新高中人教B版数学必修二同步练习：1.2.3_第1课时_直线与平面垂直(含答案)

1．2.3空间中的垂直关系 第1课时直线与平面垂直学习目标1.理解直线与平面垂直的定义及性质.2.掌握直线与平面垂直的判定定理及推论，并会利用定理及推论解决相关的问题．知识点一直线与平面垂直的定义及性质思考在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？梳理直线与平面垂直的定义及性质 (1)直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或________________相交于一点，并且交角为________，则称这两条直线互相垂直．(2)直线与平面垂直的定义及性质知识点二直线和平面垂直的判定定理及推论将一块三角形纸片ABC 沿折痕AD 折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD ，DC 与桌面接触)．观察折痕AD 与桌面的位置关系．思考1折痕AD 与桌面一定垂直吗？思考2当折痕AD 满足什么条件时，AD 与桌面垂直？梳理直线与平面垂直的判定定理及推论类型一直线与平面垂直的判定例1如图，已知P A 垂直于⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，求证：BC ⊥平面P AC .引申探究若本例中其他条件不变，作AE ⊥PC 交PC 于点E ，求证：AE ⊥平面PBC .反思与感悟利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直．(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线．(3)根据判定定理得出结论．跟踪训练1如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.类型二线面垂直的性质的应用例2如图所示，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.反思与感悟平行关系与垂直关系之间的相互转化跟踪训练2如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.类型三线面垂直的综合应用例3如图所示，已知P A⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN⊥CD.反思与感悟若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．跟踪训练3如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点，求证：(1)DF∥平面ABC；(2)AF⊥BD.1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．A．①③B．②C．②④D．①②④2．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交D．不确定3．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是()A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥αB．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥αD．m∥b，b⊥α4．如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B，D，BD⊥EF，则AC与EF的位置关系是________．5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.1．直线与平面垂直的判定方法：(1)利用定义；(2)利用判定定理，其关键是在平面内找两条相交直线．2．对于线面垂直的性质定理(推论2)的理解：(1)直线与平面垂直的性质定理(推论2)给出了判定两条直线平行的另一种方法．(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．答案精析问题导学知识点一思考不变，90°.梳理(1)经过平移后直角(2)任何直线都垂直AB⊥α垂线垂面垂足垂线段距离任意一条知识点二思考1不一定．思考2当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．梳理相交m⊂αn⊂α平行l∥m同一个m⊥α题型探究例1证明∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.引申探究证明由例1知BC⊥平面P AC，又∵AE⊂平面P AC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.跟踪训练1证明(1)因为SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又因为SB＝SA，SD＝SD，所以△ADS≌BDS.所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为BA＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥平面ABC，所以SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，所以BD ⊥平面SAC .例2证明如图，连接AB 1，B 1C ，BD ，B 1D 1. ∵DD 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DD 1⊥AC .又AC ⊥BD ，DD 1∩BD ＝D ， ∴AC ⊥平面BDD 1B 1， ∴AC ⊥BD 1.同理，BD 1⊥B 1C ，∴BD 1⊥平面AB 1C . ∵EF ⊥A 1D ，且A 1D ∥B 1C ， ∴EF ⊥B 1C . 又∵EF ⊥AC ，∴EF ⊥平面AB 1C ，∴EF ∥BD 1. 跟踪训练2证明因为EA ⊥α，α∩β＝l ， 即l ⊂α，所以l ⊥EA . 同理l ⊥EB ， 又EA ∩EB ＝E ， 所以l ⊥平面EAB . 因为EB ⊥β，a ⊂β， 所以EB ⊥a ，又a ⊥AB ，EB ∩AB ＝B ， 所以a ⊥平面EAB .因此，a ∥l .例3证明如图，取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，因为N 为PC 的中点， 则NE ∥CD ， NE ＝12CD ，又因为AM ∥CD ，AM ＝12CD ，所以AM ∥NE ，AM ＝NE ， 即四边形AMNE 是平行四边形， 所以MN ∥AE .因为P A ⊥矩形ABCD 所在平面， 所以P A ⊥CD ，又四边形ABCD 为矩形， 所以AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD ，AE ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥AE ，所以MN ⊥CD . 跟踪训练3证明(1)取AB 的中点G ，连接FG ，CG ，可得FG ∥AE ，FG ＝12AE .∵CD ⊥平面ABC ，AE ⊥平面ABC ， ∴CD ∥AE . 又∵CD ＝12AE ，∴FG ∥CD ，FG ＝CD . ∴FG ⊥平面ABC ，∴四边形CDFG 是矩形，DF ∥CG . 又∵CG ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ， ∴DF ∥平面ABC .(2)在Rt △ABE 中，∵AE ＝AB ，F 为BE 的中点， ∴AF ⊥BE .∵△ABC 是正三角形， ∴CG ⊥AB ，∴DF ⊥AB .∵AE ⊥平面ABC ，CG ⊂平面ABC ， ∴AE ⊥CG ，∴AE ⊥DF .且AE ∩AB ＝A ，∴DF ⊥平面ABE ，∵AF⊂平面ABE，∴AF⊥DF.∵BE∩DF＝F，BE⊂平面BDE，DF⊂平面BDE，∴AF⊥平面BDE，∴AF⊥BD.当堂训练1．A2.B3.D4．垂直解析∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD，故直线AB与CD确定一个平面．∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，又BD⊥EF，AB∩BD＝B，∴EF⊥平面ABDC.∵AC⊂平面ABDC，∴AC⊥EF.5．证明∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.。

学必求其心得，业必贵于专精1。

2。

3空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直一、非标准1.直线a与平面α内的两条直线垂直，则直线a与平面α的位置关系是（)A。

相交B。

平行C。

直线a在平面α内D。

以上均有可能解析:借助于正方体模型,得直线a与平面α平行或相交或直线a在平面α内，故选D。

答案：D2.设α表示平面，a,b，l表示直线，给出下列四种说法：①a⊥l b⊥la⊂αb⊂α}⇒l⊥α;②a∥b a⊥α}⇒b⊥α；③a∥αa⊥b }⇒b⊥α；④b⊂αa⊥b}⇒a⊥α。

其中正确的是( )A。

①② B.②③C。

③④ D.②解析：①中当a,b相交时才成立；③中由a∥α,b⊥a知b∥α或b⊂α或b⊥α或b与α相交不垂直;④中当a⊂α时，能找到满足条件的b,从而不正确。

答案:D3.如图所示,PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为（)A.4B.3C.2D。

1解析：因为PA⊥平面ABCBC⊂平面ABC }⇒PA⊥BCAC⊥BCPA⋂AC=A}⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，所以直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC。

故选A。

答案:A4.设a,b是异面直线，下列命题正确的是（）A.过不在a，b上的一点P一定可以作一条直线和a,b都相交B。

过不在a,b上的一点P一定可以作一个平面和a,b都垂直C.过a一定可以作一个平面与b垂直D.过a一定可以作一个平面与b平行解析：过a上一点作直线b’使b'∥b,则a与b’确定的平面与直线b平行。

答案:D学必求其心得，业必贵于专精5。

在正方形SG1G2G3中,E，F分别是G1G2和G2G3的中点,D是EF 的中点,现在沿SE，SF和EF把这个正方形折起,使点G1，G2，G3重合,重合后的点记为G,那么下列结论成立的是( ）A。

SD⊥平面EFG B。

SG⊥平面EFGC.GF⊥平面SEFD.GD⊥平面SEF解析：折起后SG⊥GE,SG⊥GF,又GF与GE相交于G，故SG⊥平面EFG.答案：B6。

1．将直线与平面垂直的判定定理“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面”用集合符号语言表示为()．A．mα，m n＝B，l⊥n，l⊥m l⊥αB．mα，nα，m n＝B，l⊥m，l⊥n l⊥αC．mα，nα，m n＝B l⊥n，l⊥m，l⊥αD．mα，nα，l⊥m，l⊥n l⊥α2．过平面α外一点P，⊥存在无数条直线与平面α平行；⊥存在无数条直线与平面α垂直；⊥有且只有一条直线与平面α平行；⊥有且只有一条直线与平面α垂直．A．1 B．2 C．3 D．4⊥若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；⊥直线a不垂直于平面α，则α内与a垂直的直线有无数条；⊥垂直于同一直线的两条直线相互平行；⊥在空间中，过一点与已知直线垂直的直线有无数条．A．⊥和⊥ B．⊥和⊥C．⊥和⊥ D．⊥和⊥4．与空间四边形ABCD的四个顶点距离相等的平面共有()．A．1个B．5个C．6个D．7个5．如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，P A⊥平面ABCD，若在BC边上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值为______．6．如图所示，下列五个正方体图形中，l是正方体的一条体对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是______．(写出所有符合要求的图形的序号)7．如图(1)，矩形纸片AA′A′1A1，B、C、B1、C1分别为AA′，A1A′1的三等分点，将矩形纸片沿BB1、CC1折成图(2)所示的三棱柱，若面对角线AB1⊥BC1，求证：A1C⊥AB1．8．如图所示，在矩形ABCD中，AB BC＝3，沿对角线BD将⊥BCD折起，使点C移到点C′，且C′O⊥平面ABD于点O，点O恰在AB上．(1)求证：BC′⊥平面ADC′；(2)求点A到平面BC′D的距离．9.如图所示的多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点．正方体的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧．正方体上与顶点A相邻的三个顶点到α的距离分别为1、2、4．P是正方体中不与A相邻的四个顶点中的一个，则P到平面α的距离可能是：⊥3；⊥4；⊥5；⊥6；⊥7．以上结果正确的为________.(写出所有正确结果的编号)参考答案1.答案：B2.答案：B解析：只有⊥⊥正确．3.答案：D4.答案：D解析：连接空间四边形的对角线，共有6条线，取这六条线的中点，由这六个中点所确定的平面即满足条件，它们共可确定7个平面．5.答案：2解析：⊥P A⊥平面ABCD，⊥P A⊥QD，又⊥PQ⊥QD，⊥QD⊥平面P AQ，⊥AQ⊥QD.即Q 在以AD为直径的圆上，当圆与BC相切时，点Q只有一个，故BC＝2AB＝2．6.答案：⊥⊥⊥解析：⊥正方体的体对角线与其不相交的面对角线垂直，⊥可得⊥中直线l垂直于平面MNP中的两条相交直线，⊥由⊥能得出l⊥平面MNP；但⊥⊥中平面MNP不与⊥中的平面MNP平行，这样由⊥⊥不能得到l⊥平面MNP；⊥中易得l⊥MP，而MN也与下底面对角线平行，所以⊥同样可得l⊥平面MNP；问题⊥不易判断，这里略证一下：如图，E、F、G是正方体棱的中点，则过P、M、N的截面就是六边形PGMENF.⊥l⊥PF，l⊥FN，⊥l⊥平面PFN，即l⊥平面PGMENF，即l⊥平面PMN.7.证明：分别取AB及A1B1的中点D和D1，连接CD、C1D1、BD1、A1D，由题设⊥ABC 及⊥A1B1C1为正三角形，故C1D1⊥A1B1，CD⊥AB，又AA1⊥A1B1，AA1⊥A1C1，A1B1A1C1＝A1，故AA1⊥平面A1B1C1，⊥C1D1平面A1B1C1，⊥AA1⊥C1D1，又AA1A1B1＝A1，⊥C1D1⊥平面ABB1A1，故C1D1⊥AB1．⊥AB1⊥BC1，又C1D1BC1＝C1，⊥AB1⊥平面BC1D1，又BD1平面BC1D1，⊥AB1⊥BD1，⊥A1D⊥BD1，C1D1平面BC1D1，⊥A1D⊥AB1，AB1⊥C1D1．⊥CD⊥C1D1，⊥AB1⊥CD，又A 1D CD ＝D ，⊥AB 1⊥平面A 1DC ，⊥A 1C平面A 1DC ，⊥A 1C ⊥AB 1． 8. 证明：(1)因为C ′O ⊥平面ABD ，AD 平面ABD ，所以C ′O ⊥AD ，又因为AD ⊥AB ，AB C ′O ＝O ，所以AD ⊥平面ABC ′，所以AD ⊥BC ′，又因为BC ′⊥DC ′，DC ′AD ＝D ，所以BC ′⊥平面ADC ′.(2)V A －BC ′D ＝V C ′－ABD ，即1111333232h CO ⨯⨯⨯=⨯⨯⋅' .所以h ＝C ′O ，在Rt⊥AC ′B 中，AB =BC ′＝3，故'AC ==⊥C'O ==h = 9.答案：⊥⊥⊥⊥解析：任何一个面都是平行四边形，对角线的交点都是该线段的中点．不与A 相邻的四个顶点到平面α的距离为如下结果1＋2＝3、1＋4＝5、2＋4＝6，还有一个是3＋4＝7．。

．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
．平行．垂直
．相交不垂直．不确定
解析：由线面垂直的判定定理知直线垂直于三角形所在的平面．
答案：．如果直线和平面α内的两条平行线垂直，那么下列结论正确的是( )
．⊂α．⊥α
．∥α．以上都有可能
解析：若直线和平面α内的两条平行线垂直，那么该直线与平面的位置不确定，即⊂α，
⊥α，∥α都有可能．
答案：
．如图，在正方形中，、分别为边、的中点，是的中点．现沿、、把这个正方形折成
一个几何体，使、、三点重合于点，则下列结论中成立的是( )
．⊥平面．⊥平面
．⊥平面．⊥平面
解析：∵⊥，⊥，∩＝，
∴⊥平面.
答案：
．长方体－中，在平面内，⊥于，则与的位置关系是．
解析：因为⊥，⊥，且，都在面内，所以∥，因为⊥面，所以⊥面，∴⊥.
答案：垂直
．如图，在△中，∠＝°，若⊥平面，则图中直角三角形的个数为．
解析：由⊥面，
得⊥，⊥.
∴△，△都是△且⊥，
又⊥，∴⊥面，∴⊥.
△是△，△是△.
答案：
．如图，在正方体－中，是的中点，是底面的中心，求证：⊥
平面.
证明：在正方体－中，设其棱长为，
因为⊥平面，且⊂平面，
所以⊥.
又是正方形的中心，所以⊥，
所以⊥平面.
而⊂平面，所以⊥.
又＋＝＋＝，
＋＝＋＝，
＝＋，
所以＋＝.
所以⊥.
又∩＝，所以⊥平面.。

人B版高中数学必修2同步习题目录第1章1.1.1同步练习第1章1.1.2同步练习第1章1.1.3同步练习第1章1.1.4同步练习第1章1.1.5同步练习第1章1.1.6同步练习第1章1.1.7同步练习第1章1.2.1同步练习第1章1.2.2第一课时同步练习第1章1.2.2第二课时同步练习第1章1.2.3第一课时同步练习第1章1.2.3第二课时同步练习第1章章末综合检测第2章2.1.1同步练习第2章2.1.2同步练习第2章2.2.1同步练习第2章2.2.2第一课时同步练习第2章2.2.2第二课时同步练习第2章2.2.3第一课时同步练习第2章2.2.3第二课时同步练习第2章2.2.4同步练习第2章2.3.1同步练习第2章2.3.2同步练习第2章2.3.3同步练习第2章2.3.4同步练习第2章2.4.1同步练习第2章2.4.2同步练习第2章章末综合检测人教B版必修2同步练习1．关于平面，下列说法正确的是()A．平行四边形是一个平面B．平面是有大小的C．平面是无限延展的D．长方体的一个面是平面答案：C2．如图所示的两个相交平面，其中画法正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B.被平面遮住的部分应画虚线，故(1)(4)正确．3．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上三点，则在正方体盒子中，∠ABC等于()A．45°B．60°C．90°D．120°答案：B4．飞机飞行表演在空中留下漂亮的“彩带”，用数学知识解释为________．答案：点动成线5．一个平面将空间分成________部分；两个平面将空间分成________部分．答案：23或41．下列不属于构成几何体的基本元素的是()A．点B．线段C．曲面D．多边形(不含内部的点)解析：选D.点、线、面是构成几何体的基本元素．2. 如图是一个正方体的展开图，每一个面内都标注了字母，则展开前与B相对的是()A．字母E B．字母CC．字母A D．字母D解析：选B.正方体展开图有很多种，可以通过实物观察，选一个面作为底面，通过空间想象操作完成．不妨选字母D所在的面为底面，可以得到A，F是相对的面，E与D相对；若选F做底面，则仍然得到A，F是相对的面，E与D相对，则与B相对的是字母C.3．如图，下列四个平面图形，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是()解析：选C.借助模型进行还原．4．下列命题正确的是()A．直线的平移只能形成平面B．直线绕定直线旋转肯定形成柱面C．直线绕定点旋转可以形成锥面D．曲线的平移一定形成曲面解析：选C.直线的平移，可以形成平面或曲面，命题A不正确；当两直线平行时旋转形成柱面，命题B不正确；曲线平移的方向与曲线本身所在的平面平行时，不能形成曲面，D不正确，只有C正确．故选C.5．下列几何图形中，可能不是平面图形的是()A．梯形B．菱形C．平行四边形D．四边形解析：选D.四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四边形．6．下面空间图形的画法中错误的是()解析：选D.被遮住的地方应该画成虚线或不画，故D图错误．7．在以下图形中，正方体ABCD－A1B1C1D1不可以由四边形________(填序号)平移而得到．①ABCD；②A1B1C1D1；③A1B1BA；④A1BCD1.解析：①ABCD，②A1B1C1D1，③A1B1BA，按某一方向平移可以得到正方体ABCD－A1B1C1D1，④A1BCD1平移不能得到正方体ABCD－A1B1C1D1.答案：④8. 把如图的平面沿虚线折叠可以折叠成的几何体是________．解析：图中由六个正方形组成，可以动手折叠试验，得到正方体．答案：正方体9．如右图小明设计了某个产品的包装盒，但是少设计了其中一部分，请你把它补上，使其成为两边均有盖的正方体盒子．你能有________种方法．答案：410. 指出下面几何体的点、线、面．解：顶点A 、B 、C 、D 、M 、N ；棱AB 、BC 、CD 、DA 、MA 、MB 、MC 、MD 、NA 、NB 、NC 、ND ；面MAD 、面MAB 、面MBC 、面MDC 、面NAB 、面NAD 、面NDC 、面NBC .11．搬家公司想把长2.5 m ，宽0.5 m ，高2 m 的长方体家具从正方形窗口穿过，正方形窗口的边长为a ，则a 至少是多少？解：如图，问题实质是求正方形的内接矩形边长为2 m,0.5 m 时正方形的边长a ＝2＋0.52＝524≈1.77(m)．所以a 至少是1.77 m 时，长方体家具可以通过．12．要将一个正方体模型展开成平面图形，需要剪断多少条棱？你能从中得出什么规律来吗？解：需要剪断7条棱．因为正方体有6个面，12条棱，两个面有一条棱相连，展开后六个面就有5条棱相连，所以剪断7条棱．规律是正方体的平面展开图只能有5条棱相连，但是，有5条棱相连的6个正方形图形不一定是正方体的平面展开图．人教B 版必修2同步练习1．在下列立体图形中，有5个面的是( ) A ．四棱锥 B ．五棱锥 C ．四棱柱 D ．五棱柱解析：选A.柱体均有两个底面，锥体只有一个底面．2．如图所示的长方体，将其左侧面作为上底面，右侧面作为下底面，水平放置，所得的几何体是( )A ．棱柱B ．棱台C ．棱柱与棱锥组合体D ．无法确定 答案：A3．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案：D4．棱柱的侧面是________形，棱锥的侧面是________形，棱台的侧面是________形． 答案：平行四边 三角 梯5．在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，沿AE 、AF 、EF 将其折成一个多面体，则此多面体是________．答案：三棱锥1．下列命题正确的是( )A ．斜棱柱的侧棱有时垂直于底面B ．正棱柱的高可以与侧棱不相等C ．六个面都是矩形的六面体是长方体D ．底面是正多边形的棱柱为正棱柱解析：选C.四个侧面都是矩形的棱柱是直平行六面体．两个底面是矩形的直平行六面体是长方体．故正确答案为C.2．将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体为( )A ．棱柱B ．棱台C ．棱柱与棱锥的组合体D ．不能确定 解析：选A.水面始终与固定的一边平行，且满足棱柱的定义．3. 如图所示，正四棱锥S －ABCD 的所有棱长都等于a ，过不相邻的两条棱SA ，SC 作截面SAC ，则截面的面积为( )A.32a 2 B ．a 2C.12a 2 D.13a 2 解析：选C.根据正棱锥的性质，底面ABCD 是正方形，∴AC ＝2a .在等腰三角形SAC中，SA ＝SC ＝a ，又AC ＝2a ，∴∠ASC ＝90°，即S △SAC ＝12a 2.故正确答案为C.4．若要使一个多面体是棱台，则应具备的条件是( ) A ．两底面是相似多边形 B ．侧面是梯形 C ．两底面平行D ．两底面平行，侧棱延长后交于一点解析：选D.根据棱台的定义可知，棱台必备的两个条件：底面平行，侧棱延长后相交于一点．5．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是( ) A ．正三棱锥 B ．正四棱锥 C ．正五棱锥 D ．正六棱锥解析：选D.正三棱锥的底面边长和侧棱相等时叫做正四面体，因此该棱锥可以是正三棱锥，所以不选A ，另外，正四棱锥，正五棱锥也是可能的，故B 、C 也不选，根据正六边形的特点，正六边形的中心到各个顶点的距离相等，在空间中，除中心外，不可能再找到和各顶点的连线都等于底面边长的点，因此该棱锥不可能是正六棱锥．故选D. 6．已知正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，则k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(22，＋∞)解析：选D.由正四棱锥的定义知如图，正四棱锥S －ABCD 中，S 在底面ABCD 内的射影O 为正方形的中心，而SA >OA ＝22AB ，∴SA AB >22，即k >22. 7．长方体表面积为11，十二条棱长度的和为24，则长方体的一条对角线长为________． 解析：设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则4(a ＋b ＋c )＝24，∴a ＋b ＋c ＝6.又(ab ＋bc ＋ac )×2＝11.∴长方体的一条对角线长l ＝a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋ac )＝62－11＝5. 答案：58．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体(图形)的4个顶点，这些几何体(图形)是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：本题借助正方体的结构特征解答，4个顶点连成矩形的情形很容易作出；图(1)中四面体A 1D 1B 1A 是③中描述的情形；图(2)中四面体DA 1C 1B 是④中描述的情形；图(3)中四面体A 1D 1B 1D 是⑤中描述的情形．因此正确答案为①③④⑤.答案：①③④⑤9．正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，体对角线长为9，则棱台的斜高等于________．解析：如图，四边形BDD 1B 1是等腰梯形，B 1D 1＝52，BD ＝72，BD 1＝9，所以OO 1 ＝BD 21－(BD ＋B 1D 12)2＝3. 又E 1，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，所以O 1E 1＝52，OE ＝72.所以在直角梯形OEE 1O 1中，斜高E 1E ＝OO 21＋(OE －O 1E 1)2＝10.答案：1010．已知正四棱锥V －ABCD 中，底面面积为16，一条侧棱的长为211，求该棱锥的高．解：取正方形ABCD 的中心O ，连接VO 、AO ，则VO 就是正四棱锥V －ABCD 的高． 因为底面面积为16，所以AO ＝2 2. 因为一条侧棱长为211， 所以VO ＝VA 2－AO 2＝44－8＝6.所以正四棱锥V －ABCD 的高为6.11. 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE 把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，请说明理由．解：(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为它可以看成由四边形ADD 1A 1沿AB 方向平移至BCC 1B 1形成的几何体，符合棱柱的定义．(2)截面BCFE 右边的部分是三棱柱BEB 1－CFC 1，其中△BEB 1和△CFC 1是底面．截面BCFE 左边的部分是四棱柱ABEA 1－DCFD 1，其中四边形ABEA 1和四边形DCFD 1是底面．12. 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 和NC 的长． 解：(1)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，如图所示，其对角线长为92＋42＝97.(2)由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线，即侧面展开图中的线段MP ，设PC 的长为x ，则在Rt △AMP 中，AM ＝2，MP ＝29，∴AP 2＝PM 2－AM 2＝25，即(x ＋3)2＝25， ∴x ＝2，即PC ＝2. ∵NC MA ＝PC P A ＝25， 又MA ＝2，∴NC ＝45，故PC 和NC 的长分别为2，45.人教B 版必修2同步练习1．下列说法正确的是( )A ．圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的B ．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的C ．圆柱不是旋转体D ．圆台可以看成是用平行于底面的平面截一个圆锥而得到的解析：选D.A 错误，这里需指明绕直角梯形与底边垂直的一腰旋转．B 错误，圆锥是直角三角形绕一条直角边旋转而成．C 错误，圆柱是旋转体．2．一条直线绕着与它相交但不垂直的直线旋转一周所得的几何图形是( ) A ．旋转体 B ．两个圆锥 C ．圆柱 D ．旋转面 答案：D3．一个等腰梯形绕着它的对称轴旋转半周所得的几何体是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．圆台 D ．以上都不对 答案：C4．一个圆柱的母线长为15 cm ，底面半径为12 cm ，则圆柱的轴截面面积是________．答案：360 cm 25．有下列说法：①球的半径是连接球心和球面上任意一点的线段； ②球的直径是连接球面上两点的线段； ③不过球心的截面截得的圆叫做小圆． 其中正确说法的序号是________．解析：利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③正确． 答案：①③1．正方形ABCD 绕对角线AC 所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是( ) A ．两个圆台组合成的 B ．两个圆锥组合成的C ．一个圆锥和一个圆台组合成的D ．一个圆柱和一个圆锥组合成的解析：选B.如图△ABO 与△CBO 绕AC 旋转，分别得到一个圆锥．2．边长为5 cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是( )A ．10 cmB ．5 2 cmC ．5π2＋1 cm D.52π2＋4 cm解析：选D.圆柱的侧面展开图如图所示，展开后E ′F ＝12·2π·(52)＝52π，∴E ′G ＝ 52＋(52π)2＝52π2＋4(cm)．3．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S ，则它的一个底面面积是( ) A ．4S B ．4πS C ．πS D ．2πS 解析：选C.由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R ，则2R ·2R ＝4S ，得R 2＝S .所以底面面积为πR 2＝πS .4．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分为两段的比是( )A ．1∶3B ．1∶9C ．1∶(3－1) D.3∶2解析：选C.由圆锥的截面性质可知，截面仍是圆，设r 1、r 2分别表示截面与底面圆的半径．而l 1与l 2表示母线被截得的线段．则r 1r 2＝l 1l 1＋l 2＝13＝13，∴l 1∶l 2＝1∶(3－1)． 5．设M 、N 是球O 半径OP 上的两点，且NP ＝MN ＝OM ，分别过N 、M 、O 作垂直于OP 的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为( )A ．3∶5∶6B ．3∶6∶8C ．5∶7∶9D ．5∶8∶9解析：选D.作出球的轴截面图如图， 设球的半径为3R ， 则MM ′＝9R 2－R 2＝8R ，NN ′＝9R 2－4R 2＝5R .所截三个圆的面积之比为：π·(5R )2∶π·(8R )2∶π·(3R )2＝5∶8∶9.故选D.6．已知一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面不可能是( )解析：选D.过球心的任何截面都不可能是圆的内接正方形． 7．一圆锥的轴截面的顶角为120°，母线长为1，过顶点作圆锥的截面中，最大截面的面积为________．解析：当截面顶点为90°时，截面面积最大，为12×1×1＝12.答案：128. 如图所示，在透明塑料制成的长方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1中灌进一些水，将固定容器底面的一边BC 置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH 的面积不变；③A 1D 1始终与水面EFGH 平行．其中正确的 序号是________．解析：在倾斜的过程中，因为前后两面平行，侧面(上下、左右)为平行四边形，所以是棱柱．故填①③.答案：①③9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q ，则此圆的半径为________．解析：设圆柱底面半径为r ，母线为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝l ，2r ·l ＝Q ，解得r ＝Q 2.答案：Q210．圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．解：将圆台还原成圆锥，如图所示．O 2、O 1、O 分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V 是圆锥的顶点，令VO 2＝h, O 2O 1＝h 1，O 1O ＝h 2则⎩⎪⎨⎪⎧h ＋h 1h＝49＋121，h ＋h 1＋h 2h ＝491，所以⎩⎪⎨⎪⎧h 1＝4h ，h 2＝2h ，即h 1∶h 2＝2∶1.11. 如图是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？解：因为圆锥形铅锤的体积为13×π×(62)2×20＝60π(cm 3)．设水面下降的高度为x cm ， 则小圆柱的体积为 π(202)2x ＝100πx (cm 3)． 所以有60π＝100πx ， 解此方程得x ＝0.6. 故杯里的水下降了0.6 cm.12．用一张4 cm ×8 cm 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求圆柱轴截面的面积(接头忽略不计)．解：分两种情况：(1)以矩形8 cm 的边为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面(如图(1))轴截面为矩形A 1ABB 1，根据题意可知底面圆的周长为：2π·OA ＝4，则OA ＝2π，于是AB ＝4π.根据矩形的面积公式得：S 截面＝A 1A ·AB ＝8·4π＝32π(cm 2)．(2)以矩形4 cm 的边长为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面(如图(2))，轴截面为矩形A 1ABB 1，根据题意可知底面圆的周长为：2π·OA ＝8，则OA ＝4π，于是AB ＝8π.根据矩形的面积公式得：S 截面＝A 1A ·AB ＝4·8π＝32π(cm 2)．综上所述，轴截面的面积为32πcm 2.人教B 版必修2同步练习1．直线的平行投影可能是( ) A ．点 B ．线段 C ．射线 D ．曲线 答案：A2．在灯光下，圆形窗框在与窗框平行的墙面上的影子的形状是( ) A ．平行四边形 B ．椭圆形 C ．圆形 D ．菱形解析：选C.由点光源的中心投影的性质可知影子应为圆形．3．如图所示的是水平放置的三角形的直观图，D ′是△A ′B ′C ′中B ′C ′边上的一点，且D ′离C ′比D ′离B ′近，又A ′D ′∥y ′轴，那么原△ABC 的AB 、AD 、AC 三条线段中( )A ．最长的是AB ，最短的是AC B ．最长的是AC ，最短的是AB C ．最长的是AB ，最短的是AD D ．最长的是AD ，最短的是AC 答案：C4．已知有一个长为5 cm ，宽为4 cm 的矩形，则其斜二测直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20(cm 2)． 所以其斜二测直观图的面积为S ′＝24S ＝52(cm 2)． 答案：5 2 cm 25．长度相等的两条平行线段的直观图的长度________． 答案：相等1．放晚自习后，小华走路回家，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影( ) A ．变长 B ．变短 C ．先变长后变短 D ．先变短后变长 答案：D2．下列关于直观图画法的说法中，不正确的是( )A ．原图中平行于x 轴的线段，其对应线段仍平行于x ′轴，长度不变B ．原图中平行于y 轴的线段，其对应线段仍平行于y ′轴，长度不变C ．画与坐标系xOy 对应的坐标系x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′可以等于135°D ．画直观图时，由于选轴不同，所画的直观图可能不同解析：选B.平行于y 轴的线段其长度变为原来的12.3. 如图所示，梯形A ′B ′C ′D ′是平面图形ABCD 的直观图，若A ′D ′∥O ′y ′，A ′B ′∥C ′D ′，A ′B ′＝23C ′D ′＝2，A ′D ′＝1，则四边形ABCD 的面积是( )A ．10B ．5 2C ．5D ．10 2解析：选C.还原后的四边形ABCD 为直角梯形，AD 为垂直底边的腰，AD ＝2，AB ＝2，CD ＝3，S 四边形ABCD ＝5，故正确答案为C.4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BB 1，BC 的中点，则图中阴影部分在平面ADD 1A 1上的射影为( )答案：A5．如果图形所在的平面不平行于投射线，那么下列说法正确的是( ) A ．矩形的平行投影一定是矩形 B ．梯形的平行投影一定是梯形 C ．正方形的平行投影一定是矩形 D ．正方形的平行投影一定是菱形解析：选B.因为梯形两底的平行投影仍然平行，故选B.6．如下图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )解析：选C.根据斜二测画法的规则：平行于x 轴或在x 轴上的线段的长度在新坐标系中不变，在y 轴上或平行于y 轴的线段的长度在新坐标中变为原来的12，并注意到∠xOy ＝90°，∠x ′O ′y ′＝45°，因此由直观图还原成原图形为选项C.7. 如图所示，已知用斜二测画法画出的△ABC 的直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为________．解析：过C ′作y ′轴的平行线C ′D ′与x ′轴交于D ′，则C ′D ′＝32a sin45°＝62a .又∵C ′D ′是原△ABC 的高CD 的直观图， ∴CD ＝6a .∴S △ABC ＝12AB ·CD ＝12a ·6a ＝62a 2.答案：62a 28．给出下列说法：①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°；②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；③不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；④水平放置的平面图形的直观图是平面图形．写出其中正确说法的序号________．解析：对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x 轴、y 轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x 轴、y 轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上或与坐标轴平行，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则；对于②，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于③，只要坐标系选取的恰当，不等边三角形的水平放置的直观图可以是等边三角形．答案：④9. 水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．解析：在直观图中，∠A ′C ′B ′＝45°，则在原图形中∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则斜边AB ＝5，故斜边的中线长为52.答案：5210．在有太阳的某时刻，一个大球放在水平地面上，球的影子伸到距离球与地面接触点10 m 处，同一时刻一根长 3 m 的木棒垂直于地面，且影子长1 m ，求此球的半径．解：由题设知BO ′＝10，设∠ABO ′＝2α(0°<α<45°)(如图)，由题意知tan 2α＝31＝3，即2α＝60°，∴α＝30°，∴tan α＝33. 在Rt △OO ′B 中，tan α＝RBO ′，∴R ＝BO ′·tan α＝1033 m.即此球的半径为1033m.11. 如图所示，一建筑物A 高为BC ，眼睛位于点O 处，用一把长为22 cm 的刻度尺EF 在眼前适当地运动，使眼睛刚好看不到建筑物A ，这时量得眼睛和刻度尺的距离MN 为10 cm ，眼睛与建筑物的距离MB 为20 m ，求建筑物A 的高．(假设刻度尺与建筑物平行)解：由题意可知O ，F ，C 三点共线，O ，E ，B 三点共线．因为EF ∥BC ，所以EF BC ＝OE OB ＝MNMB.把EF ＝22 cm ，MN ＝10 cm ，MB ＝2000 cm 代入上式，得22BC ＝102000，解得BC ＝4400 cm ＝44 m.即建筑物A 高44 m.12. 某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成60°角，房屋向南的窗户AB 高1.6米，现要在窗子外面的上方安装一个水平遮阳蓬AC ，如图所示，求：(1)当遮阳蓬AC 的宽度在什么范围内时，太阳光线直接射入室内？(2)当遮阳蓬AC 的宽度在什么范围内时，太阳光线不能直接射入室内(精确到0.01米)? 解：(1)在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°，AB ＝1.6米， 则AC ＝AB tan ∠ACB＝3AB 3，∴AC ＝1.63≈0.92(米)．当0<AC ≤0.92米时，太阳光可直接射入室内． (2)当AC ＞0.92米时，太阳光不能直接射入室内．人教B版必修2同步练习1．下列说法中正确的是()A．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关B．任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形解析：选C.球的三视图与它的摆放位置无关，从任何方向看都是圆．2．如图所示，桌面上放着一个圆锥和一个长方体，其俯视图是()答案：D3．(2011年高考山东卷)下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是()A．3B．2C．1 D．0解析：选A.对于①，可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以．4．一件物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的________，长度与主视图一样，左视图放在主视图的______，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．答案：下面右面5．某个几何体的三视图如图，这个几何体是________．答案：圆锥1. 如图所示的是水平放置的圆柱形物体，其三视图是()解析：选A.此题主要研究从物体到三视图的转化过程，主视图是从正面观察物体的形状；左视图是从左侧面观察物体的形状；俯视图是从上往下观察物体的形状．从正面看是个矩形，从左面看是个圆，从上往下看是一个矩形，对照图中的A，B，C，D，可知A是正确的．2．图中三图顺次为一个建筑物的主视图、左视图、俯视图，则其为________的组合体．()A．圆柱和圆锥B．正方体和圆锥C．正四棱柱和圆锥D．正方形和圆解析：选C.直接画出符合条件的组合体，可以得解．3．如图所示，有且仅有两个视图相同的几何体是()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(2)(4)解析：选D.在这四个几何体中，图(2)与图(4)均只有主视图和左视图相同．4．如图(1)所示是物体的实物图，在图(2)四个选项中是其俯视图的是()答案：C5．一个几何体由一些小正方体摆成，其主视图与左视图如图所示，其俯视图不可能是()解析：选C.通过分析主视图第一列有两个，而左视图第二列有两个，所以俯视图是选项C时，不符合要求．6. 把10个相同的小正方体按如图所示位置堆放，它的表面有若干个小正方形，如果将图中标了字母A的一个小正方体搬走，这时表面的小正方形个数与搬动前相比()A．不增不减B．减少1个C．减少2个D．减少3个答案：A7．欣赏下列物体的三视图，并写出它们的名称．答案：(1)主视图(2)左视图(3)俯视图(4)主视图(5)左视图(6)俯视图8．下图是某个圆锥的三视图，根据主视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为________，圆锥母线长为________．解析：由主视图的底边可知俯视图的半径为10，则面积为100π.由主视图知圆锥的高为30，又底面半径为10，则母线长为102＋302＝1010.答案：100π10109．一个几何体由几个相同的小正方体组合而成，它的主视图、左视图、俯视图如图所示，则这个组合体包含的小正方体的个数是________．解析：由三视图画出几何体如图．观察知，包含小正方体个数为5个．答案：510．如图所示是一些立体图形的视图，但是观察的方向不同，试说明下列各图可能是哪一种立体图形的视图．图(1)可能为球、圆柱，如图(4)所示．图(2)可能为棱锥、圆锥、棱柱，如图(5)所示．图(3)可能为正四棱锥，如图(6)所示．11. 如图是根据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体，数据如图所示(单位：cm)，试画出它的三视图．解：这个几何体是由一个长方体和一个圆柱体构成的．三视图如下图所示．12．如图，BC⊥CD，且CD⊥MN，ABCD绕AD所在直线MN旋转，在旋转前，点A 可以在DM上选定．当点选在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，分别画出它的三视图并比较异同．解：(1)当点A在下图(a)中射线DM的位置时，绕MN旋转一周所得几何体为底面半径为CD的圆柱和圆锥叠加而成，其三视图如下图(a)．(2)当点A在下图(b)中射线DM的位置时，即B到MN作垂线的垂足时旋转后的几何体为圆柱，其三视图如下图(b)．(3)当点A在下图(c)中所示位置时，其旋转所得几何体为圆柱中挖去同底的圆锥，其三视图如下图(c)．(4)当点A位于点D时，如下图(d)中，旋转体为圆柱中挖去同底等高的圆锥，其三视图如下图(d)．人教B 版必修2同步练习1．一正四棱锥各棱长均为a ，则其表面积为( ) A.3a 2 B ．(1＋3)a 2 C ．22a 2 D ．(1＋2)a 2解析：选B.正四棱锥的底面积为S 底＝a 2，侧面积为S 侧＝4×12×a ×32a ＝3a 2，故表面积为S 表＝S 底＋S 侧＝(1＋3)a 2.2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案：D3．若球的大圆周长为C ，则这个球的表面积是( ) A.C 24π B.C 22π C.C 2πD ．2πC 2 答案：C4．一个圆锥的底面半径为2，高为23，则圆锥的侧面积为________．解析：S 侧＝πRl ＝π×2×22＋(23)2＝8π. 答案：8π5．已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是________． 答案： 31．正三棱锥的底面边长为a ，高为66a ，则此棱锥的侧面积等于( ) A.34a 2 B.32a 2 C.334a 2 D.332a 2解析：选A.斜高h ′ ＝(66a )2＋(3a 6)2＝12a ， 则S 侧＝12·3a ·12a ＝34a 2.2．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积是( ) A ．48(3＋3) B ．48(3＋23) C ．24(6＋2) D ．144解析：选A.S 两底＝34×42×6×2＝483，S 侧＝6×4×6＝144.∴S 全＝144＋483＝48(3＋3)．3．正四棱台两底面边长分别为3 cm 和5 cm ，那么它的中截面面积为( ) A ．2 cm 2 B ．16 cm 2 C ．25 cm 2 D ．4 cm 2。

1.2.3空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直[学习目标] 1.了解直线与平面垂直的概念.2.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理.3.掌握一些求点到平面距离的常用方法.[知识链接]生活中处处都有直线和平面垂直的例子，如旗杆和地面、路灯与地面等等.在判断线面平行时我们有判定定理，那么判断线面垂直又有什么好办法呢？[预习导引]1.直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直.2.直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段.垂线段的长度叫做这个点到平面的距离.3.直线与平面垂直的性质如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直.4.直线与平面垂直的判定定理及其推论定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. 推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.要点一直线和平面垂直的定义例1下列命题中，正确的序号是________.①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直.答案③④解析当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确.根据线面垂直的定义，若l⊥α则l与α的所有直线都垂直，所以④正确.规律方法 1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.跟踪演练1设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A.若l⊥m，m⊂α，l⊥αB.若l⊥α，l∥m，则m⊥αC.若l∥α，m⊂α，则l∥mD.若l∥α，m∥α，则l∥m答案 B解析对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m 异面；对于D，l，m还可能相交或异面.要点二线面垂直的判定例2如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点.求证：AD⊥平面A1DC1.证明∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴AA1⊥平面A1B1C1，显然A1C1⊂平面A1B1C1，∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1而A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，AD⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD＝2，A1D＝2，AA1＝2.∴AD2＋A1D2＝AA21，∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.规律方法证线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.跟踪演练2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.证明∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.要点三直线与平面垂直的性质及应用例3如图，正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.证明如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.规律方法证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.跟踪演练3如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a ⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.证明因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB，又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.因此，a∥l.1.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交不垂直D.不确定答案 B解析由题意可知，该直线垂直于三角形所确定的平面，故这条直线和三角形的第三边也垂直.2.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直答案 C解析连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.3.下列表述正确的个数为()①若直线a∥平面α，直线a⊥b，则b⊥α；②若直线a⊄平面α，b⊂α，且a⊥b，则a⊥α；③若直线a平行于平面α内的两条直线，则a∥α；④若直线a垂直于平面α内的两条直线，则a⊥α.A.0B.1C.2D.3答案 A解析①中b与α还可能平行、斜交或b在平面α内；②中a与α还可能平行或斜交；③中a还可能在平面α内；由直线与平面垂直的判定定理知④错.4.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.A.①③B.②C.②④D.①②④答案 A解析由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.5.若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个.①a⊥α，b∥α⇒a⊥b; ②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.答案 2解析由线面垂直的性质定理知①④正确.1.直线与平面垂直的判定方法：(1)利用定义；(2)利用判定定理，其关键是在平面内找两条相交直线.2.对于线面垂直的性质定理(推论2)的理解：(1)直线与平面垂直的性质定理(推论2)给出了判定两条直线平行的另一种方法.(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据.。

1.2.3.2平面与平面垂直一、选择题1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，则下列说法正确的是()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m答案 A解析∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．2．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有() A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ答案 A解析B错，有可能m与β相交；C错，可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．3．下列命题中正确的是()A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β答案 C解析当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A 错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确．4.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，则图中互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对答案 D解析∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A－BCD，则在几何体A－BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案 D解析由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.6．下列命题中错误的是()A．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βB．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βC．如果α不垂直于平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案 A解析若α⊥β，则α内必有垂直于β的直线，并非α内所有直线都垂直于β，A错．7．过两点与一个已知平面垂直的平面()A．有且只有一个B．有无数个C．有且只有一个或无数个D．可能不存在答案 C解析设两点为A，B，平面为α，若直线AB⊥α，则过A，B与α垂直的平面有无数个；若直线AB与α不垂直，即直线AB与α平行、相交但不垂直或在平面α内，均存在唯一平面垂直于已知平面．8．在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC答案 C解析如图所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF，∴A正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，得BC⊥平面PAE，∴DF⊥平面PAE，∴B正确．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)，∴D正确．二、填空题9.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边三角形ADB 以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，则CD＝________.答案 2解析如图，取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC.又CE⊂平面ABC可知DE⊥CE.由已知可得DE＝3，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝DE2＋CE2＝2.10．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF 的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长为________．答案 6解析取CD的中点G，连接MG，NG，因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝ 2.因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN＝MG2＋NG2＝ 6.11.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.三、解答题12.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C1.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.证明(1)由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC.因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.13.如图，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E点为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．证明(1)在△ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F，因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DF⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，所以DF⊥AP.作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥AP.因为DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，所以PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长，交PC于点H.因为E是△PBC的垂心，所以PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂线，所以PC⊥AE.又BE∩AE＝E，所以PC⊥平面ABE.因为AB⊂平面ABE，所以PC⊥AB.又因为PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB.又PC∩PA＝P，所以AB⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．四、探究与拓展14．如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)答案②④解析因为PA⊂平面MOB，所以①不正确；因为MO∥PA，而且MO⊄平面PAC，所以②正确；OC不垂直于AC，所以③不正确；因为BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC，所以④正确．15.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．(1)证明∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴DC⊥平面PAC.(2)证明∵AB∥CD，CD⊥平面PAC，∴AB⊥平面PAC，又∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC.(3)解棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又∵E为AB的中点，∴EF为△PAB的中位线，∴EF∥PA.又PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF.。

一、选择题．(·洛阳高一检测)设有两条直线，和两个平面α、β，则下列说法中错误的是( )．若∥α，且∥，则⊂α或∥α．若∥，且⊥α，⊥β，则α∥β．若α∥β，且⊥α，⊥β，则∥．若⊥，且∥α，则⊥α解析：易判断正确；对于，由∥，⊥β知⊥β，又⊥α，故α∥β，从而正确；中，由α∥β，⊥α知⊥β，又⊥β，故∥，从而正确；而中由⊥，∥α知与α可能垂直，也可能相交而不垂直，也可能平行或在平面内．答案：．已知与是两条不同的直线，若直线⊥平面α，有以下命题：①若直线⊥，则∥α；②若⊥α，则∥；③若⊂α，则⊥；④若∥，则⊥α.上述判断正确的是( )．①②③．②③④．①③④．②④解析：①若直线⊥，则∥α或⊂α，故①不正确；②若⊥α，则∥正确；③若⊂α，则⊥正确；④若∥，则⊥α正确．答案：．(·湖北高考)用，，表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥；③若∥γ，∥γ，则∥；④若⊥γ，⊥γ，则∥.其中真命题的序号是( )．①②．②③．①④．③④解析：对于①，由公理“平行于同一直线的两条直线平行”可知，①正确；对于②，如在长方体－中，⊥，⊥，此时平行于，因此②不正确．对于③，如当平面α∥γ时，平面α内的任意两条直线，都平行于平面γ，显然此时直线，可能相交，因此③不正确．对于④，由“垂直于同一平面的两条直线平行”可知其正确性．综上所述，其中真命题的序号是①④.答案：．如图，正方体－的棱长为，、分别是，上的点，如果⊥平面，则、满足的条件一定是( )．＝＝．＋＝．＋＝．、为棱、上的任意位置解析：在面内作′∥交于′点．∵⊥面，∴⊥，∴⊥′，＝′，在正方形中，由⊥′得＝′＝－′，∴＋′＝，即＋＝.答案：二、填空题．已知垂直平行四边形所在平面，若⊥，则平行四边形一定是．解析：如图，∵⊥平面，∴⊥.∵⊥，∴⊥平面，∴⊥.答案：菱形．等边三角形的边长为，⊥平面，且＝，则到的距离为．解析：如图所示，作⊥，连接，由⊥平面可知⊥，＝＝，＝＝，即到的距离为.答案：．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有个．解析：如图，当⊥面，为矩形时，由线面垂直性质可推出△、△、△、△均为直角三角形．答案：．α、β是两个不同的平面，、是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①∥；②α∥β；③⊥α；④⊥。

1.2.3 空间中的垂直关系 第1课时 直线与平面垂直1.了解直线与平面垂直的定义.(重点)2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直.(重点)3.掌握线面垂直的性质定理，并能应用.(重点)4.灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题.(难点)教材整理1 直线与平面垂直的定义阅读教材P 47～P 48“倒数第5自然段”以上内容，完成下列问题.的垂线，直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能() A.平行 B.相交 C.异面D.垂直【解析】 由直线与平面垂直的定义可知，l ⊥m ，l 与m 可能相交或异面，但不可能平行.【答案】 A教材整理2 直线与平面垂直的判定定理阅读教材P 48“倒数第5自然段”～P 49“思考”以上内容，完成下列问题.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交不垂直D.不确定【解析】 直线和三角形两边垂直，由线面垂直的判定定理知，直线垂直三角形所在平面，则直线垂直第三边.【答案】 B教材整理3 直线与平面垂直的性质定理 阅读教材P 48～P 49的内容，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行.( ) (2)垂直于同一平面的两条直线互相平行.( )(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.( ) 【解析】 由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确. 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√【导学号：45722052】①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直.A.0B.1C.2D.3【精彩点拨】利用线面垂直的定义及判定定理准确判断.【自主解答】由直线和平面垂直的判定定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确.【答案】 D1.对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交、平行或直线在平面内.2.判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.1.下列说法中错误的个数是( )①若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l⊥α；②若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α必相交；③过平面α外一点有且只有一条直线和平面α垂直；④过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直.A.0B.1C.2D.3【解析】①错误.若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l与α平行、相交或l在α内都有可能.②错误.若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α平行、相交或l 在α内都有可能，③④正确.【答案】 CABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.图1­2­40(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.【精彩点拨】题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等，AB⊥BC，D是AC的中点，要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直，故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系，要证(2)，需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直，而(1)的结论可利用.【自主解答】(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.连接BD.在Rt△ABC中，有AD＝DC＝DB，∴△SDB≌△SDA，∴∠SDB＝∠SDA＝90°，∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，D是AC的中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，且AC∩SD＝D，∴BD⊥平面SAC.证线面垂直的方法1.线线垂直证明线面垂直(1)定义法(不常用)；(2)判定定理最常用(有时作辅助线).2.平行转化法(利用推论)(1)a∥b，a⊥α⇒b⊥α；(2)α∥β，a⊥α⇒a⊥β.2.如图1­2­41所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点.图1­2­41求证：AD⊥平面A1DC1.【证明】∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B.又AD⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD＝2，A1D＝2，AA1＝2.∴AD2＋A1D2＝AA21，∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.(BD，DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系.图1­2­42探究1 折痕AD与桌面一定垂直吗？【提示】不一定.探究2 当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？【提示】当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直.如图1­2­43所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC .图1­2­43求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点.【精彩点拨】 (1)要证线线平行，则先证线面垂直，即证AD 1⊥平面A 1DC . (2)可证ON ＝AM ，ON ＝12AB .【自主解答】 (1)∵ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1. ∴CD ⊥AD 1.∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC . 又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1. (2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON ═∥12DC ═∥12AB ，∴ON ∥AM . 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM . ∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点.1.直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们.2.当题中垂直条件很多，但又需证平行关系时，就要考虑垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化.3.如图1­2­44所示，在三棱台ABC­DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE ＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.图1­2­44求证：BF⊥平面ACFD.【证明】延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，因此，BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.1.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )A.垂直B.相交但不垂直C.平行D.不确定【解析】梯形的两腰所在直线相交，由线面垂直的判定定理知，垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面垂直，故选A.【答案】 A2.如图1­2­45所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是( )【导学号：45722053】图1­2­45A.O是△AEF的垂心B.O是△AEF的内心C.O是△AEF的外心D.O是△AEF的重心【解析】由题意可知PA，PE，PF两两垂直，所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，所以O为△AEF的垂心.【答案】 A3.如图1­2­46所示，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝________.图1­2­46【解析】因为AF⊥平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD，所以△EDC为直角三角形，CE＝ED2＋CD2＝13.【答案】134.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是________.(把正确条件的序号都填上).①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.【解析】由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面.因为②④图形中的两边不一定是相交直线，所以直线与它们所在的平面不一定垂直.【答案】①③5.如图1­2­47所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB ＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点.证明：PC⊥平面BEF.图1­2­47【证明】如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，∴PE ＝CE，即△PEC是等腰三角形.又F是PC的中点，∴EF⊥PC.又BP＝AP2＋AB2＝22＝BC，F是PC的中点，∴BF⊥PC.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是()A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥αB．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥αD．m∥b，b⊥α【解析】由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确．【答案】 D2．如图1-2-47，三棱锥P-ABC中，P A⊥AB，P A⊥BC，则直线PB和平面ABC所成的角是()图1-2-47A．∠BP A B．∠PBAC．∠PBC D．以上都不对【解析】由P A⊥AB，P A⊥BC，AB∩BC＝B，得P A⊥平面ABC，所以∠PBA为BP与平面ABC所成的角．故选B.【答案】 B3．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或很多个D．不存在【解析】若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．【答案】 B4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.23 B.33C.23 D.63【解析】如图所示，连接BD交AC于点O，连接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝22，D1O＝62，∴cos ∠DD1O＝DD1D1O＝26＝63.∴BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为63.【答案】 D5．(2022·成都高二检测)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．AC1⊥BD1【解析】正方体中由BD∥B1D1，易知A正确；由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1，从而BD⊥AC1，即B正确；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即C正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．故选D.【答案】 D二、填空题6．(2022·太原高一检测)如图1-2-48，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B ，则CD 与AB 的位置关系是________．图1-2-48【解析】 ∵EA ⊥α，CD ⊂α，依据直线和平面垂直的定义，则有CD ⊥EA . 同样，∵EB ⊥β，CD ⊂β，则有EB ⊥CD . 又EA ∩EB ＝E ， ∴CD ⊥平面AEB .又∵AB ⊂平面AEB ，∴CD ⊥AB . 【答案】 CD ⊥AB7．如图1-2-49所示，P A ⊥平面ABC ，在△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________．图1-2-49 【解析】⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥BCAC ⊥BC P A ∩AC ＝A ⇒BC ⊥平面P AC ⇒BC ⊥PC ， ∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC . 【答案】 48．(2022·淮安高二检测)如图1-2-50，四棱锥S -ABCD 的底面ABCD 为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中正确的有________个．图1-2-50 ①AC ⊥SB ； ②AB ∥平面SCD ；③SA 与平面ABCD 所成的角是∠SAD ； ④AB 与SC 所成的角等于DC 与SC 所成的角． 【解析】 由于SD ⊥底面ABCD ，所以AC ⊥SD . 由于ABCD 是正方形， 所以AC ⊥BD .又BD ∩SD ＝D ，所以AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥SB ，故①正确． 由于AB ∥CD ，AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ， 所以AB ∥平面SCD ，故②正确．由于AD 是SA 在平面ABCD 内的射影，所以SA 与平面ABCD 所成的角是∠SAD .故③正确．由于AB ∥CD ，所以AB 与SC 所成的角等于DC 与SC 所成的角， 故④正确． 【答案】 4三、解答题9．如图1-2-51，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.【导学号：60870043】图1-2-51【证明】∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.又∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.10．如图1-2-52所示，三棱锥A-SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．图1-2-52【解】由于∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC.如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC.SD＝22a .设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝2a，CD＝在Rt△ADC中，AD＝AC2－CD2＝22a.则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．在Rt△ASD中，SD＝AD＝22a，所以∠ASD＝45°，即直线AS与平面SBC所成的角为45°.[力量提升]1．已知三条相交于点P的线段P A，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC 于H，则垂足H是三角形ABC的()A．外心B．内心C．垂心D．重心【解析】如图，∵P A、PB、PC两两垂直，∴P A⊥平面PBC，∴P A⊥BC.又BC⊥PH，P A∩PH＝P，∴BC⊥平面P AH，∴BC⊥AH.同理AB⊥CH，AC⊥BH.∴点H为△ABC的垂心．【答案】 C2．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，P A⊥平面ABCD，且P A ＝6，则PC与平面ABCD所成角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】如图，连接AC.∵P A⊥平面ABCD，∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角．∵AC＝2，P A＝6，∴tan ∠PCA＝P AAC ＝62＝ 3.∴∠PCA＝60°.【答案】 C3．如图1-2-53，∠ACB＝90°，平面ABC外有一点P，PC＝4 cm，点P到角的两边AC、BC的距离都等于2 3 cm，那么PC与平面ABC所成角的大小为________．图1-2-53【解析】过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，连接CO，则CO为∠ACB的平分线，且∠PCO为PC与平面ABC所成的角，设其为θ，连接OF，易知△CFO为直角三角形，又PC＝4，PF＝23，∴CF＝2，∴CO＝22，在Rt△PCO中，cos θ＝COPC＝22，∴θ＝45°.【答案】45°4．如图1-2-54，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN ⊥PM，N为垂足．图1-2-54(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.【证明】(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又P A⊥平面ABM，∴P A⊥BM.又∵P A∩AM＝A，∴BM⊥平面P AM.又AN⊂平面P AM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.。

人教版高中数学必修第二册8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则直线b与平面α所成的角为()A.40°B.50°C.90°D.150°2.已知α,β是不同的平面,m,n是不同的直线,给出下列命题:①m⊥n,m∥α,α∥β⇒n⊥β;②m⊥n,m⊥α,α∥β⇒n⊥β;③m⊥α,n∥β,α∥β⇒m⊥n;④m⊥α,m∥n,α∥β⇒n⊥β.其中正确的是()A.①②B.②③C.①④D.③④3.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于()A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC4.若一条直线与一个平面成72°角,则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角为()A.72°B.90°C.108°D.180°5.如图L8-6-10所示,若斜线段AB的长度是它在平面α上的射影BO的长度的2倍,则AB与平面α所成的角是()图L8-6-10A.60°B.45°C.30°D.120°6.如图L8-6-11,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在△AEF内的射影为O,则下列说法中正确的是()图L8-6-11A.O是△AEF的垂心B.O是△AEF的内心C.O是△AEF的外心D.O是△AEF的重心7.如图L8-6-12所示,△ABC是等腰三角形,BA=BC,DC⊥平面ABC,AE∥DC,若AC=2,且BE⊥AD,则()图L8-6-12A.AB·BC=1B.AB·BC=2C.AE·CD=1D.AE·CD=28.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD,E为CD的中点,则()A.A1E⊥DD1B.A1E⊥DBC.A1E⊥D1C1D.A1E⊥DB1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.如图L8-6-13所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件时,有A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况)图L8-6-1310.平行四边形ABCD对角线的交点为O,点P在平行四边形ABCD所在平面之外,且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置关系是.11.底面边长为a的正四棱锥的体积与棱长为a的正方体体积相等,则正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为.12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)如图L8-6-14,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,AD=AB=12BC=1,PA=5,△PBC是正三角形.(1)求证:AB⊥平面PBC;(2)求点P到平面ABC的距离.图L8-6-1414.(10分)如图L8-6-15所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,BD的中点.(1)求证:AF⊥平面BB1D1D;(2)求异面直线EF与BC所成的角的正切值.图L8-6-15=3 ,点P在棱AB 15.(5分)如图L8-6-16,已知三棱锥A-BCD的所有棱长均相等,点E满足上运动.设EP与平面BCD所成的角为θ,则sinθ的最大值为.图L8-6-1616.(15分)已知AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的动点,过动点C的直线VC垂直于圆O所在的平面,D,E分别是VA,VC的中点.(1)判断直线DE与平面VBC的位置关系,并说明理由;(2)当△VAB是边长为22的正三角形时,求四面体V-DEB的体积.参考答案与解析1.B[解析]若两条直线平行,则它们与同一平面所成的角相等.因为直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,所以直线b与平面α所成的角为50°.故选B.2.D[解析]若m⊥n,m∥α,α∥β,则n∥β或n与β相交,故①错误;若m⊥n,m⊥α,α∥β,则n∥β或n⊂β,故②错误;若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n,故③正确;若m⊥α,m∥n,α∥β,则n⊥β,故④正确.故选D.3.C[解析]∵OA⊥OB,OA⊥OC,且OB∩OC=O,∴OA⊥平面OBC.4.B[解析]当这个平面内经过斜足的直线l与这条直线在这个平面内的射影垂直时,直线l与这条直线垂直,所成的角为直角.又因为两直线所成角的取值范围为[0°,90°],所以直线l与这条直线所成角的最大值为90°.故选B.5.A[解析]∠ABO即是AB与平面α所成的角.在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cos∠ABO=12,即∠ABO=60°.故选A.6.A[解析]由题意可知PA,PE,PF两两垂直,则PA⊥平面PEF,则PA⊥EF.由题意知PO⊥平面AEF,则PO⊥EF,又PA∩PO=P,所以EF⊥平面PAO,所以EF⊥AO.同理可得AE⊥FO,AF⊥EO,所以O为△AEF的垂心.故选A.7.D[解析]取AC的中点O,连接OB,OE,记OE与AD的交点为F,则OB⊥AC.∵DC⊥平面ABC,OB⊂平面ABC,∴DC⊥OB,∵DC∩AC=C,∴OB⊥平面ADC,∴OB⊥AD.∵BE⊥AD,OB∩BE=B,∴AD⊥平面BOE,∴AD⊥OE.∵AE∥DC,∴∠DAE=∠ADC,又∠AFE=∠ACD=90°,∴∠AEO=∠CAD,∴tan∠AEO=tan∠CAD,∴ = ,即1 = 2,∴AE·CD=2.故选D.8.B[解析]连接AE.因为AB=2AD,E为CD的中点,所以 = =2,所以△ABD∽△DAE,所以∠DAE=∠ABD,所以∠EAB+∠ABD=90°,即AE⊥BD.因为A1A⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1A⊥BD.又A1A∩AE=A,所以BD⊥平面A1AE,所以A1E⊥DB.9.AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形)10.垂直[解析]∵PA=PC,O是AC的中点,∴PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.又∵AC∩BD=O,∴PO ⊥平面ABCD.11.32[解析]记该正四棱锥为S-ABCD,设其高SO=h,则13a2·h=a3,可得h=3a.因为该正四棱锥的侧棱与底面所成的角为∠SCO,且tan∠SCO=3 =32.12[解析]如图所示,连接BD,与AC交于点O,连接D1O,过点D作DE⊥D1O.易知BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角.由题意知AC⊥DB,AC⊥DD1,又DB∩DD1=D,所以AC⊥平面DD1O,可得AC⊥DE,又DE⊥D1O,AC∩D1O=O,所以DE⊥平面ACD1,所以DD1与平面ACD1所成的角为∠DD1O.设正方体的棱长为1,则在Rt△DD1O中,sin∠DD1O= 1 =13.解:(1)证明:∵AB=12BC=1,且△PBC是正三角形,∴PB=2.∵PA=5,∴AB2+PB2=PA2,∴AB⊥PB.又∵AB⊥BC,PB∩BC=B,PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,∴AB⊥平面PBC.(2)设点P到平面ABC的距离为h.由(1)知AB⊥平面PBC,由V P-ABC=V A-PBC,得13S△ABC·h=13S△PBC·AB,即13×12×1×2×h=13×12×2×21,解得h=3,则点P到平面ABC的距离为3.14.解:(1)证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD,因为F为BD的中点,所以AF⊥BD.因为DD1⊥平面ABCD,AF⊂平面ABCD,所以AF⊥DD1.又DB∩DD1=D,DB⊂平面BB1D1D,DD1⊂平面BB1D1D,所以AF⊥平面BB1D1D.(2)连接D1B,D1C,如图所示.因为E,F分别为DD1,BD的中点,所以EF∥D1B,故异面直线EF与BC所成的角即为∠D1BC.又BC⊥平面D1DCC1,D1C⊂平面D1DCC1,所以BC⊥D1C,所以tan∠D1BC= 1 =2.15[解析]依题意可知,该几何体为正四面体.设顶点A在底面上的射影是O,则O是底面的中心,连接OB,过P作PH∥AO,交OB于H,连接HE.设正四面体的棱长为4a,PB=x(0<x ≤4a).在三角形PBE中,∠PBE=π3,由余弦定理得PE= 2+ 2- .因为AO⊥平面BCD,PH∥AO,所以PH⊥平面BCD,所以PH⊥HE,所以∠PEH是直线EP与平面BCD所成的角θ.在三角形AOB,又 = 4 ,所以所以sinθ= =中,x=2a时,sinθ16.解:(1)DE⊥平面VBC,证明如下:∵AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的动点,∴AC⊥BC.∵过动点C的直线VC垂直于圆O所在的平面,AC⊂平面ABC,∴AC⊥VC,∵BC∩VC=C,∴AC⊥平面VBC.∵D,E分别是VA,VC的中点,∴DE∥AC,∴DE⊥平面VBC.(2)∵△VAB是边长为22的正三角形,∴VB=VA,又∠VCB=∠VCA=90°,VC=VC,∴△VBC≌△VAC,∴BC=AC.∵BC2+AC2=AB2=8,∴AC=BC=2,∴VC=(22)2-22=2.∵D,E分别是VA,VC的中点,∴DE=12AC=1,∴四面体V-DEB的体积V V-DEB=V D-VBE=13×S△BEV×DE=13×12×S△VBC×DE=13×12×12×2×2×1=13.。

►1．2．3空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．()(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．()(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．()(4)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．()(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√解析(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系有两种：①平行，②异面，∴该命题应打“×”．(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．若为平行，则该命题应打“×”；若为相交，则该命题应打“√”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不能说明面内这无数条线的位置关系，∴该命题应打“×”．(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”．(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A垂直于直线a的平面唯一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a 垂直的平面内，∴该命题应打“√”．(5)三条共点直线两两垂直，设为a，b，c且a，b，c共点于O，∵a⊥b，a⊥c，b∩c＝O，且b，c确定一平面，设为α，则a⊥α，同理可知b垂直于由a，c确定的平面，c垂直于由a，b确定的平面．∴该命题应打“√”．2．若直线l不垂直于平面α，那么平面α内()A．不存在与l垂直的直线B．只存在一条与l垂直的直线C．存在无数条直线与l垂直D．以上都不对答案 C解析直线与平面不垂直也可以垂直于平面内的无数条直线，不过它们都是平行直线，不能是相交直线．线面垂直的判定3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC．证明如图所示，连接AB1，CB1，B1D1，PB1，PO．设AB ＝a ，则AB 1＝CB 1＝B 1D 1＝2a ，AO ＝OC ＝22a ，在正方形中，AC ⊥平面DBB 1D 1，B 1O ⊂平面DBB 1D 1，所以B 1O ⊥AC ．因为B 1O 2＝OB 2＋BB 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋a 2＝32a 2， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋(2a)2＝94a 2． OP 2＝PD 2＋DO 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝34a 2， 所以B 1O 2＋OP 2＝PB 21，所以B 1O ⊥OP ．又PO ∩AC ＝O ，所以B 1O ⊥平面PAC ．线面垂直的性质BC 和AC ，则直线l ，m 的位置关系是( )A ．平行B ．异面C ．相交D ．垂直答案 A解析 因为直线l 垂直于△ABC 的边AB 和AC ，所以l 垂直于平面ABC ，同理可证，m 垂直于平面ABC ，根据线面垂直的性质定理得l ∥m ．5．已知点P 是△ABC 所在平面外一点，点P 与AB ，AC ，BC 的距离相等，且点P 在△ABC 上的正投影O 在△ABC 内，则点O 一定是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心答案 A解析如图所示，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，分别交AB，AC，BC 于点D，E，F．点O是点P在平面ABC内的正投影，连接OD，OE，OF．因为点P到AB，AC，BC的距离相等，且PO⊥平面ABC，所以PD＝PE＝PF，PO＝PO＝PO，∠POD＝∠POE＝∠POF＝90°，所以△POD≌△POE≌△POF，所以OD＝OE＝OF．因为PO⊥AB，PD⊥AB且PD∩PO＝P，所以AB⊥平面POD，所以AB⊥OD．同理可得OF⊥BC，OE⊥AC．又因为OD＝OE＝OF，所以点O到三角形三边的距离相等，故点O为三角形ABC的内心．一、选择题1．三条直线两两垂直，下列四个命题：①这三条直线必共点；②其中必有两条直线不同在任一平面内；③三条直线不可能在同一平面内；④其中必有两条直线在同一平面内．其中真命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个答案 B解析三条直线两两垂直的情况共有三种：(1)三条直线都不相交，此时任意两条都不在同一平面内；(2)三条直线中只有两条相交，此时这两条在同一平面内；(3)三条直线过同一点，此时这三条直线中任意两条都在同一平面内，但这三条直线不在同一平面内．只有命题③是真命题．故正确答案是B．2．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折起，使点G1，G2，G3重合，重合后的点记为G，那么下列结论成立的是()A．SD⊥平面EFG B．SG⊥平面EFGC．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF答案 B解析折起后，SG⊥GE，SG⊥GF，而GF∩GE＝G，∴SG⊥平面EFG．3．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．③④答案 C解析由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a∥c；③不正确，a与b有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确．4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1CB ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连线的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连线的线段答案 A解析 由BD 1⊥AC ，BD 1⊥AB 1，得BD 1⊥平面AB 1C ，又AP ⊥BD 1，得P ∈面AB 1C ∩面BB 1C 1C ＝B 1C ．5．P 为△ABC 所在平面外的一点，且PA ，PB ，PC 两两垂直，则下列命题，其中正确的个数是( )①PA ⊥BC ；②AB ⊥BC ；③P 在平面ABC 上的射影为△ABC 的垂心；④P 在平面ABC 上的射影为△ABC 的内心．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B解析 PA ⊥PB ，PA ⊥PC ⇒PA ⊥平面PBC ，∴PA ⊥BC ，即①为真；同理PC ⊥AB ，若AB ⊥BC ，则AB ⊥平面PBC ，PA ∥AB ，矛盾，即②为假命题；设P 在平面ABC 上的射影为H ，易证AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，CH ⊥AB ，即③为真，④为假．二、填空题6．如图，PC ⊥平面ABC ，PC ＝12，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则P 到直线AB 的距离是________．答案 12295解析 过C 作CD ⊥AB 于D ，连接PD ．∵PC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴PC ⊥AB ，又PC ∩CD ＝C ，∴AB ⊥平面PCD ，∵PD ⊂平面PCD ，∴PD ⊥AB ．∴PD 的长即为P 到直线AB 的距离．在Rt △PCD 中，CD ＝6×862＋82＝245， ∴PD ＝PC 2＋CD 2＝ 122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2452＝12295． 7．如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ ⊥QD ，则a 的值等于________．答案 2解析 ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥QD ，又∵PQ ⊥QD ，∴QD ⊥平面PAQ ．∴AQ ⊥QD ，即Q 在以AD 为直径的圆上，当圆与BC 相切时，点Q 只有一个， 故BC ＝2AB ＝2．8．如图所示，已知PA ⊥⊙O 所在的平面，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上异于A ，B 的点，则△PAB ，△PAC ，△PBC ，△ABC 中，直角三角形的个数是________．答案 4解析∵PA⊥⊙O所在的平面，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，∴△PAB，△PAC为直角三角形．又AB为圆的直径，C在圆周上，∴AC⊥BC，∴△ABC为直角三角形．∵PA⊥BC，AC⊥BC，AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC为直角三角形．三、解答题9．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC．证明∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC．又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC．又AC∩SA＝A，∴BC⊥平面SAC．∵AD⊂平面SAC，∴BC⊥AD．又SC⊥AD，SC∩BC＝C，∴AD⊥平面SBC．10．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AB＝a．(1)求证：A1D⊥B1C1；(2)判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．解(1)证明：∵点D是正三角形ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC．又∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥BC．于是BC⊥平面A1AD，从而A1D⊥BC．由BC∥B1C1，得A1D⊥B1C1．(2)直线A1B∥平面ADC1．证明如下：如图，设A1C交AC1于点F，则F为A1C的中点．连接DF．∵D是BC的中点，∴DF∥A1B．又∵DF⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1．。

第一章 1.2.3 第1课时一、选择题1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是导学号03310368()A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定[答案] B[解析]三角形两边所在直线必相交，该直线必垂直于三角形所在平面，故该直线与第三边也垂直．2．若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l与α的关系是导学号03310369 ()A．平行B．相交C．垂直D．不确定[答案] D[解析]当l∥α时，直线l上所有点到α的距离都相等；当l与α相交(包括垂直)时，对于l上任一点P，在平面另一侧的直线上总存在一点P′，有P、P′到平面的距离相等，∴不确定．3．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是导学号03310370()A．平行B．垂直C．斜交D．不能确定[答案] B[解析]设a，b为异面直线，a∥平面α，b∥平面α，直线l⊥a，l⊥b．过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴l⊥a′．同理过b作平面γ∩α＝b′，则l⊥b′，∵a，b异面，∴a′与b′相交，∴l⊥α．4．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是导学号03310371()A．b⊥β B．b∥βC．b⊂β D．b⊂β或b∥β[答案] D[解析] 以如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1为模型．A 1A ⊥平面ABCD ，A 1A ⊥A 1B 1，AA 1⊥AB ，A 1B 1∥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故选D ．5．下列命题①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b ； ②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ∥b ⇒b ⊥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ∥α⇒a ⊥b; ④⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥b a ⊥bb ⊂αc ⊂α⇒a ⊥α； ⑤⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α； ⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥a ⇒b ∥α． 其中正确命题的个数是导学号 03310372( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6[答案] A[解析] 因为a ⊥α，则a 与平面α内的任意直线都垂直，∴①正确．又若b ∥α，a ⊥α，由线面平行的性质及空间两直线所成角的定义知，a ⊥b 成立，∴③对；两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也垂直于这个平面；∴②正确；由线面垂直的判定定理知④错；a ∥α，b ⊥a 时，b 与α可以平行相交(垂直)也可以b ⊂α，∴⑤错．当a ⊥α，b ⊥a 时，有b ∥α或b ⊂α，∴⑥错．6．直线a 与平面α内的两条直线都垂直，则a 与α的位置关系是导学号 03310373( ) A ．垂直 B ．平行 C ．a 在平面α内 D ．不确定 [答案] D[解析] 直线a 与平面α内的两条直线都垂直，则a ⊂α，或a ∥α，或a ⊥α，或a 与α斜交．二、填空题7．如图，若测得旗杆PO＝4，PA＝PB＝5，OA＝OB＝3，则旗杆PO和地面α的关系是________.导学号03310374[答案]PO⊥地面α[解析]∵PO＝4，OA＝OB＝3，PA＝PB＝5，∴PO2＋AO2＝PA2，PO2＋OB2＝PB2，∴PO⊥OA，PO⊥OB．又OA∩OB＝O，∴PO⊥平面AOB，∴PO⊥地面α．8．如图所示，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB为⊙O的直径，C是⊙O上异于A、B 的点，则△PAB、△PAC、△PBC、△ABC中，直角三角形的个数是________个.导学号03310375[答案] 4[解析]∵PA⊥⊙O所在的平面，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴△PAB、△PAC为直角三角形．又∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴△ABC为直角三角形．又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC为直角三角形．三、解答题9．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′，求证：A′D⊥EF.导学号03310376[解析]∵在正方形ABCD中，AD⊥AE，DC⊥CF，∴折起之后的几何体中，A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，A′E∩A′F＝A′，∴A′D⊥平面A′EF，∴A′D⊥EF.一、选择题1．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面导学号03310377()A．有且只有一个B．至多有一个C．有无数多个D．一定不存在[答案] B[解析]当a⊥b时，有且只有一个．当a与b不垂直时，不存在．2．已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝2r，则球的体积与三棱锥体积之比是导学号03310378() A．π B．2πC．3π D．4π[答案] D[解析]此三棱锥的高为球的半径，ABC所在大圆面积为πr2，三棱锥的底面易知为等腰直角三角形．腰长为2r，所以三棱锥底面面积为12(2r)2＝r2，∴球体积与三棱锥体积之比为4π，故选D．二、填空题3．已知正方形ABCD的边长为1，AP⊥平面ABCD，且AP＝2，则PC＝________.导学号03310379[答案] 6[解析]如图，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC．∵AC＝2，PA＝2，∴PC＝PA2＋AC2＝4＋2＝6．4．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________.导学号03310380[答案] 2[解析]∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD，又∵PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，∴QD⊥平面PAQ．∴AQ⊥QD，即Q在以AD为直径的圆上，当圆与BC相切时，点Q只有一个，故BC＝2AB＝2．三、解答题5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈CC1，B1E⊥BC1，AB＝AD，求证：AC1⊥面B1ED1.导学号03310381[解析]∵ABCD－A1B1C1D1为长方体，∴AB⊥平面BB1C1C，又∴B1E⊂平面BB1，C1C，∴AB⊥B1E，又∵B1E⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴B1E⊥平面ABC1，∴B1E⊥AC1，连接A1C1，∵AB＝AD，∴长方体上、下底面ABCD、A1B1C1D1为正方形．∴A1C1⊥B1D1．又∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，AA1∩A1C1＝A1，∴B1D1⊥平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1，B1E∩B1D1＝B1，∴AC1⊥平面B1ED1．6．如图所示，△ABC中，∠B为直角，P是△ABC外一点，且PA＝PB，PB⊥BC.若M是PC的中点，试确定AB上点N的位置，使得MN⊥AB.导学号10170382[解析]∵CB⊥AB，CB⊥PB，AB∩PB＝B，∴CB⊥平面APB.过M作ME∥CB，则ME⊥平面APB，∴ME⊥AB.若MN⊥AB，∵ME∩MN＝M，则AB⊥平面MNE，∴AB⊥EN.取AB中点D，连接PD，∵PA＝PB，∴PD⊥AB，∴NE∥PD．又M为PC中点，ME∥BC，∴E为PB中点．∵EN∥PD，∴N为BD中点，故当N为AB的四等分点(AN＝3BN)时，MN⊥AB．7．如图所示，BC是圆O的直径，AB垂直于圆O所在的平面，D是圆周上异于B、C 的任意一点，BF⊥AD，点F为垂足，求证：BF⊥平面ACD.导学号10170383[解析]连接BD、CD．∵BC是圆O的直径，∴BD⊥CD．又AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD．∵AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD．又BF⊂平面ABD，∴CD⊥BF．又BF⊥AD，且AD∩CD＝D，∴BF⊥平面ACD.第2课时平面与平面垂直。

人教B 版 数学 必修2：平面与平面垂直的判定、直线与平面垂直的性质一、选择题1. 已知l a a ⊥⊥,α，则l 与α的位置关系是 ( D )A ．l // αB ． α⊥lC ． α⊂lD ． l 与α不相交2. 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角(D)A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不定3. 平面α，β分别过两条互相垂直的异面直线l 、m ，则下列情况：⑴α∥β；⑵α⊥β；⑶l ∥β；⑷m ⊥α中，可能发生的有 ( D )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种4. (2003年上海卷)在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ D ）A ．α、β都垂直于平面r .B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C ．l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β.D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α, l ∥β，m ∥β.5. 已知a ，b 是直线，α，β，γ是平面. 给出下列命题：①a ∥α，a ∥β，α∩β=b ，则a ∥b ；②α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥β；④α∥β， β∥γ，a ⊥α，则a ⊥γ.其中错误命题的序号是 （ B ）A ．①B ．②C ．③D ．④二、填空题6. 如图，已知矩形ABCD 中，AB =1，BC =a ，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一点Q 满足PQ ⊥DQ ，则a 的值等于 2 .7. (2003年上海卷)在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）．8. 对四面体ABCD ，给出下列四个命题：①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD ②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD其中真命题的序号是________（写出所有真命题的序号）三、解答题9.已知正三棱锥ABC P -证明：BC PA ⊥.10. 如图，在空间四边形ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，∠ABC=90°，AE ⊥CD ，AF ⊥DB ． 求证：(1)EF ⊥DC ；(2)平面DBC ⊥平面AEF ．11. S 是△ABC 所在平面外一点，SA=SB=SC ，∠ASC=90°，∠ASB=∠BSC=60°，求证平面ASC ⊥平面ABC ．12. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC，且CE=2AD ． 求证：平面BDE ⊥平面BCE ．【课时40答案】1.D.2.D3.D4.D5.B6.27. arctg2.8. ①④9. 取BC 边的中点D ，连接AD 、PD ，则BC AD ⊥，BC PD ⊥，故⊥BC 平面APD ． ∴BC PA ⊥．10.11.12.。

1.2.3 空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直的判定【课时目标】1．掌握直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证明直线与平面垂直．1．两条直线互相垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，且______________，则称这两条直线互相垂直．2．空间直线与平面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交于一点，并且和这个平面内过交点的____________________，我们说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫________________，这个平面叫________________，交点叫________，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的__________，垂线段的长度叫这个点到平面的________．3．直线与平面垂直的判定定理定理：如果________________________________________________，则这条直线与这个平面垂直．一、选择题1．下列命题中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1 C．2 D．32．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是()A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．16．从平面外一点P向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果PA＝PB＝PC，有如下命题：①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD的中点，H是EF的中点．现沿AE、AF、EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是________．(填序号)①AG⊥平面EFG; ②AH⊥平面EFG；③GF⊥平面AEF; ④GH⊥平面AEF．8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC．1．运用化归思想，将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定，而同时还由此得到直线与直线垂直．即“线线垂直⇔线面垂直”．2．直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β．1．2．3空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直的判定答案知识梳理1．交角为直角2．任何直线都垂直平面的垂线直线的垂面垂足垂线段距离3．一条直线与平面内的两条相交直线垂直作业设计1．B2．D3．C4．B 5．A⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥BC AC ⊥BC ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ， ∴直角三角形有△PAB 、△PAC 、△ABC 、△PBC ．PO ⊥面ABC ． 则由已知可得，△PAO 、△PBO 、△PCO 全等，OA ＝OB ＝OC ， O 为△ABC 外心． 只有③正确． 7．①解析 ∵AG ⊥GF ，AG ⊥GE ，GF ∩GE ＝G ， ∴AG ⊥平面EFG ． 8．∠A 1C 1B 1＝90°解析如图所示，连接B 1C ， 由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C ，因此，要证AB 1⊥BC 1，则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ，即只要证AC ⊥BC 1即可，由直三棱柱可知，只要证AC ⊥BC 即可． 因为A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可． (或者能推出A 1C 1⊥B 1C 1的条件，如∠A 1C 1B 1＝90°等) 9．90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN ． 又∵MN ⊥B 1M ， ∴MN ⊥面C 1B 1M ， ∴MN ⊥C 1M ． ∴∠C 1MN ＝90°．10．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ， 又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，AB ∩BE ＝B ，∴CF ⊥平面EAB ． 11．证明 (1)∵PA ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥PA ．又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩PA ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥PD ．(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG ． 又∵G 、F 分别是PD ，PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形， ∴AG ∥EF ．∵PA ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ，∵CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ． ∴CD ⊥AG ．∴EF ⊥CD ．∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD ． 12．证明 连接AB 1，CB 1，设AB ＝1． ∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC ． 连接PB 1．∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94， OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21．∴B 1O ⊥PO ，又∵PO ∩AC ＝O ， ∴B 1O ⊥平面PAC ．13．证明(1)∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC．又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB．又∵AQ⊂平面SAB，∴BC⊥AQ．又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B，∴AQ⊥平面SBC．(2)∵AQ⊥平面SBC，SC⊂平面SBC，∴AQ⊥SC．又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A，∴SC⊥平面APQ．∵PQ⊂平面APQ，∴PQ⊥SC．。

第14课时 1.2.3 空间中的垂直关系——直线与平面垂直课时目标1.理解线面垂直的概念．2．掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理．识记强化1．空间直线与平面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交于一点，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫平面的垂线，这个平面叫直线的垂面，交点叫垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫这个点到平面的垂线段，垂线段的长度叫这个点到平面的距离．2．直线与平面垂直的判定定理定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．3．直线与平面垂直的性质定理如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．给出下列三个命题：()①经过直线外一点有且只有一条直线与该直线垂直；②经过直线外一点有且只有一个平面与该直线垂直；③若a∥b，a⊥α，则b⊥α .其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2 D．3答案：C解析：①不正确，因为过直线外一点可以作一个平面与此直线垂直，平面上所有过该点的直线都与这条直线垂直；②正确，因为过直线外一点只能作一个平面与此直线垂直；③显然正确．故选C.2．已知两条异面直线平行于平面α，直线l与这两条异面直线都垂直，那么直线l与平面α的位置关系是()A．平行B．垂直C．斜交D．不能确定答案：B解析：设a，b为这两条异面直线，则a∥平面α，b∥平面α，l⊥a，l⊥b.过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴l⊥a′；过b作平面γ∩α＝b′，同理得l⊥b′.∵a，b为异面直线，∴a′与b′相交，又a′⊂平面α，b′⊂平面α，∴l⊥平面α.故选B.3．已知a，b，c是直线，α，β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥α的是() A．a⊥b，a⊥c，且b⊂α，c⊂αB．a⊥b，b∥αC．α⊥β，a∥βD．a∥b，b⊥α答案：D解析：如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故选D.4．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若n∥m，n⊥α，则m⊥α答案：D解析：对于A，若m∥n，则α与β可以相交；对于B，m与n还可以异面；对于C，n 还可以在平面α内；对于D，显然正确．故选D.5．已知三条相交于一点的线段PA，PB，PC两两垂直，PH⊥平面ABC于点H，则垂足H是△ABC的()A. 外心B．内心C．垂心D．重心答案：C解析：∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，∵BC⊂平面PBC，∴PA ⊥BC.∵PH⊥平面ABC，∴PH⊥BC.又PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH，∴BC⊥AH.同理可证AB⊥CH，AC⊥BH，∴H为△ABC的垂心．6．如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则直线A1D，AA1，A1D1，A1C1中与B1O垂直的是()A．A1D B．AA1C．A1D1D．A1C1答案：D解析：连接B1D1，则A1C1⊥B1D1.根据正方体的特征，可得BB1⊥A1C1，故A1C1⊥平面BB1D1D.又B1O⊂平面BB1D1D，所以B1O⊥A1C1.二、填空题(每个5分，共15分)7．已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在的平面，若PC ⊥BD ，则平行四边形ABCD 一定是__________．答案：菱形解析：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ，又因为PC ⊥BD ，所以BD ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC ，所以AC ⊥BD .8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝1，E 为BD 上一点，PE ⊥DE ，则PE 的长为________．答案：135解析：连接AE .∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD .又BD ⊥PE ，PA ∩PE＝P ，∴BD ⊥平面PAE ，∴BD ⊥AE .∴AE ＝3×45＝125.在Rt △PAE 中，由PA ＝1，AE ＝125，得PE ＝135. 9．Rt △ABC 所在平面外一点P 到直角顶点C 的距离为24 cm ，到两直角边的距离为610 cm.则P 点到平面ABC 的距离是________．答案：12 cm解析：设P 到平面的距离为x ，依题意有(610)2－x 2＋(610)2－x 2＝242－x 2，解得：x ＝12.三、解答题10．(12分)如图，在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，AC ＝6，BC ＝8，EC ⊥平面ABC ，EC ＝12，求ED 的长．解：连接CD .∵EC ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，∴EC ⊥CD .在Rt △ACB 中，∠ACB ＝π2，BC ＝8，AC ＝6，故AB ＝10. 又∵D 为AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝6. 又∵EC ＝12，∴ED ＝EC 2＋CD 2＝122＋62＝6 5.11．(13分)如图，在四面体A －BCD 中，∠BDC ＝90°，AC ＝BD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，且EF ＝ 2.求证：BD ⊥平面ACD .证明：取CD 的中点为G ，连接EG ，FG .∵E ，F 分别为AD ，BC 的中点，∴EG ∥AC ，FG ∥BD .又AC ＝BD ＝2，则EG ＝FG ＝1.∵EF ＝2，∴EF 2＝EG 2＋FG 2，∴EG ⊥FG ，∴BD ⊥EG .∵∠BDC ＝90°，∴BD ⊥CD .又EG ∩CD ＝G ，∴BD ⊥平面ACD .能力提升12．(5分)如图，四棱锥P —ABCD 的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 是侧棱PD 的中点．(1)求证：PB ∥平面EAC ；(2)求证：AE ⊥平面PCD .证明：(1)连结BD ，BD ∩AC ＝O ，连结EO ，则EO 为△PDB 的中位线，则PB ∥EO .所以PB ∥平面EAC .(2)⎭⎪⎬⎪⎫平面PAD ⊥平面ABCD 矩形ABCD ⇒CD ⊥AD ⇒CD ⊥平面PAD ⇒CD ⊥AE . ⎭⎪⎬⎪⎫EP ＝ED 正△PAD ⇒AE ⊥PD ，则AE ⊥平面PCD . 13．(15分)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝BC ＝3，PC ＝AB ＝5，AC ＝4，PB ＝34.(1)求证：PA ⊥平面ABC .(2)过C 作CF ⊥PB 于点F ，在线段AB 上是否存在一点E ，使得PB ⊥平面CEF ？若存在，求点E 的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)由已知，得PC 2＝PA 2＋AC 2＝25，PB 2＝PA 2＋AB 2＝34，所以PA ⊥AC ，PA ⊥AB .又AB ∩AC ＝A ，所以PA ⊥平面ABC .(2)假设在AB 上存在一点E ，使得PB ⊥平面CEF .。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题第一课时直线与平面垂直1若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b的关系是()A.a⊥b,且a与b相交B.a⊥b,且a与b不相交C.a⊥bD.a与b不一定垂直b∥α,则在平面α内存在一条直线c,使得b∥c,因为直线a⊥平面α,c⊂α,所以a ⊥c.因为b∥c,所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直,当b与a不相交时为异面垂直,故选C.2如图,BC是Rt△ABC的斜边,PA⊥平面ABC,PD⊥BC,则图中直角三角形的个数是()A.8B.7C.6D.5PA⊥AC, PA⊥AD,PA⊥AB,BC⊥AD,BC⊥PD,AC⊥AB.图中的直角三角形分别为△PAC,△PAD,△PAB,△ADC,△ADB,△PCD,△PDB,△ABC,共8个,故选A.3设α表示平面,a,b,l表示直线,给出下列四个命题:①⇒l⊥α;②⇒b⊥α;③⇒b⊥α;④⇒a⊥α.其中正确的命题是()A.①②B.②③C.③④D.②中当a,b相交时才成立;③中由a∥α,a⊥b知b∥α或b⊂α或b⊥α或b与α相交;④中当a垂直于平面α内的两条相交直线时,有a⊥α,若a只垂直于平面α内的一条直线,则不能得出a⊥α,从而不正确.4已知直线a,b与平面α,给出下列四个命题:①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥α,b⊂α,则a∥b;③若a∥α,b∥α,则a∥b;④若a⊥α,b∥α,则a⊥b.其中正确命题的个数是 ()A.1B.2C.3D.45在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2和G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE,SF和EF把这个正方形折起,使点G1,G2,G3重合,重合后的点记为G,则下列结论成立的是()A.SD⊥平面EFGB.SG⊥平面EFGC.GF⊥平面SEFD.GD⊥平面SEFSG⊥GE,SG⊥GF,又GF与GE相交于点G,所以SG⊥平面EFG.6如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误．．的是()A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等7对于四面体ABCD,给出下列四个命题:①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;④若AB⊥CD,BD⊥AC,则BC⊥AD.其中真命题的序号是.①,取BC的中点E.连接AE,DE,则BC⊥AE,BC⊥DE,所以BC⊥AD.对于命题④,过A向平面BCD作垂线AO,如图,连接BO并延长与CD交于点G,则CD⊥BG,同理CH⊥BD.所以O为△BCD的垂心,连接DO,则BC⊥DO,BC⊥AO,所以BC⊥AD.8如图,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于.PA⊥平面ABCD,所以PA⊥QD.又因为PQ⊥QD,PA∩PQ=P,所以QD⊥平面PAQ.所以AQ⊥QD,即Q在以AD为直径的圆上,当圆与BC相切时,点Q只有一个,故BC=2AB=2.9如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是.,一个面有四条棱与之垂直,六个面,共构成24个“正交线面对”;而正方体的六个对角面中,每个对角面又有两条面对角线与之垂直,共构成12个“正交线面对”,所以共有36个“正交线面对”.10如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2, AB∥DC,∠BCD=90°.(1)求证:PC⊥BC;(2)求点A到平面PBC的距离.PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PD⊥BC.由∠BCD=90°,得BC⊥DC.又因为PD∩DC=D,PD⊂平面PCD,DC⊂平面PCD,所以BC⊥平面PCD.因为PC⊂平面PCD,所以PC⊥BC.AC,设点A到平面PBC的距离为h.因为AB∥DC,∠BCD=90°,所以∠ABC=90°.从而由AB=2,BC=1,得△ABC的面积S△ABC=1.由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积V=S△ABC·PD=.因为PD⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,所以PD⊥DC.又PD=DC=1,所以PC=.由PC⊥BC,BC=1,得△PBC的面积S△PBC=,由V=S△PBC·h=·h=,得h=.因此,点A到平面PBC的距离为.★11如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,M,N,G分别是棱CC1,AB,BC的中点,且CC1=AC.求证:(1)CN∥平面AMB1;(2)B1M⊥平面AMG.设AB1的中点为P,连接NP,MP.因为CM∥AA1,且CM=AA1,NP∥AA1,且NP=AA1,所以CM∥NP,且CM=NP.所以四边形CNPM是平行四边形.所以CN∥MP.因为CN⊄平面AMB1,MP⊂平面AMB1,所以CN∥平面AMB1.(2)因为CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AG.由△ABC是正三角形得AG⊥BC,又因为BC∩CC1=C,所以AG⊥平面CC1B1B.所以B1M⊥AG.因为CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AC.设AC=2a,则CC1=2 a.在Rt△MCA中,AM= a.同理,B1M= a.因为BB1∥CC1,所以BB1⊥平面ABC.所以BB1⊥AB.所以AB1==2 a.所以AM2+B1M2=A.所以B1M⊥AM.又因为AG∩AM=A,AG⊂平面AMG,AM⊂平面AMG,所以B1M⊥平面AMG.。

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[学业达标]
一、选择题
．下列条件中，能使直线⊥平面α的是( )
．⊥，⊥，⊥α，⊥α．⊥，∥α
．∩＝，⊥α．∥，⊥α
【解析】由线线平行及线面垂直的判定知选项正确．
【答案】
．如图--，三棱锥-中，⊥，⊥，则直线和平面所成的角是( )
图--
．∠．∠
．∠．以上都不对
【解析】由⊥，⊥，∩＝，
得⊥平面，
所以∠为与平面所成的角．故选.
【答案】
．已知直线，是异面直线，则过直线且与直线垂直的平面( )
．有且只有一个．至多一个
．有一个或无数个．不存在
【解析】若异面直线、垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．【答案】
．在正方体-中，与平面所成角的余弦值为( )
【解析】如图所示，连接交于点，连接，由于∥，
∴与平面所成的角就是与平面所成的角．易知∠即为所
求．设正方体的棱长为，则＝，＝，＝，
∴∠＝＝＝.
∴与平面所成的角的余弦值为.
【答案】
．(·成都高二检
测)已知-为正方体，下列结论错误的是( )
．∥平面．⊥
．⊥平面．⊥
【解析】正方体中由∥，易知正确；
由⊥，⊥可得⊥平面，
从而⊥，即正确；
由以上可得⊥，同理⊥，
因此⊥平面，即正确；
由于四边形不是菱形，所以⊥不正确．故选.
【答案】
二、填空题
．(·太原高一检测)如图--，平面α∩β＝，⊥α，垂足为，⊥β，垂足为，则与的位置关系是．
图--
【解析】∵⊥α，⊂α，
根据直线和平面垂直的定义，则有⊥.
同样，∵⊥β，⊂β，则有⊥.
又∩＝，
∴⊥平面.。