构造对偶式在数学解题中的应用(八种方法)

构造对偶式在数学解题中的应用(八种方法)构造对偶式在数学解题中的应用（八种方法）数学中的对偶关系是指形式相似,并具有某种对称关系的一对关系式。

在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和、差、积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决。

一．和差对偶对于表达式u(x)?v(x)，我们可构造表达式u(x)例１若02v(x)作为它的对偶关系式。

，且3sin??4cos??5，谋tan?的值。

解析：构造对偶式：3sin??4cos??y5?y?sin3sin??4cos??5?6则?,得3sin??4cos??y?cos??5?y?8?再由sin??cos??1，得：y??2275,?tan??34。

点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。

例２已知：a,b,c,d?r，且a?b?c?d4442222?1，44澄清：(a?b)?(a?c)?(a?d)?(b?c)?(b?d)?(c?d)?6。

求解：设m?(a?b)?(a?c)?(a?d)?(b?c)?(b?d)?(c?d),构造对偶式:n?(a?b)?(a?c)?(a?d)?(b?c)?(b?d)?(c?d)4444444444444则存有：m?n?6(a?6(a4?b?b4?c?c4?d4?2ab222?2ac22?2ad22?2bc22?2bd22?2cd)22222?d)2?6又n?0，故m?6，即为原不等式设立。

基准３解方程：x2?8x?21?x?8x?21?10x?8x?21?a，再由原方程联立可解得：22求解：结构对偶式：x2?8x?21?1xx2?8x?21??8x?21?10?a210?a2,(1),(2)1222那么(1)?(2)得：2x?42?22(100?a),(3)8x52(1)?(2)得：16x?10a，即a?代入（３）中得：2x?42?整理得：925x2222，x)，212(100?6425?4，Champsaur：x??103。

对偶问题实例
摘要：
1.对偶问题的概念介绍
2.对偶问题的实例展示
3.对偶问题的解决方法
4.对偶问题在实际生活中的应用
正文：
一、对偶问题的概念介绍
对偶问题是指在数学中，给定一个线性规划问题，通过构造另一个线性规划问题，使得两个问题的解相互关联。

对偶问题广泛应用于运筹学、优化理论等领域，它为我们解决复杂的实际问题提供了一种有效途径。

二、对偶问题的实例展示
假设有一个工厂需要生产两种产品A 和B，生产A 产品需要消耗3 个单位资源1 和1 个单位资源2，生产B 产品需要消耗2 个单位资源1 和3 个单位资源2。

现在工厂有6 个单位资源1 和4 个单位资源2，生产A 和B 产品的利润分别为20 和15。

如何分配资源以获得最大利润？
三、对偶问题的解决方法
对于上面的问题，我们可以通过构造对偶问题来求解。

首先，我们需要写出原问题的数学模型：
max 20x1 + 15x2
s.t.
3x1 + 2x2 ≤6
x1 + 3x2 ≤4
x1, x2 ≥0
然后，我们构造对偶问题。

对偶问题的解为原问题的约束条件的松弛，即：
min -20y1 - 15y2
s.t.
-3y1 + 2y2 ≥-6
-y1 - 3y2 ≥-4
y1, y2 ≥0
通过求解对偶问题，我们可以得到最优解为y1=2, y2=1，代入原问题的目标函数，可得最大利润为35。

四、对偶问题在实际生活中的应用
对偶问题在实际生活中的应用非常广泛，如供应链管理、交通规划、资源分配等。

一些经典的对偶问题解决原问题的例子对偶问题是数学和计算机科学中常见的问题类型之一。

它通常通过解决与原问题对偶的问题来寻找解决方案。

下面是一些经典的对偶问题解决原问题的例子。

1. 最大化 vs. 最小化：在某些情况下，将原始问题转化为对偶问题，将最大化问题转化为最小化问题，或者反之亦然，可以更容易地解决问题。

例如，在优化算法中，最小化一个函数可能比最大化更容易处理。

通过对目标函数取负，原问题可以转化为对偶问题，从而得到一个等效的最大化问题。

2. 求和 vs. 求积：有时候，将原始问题转化为对偶问题，从求和问题转化为求积问题，或者反之亦然，可以提供更简单的解决方案。

例如，在组合数学中，对一组数值求和可能较为困难，但是求这些数值的乘积却相对容易。

因此，通过将原问题转化为对偶问题，可以得到更高效的解决方法。

3. 广义情况 vs. 特殊情况：有时，将原问题转化为对偶问题，将一个一般性的问题转化为特殊情况，或者反之亦然，可以简化问题的复杂性。

例如，在图论中，解决一个一般的图上的最短路径问题可能非常耗时，但是如果图是一颗树（特殊情况），则可以通过更简单的算法快速解决。

通过将原问题转化为对偶问题，我们可以充分利用特殊情况的性质来降低问题的难度。

4. 具体问题 vs.抽象问题：有时，将原问题转化为对偶问题，从具体问题转化为抽象问题，或者反之亦然，可以简化问题的解决方案。

例如，在计算机科学中，将具体的实现问题抽象为算法问题，可以集中注意力于算法设计的本质，而不必被实现的细节所干扰。

通过对原问题和对偶问题之间的抽象关系进行转换，我们可以更有效地解决问题。

总之，经典的对偶问题解决原问题的例子展示了将问题转化为其对偶形式可以带来很多优势。

通过改变问题的形式、角度或者性质，我们可以获得更简单、更高效的解决方案。

这些例子不仅在数学和计算机科学中有广泛应用，也揭示了问题求解中的一般思维模式。

对偶式的八种构造方法对偶式是数学中一种很酷炫的构造方法呢！那对偶式的八种构造方法到底是啥玩意儿？咱一个个来看。

第一种方法，就像搭积木一样，把式子中的某些项进行对称变换。

比如说，有个式子A+B，那它的对偶式可以是A-B。

注意哦，这可不是瞎变，得根据具体情况来，要是不小心变错了，那可就糟糕啦！这种方法在解决一些代数问题的时候超管用，就好比有了一把神奇的钥匙，可以打开难题的大门。

比如在化简复杂的多项式时，用这种对偶式的构造方法，说不定就能柳暗花明又一村呢！第二种方法呢，有点像玩镜子游戏。

把式子中的变量取反。

比如原来有个式子x+y，对偶式可以是-x-y。

这可得小心，别搞混了。

这种方法在研究函数的性质时很有用哦！想象一下，就像从不同的角度看一座山，能发现更多的美景。

第三种方法，就像是给式子穿上一件新衣服。

在式子中加入一些特殊的符号，比如绝对值、倒数啥的。

比如式子a/b，对偶式可以是b/a。

哎呀，这可不能乱加，得考虑清楚后果。

这种方法在解决比例问题的时候很厉害呢！就像有了一个魔法棒，可以变出意想不到的结果。

第四种方法，像是在玩拼图游戏。

把式子拆分成几个部分，然后分别构造对偶式，再组合起来。

比如式子ab+cd，对偶式可以是(-a)(-b)+(-c)(-d)。

这可得有耐心，一步一步来。

这种方法在解决复杂的方程问题时很有用哦！就像把一个大难题拆成小问题，逐个击破。

第五种方法，有点像变魔术。

把式子中的指数进行变换。

比如式子a^2+b^2，对偶式可以是a^(-2)+b^(-2)。

哇塞，这可太神奇了！但也得小心，别把自己绕晕了。

这种方法在研究指数函数的时候很有帮助呢！就像有了一双翅膀，可以飞得更高更远。

第六种方法，就像是在走迷宫。

把式子中的变量进行替换，然后构造对偶式。

比如式子x^2+y^2，把x 换成y，y 换成x，对偶式就是y^2+x^2。

嘿嘿，这可得有敏锐的观察力。

这种方法在解决对称问题的时候很厉害哦！就像找到了一条秘密通道，可以快速到达目的地。

构造对偶式知识点总结在数学、逻辑学和哲学中，对偶是指两个事物在某些方面上互为对立或互为补充的关系。

对偶式知识点是指一种将两个概念、观点或思想放置在对立或互补的位置上，通过对比和对称的方式来加深理解和掌握知识的方法。

对偶式知识点常常用来探讨事物的内在联系、相互作用和补充关系，它有助于我们揭示事物的本质和规律，从而更深刻地认识和把握世界。

在学习和研究过程中，我们可以借助对偶式知识点的方法来理清概念，阐述观点，展开思路，挖掘深层次的内涵和含义，从而提升我们的思维能力和认知水平。

对偶式知识点的构造和总结是一项重要的学习和研究活动，它有助于我们全面地把握知识体系，深入地理解问题，准确地把握事物的本质和规律。

在接下来的内容中，我们将针对各个学科领域中常见的对偶式知识点进行总结和归纳，以期为读者提供一些有益的参考和帮助。

一、数学中的对偶式知识点1. 实数和虚数：实数是指包括有理数和无理数在内的所有实数的集合，而虚数是实数的负数平方根。

2. 正数和负数：在数轴上，正数和负数在原点上呈现对称分布。

3. 平面几何中的对偶式知识点：点和直线、圆和直径、多边形和对角线等。

4. 函数和反函数：给定一个函数y=f(x)，如果存在函数y=g(x)，使得f(g(x))=x，g(f(x))=x，则g(x)就是f(x)的反函数。

5. 三角函数和反三角函数：正弦函数与反正弦函数、余弦函数与反余弦函数、正切函数与反正切函数等。

6. 微积分中的对偶式知识点：微分和积分、导数和积分、微分方程和积分方程等。

7. 线性代数中的对偶式知识点：向量和矩阵、矢量和标量、行列式和逆矩阵等。

8. 概率统计中的对偶式知识点：概率和统计学、随机变量和样本空间、事件和概率密度函数等。

二、逻辑学中的对偶式知识点1. 命题逻辑中的对偶式知识点：合取范式和析取范式、范式和主析取范式、补范式和合取范式等。

2. 谓词逻辑中的对偶式知识点：全称量词和存在量词、真和假、合取和析取等。

巧用对偶式解题
求解对偶式是解决一定机器学习问题的常用方法。

首先，定义原始问题，即要求的最优解的函数（最小化或最大化），以及可变量，然后用数
学技巧将原始问题变换为其对偶式。

对偶式是原始问题的函数的另一种形式，可以用更简单的方式描述原始问题，同时允许有效地算出最优解。

例如，设计一个模型，试图最大化一个变量x的目标函数f(x)，其中x是
一系列约束条件之间的决策变量。

这时可以将f(x)变换为其对偶式f*(y)，其中y是由变量x的约束条件生成的拉格朗日乘子。

然后使用拉格朗日乘
子来最大化f*(y)，以获得最优解x。

构造对偶式
构造对偶式是计算机科学课程中的一个重要内容，在许多领域中都有广泛的应用，比如编译器设计、算法设计、数据库技术、软件服务等等。

构造对偶式是一种表示算法的方法，它可以使算法改进实现，并发现算法中的问题。

构造对偶式的目的是为了更好地理解算法，以便找到更有效率的实现方式。

构造对偶式的基本原理是，通过将一个算法的某些特性映射成另一个表达式，从而使算法的表示更加清晰、容易理解。

不同的构造对偶式的表达式可以表达出算法的不同方面，比如算法的时间复杂度、空间复杂度等等，从而帮助开发者更好地理解算法的实现。

构造对偶式的一个重要应用是程序优化。

构造对偶式可以用来发现某些算法中可以进行优化的部分，比如循环，算法中每一次操作的复杂度，以及算法中可以做一些改进的地方等等。

通过构造对偶式，可以更好地分析和理解算法，从而找到有效的优化策略。

此外，构造对偶式还可以帮助开发者发现某些算法中可能存在的问题。

例如，某个算法的空间复杂度可能会出现问题，而构造对偶式可以帮助发现这些问题，并给出一些有效的修复方案。

总之，构造对偶式是一种有效的表示算法的工具，它有助于我们更好地理解算法，并从中发现实现机会。

构造对偶式在计算机科学课程中的应用非常广泛，是一个重要的内容。

正确地使用构造对偶式对算法的改进和优化有着重要的意义，有助于计算机应用的发展与改进。

构造法在解题中的应用
构造法是一种常用的解题方法，它可以帮助我们通过构造一个特定的对象，来证明或解决一个问题。

在许多数学领域，如组合数学、图论、数论等，构造法都是一个强有力的工具。

在组合数学中，构造法可以用来证明一些组合恒等式或结论。

例如，我们可以通过构造一个适当的组合对象来证明某个恒等式成立。

在图论中，构造法可以用来证明一个图具有特定的性质，或者构造一种特殊的图形来解决某个问题。

在数论中，构造法可以用来证明一些数学问题的存在性，或者构造一种特定的数列或方程来解决某个问题。

构造法的优点在于它直观易懂，可以让我们通过构造具体的对象来理解问题本身。

而且，构造法通常可以帮助我们证明一些存在性问题，这些问题可能很难通过其他方法来解决。

当然，构造法并不是万能的，它也有它的局限性。

有时候，我们可能需要结合其他方法来解决问题，或者需要更深入的理论知识来支持我们的构造。

总之，构造法在解题中的应用非常广泛，它可以帮助我们解决各种各样的数学问题。

在学习和应用构造法时，我们应该注重理解问题本身，灵活运用构造思想，同时也要注意方法的局限性和优缺点。

- 1 -。

构造对偶式的八种途径在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和,差,积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。

一． 和差对偶对于表达式()()u x v x ±，我们可构造表达式()()u x v x m 作为它的对偶关系式。

例１若02πθ<<，且3sin 4cos 5θθ+=，求tan θ的值。

解析：构造对偶式：3sin 4cos y θθ-=则3sin 4cos 5,3sin 4cos y θθθθ+=⎧⎨-=⎩得5sin 65cos 8y y θθ+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩再由22sincos 1θθ+=，得：73,tan 54y θ=-∴=。

点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。

例２已知：,,,a b c d R ∈，且22221a b c d +++≤，求证：444444()()()()()()6a b a c a d b c b d c d +++++++++++≤。

解： 则有：又0N ≥，故6M ≤，即原不等式成立。

10=a =，再由原方程联立可解得：那么22(1)(2)+得：221242(100),(3)2x a +=+ 22(1)(2)-得：1610x a =，即85x a =，代入（３）中得：22164242(100)225x x +=+，整理得：29425x =， 解得：103x =±。

二． 互倒对偶互倒对偶是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法。

例４若,,(0,1)x y z ∈，求证：1113111x y y z z x++≥-+-+-+。

解：设111111M x y y z z x=++-+-+-+,构造对偶式：(1)(1)(1)N x y y z z x =-++-++-+，则1111(1)(1)(1)11112226M N x y y z z x x y y z z x y z+=+-+++-+++-++-+-+-+-+≥++=而3N =，故3M ≥，即1113111x y y z z x++≥-+-+-+。

对偶在解题中的应用
对偶原理是一种在对偶态重建优化过程中应用的基本思想，可以帮助科学家和工程师以更高效和有效的方式，解决混合整数规划、非线性规划等计算机模型的问题。

在此过程中，对偶态提供了一种更有效的解决方案，可以有效地求解目标函数的最优结果。

它的应用性可以从以下三个方面来看。

首先，对偶原理可以有效地在给定混合整数规划模型中优化目标函数。

一些基于混合整数规划模型设计的模型中，要求给定一定的条件和限制，作出最优解及其最优结果。

在此过程中，对偶态就可以成为解决混合整数规划问题的有效工具，可以加快处理过程，提高优化效果。

其次，对偶原理也可以有效地用于解决非线性规划问题。

在非线性规划中，任务是满足给定的条件和限制，以获得最优解和最优结果。

由于非线性规划模型中引入的冗余变量带来了模型不稳定性，因此，对偶态在帮助优化过程中变得尤为重要。

对偶原理可以有效地把所有冗余变量和约束用一个可优化的怀疑变量取代，从而实现非线性规划的最优解以及凸优化的最优解。

最后，对偶原理也可以用于数据挖掘。

数据挖掘是从大量数据中挖掘出有价值信息的过程，其中会涉及到变量的选择、相关性分析、聚类等，这些都可以使用对偶原理，从而有效地提高挖掘效率，提升挖掘结果的准确性。

通过概述以上三种应用场景，可以看出对偶原理在解题中具有重要意义。

它可以帮助用户解决混合整数规划、非线性规划和数据挖掘等问题，有效地实现优化计算，提高处理效率，改善算法性能。

构造“对偶式”，巧解数学问题在解答某些数学问题时，针对已知式M 的结构特征，构造一个或几个与之相关联的式子N ，使M 与N 经过相加、相减、相乘、相除等运算之后，所需解答的问题得到合理的转化和解决。

这种解题方法称之为构造“对偶式”解题，是一种极其巧妙的解题方法。

通过构造对偶式可以巧妙地解决多项式求值、恒等式证明、求函数的最值、解方程(组以及求解析式等，当然难点在于如何构造解题所需要的“对偶式”。

典型例题1求证:2sin 4x +3sin 2x cos 2x +5cos 4x ≤5。

【分析】本例是三角不等式的证明，运用一般的方法证明是困难的，若能运用对称的方法，构造对偶式，则比较容易证明【解析】【证明】设A =2sin 4x +3sin 2x cos 2x +5cos 4x ，B =2cos 4x +3cos 2x sin 2x +5sin 4x ，则 A +B =7sin 4x +cos 4x +6sin 2x cos 2x =7sin 2x +cos 2x 2-8sin 2x cos 2x=7-2sin 22x =5+2cos 22x ，①A -B =3cos 4x -sin 4x =3cos2x ，②①+②，得 2A =5+2cos 22x +3cos2x =5+2cos2x +342-916 ≤5+21+34 2-916=10所以A ≤5，命题得证2已知α，β是方程x 2-7x +8=0的两根，且α>β，不解方程，求2α+3β2的值。

【分析】 若要不解方程求2α+3β2的值, 因为2α+3β2是非对称式, 无法化为αβ及α+β的形式,所以需要构造2α+3β2相应的对偶式2β+3α2，两者结合就可以化为αβ及α+β的形式，然后运用韦达定理,从而求出2α+3β2的值.【解析】设A =2α+3β2，构造对偶式B =2β+3α2。

∵α，β是方程x 2-7x +8=0的两根，∴α+β=7，αβ=8。

对偶原理的应用什么是对偶原理对偶原理是一种逻辑思维方式，用于解决问题和推理，它通过将命题中的变量和运算符进行交换，从而得到等价的对偶命题。

对偶原理可以被广泛应用于多个领域，包括数学、计算机科学和逻辑学等。

对偶原理在数学中的应用•代数方程求解：对偶原理可以用于求解代数方程，通过对方程中的变量和运算符进行交换，可以得到等价的对偶方程，进而简化问题的求解过程。

•集合运算：对偶原理可以被用于集合运算，通过对集合中的元素和运算进行对偶，可以得到等价的对偶集合，从而简化集合运算的推理和证明。

•几何推理：对偶原理在几何学中也具有广泛的应用。

例如，通过对几何定理进行对偶，可以得到具有等价推论的对偶定理，从而帮助解决几何问题。

对偶原理在计算机科学中的应用•逻辑电路设计：对偶原理在逻辑电路设计中起着重要的作用。

通过对逻辑电路中的输入和输出进行对偶，可以得到等价的对偶电路，从而帮助设计复杂的逻辑电路。

•编程语言设计：对偶原理也可以用于编程语言设计中。

通过对程序语句中的变量和运算符进行对偶，可以得到等价的对偶程序语句，从而简化程序设计的过程。

•算法设计：对偶原理在算法设计中也有广泛的应用。

通过对算法中的输入和输出进行对偶，可以得到等价的对偶算法，从而帮助设计高效的算法。

对偶原理在逻辑学中的应用•命题逻辑：对偶原理在命题逻辑中起着重要的作用。

通过对命题中的变量和运算符进行对偶，可以得到等价的对偶命题，从而帮助解决命题逻辑中的问题。

•谓词逻辑：对偶原理同样可以用于谓词逻辑。

通过对谓词中的变量和运算符进行对偶，可以得到等价的对偶谓词，从而简化谓词逻辑的推理和证明。

•形式化推理：对偶原理在形式化推理中也具有重要的应用。

通过对推理中的前提和结论进行对偶，可以得到等价的对偶推理，从而帮助进行有效的形式推理。

对偶原理的局限性虽然对偶原理在多个领域中有广泛的应用，但它也存在一些局限性。

•只适用于某些类型的问题：对偶原理只适用于某些类型的问题，对于其他类型的问题可能不适用或效果不明显。

高中数学对偶式摘要：1.高中数学对偶式的基本概念2.对偶式的性质与应用3.求解对偶式的方法与技巧4.高中数学中对偶式的实际应用案例5.总结与展望正文：一、高中数学对偶式的基本概念高中数学中的对偶式，是指两个表达式，在变量、次数、项数相同的情况下，各项的系数互为相反数。

简单来说，对偶式就是两个多项式，一个各项系数为正，另一个各项系数为负。

它们在图形上表示的是同一条直线，只是方向相反。

二、对偶式的性质与应用1.对偶式的性质对偶式具有以下性质：（1）若两个多项式是对偶式，则它们的和、差、积、商仍是对偶式。

（2）若两个多项式是对偶式，则它们的公共因子也是对偶式。

2.对偶式的应用在高中数学中，对偶式主要应用于以下几个方面：（1）求解方程：利用对偶式的性质，将原方程转化为易于求解的形式。

（2）化简表达式：通过对偶式，将复杂的表达式化简为简单的形式。

（3）证明题目：利用对偶式证明一些数学命题。

三、求解对偶式的方法与技巧1.观察法：通过观察多项式的系数，判断是否为对偶式。

2.替换法：将多项式中的某一项替换为它的相反数，判断是否满足对偶式的条件。

3.因式分解法：对多项式进行因式分解，判断各项系数是否互为相反数。

四、高中数学中对偶式的实际应用案例案例1：求解方程组已知方程组：x + y = 5x - y = 1将两个方程相加，得到：2x = 6解得x = 3，将x 带入其中一个方程，求得y = 2。

案例2：化简表达式原式= (x + 1) / (x - 1) - (x - 1) / (x + 1)将原式化简为：=[(x+1)(x+1)-(x-1)(x-1)] / [(x-1)(x+1)]=[(x^2+2x+1)-(x^2-2x+1)] / [(x-1)(x+1)]=4x / [(x-1)(x+1)]五、总结与展望高中数学中的对偶式是一种重要的数学概念，掌握对偶式的性质和应用，能够帮助我们更好地解决实际问题。

在学习过程中，要熟练掌握对偶式的判断和求解方法，提高解题效率。

!巧构对偶式!妙解数学题"重庆市璧山中学!杨帆对偶!在语文中是一种修辞手法!如岳飞"满江红#中的诗句'三十功名尘与土!八千里路云和月(就是对偶句!殊不知!数学中也有对偶!处处可见给人以美感的对偶关系!有加便有减!有乘便有除!有几何就有代数!诸如此类!无不体现出数学中的对偶关系!然而!本文要讲的是另外一种对偶!一种隐藏在解题过程中的对偶式!要求解题者为了便于解题有意识去发现去构造的对偶式!这样的对偶式该如何构造呢+本文举例说明!!和差对偶 水到渠成和与差是一种对偶关系!如果我们遇到表达式O)&*L P)&*!那么可尝试构造表达式O)&*=P)&*来作为它的对偶关系式!利用这种关系来解题!可谓棋高一招!例!!)#*若"%$%'!!且,@56$*&21@$$/!求<:6$的值!)!*已知7!H!8!C5+!且7!*H!*8!*C!4#!求证%)7*H*&*)7*8*&*)7*C*&*)H*8*&*)H*C*&*)8*C*&4+!解 )#*由,@56$*&21@$$/想到构造,@56$"&21@$$%!于是由,@56$*&21@$$/!,@56$"&21@$$%!3得@56$$/*%+!21@$$/"%-!./再根据@56!$*21@!$$#!就可求得%$"$/!所以<:6$$,&!)!*证明%设D$)7*H*&*)7*8*&*)7*C*&*)H*8*&*)H*C*&*)8*C*&!则构造E$)7"H*&*)7"8*&*)7"C*&*)H"8*&*)H"C*&*)8"C*&!于是D*E$+)7&*H&*8&*C&*!7!H!*!7!8!*!7!C!*!H!8!*!H!C!*!8!C!*$+)7!*H!*8!*C!*!4+!又E,"!所以D4+!这样原不等式就成立了!"互倒对偶 由此及彼互倒对偶!就是指分子分母互换!由一个式子变出另一个式子!将它们相乘或建立方程组!往往会出现一些数学中的'奇特(现象!使数学解题更方便!更简捷!令人拍案叫绝!例"!)#*若&!%!@5)"!#*!求证%##"&*%*##"%*@*##"@*&,,!)!*已知对任意实数&5)"H!"*7)"!*H*总有/)&**!/#&)**&$"成立!试求函数%$/)&*的表达式!解 )#*证明%令D$##"&*%*##"%*@*##"@*&!构造对偶式!再令E$)#"&*%**)#"%*@**)#"@*&*$,!于是D*E$##"&*%*)#"&*%**##"%*@*)#"%*@**##"@*&*)#"@*&**##"%*@,!*!*!$+!而E$,!故D,,!即##"&*%*##"%*@*##"@*&,,!原不等式成立!)!*由于/)&**!/#&)**&$"!!!只需用#&替代上式中的&!便可构造对偶式/#&)**!/)&**#&$"!!"由!""2!!得/)&**&"&/)&*"!&$"!故/)&*$&!"!&,&)&$"*!#倒序对偶 配对成双在数列求和问题中!出现了一种倒序相加的求和"#备习备考解法探究!"!!年!月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.!方法!像当初数学小王子高斯就是用了倒序相加法求出了#*!*,*//*#""$/"/"的结果!其实高斯就是利用倒序构造对偶式!这种方法不仅对数列求和有用!对组合数求和问题也有立竿见影的效果!例#!)#*求和%A $4#:*!4!:*,4,:*&4&:*//*:4::&)!*在正项等比数列37:4中!Q $7#07!07,0//07:!A $7#*7!*7,*//*7:!试用A !Q 表示,$#7#*#7!*/*#7:!解析 )#*因为4#:$4:"#:!"4#4:!:5,8!故想到倒序构造对偶式%由A $"04":*4#:*!4!:*//*:4::!构造对偶式%A $:4":*):"#*4#:*):"!*4!:*//*"4::"把"化为%A $"04":*4#:*!4!:*//*:4::#!*#!得:4":*:4#:*//*:4:"#:*:4::!所以!A $:4":*:4#:*//*:4:"#:*:4::$:)4":*4#:*//*4:"#:*4::*!所以!A $:0!:!所以A $:0!:"#!)!*本题若用传统解法!需对I $#和I $#两种情形讨论!会陷入漫漫无期的运算绝境!而构造倒序对偶式!却能'柳暗花明又一村(!根据题意!得Q $7#07!07,0//07:!构造倒序对偶式%Q $7:07:"#07:"!0//07#"!2"!得Q !$)7#07:*0)7!07:"#*0//0)7:07#*$)7#07:*!!即Q $)7#07:*!再看%,$#7#*#7!*//*#7:#构造倒序对偶式%,$#7:*#7:"#*//*#7#$#*$!得!,$#7#*#7:)**#7!*#7:"#)**//*#7:*#7#)*!即!,$7#*7:7#07:*7!*7:"#7!07:"#*//*7:*7#7:07#!根据等比数列性质!右边的分母都是7#07:!故!,$)7#*7:**)7!*7:"#**//*)7:*7#*7#07:!即!,$!A 7#7:!所以,$A7#7:!又因为7#7:$Q !所以,$A Q$A:Q 槡!!$互余对偶独领风骚三角函数中的正弦与余弦!也是对偶元素!@56!&*21@!&$#!体现了它们之间的内在联系!正弦可以变成余弦!余弦也可以变成正弦!我们利用对偶函数来构造对偶式!同样也能解决一些看似不能解决的三角问题!例$!)#*已知&5"!'!12!解方程%21@!&*21@!!&*21@!,&$#&)!*试求@56!#"G *21@!&"G *@56#"G 21@&"G 的值!解析 )#*令D $21@!&*21@!!&*21@!,&!则可构造对偶式%E $@56!&*@56!!&*@56!,&!于是D *E $,!D "E $21@!&*21@&&*21@+&$!21@&21@,&*!21@!,&"#$!21@,&)21@&*21@,&*"#$&21@&21@!&21@,&"#!所以D "E $&21@&21@!&21@,&"#"!*"!得21@&21@!&21@,&$#&)!D "!*!又因为D $#!所以21@&21@!&21@,&$"!所以21@&$"或21@!&$"或21@,&$"!&5"!'!12!所以&$'+或&$'&或&$'!!)!*令D $@56!#"G *21@!&"G *@56#"G 21@&"G !根据正余弦平方和为#!构造对偶式%E $21@!#"G*@56!&"G "21@#"G @56&"G !于是D *E $!*@56#"G 21@&"G *21@#"G @56&"G $!*@56/"G!D "E $"21@!"G *21@-"G *@56#"G 21@&"G "21@#"G @56&"G $"!@56/"G @56,"G "@56,"G $"#!"@56/"G !所以D *E $!*@56/"G !D "E $"#!"@56/"G!./0所以D $,&!当然数学解题中的对偶式的构造远不止以上四种!比如!还有利用奇偶构造!利用轮换式构造!利用共轭关系构造!利用和为定值构造!利用积为定值构造等等!构造对偶式的目的只有一个!即优化解题过程!提高解题速度!发展数学思维能力!同时!我们也欣赏到了数学的内在美!激发了学习数学的兴趣!去追求数学解题的最高境界,,,简捷!-##!"!!年!月上半月解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

三角中对偶式的常规解法何为对偶式：在三角学上，如果把某个三角式中的角的位置转化为同角互余的弦值，那么得到的式子叫原式的对偶式。

这两个式子互为对偶式。

在化简求值或证明一些三角问题时。

如果能灵活的运用对偶的数学思想，合理的构造出对偶式，并对原式和对偶式进行和、差或积的计算，则可以使问题得到巧妙的解决。

例1化简cos72°cos36°方法一：原式=2sin36°cos36°cos72°2sin36°=2sin72°cos72°4sin36°=sin144°4sin36°=14方法二：令x=cos72°cos36°y=sin72°cos36°xy=sin36°cos36°sin72°cos72°xy=14sin72°sin144°把y=sin72°sin36°Qxsin72°sin36°=14sin72°sin144°x=14∴cos72°cos36°=14例2：求cosπ15cos2π15cos3π15cos4π15cos5π15cos6π15cos7π15的值。

方法一：cos5π15=cosπ3=12cosπ15cos2π15cos4π15cos7π15=-cosπ15cos2π15cos4π15cos8π15=-124sinπ152sinπ15cosπ15cos2π15cos4π15cos8π15=-sin16π1524sinπ15=124cos3π15cos6π15=cosπ5cos2π5=22sinπ5cosπ5cos2π522sinπ5=sin4π524sinπ5=122∴原式＝124·12·122＝1128方法二：令x=cosπ15cos2π15cos3π15cos4π15cos5π15cos6π15cos7π15y=sinπ15sin2π15sin3π15sin4π15sin5π15sin6π15sin7π15则27· xy=sin2π15sin4π15sin6π15sin8π15sin10π15sin12π15sin14π15=sin2π15sin4π15sin6π15sin7π15 sin5π15sin3π15sinπ15=y即：27·xy=yQy≠0∴x=127即原式=127=1128例3求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。

对偶式解析几何
对偶式在解析几何中主要应用于表示几何对象之间的关系，比如点、线、面等。

具体来说，对偶式可以表示点与点之间的关系，线与线之间的关系，以及线与点之间的关系等。

例如，在平面解析几何中，两点之间的距离公式可以表示为：$d =
\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。

这个公式就是一种对偶式，其中$x_1, y_1$和$x_2, y_2$分别表示两个点的坐标，而$d$表示这两点之间的距离。

此外，在解析几何中，对偶式还可以用于表示几何对象的其他属性，比如角度、长度、面积等。

这些属性都可以用对偶式来表示和计算。

以上是对偶式在解析几何中的一种基本应用。

对于更复杂的情况，可能需要使用更高级的数学工具和概念来处理。

巧造对偶式 妙解三角题对某些三角问题，解法固然很多，但若能根据已知式构造出一个与其成对偶关系的式子，再联立变形，则可快捷获解。

例1 求cos 12°cos 24°cos 48°cos 96°的值。

解：设原式= cos 12°cos 24°cos 48°cos 96°= A ，其对偶式为：sin 12°sin 24°sin 48°sin 96° = B ，则A ×B = cos 12°cos 24°cos 48°cos 96°sin 12°sin 24°sin 48°sin 96° =12sin 24°·12sin 48°·12sin 96°·12sin 192° = -116sin 12°sin 24°sin 48°sin 96° = - 116B ， ∴原式= A = -116。

例2 求54cos 52cos ππ+的值。

解：设原式=54cos 52cos ππ+ = A ， 其对偶式为：54cos 52cos ππ-= B ， 有A ×B =54cos 52cos 22ππ-=）（）（58cos 12154cos 121ππ+-+ =B 2152cos 54cos 21-=-）（ππ 。

，210-=∴≠A B 例3 求sin 220°+cos 250°+ sin 20°cos 50°的值。

（95年高考题）解：设原式= sin 220°+cos 250°+ sin 20°cos 50° = A ， 其对偶式为：cos 220°+sin 250°+ cos 20°sin 50° = B ，A +B =(cos 2200+sin 2200)+(cos 2500+sin 2500)+(sin 200cos 500+cos 200sin 500)=2+sin 700 --------(1)A -B =(sin 2200-cos 2200)+(cos 2500-sin 2500)+ (sin 200cos 500-cos 200sin 500)= -cos 400+cos 1000 +sin （-300）= -2sin 700sin 300-12= -12-sin 700 --------(2) (1)+(2): 2A =(2+sin 700)+(- 12-sin 700)= 32A =34, 即原式=34。