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新九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1-230°45°60°角的三角函数值同步练习新版北师大版

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九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.2 30°,45°,60°角的三角函数值作业设计

九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.2 30°,45°,60°角的三角函数值作业设计

1.2 30 °，45 °，60 °角的三角函数值一、选择题1．sin60°的值为（）A. B. C. D.2．若∠A=30°，则下列判断正确的是（）A．sin A=B．cos A=C．tan A=D．cot A=3．计算sin245°+cos30°×tan60°的结果是（）A．2 B．1 C. D.4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A，则tan A等于（）A. B. C. D.5．若∠α为锐角，且tan（α-10°）=，则∠α等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°6．如图，小明爬一土坡，他从A处到B处所走的直线距离AB=4 m，此时，他距离地面的高度h=2 m，则这个土坡的坡角∠A的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．以上都不对7．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A. m B．4 m C．4m D．8 m8．如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A．2 m B．2 mC．（2-2）m D．（2-2）m9．如图，要测量点B到河岸AD的距离，在点A测得∠BAD=30°，在点C测得∠BCD=60°，又测得AC=100 m，则点B到河岸AD的距离为（）A．100 m B．50 m C. m D．50 m二、填空题10．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，如果sin A=，cos B=，那么∠C=________°．11．若α是锐角，tanα=2cos30°，则α=________°.12．如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在点C测得∠ACB=30°，在点D测得∠ADB=60°，若CD=100 m，则河宽AB为________m（结果保留根号）．13．在△ABC中，若锐角∠A，∠B满足关系式+（sin B-）2=0，则∠C=________°.14．如图，在△ABC中，∠A=30°，tan B=，BC=，则AB的长为________．三、解答题15．计算：（1）（2cos45°-sin60°）+；（2）-tan45°+tan30°；（3）cos245°+-×tan30°；（4）+3tan30°-（-5）0-（-）-1.16．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：在一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板的直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．17．如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tan B=.（1）求BC的长；（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，）．18．对于钝角∠α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α）．（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的度数之比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数．参考答案一、1．C2．A 3．A4．B 5．C 6．A 7．B 8．B 9．B二、10．105 11．60 12．5013．75 14．3+三、15．解：（1）原式=×（2×-）+=2-+=2．（2）原式=-1+×=1-1+1=1．（3）原式=（）2+-×=+-1=．（4）原式=-1+3×-1+3=-1+-1+3=2+1．16．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，∴AC==2，∴EF=AC=2．∵∠ECF=90°，∠E=45°，∴FC=EF·sin E=，∴AF=AC- FC=2-．∴AF的长为2-．17．解：（1）如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D．∵∠ACB=150°，∴∠ACD=30°.在Rt△ADC中，AC=4，∴AD =AC =2，CD =AC ·cos30°=4×=2．在Rt△ABD 中，∵tan B ===，∴BD =16． ∴BC =BD - CD =16-2．（2）如图，在BC 边上取一点M ，使CM =AC ，连接AM ． ∵∠ACB =150°，∴∠AMC =∠MAC =15°． ∴tan15°=tan∠AMD ==≈0.3．18．解：（1）由题意，得sin120°=sin （180°-120°）=sin60°=，cos120°=-cos （180°-120°）=-cos60°=-， sin150°=sin （180°-150°）=sin30°=． （2）∵三角形的三个内角的度数之比是1：1：4， ∴三个内角分别为30°，30°，120°．①当∠A =30°，∠B =120°时，方程的两根分别为，-． 将x=代入方程，得4×（）2-m -1=0，解得m =0． 经检验，x=-是方程4x 2-1=0的根，∴m =0符合题意． ②当∠A =120°，∠B =30°时，两根均为，不符合题意．③当∠A =30°，∠B =30°时，两根分别为12，.将x=代入方程，得4×（）2-m -1=0，解得m =0． 经检验，x=不是方程4x 2-1=0的根．综上所述，m=0，∠A=30°，∠B=120°．。

02-第一章230°,45°,60°角的三角函数值

02-第一章230°,45°,60°角的三角函数值

60°.
栏目索引
解析 (1)原式=3× 3 -2× 3 -2× 2 = 3 - 3 - 2 =- 2 .
3
2
2
1 -1
(2)原式= 2
3
2
3-6 3
=
3 -3 3
=
3 (-3 3
=
3)(2
3-3) = 27-15
3
=9-5
3.
3 1 2 3 3 2 3 3 (2 3 3)(2 3-3)
2
cos α
3 2
45°
2
2
2
2
60°
3
1
2
2
tan α
3 3
1
3
2 30°,45°,60°角的三角函数值
栏目索引
知识拓展 (1)通过该表可以知道30°,45°,60°角的三角函数值,它的另一个
应用是如果知道了一个锐角的三角函数值,就可以求出这个锐角的度数.
例:若sin θ= 2 ,则锐角θ=45°.
3
2 30°,45°,60°角的三角函数值
3.点A(cos 60°,-tan 30°)关于原点对称的点A1的坐标是 (
A.
-
1 2
,
3
3
C.
-
1 2
,-
3
3
B. -
3, 2
3
3
D.
-
1 2
,
3
2
栏目索引
)
答案 A 关于原点对称的两点的横、纵坐标分别互为相反数.
2 30°,45°,60°角的三角函数值
例2 如图1-2-2,在相距100 m的A,B两处观测工厂C,测得∠BAC=60°,∠ ABC=45°,则A,B两处到工厂C的距离分别是多少?(结果保留根号)

第一章 直角三角形的边角关系2 30°,45°,60°角的三角函数值

第一章 直角三角形的边角关系2 30°,45°,60°角的三角函数值

2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30°,高为7m,扶 梯的长度是多少? 【解析】如图所示,BC=7m， B
∠A=30°
sinA=
BC 7 1 ， AB AB 2
C
A
∴AB=14 m.
即扶梯的长度为14 m.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
B
c a ┌ C
∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c.
A 30° B D 60° C【解析】104．（丹东·中考）计算：
24 . 2 (2 cos 45 sin 60 ) 4
2 3 2 6 【解析】 原式 2 (2 ) 2 2 4
6 6 2 2 2 =2.
5．（巴中·中考）已知，如图所示，在梯形ABCD中，
AD∥BC，AB＝AD＝DC＝8，∠B＝60°，连接AC．
B c 直角三角形三边的关系. 直角三角形两锐角的关系. A b ┌ C a
直角三角形边与角之间的关系.
特殊角30°,45°,60°角的三角函数值. 互余两角之间的三角函数关系. 同角之间的三角函数关系
45° 30°
45°
┌
60°
┌
真理的大海，让未发现的一切事物躺卧在
我的眼前，任我去探寻。
——牛顿
3 . 2
（2）∵AB＝AD＝DC＝8，∠ACB=30°，∴BC=2AB=16，
∵E,F分别是AB,DC的中点，
∴EF= ( AD BC ) (8 16 ) =12.
1 2 1 2
【规律方法】 1.记住30°，45 °，60 °角的三角函数值及推导方 式，可以提高计算速度. 2.会构造直角三角形，充分利用勾股定理的有关知识结 合三角函数灵活运用.

2018_2019学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.230°45°60°角的三角函数值

2018_2019学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.230°45°60°角的三角函数值

30°，45°，60°角的三角函数值课题2　30°，45°，60°角的三角函数值授课人知识技能经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理．进一步体会三角函数的意义．数学思考能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算．问题解决能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说明相应的锐角的大小．教学目标情感态度积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；通过“试验—猜想—证明—应用”的数学活动提升科学素养．教学重点能够进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算．教学难点进一步体会三角函数的意义．授课类型新授课课时教具多媒体课件教学活动两个锐角的三角尺；②皮尺．请你设计一可．③在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，设BE＝a 米，则AD＝a米，如何求CD呢？④含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，即AC＝2CD.根据勾股定理，得(2CD)3以进行网购，积极抢购订单的形式引入新课，大大调动了学生学习的积极性，既复生：(积极“抢购订单”)订单1：sinA ＝，cosA ＝，tanA ＝.∠A 的对边斜边∠A 的邻边斜边∠A 的对边∠A 的邻边订单2：sinA 的值越大，梯子越陡；tanA 的值越大，梯子越陡；cosA 的值越小，梯子越陡.订单3：一副三角尺含有30°，60°和45°三种锐角．品，现在老师想研发一些新产品并投放到商铺出售，大家帮助老师研发如何？老师想研发以下几种新产品(利用多媒体投影)：以及自己的问题所在，对教师而言，对学生在本节课存在的问题有了一个大概的了解．让学生能熟练地活动二：实践探究交流新知学生分组求值：三角函数值角αsinαcosαtanα30°123233 45°22221 60°32123活动三：开放训练体现【应用举例】例1　计算：(1)sin30°＋cos45°；(2)sin260°＋cos260°－tan45°.解：(1)sin30°＋cos45°＝＋＝.12221＋221.教师引导学生分析，本题旨在帮助学生巩固记忆特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角的三角函数值果精确到0.01 m)[解析] 引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.解：根据题意画出如图1－2－15所示的示意图.学生出错的机会，让学生在对与错之间有足够的思维时间和空间.活动三：开放训练体现应用【拓展提升】例3　计算：(1)sin60°－tan45°； (2)cos60°＋tan60°；(3)sin45°＋sin60°－2cos45°.22[答案：(1)－1　(2)＋　(3)＋－]3212312322例4　求适合下列条件的锐角α：例3、例4把求特殊角的三角函数值和已知角的三角函数值求角这两个相反方向的问题安排在一起，目的是体现锐角三角函数中例5　图1－2－16为住宅区内的两幢楼，它们的高AE ＝CF ＝30 m ，两楼间的距离AC ＝24 m ，现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光线与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高(精确到0.1 m ，≈1.41，≈1.73).23符合题意的直角三角形.答：甲楼的影子在乙楼上的高约为16.2 m．活动四：课堂总结反思当堂检测，及时反馈学习效果.(续表)【板书设计】2　30°，45°，60°角的三角函数值学生探究特殊角的三角函数值表例1例2学生板书提纲挈领，重点突出.活动四：课堂总结反思【教学反思】①[授课流程反思]在这节课的引入中，设置了丰富的情景，既调动了学生的求知欲和好奇心，又让学生在解决问题的过程中寻求方法，感悟新知.②[讲授效果反思]本节课通过小组合作交流形式，让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学生独立思考问题的习惯，并在数学活动中获得成功的体验，对学生锻炼克服困难的意志，建立自信心很有帮助，以后教学中要继续发扬.③[师生互动反思]______________________________________________________________________________________________________④[习题反思]好题题号 错题题号 反思，更进一步提升.。

九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.2 30°、45°、60°角的三角函数值

九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.2 30°、45°、60°角的三角函数值

2021/12/11
第二十三页，共二十八页。
2 30°，45 °，60°角的三角函数(sānjiǎhánshù)
素养提升
新定义题 对于钝角α，定义它的三角函数(sānjiǎhánshù)值如下： sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α)． (1)求sin120°，cos120°，sin150°的值； (2)若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点 ，sinA，cosB是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和 ∠B的度数．
2021/12/11
第六页，共二十八页。
图K－3－1
2 30°，45 °，60°角的三角函数(sānjiǎhánshù)
2 5．如果在△ABC 中，∠A，∠B 为锐角，且 sinA＝cosB＝ 2 ，
那么下列对△ABC 最确切的描述是( C )
A．△ABC 是直角三角形
B．△ABC 是等腰三角形
C．△ABC 是等腰直角三角形
D．△ABC 是锐角三角形
[解析] C 根据特殊角的三角函数值，直接得出∠A，∠B 的度数．∵sinA ＝cosB＝ 22，∴∠A＝∠B＝45°，∴△ABC 是等腰直角三角形．
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第七页，共二十八页。
2 30°，45 °，60°角的三角函数(sānjiǎhánshù)
6．在△ABC 中，∠A，∠B 是锐角，且有|tanB－ 3|＋(2sinA－ 3)2
cos30° 2sin60°＋1
－
3
×tan30°.
[解析(jiě xī)] 根据特殊角的三角函数值，可得答案．
2021/12/11
第十七页，共二十八页。

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.0°45°60°角的三角函数值1

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.0°45°60°角的三角函数值1
图1－2－11
生：(积极“抢购订单”)
订单1：sinA＝ ，cosA＝ ，tanA＝ .
订单2：sinA的值越大，梯子越陡；tanA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡.
订单3：一副三角尺含有30°，60°和45°三种锐角．
以生活中的实例入手，活跃学生的思维，激发其学习的热情，并由此引出新课.
情感态度
积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；通过“试验—猜想—证明—应用”的数学活动提升科学素养．
教学
重点
能够进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算．
教学
难点
进一步体会三角函数的意义．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
我们已经学习了正切、正弦和余弦函数，同学们还记得它们的概念吗？在直角三角形中对于同一个锐角来说，这三种三角函数分别对应了哪两条边的比值？
图1－2－14
【探究2】熟记特殊角的三角函数值
仿照上面解决问题的过程，共同求一下30°，45°，60°角的三角函数值，然后填写下表.
1.通过本环节学生知道了本节课的知识点以及自己的问题所在，对教师而言，对学生在本节课存在的问题有了一个大概的了解．让学生能熟练地求出三个特殊角的三角函数值．对于此题的处理，教师不做解释，只出示答案.
2.借助学生熟悉的一副三角板入手，让学生根据三角函数的定义分别求30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值．培养学生合作交流的习惯，进一步体验数形结合思想在解决数学问题中的广泛应用，并体会数学知识来源于实际生活，感受学习数学的乐趣.
活动
二：
实践

九下第一章直角三角形的边角关系230°45°60°角的三角函数值作业新版北师大版

九下第一章直角三角形的边角关系230°45°60°角的三角函数值作业新版北师大版

D
【点拨】A.sin 45°＋cos 45°＝ ，故错误； B．因为2tan 30°＝ ，tan 60°＝ ， 所以2tan 30°≠tan 60°，故错误； C．因为2sin 60°＝ ，tan 45°＝1， 所以2sin 60°≠tan 45°，故错误； D．因为sin230°＝ ， cos 60°＝ ， 所以sin230°＝ cos 60°，故正确．故选D.
5．计算： (1)4cos 30°－cos 45°tan 60°＋2sin 245°；
6.
30°
60°
30°
45°
45°
45°
60°
30°
60°
7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝ ，则∠B的大小是( ) A．30° B．45° C．60° D．75°
A
8．已知α是锐角，3tan (90°－α)－ ＝0，则α＝( ) A．30° B．40° C．45° D．60°
C
14．【新考向】定义一种运算：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.例如：当α＝60°，β＝45°时，sin(60°－45°)＝ ＝ ，则sin 75°的值为____________．
15．已知α为锐角，sin (α＋15°)＝ ，计算 －4cos α＋tan α＋ 的值．
16．【学科素养·应用意识】为保证车辆行驶安全，现在公路旁设立一检测点A观测行驶的汽车是否超速．如图，检测点A到公路的距离是24 m，在公路上取两点B，C，使得∠ACB＝30°，∠ABC＝120°. (1)求BC的长(结果保留根号)；
1．
α
sin α
cos α

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.230°,45°,60°角的三角函数值课件(新版)北师大版

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.230°,45°,60°角的三角函数值课件(新版)北师大版

3
又∠BCA=600
BC
，AB=12m，
7
┐ BC
3 12 BC
答：B、C间的距离约是7m.
习题1.3 第3题
3.如图,身高1.75m的小丽用一个两锐角分别是300和600 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为 5m,那么这棵树大约有多高? （精确0.1m）
解:在Rt△ACD中，∠CAD＝30°
450
45┌0
你是怎样得到的？与同伴进行交流.
300
60┌0
根据下面的计算，完成下表
（1）60°角的三角函数值分别是多少？你是怎样得到的？
（2）45°角的三角函数值分别是多少？你是怎样得到的？
做一做
特殊角的三角函数值表
三角函数 锐角α
正弦sinα
余弦cosα
正切tanα
30°
1
3
3
2
2
3
要能记 住有多好
(sin600)2
2
(2)sin260°+cos2600-tan45°
cos2600表示

3 2
2


1 2
2
1
(cos600)2
3 1 1
44
0.
知识运用
例2 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为
2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且
第一章 直角三角形的边角关系
1.2 30°，45°，60°角的三 角函数值
回顾与思考
锐角三角函数定义
如图所示 在 Rt△ABC中，∠C=90°
sin A a , c
cos A b , c
sin B b , c

北师大版九年级下册数学：1. 2 30°,45°,60°角的三角函数值(共17张PPT)

北师大版九年级下册数学：1. 2 30°,45°,60°角的三角函数值(共17张PPT)

1
2
3
3
2
3
450
2 2
2
2
1
600
3 2
1 2
3
例题解析：
例1 计算: (1)sin300+cos450;(2) sin2600+cos2600-tan450.
注意事项 Sin2600表示 (sin600)2, cos2600表示 (cos600)2,
快速抢答：
1、计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果 是（ ）．
北师大版数学九年级下
第一章 直角三角形的边角关系
1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
回顾与思考
锐角三角函数定义
如图所示 在 Rt△ABC中，∠C=90°。
sinA=
sinB=
cosA=
cosB=
tanA=
tanB=
A
思考：sinA和cosB,有什么关系?
tanA和tanB，有什么关系？
B
证明:sin2A+cos2A=1
要点
A
B
c
Байду номын сангаас
a
┌
b
C
sin2A+cos2A=1它反映了直角三角形中边角之间的关系
谢谢！
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾 得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲 远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若 陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝 在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的 己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要 美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境 任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态 心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才 随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可 困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限 也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多 幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴 最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为 不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求， 可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华 心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面 人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定 一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩 为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道 就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷 长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不 面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为 价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫 的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。 有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要 面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放 个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的痛苦 不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他们给了 无私的人。

2018_2019学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.230°45°60°角的三角函数值

2018_2019学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.230°45°60°角的三角函数值

30°，45°，60°角的三角函数值
④含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，即AC＝2CD.根据勾股定理，得(2CD)2＝CD2＋
a2，解得CD＝
3
3
a.
则树的高度即可求出．
⑤我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么形式引入新课，大大调动了学生学习的积极性，既复习了上节课的重点知识，又为本课的
活动
图1－2－12
“产品”1：
问题有了一个大概的
了解．让学生能熟练
地求出三个特殊角的
三角函数值．对于此
题的处理，教师不做
题意的直角三角形. m，两楼间的距离AC＝24 m，现需了解甲楼对乙楼采光的影响情
况．当太阳光线与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙
楼上有多高(精确到0.1 m，2≈1.41，3≈1.73).
(续表)。

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新九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1-230°45°60°角的三角函数值同步练习新版北师大版(三)[第一章 2 30°，45 °，60°角的三角函数值]一、选择题1．2018·大庆2cos60°＝( ) A ．1 B. 3 C. 2 D.122．计算sin 240°＋cos 240°的值为( ) A ．0 B.12C ．1D ．23．在△ABC 中，若∠C ＝90°，tan A ＝3，则sin B 的值为( )A .32 B .22 C .12 D .334．如图K －3－1，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA 交于点B ，再以点B 为圆心，BO 长为半径画弧，两弧交于点C ，画射线OC ，则cos ∠AOC 的值为( )图K －3－1A .12B .33 C .22 D .325．如果在△ABC 中，∠A ，∠B 为锐角，且sin A ＝cos B ＝22，那么下列对△ABC 最确切的描述是( )A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形6．在△ABC中，∠A，∠B是锐角，且有|tan B－3|＋(2sin A－3)2＝0，则△ABC的形状是( )链接听课例2归纳总结A．等腰(非等边)三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形7．如图K－3－2，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 2 m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长3 3 m，则鱼竿转过的角度是( )图K－3－2A．60°B．45°C．15°D．90°二、填空题8．点 M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是________．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5 2，AC＝5 6，则∠A＝________°.10．如图K－3－3，小明爬一土坡，他从A处到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他距离地面的高度h＝2米，则这个土坡的坡角∠A＝________°.图K－3－311．已知∠AOB＝60°，P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM＝4，则点P到点M与到边OB的距离之和的最小值是________．12．如图K－3－4，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3，则AB的长为________．图K－3－4三、解答题13．计算：(1)2017·期末sin30°－2cos230°＋(－tan45°)2018；(2)2017·一模cos245°＋cos30°2sin60°＋1－3×tan30°.链接听课例1归纳总结14．已知α为锐角，sin(α＋15°)＝32，求8－4cosα＋tanα＋(13)－1的值．15．如图K－3－5，一数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得点A的仰角为30°.求树高．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)链接听课例3归纳总结图K－3－516．如图K－3－6，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC＝2 m，CD ＝5.4 m，∠DCF＝30°，请你计算车位所占的宽度EF为多少米．(3≈1.73，结果精确到0.1 m)图K－3－6新定义题对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α)．(1)求sin120°，cos120°，sin150°的值；(2)若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数．详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] A 2cos60°＝2×12＝1.故选A.2．[答案] C 3．[答案] C4．[解析] A 连接BC ，由题意可得：OB ＝OC ＝BC ，则△OBC 是等边三角形，故cos ∠AOC ＝cos60°＝12.故选A.5．[解析] C 根据特殊角的三角函数值，直接得出∠A ，∠B 的度数．∵sin A ＝cos B ＝22，∴∠A ＝∠B ＝45°，∴△ABC 是等腰直角三角形． 6．[解析] C 根据题意，得tan B －3＝0，2sin A －3＝0，∴tan B ＝3，sin A ＝32，∴∠B ＝60°，∠A ＝60°，故∠C ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．故选C.7．[解析] C ∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝3 26＝22，∴∠CAB ＝45°.∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝3 36＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.故选C.8．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 [解析] ∵sin60°＝32，cos60°＝12，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12.∵点M 关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标为其相反数，∴点M 关于x 轴对称的点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12. 9．[答案] 30[解析] ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5 2，AC ＝5 6，∴tan A ＝5 25 6＝33，∴∠A ＝30°.故答案为30.10．[答案] 3011．[答案] 2 3[解析] 过点M 作MN ⊥OB ，MN 的长即为所求． ∵∠AOB ＝60°，OM ＝4，∴MN ＝4×sin60°＝2 3. 12．[答案] 3＋ 3[解析] 过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则△ACD 和△BCD 都是直角三角形． 在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴AD ＝AC ·cos A ＝2 3×32＝3，CD ＝AC ·sin A ＝2 3×12＝ 3.在Rt △BCD 中，∠BDC ＝90°，∴BD ＝CD ＝3，∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.13．[解析] 根据特殊角的三角函数值，可得答案． 解：(1)原式＝12－2×(32)2＋(－1)2018＝12－32＋1＝0.(2)原式＝(22)2＋322×32＋1－3×33＝12＋3－34－1＝1－34. 14．解：∵sin(α＋15°)＝32，α为锐角， ∴α＝45°，∴8－4cos α＋tan α＋(13)－1＝2 2－2 2＋1＋3＝4.15．解：由题意，得∠B ＝90°，∠D ＝30°，∠ACB ＝45°，DC ＝10米， 设AB ＝x 米，则CB ＝x 米，DB ＝3x 米， 所以3x ＝x ＋10，所以(3－1)x ＝10，所以x ＝103－1＝5 3＋5≈5×1.732＋5＝8.66＋5＝13.66≈13.7.答：树高约为13.7米． 16．解：在Rt △DCF 中，∵CD ＝5.4 m ，∠DCF ＝30°，sin ∠DCF ＝DF CD ＝DF 5.4＝12，∴DF ＝2.7 m.∵∠CDF ＋∠DCF ＝90°， ∠ADE ＋∠CDF ＝90°， ∴∠ADE ＝∠DCF ＝30°. ∵AD ＝BC ＝2 m ，cos ∠ADE ＝DE AD ＝DE 2＝32，∴DE ＝ 3 m ， ∴EF ＝DF ＋DE ≈2.7＋1.73≈4.4(m)．答：车位所占的宽度EF 约为4.4 m. [素养提升][解析] (1)按照题目所给的信息求解即可； (2)分三种情况进行分析：①当∠A ＝30°，∠B ＝120°时；②当∠A ＝120°，∠B ＝30°时；③当∠A ＝30°，∠B ＝30°时，根据题意分别求出m 的值即可．解：(1)由题意得sin120°＝sin(180°－120°)＝sin60°＝32， cos120°＝－cos(180°－120°)＝－cos60°＝－12，sin150°＝sin(180°－150°)＝sin30°＝12.(2)∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4，∴三角形的三个内角分别为30°，30°，120°.①当∠A ＝30°，∠B ＝120°时，方程的两根为12，－12.将12代入方程，得4×(12)2－m ×12－1＝0，解得m ＝0，即方程为4x 2－1＝0.经检验，－12是方程4x 2－1＝0的根，∴∠A ＝30°，∠B ＝120°符合题意；②当∠A ＝120°，∠B ＝30°时，方程的两根为32，32，不符合题意； ③当∠A ＝30°，∠B ＝30°时，方程的两根为12，32，将12代入方程，得4×(12)2－m ×12－1＝0，解得m ＝0，即方程为4x 2－1＝0.经检验，32不是方程4x 2－1＝0的根， ∴∠A ＝30°，∠B ＝30°不符合题意．综上所述，m ＝0，∠A ＝30°，∠B ＝120°.。