2017_2018学年高中数学第二章数列2.1数列同步导学案新人教B版必修5

第二节 等差数列一、等差数列定义：二、通项公式：推导方法：推论：d n m a a n m )(-+=例1、知三求一1、若31,31-==d a ，则n a =_______ 2、若27,1261==a a ，则d=_______ 3、若17,573==a a ，则n a =_______4、若2,21,31===d a a n ，则n=_______5、若,19,1074==a a 则=1a ______，d=______6、98,8341==a a ，则数列有多少项在300到500之间？例2、判断某数是不是数列中的项已知数列 ,10,7,4,1,2----，①判断49,21--是否是数列中的项；②求数列的第10项，15项，1+n 项；③判断55-，n 38-是数列的第几项？三、通项性质（1）等差数列}{n a 中，d n m a a n m )(-+=（2）等差数列}{n a 中，如果q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+推广一、推广二、（等距性）例3、利用数列性质求数列中的项1、若572=+a a ，则=+81a a ____，=+63a a _______。

2、（05福建）若1,16497==+a a a ，则=12a _____。

3、若1282=+a a ，则5a =_______。

4、若45076543=++++a a a a a ，则=+82a a _____。

5、若10113=+a a ，则1542a a a ++=_______。

6、（05全国）如果数列}{n a 是等差数列，则（ ）A 、5481a a a a +<+B 、5481a a a a +=+C 、5481a a a a +>+D 、5481a a a a =练习2．（1）若3a +11a =10，则2a +4a +15a = （2）若15S =90，则8a =（3）45076543=++++a a a a a ，则=+82a a（4）21512841=+---a a a a a ，则15S =四、等差中项：五、判定和证明证明方法：（1）定义（2）中项性质判定：例4、判断下列数列是否是等差数列？① ,8,6,4,2,1 ② ,7,7,7,7,7③n m n m n m m +++2,2,, ④d a a d a +-,,⑤n a n 23-= ⑥1+=n n a n ⑦122+=n a n例5、等差数列首项是1a ，公差是d ，判断下列是否是等差数列？如果是，求首项和公差；如果不是，说明理由。

第二章 数列1．数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列． 2．求数列的通项(1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.(2)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)．(3)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用累积法求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1. (4)构造新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．(5)归纳、猜想、证明法． 3．等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0)⇔{a n }是等比数列．(2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列；a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0)⇔{a n }是等比数列． (3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＝c ·q n(c ，q 为非零常数)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列；S n ＝aq n－a (a ，q 为常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N ＋)⇔{a n }是等比数列．4．求数列的前n 项和的基本方法(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n 项和S n 公式； (2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(3)裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (5)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导．题型一 方程的思想解数列问题在等差数列和等比数列中，通项公式a n 和前n 项和公式S n 共涉及五个量：a 1，a n ，n ，d (或q )，S n ，其中首项a 1和公差d (或公比q )为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a 1，a n ，n ，d (或q )，S n 的方程组，通过方程的思想解出需要的量．例1 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝21，S 15＝－75，T n 为数列{S n n}的前n 项和，求T n 的最大值． 解 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d .∵S 7＝21，S 15＝－75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝21，15a 1＋105d ＝－75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝3，a 1＋7d ＝－5，解得a 1＝9，d ＝－2. ∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝9n －(n 2－n )＝10n －n 2.则S nn ＝10－n .∵S n ＋1n ＋1－S nn＝－1， ∴数列{S n n}是以9为首项，公差为－1的等差数列． 则T n ＝n ·[9＋10－n ]2＝－12n 2＋192n＝12(n －192)2＋3618. ∵n ∈N ＋，∴当n ＝9，或n ＝10时，T n 有最大值45.跟踪演练1 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .解 设数列{a n }的公差为d ，依题设有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1a 3＋1＝a 22，a 1＋a 2＋a 3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＋2a 1d －d 2＋2a 1＝0，a 1＋d ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－4.因此S n ＝12n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )．题型二 转化与化归思想求数列通项由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳猜想出通项，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．例2 在数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n－1 (n ≥2且n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． (3)求通项公式a n .解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13，a 3＝2a 2＋23－1＝33. (2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n为等差数列．设b n ＝a n ＋λ2n，由{b n }为等差数列，则有2b 2＝b 1＋b 3. ∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8.解得λ＝－1. 此时，b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1] ＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1]＝1. 又b 1＝a 1＋λ2＝2.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{a n ＋λ2n}为首项是2、公差是1的等差数列．(3)由(2)知，数列{a n －12n}为首项是2，公差为1的等差数列．∴a n －12n＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，∴a n ＝(n ＋1)2n＋1.跟踪演练2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N＋)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．(1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8. (2)证明 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．② ①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．题型三 函数思想求解数列问题数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的思想指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或其真子集，这一特殊性对问题结果可能造成影响．例3 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1n a n ＋3 (n ∈N ＋)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2，整理得2a 1d ＝d 2.∵d >0，a 1＝1，∴d ＝2. ∴a n ＝2n －1(n ∈N ＋)． (2)b n ＝1na n ＋3＝12n n ＋1＝12(1n －1n ＋1)， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝12(1－1n ＋1)＝n2n ＋1. 假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12n ＋2－n 2n ＋1＝12n ＋2n ＋1>0，∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9.又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8.跟踪演练3 已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (1a n )，n ∈N ＋，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n .解 (1)∵a n ＋1＝f (1a n)＝2a n＋33a n＝2＋3a n 3＝a n ＋23， ∴{a n }是以23为公差的等差数列．又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋13.(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n )．题型四 数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识有较多交汇处．它包涵知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近年高考的一大亮点．例4 已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m的取值范围．解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2n.(2)b n ＝2n·log 122n＝－n ·2n，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n，①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n＋n ×2n ＋1， ②①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝21－2n1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－n ×2n ＋1－2.由S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0， 得2n ＋1－n ×2n ＋1－2＋n ×2n ＋1＋m ×2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立，∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1，即m <12n －1对任意正整数n 恒成立．∵12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．跟踪演练4 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N ＋.(1)证明：数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)证明：不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N ＋皆成立． (1)证明 由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N ＋.又a 1－1＝1，∴{a n －n }是首项为1，公比为4的等比数列． (2)解 由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n ，∴数列{a n }的前n 项和S n ＝4n－13＋nn ＋12.(3)证明 对任意的n ∈N ＋. S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋n ＋1n ＋22－4[4n－13＋n n ＋12]＝－12(3n 2＋n －4)≤0. ∴不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N ＋皆成立．1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．。

§2.1数列的概念与简单表示法(1)学习目标1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.学习过程一、课前准备复习：函数，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？二、新课导学学习探究⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列.⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项.反思：⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？3. 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第 项.4.数列的分类：1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列，数列和 数列.5．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与n 之间的关系可以用 一个式子 来表示，那么 这个公式 就叫做这个数列的通项公式.典型例题写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴ 1，－12，13，－14； ⑵ 1， 0， 1， 0.变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴12，45，910，1617；⑵1，－1，1，－1；反思：⑴所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一？例2已知数列2，74，2，…的通项公式为2nan bacn+=，求这个数列的第四项和第五项.变式：已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第项.小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项.三、总结提升知识拓展数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.思考：设()f n＝1＋12＋13＋…＋131n-（n∈*N）那么(1)()f n f n+-等于（）A.132n+B.11331n n++C.113132n n+++D.11133132n n n++++。

第二章 数列本章整合知识网络专题探究专题一 求数列的通项公式数列的通项是数列的重要内容之一，只要有数列的通项公式，许多问题就可迎刃而解．如果一个数列是等差数列或等比数列，则可直接写出其通项公式，而对于非等差、等比数列的通项公式可通过适当的变形、构造等使之成为等差或等比数列来求解．因此数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的关键，现根据数列的结构特征把常见求解方法和技巧总结如下．(一)观察法【应用1】 已知数列12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则此数列的一个通项公式是________．提示：已知数列的前若干项，求该数列的通项公式时，一般先对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项公式．解析：观察数列每项的绝对值，分母为2，4，8，16，32，…，是2n的形式，而分子，从第二项起满足“分子－分母＝－3”，因此改写第一项为－－12，这样，数列中每一项的绝对值都满足“分子－分母＝－3”这一规律，且数列中每一项的符号为“－”“＋”交替出现，故a n ＝(－1)n2n－32n ．答案：a n ＝(－1)n2n－32n(二)定义法【应用2】 等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25．求数列{a n }的通项公式．提示：本题已知{a n }是等差数列，可建立首项和公差的方程，通过解方程来求得首项和公差，再代入通项公式得其解．解：设数列{a n }的公差为d (d >0)． ∵a 1，a 3，a 9成等比数列，∴23a ＝a 1a 9， 即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得d 2＝a 1d ． ∵d ＞0，∴a 1＝d ．① ∵S 5＝25a ，∴5a 1＋5×42d ＝(a 1＋4d )2．②由①②，得a 1＝35，d ＝35．∴a n ＝35＋(n －1)×35＝35n ．(三)S n 法【应用3】 设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1．求数列{a n }和{b n }的通项公式．提示：本题已知S n 的表达式，自然想到使用公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求解．解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，当n ＝1时也适用， 故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2．设{b n }的公比为q ，则b 2(a 2－a 1)＝b 1qd ＝b 1，又d ＝4， ∴q ＝14．又a 1＝b 1＝2，故b n ＝b 1qn －1＝2×14n －1，即{b n }的通项公式为b n ＝24n －1．(四)累加法【应用4】 已知在数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝3n－n ，求数列{a n }的通项公式． 提示：由于本题给出了数列{a n }中连续两项的差，故可考虑用累加法求解． 解：由a n ＋1－a n ＝3n－n ， 得a n －a n －1＝3n －1－(n －1)，a n －1－a n －2＝3n －2－(n －2)，…a 3－a 2＝32－2， a 2－a 1＝3－1．当n ≥2时，以上n －1个等式两端分别相加，得 (a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1) ＝3n －1＋3n －2＋…＋3－[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]，即a n －a 1＝3(1－3n －1)1－3－n (n －1)2．又∵a 1＝1，∴a n ＝12×3n－n (n －1)2－12．显然a 1＝1也适合上式，∴{a n }的通项公式为a n ＝12×3n－n (n －1)2－12．(五)迭乘法【应用5】 已知在数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和S n 与a n 的关系是S n ＝n (2n －1)a n ，求a n ．提示：此题已知S n 与a n 的关系，应想到使用S n 法，然后得到相邻两项比的等式满足a n＝a n －1f (n )这种模型，因此使用迭乘法求解．解：当n ≥2时，由S n ＝n (2n －1)a n ，得S n －1＝(n －1)(2n －3)·a n －1，两式相减，得(2n ＋1)a n ＝(2n －3)a n －1， ∴a n a n －1＝2n －32n ＋1． ∴a n －1a n －2＝2n －52n －1，…，a 2a 1＝15． 将上面n －1个等式相乘，得a n a 1＝(2n －3)(2n －5)(2n －7)…·3·1(2n ＋1)(2n －1)(2n －3)…·7·5＝3(2n ＋1)(2n －1)，∴当n ≥2时，a n ＝1(2n ＋1)(2n －1)．当n ＝1时，a 1＝13满足上式，故对n ∈N ＋，有a n ＝1(2n ＋1)(2n －1)．(六)辅助数列法【应用6】 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，求数列{a n }的通项公式．提示：对于a n ＋1＝pa n ＋q 这一类型的递推关系式，常用配常数法求通项公式．设a n ＋1＋k ＝p (a n ＋k )，对比递推关系式，可得k ＝qp －1，构造出等比数列{a n ＋k }．解：令a n ＋1＋k ＝12(a n ＋k )，∵a n ＋1＝12a n ＋1，对比可得k ＝－2，∴a n ＋1－2＝12(a n －2)．∴{a n －2}是首项为a 1－2＝－1，公比为12的等比数列．∴a n －2＝－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1．∴a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋2．专题二 数列的求和问题我们已学习了等差数列和等比数列，并熟悉了有关等差数列和等比数列的求和公式，然而有些数列既不是等差数列，又不是等比数列，像这样的数列如何求和呢？数列的求和常涉及分类讨论、转化化归等思想方法．在求数列的前n 项和S n 时，要掌握以下几种常用的方法：(一)并项转化求和法【应用1】 求和：S n ＝12－22＋32－42＋52－62＋…＋992－1002． 提示：根据条件可知：前后两项相互结合，利用公式化简求值得出和． 解：由平方差公式，得S n ＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋(5－6)(5＋6)＋…＋(99－100)(99＋100)＝－[(1＋2)＋(3＋4)＋(5＋6)＋…＋(99＋100)]＝－(1＋2＋3＋4＋…＋100) ＝－100×(1＋100)2＝－5 050． (二)倒序相加法【应用2】 在等差数列{a n }中，前4项的和为16，后4项的和为80，所有项之和为240，求这个数列的项数．提示：从题意可知前4项和与后4项和，又此数列是等差数列，具有与首尾“等距”的两项之和相等的特点，因此采用倒序相加法．解：设此数列{a n }共有n 项，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝16，① a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80．②以上两式相加，得4(a 1＋a n )＝16＋80， 解得a 1＋a n ＝24． 又S n ＝n (a 1＋a n )2＝240，即n ×242＝240，解得n ＝20．所以数列的项数为20． (三)拆项分组求和法【应用3】 求数列1＋1，1a ＋4，1a 2＋7，1a 3＋10，…，1an －1＋(3n －2)，…的前n 项和．提示：本题通项公式为a n ＝1an －1＋(3n －2)，是一个指数式和一个一次式的和组成的，可以选择拆项分组求和法．解：设数列的通项为a n ，前n 项和为S n ，则 a n ＝1an －1＋(3n －2)，∴S n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ＋1a2＋…＋1a n －1＋[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]．当a ＝1时，S n ＝n ＋(1＋3n －2)n 2＝3n 2＋n2．当a ≠1时，S n ＝1－1a n1－1a＋(1＋3n －2)n 2＝a n －1a n －a n －1＋(3n －1)n2．(四)错位相减法【应用4】 已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．提示：(1)中利用基本量法列出关于a 1与d 的方程组即可求出a n ；(2)利用错位相减法．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n ．(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n ．所以，当n >1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n ．所以S n ＝n2n －1．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1．(五)裂项相消求和法【应用5】 求数列112＋2，122＋4，132＋6，142＋8，…的前n 项和．提示：先找出数列的通项公式a n ＝1n 2＋2n ，结合其结构形式将1n 2＋2n 化为1n (n ＋2)即可进行裂项相消求和．解：因为通项a n ＝1n 2＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以此数列的前n 项和S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)． 专题三 数列与数学思想数学思想方法对认知结构起着重要作用，是重要的基础知识，是知识转化为能力的桥梁．求解数列问题常用的数学思想有函数思想、方程思想、整体思想、分类讨论思想、转化思想等．(一)函数思想【应用1】 等差数列{a n }的首项为a 1＝14，前n 项和为S n ，若S 3＝S 5，则当n ＝__________时，S n 最大．提示：本题利用了等差数列前n 项和具有的二次函数性质，等差数列前n 项和的最值问题经常借助求解二次函数最值的方法来解决．解析：∵数列{a n }为等差数列，a 1＝14，S 3＝S 5，得3a 1＋3×22d ＝5a 1＋5×42d ． ∴d ＝－27a 1＝－4．∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d＝14n ＋n (n －1)2·(－4)＝－2n 2＋16n ．注意到函数y ＝－2x 2＋16x 的对称轴是x ＝－162×(－2)＝4．又∵n ∈N ＋，∴n ＝4时，S n 最大． 答案：4 (二)方程思想【应用2】 已知在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝26，a 1＋a 5－S 3＝5，求a 20及S 20． 提示：等差(比)数列的有关问题大都可以建立关于a 1，d (q )的方程组求解． 解：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 5＝26a 1＋a 5－S 3＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 5＝26，S 3＝21，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝26，3a 1＋3d ＝21.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝6.∴a 20＝a 1＋19d ＝1＋19×6＝115，S 20＝a 1＋a 202×20＝1 160．(三)整体思想【应用3】 某等差数列前4项之和为－4，最后4项之和为36，且所有项的和为36，则此数列共有______项．提示：解题时，分析已知条件与所求问题的联系，把a 1＋a 2＋a 3＋a 4以及a n ＋a n －1＋a n -2＋a n －3看成一个整体，灵活运用整体思想．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－4a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝36⇒4(a 1＋a n )＝32， ∴a 1＋a n ＝8． 又∵S n ＝n (a 1＋a n )2＝36，∴4n ＝36．∴n ＝9，即该数列共有9项． 答案：9(四)分类讨论思想【应用4】 已知等比数列{a n }是一个公比为q 的递增数列，且a 5＝a ，a 9＝a81，则该数列的首项a 1______0．(选填“＞”或“＜”)提示：当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论．在本题中，由于等比数列的增减性与a 1，q 相关，所以应对q 的取值进行讨论．解析：∵a n ＝a m qn －m，∴qn －m＝a na m，q 4＝a 9a 5＝181， ∴q 2＝19．∴q ＝±13．当q ＝－13时，显然数列为摆动数列，不合题意，舍去．当q ＝13时，a n ＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1．∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x为减函数，∴当a 1<0时，a n 单调递增． 答案：<。

2.1.1 数列1.理解数列的概念.(重点)2.掌握数列的通项公式及应用.(重点)3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 数列的定义及分类阅读教材P25第一行～P25倒数第5行，及P26例1上面倒数第一、二自然段，完成下列问题.1.数列的概念及一般形式2.数列的分类判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1,7,0,11，－3，…，－1 000不构成数列.( )(2){a n}与a n是一样的，都表示数列.( )(3)数列1,0,1,0,1,0，…是常数列.( )(4)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列.( )【解析】(1)×.因为只要按一定次序排成的一列数就是一个数列，所以1,7,0,11，－3，…，－1 000是一个数列.(2)×.因为{a n}代表一个数列，而a n只是这个数列中的第n项，故{a n}与a n是不一样的.(3)×.因为各项相等的数列为常数列，而1,0,1,0,1,0，…为摆动数列，而非常数列.(4)×.两个数列只有项完全相同，且排列的次序也完全相同才称为同一个数列，数列1,2,3,4与1,2,4,3虽然所含项相同，但各项排列次序不同，故不是同一个数列.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×教材整理2 数列与函数的关系阅读教材P25倒数第5行～P26倒数第4自然段，完成下列问题.1.数列的通项公式如果数列{a n}的第n项a n与n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.2.数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：1.下列四个数中，哪个是数列{n(n＋1)}中的一项( )A.380B.392C.321D.232【解析】因为19×20＝380，所以380是数列{n(n＋1)}中的第19项.应选A.【答案】 A2.数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通项公式是a n ＝( ) A.19(10n－1) B.13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110nC.29(10n－1) D.310(10n－1) 【解析】 1－1101＝0.9,1－1102＝0.99，…，故原数列的通项公式为a n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n .应选B.【答案】 B3.观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1, 3， 5， 7，________，11，…. 【解析】 据规律填写可知通项为a n ＝2n －1，∴a 5＝3. 【答案】 34.数列{a n }满足a n ＝log 2(n 2＋3)－2，则log 23是这个数列的第________项. 【解析】 令a n ＝log 2(n 2＋3)－2＝log 23，解得n ＝3. 【答案】 3[小组合作型]①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016； ②1，12，14，…，12n －1，…；③1，－23，35，…，－n －1·n 2n －1，…；④1,0，－1，…，sinn π2，…；⑤2,4,8,16,32，…； ⑥－1，－1，－1，－1.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________.(填序号)【精彩点拨】 紧扣有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，常数列及摆动数列的定义求解.【自主解答】 ①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列.【答案】 ①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性； ②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)； ③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物. 2.判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限.[再练一题] 1.给出下列数列：(1)2006～2013年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.(2)无穷多个3构成数列3， 3， 3， 3，….(3)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2,4，－8,16，－32，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________.【解析】 (1)为有穷数列；(2)(3)是无穷数列，同时(1)也是递增数列；(2)为常数列；(3)为摆动数列.【答案】 (1) (2)(3) (1) (2) (3)(1)12，2，92，8，252，…； (2)9,99,999,9 999，…；(3)22－11，32－23，42－35，52－47，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，….【精彩点拨】 先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子与分母的关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出通项公式.【自主解答】 (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以，它的一个通项公式为a n ＝n22(n ∈N ＋).(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为a n ＝10n－1(n ∈N ＋).(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n －1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n ＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n 表示，综上，原数列的通项公式为a n ＝n ＋2－n 2n －1(n ∈N ＋).(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n1nn ＋(n ∈N ＋).1.据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.2.观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n ＋1来调整.[再练一题]2.写出下列数列的一个通项公式：【导学号：18082015】(1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)112，223，334，445，…；(4)1,11,111,1 111，….【解】 (1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2－1(n ∈N ＋).(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)(n ∈N ＋).(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为nn ＋1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋nn ＋1＝n 2＋2nn ＋1(n ∈N ＋).(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列9,99,999,9999，…的一个通项公式为a n ＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为a n ＝19(10n －1)(n ∈N ＋).[探究共研型]探究1 数列2，4，8，16，32，…的通项公式是什么？该数列的第7项是什么？256是否为该数列中的一项？为什么？【提示】 由数列各项的特点可归纳出其通项公式为a n ＝2n －12n ，当n ＝7时，a 7＝27－127＝127128，若255256为该数列中的一项，则2n－12n ＝255256，解得n ＝8，所以255256是该数列中的第8项. 探究2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋2n ＋1，该数列的图象有何特点？ 试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项.【提示】 由数列与函数的关系可知，数列{a n }的图象是分布在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项.已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1. (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内.【精彩点拨】 (1)将n ＝10代入数列的通项公式即可.(2)由9n 2－9n ＋29n 2－1＝98101求得n (n ∈N ＋)是否有正整数解即可.(3)求函数a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1的值域即可.【自主解答】 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1 ＝n －n －n －n ＋＝3n －23n ＋1. (1)令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项.(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N ＋，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.即数列中的各项都在区间(0,1)内.1.由通项公式写出数列的某几项.主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值.2.判断一个数是否为该数列中的项.其方法是由通项公式等于这个数解出n ，根据n 是否为正整数便可确定这个数是否为数列中的项.3.在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N ＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n })这一约束条件.[再练一题]3.已知数列的通项公式为a n ＝n 2＋2n －5. (1)写出数列的前三项；【导学号：18082016】(2)判断数列{a n }的单调性.【解】 (1)数列的前三项：a 1＝12＋2×1－5＝－2；a 2＝22＋2×2－5＝3； a 3＝32＋2×3－5＝10.(2)∵a n ＝n 2＋2n －5，∴a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋2(n ＋1)－5－(n 2＋2n －5) ＝n 2＋2n ＋1＋2n ＋2－5－n 2－2n ＋5 ＝2n ＋3.∵n ∈N ＋，∴2n ＋3>0，∴a n ＋1>a n . ∴数列{a n }是递增数列.1.下列说法正确的是( )A.数列1,3,5,7，…，2n －1可以表示为1,3,5,7，…B.数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C.数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1kD.数列0,2,4,6,8，…可记为{2n }【解析】 A 错，数列1,3,5,7，…，2n －1为有穷数列，而数列1,3,5,7，…为无穷数列；B 错，数的次序不同就是两个不同的数列；C 正确，a k ＝1＋k k ＝1＋1k；D 错，a n ＝2n －2.【答案】 C2.在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于( ) A.11 B.12 C.13D.14【解析】 观察数列可知，后一项是前两项的和，故x ＝5＋8＝13. 【答案】 C3.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋－n ＋12，则该数列的前4项依次为( )A.1,0,1,0B.0,1,0,1C.12，0，12，0 D.2,0,2,0【解析】 当n 分别等于1,2,3,4时，a 1＝1，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0. 【答案】 A4.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋n ，那么110是它的第________项. 【导学号：18082017】【解析】 令2n 2＋n ＝110，解得n ＝4或n ＝－5(舍去)，所以110是该数列的第4项. 【答案】 45.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n .(1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由. 【解】 (1)因为a n ＝3n 2－28n ， 所以a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0， ∴n ＝7或n ＝73(舍).∴－49是该数列的第7项， 即a 7＝－49.令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0， ∴n ＝－2或n ＝343.∵－2∉N ＋，343∉N ＋，∴68不是该数列的项.。

2．1.1 数 列学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．知识点一 数列及其有关概念思考1 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？思考2 数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？梳理 (1)按照______________排列起来的__________称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的____．数列中的每一项都和它的序号有关，各项依次叫做这个数列的________________，__________，…，__________，….(2)数列的一般形式可以写成________________________________，简记为____________． (3)按项数分类，项数有限的数列叫做________数列，项数无限的数列叫做________数列． (4)按项的大小变化分类，从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做________________；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做____________；各项都相等的数列叫做__________．知识点二 通项公式思考1 数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？思考2 a n ＝(－1)n ＋1与a n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋n π，n ∈N ＋是否表示同一个数列？梳理如果数列的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．不是所有数列都能写出通项公式，若数列有通项公式，通项公式表达式不一定唯一．知识点三数列与函数的关系思考数列{a n}用表格形式给出如下：n 12345…a n112131415…在平面直角坐标系中描出点(n，a n)，n＝1,2,3,4,5.这些点都在哪个函数图象上？梳理如图，数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．因此，数列除了用通项公式表示，也可以用图象、列表等方法来表示．类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－12，13，－14；(2)12，2，92，8，252；(3)9,99,999,9 999；(4)2,0,2,0.反思与感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将a n 表示为n 的函数关系．跟踪训练1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－11×2，12×3，－13×4，14×5；(2)22－12，32－13，42－14，52－15；(3)7,77,777,7 777.类型二数列通项公式的应用命题角度1 考查对应关系例2 已知数列{a n}的通项公式a n＝－1n n＋12n－12n＋1，n∈N＋.(1)写出它的第10项；(2)判断233是不是该数列中的项．引申探究对于例2中的{a n}．(1)求a n＋1；(2)求a2n.反思与感悟在通项公式a n＝f(n)中，a n相当于y，n相当于x.求数列的某一项，相当于已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1nn ＋2(n ∈N ＋)，那么1120是这个数列的第______项．命题角度2 考查单调性、最值 例3 已知函数f (x )＝x －1x，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋)． (1)求证：a n <1；(2){a n }是递增还是递减数列？为什么？反思与感悟 数列是一种特殊的函数，可以用函数的知识求解数列中的最值，但要注意它的定义域是N ＋或它的子集{1,2，…，n }这一约束条件．跟踪训练3 数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)·(1011)n(n ∈N ＋)，写出数列的第7项，第8项，第10项，并求出数列中的最大项．1．下列叙述正确的是( )A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n} C．数列0,1,0,1，…是常数列D．数列{nn＋1}是递增数列2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )A．a n＝n B．a n＝n＋1C．a n＝n＋2 D．a n＝2n3．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1，－3,5，－7,9，…；(2)0.8,0.88,0.888，…；(3)0,1,0,1，….4．已知数列{a n}的通项为a n＝－2n2＋29n＋3，求数列{a n}中的最大项．1．数列的概念的理解(1)数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上．数列可以看成是以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数，即自变量的取值必须是正整数，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．(2)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(3)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：①确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．②可重复性：数列中的数可以重复．③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．数列的通项公式(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2，…，n}为定义域的函数的表达式．(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项，如果是的话，是第几项．(3)像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．(4)有的数列的通项公式，形式上不一定唯一．(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列的通项公式并不唯一．答案精析问题导学 知识点一思考1 不是．顺序不一样．思考2 数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．梳理 (1)一定次序 一列数 项 第1项(或首项) 第2项 第几项 (2)a 1，a 2，a 3，…，a n ，… {a n } (3)有穷 无穷(4)递增数列 递减数列 常数列 知识点二思考1 100.由前四项与它们的序号相同，猜第n 项a n ＝n ，从而第100项应为100. 思考2 是，它们都表示数列1，－1,1， －1，…. 知识点三 思考这些点都在y ＝1x的图象上．题型探究 类型一例1 解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负， 所以它的一个通项公式为a n ＝－1n ＋1n，n ∈N ＋.(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22，n ∈N ＋.(3)各项加1后，变为10,100,1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n－1，n ∈N ＋.(4)这个数列的前4项构成一个奇数项是2，偶数项是0的数列，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1＋1，n ∈N ＋.跟踪训练1 解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以，它的一个通项公式为a n ＝－1nn ×n ＋1，n ∈N ＋.(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋12－1n ＋1，n ∈N ＋.(3)这个数列的前4项可以变为79×9，79×99，79×999，79×9 999，即79×(10－1)，79×(100－1)， 79×(1 000－1)，79×(10 000－1)， 即79×(10－1)，79×(102－1)， 79×(103－1)，79×(104－1)， 所以它的一个通项公式为a n ＝79×(10n－1)，n ∈N ＋.类型二 命题角度1例2 解 (1)a 10＝－110×1119×21＝11399.(2)令n ＋12n －12n ＋1＝233，化简得8n 2－33n －35＝0， 解得n ＝5(n ＝－78舍去)．当n ＝5时，a 5＝－233≠233.所以233不是该数列中的项．引申探究解 (1)a n ＋1＝－1n ＋1[n ＋1＋1][2n ＋1－1][2n ＋1＋1]＝－1n ＋1n ＋22n ＋12n ＋3.(2)a 2n ＝－12n2n ＋1[2×2n －1][2×2n ＋1]＝2n ＋14n －14n ＋1.跟踪训练2 10 命题角度2例3 (1)证明 因为a n ＝n －1n ＝1－1n，又因为n ∈N ＋， 所以1≥1n>0.因此a n <1.(2)解 {a n }是递增数列． 因为a n ＋1－a n ＝(1－1n ＋1)－(1－1n) ＝1n n ＋1，又因为n ＋1>n ≥1， 所以a n ＋1－a n >0， 即a n ＋1>a n ，所以{a n }是递增数列． 跟踪训练3解 ∵a n ＝(n ＋1)·(1011)n，∴a 7＝8·(1011)7，a 8＝9·(1011)8，a 10＝11·(1011)10，∴{a n }中每一项都是正数． 令a na n －1≥1(n ≥2)，百度文库 - 让每个人平等地提升自我 11 即n ＋1·1011n n ·1011n －1≥1，整理得n ＋1n ≥1110，解得n ≤10， 即a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10.令a n a n ＋1≥1，即n ＋1·1011n n ＋2·1011n ＋1≥1， 整理得n ＋1n ＋2≥1011， 解得n ≥9，∴a 9＝a 10>a 11>a 12>…，∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{a n }先递增，后递减．∴可知a 9＝a 10＝1010119最大． 当堂训练1．D 2.B3．解 (1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)，n ∈N ＋.(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，所以该数列的一个通项公式为a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n . (3)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0 n 为奇数1 n 为偶数或a n ＝1＋－1n 2 (n ∈N ＋)或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N ＋)． 4．a 7＝108。

第二章数列整体设计教学分析本章知识网络本章复习建议本章教材的呈现方式决定了本章的复习方法，一方面让学生体会数列是一种特殊函数，加深对函数概念和性质的理解，对数列的本质有清晰的认识和把握；另一方面，通过数列概念引入以及数列应用的过程，体会数列问题的实际应用．数列可以看成是定义域为正整数集N*(或它的有限子集)的函数，当自变量顺次从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的函数解析式．由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图象是一些孤立的点．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们各有五个基本量：首项a1、公差d或公比q、项数n、通项a n、前n项和S n；两个基本公式——通项公式和前n项和公式将这五个基本量连接起来，应用函数与方程的思想方法，认识这些基本量的相互联系，由已知推求未知，构成了数列理论的基本框架，成为贯穿始终的主线．本章的重点是等差和等比数列的基本性质及其应用，难点是等差和等比数列的基本性质的综合应用．因此注意等差、等比数列与相应函数的关系也就成了复习的重点．数列在高考中占有重要的位置，也是高考命题的热点之一．由于数列内容的丰富性、应用的广泛性和思想方法的多样性，决定了数列在高考中地位的特殊性．这就要求我们在数列复习中，要重视基础知识和方法的学习，理解和掌握等差与等比数列的基本性质，帮助学生自我架构数列知识框架，提高综合运用数列知识和方法的能力．数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心，应弄清通项公式的意义——项数n的函数；理解通项公式的作用——可以用通项公式求数列的任意一项的值，及对数列进行一般性的研究．数列的递推式是数列的另一种表达形式，常见方法有错位相减法、裂项相消法、分解转化法、倒序相加法，若涉及正负相间的数列求和常需分类讨论．在处理这类问题的时候要注意项数．数列一章是高中多个数学知识点的交汇，也是多个数学思想方法的聚会，因此本章教学要善于挖掘教材内容的延伸和拓展．本章小结中的题目，缺少代数、三角和几何的综合的基本练习题，在设计的例题中有所涉及．但仍不够，可再适当增加些．如三角形的三内角成等差数列等问题的探究．本章复习将分为两课时，第1课时重点是系统化本章知识结构，优化解题思路和解题方法，提升数学表达的能力；第2课时重点是灵活运用数列知识解决与数列有关的问题．为更好地理解教学内容，可借助信息技术复习本章内容．通过现代教育技术手段，给学生展示一个更加丰富多彩的“数列”内容．本章《新课程标准》要求是：1.数列的概念和简单表示法．通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数.2.等差数列、等比数列．(1)通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；(2)探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式；(3)能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；(4)体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．三维目标1．通过本章复习，使学生理清本章知识网络，归纳整合知识系统，突出知识间内在联系，能用函数观点进一步认识数列．2．提高学生综合运用知识的能力，分析问题、解决问题的能力；培养学生自主复习及归纳的意识，激励学生思维创新．3．认识事物间的内在联系和相互转化，培养探索、创新精神．重点难点教学重点：等差数列、等比数列的概念、通项、前n项和，及它们之间的内在联系；灵活应用数列知识解决问题．教学难点：用函数的观点认识数列并用数列知识灵活解决实际问题．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.让学生阅读课本的小结内容．根据教材内容的呈现方式回答有关问题，同时也给学生以数列整体知识结构的记忆．由此展开新课．(幻灯片)思路 2.本章是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列——等差数列、等比数列的研究，然后让学生根据本章学习的进程，回忆本章学习了哪些主要内容？用到了哪些思想方法？本章知识流程图留给学生自己操作．相比之下，这种引入对学生的思维要求较高，难度大，但却更能训练学生的创造性思维．教师可结合学生的活动出示相关多媒体课件．推进新课新知探究提出问题1怎样理解函数与数列的关系？2回忆等差数列、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质各是什么？3回忆“叠加法”“累乘法”“倒序相加法”“错位相减法”的含义是什么？4对任意数列{a n}，若前n项和为S n，则a n与S n具有怎样的关系？怎样理解这个关系式？它有哪些应用？活动：教师引导学生充分探究，自行总结，不要将归纳总结变成课堂上的独角戏，辅助课件可制成如下表格形式：数列等差数列等比数列定义通项公式递推公式性质前n项和公式点拨学生注意，重新复习数列全章更应从函数角度来认识数列，这是学好数列、居高临下地把握数列的锦囊妙计．深刻认识数列中数的有序性是数列定义的灵魂．数列可以看成是定义域为正整数集N*(或它的有限子集)的函数，当自变量顺次从小到大依次取值时，对应的一列函数值．而数列的通项公式则是相应的函数解析式．反映到图象上，由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图象是一些孤立的点，所以说数列是一类特殊的函数，复习本章应突出数列的这一函数背景．对两类特殊数列——等差数列与等比数列的函数理解则是：等差数列是一次型函数，是最简单的递推数列；等比数列是指数型函数．它们具有函数的一般性质，都借助了数形结合的思想研究问题．关于等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的推导方法以及“叠加法”“累乘法”等，可由学生回忆并进一步理解，这里不再一一列出．教师应特别引导学生关注a n与S n的关系．对于任何数列{a n}，若前n项和为S n，则a n＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，S n －S n －1，n ＝1，n≥2，常因忽略对n ＝1的讨论或忽略n≥2这一条件而出错．这个关系式要深刻理解并灵活运用．用此关系式求a n 时，若S 1满足S n －S n －1的形式，则用统一的形式表示通项公式a n .若S 1不满足S n －S n －1的形式，则分段表示通项公式a n .因此这个关系式的应用有两个方面：既可用此式求通项公式a n ，又可将a n 转化为S n －S n －1的形式解决问题．应让学生明确用本章知识主要解决的问题是： ①对数列概念(包括通项、递推等)理解的题目；②等差数列和等比数列中五个基本量a 1，a n ，d(q)，n ，S n 知三求二的方程问题； ③数列知识在生产实际和社会生活中的应用问题． 讨论结果：(1)～(4)略．应用示例例1设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，求q 的值． 活动：这是一道关于等差数列与等比数列的基本概念和基本性质的题，起点比较低，入手的路子宽．让学生独立思考，列式、求解，组织学生交流不同的解题思路，概括出典型的解题方法．解法一：利用定义，∵{S n }是等差数列， ∴a n ＝S n －S n －1＝…＝S 2－S 1＝a 2. ∴a 1·qn －1＝a 1·q.∵a 1≠0，∴qn －2＝1.∴q＝1.解法二：利用性质，∵{S n }是等差数列，∴a n ＝S n －S n －1＝S n －1－S n －2＝a n －1， a 1·qn －1＝a 1·qn －2.∵a 1≠0，q≠0，∴q＝1.解法三：利用性质，∵2S 2＝S 1＋S 3，∴2(a 1＋a 2)＝a 1＋a 1＋a 2＋a 3， 即a 2＝a 3.∴q＝1.点评：还可以用求和公式、反证法等． 变式训练设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则 S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3 答案：A解析：方法一：设等比数列的公比为q ，则S 10＝S 5＋S 5·q 5，S 15＝S 5＋S 5·q 5＋S 5·q 10， 由S 10∶S 5＝1∶2，得1＋q 5＝12，q 5＝－12，∴S 15∶S 5＝1＋q 5＋q 10＝12＋14＝34.方法二：∵S 10∶S 5＝1∶2，∴S 10＝12S 5.∵(S 10－S 5)2＝(S 15－S 10)S 5， ∴(－12S 5)2＝(S 15－12S 5)S 5.∴S 15S 5＝34. 例2设数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n ＋4(n∈N *)． (1)写出这个数列的前三项；(2)证明数列除去首项后所成的数列a 2，a 3，…，a n ，…是等差数列．活动：学生很容易解决第(1)题，第(2)题是要证明一个数列是等差数列，这里的关键是要注意条件中的“除去首项后”．(1)解：a 1＝S 1＝7，a 2＝S 2－S 1＝22＋2×2＋4－7＝5，a 3＝S 3－S 2＝32＋2×3＋4－(7＋5)＝7，即a 1＝7，a 2＝5，a 3＝7.(2)证明：∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ＞1，∴当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n ＋4－[(n －1)2＋2(n －1)＋4]＝2n ＋1. a n ＋1－a n ＝2(定值)，即数列{a n }除去首项后所成的数列是等差数列．点评：注意书写步骤的规范，理解第(2)题中n ＞1时的讨论，准确表达推理过程，理解重要关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，S n －S n －1，n ＝1，n≥2的应用．例3设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0， (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．活动：这是一道经典考题，很有训练价值．教师引导学生观察题目条件及结论，寻找解题的切入点，鼓励学生多角度思考．对于第(1)个问题，目标是关于d 的范围的问题，故应当考虑到合理地选用等差数列的前n 项和的哪一个公式．其次，条件a 3＝12可以得出a 1与d 的关系，列式中可以用来代换掉另一个量，起到减少未知量的作用．在教师的引导下，列出式子，将问题化归为一个关于d 的不等式．对第(2)个问题的思考，可以有较多的角度，让学生合作探究，充分挖掘题目中的条件，寻找更好的思路．积极活动，在交流中受到启发，得到自己的成功的解法．教师收集、整理出学生的不同思路，公布优秀的思考方法和解题过程．解：(1)依题意有S 12＝12a 1＋12×12×11d＞0，S 13＝13a 1＋12×13×12d＜0，即2a 1＋11d ＞0，① a 1＋6d ＜0.②由a 3＝12，得a 1＝12－2d ，③将③式分别代入①②式，得24＋7d ＞0且3＋d ＜0， ∴－247＜d ＜－3为所求．(2)方法一：由(1)知d ＜0，∴a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13，因此，若在1≤n≤12中存在自然数n ，使得a n ＞0，a n ＋1＜0，则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．由于S 12＝12a 1＋12×12×11d＝6(2a 1＋11d)＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝13a 1＋12×13×12d＝13(a 1＋6d)＝13a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0.故在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大． 方法二：S n ＝na 1＋12n(n －1)d＝n(12－2d)＋12(n 2－n)d＝d2(n －5－24d 2)2－d5－24d 28.∵d＜0，∴(n－5－24d 2)2最小时，S n 最大．而当－247＜d ＜－3时，有6＜5－24d 2＜6.5，且n∈N ，∴当n ＝6时，(n －5－24d 2)2最小，即S 6最大．方法三：由d ＜0，可知a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13，因此，若在1≤n≤12中存在自然数n ，使得a n ＞0，a n ＋1＜0， 则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．由S 12＞0，S 13＜0，有 12a 1＋12×12×11d＞0⇒a 1＋5d ＞－d2＞0； 13a 1＋12×13×12d＜0⇒a 1＋6d ＜0.∴a 6＞0，a 7＜0.故在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大． 方法四：同方法二得S n ＝d2(n －5－24d 2)2－d5－24d 28.∵d＜0，故S n 的图象是开口向下的一条抛物线上的一些点，注意到S 0＝0，且S 12＞0，S 13＜0，知该抛物线与横轴的一个交点是原点，一个在区间(12,13)内，于是抛物线的顶点在(6,6.5)内，而n∈N ，知n ＝6时，有S 6是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．点评：解完本例后，教师引导学生反思解法，充分发挥本例的训练功能．第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不大．第(2)问难度较高，为求{S n }中的最大值．方法一是知道S k 为最大值的充要条件是a k ≥0且a k ＋1＜0；方法二是可视S n 为n 的二次函数，借助配方法求解．它训练了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点；而方法三则是通过等差数列的性质，探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解．例4已知数列{a n }为12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，若b n ＝1a n a n ＋2，求{b n }的前n项和S n .活动：教师点拨学生解决问题的关键是找出数列的通项，根据数列的通项特点寻找解决问题的方法．显然a n ＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2，b n ＝1a n a n ＋2＝4n n ＋2＝2(1n －1n ＋2)． 由此问题得以解决．解：由题意，知a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋2＝4nn ＋2＝2(1n －1n ＋2)． ∴S n ＝2(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＝2(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝3n 2＋5nn ＋1n ＋2.点评：本例巩固了数列的求和知识方法，通过探究，明确解决问题的关键是先从分析通项公式入手，找出规律，再用裂项法求解．变式训练等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n的值．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d ＞0.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 2b 2＝6＋d q ＝64，S 3b 3＝9＋3d q 2＝960，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403(舍去)．故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n(n ＋2)， 所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n n ＋2＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2) ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2.知能训练设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝lna 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋3＋a 3＋42＝3a 2.解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q.又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，∴q＝2. ∴a 1＝1.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由于b n ＝lna 3n ＋1，n ＝1,2，…， 由(1)得a 3n ＋1＝23n，∴b n ＝ln23n＝3nln2. ∴{b n }是等差数列． ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝nb 1＋b n2＝n 3ln2＋3nln22＝3nn ＋12ln2. 课堂小结1．由学生自己总结本节复习的内容与方法，回顾通过本节复习，对数列的认识提升了哪些？都有哪些收获？2．等差数列与等比数列涉及的知识面很宽，与其他内容的交汇较多，但不管怎样变化，只要抓住基本量，充分运用方程、函数、化归等数学思想方法，合理选用相关知识，任何问题都能迎刃而解．作业课本本章小结巩固与提高3、4、5.设计感想1．本教案设计加强了学生学习的联系．数学学习绝不是孤立的学习，数学学习的联系性表现为两个方面，一方面是数学与现实生活的联系，另一方面是数学内部之间的联系，表现为数学知识内容之间的相互联系．本教案设计充分体现了这一数学学习特征．2．本教案设计加强了学生的数学探索活动．数学学习不是简单的镜面式反映，而是经过观察、实验、猜测、归纳、类比、抽象、概括等过程，经过交流、反思、调整等完成的．本章内容的复习设计，充分体现了学生是学习的主体这一特点，给学生留有了充分发挥和自主学习的空间．3．本教案设计突出了数学思想方法的训练，尤其突出了一般到特殊、特殊到一般的思想方法，函数思想、类比思想贯穿整章内容．另外还有数形结合思想、方程思想等．第2课时导入新课思路 1.(直接导入)上一节课我们总结了数列的有关概念、方法、公式等．本节继续通过例题探究、变式训练等活动，进一步加深和提高解决问题的灵活性．要求通过本节复习，对等差、等比数列有更深刻的理解，逐渐形成灵活熟练的解题技能．思路2.(练习导入)通过以下练习、讲评作为新课的切入点．某养猪场养的猪，第一年猪的重量增长率是200%，以后每年的重量增长率都是前一年增长率的12.(1)当饲养4年后，所养的猪的重量是原来的多少倍？(2)如果由于各种原因，猪的重量每年损失预计重量的10%，那么经过多少年后，猪的重量开始减少？解：(1)依题意，猪的重量增长率成等比数列， ∴设原来猪重为a ，则四年后为a·(1＋200%)(1＋2·12)(1＋2·12·12)(1＋2·12·12·12)＝454a.答：4年后猪的重量是原来的454倍．(2)由a n ≥a n ＋1知a n ≥a n (1＋12n －1)(1－10100)，得2n －1≥9，∴n≥5.故5年后猪的重量会减少． 推进新课新知探究 提出问题1等差数列、等比数列有哪些重要性质？怎样运用这些性质快速解题？ 2怎样建立数列模型解决实际问题？3在具体的问题情境中，怎样识别数列的等差关系或等比关系，并用有关知识解决相应的问题？活动：教师引导学生对所学等差、等比数列的性质进行回忆，特别提示学生在使用等差数列与等比数列的性质解决问题时，一定要注意下标的起始以及下标间的关系，防止误用性质或求错结果．等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，巧用性质、减少运算量在等差、等比数列的计算中非常重要．应用等差、等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体解决．能够在运算时达到运算灵活、方便、快捷的目的，因而一直受到重视，高考中也一直作为重点来考查．数列应用题大致可分为三类：一类是有关等差数列的应用题，这类问题在内容上比较简单，建立等差数列模型后，问题常常转化成整式或整式不等式处理，计算较容易；二类是有关等比数列的应用题，这类问题建立模型后，弄清项数是关键，运算中往往要运用指数或对数不等式，常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算，对其结果要按要求保留一定的精确度，注意答案要符合题设中实际问题的意义；三类是有关递推数列中可化成等差、等比数列的问题，这类问题要掌握将递推数列化成等差、等比数列求解的方法．解决数列应用题的一般方法步骤与解其他应用题相似．(1)审题，明确问题属于哪类应用题，弄清题目中的已知量，明确所求的结论是什么．(2)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来．(3)明确是等差数列模型还是等比数列模型，还是递推数列模型，是求a n ，还是求S n ，n 是多少．国民经济发展中的大量问题：如人口增长，产量增加，土地减少，成本降低，存款利息，购物(如车子、房子)中的定期付款，经济效益等应用问题，都是数列所要解决的问题．因此，数列的有关知识，在应用上有着广泛的前景和用武之地．讨论结果：(1)(3)略．(2)建立数列模型的关键是分析题中已知量与未知数据之间的关系．应用示例例1已知公差不为零的等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3.试问：是否存在常数a 、b ，使得对于一切自然数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由．活动：教师引导学生观察本题的条件，与学生一起探究．由于本题涉及到两个数列{a n }和{b n }之间的关系，而已知中的三个等式架起了两个数列间的桥梁，要想研究a n 、b n 的性质，应该先抓住数列中的什么量呢？由于{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，所以应该先抓住基本量a 1、d 和q.由已知a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3，可以列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝q ，1＋7d ＝q 2.解出d 和q ，则a n 、b n 就确定了．进一步探究：如果a n 和b n 确定了，那么a n ＝log a b n ＋b 就可以转化成含有a 、b 、n 的方程，如何判断a 、b 是否存在呢？如果通过含有n 、a 、b 的方程解出a 和b ，那么就可以说明a 、b 存在；如果解不出a 和b ，那么解不出的原因也就是a 和b 不存在的理由．解：设等差数列{a n }的公差为d(d≠0)，等比数列{b n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝q ，1＋7d ＝q 2.解得d ＝5，q ＝6.所以a n ＝5n －4，而b n ＝6n －1.若存在常数a 、b ，使得对一切自然数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立，即5n －4＝log a 6n －1＋b ，即5n －4＝(n －1)log a 6＋b ，即(log a 6－5)n ＋(b －log a 6＋4)＝0对任意n∈N *都成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧log a 6－5＝0，b －log a 6＋4＝0成立．解得a ＝615，b ＝1.所以存在常数a 、b ，使得对于一切自然数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立．点评：本题的关键是抓住基本量：首项a 1和公差d 、公比q ，因为这样就可以求出a n和b n 的表达式．a n 和b n 确定，其他的问题就可以迎刃而解．可见，抓住基本量是解决等差数列和等比数列综合问题的关键．变式训练已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ＋n ，n 为奇数，a n －2n ，n 为偶数.(1)求a 2，a 3；(2)当n≥2时，求a 2n －2与a 2n 的关系式，并求数列{a n }中偶数项的通项公式． 解：(1)a 2＝32，a 3＝－52.(2)∵a 2n －2＋1＝a 2n －2－2(2n －2)， 即a 2n －1＝a 2n －2－2(2n －2)． ∵a 2n －1＋1＝12a 2n －1＋(2n －1)，即a 2n ＝12a 2n －2－(2n －2)＋(2n －1)，∴a 2n ＝12a 2n －2＋1.∴a 2n －2＝12(a 2n －2－2)．∴a 2n ＝－(12)n ＋2(n∈N *)．例2设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与1的等差中项等于S n 与1的等比中项，求数列{a n }的通项公式．活动：教师引导学生将文字语言转化为数学语言，即a n ＋12＝S n ，然后通过a n 与S n 的关系求通项．解：方法一：依题意，有S n ＝a n ＋124，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝14[(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2]．∴(a n ＋1－1)2－(a n ＋1)2＝0， 即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0. ∵a n ＞0， ∴a n ＋1－a n ＝2.又a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝2n －1.方法二：∵a n ＋12＝S n ，∴S 1＝a 1＝1.当n≥2时，2S n ＝a n ＋1，即2S n ＝S n －S n －1＋1， 即(S n －1)2－(S n －1)2＝0，∴(S n －S n －1－1)(S n ＋S n －1－1)＝0. 又∵a n ＞0，S 1＝1， ∴S n ＋S n －1－1≠0. ∴S n －S n －1＝1. ∴S n ＝n.从而a n ＝2S n －1＝2n －1.点评：利用数列通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n≥2，与题设条件建立递推关系是本题求解的关键．例3已知数列{a n }满足3S n ＝(n ＋2)a n (n∈N *)，其中S n 为前n 项的积，a 1＝2. (1)证明数列{a n }的通项公式为a n ＝n(n ＋1)． (2)求数列{1a n}的前n 项和T n .(3)是否存在无限集合M ，使得当n∈M 时，总有|T n －1|＜110成立？若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由．活动：教师引导学生分析题目中的已知条件：a n 与S n 的关系，结合题目中的结论，显然需利用a n ＝S n －S n －1(n≥2)消去S n ，由此打开解题的通道．可让学生自己探究操作，教师适时地给予点拨．解：(1)证明：由3S n ＝(n ＋2)a n ，得3S n －1＝(n ＋1)a n －1(n≥2)． 两式相减，得3a n ＝(n ＋2)a n － (n ＋1)a n －1， 即(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1， ∴a n a n －1＝n ＋1n －1(n≥2)． ∴a n －1a n －2＝n n －2(n≥3)，…，a 3a 2＝42，a 2a 1＝31，a 1＝2. 叠乘，得a n ＝n(n ＋1)(n∈N *)． (2)1a n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.(3)令|T n －1|＝|n n ＋1－1|＝1n ＋1＜110，得n ＋1＞10，n ＞9.故满足条件的M 存在，M ＝{n|n ＞9，n∈N *}．例4已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，数列{ak n }是公比为q 的等比数列，且k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n 的值．活动：教师引导学生观察本题条件，共同探究．本题可把k 1＋k 2＋…＋k n 看成是数列{k n }的求和问题，这样我们着重考查{k n }的通项公式，这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”．从寻找新旧数列的关系着手，即可找到解决问题的切入点，使问题迎刃而解．解：设数列{a n }的公差为d ，d≠0， 则a 5＝a 1＋4d ，a 17＝a 1＋16d. 因为a 1，a 5，a 17成等比数列，则(a 1＋4d)2＝a 1(a 1＋16d)，即2d 2＝a 1d. 又d≠0，则a 1＝2d.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2d ＋(n －1)d ＝(n ＋1)d. 因为数列{ak n }的公比为q ，则q ＝a 5a 1＝5＋1d1＋1d ＝3，所以ak n ＝ak 1·3n －1＝a 1·3n －1＝2d·3n －1.又ak n ＝(k n ＋1)d ，则2d·3n －1＝(k n ＋1)d.由d≠0，知k n ＝2·3n －1－1(n∈N *)．因此，k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n＝2·30－1＋2·31－1＋2·32－1＋…＋2·3n －1－1＝2(30＋31＋32＋…＋3n －1)－n ＝2·3n3－1－n ＝3n－n －1.点评：此题的已知条件中，抽象符号比较多，但是，只要仔细审题，弄清楚符号的含意，看透题目的本质，抓住基本量，不管多复杂的问题，都是能够解决的．变式训练设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，①∴当n≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，②①－②，得3n －1a n ＝13，a n ＝13n .在①中，令n ＝1，得a 1＝13，∴a n ＝13n .(2)∵b n ＝n a n，∴b n ＝n·3n.∴S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n.③ ∴3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n ＋1.④④－③，得2S n ＝n·3n ＋1－(3＋32＋33＋…＋3n )＝n·3n ＋1－31－3n1－3，∴S n ＝2n －13n ＋14＋34. 例5已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145. (1)求数列{b n }的通项b n ；(2)设数列{a n }的通项a n ＝log a (1＋1b n)(其中a ＞0且a≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与log a b n ＋13的大小，并证明你的结论．活动：这是一道1998年的全国高考题，至今解来仍很新颖．难度属中高档，教师与学生共同探究．首先，数列{b n }的通项容易求得，但是它是攀上这个题目顶端的第一个台阶，必须走好这一步．解：(1)设数列{b n }的公差是d ，由题意得 b 1＝1，10b 1＋12×10×(10－1)d ＝145，解得b 1＝1，d ＝3. ∴b n ＝3n －2. (2)由b n ＝3n －2，知S n ＝log a (1＋1)＋log a (1＋14)＋…＋log a (1＋13n －2)＝log a [(1＋1)(1＋14)…(1＋13n －2)]，log a b n ＋13＝log a 33n ＋1， 因此要比较S n 与log a b n ＋13的大小，可先比较(1＋1)(1＋14)…(1＋13n －2)与33n ＋1的大小．取n ＝1，有(1＋1)＞33×1＋1， 取n ＝2，有(1＋1)(1＋14)＞33×2＋1，……由此推测(1＋1)(1＋14)…(1＋13n －2)＞33n ＋1.(*)若(*)式成立，则由对数函数性质可断定： 当a ＞1时，S n ＞log a b n ＋13，当0＜a ＜1时，S n ＜log a b n ＋13.〔对于(*)式的证明，提供以下两种证明方法供参考〕 下面对(*)式加以证明：证法一：记A n ＝(1＋1)(1＋14)…(1＋13n －2)(1＋13n ＋1)＝21×54×87×…×3n －13n －2，D n ＝33n ＋1，再设B n ＝32×65×98×…×3n 3n －1，C n ＝43×76×109×…×3n ＋13n ，∵当k∈N *时，k ＋1k ＞k ＋2k ＋1恒成立，于是A n ＞B n ＞C n .∴A 3n ＞A n ×B n ×C n ＝3n ＋1＝D 3n .∴A n ＞D n ， 即(1＋1)(1＋14)…(1＋13n －2)＞33n ＋1成立．由此证得：当a ＞1时，S n ＞log a b n ＋13. 当0＜a ＜1时，S n ＜log a b n ＋13.证法二：∵3n ＋1＝41×74×107×…×3n ＋13n －2， 因此只需证1＋13k －2＞33k ＋133k －2对任意自然数k 成立，即证3k －13k －2＞33k ＋133k －2，也即(3k －1)3＞(3k ＋1)(3k －2)2，即9k ＞5.该式恒成立，故1＋13k －2＞33k ＋133k －2.取k ＝1,2,3，…，n 并相乘即得A n ＞D n .点评：(*)式的证明还有一些其他的证明思路，比如说，数学归纳法、反证法等．有待于今后的学习中学会了这些方法后再应用．例6假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?活动：教师引导学生认真审题，确定数列模型，深刻挖掘题目中的数量关系，这是解决本题的锦囊妙计．由题意知，第(1)题属等差数列模型，需求和．第(2)题属等比数列模型．解：(1)设中低价房面积构成数列{a n }，由题意可知，{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n n －12×50＝25n 2＋225n. 令25n 2＋225n≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数．∴n≥10.∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米． (2)设新建住房面积构成数列{b n }，由题意可知，{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400·(1.08)n －1.由题意可知a n ＞0.85b n ， 有250＋(n －1)×50＞400×(1.08)n －1×0.85，由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n ＝6.∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 点评：本题主要考查等差、等比数列的求和，不等式基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．变式训练某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防．规定每人每天早晚8时各服一片，现知道药片含药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的20%，在体内的残留量超过386毫克，就会产生副作用．(1)某人上午8时第1次服药，问到第二天上午8时服完药时，这种药在他体内还残留多少？(2)长期服用此药，这种药会不会产生副作用？解：(1)依题意建立数列模型，设此人第n 次服药后，药在体内的残留量为a n 毫克， 则a 1＝220，a 2＝220＋a 1×(1－60%)＝220×1.4，a 3＝220＋a 2×(1－60%)＝343.2. 从而某人第二天上午8时服完药时，这种药在他体内还残留343.2毫克． (2)由a n ＝220＋0.4a n －1，得a n －1 1003＝0.4(a n －1－1 1003)(n≥2)，∴{a n －1 1003}是以a 1－1 1003为首项，以0.4为公比的等比数列．∴a n －1 1003＝(a 1－1 1003)·0.4n －1＜0.∴a n ＜1 1003≈386.故不会产生副作用．知能训练1．求数列8,88,888，…，的前n 项和．2．某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，每一年比上一年增长的产值相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值．答案：1．解：∵a n ＝89(10n－1)，∴S n ＝89×(101－1)＋89×(102－1)＋…＋89×(10n－1)＝89×[(101＋102＋ (10))－n]＝89×10n ＋1－10－9n 9＝881×(10n ＋1－10－9n)．2．解：设原计划三年的产值分别为x －d ，x ，x ＋d ，则实际三年产值分别为x －d ＋10，x ＋10，x ＋d ＋11.⎩⎪⎨⎪⎧x －d ＋x ＋x ＋d ＝300，x －d ＋10x ＋d ＋11＝x ＋102.解得x ＝100，d ＝10，x －d ＝90，x ＋d＝110.答：原计划三年的产值分别为90万元、100万元、110万元．课堂小结1．由学生合作归纳本节所复习的内容与方法，站在全章的高度对数列的知识方法进行高度归纳与整合，并理出自己独到的见解及适合自己特点的解题风格．2．让学生通过能力性的小结，尽快地把课堂探究的知识转化为素质能力．并体会“问题是数学的心脏，探究是学习的中心”的含义．逐渐提高自己的数学素养，努力把自己锻炼。

《等比数列》考纲要求1、理解等比数列的概念2、掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式及性质3、并能利用有关知识解决相应问题B 案（基础回归）1、如果—1，a ，b ，c ，—9成等比数列，那么A 、b=3，ac=9B 、b=—3，ac=9C 、b=3，ac=—9D 、b=—3，ac=—92、在等比数列{a n }中，a 2=8，a 5=64，则公比q 为A 、2B 、3C 、4D 、83、在数列{a n }中，a n+1=ca n （c 为非零常数）且前n 项和S n =3n+k ，则k 等于A 、—1B 、1C 、0D 、2 4、在等比数列{a n }中，a 8=10，则a 3·a 13=。

5、已知a n =2a n —1（n ≥2），a 1=1，c n =21na ，则{c n }的前n 项和S n =。

6、已知等比数列{a n }中，前10项的和S 10=10，前20项的和S 20=30，则S 30= 。

C 案（典型例题分析）题型一、等比数列的基本量例1：等比数列{a n }中，S n 为前n 项和，若S 3+ S 6=2S 9，求q 的值。

二、等比数列的证明例2：设数列{a n }中，a 1=1，S n+1=4a n +2，b n =a n+1—2a n （1）求证：数列{b n }为等比数列。

（2）求数列{b n }的前n 项和T n 。

引申2：已知数列{a n }中a 1=1且满足a n+1=2a n +1求{a n }的通项公式。

三．等比数列的综合应用例3：已知a 1=2，点（a n ，a n+1）在函数f （x ）=x 2+2x 的图象上。

其中n=1，2，3…… （1）证明数列{lg （1+a n ）}是等比数列。

（2）设T n =（1+a 1）（1+a 2）……（1+a n ）求T n 。

当堂检测：1、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=3a 1，则数列{a n }的公比q 的值为。

2018—2019 学年度第一学期渤海高中高二数学教课设计主备人：使用人：时间：2018年 9月 5 日课题数列课时第一课时课型新讲课教课1、数列的观点依照： 2018 年新课程标准以及考试大要点2、数列的通项公式纲3、数列的分类教课1、求数列的通项公式依照：新课程标准及考试纲领难点2、利用通项公式，研究该数列的性质一、知识与技术目标：原因：本1.可以用自己是语言描绘出数列、数列的项、数列的首项、通节课的项、项数的观点；重点与2.会用察看法求出数列的通项公式；难点。

自主3.可以经过通项公式写出随意项；学习 4.能用自己的语言描绘出数列分类的依照；目标二、过程与方法目标：1.联合实例，经过察看、剖析、概括、猜想，让学生经历数列观点、公式、性质的发现和推证过程；2.借助类比、对照，领会数列是一种特别的函数；三、感情、态度与价值观目标：1.要让学生认识到数学根源于生活实践，生活中充满了数学，数学中有无量的神秘。

学会从生活实质中发现数学规律，领会数学美，体验探究的乐趣。

2.养成采集资料、自主探究、合作沟通的习惯；3.进一步领会从特别到一般，由已知到未知，从有限到无穷的认识事物的规律。

教具多媒体课件、教材，教辅教课教课内容教师行为学生行为设计企图时间环节1.1、什么是数列？课前32、举例说明：什么分钟是数列的项、首项、通项、末项和项数。

3、请用自己的语言说明一下，以下数列能否同样，假如不同，则不一样点在哪将以前留的预 1. 小组可适合明确本节3 分钟习作业，体此刻议论；课学习目大屏幕上，准备 2. 提出自主学标，准备发问和答疑；习疑惑 . 学习。

检查学生达成的作业本；里？(1)1， 2，3， 4;(2)4,3,2,1;(3)4,3,2,1, 。

一、基础知识：1．检查学生预1、学生表达完查收学生1、观点：数列、数习作业达成情成状况。

自主学习2. 况，进行实时评2、其余学生互的结果，列的项、首项、末项、承接价。

2．1数列课程要求了解数列的概念，体会数列是一种特殊函数，能根据数列的前几项写出简单数列的通项公式.类比函数理解数列的几种表示方法（列表、图象、通项公式等），能根据项数多少、数列的性质对数列分类.了解递推公式是给出数列的一种方法.掌握根据递推公式写出数列的前n 项的技巧.会利用一些简单的递推公式求出数列的通项. 基本概念1． 叫做数列， 叫做这个数列的项. 2． 就叫做这个数列的通项公式.3．数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以 来表示一个数列，图象是一些 ，它们位于 .4．根椐数列的项数可以把数列分为 和 .根据数列中项与项的大小关系可以把数列分为 、 、 和 .5． 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.6．若数列{}n a 的前n 项和记为n S ，即,321n n a a a a S ++++= 则 ⎪⎩⎪⎨⎧≥==).2(),1(n n a n概念深化1．数列的通项公式实际上是一个以正整数集+N 或它的有限子集{}n ,,2,1 为定义域的函数的表达式；2．如果知道了数列的通项公式，那么依次用 ,3,2,1去替代公式中的n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项；3．像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式. 如2的不足近似值，精确到 ,0001.0,001.0,01.0,1.0,1所构成的数列,4142.1,414.1,41.1,4.1,1就没有通项公式.4．有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，例如数列： ,1,1,1,1,1,1---它可以写成,)1(n n a -=也可以写成⎩⎨⎧-=.,1,,1为偶数为奇数n n a n还可以写成2)1(+-=n n a 等.这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列.5．有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.典例精析题型一 根据数列{}n a 的前几项，写出数列的通项公式. 例1 写出下列数列的一个通项公式： (1) ,33,17,9,5,3；（2） ,544,433,322,211；（3） ,777,,7777,777,77,7；（4）.,1337,1126,917,710,1,32 ---命题意图：寻求规律，写出通项公式.方法提升：用观察归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，要能观察出特点，观察出项与项之间的关系、规律.这类问题就是要观察各项与对应的项数之间的联系，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数数列、奇偶数列、自然数列的前n 项和数列、自然数的平方数列、简单的指数数列……），建立合理的联想，转换而达到问题的解决.一题一练 分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出. （1）;,515,414,313,2122222 ----（2）;,201,121,61,21 --（3）;9999.0,999.0,99.0,9.0 （4）.,4,5,4,5题型二 数列通项公式的简单应用 例2 已知有穷数列 ,2625,1716,109,54（1）指出这个数列的一个通项公式；（2）判定0.98是不是这个数列中的项？若是，是第几项？ 命题意图：考察对通项公式的理解及应用 方法提升(1)本题中极容易错误地认为122+n n 是数列的通项公式，为避免这样的错误，可验证你所写通项公式是否适合数列的前几项.（2）要判断一个数是否为该数列中的项，可由通项等于这数解出n ，根据n 是否为正整数便可确写这个数是否为数列中的项，也就是说，判定某一数是否是数列中的某一项，其实质就是看方程是否有正整数解.一题一练 已知数列{}n a 的通项公式n n q a =，且.7224=-a a（1）求实数q 的值；（2）判断81-是否为此数列的某一项.题型三 已知n S 求n a例3 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列{}n a 的通项公式. （1）;12-=n n S （2）.322++=n n S n命题意图 本题为通过n S 求n a ，因为n n a a a S +++= 21，所以n S 与n a 有关系⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn 可求得.n a 解 (1)由,12-=n n S 当1=n 时，;112111=-==S a 当2≥n 时， )12(1211---=-=--n n n n n S S a.22211--=-=n n n当1=n 时也适合,12111==-a 所以.21-=n n a（2）由,322++=n n S n 当1=n 时，.611==S a当2≥n 时，[].143)1()1(2)32(221-=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n.)2(14)1(6⎩⎨⎧≥-==∴n n n a n方法提升由n S 求n a 时，当1a 不符合1--=n n n S S a 表达式时，通项公式要分段表示. 即⎩⎨⎧≥==2)(11n n f n a a n 的形式.一题一练（1）已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 322-=，求数列通项公式； (2)已知数列⎣⎦n a 的前n 项和35-=n n S ，求数列通项公式题型四 数列的递推公式例4 已知数列{}n a 分别满足下列条件，写出它的前五项，并归纳出各数列的一个通项公式.(1));12(,011-+==+n a a a n n (2).22,111+==+n nn a a a a 命题意图 此数列是用递推公式给出的，已知1a 就可递推出,,2 a 依此类推，可求出它的任一项.再根据前5项归纳猜想n a 的一个通项公式.方法提升由递推公式，求出数列前5项，再归纳出通项公式，猜想不一定正确，还需严格证明(今后学到)，也可以直接求出.巩固练习 一、选择题1.下列说法不正确的是( )A. 数列可以用图像来表示B. 数列的通项公式不唯一C. 数列的项不能相等D. 数列可以用一群狐立的点表示2.已知数列{}n a 的通项公式为n a n 225-=，下列各数中，不是{}n a 的项的是( )A. 1B. -1C. 2D. 3 3.设数列,,11,22,5,2 则52是这个数列的( )A. 第六项B. 第七项C. 第八项D. 第九项4.无穷数列 1,3,6,10,的通项公式为( )A. 12+-=n n a nB. 12-+=n n a nC. 22nn a n +=D. 22nn a n -=5.数列{}n a ，其中,,6,31221n n n a a a a a -===++，那么这个数列的第五项为（ ）A. 6B. -3C. -12D. -6二、填空题6.数列{}n a 中，)2(,211≥+==-n n a a a n n ，则=10a .7.在数列 ,55,34,,13,8,5,3,2,1,1x 中，x 的值 .8.已知数列{}n a 通项公式*)(1242N n n n a n ∈--=，则:(1)这个数列的第四项是 ；(2)65是这个数列的第 项； (3)这个数列从第 项起各项为正数. 三、解答题9.写出下列数列的一个通项公式 (1);,811,271,91,31,1 --(2);,0,3,0,3 (3),1716,109,54,21-- (4);,7777.0,777.0,77.0,7.010.在数列{}n a 中，.66,2171==a a 通项公式n a 是项数n 的一次函数. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)88是否是数列{}n a 中的项.11.已知数列{}n a 的前n 项和)(242*∈+-=N n n n S n .(1)求{}n a 的通项公式； (2)当n 为何值时， n S 达到最大?最大值是多少?12.设数列{}n a 的通项公式为)(2+∈+=N n kn n a n ，若数列{}n a 是单调递增数列，求实数k 的取值范围.锁定高考已知数列{}n a 的前几项和n n S n 92-=，则其通项=n a ；若它的第k 项满足85<<k a ，则k = .。

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1.1 数列1．理解数列的概念，了解数列的几种分类．2．了解数列通项公式的意义，会根据通项公式写出数列的任一项,并能写出简单数列的通项公式．3．了解数列与函数的关系．1．数列的有关概念（1）数列的定义:按照________排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的____．（2）数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…,此数列可简记作｛a n｝，其中数列的第n项记作____,这里｛a n}是数列的简记符号，并不表示一个集合．关于定义的理解,应注意以下几点：①数列的项与项的序号是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f（n),而项的序号是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值,相当于f(n）中的n。

②次序对于数列来讲是十分重要的,几个不同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是同一个数列，显然数列与数集有本质的区别．例如，2,3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而｛2,3，4,5,6｝中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合．③数列a1，a2,…，a n,不可以写成{a1，a2，…，a n}的形式，但是可以简记为{a n｝．【做一做1】将正整数的前5个数排列成四种形式:①1,2，3,4，5;②5，4,3,2,1;③2，1，5,3，4；④4,1,5，3,2.其中可以称为数列的序号是__________．2．数列的通项公式如果数列｛a n｝的第n项a n与______之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的________．(1）数列可以用通项公式来描述，也可以用列表或图象来表示；(2）不是所有的数列都有通项公式，如果有,则不唯一．【做一做2】下列解析式中不．是数列1，－1,1，－1,…的通项公式的是( ）．A．a n＝(－1)nB．a n＝(－1）n＋1C．a n＝（－1)n－1D．a n＝错误!3．数列与函数的关系在数列{a n}中,对于每一个正整数n(或n∈｛1，2，…，k})，都有一个数a n与之对应，因此,数列可以看成以__________(或它的有限子集｛1，2，…，k｝）为定义域的函数a n＝f（n)，当自变量按照________的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i）（i＝1，2，3，…）有意义，那么我们可以得到一个数列f （1)，f(2)，f（3），…，f（n)，…。

2.1.2　数列的递推公式(选学)[学习目标]　1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能根据递推公式写出数列的前n 项.3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法．[知识链接]1．数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有的性质有________．答案　(1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性；(4)数列中的每一项都是数．2．数列的项与对应的序号能否构成函数关系？类比函数的表示方法，想一想数列有哪些表示方法？答案　数列的项与对应的序号能构成函数关系．数列的一般形式可以写成：a 1，a 2，a 3，…，a n ，….除了列举法外，数列还可以用公式法、列表法、图象法来表示．[预习导引]1．递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2．数列的表示方法数列的表示方法有列举法、通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．要点一　由递推公式写出数列的项例1　已知数列{a n }满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝.2anan ＋2解　(1)∵a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)，∴a 2＝a 1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；a 3＝a 2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；a 4＝a 3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；a 5＝a 4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.故该数列的一个通项公式是a n ＝(n －1)2.(2)∵a 1＝1，a n ＋1＝，2an2＋an ∴a 2＝＝，a 3＝＝，2a 12＋a 1232a 22＋a 212a 4＝＝，a 5＝＝，2a 32＋a 3252a 42＋a 413∴它的前5项依次是1，，，，.23122513它的前5项又可写成，，，，，21＋122＋123＋124＋125＋1故它的一个通项公式为a n ＝.2n ＋1规律方法　(1)根据递推公式写数列的前几项，要弄清公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．跟踪演练1　设数列{a n }满足Error!写出这个数列的前5项．解　由题意可知a 1＝1，a 2＝1＋＝1＋＝2，1a 111a 3＝1＋＝1＋＝，a 4＝1＋＝1＋＝，1a 212321a 32353a 5＝1＋＝1＋＝.1a 43585要点二　由递推公式求通项例2　已知数列{a n }满足：a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1(n ∈N ，n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于？11 000解　(1)a n ＝··…···a 1anan －1an －1an －2a 3a 2a 2a 1＝()n －1·()n －2·…·()2·()1·112121212＝()1＋2＋…＋(n －1)＝，1221)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴a n ＝.21)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(2)∵b n ＝＝(n －)2－，(n －1)n 2121218∴n ∈N ＋时，b n 递增，即{a n }为递减数列，∴当n ≤4时，≤6，a n ＝≥，(n －1)n221)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛164当n ≥5时，≥10，a n ＝≤.(n －1)n 221)(21nn -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11 024∴从第5项开始各项均小于.11 000规律方法　由递推公式求通项公式的技巧(1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用技巧．(2)当a n －a n －1＝f (n )且满足一定条件时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1来求a n .(3)当＝f (n )且满足一定条件时，常用a n ＝··…···a 1来求a n .an an －1an an －1an －1an －2a 3a 2a 2a 1跟踪演练2　已知数列{a n }，a 1＝1，以后各项由a n ＝a n －1＋(n ≥2)给出．1n (n －1)(1)写出数列{a n }的前5项；(2)求数列{a n }的通项公式．解　(1)a 1＝1；a 2＝a 1＋＝；a 3＝a 2＋＝；12×13213×253a 4＝a 3＋＝；a 5＝a 4＋＝.14×37415×495(2)由a n ＝a n －1＋得a n －a n －1＝(n ≥2)，1n (n －1)1n (n －1)∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝＋＋…＋＋＋11n (n －1)1(n －1)(n －2)13×212×1＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(1－)＋11n －11n 1n －21n －1121312＝－＋1＋1＝2－＝(n ∈N ＋)．1n 1n 2n －1n 要点三　数列与函数的综合应用例3　f (x )＝log 2x －(0<x <1)，且数列{a n }满足f ()＝2n (n ∈N ＋)．2log2x n a 2(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a n }的增减性．解　(1)∵f (x )＝log 2x －，又∵f ()＝2nm ，2log2x n a 2∴log 2－＝2n ，即a n －＝2n .n a 22log22an 整理得a －2na n －2＝0，∴a n ＝n ±.2n n 2＋2又0<x <1，故0<<1，于是a n <0，n a2∴a n ＝n －(n ∈N ＋)．n 2＋2(2)＝an ＋1an (n ＋1)－(n ＋1)2＋2n －n 2＋2＝<1.n ＋n 2＋2(n ＋1)＋(n ＋1)2＋2∵a n <0，∴a n ＋1>a n ，∴数列{a n }是递增数列．规律方法　数列是一类特殊的函数，用函数与方程的思想处理数列问题．在判断数列{a n }的单调性时，可以用作差法或作商法．跟踪演练3　函数f (n )＝Error!数列{a n }的通项a n ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2n )(n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2，a 4的值；(2)写出a n 与a n －1的一个递推关系式(注：1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝4n －1)．解　(1)a 1＝f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (1)＝2.a 2＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (3)＋f (1)＋f (2)＝1＋3＋a 1＝6.a 4＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (16)＝86.(2)a n －1＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2n －1)，a n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2n )，＝f (1)＋f (3)＋f (5)＋…＋f (2n －1)＋f (2)＋f (4)＋f (6)＋…＋f (2n )＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2n －1)，∴a n ＝a n －1＋4n －1(n ≥2).1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥2答案　B2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于( )A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n答案　D解析　∵a n ＋1－a n ＝－1.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是________．答案　a n ＝2n ＋1解析　a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.4．已知：数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a nnn ＋1(1)写出数列的前5项；(2)猜想数列{a n }的通项公式．解　(1)a 1＝1，a 2＝×1＝，a 3＝×＝，a 4＝×＝，a 5＝×＝.11＋11221＋2121331＋3131441＋41415(2)猜想：a n ＝.1n 1．递推公式的理解与应用(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，如果用符合要求的正整数依次去替换n ，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．(4)运用递推法给出数列，不容易了解数列的全貌，计算也不方便，所以我们经常用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列．2．数列的通项公式与递推公式的作用和联系通项公式递推公式作用通项公式是给出数列的主要形式，由通项公式可求出数列的各项及指定项，也可以解决数列的性质问题(如增减性，最值等).数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．由递推公式可以依次求出数列的各项.联系数列的通项公式与递推公式有时可以相互转化，如数列1,3,5，…，2n －1，…的一个通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)，用递推公式表示为a 1＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N ＋).。