第2章 2.1 圆的标准方程

2．2圆与方程2．2.1圆的方程第1课时圆的标准方程1．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点、难点) 2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点)3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点)[基础·初探]教材整理1圆的定义及标准方程阅读教材P107～P108例1，完成下列问题．1．圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径．2．圆的标准方程圆特殊情况一般情况圆心(0,0)(a，b)半径r(r>0)r(r>0)标准方程x2＋y2＝r2(x－a)2＋(y－b)2＝r2备注确定圆的标准方程的关键是确定圆心和半径1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是________．【★答案★】(2，－3)， 22．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是________．【★答案★】x2＋y2＝43．以原点为圆心，且过点(2,2)的圆的标准方程为________________．【解析】由题意可设圆的标准方程为x2＋y2＝r2，又(2,2)在圆上，故22＋22＝r2，即r2＝8.故所求圆的标准方程为x2＋y2＝8.【★答案★】x2＋y2＝8教材整理2点与圆的位置关系阅读教材P107～P108，完成下列问题．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d＞r d＝r d＜r1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(×)(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(√)(3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.(×)(4)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(×)2．若点P(－1，3)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝__________.【导学号：41292096】【解析】把点P(－1，3)代入x2＋y2＝m2，得1＋3＝m2，∴m＝2或－2.【★答案★】2或－2[小组合作型]求圆的标准方程求下列各圆的标准方程．(1)圆心为点C (8，－3)，且经过点P (5,1)； (2)以P 1(1,2)，P 2(－3,4)为直径的端点． (3)与x 轴相交于A (1,0)，B (5,0)两点且半径为 5.【精彩点拨】 (1)(2)直接求出圆心半径代入求解；(3)设出圆的标准方程，由已知条件列方程组求解．【自主解答】 (1)由题意可知，圆的半径r ＝PC ＝(8－5)2＋(－3－1)2＝5，所以圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25，(2)由题意可知，P 1，P 2的中点P 的坐标为(－1,3)． 又P 1P 2＝(1＋3)2＋(2－4)2＝25， 所以圆的半径为12P 1P 2＝ 5.即所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝5. (3)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝5. 因为点A ，B 在圆上，所以可得到方程组： ⎩⎨⎧ (1－a )2＋(0－b )2＝5，(5－a )2＋(0－b )2＝5，解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－1. 所以圆的标准方程是(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.法二：由于A ，B 两点在圆上，所以线段AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识，知这个圆的圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝3上，于是可以设圆心为C (3，b )，又由AC ＝5，得(3－1)2＋b 2＝5，解得b ＝1或b ＝－1，所以圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.求圆的标准方程的常用方法：(1)待定系数法(代数法)：设出圆的标准方程，方程中有三个未知数a ，b ，r ，根据题目条件列出a ，b ，r 的方程组求解，代数法体现了方程思想．(2)几何法：即利用圆的几何性质直接求出圆心和半径的方法，几何法体现了数形结合的思想．[再练一题]1．已知圆心为C 的圆经过点A (0,2)和B (－3,3)，且圆心C 在直线l ：x ＋y ＋5＝0上．求圆C 的标准方程.【导学号：41292097】【解】 法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则⎩⎨⎧a ＋b ＋5＝0，(0－a )2＋(2－b )2＝r 2，(－3－a )2＋(3－b )2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－2，r ＝5.∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.法二：因为A (0,2)，B (－3,3)，所以线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，直线AB 的斜率k AB ＝3－2－3－0＝－13，故线段AB 的垂直平分线方程是y －52＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，即3x －y ＋7＝0.由⎩⎨⎧ 3x －y ＋7＝0，x ＋y ＋5＝0，得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－2，所以圆心C 的坐标为(－3，－2)． ∴圆的半径r ＝AC ＝(0＋3)2＋(2＋2)2＝5， 所以圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.圆的方程的实际应用如图2－2－1所示是一座圆拱桥，当水面距拱顶2 m 时，水面宽12m ，当水面下降1 m 后，水面宽多少m ？(结果保留两位小数)图2－2－1【精彩点拨】 由条件，此问题应首先建立坐标系，转化为求圆的方程，再利用条件求水面宽度．【自主解答】以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴建立直角坐标系如图所示，设圆拱所在圆的圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．设圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2，将A(6，－2)代入方程，得r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，当水面下降1 m后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)．如图所示，将A′(x0，－3)代入圆的方程，求得x0＝51，∴水面下降1 m，水面宽为2x0＝251≈14.28(m)．本题考查应用坐标法研究与平面图形有关的实际问题，因此，要建立适当的坐标系，利用圆的方程来解决．一般思路是根据题设条件建立适当的直角坐标系，把实际问题转化为数学问题，通过待定系数法设圆的方程进行求解．[再练一题]2．已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为3 m，高为3.5 m的货车能不能驶入这个隧道？【解】如图，以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)，将x＝3代入得y＝16－32＝7<9＝3<3.5，即在离中心线3 m处，隧道的高度低于货车的高度．因此，该货车不能驶入这个隧道．[探究共研型]点与圆的位置关系探究1点(1,1)是否在圆(x－1)2＋y2＝2上？【提示】点(1,1)不在圆(x－1)2＋y2＝2上，因为将点(1,1)代入圆的方程左边得(1－1)2＋12＝1≠2.探究2在探究1中，点(1,1)与圆(x－1)2＋y2＝2是什么关系？【提示】点(1,1)在圆内．探究3如何判断点(m，n)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系？【提示】将点A(m，n)代入方程左边，若(m－a)2＋(n－b)2＝r2，点A在圆上；若(m－a)2＋(n－b)2<r2，点A在圆内；若(m－a)2＋(n－b)2>r2，点A在圆外．已知圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．(1)若点M(6,9)在圆上，求半径a；(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围．【精彩点拨】(1)点在圆上，满足圆的方程求得a值．(2)点在圆内(外)，则点与圆心的距离小于(大于)圆的半径，求a的范围．【自主解答】(1)∵点M(6,9)在圆上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10.又a＞0，∴a＝10.(2)∵PC＝(3－5)2＋(3－6)2＝13，QC＝(5－5)2＋(3－6)2＝3，PC＞QC，故点P在圆外，点Q在圆内，∴3＜a＜13.判断点与圆的三种位置关系有两种方法：(1)将所给的点M到圆心C的距离与半径r比较：若CM＝r，则点M在圆上；若CM＞r，则点M在圆外；若CM＜r，则点M在圆内．(2)可用圆的标准方程来确定．点M(m，n)在圆C上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点M(m，n)在圆C外⇔(m－a)2＋(n－b)2＞r2；点M(m，n)在圆C内⇔(m－a)2＋(n－b)2＜r2.[再练一题]3．已知两点M(3,8)和N(5,2)．(1)求以MN为直径的圆C的方程；(2)试判断P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圆上，在圆内，还是在圆外？【解】(1)法一：设圆心C(a，b)，半径r，则由C为MN的中点得a＝3＋5 2＝4，b＝8＋22＝5，由两点间的距离公式得r＝CM＝(4－3)2＋(5－8)2＝10.∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.法二：∵直径所对的圆周角是直角，∴对于圆上除M，N外任意一点P(x，y)，有PM⊥PN，即k PM·k PN＝－1，∴y－8x－3·y－2x－5＝－1(x≠3且x≠5)．化简得x2＋y2－8x－10y＋31＝0，即(x－4)2＋(y－5)2＝10.又∵M(3,8)，N(5,2)的坐标满足方程，∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.(2)分别计算点到圆心的距离CP1＝(4－2)2＋(5－8)2＝13>10，CP2＝(4－3)2＋(5－2)2＝10，CP3＝(4－6)2＋(5－7)2＝8<10 ，因此，点P2在圆上，点P1在圆外，点P3在圆内．1．已知两圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为________．【解析】C1(5,3)，C2(2，－1)，|C 1C 2|＝(5－2)2＋(3＋1)2＝5. 【★答案★】 52．已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3,2)与圆的位置关系是________．【解析】 (3－2)2＋(2－3)2＝2<4. ∴P 点在圆内．【★答案★】 P 点在圆内3．圆心在第二象限，半径为1，并且与x ，y 轴都相切的圆的方程为________.【导学号：41292098】【解析】 由条件知，|a |＝|b |＝r ＝1. ∵圆心在第二象限，∴a ＝－1，b ＝1， ∴所求的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1. 【★答案★】 (x ＋1)2＋(y －1)2＝14．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同圆心且过点P (－1,1)的圆的方程是________． 【解析】 由题意，设所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝r 2，则有(－1－2)2＋(1＋3)2＝r 2，即r 2＝25，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.【★答案★】 (x －2)2＋(y ＋3)2＝255．已知直线l 与圆C 相交于点P (1,0)和点Q (0,1)． (1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C 的半径为1，求圆C 的方程． 【解】 (1)PQ 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，k PQ ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y ＝x . (2)由条件设圆的方程为： (x －a )2＋(y －b )2＝1，由圆过P ，Q 点得⎩⎨⎧(1－a )2＋b 2＝1，a 2＋(1－b )2＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝0，b ＝0，或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.所以圆C 的方程为：x 2＋y 2＝1或(x －1)2＋(y －1)2＝1.。

§2圆与圆的方程2．1圆的标准方程知识点一确定圆的条件[填一填]一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就确定了，如图所示．[答一答]1．确定圆的标准方程需要具备的条件是什么？提示：由标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 知确定圆的标准方程需要确定三个参数a、b、r.其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件．知识点二圆的标准方程[填一填](1)圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点叫作圆的圆心，定长称为圆的半径．(2)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)当圆心是坐标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝r2[答一答]2．若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a吗？圆心坐标是(m，n)吗？提示：圆的半径不一定是a，当a>0 时，半径是a；当a<0 时，半径是－a.圆心坐标不是(m，n)，应是(－m，－n)，因为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2 化为标准结构是[x－(－m)]2＋[y－(－n)]2＝|a|2.3．圆的标准方程有哪些优点？确定圆的标准方程有几个基本要素？提示：圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径．在圆的标准方程中有两个基本要素：圆心坐标和半径，只要a，b，r三个量确定了，且r>0，则圆的标准方程就确定了，这就是说要确定圆的标准方程，必须具备三个独立的条件，注意确定a，b，r，可以根据条件利用待定系数法来解决．知识点三点与圆的位置关系[填一填]设点P到圆心的距离为d，半径为r，则点在圆内⇔d<r；点在圆上⇔d＝r；点在圆外⇔d>r.[答一答]4．判断点和圆的位置关系的依据是什么？提示：判断点与圆的位置关系的依据是圆心到该点的距离和圆的半径的大小关系．1．对于圆的标准方程，我们要从其结构形式上准确地记忆．2．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性．3．确定圆的标准方程需要三个独立的条件，一般运用待定系数法求a，b，r.类型一根据方程确定圆心和半径【例1】分别写出下列方程所表示圆的圆心坐标和半径．(1)(x－2)2＋(y－2)2＝8；(2)(x＋4)2＋y2＝4；(3)(x＋m)2＋(y－n)2＝p2.【思路探究】利用圆的标准方程的几何特征解答．【解】(1)原方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝(2 2)2，∴圆心坐标为(2,2)，半径r＝2 2.(2)原方程可化为[x－(－4)]2＋(y－0)2＝22，∴圆心坐标为(－4,0)，半径r＝2.(3)原方程可化为[x－(－m)]2＋(y－n)2＝p2，∴圆心坐标为(－m，n)，半径r＝|p|.规律方法由圆的标准方程可直接得出圆心坐标和半径，但要注意圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 中，a，b前的运算符号均为减号．给定圆：(x－2)2＋(y＋8)2＝(－3)2，下列说法中正确的是(C)A．圆心坐标是(2，－8)，半径长为－3B．圆心坐标是(－2,8)，半径长为3C．圆心坐标是(2，－8)，半径长为3D．圆心坐标是(－2,8)，半径长为－3解析：对照圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，知圆心坐标是(2，－8)，半径长不可能是负数，故为3.类型二判断点与圆的位置关系【例2】已知两点P(3,8)，Q(5,4)，试分别判断点M(6，3)，N(3,5)在以线段PQ为直径的圆上，圆内，还是圆外？【解】线段PQ的中点为C(4,6)，|PQ|＝5－32＋4－82＝2 5，∴圆的半径r＝5，以线段PQ为直径的圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.由于(6－4)2＋(3－6)2＝13>5，∴点M在圆外．由于(3－4)2＋(5－6)2＝2<5，∴点N在圆内．规律方法点与圆的位置关系及判断方法：(1)点M与圆心C的距离与半径r比较：|CM|＝r⇔点M在圆上；|CM|>r⇔点M在圆外；|CM|<r⇔点M在圆内．(2)利用圆的标准方程来确定：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(m，n)．(m－a)2＋(n－b)2＝r2⇔点M在圆上；(m－a)2＋(n－b)2>r2⇔点M在圆外；(m－a)2＋(n－b)2<r2⇔点M在圆内．设圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25，试判断下列各点是在圆内、圆外、还是圆上？(1)M(－1，－7)；(2)N(－3,1)；(3)P( 2，2)．解：(1)∵(－1－2)2＋(－7＋3)2＝25，∴点M在圆C上．(2)∵(－3－2)2＋(1＋3)2＝41>25，∴点N在圆C外．(3)∵( 2－2)2＋( 2＋3)2＝17＋2 2<25，∴点P在圆C内．类型三求圆的标准方程【例3】求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的标准方程．【思路探究】用待定系数法，求出圆心(a，b)、半径r.也可用几何法．【解】解法一：∵圆心在y轴上，∴a＝0.设圆的标准方程是x2＋(y－b)2＝r2.∵该圆经过A、B两点，∴Error!∴Error!所以圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝10.2－4 1解法二：线段AB的中点为(1,3)，k AB＝＝－，3－－1 2∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.由Error!得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r为0＋12＋1－42＝10，∴所求圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10.规律方法求圆的标准方程就是要求圆心坐标和圆的半径，解法一是先设出圆的标准方程，而后用待定系数法求出圆心坐标和圆半径，解法二抓住圆的性质及题目的特点，求出线段AB的垂直平分线方程并与y轴的方程联立组成方程组，先得出了圆心的坐标，而后求出圆的半径．已知一个圆经过两个点A(2，－3)和B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0 上，求此圆的标准方程．解：解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由已知条件得Error!即Error!∴Error!∴所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.1解法二：由A(2，－3)，B(－2，－5)得AB的中点为(0，－4)，k AB＝，∴AB的垂直平2分线的方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0，解方程组Error!得Error!∴圆心为(－1，－2)，半径r＝2＋12＋－3＋22＝10.故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.解法三：设点C是圆心，∵点C在直线l上，∴设点C(2b＋3，b)．又∵|CA|＝|CB|，∴2b＋3－22＋b＋32＝2b＋3＋22＋b＋52，解得b＝－2，∴圆心为C(－1，－2)，半径r＝10，故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.——规范解答系列——数形结合解决与圆有关的最值问题【例4】设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4 上任意一点，求x－12＋y－12的最大值．【精解详析】因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4 上的任意一点，因此x－12＋y－12表示点(1,1)与该圆上点的距离，如图所示．易知点(1,1)在圆x2 ＋(y＋4)2 ＝4 外，结合右图易得x－12＋y－12的最大值为1－02＋1＋42＋2＝26＋2.【解后反思】用数形结合的思想方法也能求出x－12＋y－12的最小值为26－2.求圆外一定点A与圆C上动点P连线距离的最值方法：设|AC|＝d，圆C半径为r，则|AP|max＝d＋r，|AP|min＝d－r；求圆内一定点A与圆C上动点P连线距离的最值方法：设|AC|＝d，圆C半径为r，则|AP|max＝d＋r，|AP|min＝r－d.已知点P(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝36 上，求x2＋y2＋2x－4y＋5的取值范围．解：x2＋y2＋2x－4y＋5＝[x－－1]2＋y－22，其最值可视为圆上一点P(x，y)到定点A(－1,2)的距离的最值，又(－1－2)2＋(2＋3)2<36，所以点A在圆内，问题可转化为圆心C(2，－3)到定点A(－1,2)的距离与半径6 的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值为34＋6，最小值为6－34.所以x2＋y2＋2x－4y＋5的取值范围是[6－34，6＋34]．一、选择题1．点A(－2,3)与圆(x＋3)2＋(y－1)2＝9 的位置关系是(B)A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定解析：圆心坐标为C(－3,1)，半径r＝3，|AC|＝5<r，所以点A在圆内．二、填空题2．过A(2，－3)，B(－2，－5)两点且面积最小的圆的标准方程为x2＋(y＋4)2＝5.解析：过A，B两点且面积最小的圆就是以线段AB为直径的圆．∴圆心坐标为(0，－4)，1半径r＝|AB|＝ 5.2∴圆的标准方程为x2＋(y＋4)2＝5.3．若点M(5 a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26 的外部，则实数a的取值范围是(1，＋∞)．解析：由题意得(5 a＋1－1)2＋( a)2>26，即a>1.三、解答题4．已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0 与直线x－2y＋2＝0 的交点，且圆过点P(－5,6)．求圆的标准方程，并判断点A(2，2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解：解方程组Error!得Error!∴圆心M的坐标为(0,1)．半径r＝|MP|＝52＋1－62＝5 2.∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.∵|AM|＝2－02＋2－12＝5<r，∴点A在圆内．∵|BM|＝1－02＋8－12＝50＝r，∴点B在圆上．∵|CM|＝6－02＋5－12＝52>r，∴点C在圆外．∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．。

2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程学习目标核心素养1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)2．能根据所给条件求圆的标准方程．(重点)3．掌握点与圆的位置关系．(重点) 4．圆的标准方程的求解．(难点)1．通过圆的标准方程及其特征的学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助圆的标准方程的求解与应用，提升数学运算的核心素养.1．圆的标准方程(1)以C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.2．点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d＞r d＝r d＜r0000－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？[提示]若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.1．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)()A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外C[圆心M(2,3)，半径r＝2，∵|PM|＝(3－2)2＋(2－3)2＝2＜r，∴点P 在圆内．]2．点P(m,5)与圆x2＋y2＝16的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定A[圆心为(0,0)，半径r＝4，P到圆心的距离d＝m2＋25＞4，所以P在圆外．]3．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3C．(－2,3)， 2 D．(2，－3)， 2D[由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为 2.]4．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________．(x＋2)2＋y2＝4[圆心是(－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.]直接法求圆的标准方程A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52[思路探究](1)设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求圆心坐标，再写出圆的标准方程．(2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标，进而求出圆的半径，再写出圆的标准方程．(1)A(2)A[(1)设圆心坐标为(0，b)，则由题意知(0－1)2＋(b－2)2＝1，解得b＝2.故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.(2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a ＝4，b＝－6，所以圆的半径r＝(4－2)2＋(0＋3)2＝13，从而所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.]1．确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．2．确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等．提醒：当圆与坐标轴相切时要特别注意圆心的坐标与圆的半径的关系．1．以点A(－5,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()A．(x＋5)2＋(y－4)2＝25B．(x－5)2＋(y＋4)2＝16C．(x＋5)2＋(y－4)2＝16D．(x－5)2＋(y＋4)2＝25C[因该圆与x轴相切，则圆的半径r等于圆心纵坐标的绝对值，所以圆的方程为(x＋5)2＋(y－4)2＝16.]待定系数法求圆的标准方程B(－2，－5)的圆的标准方程．[思路探究]解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解，也可以利用几何性质求出圆心和半径．[解]法一：设点C为圆心，∵点C在直线：x－2y－3＝0上，∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.∴(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2， 解得a ＝－2.∴圆心坐标为C (－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法二：设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由条件知⎩⎨⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.故所求圆的标准方程为 (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法三：线段AB 的中点为(0，－4)，k AB ＝－3－(－5)2－(－2)＝12，所以弦AB 的垂直平分线的斜率k ＝－2， 所以线段AB 的垂直平分线的方程为： y ＋4＝－2x ， 即y ＝－2x －4.故圆心是直线y ＝－2x －4与直线x －2y －3＝0的交点，由⎩⎨⎧y ＝－2x －4，x －2y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2. 即圆心为(－1，－2)，圆的半径为 r ＝(－1－2)2＋(－2＋3)2＝10，所以所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.1．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤设方程((x －a )2＋(y －b )2＝r 2)→列方程组(由已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组)→解方程组(解方程组，求出a 、b 、r )→得方程(将a 、b 、r 代入所设方程，得所求圆的标准方程)．2．充分利用圆的几何性质，可使问题计算简单．2．求圆心在x 轴上，且过点A (5,2)和B (3，－2)的圆的标准方程． [解] 法一：设圆的方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．则⎩⎨⎧b ＝0，(5－a )2＋(2－b )2＝r 2，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝0，r ＝ 5.所以所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝5. 法二：因为圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， 所以圆心一定在线段AB 的中垂线上． AB 中垂线的方程为y ＝－12(x －4)， 令y ＝0，得x ＝4.即圆心坐标为C (4,0)， 所以r ＝|CA |＝(5－4)2＋(2－0)2＝ 5. 所以所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝5.与圆有关的最值问题1．若P (x ，y )为圆C (x ＋1)2＋y 2＝14上任意一点，请求出P (x ，y )到原点的距离的最大值和最小值．[提示] 原点到圆心C (－1,0)的距离d ＝1，圆的半径为12，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.2．若P (x ，y )是圆C (x －3)2＋y 2＝4上任意一点，请求出P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．[提示] P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆C 的半径为2，圆心C (3,0)，圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝22，所以点P 到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2.【例3】 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3.求yx 的最大值和最小值． [思路探究] yx 的几何意义是圆上的点与原点构成直线的斜率，根据直线与圆相切求得．[解] 原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设yx ＝k ，即y ＝kx ， 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.故yx 的最大值为3，最小值为－ 3.1．在本例条件下，求y －x 的最大值和最小值． [解] 设y －x ＝b ， 即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3， 即b ＝－2±6.故y －x 的最大值为－2＋6， 最小值为－2－ 6.2．在本例条件下，求x 2＋y 2的最大值和最小值．[解] x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：1．形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．2．形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－ab x＋lb截距的最值问题．3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．1．本节课的重点是会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征，能根据所给条件求圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系．难点是根据所给条件求圆的标准方程．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)直接法求圆的标准方程，(2)待定系数法求圆的标准方程，(3)求与圆有关的最值的方法．3．本节课的易错点是求圆的标准方程中易漏解．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定．()(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．()(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标是(2,3)，半径是9.()[答案](1)√(2)×(3)×[提示](1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径．(2)错误．当m ＝0时，不表示圆．(3)错误．圆(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9的圆心为(－2，－3)，半径为3. 2．圆(x －3)2＋(y ＋2)2＝13的周长是( ) A ．13π B ．213π C ．2πD ．23πB [因为圆的半径为13，所以圆的周长为213π.]3．点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．－1＜a ＜15D ．－15＜a ＜1D [因为(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以4a 2＋(a －2)2＜5，解得－15＜a ＜1.]4．已知圆M 的圆心坐标为(3,4)，且A (－1,1)，B (1,0)，C (－2，3)三点一个在圆M 内，一个在圆M 上，一个在圆M 外，求圆M 的方程．[解] ∵|MA |＝(－1－3)2＋(1－4)2＝5， |MB |＝(1－3)2＋(0－4)2＝25， |MC |＝(－2－3)2＋(3－4)2＝26， ∴|MB |＜|MA |＜|MC |，∴点B 在圆M 内，点A 在圆M 上，点C 在圆M 外， ∴圆的半径r ＝|MA |＝5，∴圆M 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.课时分层作业(十九) 圆的标准方程(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝9 B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9D[由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.]2．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则()A．a2＋b2＝0B．a2＋b2＝r2C．a2＋b2＋r2＝0D．a＝0，b＝0B[由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.]3．与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为()A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4D．(x－3)2＋y2＝4A[已知圆的圆心(3，－2)关于直线x＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.]4．圆心为C(－1,2)，且一条直径的两个端点落在两坐标轴上的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B．(x－1)2＋(y＋2)2＝20C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5D．(x＋1)2＋(y－2)2＝20C[因为直径的两个端点在两坐标轴上，所以该圆一定过原点，所以半径r ＝(－1－0)2＋(2－0)2＝5，又圆心为C(－1,2)，故圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，故选C.]5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5C [直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0.由⎩⎨⎧ x ＋1＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2，∴C (－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.]二、填空题6．已知A (－1,4)，B (5，－4)，则以AB 为直径的圆的标准方程是________． (x －2)2＋y 2＝25 [由题意知圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，4－42，即(2,0)，半径为12(－1－5)2＋(4＋4)2＝5，故所求圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝25.]7．若点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的外部，则a 的取值范围为________．a >113或a <－113 [∵P 在圆外，∴(5a ＋1－1)2＋(12a )2>1,169a 2>1，a 2>1169，∴|a |>113，即a >113或a <－113.]8．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________．1＋2 [圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，圆心到直线x －y ＝2的距离为|1－1－2|1＋1＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.]三、解答题9．求过点A (1,2)和B (1,10)且与直线x －2y －1＝0相切的圆的方程． [解] 圆心在线段AB 的垂直平分线y ＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r ，则圆的方程为(x －a )2＋(y －6)2＝r 2.将点(1,10)代入得(1－a )2＋(10－6)2＝r 2， ① 而r ＝|a －13|5，代入①，得(a －1)2＋16＝(a －13)25，解得a ＝3，r ＝25或a ＝－7，r ＝4 5.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －6)2＝20或(x ＋7)2＋(y －6)2＝80.10．已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．[解]法一：如图所示，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|AO|2＝52－42＝3.设点C坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.∵圆截y轴线段长为8，∴圆过点A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.[等级过关练]1．若直线x＋y－3＝0始终平分圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的周长，则a＋b等于()A．3B．2C．5D．1A[由题可知，圆心(a，b)在直线x＋y－3＝0上，所以a＋b－3＝0，即a ＋b＝3，故选A.]2．已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是()A．2，12(4－5)B．12(4＋5)，12(4－5)C ．5，4－5D ．12(5＋2)，12(5－2)B [点A (－1,0)，B (0,2)所在的直线方程为2x －y ＋2＝0，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线的距离为|2－0＋2|22＋(－1)2＝455，又|AB |＝5，所以△P AB 面积的最大值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫455＋1＝12(4＋5)，最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫455－1＝12(4－5)，选B.]3．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是________．(x ＋5)2＋y 2＝5 [如图所示，设圆心C (a,0)，则圆心C 到直线x ＋2y ＝0的距离为|a ＋2×0|12＋22＝5，解得a ＝－5，a ＝5(舍去)，∴圆心是(－5,0)．故圆的方程是(x ＋5)2＋y 2＝5.]4．已知圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，则点M (2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．5＋2 [由题意，知点M 在圆O 内，MO 的延长线与圆O 的交点到点M (2,3)的距离最大，最大距离为(2－3)2＋(3－4)2＋5＝5＋ 2.]5．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在的直线上．(1)求AD 边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD 外接圆的方程．[解] (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为－3.又因为点T (－1,1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎨⎧x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，解得点A 的坐标为(0，－2)． 因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)．所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又|AM |＝(2－0)2＋(0＋2)2＝22，从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.。

圆的标准方程教学设计王会群一、教材分析1．教学内容普通高中课程标准实验教科书《数学》必修2第二章平面解析几何初步中2﹒2节圆与方程。

本节主要研究圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，以及他们在生活中的简单运用。

2．教材的地位与作用圆是最简单的曲线之一，这节教材安排在学习了直线之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备。

同时有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法。

应此教学中应加强练习，使学生确实掌握这单元的知识和方法。

初中教材中对圆的内容降低最低要求。

本课是单元的第一课，和直线方程一样，教学中先设计一个问题情景，让学生讨论，并引导学生观察圆上点在运动时，不变的是什么，抓住圆的本质，突破难点。

3．三维目标(1)知识与技能A．掌握圆的标准方程，并根据方程写出圆的坐标和圆的半径。

B．会选择适当的坐标系来解决与圆有关的实际问题。

(2)过程与方法A.实际问题引入，师生共同探讨。

B.探究曲线方程的基本方法。

(3)情感态度与价值观培养用坐标法研究几何问题的兴趣。

4．教学重点圆的标准方程及运用5. 教学难点求圆的标准方程的条件的确定。

二．教法分析高一学生，在老师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力。

所以在设计问题时应考虑周全和灵活性，采用启发式探索式教学，师生共同探讨，共同研究，让学生积极思考，主动学习。

在教学过程中采用讨论法，向学生提供具备启发式和思考性的问题。

因此，要求学生在课上讨论，提高学生的探索，推理，想象，分析和总结归纳等方面的能力。

三．学法分析从高考发展的趋势看，高考越来重视学生的分析问题解决问题的能力。

因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，采用转化思想，数形结合的思想，选择最佳方案加以解决“瞎撞，乱撞”的不良思想。

四．教学过程项目具体内容教师活动学生活动教学意图复习复习上节课内容，思考一下几个问题什么是直线方程？确定直线方程的要素有哪些？直线方程有哪几种表达式，都是什么样的 ? 教师提问。