北师大版 数学 八年级 上册导入新知悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟.归时四分行六百，风速多少才称雄？素养目标3. 能分析复杂问题中的数量关系，建立方程组解决问题.2. 进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程.1. 利用二元一次方程解决数字问题和行程问题.小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？是一个两位数，它的两个数字之和为7．十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了．比12:00时看到的两位数中间多了个0．知识点1是一个两位数，它的两个数字之和为7．十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了．比12:00时看到的两位数中间多了个0．10x + y x + y =7 （1）12:00时小明看到的数可表示为，根据两个数字和是7，可列出方程.如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ，那么是一个两位数，它的两个数字之和为7．十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了．比12:00时看到的两位数中间多了个0．10y + x （10y +x ）- （10x +y ）（2）13:00时小明看到的数可表示为,12:00～13:00间摩托车行驶的路程是. 如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ，那么是一个两位数，它的两个数字之和为7．十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了．比12:00时看到的两位数中间多了个0．100x + y （100x +y ）- （10y +x ）（3）14:00时小明看到的数可表示为,13:00～14:00间摩托车行驶的路程是.如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ，那么是一个两位数，它的两个数字之和为7．十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了．比12:00时看到的两位数中间多了个0．（4）12:00～13:00与13:00～14:00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ，那么是一个两位数，它的两个数字之和为7．十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了．比12:00时看到的两位数中间多了个0．解：如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ， 那么根据以上分析，得方程组：答：小明在12:00时看到的里程碑上的数是16．x +y =7(100x +y )-(10y +x )=(10y +x )-(10x +y )解这个方程组，得,x y =⎧⎨=⎩1612：00是一个两位数，它的两个数字之和为7；13：00十位与个位数字与12：00所看到的正好互换了；14： 00比12：00时看到的两位数中间多了个0．分析：设小明在12：00看到的数十位数字是x ，个位数字是y ,那么时刻百位数字十位数字个位数字表达式12：0013：0014：00x y 10 x ＋ y yx 10 y ＋ x xy100 x ＋ y相等关系：① 12：00看到的数，两个数字之和是7 ②路程差相等表格分析数量关系小结：对较复杂的问题可以通过列表格的方法疏理题中的未知量，已知量以及等量关系，使其条理清楚，将复杂问题转化为简单问题.解：如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ，那么根据以上分析，得方程组：,()()()().x y x y y x y x x y +=⎧⎨+-+=+-+⎩7100101010解得答：小明在12:00时看到的里程碑上的数是16.⎩⎨⎧==6,1y x 整理得⎩⎨⎧=-=+067y x y x解：设较大的两位数为x ，较小的两位数为y ，根据题意，得：解这个方程组,得:答:这两个两位数分别是45和23.x +y =68(100x +y )-(100y +x )=2178x =45y =23两个两位数的和为68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数; 在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大2178, 求这两个两位数.例素养考点 1列二元一次方程组解答数字问题变式训练一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大9，求原来的两位数．分析:用二元一次方程组解决问题的关键是找到两个合适的等量关系．由于十位数字和个位数字都是未知的，所以不能直接设所求的两位数．本题中两个等量关系为：十位数字＋个位数字＝11，(十位数字×10＋个位数字)＋9＝个位数字×10＋十位数字．根据这两个等量关系可列出方程组．归纳小结: 在求两位数或三位数时，一般是不能直接设这个两位数或三位数的，而是把它各个数位上的数字设为未知数．解题的关键是弄清题意，根据题意找出合适的等量关系，列出方程组，再进行求解．解：设个位上的数字为x ，十位上的数字为y .解这个方程组得:10y ＋x ＝56.答：原来的两位数为56.,.x y =⎧⎨=⎩65,,x y x y y x +=⎧⎨+=++⎩1110109根据题意，得小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60m ，下坡路每分钟走80m ，上坡路每分钟走40m ，则他从家里到学校需10min ，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？知识点2分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路.平路：60 m/min下坡路：80 m /m i n 上坡路：40 m /m i n 走平路的时间+走下坡路的时间=________，走上坡路的时间+走平路的时间= _______．路程=平均速度×时间1015方法一（直接设元法）平路时间坡路时间总时间上学放学解：设小华家到学校平路长x m ，下坡路长y m.60x 60x 80y 40y 1015根据题意，可列方程组：10608015.6040x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解方程组，得300400x y =⎧⎨=⎩所以小明家到学校的距离为700m.方法二（间接设元法）平路距离坡路距离上学放学解：设小华下坡路所花时间为x min,上坡路所花时间为y min.60(10)x -80x 40y 根据题意，可列方程组：60(10)60(15)8040x y x y-=-⎧⎨=⎩解方程组，得510x y =⎧⎨=⎩所以小明家到学校的距离为700m.故平路距离：60×（10-5）=300（m ）坡路距离：80×5=400（m ）60(15)y -素养考点 1列二元一次方程组解答复杂行程问题例张强与李毅二人分别从相距 20 千米的两地出发，相向而行.若张强比李毅早出发 30 分钟，那么在李毅出发后 2 小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么 1 小时后两人还相距 11 千米.求张强、李毅每小时各走多少千米？思考：题目中给了哪些相关的量？2y 千米张强2.5小时走的路程李毅2小时走的路程11千米 0.5x 千米2x 千米(1)A B x 千米y 千米(2)A B 解：设张强、李毅每小时各走x, y 千米，由题意得45x y =⎧⎨=⎩解得答：张强、李毅每小时各走4, 5千米.分析：如下图（1）、（2）所示0.522201120++=⎧⎨++=⎩x x y x y 方程组巴广高速公路在5月10日正式通车，从巴中到广元全长约126 km ，一辆小汽车、一辆货车同时从巴中、广元两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6 km ，设小汽车和货车的速度分别为x km/h 、y km/h ，则下列方程组正确的是（ ）巩固练习A. B.C. D.D 45()126,45() 6.x y x y +=⎧⎨-=⎩3()126,4 6.x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩3()126,43() 6.4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3()126,445() 6.x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩变式训练我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hu，是古代的一种容量单位）．1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶、一个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x 斛，1个小桶可以盛酒y 斛，根据题意，可列方程组为____________．连接中考x y x y +=⎧⎨+=⎩53521.小颖家离学校4800 m ，其中有一段为上坡路 ，另一段为下坡路，她跑步去学校共用了30 min .已知小颖在上坡时的平均速度是 6 km/h ，下坡时的平均速度是12 km/h.问小颖上、下坡的路程分别是（ ）A ．1.2 km ，3.6 km ；B ．1.8 km ，3 km ；C ．1.6 km ，3.2 km ．D ．3.2 km ，1.6 km ．A 基础巩固题2.有大小两个两位数，在大数的右边写上一个0之后再写上小的数，得到一个五位数;在小数的右边写上大数，然后再写上一个0，也得到一个五位数，第一个五位数除以第二个五位数得到的商为2，余数为590．此外，二倍大数与三倍小数的和是72，求这两个两位数． 解：设大的两位数是x ，小的两位数是y ，则第一个五位数是1000x +y ，第二个五位数是1000y +10x ，由题意，得： 所以这两个两位数分别为21和10.基础巩固题1000x +y =2(1000y +10x )+5902x +3y =72解得： x ＝21y ＝10解：设的甲速度为x 千米/小时，乙的速度为y 千米/小时，3. A,B 两地相距36千米，甲从A 地步行到B 地，乙从B 地步行到A 地，两人同时相向出发，4小时后两人相遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？答：甲速度为4千米/小时，乙的速度为5千米/小时.基础巩固题4(x +y )=3636-6x =2(36-6y )根据题意得：x =4y =5解得： 汽车在上坡时速度为28km/h ，下坡时速度42km/h ，从甲地到乙地用了4小时30分，返回时用了4小时40分，从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？（只列方程组）分析：从甲地到乙地的上坡路和下坡路分别是从乙地到甲地的下坡路和上坡路.解：设从甲地到乙地上坡路是x 千米，下坡路是y 千米.根据题意得能力提升题x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩14284222442283李大叔销售牛肉干，已知甲客户购买了12包五香味的和10包原味的共花了146元，乙客户购买了6包五香味的和8包原味的共花了88元.（1）现在老师带了200元，能否买到10包五香味牛肉干和20包原味牛肉干？解：设五香味每包x 元，原味每包y 元.依题意，可列方程组：1210146,6888.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得： 8,5.=⎧⎨=⎩x y 1020108205180x y +=⨯+⨯=元所以老师带200元能买到所需牛肉干.拓广探索题解：设刚好买五香味x 包，原味y 包.25,0x y =⎧⎨=⎩；85200x y +=元（2）现在老师想刚好用完这200元钱，你能想出哪些牛肉干的包数组合形式？200552588y x y -==-因为x ，y 为非负整数20,8x y =⎧⎨=⎩；10,24x y =⎧⎨=⎩；15,16x y =⎧⎨=⎩；5,32x y =⎧⎨=⎩；0,40x y =⎧⎨=⎩；拓广探索题课堂检测1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题.3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用.通过本课时的学习，需要我们掌握：2.这种处理问题的过程可以进一步概括为：课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习谢谢观看 Thank You。
