2013届高三人教A版文科数学一轮复习课时作业(65)参数方程)

第65讲参数方程1.[2018·辽宁五校联考]已知直线l过点P(2,1),倾斜角为135°,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,单位长度与直角坐标系xOy的单位长度相同,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ.(1)分别写出圆C的直角坐标方程和直线l的参数方程;(2)设圆C与直线l交于A,B两点,求|PA|+|PB|.2.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:+=1,直线l:,(t为参数).(1)求曲线C的参数方程及直线l的普通方程;(2)求曲线C上任一点P到直线l的距离的最大值和最小值.3.[2018·南昌三中期末]在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为1,1(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C与直线l交于A,B两点,若点P的坐标为(1,1),求|PA|+|PB|的值.4.在平面直角坐标系xOy中,设倾斜角为α的直线l的参数方程为3,(t为参数),直线l与曲线C:1,(θ为参数)相交于不同的两点A,B.(1)若α=3,求线段AB的中点的直角坐标;(2)若直线l的斜率为2,且过已知点P(3,0),求|PA|·|PB|的值.5.[2018·广州二模]在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为3,1(t为参数).在以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C :ρ=2 cos θ-.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.6.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为 ,(θ为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)写出曲线C 的极坐标方程;(2)设点M 的极坐标为 ,,过点M 的直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若|MA|=2|MB|,求弦长|AB|.7.在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C :, 3(θ为参数),直线l 过定点(-2,2),且斜率为-1.以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的普通方程以及直线l 的参数方程;(2)点P 在曲线C 上,当θ∈ 1 ,51 时,求点P 到直线l 的最小距离并求点P 的坐标.8.[2018·武昌调研] 在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为,(t 为参数,a>0).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为ρcos θ+=-2 .(1)设P 是曲线C 上的一个动点,当a=2时,求点P 到直线l 的距离的最小值;(2)若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方,求a 的取值范围.课时作业(六十五)1.解:(1)∵直线l 过点P (2,1),倾斜角为135°,∴l 的参数方程为, 1(t 为参数).∵圆C 的极坐标方程为ρ=4cos θ,即ρ2=4ρcos θ, ∴转化成直角坐标方程为x 2+y 2=4x ,即(x-2)2+y 2=4.(2)由已知得直线l 的直角坐标方程为y-1=(-1)×(x-2),整理得x+y-3=0.圆心(2,0)到直线x+y-3=0的距离d==, 则|PA|+|PB|=|AB|=2× -= 1 .2.解:(1)由题意知,曲线C 的参数方程为 , 3(θ为参数),直线l 的普通方程为2x+y-6=0. (2)设曲线C 上任一点P (2cos θ,3sin θ),则点P到l 的距离d= 55|4cos θ+3sin θ-6|= 55|5sin(θ+α)-6|,其中tan α=3.当sin(θ+α)=-1时,d 取得最大值11 55;当sin(θ+α)=1时,d 取得最小值 55.3.解:(1)曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cos θ,即ρ2sin 2θ=4ρcos θ. 把ρsin θ=y ,ρcos θ=x 代入上式可得y 2=4x , ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x. (2)由题意知,直线l 经过点P (1,1). 把直线l 的参数方程1, 1(t 为参数)代入抛物线方程整理得t 2+6 t-6=0.设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1+t 2=-6 ,t 1t 2=-6,∴ PA + PB = 1|+|t 2|=|t 1-t 2|= 1- 1 =4 .4.解:(1)由曲线C : 1,(θ为参数),可得曲线C 的普通方程是x 2-y 2=1.当α=3时,直线l 的参数方程为3 1,3(t 为参数),代入曲线C 的普通方程,得t 2-6t-16=0.设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=6,所以线段AB 的中点对应的参数t= 1=3, 故线段AB 的中点的直角坐标为 ,3 3.(2)设A,B两点对应的参数分别为t1,t2.将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程,化简得(cos2α-sin2α)t2+6t cosα+8=0,则|PA|·|PB|=|t1t2|=-=11,由已知得tanα=2,故|PA|·|PB|=3.5.解:(1)由3,1(t为参数)消去t得x+y-4=0,所以直线l的普通方程为x+y-4=0.由ρ=2cosθ-=2cosθcos+sinθsin=2cosθ+2sinθ,得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ.将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y代入上式,得x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2,所以曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2.(2)设曲线C上的点P(1+cosα,1+sinα)(α为参数),则点P到直线l的距离d===.当sinα+=-1时,d max=2.所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2.6.解:(1)∵曲线C的参数方程为,(θ为参数),∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4y=0, ∴化为极坐标方程为ρ2-4ρsinθ=0, 即曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ.(2)由题可知,点M的直角坐标为(1,1),设直线l的参数方程是1·,1·(t为参数)①,由(1)知曲线C的直角坐标方程是x2+y2-4y=0②,①②联立,得t2+2(cosα-sinα)t-2=0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,∴ 1t2=-2.∵ MA =2|MB|,∴ 1=-2t2,则t1=2,t2=-1或t1=-2,t2=1,∴弦长|AB|=|t1-t2|=3.7.解:(1)由题意知,曲线C的普通方程为+3=1.设直线l的倾斜角为α,因为直线l的斜率为-1,所以tanα=-1,又sin2α+cos2α=1,解得55,55,故直线l的参数方程为55,55(t为参数).(2)设点P (2cos θ, 3sin θ),θ∈ 1 ,51.由(1)易知直线l :x+2y-2=0,则点P 到直线l 的距离d= 3 5=5.因为 θ∈ 1 ,5 1,所以θ+∈ ,1,当且仅当θ+=,即θ=1时,P 到直线l 的距离最小,d min =- 5=- 5.此时2cos 1 =, 3sin 1=3 -,所以点P 的坐标为,3 -. 8.解:(1)由ρcos θ+=-2 , 得(ρcos θ-ρsin θ)=-2 , 化成直角坐标方程为(x-y )=-2 , 即直线l 的直角坐标方程为x-y+4=0.依题意,设P (2cos t ,2sin t ), 则点P 到直线l 的距离d===2 +2cos t+.当cos t+=-1时,d min =2 -2.故点P 到直线l 的距离的最小值为2 -2.(2)∵曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方, ∴对t ∈R,有a cos t-2sin t+4>0恒成立, 即 cos(t+φ)>-4其中cos φ=,sin φ=恒成立,∴ <4,又a>0,∴0<a<2 3.故a 的取值范围为(0,2 3).。

高三数学参数方程知识点高中数学知识点之参数方程定义一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x=f(t)、y=g(t)并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么上述方程则为这条曲线的参数方程，联系x，y的变数t叫做变参数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

(注意：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义和几何意义的变数，也可以是没有实际意义的变数。

高中数学知识点之参数方程圆的参数方程x=a+rcosθy=b+rsinθ(a,b)为圆心坐标r为圆半径θ为参数椭圆的参数方程x=acosθy=bsinθa为长半轴长b为短半轴长θ为参数双曲线的参数方程x=asecθ(正割)y=btanθa为实半轴长b为虚半轴长θ为参数抛物线的参数方程x=2pt2y=2ptp表示焦点到准线的距离t为参数直线的参数方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直线经过(x',y')，且倾斜角为a,t为参数高三数学复习建议第一：函数和导数。

这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。

第二：平面向量和三角函数。

重点考察三个方面：第一是化简与求值，重点掌握五组基本公式。

第二是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质。

第三是正弦定理和余弦定理来解三角形，难度比较小。

第三：数列。

数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

第四：空间向量和立体几何。

在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

第五：概率和统计。

课时作业(六十五) 参数方程[对应学生用书P 309]1．(2020·河南洛阳期末)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝5cos α，y ＝2＋5sin α (α为参数).以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2＝4ρcos θ－3.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1与C 2交于A ，B 两点，A ，B 的中点为M ，点P (0，－1)，求|PM |·|AB |的值． 解 (1)曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝5.由ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0.(2)将两圆的方程x 2＋(y －2)2＝5与x 2＋y 2－4x ＋3＝0作差得直线AB 的方程为x －y －1＝0.点P (0，－1)在直线AB 上，设直线AB 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝－1＋22t (t 为参数)，代入x 2＋y 2－4x ＋3＝0化简得t 2－32 t ＋4＝0，所以t 1＋t 2＝32 ，t 1t 2＝4. 因为点M 对应的参数为t 1＋t 22 ＝322 ，所以|PM |·|AB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22 ·|t 1－t 2| ＝322×（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝322×18－4×4 ＝3.2．(2020·安徽巢湖模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数).(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17 ，求a . 解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0 或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425．从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425 . (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17＝|5sin （θ＋φ）－a －4|17 ，φ满足tan φ＝34 .当－a －4≤0，即a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917 .由题设得a ＋917＝17 ，所以a ＝8；当－a －4＞0，即a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117 ，由题设得－a ＋117 ＝17 ，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.3．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25 sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5 )，求|P A |＋|PB |. 解 方法一 (1)由ρ＝25 sin θ，得x 2＋y 2－25 y ＝0，即x 2＋(y －5 )2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得⎝⎛⎭⎫3－22t 2 ＋⎝⎛⎭⎫22t 2 ＝5，即t 2－32 t ＋4＝0.由于Δ＝(32 )2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5 )，故由上式及t 的几何意义得 |P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝32 . 方法二 (1)同方法一．(2)因为圆C 的圆心为(0，5 )，半径r ＝5 ，直线l 的普通方程为：y ＝－x ＋3＋5 .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y －5）2＝5，y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2＋5 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1＋5．不妨设A (1，2＋5 )，B (2，1＋5 )，又点P 的坐标为(3，5 )，故|P A |＋|PB |＝8 ＋2 ＝32 .4．(2020·陕西宝鸡模拟)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ (θ为参数). (1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12 ，纵坐标压缩为原来的32 ，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的最小值．解 (1)l 的普通方程为y ＝3 (x －1)，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －1）x 2＋y 2＝1， 解得l 与C 1的交点坐标分别为(1，0)，⎝⎛⎭⎫12，－32 ，所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫0＋322＝1.(2)C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12cos θy ＝32sin θ(θ为参数)，故点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫12cos θ，32sin θ ，从而点P 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝34 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋2 ， 由此当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 ＝－1时，d 取得最小值，且最小值为64 (2 －1).5．(2021·江西萍乡模拟)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3 (t 为参数)，在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积． 解 (1)由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ ，得ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋ty ＝t －3，得t ＝3＋y ，代入x ＝1＋t 中，消去t 得x －y －4＝0，所以直线l 的普通方程为x －y －4＝0.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2＝2x ，得t 2－8t ＋7＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝8，t 1t 2＝7，所以|AB |＝2 |t 1－t 2|＝2 ×（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝2 ×82－4×7 ＝62 ，因为原点到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－4|1＋1＝22 ，所以△AOB 的面积是12 |AB |·d ＝12×62 ×22 ＝12.6．(2021·江西南昌模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，a ＞0)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝－42 . (1)设P 是曲线C 上的一个动点，当a ＝23 时，求点P 到直线l 的距离的最小值； (2)若曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方，求实数a 的取值范围．解 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝－42 ，得到ρ(cos θ－sin θ)＝－8，因为ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 所以直线l 的普通方程为x －y ＋8＝0.设P (23 cos t ，2sin t )，则点P 到直线l 的距离d ＝|23cos t －2sin t ＋8|2 ＝|4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3－8|2＝22 |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3 －2|，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3 ＝1时，d min ＝22 ，所以点P 到直线l 的距离的最小值为22 .(2)设曲线C 上任意点P (a cos t ，2sin t )，由于曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方， 所以a cos t －2sin t ＋8＞0对任意t ∈R 恒成立． a 2＋4 sin (t －φ)＜8， 其中cos φ＝2a 2＋4，sin φ＝aa 2＋4.从而a 2＋4 ＜8.由于a ＞0，解得0＜a ＜215 .即a ∈(0，215 ).。

高中数学一轮总复习文科基础复习题及解析第二部分 选考部分第十二讲 选考内容第一节 选修4－4 坐标系与参数方程1．在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解析：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一，(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.2．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程．(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．解析：(1)直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．(2)把直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)代入x 2＋y 2＝4得(1＋32t )2＋(1＋12t )2＝4，t 2＋(3＋1)t －2＝0， ∴t 1t 2＝－2，则点P 到A ，B 两点的距离之积为2.3．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解析：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1 得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)因为M 点的直角坐标为(2,0)， N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．4．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2 α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝－ 2. (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．(2)由ρsin(θ＋π4)＝－2得曲线D 的普通方程为x ＋y ＋2＝0.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1得x 2－x －3＝0.解得x ＝1±132∉[－1,1]，故曲线C 与曲线D 无公共点．5．以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α是参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝2 3. (1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值． 解析：(1)∵直线l 的极坐标方程为 ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝23， ∴ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝23， ∴32x －12y ＝2 3. 即直线l 的直角坐标方程为3x －y －43＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α 得x 24＋y 23＝1. 即曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点P (2cos α，3sin α)， 则点P 到直线l 的距离 d ＝|23cos α－3sin α－43|2＝|15cos (α＋φ－43)|2，其中tan φ＝12.当cos(α＋φ)＝－1时，d max ＝15＋432，即点P 到直线l 的距离的最大值为15＋432. 6．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解析：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4； 因为ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2，所以ρ2－22ρ(cos θcos π4＋sin θ·sin π4)＝2.所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin(θ＋π4)＝22.7．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1) 求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 解析：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1，所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.8．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解析：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)⎝⎛⎭⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x .(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)⎝⎛⎭⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0.(2)又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2， 圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交．第二节 选修4－5 不等式选讲1．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a ，a ∈R ，g (x )＝|2x －1|.(1)若当g (x )≤5时，恒有f (x )≤6，求a 的最大值； (2)若当x ∈R 时，恒有f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解析：(1)g (x )≤5⇔|2x －1|≤－5⇔2x －1≤5⇔－2≤x ≤3；f (x )≤6⇔|2x －a |≤6－a ⇔a －6≤2x －a ≤6－a ⇔a －3≤x ≤3. 依题意有，a －3≤－2，a ≤1. 故a 的最大值为1.(2)f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋|2x －1|＋a ≥|2x －a －2x ＋1|＋a ＝|a －1|＋a ， 当且仅当(2x －a )(2x －1)≤0时符号成立．解不等式|a －1|＋a ≥3，得a 的取值范围是[2，＋∞)．2．已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 解析：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a ，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f (x2)，则h (x )＝⎩⎨⎧1(x ≤－1)，－4x －3⎝⎛⎭⎫－1＜x ＜－12，－1(x ≥－12)所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.3．已知函数f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|.(1)若∃x 0∈R ，使得不等式f (x 0)＜m 成立，求m 的取值范围； (2)求使得不等式f (x )≤|4x －1|成立的x 的取值范围． 解析：(1)∵f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|≥|(2x ＋2)－(2x －3)|＝5，∴∃x 0∈R ，使得不等式f (x 0)＜m 成立的m 的取值范围是(5，＋∞)． (2)∵f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|≥|2x ＋2＋2x －3|＝|4x －1|， ∴|2x ＋2|＋|2x －3|≥|4x －1|，当且仅当(2x ＋2)(2x －3)≥0时取等号， ∴x 的取值范围是(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 4．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a ，m 的值； (2)当a ＝2且t ≥0时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2t )．解析：(1)由|x －a |≤m ，得a －m ≤x ≤a ＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －m ＝－1，a ＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝3.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，f (x )＋t ≥f (x ＋2t )，即 |x －2＋2t |－|x －2|≤t .①当t ＝0时，不等式①恒成立，即x ∈R ；当t ＞0时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2－2t ，2－2t －x －(2－x )≤t或⎩⎪⎨⎪⎧2－2t ≤x ＜2，x －2＋2t －(2－x )≤t 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2＋2t －(x －2)≤t ，解得x ＜2－2t 或2－2t ≤x ≤2－t 2或x ∈∅，即x ＝2－t 2.综上，当t ＝0时，原不等式的解集为R ； 当t ＞0时，原不等式的解集为{x |x ≤2－t2}．5．已知a ，b ，c 为实数，且a ＋b ＋c ＝2m －2，a 2＋14b 2＋19c 2＝1－m .(1)求证：a 2＋b 24＋19c 2≥(a ＋b ＋c )214； (2)求实数m 的取值范围．解析：(1)由柯西不等式得：⎣⎡⎦⎤a 2＋⎝⎛⎭⎫12b 2＋⎝⎛⎭⎫13c 2·(12＋22＋32)≥(a ＋b ＋c )2， 即⎝⎛⎭⎫a 2＋14b 2＋19c 2·14≥(a ＋b ＋c )2，所以a 2＋14b 2＋19c 2≥(a ＋b ＋c )214，当且仅当|a |＝14|b |＝19|c |时，取等号． (2)由已知得(a ＋b ＋c )2＝(2m －2)2，结合(1)的结论可得：14(1－m )≥(2m －2)2，即2m 2＋3m －5≤0，所以－52≤m≤1，又a2＋14b2＋19c2＝1－m≥0，所以m≤1，故m的取值范围为－52≤m≤1.6．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．证明：(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2.因为a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＋c＋d，②若a＋b＞c＋d则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．7．设f(x)＝|x－1|－2|x＋1|的最大值为m.(1)求m；(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，a2＋2b2＋c2＝m，求ab＋bc的最大值．解析：(1)当x≤－1时，f(x)＝3＋x≤2；当－1＜x＜1时，f(x)＝－1－3x＜2；当x ≥1时，f (x )＝－x －3≤－4. 故当x ＝－1时，f (x )取得最大值m ＝2.(2)a 2＋2b 2＋c 2＝(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＝2(ab ＋bc )， 当且仅当a ＝b ＝c ＝22时，等号成立． 此时，ab ＋bc 取得最大值1.8．已知函数f (x )＝|x －2|＋|x －4|的最小值为m ，实数a ，b ，c ，n ，p ，q 满足a 2＋b 2＋c 2＝n 2＋p 2＋q 2＝m .(1)求m 的值；(2)求证：n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c2≥2.解析：(1)f (x )＝|x －2|＋|x －4|≥|(x －2)－(x －4)|＝2，当且仅当2≤x ≤4时，等号成立，故m ＝2.(2)因为[(n 2a )2＋(p 2b )2＋(q 2c )2]·(a 2＋b 2＋c 2)≥(n 2a ·a ＋p 2b ·b ＋q 2c ·c )2，即(n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c 2)×2≥(n 2＋p 2＋q 2)2＝4， 所以n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c2≥2.9．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )＜4的解集为M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |＜|4＋ab |. 解析：(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ＜－1，2，－1≤x ≤1.2x ，x ＞1，当x ＜－1时，由－2x ＜4，得－2＜x ＜－1； 当－1≤x ≤1时，f (x )＝2＜4，∴－1≤x ≤1； 当x ＞1时，由2x ＜4，得1＜x ＜2. ∴M ＝(－2,2)．(2)证明：a ，b ∈M 即－2＜a ＜2，－2＜b ＜2.∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)·(4－b 2)＜0， ∴4(a ＋b )2＜(4＋ab )2， ∴2|a ＋b |＜|4＋ab |.10．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的定义域为[－1,1]，且|f (x )|的最大值为M . (1)试证明|1＋b |≤M ； (2)试证明M ≥12；(3)当M ＝12时，试求出f (x )的解析式．解析：(1)∵M ≥|f (－1)|＝|1－a ＋b |，M ≥|f (1)|＝|1＋a ＋b |，∴2M ≥|1－a ＋b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )＋(1＋a ＋b )|＝2|1＋b |，∴M ≥|1＋b |.(2)依题意，M ≥|f (－1)|，M ≥|f (0)|，M ≥|f (1)|，又|f (－1)|＝|1－a ＋b |，|f (1)|＝|1＋a ＋b |，|f (0)|＝|b |，∴4M ≥|f (－1)|＋2|f (0)|＋|f (1)|＝|1－a ＋b |＋2|b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )－2b ＋(1＋a ＋b )|＝2.∴M ≥12.(3)当M ＝12时，|f (0)|＝|b |≤12，－12≤b ≤12.①同理－12≤1＋a ＋b ≤12.②－12≤1－a ＋b ≤12.③ ②＋③得－32≤b ≤－12.④由①④得b ＝－12，当b ＝－12时，分别代入②③得⎩⎨⎧－1≤a ≤0，0≤a ≤1⇒a ＝0，因此f (x )＝x 2－12. 11．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)若关于x 的不等式f (x )＜|1－2a |的解集不是空集，求实数a 的取值范围； (2)若关于t 的一元二次方程t 2＋26t ＋f (m )＝0有实根，求实数m 的取值范围． 解析：(1)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，∴|1－2a |＞4， ∴a ＜－32或a ＞52，∴实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. (2)Δ＝24－4(|2m ＋1|＋|2m －3|)≥0.即|2m ＋1|＋|2m －3|≤6，∴不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞32，(2m ＋1)＋(2m －3)≤6或 ⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤m ≤32，(2m ＋1)－(2m －3)≤6或 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－12，－(2m ＋1)－(2m －3)≤6.∴32＜m ≤2或－12≤m ≤32或－1≤m ＜－12， ∴实数m 的取值范围是[－1,2]．12．已知函数f (x )＝|3x ＋2|.(1)解不等式f (x )＜4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n ＞0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a ＞0)恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1)不等式f (x )＜4－|x －1|.即|3x ＋2|＋|x －1|＜4.当x ＜－23时，即－3x －2－x ＋1＜4， 解得－54＜x ＜－23： 当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1＜4， 解得－23≤x ≤12； 当x ＞1时，即3x ＋1＋x －1＜4，无解．综上所述，x ∈⎝⎛⎭⎫－54，12.(2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n≥4， 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎨⎧2x ＋2＋a ，x ＜－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x ＞a .∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0＜a ≤103.。

第2讲 参数方程随堂演练巩固1.(2011上海春招,10)若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则|OP|2+|PF|2的最小值为 . 【答案】 2【解析】 由题意可知,O(0,0),F(-1,0),设P α,sin )α,则|OP|2+|PF|22=cos 2α+sin 2α+cos 21)α++sin 2α2=cos 2α+cos 32(α+=cos 22α+,所以当cos α=,|OP|2+|PF|2取得最小值2.2.直角坐标系x O y 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A,B 分别在曲线1C :3cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)和曲线2C :1ρ=上,则|AB|的最小值为 .【答案】 1 【解析】 曲线1C :3cos sin x y θθ=+,⎧⎨=⎩(θ为参数)的直角坐标方程是(x -3)2y +21=,可知曲线1C 是以(3,0)为圆心,1为半径的圆,曲线2C :1ρ=的直角坐标方程是x 2y +21=, 可知2C 是以原点为圆心,1为半径的圆.题意就是求分别在两个圆1C 和2C 上的两点A,B 的最短距离, 由圆的方程知,这两个圆相离,所以|AB|min =d -12113r r -=--=-1-1=1.3.已知直线l 的参数方程 12x y t ⎧=-+,⎪⎨=-,⎪⎩ 求直线l 的倾斜角.【解】 ∵ 12x y t ⎧=-,⎪⎨=-,⎪⎩(t 为参数),∴21y x -==+. ∴直线l 的倾斜角150α=o .4.设11()Q x y ,是单位圆221x y +=上的一个动点,求动点221111()P x y x y -,的轨迹方程. 【解】 由题意,可设Q(cos θ,sin )()P x y θ,,,则 11cos sin x y θθ=,⎧⎨=,⎩即 221111x x y y x y ⎧=-,⎨=.⎩∴ 22221111cos2cos sin 1cos sin sin22x x y y x y θθθθθθ⎧=-=-=,⎪⎨===.⎪⎩ 消去θ,得2241x y +=,即为动点P 的轨迹方程.课后作业夯基 基础巩固1.在直角坐标系x O y 中,曲线1C 的参数方程为2cos x y αα=,⎧⎪⎨=⎪⎩ (α为参数),在极坐标系(与直角坐标系x O y 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,曲线2C 的方程为(ρcos θ-sin )10θ+=,则1C 与2C 的交点个数为. 【答案】 2【解析】 曲线1C 的参数方程可化为22143y x +=,曲线2C 的极坐标方程(ρcos θ-sin )10θ+=化为直角坐标方程为x -y +1=0.直线x -y +1=0过定点(0,1),位于椭圆1C 内,故1C 与2C 有2个交点. 2.若直线1l : 122x t y kt =-,⎧⎨=+⎩ (t 为参数)与直线2l : 12x s y s=,⎧⎨=-⎩ (s 为参数)垂直,则k = .【答案】 -1【解析】 直线1l :kx +2y =k +4,直线2l :2x +y =1. ∵1l 与2l 垂直,∴2k +2=0.∴k =-1. 3.若直线2x 10(ky k +-=∈R )与曲线cos 1sin x y θθ=,⎧⎨=-+⎩ (θ为参数)相切,则k 值为 .【答案】 32【解析】 把曲线的参数方程转化为普通方程为22(1)1x y ++=. 由题意得2220(1)112k k |⨯+-⋅-|=,+解得32k =.4.直线 23x t y t=+,⎧⎪⎨=⎪⎩ 被双曲线221x y -=截得的弦长为 .【答案】 210【解析】 直线参数方程化为 22302t x y t ⎧=+,⎪⎨⎪=+,⎩代入双曲线221x y -=得2460t t --=. 设两交点对应的参数为12t t ,,则弦长d =|12t t -|21212()4210t t t t =+-=.5.已知圆C 的圆心是直线 1x t y t=,⎧⎨=+⎩(t 为参数)与x 轴的交点,且圆C 与直线x +y +3=0相切,求圆C 的方程.【解】 直线1x t y t =,⎧⎨=+⎩(t 为参数)与x 轴的交点为(-1,0),故圆C 的圆心为(-1,0).又圆C 与直线x +y +3=0相切, ∴圆C 的半径10322r |-++|==.∴圆C 的方程为2(1)x ++22y =. 6.已知直线l 的斜率为k =-1,经过点0(2M ,-1),点0M 在直线l 上,求直线l 的参数方程.【解】 ∵直线l 的斜率k =-1,∴倾斜角34πα=.因此cos 2α=sin 2α=. ∴直线l 的参数方程是 2221x y ⎧=-,⎪⎨⎪=-⎩ (t 为参数).7.已知O 为坐标原点,点00()M x y ,在曲线C:1cos sin x y θθ=+,⎧⎨=⎩(θ为参数)上运动,点P(x ,y )是线段OM 的中点,求点P 的轨迹方程. 【解】 ∵ 1cos sin x y θθ-=,⎧⎨=,⎩∴22(1)x y -+=cos 2θ+sin 21θ=. ∴曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+=.∵点00()M x y ,在曲线C 上运动,∴2200(1)1x y -+=.∵点P(x ,y ) 是线段OM 的中点,∴ 0022x x y y ⎧=,⎪⎨⎪=,⎩ 即 0022x x y y =,⎧⎨=.⎩ ∴22(21)(2)1x y -+=,即 2211()24x y -+=.∴点P 的轨迹方程为2211()24x y -+=.8.已知圆的方程为2y -6y sin 28x x θ+-cos 7θ+cos 280θ+=. (1)求圆心轨迹的参数方程C;(2)点P(x ,y )是(1)中曲线C 上的动点,求2x +y 的取值范围. 【解】 (1)将圆的方程整理得: (x -4cos 2)(3y θ+-sin 2)1θ=. 设圆心坐标为P(x ,y ),则 4cos y 3sin x θθ=,⎧⎨=,⎩ [0θ∈o ,360o ).(2)由(1)可知2x +y =8cos 3θ+sin θ=73()θϕ+,其中sin 873ϕ=cos 373ϕ=∴73273x y ≤+≤∴2x +y 的取值范围是[7373],. 9.已知P 为半圆C: cos y sin x θθ=,⎧⎨=⎩(θ为参数0θ,≤≤π)上的点,点A 的坐标为(1,0),O 为坐标原点,点M 在射线OP 上,线段OM 与C 的弧AP 的长度均为3π.(1)以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M 的极坐标;(2)求直线AM 的参数方程.【解】 (1)由已知,点M 的极角为3π,且点M 的极径等于3π,故点M 的极坐标为()33ππ,.(2)点M的直角坐标为((10)6A π,,, 故直线AM 的参数方程为1(1)6x t y π⎧=+-,⎪⎨⎪=⎩(t 为参数).10.在直角坐标系x O y 中,曲线1C 的参数方程为 2cos 22sin x y αα=,⎧⎨=+⎩(α为参数).M 是1C 上的动点,P 点满足2OP OM P =,u u u r u u u u r点的轨迹为曲线2C .(1)求2C 的方程;(2)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A,与2C 的异于极点的交点为B,求|AB|.【解】 (1)设P(x ,y ),则由条件知()22y x M ,.由于M 点在1C 上,所以 2cos 222sin 2x y αα⎧=,⎪⎨⎪=+,⎩ 即 4cos 44sin x y αα=,⎧⎨=+.⎩从而2C 的参数方程为 4cos 44sin x y αα=,⎧⎨=+⎩ (α为参数).(2)曲线1C 的极坐标方程为4ρ=sin θ,曲线2C 的极坐标方程为ρ=8sin θ. 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14ρ=sin 3π,射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28ρ=sin 3π.所以|AB|=|21ρρ-|=. 拓展延伸11.在平面直角坐标系x O y 中,曲线1C 的参数方程为cos sin x y ϕϕ=,⎧⎨=⎩(ϕ为参数),曲线2C 的参数方程为 cos bsin x a y ϕϕ=,⎧⎨=⎩ (0a b ϕ>>,为参数).在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θα=与12C C ,各有一个交点.当0α=时,这两个交点间的距离为2,当α=2π时,这两个交点重合.(1)分别说明12C C ,是什么曲线,并求出a 与b 的值;(2)设当4πα=时,l 与12C C ,的交点分别为11A B ,,当4πα=-时,l 与12C C ,的交点分别为22A B ,,求四边形1221A A B B 的面积.【解】 1(1)C 是圆2C ,是椭圆.当0α=时,射线l 与12C C ,交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0), 因为这两点间的距离为2,所以a=3.当2πα=时,射线l 与12C C ,交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合,所以b=1.12(2)C C ,的普通方程分别为221x y +=和29x +21y =. 当4πα=时,射线l 与1C 交点1A 的横坐标为22x =,与2C 交点1B 的横坐标为x ′31010=.当4πα=-时,射线l 与12C C ,的两个交点22A B ,分别与11A B ,关于x 轴对称,因此四边形1221A A B B 为梯形.故四边形1221A A B B 的面积为(22)()225x x x x ''+-=.。

12.2.2参数方程1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．2．(2014·长春模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；(2)设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．3．在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 1和C 2的极坐标方程；(2)射线OM ：θ＝α与圆C 1的交点为O ，P ，与圆C 2的交点为O ，Q ，求|OP |·|OQ |的最大值．4．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)试分别将曲线C 1的极坐标方程ρ＝sin θ－cos θ和曲线C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t －cos ty ＝sin t ＋cos t (t 为参数)化为直角坐标方程和普通方程；(2)若红蚂蚁和黑蚂蚁分别在曲线C 1和曲线C 2上爬行，求红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离(视蚂蚁为点)．5．(2014·福州模拟)如图，在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径为1.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos π6，y ＝t sin π6(t 为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．6．(2014·辽宁模拟)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线l ：θ＝π4与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝（t －1）2(t 为参数)相交于A ，B 两点．(1)写出射线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)求线段AB 中点的极坐标．7．(2014·郑州模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P (－1,0)，其倾斜角为α.以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋5＝0.(1)若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围； (2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围．8．(2014·昆明模拟)已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数，a >0)，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)，曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系．(1)求曲线C 的普通方程； (2)若点A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋2π3)，C (ρ3，θ＋4π3)在曲线C 上，求1|OA |2＋1|OB |2＋1|OC |2的值．答 案1．『解』因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)， 由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ， 得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y 2＝2x ，得公共点的坐标为(2,2)，(12，－1)．2．『解』(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， 即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ；由⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，得y ＝13(x －5)， 即直线l 的普通方程为x －3y －5＝0.(2)由(1)可知C 为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为2，则弦心距d ＝|2－3×0－5|1＋3＝32，弦长|PQ |＝222－（32）2＝7，因此以PQ 为一条边的圆C 的内接矩形面积 S ＝2d ·|PQ |＝37.3．『解』(1)圆C 1和圆C 2的普通方程分别是 (x －2)2＋y 2＝4和x 2＋(y －1)2＝1， 所以圆C 1和C 2的极坐标方程分别是 ρ＝4cos θ和ρ＝2sin θ.(2)依题意得，点P ，Q 的极坐标分别为 P (4cos α，α)，Q (2sin α，α)， 所以|OP |＝|4cos α|，|OQ |＝|2sin α|. 从而|OP |·|OQ |＝|4sin 2α|≤4，当且仅当sin 2α＝±1时，上式取“＝”， 即|OP |·|OQ |的最大值是4.4．『解』(1)由题意可得曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＋x －y ＝0， 曲线C 2：⎩⎨⎧sin t ＝x ＋y2，cos t ＝y －x2.即x 2＋y 2＝2.(2)由(1)知曲线C 1、曲线C 2均为圆，圆心分别为⎝⎛⎭⎫－12，12、(0,0)，半径分别为22、2，则两圆的圆心距为⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫122＝22＝2－22，所以圆C 1：x 2＋y 2＋x －y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2＝2内切． 所以红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离为圆C 2的直径2 2. 5．『解』(1)如图，设M (ρ，θ)为圆C 上除点O ，B 外的任意一点，连结OM ，BM ，在Rt △OBM 中， |OM |＝|OB |cos ∠BOM ， 所以ρ＝2cos θ.可以验证点O (0，π2)，B (2,0)也满足ρ＝2cos θ，故ρ＝2cos θ为所求圆的极坐标方程．(2)由⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos π6，y ＝t sin π6(t 为参数)，得直线l 的普通方程为y ＝33(x ＋1)， 即直线l 的普通方程为x －3y ＋1＝0.由ρ＝2cos θ，得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离 d ＝|1×1－3×0＋1|2＝1，所以直线l 与圆C 相切．6．『解』(1)由题意得射线l 的直角坐标方程为 y ＝x (x ≥0)，则射线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t(t ≥0，t 为参数)，曲线C 的直角坐标方程为y ＝(x －2)2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －22得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，∴可令A (1,1)，B (4,4)，∴线段AB 中点的直角坐标为(52，52)，∴线段AB 中点的极坐标为(522，π4)．7．『解』(1)将曲线C 的极坐标方程ρ2－6ρcos θ＋5＝0化为直角坐标方程为x 2＋y 2－6x ＋5＝0.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)． 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)代入x 2＋y 2－6x ＋5＝0整理得，t 2－8t cos α＋12＝0. ∵直线l 与曲线C 有公共点， ∴Δ＝64cos 2α－48≥0，∴cos α≥32或cos α≤－32. ∵α∈『0，π)，∴α的取值范围是0，π6∪5π6，π.(2)曲线C 的方程x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．∵M (x ，y )为曲线C 上任意一点， ∴x ＋y ＝3＋2cos θ＋2sin θ ＝3＋22sin(θ＋π4)，∴x ＋y 的取值范围是『3－22，3＋22』．8．『解』(1)直线l 的普通方程为x ＋y ＝2，与x 轴的交点为(2,0)．又曲线C 的普通方程为x 2a 2＋y 23＝1，所以a ＝2，故所求曲线C 的普通方程是x 24＋y 23＝1. (2)因为点A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋2π3，C ⎝⎛⎭⎫ρ3，θ＋4π3在曲线C 上，即点A (ρ1cos θ，ρ1sin θ)，Bρ2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋2π3，ρ2sin θ＋2π3，Cρ3cos ⎝⎛⎭⎫θ＋4π3，ρ3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋4π3在曲线C 上． 故1|OA |2＋1|OB |2＋1|OC |2＝1ρ21＋1ρ22＋1ρ23＝14cos 2θ＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋2π3＋cos 2θ＋⎭⎫4π3＋13sin 2θ＋sin 2θ＋2π3＋sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋4π3 ＝141＋cos 2θ2＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋4π32＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋8π32＋131－cos 2θ2＋⎦⎥⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋4π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋8π32 ＝14×32＋13×32＝78.。

[基础题组练]1．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α为直线的倾斜角)． (1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 有唯一的公共点，求角α的大小． 解：(1)当α＝π2时，直线l 的普通方程为x ＝－1；当α≠π2时，直线l 的普通方程为y ＝(x ＋1)tan α.由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝2x ，即为曲线C 的直角坐标方程．(2)把x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α代入x 2＋y 2＝2x ，整理得t 2－4t cos α＋3＝0. 由Δ＝16cos 2α－12＝0，得cos 2α＝34，所以cos α＝32或cos α＝－32， 故直线l 的倾斜角α为π6或5π6.2．以极点为原点，以极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝10，曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝－4＋5sin α，(α为参数)．(1)判断两曲线C 和C ′的位置关系；(2)若直线l 与曲线C 和C ′均相切，求直线l 的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝10得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝100，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝－4＋5sin α得曲线C ′的普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝25. 曲线C 表示以(0，0)为圆心，10为半径的圆； 曲线C ′表示以(3，－4)为圆心，5为半径的圆．因为两圆心间的距离5等于两圆半径的差，所以圆C 和圆C ′的位置关系是内切．(2)由(1)建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，（x －3）2＋（y ＋4）2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－8，可知两圆的切点坐标为(6，－8)，且公切线的斜率为34，所以直线l 的直角坐标方程为y ＋8＝34(x －6)，即3x －4y －50＝0，所以极坐标方程为3ρcos θ－4ρsin θ－50＝0.3．(2020·成都市第二次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos β，y ＝2sin β(β为参数，β∈[0，π])．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 恰有一个公共点P ，求点P 的极坐标．解：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos βy ＝2sin β，得(x －4)2＋y 2＝4.因为β∈[0，π]，所以曲线C 的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4(y ≥0)．因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，所以直线l 的倾斜角为α，且过原点O (极点)． 所以直线l 的极坐标方程为θ＝α，ρ∈R . (2)由(1)可知，曲线C 为半圆弧．若直线l 与曲线C 恰有一个公共点P ，则直线l 与半圆弧相切． 设P (ρ，θ)(ρ>0)．由题意，得sin θ＝24＝12，故θ＝π6.而ρ2＋22＝42，所以ρ＝2 3. 所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. 4．(2020·陕西铜川模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t(t为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4. (1)求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；(2)设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM |. 解：(1)由ρ2＝21＋sin 2θ得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2，①将ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入①并整理得，曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.设点P 的直角坐标为(x ，y )，因为点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1.所以点P 的直角坐标为(1，1)．(2)将⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t 代入x 22＋y 2＝1，并整理得41t 2＋110t ＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8 000>0，故可设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1＋t 2＝－11041.依题意，点M 对应的参数为t 1＋t 22， 所以|PM |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝5541.5．(2020·河南省六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－t ，y ＝－2＋t (t为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 的交点为A ，B ，Q 是曲线C 上的动点，求△ABQ 面积的最大值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－t ，y ＝－2＋t 消去t 得x ＋y －5＝0，所以直线l 的普通方程为x ＋y －5＝0.由ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ，得ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ， 化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.(2)由(1)知，曲线C 是以(2，2)为圆心，22为半径的圆，直线l 过点P (3，2)，可知点P 在圆内．将直线l 的参数方程化为⎩⎨⎧x ＝7－22t y ＝－2＋22t ，代入圆的直角坐标方程，得t 2－92t ＋33＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝92，t 1t 2＝33， 所以|AB |＝|t 2－t 1|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝30. 又圆心(2，2)到直线l 的距离d ＝|2＋2－5|2＝22，所以△ABQ 面积的最大值为12×30×⎝⎛⎭⎫22＋22＝5152. 6．(2020·吉林第三次调研测试)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，求1|P A |＋1|PB |的值． 解：(1)曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t ，(t 为参数)，两式相加消去t 可得普通方程为x ＋y －2＝0.由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ，可得曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)把曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)代入y 2＝4x ，得t 2＋62t －6＝0，设t 1，t 2是A ，B 对应的参数，则t 1＋t 1＝－62，t 1·t 2＝－6， 所以1|P A |＋1|PB |＝|P A |＋|PB ||P A |·|PB |＝|t 1－t 2||t 1·t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1·t 2|t 1·t 2|＝966＝263.[综合题组练]1．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数且t >0，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos β，y ＝1＋sin β⎝⎛⎭⎫β为参数，且β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为ρ＝1＋cos θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，曲线C 4的极坐标方程为ρcos θ＝1. (1)求C 3与C 4的交点到极点的距离；(2)设C 1与C 2交于P 点，C 1与C 3交于Q 点，当α在⎝⎛⎭⎫0，π2上变化时，求|OP |＋|OQ |的最大值．解：(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1＋cos θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，ρcos θ＝1得ρ2－ρ－1＝0，解得ρ＝1＋52，即交点到极点的距离为1＋52.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，ρ>0， 曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，联立C 1，C 2的极坐标方程得ρ＝2sin α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 即|OP |＝2sin α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 曲线C 1与曲线C 3的极坐标方程联立得ρ＝1＋cos α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 即|OQ |＝1＋cos α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以|OP |＋|OQ |＝1＋2sin α＋cos α＝1＋5sin(α＋φ)，其中φ的终边经过点(2，1)， 当α＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，|OP |＋|OQ |取得最大值，为1＋ 5.2．(2020·原创冲刺卷二)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＋y ＝4，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝2cos αy ＝3sin α(α为参数)．在同一平面直角坐标系中，曲线C 2上的点经过坐标变换⎩⎨⎧x ′＝12x ＋1，y ′＝33y ，得到曲线C 3，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线C 1的极坐标方程和曲线C 3的极坐标方程；(2)若射线l ：θ＝α(ρ>0)分别交C 1与C 3于A ，B 两点，求|OB ||OA |的取值范围．解：(1)由C 1：x ＋y ＝4，得直线C 1的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝4，由曲线C 2的参数方程得其普通方程为x 24＋y 23＝1，由⎩⎨⎧x ′＝12x ＋1，y ′＝33y可得⎩⎨⎧x ＝2（x ′－1），y ＝3y ′，将其代入x 24＋y 23＝1，可得(x ′－1)2＋y ′2＝1，所以曲线C 3的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (2)设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，则－π4<α<π2，由题可得ρ1＝4cos α＋sin α，ρ2＝2cos α，所以|OB ||OA |＝ρ2ρ1＝14×2cos α(cos α＋sin α)＝14(cos 2α＋sin 2α＋1)＝14⎣⎡⎦⎤2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋1， 因为－π4<α<π2，所以－22<cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4≤1， 所以0<14⎣⎡⎦⎤2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋1≤14(2＋1)． 所以|OB ||OA |的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，14（2＋1）.。

课时作业 (六十五 ) [第 65讲 参数方程 ][ 时间： 35 分钟分值： 80 分]基础热身1．参数方程x ＝ sint ＋ 1，(t 为参数 )的一般方程为 ________．y ＝ 2sint －12．在直角坐标系中，曲线 C 1 的参数方程为x ＝cos θ，y ＝ sin θ θ∈ [0， π]，以 x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系， 曲线 C 2 在极坐标系中的方程为ρ＝ b与 C 2 有两个不.若曲线 C 1sin θ－cos θ同的交点，则实数b 的取值范围是 ________．3 3．已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ＝ 2sin θ，设直线 l x ＝－ 5t ＋ 2，的参数方程是4(ty ＝ 5t为参数 )．设直线 l 与 x 轴的交点是M ，而 N 为曲线 C 上一动点，则 |MN |的最大值是 ________．x ＝ tsin40 －°5，(t 为参数 )的倾斜角为 ________． 4．直线y ＝－ tcos40 °＋ 2能力提高5．设直线 l 1 的参数方程为x ＝ 1＋ t ，(t 为参数 )，直线 l 2 的方程为 y ＝ 3x ＋4，则 l 1 与y ＝ 1＋ 3tl 2 的距离为 ________．21x ＝ t ＋2，6． 曲线的参数方程是t(t 是参数， t ≠ 0)，它的一般方程是 ________．1y ＝ t ＋ tπ7．设极点与原点重合， 极轴与 x 轴正半轴重合． 已知曲线 C 1 的极坐标方程是： ρcos θ＋3 x ＝ 2＋2cos θ，＝m ，曲线 C 2 参数方程为： (θ为参数 )，若两曲线有公共点，则实数m 的y ＝ 2sin θ取值范围是 ________．x ＝－ 1＋ tcos α，8． 直线 (t 为参数 )与圆 ρ＝ 2cos θ 相切，则此直线的倾斜角α＝y ＝ tsin α________.x ＝ 2cos θ，9．已知 a ， b ， c 成等差数列，则直线ax － by ＋c ＝ 0 被曲线(θ为参数 )y ＝2＋ 3sin θ截得线段的长度的最大值为 ________．10．已知曲线 x ＝ 1＋ cos θ，A(－1，－ 1)的(参数 θ∈ [0,2π))，则该曲线上的点与定点y ＝ sin θ距离的最小值是 ________．xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为x ＝ 2cos α，11． 在直角坐标系(α为参数 )．在极坐y ＝ 3sin α标系 (与直角坐标系 xOy 取同样的长度单位，且以原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴 )中，曲线 C 2 的方程为 ρ(cos θ－ sin θ)＋ 1＝ 0，则 C 1 与 C 2 的交点个数为 ________．x＝－ 4＋ cost，( t 为参数 )，C2：x＝ 8cosθ，12． (13 分)已知曲线 C1：(θ为参数 )．y＝ 3＋ sint y＝ 3sinθ(1)化 C1， C2的方程为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；π(2)若 C1上的点P 对应的参数为t＝，Q 为 C2上的动点，求PQ 中点 M 到直线 C3：2x＝ 3＋ 2t，(t 为参数 )距离的最小值．y＝－ 2＋t难点打破13． (12 分 ) 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x－y＋ 4＝ 0，曲线 C 的参数方程x＝3cosα，为( α为参数 )．y＝ sinα(1)已知在极坐标系正半轴为极轴 )中，点(与直角坐标系P 的极坐标为xOy 取同样的长度单位，且以原点O 为极点，以π4，2 ，判断点P 与直线 l 的地点关系；x 轴(2)设点Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．课时作业 (六十五 )【基础热身】1． y ＝2x － 3(0≤ x ≤ 2) [分析 ] 消去参数 sint ，得 y ＝ 2x － 3.由于 sint ∈ [－ 1,1] ，所以 x∈ [0,2] ，所以一般方程为 y ＝ 2x － 3(0≤ x ≤2) ． 2． 1≤b< 2 [分析 ] 曲线 C 1 为半圆 x 2＋ y 2＝ 1(0≤ y ≤ 1)，曲线 C 2 的直角坐标方程为 x － y ＋ b ＝ 0.联合图形知，当直线与半圆相切时，|b|＝1，即 b ＝ 2(b ＝－ 2舍去 )，2当直线经过点 (－ 1,0)时，直线与半圆有两个交点，此时 b ＝ 1.故当 1≤ b< 2时，曲线 C 1与 C 2 有两个不一样的交点．3. 5＋1[分析 ] 曲线 C 的直角坐标方程为： x 2＋ y 2－ 2y ＝0，直线的一般方程为 y ＝－43(x － 2)，令 y ＝ 0 得 x ＝ 2，即 M 点的坐标为 (2,0)．又曲线 C 为圆，圆 C 的圆心坐标为(0,1)，半径 r ＝ 1，则 |MC |＝ 5，|MN |≤ |MC|＋ r ＝ 5＋1.4．130° [分析 ]x ＝ tsin40 －°5， (t 为参数 ) 化为一般方程，得y － 2＝－将参数方程y ＝－ tcos40 °＋ 2x ＋ 5cos40 °sin50 °(x °＋ 5)＋ 2，即 y ＝ tan130 (x °＋ 5)＋ 2，所，即 y － 2＝－(x ＋ 5)，所以 y ＝－ tan50sin40 ° cos50 ° 以直线的倾斜角为 130°.【能力提高】3 10 [分析 ] 由题知直线 l 1 的一般方程为 3x － y － 2＝ 0，故 l 1 与 l 2 的距离为 |4＋ 2| 5. 5＝10 3 105 .221 2 2 1 21216．y ＝ x ＋ 2(x ≥2)[ 分析 ] 由于 y＝ t ＋＝ t＋ 2＋ 2＝ x ＋2，而 x ＝ t ＋ 2≥ 2t ·2 ＝tttt2.7．[ － 1,3] [ 分析 ] 将两曲线方程化为直角坐标方程，得C 1 ：x － 3y － 2m ＝ 0，C 2：(x－2) 2＋ y 2＝4.|2－ 2m|由于两曲线有公共点，所以 ≤ 2，即－ 1≤ m ≤ 3，故 m ∈ [－ 1,3]．π 5π直线与圆的一般方程分别是228. 或[分析 ] y ＝ tan α·(x ＋ 1)，(x － 1) ＋ y ＝ 1，由直线与6 6圆相切，得 |2tan α|21.由于 α∈ [0， π)，则 α＝ π 5π＝ 1，所以 tan α＝ 或 6.1＋ tan 2α 36 9． 4 [分析 ] 由于 a ， b ， c 成等差数列，所以 a －2b ＋ c ＝ 0，即直线 ax － by ＋ c ＝ 0 恒x ＝2cos θ， 22 过定点 P(1,2)，曲线 ＝ 1，所以点 P(1,2) 是椭圆的一般方程是椭圆 x＋ y － 2 y ＝2＋ 3sin θ4 3x ＝ 2cos θ，( θ为参数 )截得线段的长度的最的一个焦点， 所以直线 ax － by ＋ c ＝ 0 被曲线y ＝ 2＋ 3sin θ大值为 4.10. 5－1 [分析] 将x ＝ 1＋cos θ， 化为一般方程为 (x － 1)2＋ y2＝ 1，它表示圆，圆心y ＝ sin θ为 C(1,0)，半径为 r ＝ 1，所以 |CA|＝ －1－ 1 2＋ －1 2 ＝ 5，那么圆上的点与定点 A(－ 1， －1) 的距离的最小值是 |CA|－ r ＝ 5－ 1.x ＝ 2cos α， 2 211． 2 [分析 ] 曲线 C 1 的参数方程为化为一般方程： x ＋ y ＝ 1 ①， y ＝ 3sin α， 4 3曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ(cos θ－ sin θ)＋ 1＝0，化为一般方程： x － y ＋ 1＝ 0 ② . 联立①，②得 7x 2＋ 8x － 8＝ 0，此时 ＝ 82－ 4×7× (－ 8)>0.故 C 1 与 C 2 的交点个数为 2.22 ＝ 1，C 2： x 2 y 2 12． [解答 ] (1) C 1： (x ＋ 4) ＋ (y － 3) ＋ ＝1.C 1 为圆心是 (－ 4,3)，半径是 1 的圆； 64 9C 2 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆．π ，又 Q(8cos θ， 3sin θ)，故 M －2＋ 4cos θ，2＋ 3(2)当 t ＝2时， P( －4,4)2sin θ.513C 3 为直线 x － 2y － 7＝0，M 到 C 3 的距离 d ＝ 5 |4cos θ－ 3sin θ－ 13|＝ 5 cos θ＋ α－ 5 其4 3中 cos α＝， sin α＝ .5 5进而 d 的最小值为 85 5 .【难点打破】13． [解答 ] (1) 把极坐标系下的点 Pπ化为直角坐标，4， 2得 P(0,4)．由于点 P 的直角坐标 (0,4)知足直线 l 的方程 x － y ＋ 4＝0，所以点 P 在直线 l 上．(2)由于点 Q 在曲线 C 上，故可设点 Q 的坐标为 ( 3cos α， sin α)，进而点 Q 到直线 l 的距离为πd ＝ | 3cos α－ sin α＋4|＝2cos α＋ 6 ＋ 42 2 π＝ 2cos α＋ 6 ＋ 2 2.由此得，当cosπ＝－ 1 时， d 获得最小值，且最小值为α＋ 62.。

21.1参数方程【考纲要求】1、了解参数方程，了解参数的意义.2、能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.3、了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.4、了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.【基础知识】1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数（包括整体消元） （2）三角法：利用三角恒等式消去参数。

请注意：化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。

2、常见曲线的参数方程：（1）圆22200()()x x y y r -+-=的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）；（2）椭圆12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）；（3）双曲线12222=-b y a x 的参数方程 ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）；（4）抛物线22y px =参数方程222x pt y pt⎧=⎨=⎩ (t 为参数）；（5）过定点),(00y x P 、倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）。

【典型例题】例1 已知圆M ：⎩⎨⎧ x ＝1＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)的圆心F 是抛物线E ：⎩⎨⎧x ＝2pt2y ＝2pt 的焦点，过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，求AF ·FB 的取值范围.【解析方法代码108001169】解析： 曲线M ：⎩⎨⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ的普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，所以F (1,0)．抛物线E ：⎩⎨⎧x ＝2pt2y ＝2pt的普通方程是y 2＝2px ，所以p2＝1， p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设过焦点F 的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos θy ＝t sin θ(t 为参数)， 代入y 2＝4x ，得t 2sin 2θ－4t cos θ－4＝0.所以AF ·FB ＝|t 1t 2|＝4sin 2θ.因为0<sin 2θ≤1，所以AF ·FB 的取值范围是[4，＋∞)．例2 已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ是参数)相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．解析：(1)直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝1＋12t (t 是参数)．(2)∵点A ，B 都在直线l 上，∴可设点A ，B 对应的参数分别为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 1，1＋12t 1，B ⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 2，1＋12t 2， 将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，整理得t 2＋(3＋1)t －2＝0.①∵t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2， ∴|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.21.1参数方程强化训练【基础精练】1.将参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为____________．2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝2(t 为参数)表示的曲线是________．3．若直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt(t 为参数)与直线l 2：⎩⎨⎧x ＝s ，y ＝1－2s(s 为参数)垂直，则k ＝________.4．若直线2x ＋ky －1＝0(k ∈R)与曲线⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)相切，则k值为________．5．已知曲线⎩⎨⎧x ＝2pt2y ＝2pt(t 为参数，p 为常数，p >0)上的两点M 、N 对应的参数分别为t 1和t 2，且t 1＋t 2＝0，则|MN |＝______.6．直线⎩⎨⎧x ＝2＋t y ＝3t被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦长为________．7．求直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1＋ty ＝－5＋3t和直线x －y －23＝0的交点P 的坐标，及点P 与Q (1，－5)的距离．8．过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t(t 为参数)相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．9．已知直线C 1：⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，C 2：⎩⎨⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标； (2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．10．已知椭圆C 的极坐标方程为ρ2＝123cos 2θ＋4sin 2θ，点F 1、F 2为其左、右焦点，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t (t 为参数，t ∈R)．(1)求直线l 和曲线C 的普通方程；(2)求点F 1、F 2到直线l 的距离之和．【拓展提高】1．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝3t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ＝1.(1)求曲线C 的普通方程；(2)求直线l 被曲线C 截得的弦长.2．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝t (t 为参数)，椭圆C 的方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈R)．试在椭圆C 上求一点P ，使得P 到直线l 的距离最小．【基础精练参考答案】5. 4p |t 1|【解析】： 曲线表示抛物线y 2＝2px ，线段MN 垂直于抛物线的对称轴，所以|MN |＝2p |t 1－t 2|＝4p |t 1|.6. 210【解析】：直线参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t 2y ＝0＋32t ，代入双曲线x 2－y 2＝1得t 2－4t －6＝0.设两交点对应的参数为t 1，t 2，则 弦长d ＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2 ＝210.7. 43【解析】： 将⎩⎨⎧x ＝1＋ty ＝－5＋3t化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝－5＋32t ，代入x －y －23＝0得t ＝43，∴P (1＋23，1)．由参数t 的几何意义得|PQ |＝|t |＝4 3.8. 217【解析】：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝t －1t的普通方程为x 2－y 2＝4.过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线方程为y ＝33x ＋3， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋3，x 2－y 2＝4消去y 得，23x 2－2x －7＝0，∴x 1x 2＝－212，x 1＋x 2＝3， ∴AB ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝217.9.【解析】： (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3x －1，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α，(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，半径为14的圆．10.【解析】： (1)直线l 的普通方程为y ＝x －2； 曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴点F 1到直线l 的距离d 1＝|－1－0－2|2＝322，点F 2到直线l 的距离d 2＝|1－0－2|2＝22，∴d 1＋d 2＝2 2.【拓展提高参考答案】2.【解析】： 方法一：直线l 的普通方程为x ＋2y －4＝0， 设P (2cos θ，sin θ)，点P 到直线l 的距离为d ＝|2cos θ＋2sin θ－4|5＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，所以当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时，d 有最小值． 此时sin θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin π4＝22， cos θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin π4＝22，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22.从而椭圆C 上到直线l 的距离最小的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22. 方法二：设与直线l 平行的直线l ′的方程为x ＋2y ＝m .当l ′与椭圆C 只有一个公共点且l ′与l 距离最小时，l ′与椭圆C 的公共点即为所求的点P .椭圆的普通方程为x 24＋y 2＝1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＋2y ＝m消去x ，得8y 2－4my ＋m 2－4＝0.因为l ′与椭圆C 只有一个公共点， 所以Δ＝16m 2－32(m 2－4)＝0， 解得m ＝22或m ＝－2 2.l ′与l 的距离为d ＝|m －4|5，所以当m ＝22时，d 最小，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22.。

课时跟踪检测(六十五) 参数方程1．(2016·某某实验中学)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t(t 为参数)．(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1,0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其直线l 的距离相等，求点P 的坐标．解：(1)椭圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0. (2)设P (2cos θ，3sin θ)， 则|AP |＝2cos θ－12＋3sin θ2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离 d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1， 得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，335.2．(2015·某某高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sinθ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ， 得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ， 所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32 ＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(3,0)．3．(2016·某某五校联考)倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎨⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程； (2)求|PM 1|·|PM 2|的取值X 围． 解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1， 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得： (8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32，整理得(8sin 2α＋cos 2α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0， 由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2α＋cos 2α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，∴|PM 1||PM 2|＝|t 1t 2| ＝641＋7sin 2α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1289，64.4．(2016·某某模拟)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪2(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，定点P (－2，－3)，求|PA |·|PB |的值． 解：(1)ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ，所以ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ， 所以x 2＋y 2－4x －4y ＝0， 即(x －2)2＋(y －2)2＝8；直线l 的普通方程为3x －y ＋23－3＝0. (2)把直线l 的参数方程代入到圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＝0中，得t 2－(4＋53)t ＋33＝0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1t 2＝33.点P (－2，－3)显然在直线l 上， 由直线标准参数方程下t 的几何意义知 |PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝33， 所以|PA |·|PB |＝33.5．(2016·某某模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C的半径为4.(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程． (2)试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π3，y ＝－5＋t sin π3(t 为参数)，即⎩⎪2由题知C 点的直角坐标为(0,4)，圆C 的半径为4， ∴圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝16，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得，圆C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ.(2)由题意得，直线l 的普通方程为3x －y －5－3＝0， 圆心C 到l 的距离为d ＝|－4－5－3|2＝9＋32>4，∴直线l 与圆C 相离．6．(2016·某某模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点．(1)求A ，B 两点的极坐标； (2)曲线C 1与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M ，N 两点，求线段MN的长度．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A ，B 两点的极坐标为：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎪⎫4，7π6.(2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0， 即t 1＋t 2＝－23，t 1·t 2＝－14， 所以|MN |＝－232－4×－14＝217.7．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|(其中α为锐角，且tan α＝43)，当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.8．(2016·某某模拟)极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．曲线C的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求1|AF |＋1|BF |的值． 解：(1)由ρsin 2θ＝8cos θ得，ρ2sin 2θ＝8ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x . (2)易得直线l 与x 轴的交点为F (2,0)， 将直线l 的方程代入y 2＝8x ， 得(t sin α)2＝8(2＋t cos α)， 整理得sin 2α·t 2－8cos α·t －16＝0. 由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin 2α＝64＞0，∴t 1＋t 2＝8cos αsin 2α，t 1t 2＝－16sin 2α＜0， 故1|AF |＋1|BF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1t 1－1t 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2 ＝t 1＋t 22－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8cosαsin 2α2＋64sin 2α16sin 2α＝12.。

第2课时 参数方程1.求直线⎩⎨⎧x ＝1－12t ，y ＝32t(t 为参数)被曲线⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)所截得的弦长.2.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋at ，y ＝bt (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，求切线的倾斜角.3.已知直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程.4.(2015·湖北)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，求|AB |的长.5.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2(t 为参数)，在以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρsin(θ＋π4)＝22，求曲线C 1与曲线C 2的交点个数.6.(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率.7.(2015·陕西)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标.8.(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .9.(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段|AB |的长.10.(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标系方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.答案精析1．解 直线方程可化为3x ＋y －3＝0， 曲线方程可化为x 2＋y 23＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋3，x 2＋y23＝1，得x 2－x ＝0， ∴x ＝0或x ＝1.可得交点为A (0，3)，B (1,0)． ∴|AB |＝1＋3＝2.∴所截得的弦长为2.2．解 直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b 2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，∴b ＝±3a ，而直线的倾斜角的正切值为tan α＝b a ，∴tan α＝±3，因此切线的倾斜角为π3或2π3.3．解 ∵直线l 的直角坐标方程为 x －y ＋2＝0.∴原点到直线的距离r ＝22＝1. ∴以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.4．解 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，y 2－x 2＝4解得⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝－322或⎩⎨⎧x ＝22，y ＝322.所以A ⎝⎛⎭⎫－22，－322，B ⎝⎛⎭⎫22，322. 所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫－22－222＋⎝⎛⎭⎫－322－3222 ＝2 5.5．解 曲线C 1，C 2化为普通方程和直角坐标方程分别为x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，消去y 得x 2＋2x －8＝0，因为判别式Δ>0，所以方程有两个实数解．故曲线C 1与曲线C 2的交点个数为2.6．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153. 7．解 (1)由ρ＝23sin θ， 得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ， 所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝ ⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32 ＝t 2＋12，故当t ＝0时，PC 取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3,0)．8．解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆． 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1. a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上． 所以a ＝1.9．解 直线l 的方程化为普通方程为 3x －y －3＝0，椭圆C 的方程化为普通方程为x 2＋y 24＝1， 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 2＋y 24＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝－17，y 2＝－837，∴A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－17，－837.故|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋172＋⎝⎛⎭⎫0＋8372＝167. 10．解 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.。

选修4-4 第二节 参数方程1．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．解：由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.2．在椭圆x 29＋y 24＝1上求一点M ，使点M 到直线x ＋2y －10＝0的距离最小，并求出最小距离．解：因为椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，所以可设点M 的坐标为(3cos φ，2sin φ)． 由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为d ＝|3cos φ＋4sin φ－10|5＝|5cos φ·35＋sin φ·45－10|5＝15|5cos(φ－φ0)－10|， 其中φ0满足cos φ0＝35，sin φ0＝45.由三角函数的性质知，当φ－φ0＝0时，d 取最小值 5. 此时，3cos φ＝3cos φ0＝95，2sin φ＝2sin φ0＝85.因此，当点M 位于(95，85)时，点M 到直线x ＋2y －10＝0的距离取最小值 5.3．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设直线 l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求|MN |的最大值． 解：(1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ， 又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0. (2)将直线l 的参数方程化为普通方程， 得y ＝－43(x －2)，令y ＝0得x ＝2， 即M 点的坐标为(2,0)．又曲线C 为圆，且圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1， 则|MC |＝ 5.所以|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1. 即|MN |的最大值为5＋1.4．已知圆M ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的圆心F是抛物线E ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt的焦点，过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，求AF ·FB 的取值范围．解：圆M ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ的普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，所以F (1,0)．抛物线E ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt的普通方程是y 2＝2px ，所以p2＝1，p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . 设过焦点F 的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θy ＝t sin θ，(t 为参数)，代入y 2＝4x ，得t 2sin 2θ－4t cos θ－4＝0.所以AF ·FB ＝|t 1t 2|＝4sin 2θ.因为0<sin 2θ≤1，所以AF ·FB 的取值范围是[4，＋∞)．5．(2012·厦门模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝2 2.(1)求直线l 的直角坐标方程；(2)点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值． 解：(1)ρcos(θ－π4)＝22化简ρcos θ＋ρsin θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4； (2)设点P 的坐标为(2cos α，sin α)， 得P 到直线l 的距离d ＝|2cos α＋sin α－4|2，即d ＝|5sin α＋φ－4|2，其中cos φ＝15，sin φ＝25.当sin(α＋φ)＝－1时，d max ＝22＋102. 6．(2012·福建高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 解： (1)把极坐标系下的点P (4，π2)化为直角坐标，得P (0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos α＋π6＋42＝2cos(α＋π6)＋2 2.由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.7．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(2)法一：将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得(3－22t )2＋(22t )2＝5， 即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. (2)法二：因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5， 直线l 的普通方程为：y ＝－x ＋3＋ 5.由⎩⎨⎧x 2＋y －52＝5，y ＝－x ＋3＋ 5.得x 2－3x ＋2＝0.解得：⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2＋ 5.或 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)， 又点P 的坐标为(3，5)， 故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2. 8．已知椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝5sin φ.(φ为参数)上相邻两个顶点为A 、C ，又B 、D 为椭圆上两个动点，且分别在直线AC 的两侧，求四边形ABCD 面积的最大值．解：设相邻两个顶点A (4,0)、C (0,5)、AC 所在直线方程为5x ＋4y －20＝0.又设B (4cos α，5sin α)，D (4cos β，5sin β)，其中α∈(0，π2)，β∈(π2，2π)．点B 到AC 距离d 1＝2041|cos α＋sin α－1|＝2041|2sin(α＋π4)－1|≤2041(2－1)(当α＝π4时取等号)．点D 到AC 的距离d 2＝2041|2sin(β＋π4)－1|≤2041(2＋1)(当α＝54π时取等号)．∴所求S 四边形ABCD 的最大值为12AC ·[2041(2－1)＋2041(2＋1)]＝20 2。