．在区间[0，5]上随机取一个数a ，则2a 的值介于1到4之间的概率为5． 【解答】解：由题意，在[0，5]上满足2a 的值介于1到4之间的a 的范围为[0，2]， 由几何概型公式得到所求概率为：202505-=-； 故答案为：25． 14．已知直线l 经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程 70x y -=，或60x y --= ．【解答】解：当直线l 经过原点时，直线l 在两坐标轴上截距均等于0，故直线l 的斜率为17，∴所求直线方程为17y x =，即70x y -=． 当直线l 不过原点时，设其方程1x ya b+=，由题意可得0a b +=，①又l 经过点(7,1)，有711a b+=，② 由①②得6a =，6b =-，则l 的方程为166x y +=-，即60x y --=． 故所求直线l 的方程为70x y -=，或60x y --=． 故答案为70x y -=，或60x y --=．15．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l m ⊥；②//m α；③l α⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 若l α⊥，l m ⊥，则//m α ．【解答】解：由l ，m 是平面α外的两条不同直线，知： 由线面平行的判定定理得： 若l α⊥，l m ⊥，则//m α．故答案为：若l α⊥，l m ⊥，则//m α．16．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O ．【解答】解：如图，由PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，可知三棱锥P ABC -为正三棱锥，则顶点P 在底面的射影O 为底面三角形的中心，连接BO 并延长，交AC 于G ， 则AC BG ⊥，又PO AC ⊥，POBG O =，可得AC ⊥平面PBG ，则PB AC ⊥，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，//EF PB ∴，又90CEF ∠=︒，即EF CE ⊥，PB CE ∴⊥，得PB ⊥平面PAC ， ∴正三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径，2R =，则球O 的体积为343V R π==．．三、解答题17．已知直线l经过点(2,5)P-，且斜率为3 4 -（1）求直线l的方程；（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．【解答】解：（1）由点斜式写出直线l的方程为35(2)4y x-=-+，化简为34140x y+-=．（2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为340x y c++=，3=，即|14|35c+=，解得1c=或29c=-，故所求直线方程3410x y++=，或34290x y+-=．18．如图，在三棱柱111ABC A B C-中，E，F，G，H分别是AB，AC，11A B，11A C的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面1//EFA平面BCHG．【解答】证明：（1）G、H分别为11A B，11A C中点，11//GH B C∴，三棱柱111ABC A B C-中，11//BC B C，//GH BC∴B∴、C、H、G四点共面；（2）E、F分别为AB、AC中点，//EF BC ∴11//////EF BC B C GH ∴又E 、G 分别为三棱柱侧面平行四边形11AA B B 对边AB 、11A B 中点，∴四边形1A EBG 为平行四边形，1//A E BG∴平面1EFA 中有两条直线1A E 、EF 分别与平面BCHG 中的两条直线BG 、BC 平行 ∴平面1//EFA 平面BCHG ．19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足424S =，763S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解答】解：（Ⅰ）{}n a 为等差数列，∴411714342432217627632n S a d a a n d S a d ⨯⎧=+=⎪=⎧⎪⇒⇒=+⎨⎨⨯=⎩⎪=+=⎪⎩． （Ⅱ）2122(21)24(21)n a n n n n b a n n +=+=++=⨯++，∴224(14)(321)82(444)(3521)2(41)21423n nnn n n T n n n -++=++⋯++++⋯++=⨯+=-++-． 20．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2a C c b -=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若c =B的平分线BD =a ． 【解答】解：（Ⅰ）由2cos 2a C c b -=及正弦定理得， 2sin cos sin 2sin A C C B -=，⋯（2分）2sin cos sin 2sin()2sin cos 2cos sin A C C A C A C A C -=+=+， sin 2cos sin C A C ∴-=，sin 0C ≠，1cos 2A ∴=-，又(0,)A π∈，23A π∴=；⋯（6分） （Ⅱ）在ABD ∆中，c =，角B的平分线BD =由正弦定理得sin sin AB BDADB A=∠，sin sin AB AADB BD∴∠===⋯（8分）由23A π=得4ADB π∠=，22()346ABC ππππ∴∠=--=， 2366ACB ππππ∴∠=--=，AC AB == 由余弦定理得，22222cos a BC AB AC AB AC A ===+-1222()62=+--=，a ∴=21．已知直线:120()l kx y k k R -++=∈． （1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．【解答】解：（1）证明：由已知得(2)(1)0k x y ++-=， ∴无论k 取何值，直线过定点(2,1)-．（2）令0y =得A 点坐标为1(2k--，0)， 令0x =得B 点坐标为(0，21)(0)k k +>， 11|2||21|2AOB S k k∆∴=--+ 111(2)(21)(44)2k k k k=++=++ 1(44)42+=…． 当且仅当14k k =，即12k =时取等号． 即AOB ∆的面积的最小值为4，此时直线l 的方程为11102x y -++=．即240x y -+=．22．如图，四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，PD AB ⊥，O 是AD 的中点，BO CO =． （1）求证：AB ⊥平面PAD ；（2）若24AD AB ==，PA PD =，点M 在侧棱PD 上，且3PD MD =，二面角P BC D --的大小为4π，求直线BP 与平面MAC 所成角的正弦值．【解答】证明：（1）平行四边形ABCD 中，设N 是BC 的中点，连结ON ， O 是AD 的中点，//AB ON ∴， BO CO =，ON BC ∴⊥，AB BC ∴⊥，平行四边形ABCD 中，//BC AD ，则AB AD ⊥， AB PD ⊥，且PD AD D =，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，AB ∴⊥平面PAD ．解：（2）由（1）知AB ⊥平面PAD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴面PAD ⊥面ABCD ，连结PO ，PN ，PA PD =，PO AD ∴⊥，PO BC ∴⊥， ON BC ⊥，BC ∴⊥平面PNO ，PN BC ∴⊥， ∴二面角P BC D --的平面角为4PNO π∠=，2PO AB ∴==，以O 为原点，ON ，OD ，OP 方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则(0A ，2-，0)，(2B ，2-，0)，(2C ，2，0)，(0P ，0，2)， 由3PD MD =，得42(0,,)33M ，则(2AC =，4，0)，(0AM =，103，2)3，(2BP =-，2，2)， 设平面MAC 的一个法向量(n x =，y ，)z ，则2401020n AC x y n AM x z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取1y =，得(2n =-，1，5)-， 设直线BP 与平面MAC 所成角为θ， 则直线BP 与平面MAC 所成角的正弦值为：||sin15||||2330BP n BP n θ===．23．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，侧面PAD 为等边三角形，AB =，AD =PB =．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD（2）M 是棱PD 上一点，三棱锥M ABC -的体积为1．记三棱锥P MAC -的体积为1V ，三棱锥M ACD -的体积为2V ，求12V V ．【解答】解：（1）证明：由已知可得PA AD ==， 22215PA AB PB ∴+==，AB PA ∴⊥， ABCD 为矩形，AB AD ∴⊥， AB ∴⊥平面PAD ，由AB ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）由题意，21M ACD M ABC V V V --===，又111333332P ACD ACD V S -∆=⨯=⨯=，1312P ACD M ACD V V V --∴=-=-=，故122V V =．。

贵州省遵义航天高级中学2014-2015学年高二数学上学期半期考试试题 文一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填写在答题卡上．）1．已知集合{}34A x x =-≤<，{}25B x x =-≤≤，则A B =（ ） A.{}35x x -≤≤ B.{}34x x -≤< C.{}25x x -≤≤ D.{}24x x -≤<2．已知31)2sin(=+a π，则a 2cos 的值为（ ） A ．31 B ．31- C ．97 D ．97- 3．平面向量a 与b 的夹角为60°，()2,0a =，1b =，则a b +=( ).C. 3D. 7 4．某大学数学系共有本科生1 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为( )．A ．80B ．40C ．60D ．205．等差数列{}n a 中，19,793==a a ，则5a 为（ ）A ．13B ．12C ．11D ．106．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）（A ）12 （B ）36 （C ）24 （D ）727．函数f(x)＝－|x －5|＋2x －1的零点所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)8．设α为平面，a 、b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（ ）A 若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB 若a ⊥α，a ∥b ，则b ⊥αC 若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥αD 若a ∥α，a ⊥b ，则b ⊥α9．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为 ( )A ．－1B ．0C ．1D ．310．直线02=--y x 被圆4)(22=+-y a x 截得的弦长为，则实数a 的值为 （ ）A.1-或B.1或3C.2-或6D.0或411．已知52log 2a =， 1.12b =， 0.812c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A..a c b <<B.c b a <<C.a b c <<D.b c a <<12．函数2()sin ln(1)f x x x =⋅+的部分图像可能是（ ）第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．)13．已知ABC ∆中,4,8,60BC AC C ==∠=︒,则BC CA ⋅= .14．设函数f （x ）＝21,12,1x x x x⎧+≤⎪⎨>⎪⎩，则f （f （3））＝______ 15．函数2()lg(21)f x x =+的定义域是_______． 16．已知函数()3y f x x =+为偶函数，且()1010f =，若函数()()4g x f x =+，则()10g -= .三、解答题(本题共6小题，共70分．请将解答写在答题卡指定位置。

贵州省遵义航天高级中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填写在答题卡上．）1，则A B =（ ）2） A 393．平面向量a 与b 的夹角为60°，()2,0a =，1b =，则a b +=( ). C. 3 D. 7 4．某大学数学系共有本科生1 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为( )．A ．80B ．40C ．60D ．205．等差数列{}n a 中，19,793==a a ，则5a 为（ ）A ．13B ．12C ．11D ．106．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）（A ）12 （B ）36 （C ）24 （D ）727．函数f(x)＝－|x －5|＋2x －1的零点所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)8．设α为平面，a 、b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（ ）A 若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB 若a ⊥α，a ∥b ，则b ⊥αC 若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥αD 若a ∥α，a ⊥b ，则b ⊥α9．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为 ( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．310．直线02=--y x 被圆4)(22=+-y a x 截得的弦长为实数a 的值为 （ ）A.1-或B.1或3C.2-或6D.0或411．已知52log 2a =， 1.12b =，，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A..a c b <<B.c b a <<C.a b c <<D.b c a <<12．函数2()sin ln(1)f x x x =⋅+的部分图像可能是（ ）第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．)13．已知ABC ∆中,4,8,60BC AC C ==∠=︒,则BC CA ⋅= .14．设函数f （xf （f （3））＝______15．函数2()lg(21)f x x =++的定义域是_______． 16．已知函数()3y f x x =+为偶函数，且()1010f =，若函数()()4g x f x =+，则()10g -= . 三、解答题(本题共6小题，共70分．请将解答写在答题卡指定位置。

2018-2019学年贵州省遵义市航天高中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.点P（a，b，c）到坐标平面xOy的距离是（）A. B. C. D.2.过两点A（4，y），B（2，-3）的直线的倾斜角为45°，则y=（）A. B. C. D. 13.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，则b=（）A. 或12B. 2或C. 或D. 2或124.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. ，，，B. ，，C. ，D. ，5.等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{a n}前9项的和S9等于（）A. 99B. 66C. 144D. 2976.直线（a+2）x+（1-a）y-3=0与（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直，则a的值为（）A. B. 1 C. D.7.如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（）A.B.C.D.8.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 9B. 10C. 11D.9.已知α=sin150°，b=tan60°，c=cos（-120°），则a、b、c的大小关系是（）A. B. C. D.10.如图，在正四面体ABCD中，E为AB的中点，F为CD的中点，则异面直线EF与AC所成的角为（）A.B.C.D.11.已知P，Q分别是直线l：x-y-2=0和圆C：x2+y2=1上的动点，圆C与x轴正半轴交于点A（1，0），则|PA|+|PQ|的最小值为（）A. B. 2 C. D.12.设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45º，则x0的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则z=3x-4y的最小值为______．14.若曲线与直线始终有两个交点，则的取值范围是_____．15.三棱锥P-ABC中，PA=AB=BC=2，PB=AC=2，PC=2，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为______．16.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点．已知下列判断：①A1C平面B1EF；②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关．其中正确结论的序号为______（写出所有正确结论的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆x2+y2=9内有一点P（-1，2），AB为过点P的弦且倾斜角为θ．（1）若θ=135°，求弦AB的长；（2）当弦AB被点P平分时，求出直线AB的方程．18.在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．（1）求a n与b n；（2）设数列{c n}满足，求{c n}的前n项和T n．19.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=a，如图．（1）求证：MN∥面BB1C1C；（2）求MN的长．20.在△ABC中，D为BC上一点，AD=CD，BA=7，BC=8．（1）若B=60°，求△ABC外接圆的半径R；（2）设∠CAB=∠ACB=θ，若，求△ABC面积．21.如图，在三棱锥P-ABC中，PA AC，PC BC，M为PB的中点，且△AMB为正三角形．（I）求证：BC平面PAC；（II）若PA=2BC，求二面角A-BC-P的余弦值．22.已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：点P在XOY平面的投影点的坐标是P'（a，b，0），所以|PP'|2=[（a-a）2+（b-b）2+（c-0）2]=c2，∴点P（a，b，c）到坐标平面xOy的距离是|c|，故选：D．先求出点P在XOY平面的投影点的坐标，然后利用空间任意两点的距离公式进行求解即可．本题主要考查了空间一点点到平面的距离，同时考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：经过两点A（4，y），B（2，-3）的直线的斜率为k=．又直线的倾斜角为45°，∴=tan45°=1，即y=-1．故选：C．由两点坐标求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值列式求得y的值．本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．3.【答案】D【解析】解：由圆x2+y2-2x-2y+1=0，化为标准方程为（x-1）2+（y-1）2=1，∴圆心坐标为（1，1），半径为1，∵直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，∴圆心（1，1）到直线3x+4y-b=0的距离等于圆的半径，即，解得：b=2或b=12．故选：D．化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值．本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．4.【答案】D【解析】解：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A、若平面AC是平面α，平面BC1是平面β，直线AD是直线m，点E，F分别是AB，CD的中点，则EF∥AD，EF是直线n，显然满足α∥β，mα，nβ，但是m与n异面；B、若平面AC是平面α，平面A1C1是平面β，直线AD是直线m，A1B1是直线n，显然满足mα，nα，m∥β，n∥β，但是α与β相交；C、若平面AC是平面α，直线AD是直线n，AA1是直线m，显然满足mα，m n，但是n∈α；故选：D．根据m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，可得该直线与直线可以平行，相交或异面，平面与平面平行或相交，把平面和直线放在长方体中，逐个排除易寻到答案．此题是个基础题．考查直线与平面的位置关系，属于探究性的题目，要求学生对基础知识掌握必须扎实并能灵活应用，解决此题问题，可以把图形放入长方体中分析，体现了数形结合的思想和分类讨论的思想．5.【答案】A【解析】解：由等差数列的性质可得a1+a7=2a4，a3+a9=2a6，又∵a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，∴a1+a4+a7=3a4=39，a3+a6+a9=3a6=27，∴a4=13，a6=9，∴a4+a6=22，∴数列{a n}前9项的和S9====99故选：A．由等差数列的性质可得a4=13，a6=9，可得a4+a6=22，再由等差数列的求和公式和性质可得S9=，代值计算可得．本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．6.【答案】C【解析】解：由题意，∵直线（a+2）x+（1-a）y-3=0与（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直∴（a+2）（a-1）+（1-a）（2a+3）=0∴（a-1）（a+2-2a-3）=0∴（a-1）（a+1）=0∴a=1，或a=-1故选：C．根据两条直线垂直的充要条件可得：（a+2）（a-1）+（1-a）（2a+3）=0，从而可求a 的值本题以直线为载体，考查两条直线的垂直关系，解题的关键是利用两条直线垂直的充要条件．7.【答案】D【解析】解：三角形ABC的面积为离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P=1-故选：D．求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对理事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率．本题考查几何概型概率公式、对立事件概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式．8.【答案】C【解析】解：．由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，V==1，三棱锥所以V=4×3-1=11．故选：C．根据得出该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案．本题考查了空间几何体的性质，求解体积，属于计算题，关键是求解底面积，高，运用体积公式．9.【答案】B【解析】解：α=sin150°=sin（180°-30°）=sin30°=，b=tan60°=，c=cos（-120°）=cos（90°+30°）=-sin30°=-．∴b＞a＞c，故选：B．利用诱导公式化简在同一象限，即可比较．本题考查了诱导公式的化简能力．属于基础题．10.【答案】C【解析】解：取BC的中点G，连接EG，FG，∵E，G分别为AB，BC的中点，∴EG∥AC，FG∥BD，EG=，FG=∴∠FEG为异面直线EF与AC所成的角∵四面体ABCD为正四面体，∴AC=BD，∴EG=FG过点A作AO平面BCD，垂足为O，则O为△BCD的重心，AO BD∵CO BD，AO∩CO=O∴BD平面AOC∵AC平面AOC∴BD AC∵EG∥AC，FG∥BD∴EG FG在Rt△EGF中，∵∠EGF=90°，且EG=FG∴∠FEG=45°故选：C．根据正四面体的性质，每条棱都相等，相对的棱互相垂直，可借助中位线，平移直线AC，得到异面直线EF与AC所成的角，再放入直角三角形中，即可求得．本题主要考查了正四面体中线线位置关系，以及异面直线所成角的求法，综合考查了学生的识图能力，作图能力，以及空间想象力．11.【答案】C【解析】解：如图，圆C：x2+y2=1的圆心O（0，0），半径r=1，设A（1，0）关于l：x-y-2=0的对称点为B（a，b），则，解得：，即B（2，-1），连接BO，交直线l：x-y-2=0与P，则|PA|+|PQ|的最小值为|BO|-r=．故选：C．由题意画出图形，求出A关于直线l的对称点B的坐标，再求出B到圆心的距离，则答案可求．本题考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．12.【答案】A【解析】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[-1，1]．故选：A．根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．13.【答案】-1【解析】解：由z=3x-4y，得y=x-，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=x-，由平移可知当直线y=x-，经过点B（1，1）时，直线y=x-的截距最大，此时z取得最小值，将B的坐标代入z=3x-4y=3-4=-1，即目标函数z=3x-4y的最小值为-1．故答案为：-1．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x-4y的最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14.【答案】[1，）【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由曲线y=，得到此曲线的图象为一个半圆，由圆心到直线距离等于半径求得直线与半圆相切时的b值，数形结合得答案．【解答】解：由y=，得x2+y2=1（y≥0），表示半圆，图象如图所示．当直线与半圆相切时，圆心（0，0）到直线y=x+b的距离d=，解得b=，b=-（舍去），由图可知，当曲线y=与直线y=x+b有两个交点时，b的取值范围是：[1，）．故答案为[1，）．15.【答案】12π【解析】解：∵AP=2，AC=2，PC=2，∴AP2+AC2=PC2∴△PAC是Rt△．∵PB=2，BC=2，PC=2，∴△PBC是Rt△．∴取PC中点O，则有OP=OC=OA=OB=，∴O为三棱锥P-ABC的外接球的球心，半径为．∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR2=12π．故答案为：12π可得△PAC是Rt△．PBC是Rt△．可得三棱锥P-ABC的外接球的球心、半径，即可求出三棱锥P-ABC的外接球的表面积．本题考查了三棱锥P-ABC的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P-ABC的外接球的球心、半径是关键．属于中档题．16.【答案】②③【解析】解：若A1C平面B1EF，则A1C B1F，由三垂线逆定理知：B1F A1B，又当F 与A不重合时，B1F与A1B不垂直，∴①错误；∵E在侧面BCC1B1上的投影在CC1上，F在侧面BCC1B1上的投影是B，∴△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是三角形，三角形的面积S=×棱长×棱长为定值．∴②正确；设平面A1B1C1D1∩平面B1EF=l，∵平面A1B1C1D1内总存在与l平行的直线，由线面平行的判定定理得与l平行的直线，与平面B1EF平行，∴③正确；设E与D重合，F位置变化，平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小也在变化，∴④错误．故答案为：②③．利用线面垂直的性质及三垂线逆定理，证明当F与A不重合时，A1C与平面B1EF不垂直；可得①错误；根据射影的定义及三角形的面积公式可得射影三角形的面积；从而判断②是否正确；根据线面平行的判定定理可得③正确；固定E的位置，变化F的位置，可得二面角的大小是变化的，由此可得④正确．本题考查了线面垂直的性质，线面平行的判断及二面角的平面角的求法，考查了学生的空间想象能力与识图能力，熟练掌握线面平行的判定定理及线面平行的性质定理是解题的关键．17.【答案】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵AB为过点P的弦且倾斜角为θ=135°，∴依题意：直线AB的斜率为-1，∴直线AB的方程为x+y-1=0，联立直线方程与圆的方程：，得x2-x-4=0，则x1+x2=-1，x1x2=-4，由弦长公式得AB==．（6分）（2）设直线AB的斜率为k．则直线AB的方程为y-2=k（x+1）；∵P为AB的中点，∴OP丄AB，由斜率公式，得直线OP斜率为k OP==-2，则-2k=-1，解得k=∴直线AB的方程为：x-2y+5=0．【解析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线AB的斜率为-1，得到直线AB的方程为x+y-1=0，联立直线方程与圆的方程，得x2-x-4=0，由此利用韦达定理、弦长公式，能求出AB的长．（2）设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y-2=k（x+1），由P为AB的中点，得OP丄AB，由斜率公式，求出直线OP斜率为-2，从而-2k=-1，由此求出k=，由此能求出直线AB的方程．本题考查弦长的求法，考查直线方程的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式、勾股定理、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18.【答案】解：（1）设{a n}的公差为d，由b2+S2=12，，得，解得q=3或q=-4（舍），d=3．故a n=3+3（n-1）=3n，；（2）∵ ，∴．故[=．【解析】（1）由已知列关于q，d的方程组，求解后代入等差数列与等比数列的通项公式得答案；（2）写出等差数列的前n项和，再由裂项相消法求{c n}的前n项和T n．本题考查数列递推式，考查了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．19.【答案】证明：∵正方体棱长为a，建立D-xyz坐标系，如图，因为A1M=AN=a，∴M（a，a，a），N（a，a，0），所以=（-a，0，-a），又∵=（0，a，0）是平面B1BCC1的法向量，且=0，∴，∴MN∥平面B1BCC1．（2）∵=（-a，0，-a），∴MN==a．【解析】（1）由于CD平面B1BCC1，所以是平面B1BCC1的法向量，因此只需证明向量=0，建立空间直角坐标系，得到所需向量的坐标，通过数量积证明MN所在的向量与面BB1C1C的法向量垂直；（2）由（1）得到的坐标，通过求其模求MN 的长度．本题考查线面平行的判定以及线段长度，在正方体为载体的几何证明中，通常建立空间直角坐标系，通过向量的运算证明线面关系等．20.【答案】解：（1）由余弦定理AC2=BA2+BC2-2BA•BC•cos B=57，解得；又，解得；∴△ABC外接圆的半径R为；…（5分）（2）由AD=CD，所以∠DCA=∠DAC，所以θ=∠CAB-∠ACB=∠BAD；由 ∠ ，得 ∠ ；设BD=x，则DC=8-x，DA=8-x，在△ABD中，，， ∠ ，由余弦定理得，解得x=3；所以BD=3，DA=5；，由正弦定理∠即，解得；所以△ ，即△ABC的面积为10．…（10分）【解析】（1）利用余弦定理求出AC的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径；（2）由题意，利用正弦、余弦定理求得∠ABC的正弦值，再计算△ABC的面积．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．21.【答案】（I）证明：△AMB为正三角形，∴AM=BM=AB，∠MAB=∠AMB=60°M是M 的中点，∴BM=MP，∴AM=MP，∴∠MPA=∠MAP=30°在△PAB中，∴∠PAB=∠MAP+∠MAB=90°，即PA AB，又PA AC∴PA平面ABC，∴PA BC，又PC BC，∴BC平面PAC；（II）解：∵BC平面PAC，∴∠PCA就是二面角A-BC-P的平面角设BC=a，则PA=2a，在Rt△PAB中， ∠ ，在Rt△ACB中，，在Rt△PAC中，∴ ∠ ，即二面角A-BC-P的平面角的余弦值为．【解析】（I）证明PA AB，PA AC，推出PA平面ABC，得到PA BC，PC BC，即可证明BC平面PAC；（II）说明PCA就是二面角A-BC-P的平面角，设BC=a，则PA=2a，在Rt△PAB 中，求出AB，在Rt△ACB中，转化求解即可．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．22.【答案】解：（1）设圆心C（a，0）（a＞-），∵直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，∴d=r，即=2，解得：a=0或a=-5（舍去），则圆C方程为x2+y2=4；（2）当直线AB x轴，则x轴必平分∠ANB，此时N可以为x轴上任一点，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x-1），（k≠0），N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），由得（k2+1）x2-2k2x+k2-4=0，经检验△＞0，∴x1+x2=，，若x轴平分∠ANB，设N为（t，0）则k AN=-k BN，即+=0，整理得：2x1x2-（t+1）（x1+x2）+2t=0，即+2t=0，解得：t=4，当点N（4，0），能使得∠ANM=∠BNM总成立．【解析】（1）设出圆心C坐标，根据直线l与圆C相切，得到圆心到直线l的距离d=r，确定出圆心C坐标，即可得出圆C方程；（2）当直线AB x轴，则x轴平分∠ANB，当直线AB斜率存在时，设直线AB 方程为y=k（x-1），联立圆与直线方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若x轴平分∠ANB，则k AN=-k BN，求出t的值，确定出此时N坐标即可．此题考查了直线与圆的方程的应用，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及斜率的计算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．。