2019年高考物理一轮复习第04章曲线运动万有引力定律第2讲平抛运动学案新人教版

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……第四章 曲线运动 万有引力与航天类平抛运动的处理1．受力特点物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直．2．运动特点在初速度v 0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a ＝F 合m. 3．求解方法(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为a x 、a y ，初速度v 0分解为v x 、v y ，然后分别在x 、y 方向列方程求解．4．考查特点(1)类平抛运动是对平抛运动研究方法的迁移，是高考命题的热点问题．(2)高考考查该类问题常综合机械能守恒、动能定理等知识，以电场或复合场为背景考查学生运用所学知识处理综合问题的能力．例1 如图1所示的光滑斜面长为l ，宽为b ，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P 水平射入，恰好从底端Q 点离开斜面，试求：图1(1)物块由P 运动到Q 所用的时间t ；(2)物块由P 点水平射入时的初速度v 0；(3)物块离开Q 点时速度的大小v .答案 (1) 2l g sin θ (2)b g sin θ2l(3) (b 2＋4l 2)g sin θ2l 解析 (1)沿斜面向下有mg sin θ＝ma ，l ＝12at 2联立解得t ＝2l g sin θ. (2)沿水平方向有b ＝v 0t ，v 0＝b t ＝bg sin θ2l(3)物块离开Q 点时的速度大小 v ＝v 20＋(at )2＝(b 2＋4l 2)g sin θ2l.对于周期性运动的问题，注意要把问题考虑全面，思维要严谨．例2 两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动．地球半径为R ，a 卫星离地面的高度等于R ，b 卫星离地面的高度等于3R .则：(1)a 、b 两卫星周期之比T a ∶T b 是多少？(2)若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，且a 卫星运行周期已知为T a ，则a 经多长时间两卫星相距最远？答案 (1)122(2)4＋27(2n －1)T a ，n ＝1,2,3，… 解析 (1)由牛顿第二定律和万有引力定律，得G Mm r 2＝m (2πT )2r ，则T ＝4π2r 3GM ，得T a ＝2π(2R )3GM ，T b ＝2π(4R )3GM ，所以T a T b ＝122. (2)设经过时间t 两卫星相距最远，则t T a －t T b ＝12(2n －1)，n ＝1,2,3，… 所以t ＝4＋27(2n －1)T a ，n ＝1,2,3，…. 易错诊断 本题的易错点在于找不准何时相距最远，以及相距最远时应满足什么条件．两卫星相距最近是指两卫星位于地心的同侧，且与地心在同一直线上．当两卫星相距最远时，两卫星转过的弧度之差最小为π.若考虑周期性，两卫星转过的弧度之差最小为k π，k ＝1,3,5，…拓展延伸 若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则经多长时间两卫星相距最近？提示 两卫星相距最近是指两卫星位于地心的同侧，且与地心在同一直线上．当两卫星再次相距最近时，两卫星转过的弧度之差最小为2π.若考虑周期性，两卫星转过的弧度之差最小为2n π，n ＝1,2,3，….利用平抛运动的轨迹解题．例3 如图2所示是某同学根据实验画出的平抛小球的运动轨迹，O 为平抛的起点，在轨迹上任取三点A 、B 、C ，测得A 、B 两点竖直坐标y 1为5.0cm 、y 2为45.0cm ，A 、B 两点水平间距Δx 为40.0cm.则平抛小球的初速度v 0为________m/s ，若C 点的竖直坐标y 3为60.0 cm ，则小球在C 点的速度v C 为________m/s.(结果保留两位有效数字，g 取10m/s 2)图2答案 2.0 4.0解析 由y ＝12gt 2得，t 1＝2y 1g ＝0.10s ，t 2＝2y 2g ＝0.30s ，因此小球平抛运动的初速度为v 0＝Δx t 2－t 1＝0.400.20m/s ＝2.0 m/s.小球在C 点时竖直方向的分速度v y 3＝2gy 3＝2×10×0.60m/s ＝23m/s ，因此C 点速度v C ＝v 2y 3＋v 20＝4.0m/s.。

学案02 平抛运动知识体系知识点一、平抛运动1．定义：以一定的初速度沿 方向抛出，只在 作用下（不计空气阻力）的运动。

2．性质：平抛运动是加速度为 的 运动，其运动轨迹是抛物线。

3．条件：(1)初速度v0≠0，沿水平方向；(2)只受重力作用。

4．研究方法：水平方向：匀速直线运动竖直方向：自由落体运动（初速度v y 0＝0）。

5．基本规律： (1) 速度关系：①水平速度：v x ＝②竖直速度：v y ＝ ，或v y ＝③合速度：大小：v ＝ ＝ ＝ 方向：tan θ＝ ＝ （θ为速度偏角） (2) 位移关系：⎩⎨⎧①水平位移：x ＝②竖直位移：y ＝③合位移：⎩⎨⎧大小：s ＝方向：tan α＝ ＝ （α为位移偏角）若在水平方向上等分位移，则在竖直方向上等分的是 。

(3) 轨迹方程：y ＝ ，轨迹为过原点的抛物线。

知识点二、抛体运动 斜抛运动1．抛体运动：物体以一定的速度抛出，且只受重力（恒力）作用的运动。

2．抛体运动的性质：加速度恒为g⎩⎨⎧①沿竖直方向抛出，做 运动。

②沿其他方向抛出，做 运动3．斜抛运动：将物体以初速度v 0沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。

4．斜抛运动的性质：加速度为重力加速度g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。

5．斜抛运动的分解：①水平方向不受力，做 直线运动(v x ＝v 0x ＝v 0cos θ)； ②竖直方向只受重力，做 直线运动 v y 0＝v 0y ＝v 0sin θ，v y ＝v y 0±gt 辨析理解(1) 无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动。

( ) (2) 平抛运动的加速度方向时刻在变化。

( ) (3) 平抛运动的竖直分运动是自由落体运动。

( )(4) 平抛运动的物体任意时刻速度方向与水平方向的夹角保持不变。

( )(5) 平抛运动的物体在任意相等的两段时间内的速度的变化相同。

( )(6) 对于在相同高度以相同速度平抛的物体，在月球上水平位移与在地球上水平位移相等( ) 考点突破考点1、平抛运动的规律及其应用 1．飞行时间：由t ＝2hg知，时间取决于 ，与 无关。

第2讲平抛运动的规律及应用考纲考情核心素养►抛体运动Ⅱ►平抛运动规律的应用►平抛运动和斜抛运动的定义、受力特点及运动性质．►平抛运动在水平方向及竖直方向上的运动规律.物理观念全国卷5年10考高考指数★★★★★►应用运动的分解分析抛体运动问题．►应用临界法分析平抛运动中的临界问题.科学思维知识点一平抛运动1．定义将物体以一定的初速度沿水平方向抛出,物体只在重力作用下(不考虑空气阻力)的运动．2．性质平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动,运动轨迹是抛物线．3．研究方法用运动的合成与分解方法研究平抛运动．(1)水平方向:匀速直线运动．(2)竖直方向:自由落体运动.直观情景4.(1)速度关系(2)位移关系(3)轨迹方程:y ＝12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x v 02.知识点二 斜抛运动1．定义将物体以初速度v 0斜向上或斜向下抛出,物体只在重力作用下的运动． 2．性质斜抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动,运动轨迹是抛物线． 3．研究方法用运动的合成与分解方法研究斜抛运动． (1)水平方向:匀速直线运动． (2)竖直方向:匀变速直线运动.直 观 情 景H ＝v 20sin 2θ2g x ＝v x t ＝2v 20sin θcos θg ＝v 20sin2θg1．思考判断(1)平抛运动的加速度方向与速度方向总垂直．( ×)(2)平抛运动加速度不变．( √)(3)相等时间内平抛运动的物体速度变化量相同．( √)(4)相等时间内平抛运动速度大小变化相同．( ×)(5)平抛运动可分解为水平匀加速运动和竖直自由落体运动．( ×)(6)斜抛运动是变加速曲线运动．( ×)2．(多选)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动,用如图所示的装置进行实验．小锤打击弹性金属片,A球水平抛出,同时B球被松开,自由下落,关于该实验,下列说法正确的有( BC )A．两球的质量应相等B．两球应同时落地C．应改变装置的高度,多次实验D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动解析:小锤打击弹性金属片后,A球做平抛运动,B球做自由落体运动．A球在竖直方向上的运动情况与B球相同,做自由落体运动,因此两球同时落地．实验时,需A、B两球从同一高度开始运动,对质量没有要求,但两球的初始高度及打击力度可以有变化,实验时要进行3～5次得出结论．本实验不能说明A球在水平方向上的运动性质,故选项B、C正确,A、D错误．3．人站在平台上平抛一小球,球离手时的速度为v1,落地时速度为v2,不计空气阻力,图中能表示出速度矢量的演变过程的是( C )解析:小球做平抛运动,只受重力作用,加速度方向竖直向下,所以速度变化的方向竖直向下,C 正确．4．(多选)正在水平匀速飞行的飞机,每隔1秒钟释放一个小球,先后共释放5个,不计阻力,则( AD )A ．这5个球在空中排成一条直线B ．这5个球在空中处在同一抛物线上C ．在空中,第1、2两球间的距离保持不变D ．相邻两球的落地点间距离相等解析:本题通过多物体运动考查平抛运动规律．小球被释放后做平抛运动,其在水平方向的速度与飞机的飞行速度相等,飞机做匀速直线运动,所以5个小球始终在飞机的正下方,且相邻小球落地点的间距相等,故A 、D 正确,B 错误；竖直方向上5个小球均做自由落体运动,由于第2个小球释放时第1个小球的速度已经为v 0＝gt 0＝10 m/s,所以第一个小球在空中运动时间t 时,第1、2两小球的间距为Δh ＝(v 0t ＋12gt 2)－12gt 2＝v 0t ,所以两小球的间距逐渐增大,故C错误．5．一物体从某高度以初速度v 0水平抛出,落地时速度大小为v ,重力加速度为g ,则它运动的时间为( D )A.v －v 0gB.v －v 02gC.v 2－v 202gD.v 2－v 20g解析:落地时物体在竖直方向的速度v y ＝v 2－v 20,又v y ＝gt ,故物体下落的时间t ＝v y g＝v 2－v 20g,选项D 正确．考点1 平抛运动规律及应用1．飞行时间: 由t ＝2hg知,平抛运动的时间取决于下落高度h ,与初速度v 0无关．2．水平射程:x ＝v 0t ＝v 02hg,即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定,与其他因素无关．3．落地速度:v ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋2gh ,以θ表示落地速度与x 轴正方向间的夹角,有tan θ＝v y v x ＝2gh v 0,所以落地速度只与初速度v 0和下落高度h 有关．4．速度改变量:物体在任意相等时间内的速度改变量Δv ＝g Δt 相同,方向恒为竖直向下,如图所示．如图所示,A 、B 两个平台水平距离为7.5 m,某同学先用一个小球从A 平台边缘以v 0＝5 m/s 的速度水平抛出,结果小球落在了B 平台左侧边缘下方6.25 m 处．重力加速度g 取10 m/s 2,忽略空气阻力,要使小球从A 平台边缘水平抛出能落到B 平台上,则从A 平台边缘水平抛出小球的速度至少为( )A ．6 m/sB ．7.5 m/sC ．9 m/sD ．11.25 m/s【解析】 本题考查平抛运动的临界问题．由平抛运动的规律可知,第一次抛出小球时满足x ＝v 0t 1,h ＋6.25 m ＝12gt 21；当小球恰能落到平台B 上时,有x ＝v 0′t 2,h ＝12gt 22,联立解得v 0′＝7.5 m/s.故选B.【答案】 B 高分技法解决平抛运动的方法 1解决平抛运动的方法是分解,即把平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,先研究分运动,再确定合运动.2若已知末速度方向,可分解末速度,利用两个分速度的关系求未知量.1.(多选)如图所示,一小球以10 m/s 的速度水平抛出,在落地之前经过空中A 、B 两点,在A 点时小球速度方向与水平方向的夹角为45°,在B 点时小球速度方向与水平方向的夹角为60°.空气阻力忽略不计,g 取10 m/s 2.以下判断中正确的是( AC )A ．小球经过A 、B 两点的时间间隔t ＝(3－1) s B ．小球经过A 、B 两点的时间间隔t ＝ 3 sC ．A 、B 两点的高度差h ＝10 mD ．A 、B 两点的高度差h ＝15 m解析:在A 点,竖直方向上的分速度v yA ＝v 0tan45°,抛出点到A 的高度h A ＝v 2yA2g ；在B 点,竖直方向上的分速度v yB ＝v 0tan60°,抛出点到B 的高度h B ＝v 2yB2g .根据v yB －v yA ＝gt ,得t ＝v 0tan60°－tan45°g＝(3－1) s,选项A 正确；A 与B 的高度差h ＝h B －h A ＝v 20tan 260°－tan 245°2g＝10 m,选项C 正确．2.如图所示,A 、B 两个小球在同一竖直线上,离地高度分别为2h 和h ,将两球水平抛出后,两球落地时的水平位移之比为12,则下列说法正确的是( D )A ．A 、B 两球的初速度之比为1 4 B ．A 、B 两球的初速度之比为12C ．若两球同时抛出,则落地的时间差为2hgD ．若两球同时落地,则两球抛出的时间差为(2－1)2h g解析:由x ＝v 0t 和y＝12gt 2知v 1＝x 4h g＝x2g h ,v 2＝2x 2hg＝2x gh,因此两球的初速度之比为122,A 、B 项错误；若两球同时抛出,则落地的时间差为4hg－2hg＝(2－1)2hg ,C 项错误；若两球同时落地,则两球抛出的时间差也为(2－1)2hg,D 项正确．考点2 与斜面有关的平抛运动1．与斜面有关的平抛运动有两种模型 (1)物体从空中抛出落在斜面上． (2)物体从斜面上抛出落在斜面上．解答时要充分运用斜面倾角,找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系是解题的关键．2．两种模型对比 方法内容 实例斜面求小球平抛时间 总结 分解 速度水平v x ＝v 0竖直v y ＝gt 合速度v ＝v 2x ＋v 2y解:如图,v y ＝gt ,tan θ＝v x v y ＝v 0gt故t ＝v 0g tan θ分解速度, 构建速度 三角形分解 位移水平x ＝v 0t竖直y ＝12gt 2合位移x 合＝x 2＋y 2解:如图,x ＝v 0t ,y ＝12gt 2,而tan θ＝y x,联立得t ＝2v 0tan θg分解位移,构建位移 三角形在一斜面顶端,将甲、乙两个小球分别以v 和v2的速度沿同一方向水平抛出,两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率和水平位移大小分别是乙球落至斜面时的( )A ．2倍、2倍B ．2倍、4倍C ．4倍、2倍D ．4倍、4倍【解析】 设斜面倾角为α,小球落在斜面上时速度的偏向角为θ,甲球以速度v 抛出,落在斜面上,如图所示；根据平抛运动的推论可得tan θ＝2tan α,所以甲、乙两个小球落在斜面上时速度的偏向角相等,故对甲有v甲末＝vcos θ；对乙有v乙末＝v 2cos θ,所以v 甲末v 乙末＝21；根据tan α＝12gt 2v 0t ＝gt 2v 0,水平位移L ＝v 0t ＝2v 20tan αg ∝v 20,则甲球落至斜面时的位移大小是乙球落至斜面时的4倍,故B 正确,A 、C 、D 错误．【答案】 B 高分技法 两个重要推论(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点,如图甲所示,B 是OC 的中点．(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处,设其速度方向与水平方向的夹角为θ,位移与水平方向的夹角为α,则tan θ＝2tan α,如图乙所示．3．如图所示,斜面AC 与水平方向的夹角为α,在底端A 的正上方与顶端C 等高处的E 点以速度v 0水平抛出一小球,小球垂直于斜面落到D 点,重力加速度为g ,则( C )A ．小球在空中飞行时间为v 0gB ．小球落到斜面上时的速度大小为v 0cos αC ．CD 与DA 的比值为12tan 2αD ．小球的位移方向垂直于AC 解析:小球的运动轨迹图如图所示,球垂直于斜面落到D 点,所以在D 点时有tan α＝v 0gt,解得t ＝v 0g tan α,故A 错；小球垂直于斜面落到D 点,所以小球落到斜面上时的速度大小为v ＝v 0sin α,故B错；根据几何关系有s DA＝v0t cosα,sCD＝12gt2sinα；整理得CD与DA的比值为12tan2α,故C对；由图可知,位移方向与AC不垂直,故D错．4.如图所示,水平面上固定有一个斜面,从斜面顶端向右平抛一只小球,当初速度为v0时,小球恰好落到斜面底端,平抛的飞行时间为t0.现用不同的初速度v从该斜面顶端向右平抛这只小球,以下哪个图象能正确表示平抛的飞行时间t随v变化的函数关系( B )解析:本题考查根据运动情况选择运动图象问题．小球做平抛运动,其在竖直方向上为自由落体运动,有h＝12gt2,在水平方向上做匀速直线运动,有x＝vt,由于小球初速度为v0时恰能到达斜面底端,若小球的初速度大于v0,在高度不变时水平位移就会大于x,此时小球最终会落在水平地面上,由于小球下落高度不变,所以其运动时间不变,故A、D错误；若小球的初速度小于v0,则小球最终会落在斜面上,此时设斜面倾角为θ,则有tanθ＝yx＝12gt2vt＝gt2v,可得t＝2v tanθg,由于θ不变,则t与v成正比,故B正确,C错误．考点3 与曲面有关的平抛运动1．常见曲面有圆弧面和抛物面．2．解决与曲面有关问题的基本思路(1)建立坐标系,设物体落到曲面的坐标为(x,y)；(2)利用平抛运动规律分别沿水平和竖直方向列方程；(3)最后根据曲面特点找到x、y的关系．如图所示为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图．参与游戏的选手会遇到一个人造山谷OAB ,OA 是高h ＝3 m 的竖直峭壁,AB 是以O 点为圆心的弧形坡,∠AOB ＝60°,B 点右侧是一段水平跑道．选手可以自O 点借助绳索降到A 点后再爬上跑道,但身体素质好的选手会选择自O 点直接跃上跑道．选手可视为质点,忽略空气阻力,重力加速度取g ＝10 m/s 2.(1)若选手以速度v 0水平跳出后,能跳在水平跑道上,求v 0的最小值； (2)若选手以速度v 1＝4 m/s 水平跳出,求该选手在空中的运动时间．【解析】 (1)若选手以速度v 0水平跳出后,能跳在水平跑道上,则有h sin60°≤v 0th cos60°＝12gt 2解得v 0≥3102m/s.(2)若选手以速度v 1＝4 m/s 水平跳出,因v 1<v 0,人将落在弧形坡上 下降高度y ＝12gt 2水平前进距离x ＝v 1t 且x 2＋y 2＝h 2联立解得t ＝0.6 s.【答案】 (1)3102 m/s (2)0.6 s高分技法常见情景核心规律⎩⎪⎨⎪⎧x＝v0ty＝12gt2x2＋y2＝R2⎩⎪⎨⎪⎧x＝R＋R cosθ＝v0ty＝R sinθ＝12gt25.如图所示,半圆形容器竖直放置,从其圆心O点处分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点),最终它们分别落在圆弧上的A点和B点,已知OA与OB互相垂直,且OA与竖直方向成θ角,则两小球的初速度之比为( C )A.tanθB．tanθC.tan3θD．tan2θ解析:由平抛运动规律得,水平方向上,有R sinθ＝v1t1,R cosθ＝v2t2,竖直方向上,有R cosθ＝12gt21,R sinθ＝12gt22,联立解得v1v2＝tan3θ,选项C正确．6．如图所示,a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平飞出,已知半圆轨道的半径与斜面高度相等,斜面底边长是其高度的2倍．若小球a能落到半圆轨道上,小球b能落到斜面上,则( C )A．b球一定先落在斜面上B．a球可能垂直落在半圆轨道上C．a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上D．a、b两球不可能同时落在半圆轨道和斜面上解析:将半圆轨道和斜面轨道重合在一起,如图所示,交点为A,当初速度合适时,小球做平抛运动落在A点,即两球同时落在半圆轨道和斜面上,若初速度不合适,由图可知,小球可能先落在斜面上,也可能先落在半圆轨道上,故C正确,A、D错误；若a球垂直落在半圆轨道上,根据几何关系知,速度方向与水平方向的夹角是位移方向与水平方向的夹角的2倍,而在平抛运动中,某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角正切值的2倍,两者相互矛盾,所以a球不可能垂直落在半圆轨道上,故B错误．。

第四章 曲线运动和万有引力§4.1 运动的合成和分解 平抛运动[知识要点]1、曲线运动（1）曲线运动的条件：合外力方向（或加速度方向）与速度方向不在一条直线上。

（2）曲线运动的特点及性质：曲线运动中质点的速度方向为某时刻曲线中这一点的切线方向，曲线运动一定是变速运动。

2、运动的合成和分解（1）已知分运动求合运动的过程叫运动的合成；已知合运动求分运动的过程叫运动的分解。

（2）运动合成和分解的总原则：平行四边形定则（包括s 、v 、a 的合成和分解）。

运动的分解原则：根据实际效果分解或正交分解。

（3）运动合成和分解的特点：①等效性：几个分运动的总效果为合运动；某个运动（合运动）可以用几个分运动等效代替。

②独立性：各个分运动可以是不同性质的运动，且互不干扰，独立进行。

③等时性：合运动和分运动具有同时开始、同时结束的特性，物体运动的时间取决于具有某种约束的分运动，如平抛运动中物体下落的高度可能决定平抛运动的时间。

3、平抛运动（1）定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动。

（2）性质：平抛运动是加速度a=g 的匀变速曲线运动。

（3）规律：以水平方向抛出速度V 0做匀速直线运动，v x =v 0 ,x=v 0t ；竖直方向做自由落体运动，v y =gt ，y=(1/2)gt 2。

（4）运动轨迹：由x= v 0t 和y=(1/2)gt 2得y=gx 2/2v 02，顶点为（0，0），开口向下的半支抛物线（x>0,y>0）。

【典型例题 】[例1] 物体受到几个力的作用而处于平衡状态，若再对物体施加一个恒力，则物体可能为（ ）A 、静止或匀速直线运动B 、匀变速直线运动C 、曲线运动D 、匀变速曲线运动 [例2] 某河宽d=100m ，水流速度为3m/s ，船在静水中的速度为4m/s ，问：（1）船渡河的最短时间多长？船的位移多大？（2）欲使船沿最短路径到达对岸，船应与河岸成多大的角度行驶？渡河时间多少？（3）若水流流速为4m/s ，船在静水中的速度为3m/s 时，欲使船沿最短路径到达对岸，船应与河岸成多大角度？ [例3] 在图所示的装置中，两个相同的弧形轨道M 、N ，分别用于发射小铁球P 、Q ；两轨道上端分别装有电磁铁C 、D ；调节电磁铁C 、D 的高度，使AC=BD ，从而保证小铁球P 、Q 在轨道出口处的水平初速度v 0相等。

第2讲 抛体运动教材知识梳理一、平抛运动1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在________作用下的运动．2．性质：属于匀变速曲线运动，其运动轨迹为________．3．研究方法：分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的________两个分运动． 4．规律(1)水平方向：________运动，v x ＝v 0，x ＝v 0t ，a x ＝0. (2)竖直方向：________运动，v y ＝gt ，y ＝12gt 2，a y ＝g .(3)实际运动：v ＝v 2x ＋v 2y ，s ＝x 2＋y 2，a ＝________． 二、类平抛运动1．定义：加速度恒定、加速度方向与初速度方向________的运动． 2．性质：属于匀变速曲线运动，其运动轨迹为________．3．研究方法：一般将类平抛运动沿________和加速度两个方向分解． 4．运动规律：与平抛运动类似．答案：一、1.重力 2.抛物线 3.自由落体运动 4．(1)匀速直线 (2)自由落体 (3)g 二、1.垂直 2.抛物线 3.初速度【思维辨析】(1)平抛运动是匀变速曲线运动．( ) (2)平抛运动的加速度方向时刻在变化．( ) (3)平抛运动的竖直分运动是自由落体运动．( )(4)做平抛运动的物体在任意时刻的速度方向与水平方向的夹角保持不变．( ) (5)做平抛运动的物体在任意相等的两段时间内的速度变化相同．( )(6)对于在相同高度以相同速度平抛的物体，在月球上水平位移与在地球上水平位移相等．( ) 答案：(1)(√) (2)(×) (3)(√) (4)(×) (5)(√) (6)(×)考点互动探究考点一 平抛运动规律和推论的应用1.水平射程和飞行时间 (1)飞行时间：由t ＝2hg可知，飞行时间只与h 、g 有关，与v 0无关．(2)水平射程：由x ＝v 0t ＝v 02hg可知，水平射程由v 0、h 、g 共同决定．2．落地速度：v ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋2gh ，与水平方向的夹角的正切tan α＝v y v x＝2ghv 0，所以落地速度与v 0、g 和h 有关．3．速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量Δv ＝g Δt 相同，方向恒为竖直向下，如图4­10­1所示．图4­10­14．平抛运动的两个重要推论：推论一：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为β，则tan α＝2tan β.推论二：做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定过此时水平位移的中点，即图中B 点为OC 的中点．图4­10­2[2016·贵阳质量检测] 如图4­10­3所示，在同一平台上的O 点水平抛出的三个物体，分别落到a 、b 、c 三点，则三个物体运动的初速度v a 、v b 、v c 的关系和三个物体运动的时间t a 、t b 、t c 的关系分别是( )图4­10­3A ．v a >v b >v c ，t a >t b >t cB ．v a <v b <v c ，t a ＝t b ＝t cC ．v a <v b <v c ，t a >t b >t cD ．v a >v b >v c ，t a <t b <t c 答案：C[解析] 三个物体下落的高度h a >h b >h c ，根据h ＝12gt 2知，t a >t b >t c .又知x a <x b <x c ，根据x ＝vt 知，a 的水平位移最短，时间最长，则速度最小；c 的水平位移最长，时间最短，则速度最大，所以有v a <v b <v c ，故C 正确，A 、B 、D 错误．1 [2016·福建质量检测] 如图4­10­4所示，将a 、b 两小球以不同的初速度同时水平抛出，它们均落在水平地面上的P 点，a 球抛出时的高度比b 球的高，P 点到两球起抛点的水平距离相等，不计空气阻力．与b 球相比，a 球( )图4­10­4A ．初速度较大B ．速度变化率较大C ．落地时速度一定较大D ．落地时速度方向与其初速度方向的夹角较大答案：D [解析] 根据题述，两球水平位移相等．由于a 球抛出时的高度比b 球的高，由h ＝12gt 2可知，a 球飞行时间长，由x ＝v 0t 可知，a 球的初速度一定较小，选项A 错误．两球都只受重力作用，加速度都是g ，即速度变化率相同，ΔvΔt＝g ，选项B 错误．小球落地时速度v 是水平速度与竖直速度的合速度，a 球的初速度(水平速度)小，竖直速度大，所以不能判断哪个小球落地时速度较大，a 球落地时速度方向与其初速度方向的夹角较大，选项C 错误，选项D 正确．2 如图4­10­5所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox以v0＝2 m/s的速度抛出，经过一段时间小球到达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q 点，已知QM＝3 m，则小球运动的时间为()图4­10­5A．1 s B．2 s C．3 s D．4 s答案：C [解析] 由平抛运动的推论可知，Q为OM的中点，则从O点运动到P点的过程中，小球发生的水平位移s水平＝OM＝2QM＝6 m．由于水平方向做匀速直线运动，则小球在这段过程中运动的时间为t＝3 s.考点二考向一平抛与斜面体结合(多选)[2016·广州模拟] 如图4­10­6所示，不计空气阻力，从O点水平抛出的小球抵达光滑斜面上端P处时，速度方向恰好沿着斜面方向，然后紧贴斜面PQ做匀加速直线运动．下列说法正确的是( )图4­10­6A．小球在斜面上运动的加速度大小比平抛运动时的大B．小球在斜面上运动的加速度大小比平抛运动时的小C．撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地速率将不变D．撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地时间将不变答案：BC[解析] 小球做平抛运动时，加速度为重力加速度g，在斜面上运动时，加速度为a＝g sin α(α为斜面的倾角)，选项A错误，选项B正确；小球平抛后又紧贴斜面PQ做匀加速直线运动，小球在斜面上所受的弹力对小球不做功，整个过程只有重力做功，而撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，整个过程也只有重力做功，两种方式小球机械能守恒，所以小球落地速率将不变，选项C正确；当在斜面上运动时，由运动的合成与分解知，小球在竖直方向的加速度小于重力加速度g，所以撤去斜面后，小球落地时间变短，选项D错误．(多选)[2016·石家庄调研检测] 如图4­10­7所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A从斜面顶端以速率v0水平向右抛出，小球击中了斜面上的P点；将小球B从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中Q点．不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )图4­10­7A．若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan θ＝2tan φB．若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan φ＝2tan θC．小球A、B在空中运动的时间之比为2tan2θ∶1D．小球A、B在空中运动的时间之比为tan2θ∶1答案：BC [解析] 由题图可知，斜面的倾角θ等于小球A落在斜面上时的位移与水平方向的夹角，由平抛运动的推论可知，tan φ＝2tan θ，选项A错误，选项B正确；设小球A在空中运动的时间为t1，小球B 在空中运动的时间为t 2，则由平抛运动的规律可得tan θ＝12gt 21v 0t 1，tan θ＝v 0gt 2，故t 1t 2＝2tan 2 θ1，选项C 正确，选项D 错误．考向二 平抛运动与弧面结合] 如图4­10­8所示，竖直平面内有一段圆弧MN ，小球从圆心O 处水平抛出．若初速度为v a ，小球将落在圆弧上的a 点；若初速度为v b ，小球将落在圆弧上的b 点．已知Oa 、Ob 与竖直方向的夹角分别为α、β，不计空气阻力，则()图4­10­8A.v a v b ＝sin αsin β B.v a v b ＝cos βcos α C.v a v b ＝cos βcos α·sin αsin β D.v a v b ＝sin αsin β·cos βcos α答案：D[解析] 小球水平抛出，做平抛运动，若落到a 点，则有R sin α＝v a t a ，R cos α＝12gt 2a ，解得v a ＝gR 2cos α·sin α；若落到b 点，则有R sin β＝v b t b ，R cos β＝12gt 2b ，解得v b ＝gR2cos β·sin β，故v a v b ＝sin αsin β·cos βcos α如图4­10­9所示，水平路面出现了一个地坑，其竖直截面为半圆．AB 为沿水平方向的直径．一辆行驶的汽车发现情况后紧急刹车安全停下，但两颗石子分别以速度v 1、v 2从A 点沿AB 方向水平飞出，分别落于C 、D 两点，C 、D 两点距水平路面的高度分别为圆弧半径的0.6倍和1倍，则v 1∶v 2的值为()图4­10­9A. 3B.35 C.3155 D.335答案：C [解析] 设圆弧的半径为R ，根据平抛运动规律得x 1＝v 1t 1，x 2＝v 2t 2，联立得v 1v 2＝x 1t 2x 2t 1＝（R ＋0.8R ）t 2Rt 1＝1.8t 2t 1.小球竖直方向上做自由落体运动，有y 1＝12gt 21，y 2＝12gt 22，解得t 1t 2＝y 1y 2，其中y 2＝R ，y 1＝0.6R ，则有t 1t 2＝y 1y 2＝0.6，故v 1v 2＝3155，选项C 正确．■ 模型点拨解答此类问题要注意以下几方面工作：(1)做好运动模型的确定，例如本题为平抛运动；(2)及时应用合成与分解的思想进行定量的分析和计算；(3)准确分析平抛运动的轨迹(抛物线)与题目背景相关的空间几何关系，必要时可以通过辅助线或转换观察方向的思想灵活求解．考点三 平抛运动综合问题关于平抛运动与其他运动形式(如匀速直线运动、竖直上抛运动、自由落体运动、圆周运动等)综合的题目，在这类问题的分析中要注意平抛运动与其他运动在时间上、位移上、速度上的相关分析．如图4­10­10所示，离地面高h 处有甲、乙两个小球，甲以初速度v 0水平射出，同时乙以初速度v 0沿倾角为45°的光滑斜面滑下．若甲、乙同时到达地面，则v 0的大小是( )图4­10­10A.gh2B.ghC.2gh2D ．2gh 答案：A[解析] 甲做平抛运动，水平方向上为匀速运动，竖直方向上为自由落体运动，根据h ＝12gt 2得t ＝2hg，根据几何关系可知x 乙＝2h ，乙做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律得a ＝F 合m ＝mg sin 45m ＝22g ，根据位移公式得x 乙＝v 0t ＋12at 2，联立解得v 0＝gh2，选项A 正确．1 [2016·沈阳质检] 如图4­10­11所示，斜面固定在水平面上，两个小球分别从斜面底端O 点正上方A 、B 两点向右水平抛出，B 为AO 连线的中点，最后两球都垂直落在斜面上，则A 、B 两球击中斜面位置到O 点的距离之比为( )图4­10­11A.2∶1 B ．2∶1 C ．4∶ 2 D ．4∶1答案：B [解析] 设落到斜面上的位置分别为P 、Q ，由题意知，落到斜面上时两小球的速度与水平面的夹角相等，根据平抛运动的推论知，位移AP 、BQ 与水平面的夹角也相等，则△POA 与△QOB 相似，对应边成比例，B 正确．2 如图4­10­12所示，倾角为37°的粗糙斜面的底端有一质量m ＝1 kg 的凹形小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25.现小滑块以某一初速度v 从斜面底端上滑，同时在斜面底端正上方有一小球以速度v 0水平抛出，经过0.4 s ，小球恰好垂直斜面落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中．已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s 2，求：(1)小球水平抛出的速度v 0的大小； (2)小滑块的初速度v 的大小．图4­10­12答案：(1)3 m/s (2)5.35 m/s[解析] (1)设小球落入凹槽时竖直速度为v y ，则v y ＝gt ＝10×0.4 m/s ＝4 m/s v 0＝v y tan 37°＝3 m/s.(2)小球落入凹槽时的水平位移x ＝v 0t ＝3×0.4 m ＝1.2 m则小滑块的位移为s ＝ 1.2cos 37° m ＝1.5 m小滑块上滑时，由牛顿第二定律有mg sin 37°＋μmg cos 37°＝ma解得a ＝8 m/s 2根据公式s ＝vt －12at 2解得v ＝5.35 m/s.■ 方法技巧对于多体运动问题的相关分析，要注意以下几点：(1)做好每一个单个物体的运动分析；(2)找好物体运动在时间上的关系，是同时开始运动还是有时间差；(3)找好物体运动在空间上的关系．考点四 平抛临界范围问题[2016·浙江卷] 在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图4­10­13所示．P 是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h 的探测屏AB 竖直放置，离P 点的水平距离为L ，上端A 与P 点的高度差也为h .(重力加速度为g )(1)若微粒打在探测屏AB 的中点，求微粒在空中飞行的时间； (2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围；(3)若打在探测屏A 、B 两点的微粒的动能相等，求L 与h 的关系．图4­10­13[解析] (1)对于打在中点的微粒，有 32h ＝12gt 2 解得t ＝3hg(2)对于打在B 点的微粒，有v 1＝L t 12h ＝12gt 21解得v 1＝Lg 4h同理，打在A 点的微粒初速度v 2＝L g 2h 故微粒初速度范围为L g4h≤v ≤L g 2h(3)由能量关系得 12mv 22＋mgh ＝12mv 21＋2mgh联立解得L ＝22h[2015·全国卷Ⅰ] 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图4­10­14所示．水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )图4­10­14A.L 12g6h <v <L 1g 6hB.L 14g h <v <（4L 21＋L 22）g6hC.L 12g 6h <v <12（4L 21＋L 22）g6hD.L 14g h <v <12（4L 21＋L 22）g6h答案：D [解析] 当球落到右侧角上的时候，设飞行时间为t 1，有3h ＝12gt 21，得t 1＝6hg，t 1时间内的水平位移为x 1＝L 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫L 222＝L 21＋L 224，发射速度为v 1＝x 1t 1＝12（4L 21＋L 22）g6h；当球刚好擦网落到台面中间线上的时候，设飞行时间为t 2，有3h －h ＝12gt 22，得t 2＝2h g ，t 2时间内的水平位移为x 2＝L 12，发射速度为v 2＝x 2t 2＝L 14gh，则v 2<v <v 1，所以D 正确． 考点五 斜抛运动关于斜抛物体的运动问题，可利用运动的对称性和可逆性进行转化，通过平抛运动的知识求解，例如斜抛运动可以分成式从最高点开始的两个对称的平抛运动进行处理，应注意对整个物理过程进行分析，形成清晰的物理情景．] 有A 、B 两小球，B 的质量为A 的两倍．现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力．图4­10­15中①为A 的运动轨迹，则B 的运动轨迹是( )图4­10­15A．① B．② C．③ D．④答案：A[解析] 抛体运动的加速度始终为g，与物体的质量无关．当将它们以相同速率沿同一方向抛出时，运动轨迹应该相同，故选项A正确．如图4­10­16所示，从水平地面上不同位置斜抛出的三个小球沿三条不同的路径运动最终落在同一点，三条路径的最高点是等高的．若忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是( )图4­10­16A．沿路径1抛出的小球落地的速率最小B．沿路径3抛出的小球在空中运动时间最长C．三个小球抛出的初速度的竖直分量相等D．三个小球抛出的初速度的水平分量相等答案：C [解析] 根据运动的合成与分解，将初速度分解为竖直方向和水平方向的分速度，设初速度方向与竖直方向的夹角为θ，则小球初速度的竖直分量v竖＝v0cos θ，根据小球的运动轨迹可知，三个小球沿竖直方向的分运动相同，根据竖直上抛运动特点可知，三个小球在空中运动时间相同，B错误，C 正确；由于θ1＞θ2＞θ3，故v01＞v02＞v03，落地时重力做功为零，所以落地时的速率与初速度的大小相同，A错误；小球初速度的分量v水平＝v0sin θ，可知沿路径1抛出的小球初速度的水平分量最大，D错误．■ 规律总结通过运动的合成与分解研究斜抛运动，这是研究斜抛运动的基本方法，通过这样定量的分析可以有效提高对斜抛运动的认识，所以必须了解斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例)．(1)水平方向：v0x＝v0cos θ，a x＝0；(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，a y＝g.图4­10­17【教师备用习题】1．[2015·山东卷] 距地面高5 m的水平直轨道上A、B两点相距2 m，在B点用细线悬挂一小球，离地高度为h，如图所示．小车始终以4 m/s的速度沿轨道匀速运动，经过A点时将随车携带的小球由轨道高度自由卸下，小车运动至B点时细线被轧断，最后两球同时落地．不计空气阻力，重力加速度的大小g 取10 m/s2.可求得h等于( )A．1.25 m B．2.25 m C．3.75 m D．4.75 m[解析] A 从A点“自由卸下”的小球做平抛运动，下落时间t A＝2Hg＝2×510s＝1 s．小车从A点运动到B点所用时间t AB＝x ABv＝ 0.5 s．悬挂在B点的小球做自由落体运动，下落时间t B＝2hg，根据t B＝t A－t AB，可解得h＝1.25 m，选项A正确．2．如图所示，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，炸弹垂直击中山坡上的目标A.已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由以上条件不能算出( )A．轰炸机的飞行高度B．轰炸机的飞行速度C．炸弹的飞行时间D．炸弹被投出时的动能[解析] D 根据题述，有tan θ＝vgt ，x＝vt，tan θ＝hx，H＝h＋y，y＝12gt2，由此可算出轰炸机的飞行高度H、轰炸机的飞行速度v、炸弹的飞行时间t.由于题中没有给出炸弹质量，所以不能算出炸弹被投出时的动能，故D正确．3．[2014·浙江卷] 如图所示，装甲车在水平地面上以速度v0＝20 m/s沿直线前进，车上机枪的枪管水平，距地面高为h ＝1.8 m ．在车正前方竖直立一块高为两米的长方形靶，其底边与地面接触．枪口与靶距离为L 时，机枪手正对靶射出第一发子弹，子弹相对于枪口的初速度为v ＝800 m/s.在子弹射出的同时，装甲车开始匀减速运动，行进s ＝90 m 后停下．装甲车停下后，机枪手以相同方式射出第二发子弹．(不计空气阻力，子弹看成质点，重力加速度g 取10 m/s 2)(1)求装甲车匀减速运动时的加速度大小；(2)当L ＝410 m 时，求第一发子弹的弹孔离地的高度，并计算靶上两个弹孔之间的距离；(3)若靶上只有一个弹孔，求L 的范围．[答案] (1)209 m/s 2 (2)0.55 m 0.45 m (3)492 m<L ≤570 m[解析] (1)装甲车加速度a ＝v 202s ＝209 m/s 2.(2)第一发子弹飞行时间t 1＝Lv ＋v 0＝0.5 s弹孔离地高度h 1＝h －12gt 21＝0.55 m第二发子弹的弹孔离地的高度h 2＝h －12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫L －s v 2＝1.0 m两弹孔之间的距离Δh ＝h 2－h 1＝0.45 m.(3)第一发子弹打到靶的下沿时，装甲车离靶的距离为L 1＝(v 0＋v )2hg ＝492 m第二发子弹打到靶的下沿时，装甲车离靶的距离为L 2＝v 2hg ＋s ＝570 mL 的范围是492 m<L ≤570 m.。

第2节 平抛运动考点一| 平抛运动的基本规律1．性质加速度为重力加速度g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 2．基本规律以抛出点为原点，水平方向(初速度v 0方向)为x 轴，竖直向下方向为y 轴，建立平面直角坐标系，则：(1)水平方向：做匀速直线运动，速度v x ＝v 0，位移x ＝v 0t . (2)竖直方向：做自由落体运动，速度v y ＝gt ，位移y ＝12gt 2.(3)合速度：v ＝v 2x ＋v 2y ，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝v y v x ＝gtv 0. (4)合位移：x ＝x 2＋y 2，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝y x ＝gt2v 0. 3．对规律的理解(加试要求) (1)飞行时间：由t ＝2hg知，时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关．(2)水平射程：x ＝v 0t ＝v 02hg，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关．(3)落地速度：v t ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋2gh ，以θ表示落地速度与x 轴正方向的夹角，有tan θ＝v y v x＝2ghv 0，所以落地速度也只与初速度v 0和下落高度h 有关．(2016·浙江4月学考)某卡车在公路上与路旁障碍物相撞．处理事故的警察在泥地中发现了一个小的金属物体，经判断，它是相撞瞬间车顶上一个松脱的零件被抛出而陷在泥里的．为了判断卡车是否超速．需要测量的量是( )A ．车的长度，车的重量B ．车的高度，车的重量C ．车的长度，零件脱落点与陷落点的水平距离D ．车的高度，零件脱落点与陷落点的水平距离D [根据题意和实际情景分析，零件在卡车撞停时，由于惯性向前飞出，不计空气阻力，视为做平抛运动，测出水平位移和高度，由h ＝12gt 2，x ＝v 0t ，得v 0＝xg2h，故D 正确．](2015·浙江10月学考)如图4­2­1甲所示，饲养员对着长l ＝1.0 m 的水平细长管的一端吹气，将位于吹气端口的质量m ＝0.02 kg 的注射器射到动物身上．注射器飞离长管末端的速度大小v ＝20 m/s.可视为质点的注射器在长管内做匀变速直线运动，离开长管后做平抛运动，如图乙所示．若动物与长管末端的水平距离x ＝4.0 m ，求注射器下降的高度h .图4­2­1【解析】 由平抛运动规律有x ＝vt 得t ＝x v＝0.2 s 由h ＝12gt 2得h ＝0.2 m. 【答案】 0.2 m1．两个重要推论(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬间速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图4­2­2中A 点和B 点所示．图4­2­2(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.2．平抛运动的求解方略——运动分解 (1)思路→运动的合成与分解 →水平方向：匀速运动 竖直方向：自由落体→在两个方向上列方程求解.(2)时间相等是联系两个分运动的桥梁． (3)注意速度、位移的合成与分解．1．关于做平抛运动的物体，说法正确的是( ) A ．速度始终不变 B ．加速度始终不变 C ．受力始终与运动方向垂直 D ．受力始终与运动方向平行B [物体做平抛运动的条件是物体只受重力作用，且初速度沿水平方向，故物体的加速度始终不变，大小为g ，B 正确；物体的平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，其合运动是曲线运动，速度的大小和方向时刻变化，A 错误；运动过程中，物体所受的力与运动方向既不垂直也不平行，C 、D 错误．]2．(2017·嘉兴高三检测)关于从同一高度以不同初速度水平抛出的物体，比较它们落到水平地面上的时间(不计空气阻力)，以下说法正确的是( )【导学号：81370145】A ．速度大的时间长B ．速度小的时间长C ．一样长D ．质量大的时间长C [水平抛出的物体做平抛运动，由y ＝12gt 2得t ＝2y g，其下落的时间由下落的高度决定，从同一高度以不同初速度水平抛出的物体，落到水平地面上的时间相同，A 、B 、D 错误，C 正确．]3．(2016·浙江10月学考)一水平固定的水管，水从管口以不变的速度源源不断地喷出，水管距地面高h ＝1.8 m ，水落地的位置到管口的水平距离x ＝1.2 m ，不计空气及摩擦阻力，水从管口喷出的初速度大小是( )A ．1.2 m/sB ．2.0 m/sC ．3.0 m/sD ．4.0 m/sB [水从管口喷出后做平抛运动，此时运动时间由竖直方向上的h 决定，根据h ＝12gt2得t ＝2hg＝0.6 s ，水平方向做匀速直线运动，由x ＝v 0t 得初速度v 0＝2.0 m/s ，B 选项正确．]4．如图4­2­3所示，滑板运动员以速度v 0从离地高度为h 的平台末端水平飞出，落在水平地面上．忽略空气阻力，运动员和滑板可视为质点，下列表述正确的是( )【导学号：81370146】图4­2­3A ．v 0越大，运动员在空中运动时间越长B ．v 0越大，运动员落地瞬间速度越大C ．运动员落地瞬间速度方向与高度h 无关D ．运动员落地位置与v 0大小无关B [运动员在竖直方向上做自由落体运动，运动员做平抛运动的时间t ＝2hg，只与高度有关，与速度无关，A 项错误；运动员的末速度是由初速度和竖直方向上的速度合成的，合速度v ＝v 20＋v 2y ，初速度越大，合速度越大，B 项正确；物体在竖直方向上的速度v y ＝2gh ，高度越高，落地时竖直方向上的速度越大，故合速度方向与高度h 有关，C 项错误；运动员在水平方向上做匀速直线运动，落地的水平位移x ＝v 0t ＝v 02hg，故落地的位置与初速度有关，D 项错误．]5．(加试要求)(多选)如图4­2­4所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t 到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是( )图4­2­4A ．小球水平抛出时的初速度大小gttan θB ．小球在t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ2C ．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长D ．若小球初速度增大，则θ减小AD [由tan θ＝gt v 0可得小球平抛的初速度大小v 0＝gttan θ，A 正确；由tan α＝h x ＝12gt 2v 0t＝gt 2v 0＝12tan θ可知，α≠θ2，B 错误；小球平抛运动的时间t ＝2hg，与小球初速度无关，C 错误；由tan θ＝gt v 0可知，v 0越大，θ越小，D 正确．]考点二| 与斜面有关的平抛运动问题1．从斜面上平抛(如图4­2­5)图4­2­5已知位移方向，方法：分解位移x ＝v 0t y ＝12gt 2tan θ＝y x可求得t ＝2v 0tan θg2．对着斜面平抛(如图4­2­6)图4­2­6已知速度的大小或方向，方法：分解速度v x ＝v 0 v y ＝gttan θ＝v 0v y ＝v 0gt可求得t ＝v 0g tan θ物体从斜面平抛又落在斜面上问题的五条规律1．物体的竖直位移与水平位移之比是同一个常数，这个常数等于斜面倾角的正切值； 2．物体的运动时间与初速度成正比；3．物体落在斜面上，位移方向相同，都沿斜面方向；4．物体落在斜面上时的速度方向平行；5．当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面的距离最远．1．如图4­2­7所示，以10 m/s 的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为θ＝30°的斜面上，g 取10 m/s 2，这段飞行所用的时间为( )【导学号：81370147】图4­2­7A.23 s B.233s C. 3 s D．2 s C [如图所示，把末速度分解成水平方向的分速度v 0和竖直方向的分速度v y ，则有v yv 0＝cot 30°， 又v y ＝gt将数值代入以上两式得t ＝ 3 s ．故选C.]2.如图4­2­8所示，在足够长的斜面上的A 点，以水平速度v 0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t 1；若将此球改用2v 0抛出，落到斜面上所用时间为t 2，则t 1与t 2之比为( )图4­2­8A ．1∶1B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶4B [因小球落在斜面上，所以两次位移与水平方向的夹角相等，由平抛运动规律知tan θ＝12gt 21v 0t 1＝12gt 222v 0t 2，所以t 1t 2＝12.故选B.]3．(2017·台州模拟)如图4­2­9所示，位于同一高度的小球A 、B 分别以v 1和v 2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C 点，小球B 恰好垂直打到斜面上，则v 1、v 2之比为()图4­2­9【导学号：81370148】A ．1∶1B ．2∶1C ．3∶2D ．2∶3C [小球A 、B 从同一高度平抛，到斜面上的C 点经历的时间相等，设为t ，由题意可得：tan 30°＝12gt 2v 1t ，tan 30°＝v 2gt，解得：v 1∶v 2＝3∶2，C 正确．]4．(加试要求)如图4­2­10所示，两个相对的斜面，倾角分别为α＝37°和β＝53°.在顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上．若不计空气阻力，则a 、b 两个小球的运动时间之比为()图4­2­10A ．1∶1B ．4∶3C ．16∶9D ．9∶16D [对a 有12gt 2a v 0t a＝tan α，得t a ＝2v 0tan αg①对b 有12gt 2b v 0t b ＝tan β，得t b ＝2v 0tan βg②将数值代入①②得t a ∶t b ＝9∶16.故选D.]5．(加试要求)如图4­2­11所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O 点水平飞出，经过3 s 落到斜坡上的A 点．已知O 点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m ＝50 kg.不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8；g 取10 m/s 2)．求：图4­2­11(1)A 点与O 点的距离L ； (2)运动员离开O 点时的速度大小；(3)运动员从O 点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间.【导学号：81370149】【解析】 (1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有L sin 37°＝12gt 2 L ＝gt 22sin 37°＝75 m.(2)设运动员离开O 点时的速度为v 0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，有L cos 37°＝v 0t ，即v 0＝L cos 37°t＝20 m/s. (3)运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为v 0cos 37°、加速度为g sin 37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为v 0sin 37°、加速度为g cos 37°)．当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡最远，有v 0sin 37°＝g cos 37°·t ，解得t ＝1.5 s.【答案】 (1)75 m (2)20 m/s (3)1.5 s。

第2讲 抛体运动【基础梳理】一、平抛运动1．性质：平抛运动是加速度恒为重力加速度g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．2．规律：以抛出点为原点，以水平方向(初速度v 0方向)为x 轴，以竖直向下的方向为y 轴建立平面直角坐标系，则(1)水平方向：做匀速直线运动，速度：v x ＝v 0，位移：x ＝v 0t ． (2)竖直方向：做自由落体运动，速度：v y ＝gt ，位移：y ＝12gt 2．(3)合运动①合速度：v ＝v 2x ＋v 2y ，方向与水平方向夹角为θ，则 tan θ＝v y v 0＝gtv 0． ②合位移：x 合＝x 2＋y 2，方向与水平方向夹角为α，则 tan α＝y x ＝gt2v 0．二、斜抛运动1．性质：加速度为g 的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线． 2．规律(以斜向上抛为例说明，如图所示)(1)水平方向：做匀速直线运动，v x ＝v 0cos θ. (2)竖直方向：做竖直上抛运动，v y ＝v 0sin θ－gt .【自我诊断】判一判(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动．( )(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化．( ) (3)平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大．( )(4)平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向速度越大．( ) (5)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化是相同的．( ) (6)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动．( ) 提示：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√做一做(多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A 、B ，分别落在地面上的M 、N 点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则()A．B的加速度比A的大B．B的飞行时间比A的长C．B在最高点的速度比A在最高点的大D．B在落地时的速度比A在落地时的大提示：选CD.两球加速度都是重力加速度g，A错误；飞行时间t＝2 2hg，因h相同，则t相同，B错误；水平位移x＝v x t，在t相同情况下，x越大说明v x越大，C正确；落地速度v＝v2x＋v2y，两球落地时竖直速度v y相同，可见v x越大，落地速度v越大，D正确．想一想从离水平地面某一高度的地方平抛的物体，其落地的时间由哪些因素决定？其水平射程由哪些因素决定？平抛的初速度越大，水平射程越大吗？提示：运动时间t＝2hg，取决于高度h和当地的重力加速度g.水平射程x＝v0t＝v02hg，取决于初速度v0、高度h和当地的重力加速度g.平抛的初速度越大，水平射程不一定越大，只有当高度、重力加速度一定时，初速度越大，水平射程越大．平抛运动的基本应用[学生用书P66]【知识提炼】1．平抛(类平抛)运动所涉及物理量的特点(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A 点和B 点所示，即x B ＝x A2. (2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.【典题例析】如图所示，从倾角为θ的斜面上的A 点以初速度v 0水平抛出一个物体，物体落在斜面上的B 点，不计空气阻力．求：(1)抛出后经多长时间物体与斜面间距离最大？ (2)A 、B 间的距离为多少？ [解析] 法一：(1)以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x 轴，垂直于斜面方向为y 轴，建立坐标系，(如图1所示)v x ＝v 0cos θ，v y ＝v 0sin θ， a x ＝g sin θ，a y ＝g cos θ.物体沿斜面方向做初速度为v x 、加速度为a x 的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为v y 、加速度大小为a y 的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动．令v ′y ＝v 0sin θ－g cos θ·t ＝0，即t ＝v 0tan θg. (2)当t ＝v 0tan θg 时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T ＝2t ＝2v 0tan θg，A 、B 间距离s ＝v 0cos θ·T ＋12g sin θ·T 2＝2v 20tan θg cos θ.法二：(1)如图2所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v 的切线反向延长与v 0交点为此时横坐标的中点P ，则tan θ＝y 12x ＝12gt 212v 0t ，t ＝v 0tan θg .(2)AC ＝y ＝12gt 2＝v 20tan 2θ2g ，而AC ∶CD ＝1∶3，所以AD ＝4y ＝2v 20tan 2θg ，A 、B 间距离s ＝ADsin θ＝2v 20tan θg cos θ.法三：(1)设物体运动到C 点离斜面最远，所用时间为t ，将v 分解成v x 和v y ，如图3所示，则由tan θ＝v y v x ＝gt v 0，得t ＝v 0tan θg.(2)设由A 到B 所用时间为t ′，水平位移为x ，竖直位移为y ，如图4所示，由图可得 tan θ＝y x，y ＝x tan θ① y ＝12gt ′2 ② x ＝v 0t ′③由①②③得：t ′＝2v 0tan θg而x ＝v 0t ′＝2v 20tan θg，因此A 、B 间的距离s ＝xcos θ＝2v 20tan θg cos θ.[答案] (1)v 0tan θg (2)2v 20tan θg cos θ化曲为直思想求解(类)平抛运动(1)求解(类)平抛运动的基本思想是将平抛运动分解为两个直线运动，即水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动．此类问题一般画出合位移与两个分位移、合速度与两个分速度的矢量分解图，依据三角形知识即可求解．(2)在解题过程中要注意：两个分运动具有等时性、独立性，即时间相等、独立进行互不影响．分运动的时间就是合运动的时间．两个分运动与合运动遵循平行四边形定则．【迁移题组】迁移1 分解思想在平抛运动中的应用1．(2017·高考全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)．速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网；其原因是( )A ．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多B ．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大C ．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少D ．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大解析：选C.发球机从同一高度水平射出两个速度不同的乒乓球，根据平抛运动规律，竖直方向上，h ＝12gt 2，可知两球下落相同距离h 所用的时间是相同的，选项A 错误；由v 2y ＝2gh 可知，两球下落相同距离h 时在竖直方向上的速度v y 相同，选项B 错误；由平抛运动规律，水平方向上，x ＝vt ，可知速度较大的球通过同一水平距离所用的时间t 较少，选项C 正确；由于做平抛运动的球在竖直方向的运动为自由落体运动，两球在相同时间间隔内下降的距离相同，选项D 错误．迁移2 速度偏向角表达式的应用 2.(多选)如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A .已知A 点高度为h ，山坡倾角为θ，由此可算出( )A ．轰炸机的飞行高度B ．轰炸机的飞行速度C ．炸弹的飞行时间D ．炸弹投出时的动能解析：选ABC.设轰炸机投弹位置高度为H ，炸弹水平位移为x ，则H －h ＝12v y ·t ，x ＝v 0t ，二式相除H －hx ＝12·v y v 0，因为v y v 0＝1tan θ，x ＝h tan θ，所以H ＝h ＋h 2tan 2θ，A 正确；根据H －h ＝12gt 2可求出炸弹的飞行时间，再由x ＝v 0t 可求出轰炸机的飞行速度，故B 、C 正确；不知道炸弹质量，不能求出炸弹的动能，D 错误．迁移3 位移偏向角表达式的应用 3．(多选)(2018·湖南长郡中学月考)如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，则( )A．当v1＞v2时，α1＞α2B．当v1＞v2时，α1＜α2C．无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2D．α1、α2的大小与斜面的倾角θ有关解析：选CD.从斜面上抛出，又落到斜面上，位移偏向角一定为θ，设速度偏向角为φ，根据速度偏向角和位移偏向角的关系tan φ＝2tan θ，故无论v1、v2关系如何，一定有φ相等，根据α＝φ－θ，均有α1＝α2，且大小与斜面倾角θ有关，选项A、B错误，C、D正确．迁移4 对斜抛运动的分析4．(2016·高考江苏卷)有A、B两小球，B的质量为A的两倍．现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力．图中①为A 的运动轨迹，则B的运动轨迹是( )A．①B．②C．③D．④解析：选A.由于不计空气阻力，因此小球以相同的速率沿相同的方向抛出，在竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向的初速度相同，加速度为重力加速度，水平方向的初速度相同，因此两小球的运动情况相同，即B球的运动轨迹与A球的一样，A项正确．平抛运动中的临界、极值问题[学生用书P67]【知识提炼】在平抛运动中，由于时间由高度决定，水平位移由高度和初速度决定，因而在越过障碍物时，有可能会出现恰好过去或恰好过不去的临界状态，还会出现运动位移的极值等情况．1．临界点的确定(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点．(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点．2．求解平抛运动临界问题的一般思路(1)找出临界状态对应的临界条件．(2)分解速度或位移．(3)若有必要，画出临界轨迹．【典题例析】(2015·高考全国卷Ⅰ)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )A.L 12g6h <v <L 1g 6hB.L 14g h <v < （4L 21＋L 22）g6hC.L 12g 6h <v <12（4L 21＋L 22）g6hD.L 14g h <v <12（4L 21＋L 22）g6h[审题指导] 若要使乒乓球落在球网右侧台面上，一要满足越过球网，二要不出右边界，从而求出范围． [解析] 设以速率v 1发射乒乓球，经过时间t 1刚好落到球网正中间．则竖直方向上有3h －h ＝12gt 21 ①，水平方向上有L 12＝v 1t 1 ②.由①②两式可得v 1＝L 14gh.设以速率v 2发射乒乓球，经过时间t 2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有3h ＝12gt 22 ③，在水平方向有⎝ ⎛⎭⎪⎫L 222＋L 21＝v 2t 2 ④.由③④两式可得v 2＝12 （4L 21＋L 22）g6h .则v 的最大取值范围为v 1<v <v 2.故选项D 正确．[答案] D平抛运动临界极值问题的分析方法(1)确定研究对象的运动性质； (2)根据题意确定临界状态； (3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图；(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解．【迁移题组】迁移1 运用极端分析法求解平抛运动中的临界、极值问题1．如图所示，排球场总长为18 m ，设球网高度为2 m ，运动员站在离网3 m 的线上(图中虚线所示)正对网前跳起将球水平击出．(不计空气阻力，取g ＝10 m/s 2)(1)设击球点在3 m 线正上方高度为2.5 m 处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？ (2)若击球点在3 m 线正上方的高度小于某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度．解析：(1)如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网点的水平位移x 1＝3 m ，竖直位移y 1＝h 2－h 1＝(2.5－2) m ＝0.5 m ，根据位移关系x ＝vt ，y ＝12gt 2，可得v ＝xg2y，代入数据可得v 1＝310 m/s ，即所求击球速度的下限．设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移x 2＝12 m ，竖直位移y 2＝h 2＝2.5 m ，代入上面的速度公式v ＝x g2y，可求得v 2＝12 2 m/s ，即所求击球速度的上限．欲使球既不触网也不越界，则击球速度v 应满足310 m/s<v <12 2 m/s.(2)设击球点高度为h 3时，球恰好既触网又压线，如图乙所示设此时排球的初速度为v ，击球点到触网点的水平位移x 3＝3 m ，竖直位移y 3＝h 3－h 1＝(h 3－2) m ，代入速度公式v ＝xg2y可得v ＝35h 3－2；同理对压线点有x 4＝12 m ，y 4＝h 3，代入速度公式v ＝x g2y可得 v ＝125h 3两式联立解得h 3≈2.13 m ，即当击球高度小于2.13 m 时，无论球被水平击出的速度多大，球不是触网，就是越界．答案：见解析迁移2 运用对称法求解平抛运动的临界、极值问题2．抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L 、网高h ，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g )(1)若球在球台边缘O 点正上方高度为h 1处以速度v 1水平发出，落在球台上的P 1点(如图中实线所示)，求P 1点距O 点的距离x 1.(2)若球从O 点正上方某高度处以速度v 2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的P 2点(如图中虚线所示)，求v 2的大小．(3)若球从O 点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P 3点，求发球点距O 点的高度h 3.解析：(1)如图甲所示，根据平抛规律得h 1＝12gt 21，x 1＝v 1t 1，联立解得：x 1＝v 12h 1g.(2)根据平抛规律得：h 2＝12gt 22，x 2＝v 2t 2且h 2＝h ，2x 2＝L ，联立解得v 2＝L2g 2h. (3)如图乙所示，得：h 3＝12gt 23，x 3＝v 3t 3且3x 3＝2L设球从恰好越过球网到达到最高点时所用的时间为t ，水平距离为s ，有h 3－h ＝12gt 2s ＝v 3t由几何关系得：x 3＋s ＝L ，解得：h 3＝43h .答案：(1)v 12h 1g (2)L2g 2h (3)43h[学生用书P68]1.(2017·高考江苏卷)如图所示，A 、B 两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t 在空中相遇．若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为( )A ．tB ．22t C.t2D ．t4解析：选C.设两球间的水平距离为L ，第一次抛出的速度分别为v 1、v 2，由于小球抛出后在水平方向上做匀速直线运动，则从抛出到相遇经过的时间t ＝Lv 1＋v 2，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则从抛出到相遇经过的时间为t ′＝L 2（v 1＋v 2）＝t2，C 项正确．2.(2015·高考山东卷)距地面高5 m 的水平直轨道上A 、B 两点相距2 m ，在B 点用细线悬挂一小球，离地高度为h ，如图．小车始终以4 m/s 的速度沿轨道匀速运动，经过A 点时将随车携带的小球由轨道高度自由卸下，小车运动至B 点时细线被轧断，最后两球同时落地．不计空气阻力，取重力加速度的大小g ＝10 m/s 2.可求得h 等于( )A ．1.25 mB ．2.25 mC ．3.75 mD ．4.75 m 解析：选A.根据两球同时落地可得 2H g ＝d ABv ＋2hg，代入数据得h ＝1.25 m ，选项A 正确．3.(2015·高考浙江卷)如图所示为足球球门，球门宽为L .一个球员在球门中心正前方距离球门s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P 点)．球员顶球点的高度为h .足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则( )A ．足球位移的大小x ＝ L 24＋s 2B ．足球初速度的大小v 0＝g 2h ⎝ ⎛⎭⎪⎫L 24＋s 2C ．足球末速度的大小v ＝g 2h ⎝ ⎛⎭⎪⎫L 24＋s 2＋4gh D ．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝L2s解析：选B.根据几何关系可知，足球做平抛运动的竖直高度为h ，水平位移为x 水平＝ s 2＋L 24，则足球位移的大小为：x ＝ x2水平＋h 2＝s 2＋L 24＋h 2，选项A 错误；由h ＝12gt 2，x 水平＝v 0t ，可得足球的初速度为v 0＝g 2h ⎝ ⎛⎭⎪⎫L 24＋s 2，选项B 正确；对足球应用动能定理：mgh ＝mv 22－mv 202，可得足球末速度v ＝ v 20＋2gh ＝g 2h ⎝ ⎛⎭⎪⎫L 24＋s 2＋2gh ，选项C 错误；初速度方向与球门线夹角的正切值为tan θ＝s L 2＝2s L ，选项D 错误．4.(2016·高考浙江卷)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示．P 是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h 的探测屏AB 竖直放置，离P 点的水平距离为L ，上端A 与P 点的高度差也为h .(1)若微粒打在探测屏AB 的中点，求微粒在空中飞行的时间； (2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围；(3)若打在探测屏A 、B 两点的微粒的动能相等，求L 与h 的关系． 解析：(1)打在探测屏AB 中点的微粒下落的高度 32h ＝12gt 2 ①t ＝3hg.②(2)打在B 点的微粒初速度v 1＝L t 1；2h ＝12gt 21 ③v 1＝Lg4h④同理，打在A 点的微粒初速度v 2＝L g2h⑤ 能被屏探测到的微粒初速度范围：Lg4h ≤v ≤L g 2h. ⑥(3)由功能关系12mv 22＋mgh ＝12mv 21＋2mgh⑦代入④⑤式得L ＝22h . 答案：见解析[学生用书P295(单独成册)] (建议用时：60分钟)一、单项选择题 1.如图所示，在同一竖直平面内，小球a 、b 从高度不同的两点(h a >h b )分别以初速度v a 和v b 沿水平方向抛出，经时间t a 和t b 后落到与两抛出点水平距离相等的P 点，若不计空气阻力，则( )A ．t a ＞t b ，v a ＜v bB ．t a ＞t b ，v a ＞v bC ．t a ＜t b ，v a ＜v bD ．t a ＜t b ，v a ＞v b解析：选A.由平抛运动规律可知：h ＝12gt 2，x ＝v 0t ，根据题中条件，因为h a ＞h b ，所以t a ＞t b ，又因为x a ＝x b ，故v a ＜v b ，所以A 选项正确．2．2016年里约奥运会上，中国女排再次夺冠．如图所示，在某次比赛中，我国女排队员将排球从底线A 点的正上方以某一速度水平发出，排球正好擦着球网落在对方底线的B 点上，且AB 平行于边界CD .已知网高为h ，球场的长度为s ，不计空气阻力且排球可看成质点，则排球被发出时，击球点的高度H 和水平初速度v 分别为( )A ．H ＝34hB ．H ＝32hC ．v ＝s3h3ghD ．v ＝s4h6gh 解析：选D.由平抛运动知识可知12gt 2＝H ，H －h ＝12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22，得H ＝43h ，A 、B 错误．由vt ＝s ，得v ＝s4h 6gh ，D 正确，C 错误．3.如图所示，在斜面顶点以大小相同的速度v 0同时水平向左与水平向右抛出两个小球A 和B ，两侧斜坡的倾角分别为37°和53°，小球均落在坡面上，若不计空气阻力，则A 和B 两小球的运动时间之比为( )A ．16∶9B ．9∶16C ．3∶4D ．4∶3解析：选B.对于A 球有tan 37°＝h x ＝gt A 2v 0，解得t A ＝2v 0tan 37°g ；同理对B 有t B ＝2v 0tan 53°g，由此解得t A t B ＝916，故选项B 正确，A 、C 、D 错误． 4．如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O 点分别以水平初速度v 1、v 2抛出两个小球甲、乙(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A 点和B 点，已知OA 与OB 互相垂直，且OA 与竖直方向成α角，则两小球初速度之比v 1v 2为( )A ．tan αB ．cos αsin αC ．tan α·tan αD ．cos α·cos α解析：选C.根据平抛运动得甲小球水平方向的位移为x A ＝R sin α＝v 1t 1，竖直方向的位移为y A ＝R cos α＝12gt 21，解得v 1＝12gR sin αcos α；乙小球水平方向的位移为x B ＝R cos α＝v 2t 2，竖直方向的位移为y B ＝R sin α＝12gt 22，解得v 2＝12gR cos αsin α，所以有v 1v 2＝tan α·tan α.选项C 正确． 5.一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m ，一小球以水平速度v 飞出，g 取10 m/s 2，欲打在第四台阶上，则v 的取值范围是( )A. 6 m/s ＜v ≤2 2 m/s B ．2 2 m/s ＜v ≤3.5 m/s C. 2 m/s ＜v ＜ 6 m/s D ．2 2 m/s ＜v ＜ 6 m/s解析：选A.根据平抛运动规律有：x ＝vt ，y ＝12gt 2，若打在第3台阶与第4台阶边沿，则根据几何关系有：vt ＝12gt 2，得v ＝12gt ，如果落到第四台阶上，有：3×0.4＜12gt 2≤4×0.4，代入v ＝12gt ，得 6 m/s ＜v ≤2 2m/s ，A 正确．6.如图所示，A 、B 两质点从同一点O 分别以相同的水平速度v 0沿x 轴正方向抛出，A 在竖直平面内运动，落地点为P 1；B 沿光滑斜面运动，落地点为P 2，P 1和P 2在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是( )A ．A 、B 的运动时间相同 B ．A 、B 沿x 轴方向的位移相同C ．A 、B 运动过程中的加速度大小相同D ．A 、B 落地时速度大小相同解析：选D.设O 点与水平面的高度差为h ，由h ＝12gt 21，h sin θ＝12g sin θ·t 22可得：t 1＝2hg，t 2＝2hg sin 2θ，故t 1<t 2，A 错误；由x 1＝v 0t 1，x 2＝v 0t 2，可知，x 1<x 2，B 错误；由a 1＝g ，a 2＝g sin θ可知，C错误；A 落地的速度大小为v A ＝v 20＋（gt 1）2＝v 20＋2gh ，B 落地的速度大小v B ＝v 20＋（a 2t 2）2＝v 20＋2gh ，所以v A ＝v B ，故D 正确．二、多项选择题7．如图甲是古代一种利用抛出的石块打击敌人的装置，图乙是其工作原理的简化图．将质量为m ＝10 kg 的石块装在距离转轴L ＝4.8 m 的长臂末端口袋中．发射前长臂与水平面的夹角α＝30°.发射时对短臂施力使长臂转到竖直位置时立即停止，石块靠惯性被水平抛出．若石块落地位置与抛出位置间的水平距离为s ＝19.2 m ．不计空气阻力，g ＝10 m/s 2.则以下判断正确的是( )A ．石块被抛出瞬间速度大小为12 m/sB ．石块被抛出瞬间速度大小为16 m/sC ．石块落地瞬间速度大小为20 m/sD ．石块落地瞬间速度大小为16 m/s解析：选BC.石块被抛出后做平抛运动，水平方向s ＝v 0t ，竖直方向h ＝12gt 2，抛出点到地面的高度h ＝L＋L ·sin α，解得v 0＝16 m/s ，选项B 正确；石块落地时，竖直方向的速度v y ＝gt ＝12 m/s ，落地速度v t ＝v 20＋v 2y ＝20 m/s ，选项C 正确．8.(2018·山西怀仁第一中学高三月考)如图所示，从同一水平线上的不同位置，沿水平方向抛出两个小球A 、B ，不计空气阻力，若欲使两小球在空中相遇，则必须( )A ．先抛出A 球B ．同时抛出两球C ．先抛出B 球D ．在相遇点A 球速度大于B 球速度解析：选BD.相遇时，下降的高度相同，根据t ＝2hg知，运动的时间相同，则同时抛出，故A 错误，B正确，C 错误．相遇时，A 球的水平位移大，时间相等，则A 球的初速度大，相遇时，A 、B 球的竖直分速度相等，结合平行四边形定则知，在相遇点A 球的速度大于B 球的速度，故D 正确．9.(2018·安徽六安一中段考)如图所示，一演员表演飞刀绝技，由O 点先后抛出完全相同的3把飞刀，分别依次垂直打在竖直木板M 、N 、P 三点上．假设不考虑飞刀的转动，并可将其视为质点，已知O 、M 、N 、P 四点距离水平地面高度分别为h 、4h 、3h 、2h ，以下说法正确的是( )A ．3把飞刀在击中木板时动能相同B ．到达M 、N 、P 三点的飞行时间之比为1∶2∶ 3C ．到达M 、N 、P 三点的初速度的竖直分量之比为3∶2∶1D ．设到达M 、N 、P 三点，抛出飞刀的初速度与水平方向夹角分别为θ1、θ2、θ3，则有θ1＞θ2＞θ3 解析：选CD.将运动逆向看，可视为3个平抛运动且到达O 点时水平位移相等．由H ＝12gt 2得t ＝2Hg，则到达M 、N 、P 三点的飞行时间之比为3∶2∶1，B 错误．在水平方向有l ＝v M t 1＝v N t 2＝v P t 3，由E k ＝12mv2知3把飞刀在击中木板时打在M 点处的动能最小，打在P 点处的动能最大，A 错误．由v y ＝gt 可知到达M 、N 、P 三点的初速度的竖直分量之比为3∶2∶1，C 正确．作出抛体运动的轨迹，可知θ1＞θ2＞θ3，D 正确．10．车手要驾驶一辆汽车飞越宽度为d 的河流．在河岸左侧建起如图所示高为h 、倾角为α的斜坡，车手驾车从左侧冲上斜坡并从顶端飞出，接着无碰撞地落在右侧高为H 、倾角为θ的斜坡上，顺利完成了飞越．已知h ＞H ，当地重力加速度为g ，汽车可看成质点，忽略车在空中运动时所受的空气阻力．根据题设条件可以确定( )A ．汽车在左侧斜坡上加速的时间tB ．汽车离开左侧斜坡时的动能E kC ．汽车在空中飞行的最大高度H mD ．两斜坡的倾角满足α＜θ解析：选CD.设汽车从左侧斜坡飞出时的速度大小为v ，飞出后，汽车水平方向以v cos α做匀速直线运动，竖直方向以v sin α为初速度做竖直上抛运动，则汽车从飞出到最高点的过程中，竖直方向有H m －h ＝v 2sin 2α2g ，汽车无碰撞地落在右侧斜坡上，说明车落在斜坡上时速度方向与斜坡平行，故汽车落在斜坡上时的速度大小为v ′＝v cos αcos θ，对汽车从最高点到右侧斜坡的过程，竖直方向有H m －H ＝v ′2sin 2θ2g，联立以上三式，解得H m ＝h tan 2θ－H tan 2αtan 2θ－tan 2α，选项C 正确；因为h ＞H ，汽车落在右侧斜坡上时，竖直方向的分速度v ′y大于从左侧斜坡飞出时竖直方向的分速度v y ，但水平方向分速度大小相同，故tan α＝v y v x ＜v ′yv x＝tan θ，所以α＜θ，选项D 正确；因汽车的质量未知，故汽车离开左侧斜坡时的动能无法求解，选项B 错误；因汽车在左侧斜坡运动过程的初速度及加速度均未知，故运动时间无法求解，选项A 错误．三、非选择题11．如图所示，装甲车在水平地面上以速度v 0＝20 m/s 沿直线前进，车上机枪的枪管水平，距地面高为h ＝1.8 m ．在车正前方竖直立一块高为两米的长方形靶，其底边与地面接触．枪口与靶距离为L 时，机枪手正对靶射出第一发子弹，子弹相对于枪口的初速度为v ＝800 m/s.在子弹射出的同时，装甲车开始匀减速运动，行进s ＝90 m 后停下．装甲车停下后，机枪手以相同方式射出第二发子弹．(不计空气阻力，子弹看成质点，重力加速度g ＝10 m/s 2)(1)求装甲车匀减速运动时的加速度大小；(2)当L ＝410 m 时，求第一发子弹的弹孔离地的高度，并计算靶上两个弹孔之间的距离； (3)若靶上只有一个弹孔，求L 的范围． 解析：(1)装甲车匀减速运动的加速度大小a ＝v 202s ＝209m/s 2. (2)第一发子弹飞行时间t 1＝Lv ＋v 0＝0.5 s弹孔离地高度h 1＝h －12gt 21＝0.55 m第二发子弹的弹孔离地的高度 h 2＝h －12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫L －s v 2＝1.0 m两弹孔之间的距离Δh ＝h 2－h 1＝0.45 m.(3)若第一发子弹打到靶的下沿(第二发打到靶上)，装甲车枪口离靶的距离为L 1L 1＝(v 0＋v )2hg＝492 m若第二发子弹打到靶的下沿(第一发打到地上)，装甲车枪口离靶的距离为L 2L 2＝v2hg＋s ＝570 m故L 的范围为492 m<L ≤570 m. 答案：(1)209 m/s 2(2)0.55 m 0.45 m(3)492 m<L ≤570 m12．(2018·四川成都树德中学高三月考)如图所示，在倾角为37°的斜坡上有一人，前方有一动物沿斜坡匀速向下奔跑，速度v ＝15 m/s ，在二者相距L ＝30 m 时，此人以速度v 0水平抛出一石块，打击动物，人和动物都可看成质点．(已知sin 37°＝0.6，g ＝10 m/s 2)(1)若动物在斜坡上被石块击中，求v 0的大小；(2)若动物在斜坡末端时，动物离人的高度h ＝80 m ，此人以速度v 1水平抛出一石块打击动物，同时动物开始沿水平面运动，动物速度v ＝15 m/s ，动物在水平面上被石块击中的情况下，求速度v 1的大小．解析：(1)设过程中石块运动所需时间为t 对于动物：运动的位移s ＝vt对于石块：竖直方向(L ＋s )sin 37°＝12gt 2水平方向：(L ＋s )cos 37°＝v 0t 代入数据，由以上三式可得：v 0＝20 m/s. (2)对动物：x 1＝vt 1，对于石块：竖直方向h ＝12gt 21，解得t 1＝2hg＝4 s水平方向：htan θ＋x 1＝v 1t 1，联立可得v 1≈41.7 m/s.答案：见解析。

第四章曲线运动万有引力与航天第1节曲线运动__运动的合成与分解(1)速度发生变化的运动，一定是曲线运动。

(×)(2)做曲线运动的物体加速度一定是变化的。

(×)(3)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化。

(×)(4)曲线运动可能是匀变速运动。

(√)(5)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。

(√)(6)合运动的速度一定比分运动的速度大。

(×)(7)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。

(×)(8)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。

(√)突破点(一) 物体做曲线运动的条件与轨迹分析1．运动轨迹的判断(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动。

(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。

2．合力方向与速率变化的关系[题点全练]1．关于物体的受力和运动，下列说法中正确的是( )A．物体在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小可能一直不变B．物体做曲线运动时，某点的加速度方向就是通过这一点曲线的切线方向C．物体受到变化的合力作用时，它的速度大小一定改变D．做曲线运动的物体，一定受到与速度不在同一直线上的外力作用解析：选D 如果合力与速度方向不垂直，必然有沿速度方向的分力，速度大小一定改变，故A错误；物体做曲线运动时，某点的速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向，而不是加速度方向，故B错误；物体受到变化的合力作用时，它的速度大小可以不改变，比如匀速圆周运动，故C错误；物体做曲线运动的条件是一定受到与速度不在同一直线上的外力作用，故D正确。

2．[多选](2018·南京调研)如图所示，甲、乙两运动物体在t1、t2、t3时刻的速度矢量分别为v1、v2、v3和v1′、v2′、v3′，下列说法中正确的是( )A．甲做的不可能是直线运动B．乙做的可能是直线运动C．甲可能做匀变速运动D．乙受到的合力不可能是恒力解析：选ACD 甲、乙的速度方向在变化，所以甲、乙不可能做直线运动，故A正确，B 错误；甲的速度变化量的方向不变，知加速度的方向不变，则甲的加速度可能不变，甲可能作匀变速运动，选项C正确；乙的速度变化量方向在改变，知加速度的方向改变，所以乙的合力不可能是恒力，故D正确。

第四章 第2课时 平抛运动一、单项选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)1．(68520090)(2017·广东广州综合测试)如图，窗子上、下沿间的高度H ＝1.6 m ，墙的厚度d ＝0.4 m ．某人在离墙壁距离L ＝1.4m ，距窗子上沿高h ＝0.2 m 处的P 点，将可视为质点的小物体以速度v 垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，g 取10 m/s 2，则v 的取值范围是( )A ．v ＞7 m/sB ．v ＞2.3 m/sC ．3 m/s ＜v ＜7 m/sD ．2.3 m/s ＜v ＜3 m/s解析：C [小物体穿过窗口并落在地上，需满足的条件为能穿过窗口的右上沿(即水平位移x ＝L 时，竖直位移y ＞h )，同时能穿过窗口的左下沿(即水平位移x ＝L ＋d ，竖直位移y ＜H ＋h )，结合公式h ＝gt 22，x ＝vt ，解得3 m/s ＜v ＜7 m/s ，故选C.]2．(2017·吉林省实验中学二模)如图所示，一小球从一半圆轨道左端A 点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点．O 为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R ，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g ，则小球抛出时的初速度为( ) A. 3gR 2 B.3gR 2C.33gR 2 D.3gR 2 解析：C [小球做平抛运动，在飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点，则知速度与水平方向的夹角为30°，则有v y ＝v 0tan 30°，又v y ＝gt ，则得v 0tan 30°＝gt ，则t ＝v 0 tan 30°g .水平方向上小球做匀速直线运动，则有R ＋R cos 60°＝v 0t .联立解得v 0＝33gR 2，故选C.]3．(2017·湖南衡阳县一中月考)如图所示，小球由倾角为45°的斜坡底端P 点正上方某一位置Q 处自由下落，下落至P 点的时间为t 1，若小球从同一点Q 处以速度v 0水平向左抛出，恰好垂直撞在斜坡上，运动时间为t 2，不计空气阻力，则t 1∶t 2等于( )A ．1∶2 B.3∶1C ．1∶ 2D ．1∶ 3解析：B [小球自Q 处自由下落，下落至P 点，则有H ＝12gt 21；小球自Q 处水平向左抛出，恰好垂直撞在斜坡上，如图所示，则有v y ＝v 0＝gt 2，h＝12gt 22，x ＝v 0t 2，由几何关系知x ＝2h ，H ＝x ＋h ，联立解得t 1∶t 2＝3∶1，故B 正确．]4．(2017·安徽合肥一中、芜湖一中等六校联考)有一半圆形轨道在竖直平面内，如图所示，O 为圆心，AB 为水平直径，有一质点从A 点以不同速度向右平抛，不计空气阻力，在小球从抛出到碰到轨道这个过程中，下列说法正确的是( )A ．初速度越大的小球运动时间越长B ．初速度不同的小球运动时间可能相同C ．落在圆形轨道最低点的小球末速度一定最大D ．小球落到半圆形轨道的瞬间，速度方向可能沿半径方向解析：B [平抛运动的时间由下落高度决定，与水平初速度无关，初速度大时，与半圆接触时下落的距离不一定比速度小时下落的距离大，故A 错误；速度不同的小球下落的高度可能相等，如碰撞点关于半圆过O 点的竖直轴对称的两个点，运动的时间相等，故B 正确；落在圆形轨道最低点的小球下落的距离最大，运动时间最长，末速度v ＝v 20＋v 2y ，由于初速度不是最大，故末速度不一定最大，故C 错误．若小球落到半圆形轨道的瞬间，速度方向沿半径方向，则其速度的反向延长线过水平位移的中点，由此推知水平位移等于直径，不存在这样的点，故D 错误．]5．(68520091)(2017·辽宁抚顺一中一模)横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，如图所示，固定在水平面上，它们的竖直边长都是底边长的一半，小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上，其中有三次的落点分别是a 、b 、c .下列判断正确的是( )A ．图中三次平抛比较，落在a 点时小球飞行时间最短B ．图中三次平抛比较，落在c 点时小球飞行过程速度变化最大C ．图中三次平抛比较，落在c 点时小球飞行过程速度变化最快D ．无论小球抛出时初速度多大，落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直解析：D [小球做平抛运动，运动的时间是由竖直方向上的位移决定的，由图可知，落在a 点时下落的高度最大，所以落在a点时的运动时间最长，A错误；速度变化的快慢是指物体运动的加速度的大小，三次小球都是做平抛运动，加速度都是重力加速度，所以速度变化的快慢是相同的，C错误；三次小球都是做平抛运动，水平方向的速度是不变的，只有竖直方向的速度在变化，由于落在a点时的运动时间最长，所以落在a点时速度的变化最大，B错误；首先落在a点时速度不可能与斜面垂直，然后看落在b、c点时，竖直速度是gt，水平速度是v，斜面倾角是θ＝arctan 0.5，要使合速度垂直斜面，把两个速度合成后，需要vgt＝tan θ，即v＝0.5 gt，t时间内竖直位移为0.5 gt2，水平位移为vt＝(0.5 gt)·t＝0.5 gt2，即若要满足这个关系，需要水平位移和竖直位移都是一样的，显然在图中b、c点不存在此种情况，因为落在b、c点时水平位移必定大于竖直位移，D正确．]6．(2017·湖南四县联考)如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等且在同一竖直面内，斜面底边长是其竖直高度的2倍．若小球b能落到斜面上，下列说法正确的是( )A．a、b不可能同时分别落在半圆轨道和斜面上B．a球一定先落在半圆轨道上C．a球可能先落在半圆轨道上D．b球一定先落在斜面上解析：C [将半圆轨道和斜面轨道重合在一起，如图所示，交点为A，可知若初速度合适，小球做平抛运动落在A点，则运动的时间相等，即同时落在半圆轨道和斜面上．由图可知，可能小球先落在斜面上，也可能先落在半圆轨道上．故A、B、D错误，C正确．]二、多项选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错或不答的得0分)7．(2017·山东滨州黄山高中模拟)如图为湖边一倾角θ＝30°的大坝的横截面示意图，水面与大坝的交点为O .一人站在A 点处以速度v 0沿水平方向扔小石块，已知AO ＝40 m ，g 取10 m/s 2.下列说法正确的是()A ．若v 0＝18 m/s ，则石块可以落入水中B ．若石块能落入水中，则v 0越大，落水时速度方向与水平面的夹角越小C ．若石块不能落入水中，则v 0越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越大D ．若石块不能落入水中，则v 0越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越小解析：AB [根据h ＝12gt 2得，t ＝2h g ＝2×40×1210 s ＝ 2 s ，则石块落入水中的最小平抛初速度v 0＝AO cos θt ＝40×322m/s ＝10 3 m/s<18 m/s ，即v 0＝18 m/s 时，石块可以落入水中，故A 正确．若石块能落入水中，则下落的高度一定，可知竖直分速度一定，根据tan α＝v yv 0知，初速度越大，则落水时速度方向与水平面的夹角越小，故B 正确．若石块不能落入水中，速度方向与水平方向的夹角的正切值tan α＝gt v 0，位移方向与水平方向夹角的正切值tan θ＝12gt 2v 0t＝gt 2v 0，可知tan α＝2tan θ，因为θ一定，则速度与水平方向的夹角一定，可知石块落到斜面时速度方向与斜面的夹角一定，与初速度无关，故C 、D 错误．]8．(68520092)(2017·安徽江南十校联考)如图所示，一质点以速度v 0从倾角为θ的斜面底端斜向上抛出，落到斜面上的M 点且速度水平向右．现将该质点以2v 0的速度从斜面底端朝同样方向抛出，落在斜面上的N 点．下列说法正确的是( )A ．落到M 和N 两点时间之比为1∶2B ．落到M 和N 两点速度之比为1∶1C ．M 和N 两点距离斜面底端的高度之比为1∶2D ．落到N 点时速度方向水平向右解析：AD [由于落到斜面上M 点时速度水平向右，故可把质点在空中的运动逆向看成从M 点向左的平抛运动，设在M 点的速度大小为u ，把质点在斜面底端的速度v 分解为水平u 和竖直v y ，由x ＝ut ，y ＝12gt 2，y x ＝tan θ，得空中飞行时间t ＝2u tan θg，v y ＝gt ＝2u tan θ，v 和水平方向夹角的正切值v y u ＝2tan θ为定值，即落到N 点时速度方向水平向右，故D 正确；v ＝u 2＋v 2y＝u 1＋4tan 2θ，即v 与u 成正比，故落到M 和N 两点速度之比为1∶2，故B 错误；由t ＝2u tan θg知落到M 和N 两点时间之比为1∶2，A 正确；由y ＝12gt 2＝2u 2tan 2θg，知y 和u 2成正比，M 和N 两点距离斜面底端的高度之比为1∶4，C 错误．]9．(2017·湖南湘潭一模)如图，半圆形凹槽的半径为R ，O 点为其圆心．在与O 点等高的边缘A 、B 两点分别以速度v 1、v 2水平同时相向抛出两个小球，已知v 1∶v 2＝1∶3，两小球恰落在弧面上的P 点．则以下说法中正确的是( )A ．∠AOP 为60°B ．若要使两小球落在P 点右侧的弧面上同一点，则应使v 1、v 2都增大C ．改变v 1、v 2，只要两小球落在弧面上的同一点，v 1与v 2之和就不变D ．若只增大v 1，两小球可在空中相遇解析：AD [连接OP ，过P 点作AB 的垂线，垂足为D ，如图甲所示．甲 乙两球在竖直方向运动的位移相等，所以运动时间相等，两球水平方向做匀速直线运动，所以AD BD ＝v 1v 2＝13，而AD ＋BD ＝2R ，所以AD ＝12R ，所以OD ＝12R ，所以cos ∠AOP ＝OD OP ＝12，即∠AOP ＝60°，故A 正确；若要使两小球落在P 点右侧的弧面上同一点，则A 球水平方向位移增大，B 球水平位移减小，而两球运动时间相等，所以应使v 1增大，v 2减小，故B 错误；要两小球落在弧面上的同一点，则水平位移之和为2R ，则(v 1＋v 2)t ＝2R ，落点不同，竖直方向位移就不同，t 也不同，所以v 1＋v 2也不是一个定值，故C 错误；若只增大v 1，而v 2不变，则两球运动轨迹如图乙所示，由图可知，两球必定在空中相遇，故D 正确．]10．(2017·河南洛阳尖子生一联)一个质量为m 的质点以速度v 0做匀速运动，某一时刻开始受到恒力F 的作用，质点的速度先减小后增大，其最小值为v 02.质点从开始受到恒力作用到速度减至最小的过程中( )A ．经历的时间为3mv 02FB ．经历的时间为mv 02FC ．发生的位移为6mv 208FD ．发生的位移为21mv 208F解析：AD [质点减速运动的最小速度不为0，说明质点不是做直线运动，是做类斜抛运动．质点的速度先减小后增大，其最小值为v 02，分析可知初速度与恒力的夹角为150°.在沿恒力方向上有v 0cos 30°－Fm t ＝0，x ＝v 0cos 30°2t ；在垂直恒力方向上有y ＝v 02t ，质点的位移s ＝x 2＋y 2，联立解得经历的时间t ＝3mv 02F ，发生的位移为21mv 208F，故选A 、D.] 三、非选择题(本题共2小题，共40分．写出必要的文字说明和重要的演算步骤，有数值计算的要注明单位)11．(68520093)(20分)(2017·江西八校联考)如图所示，在水平地面上固定一倾角θ＝37°表面光滑的斜面体，物体A 以v 1＝6 m/s 的初速度沿斜面上滑，同时在物体A 的正上方，有一物体B 以某一初速度水平抛出．如果当A 上滑到最高点时恰好被B 物体击中．(A 、B 均可看做质点，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：(1)物体A 上滑到最高点所用的时间t ；(2)物体B 抛出时的初速度v 2.解析：(1)物体A 上滑过程中，由牛顿第二定律得：mg sin θ＝ma解得：a ＝6 m/s 2设经过时间t 物体A 上滑到最高点，由运动学公式：0＝v 1－at ，解得：t ＝1 s.(2)平抛物体B 的水平位移：x ＝12v 1t cos 37°＝2.4 m 平抛速度：v 2＝x t＝2.4 m/s.答案：(1)1 s (2)2.4 m/s12．(68520094)(20分)(2017·辽宁鞍山一中二模)用如图甲所示的水平—斜面装置研究平抛运动，一物块(可视为质点)置于粗糙水平面上的O 点，O 点距离斜面顶端P 点为s .每次用水平拉力F ，将物块由O 点从静止开始拉动，当物块运动到P 点时撤去拉力F .实验时获得物块在不同拉力作用下落在斜面上的不同水平射程，作出了如图乙所示的图象，若物块与水平部分的动摩擦因数为0.5，斜面与水平地面之间的夹角θ＝45°，g 取10 m/s 2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．则O 、P 间的距离s 是多少？(保留两位有效数字)解析：根据牛顿第二定律，在OP 段有F －μmg ＝ma ，又2as ＝v 2P ，由平抛运动规律和几何关系有物块的水平射程x ＝v P t ，物块的竖直位移y ＝12gt 2，由几何关系有y ＝x tan θ，联立以上各式可以得到x ＝2v 2P tan θg ，解得F ＝mg4s tan θ x ＋μmg .由图象知μmg ＝5，mg4s tan θ＝10，解得s ＝0.25 m.答案：0.25 m。

第2讲抛体运动知识点一平抛运动1.定义：将物体以一定的初速度沿抛出，物体只在作用下(不考虑空气阻力)的运动.2.性质：平抛运动是加速度为g的运动，运动轨迹是.3.研究方法：用运动的合成与分解方法研究平抛运动.(1)水平方向：运动.(2)竖直方向：运动.4.基本规律(1)速度关系：(2)位移关系：(3)轨迹方程：y＝.答案：1.水平方向重力 2.匀变速曲线抛物线3.(1)匀速直线(2)自由落体4.(1)gt v2x＋v2y gt v0(2)v0t 12gt2x2＋y2gt2v0(3)g2v20x2知识点二斜抛运动1.定义：将物体以初速度v0或抛出，物体只在作用下的运动.2.性质：斜抛运动是加速度为g的运动，运动轨迹是.3.研究方法：用运动的合成与分解方法研究斜抛运动.(1)水平方向：运动.(2)竖直方向：运动.答案：1.斜向上方斜向下方重力 2.匀变速曲线抛物线3.(1)匀速直线(2)匀变速直线(1)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化.( )(2)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动.( )(3)做平抛运动的物体质量越大，水平位移越大.( )(4)做平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向的速度越大.( )(5)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大.( )(6)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化是相同的.( ) 答案：(1) (2)√ (3)(4) (5) (6)√ 恒力作用下物体的轨迹1.如果恒力的方向和速度同向，则物体匀加速；恒力方向和速度相反，则物体匀减速.2.如果恒力的方向和速度不在同一条直线上，则物体的轨迹是抛物线.证明：类比斜上抛，把恒力作用时的初速度垂直恒力、平行恒力分解，如图建立坐标系，则在x 方向，x ＝v 0x t 在y 方向，y ＝v 0y t ＋12at 2其中a ＝F m消去时间t 得，y ＝v 0y v 0x x ＋F 2mv 20xx 2 注意到初速度的两个分量及质量都是常量，可见上式的图象是抛物线，即恒力作用下的曲线运动是抛物线.考点平抛运动的基本规律1.飞行时间：由t ＝2hg知，飞行时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关.2.水平射程：x ＝v 0t ＝v 02hg，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定.3.落地速度：v ＝v 20＋v 2y ＝v 20＋2gh ，落地时速度与水平方向夹角为θ，有tan θ＝v y v x＝2ghv 0.故落地速度只与初速度v 0和下落高度h 有关. 4.两个重要推论(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，B 是OC 的中点.(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α.考向1 落点在水平面上的平抛运动[典例1] (多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t 到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g .下列说法正确的是( )A.小球水平抛出时的初速度大小为gttan θB.小球在t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ2C.若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长D.若小球初速度增大，则θ减小[解析] 由tan θ＝gt v 0可得小球平抛的初速度大小v 0＝gttan θ，A 正确；由tan α＝h x＝12gt 2v 0t ＝gt 2v 0＝12tan θ 可知，α≠θ2，B 错误；小球做平抛运动的时间t ＝2hg，与小球初速度无关，C 错误；由tan θ＝gt v 0可知，v 0越大，θ越小，D 正确.[答案] AD考向2 落点在竖直面上的平抛运动[典例2] (2017·山东潍坊模拟)(多选)从竖直墙的前方A 处，沿AO 方向水平发射三颗弹丸a 、b 、c ，在墙上留下的弹痕如图所示，已知Oa ＝ab ＝bc ，则a 、b 、c 三颗弹丸( )A.初速度之比是6∶3∶ 2B.初速度之比是1∶2∶ 3C.从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶2∶ 3D.从射出至打到墙上过程速度增量之比是6∶3∶ 2[解析] 水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动.又因为竖直方向上Oa ＝ab ＝bc ，即Oa ∶Ob ∶Oc ＝1∶2∶3，由h ＝12gt 2可知：t a ∶t b ∶t c ＝1∶2∶3，由水平方向x ＝v 0t 可知：v a ∶v b ∶v c ＝1∶12∶13＝6∶3∶2，故选项A 正确，B 错误；由Δv ＝gt 可知：从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶2∶3，故选项C 正确，D 错误. [答案] AC考向3 落点在曲面上的平抛运动[典例3] (2017·江淮十校联考)如图所示，AB 为半圆环ACB 的水平直径，C 为环上的最低点，环半径为R .一个小球从A 点以速度v 0水平抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是( )A.v 0越大，小球落在圆环时的时间越长B.即使v 0取值不同，小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角也相同C.若v 0取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环D.无论v 0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环[解析] 小球落在环上的最低点C 时时间最长，所以选项A 错误.v 0取值不同，小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角不相同，选项B 错误.要使小球垂直撞击半圆环，设小球落点与圆心的连线与水平方向夹角为θ，根据平抛运动规律，v 0t ＝R (1＋cos θ)，R sin θ＝12gt 2，tan θ＝gtv 0，联立解得，cos θ＝1，即垂直撞击到B 点，这是不可能的，所以选项D 正确，C 错误.[答案] D“化曲为直”思想在平抛运动中的应用(1)根据运动效果的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动：①水平方向的匀速直线运动； ②竖直方向的自由落体运动.(2)运用运动合成的方法求出平抛运动的速度、位移等. 考点与斜面有关的平抛运动1.与斜面有关的平抛运动有两种模型 (1)物体从空中抛出落在斜面上. (2)物体从斜面上抛出落在斜面上.解答时要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系是解题的关键.2.两种模型对比 方法内容 斜面 总结分解速度水平方向：v x ＝v 0 竖直方向：v y ＝gt合速度：v ＝v 2x ＋v 2y分解速度，构建速度三角形分解位移水平方向：x ＝v 0t 竖直方向：y ＝12gt 2合位移：s ＝x 2＋y 2分解位移，构建位移三角形[典例4] 如图所示，在斜面顶端的A 点以速度v 0平抛一小球，经t 1时间落到斜面上B 点处，若在A 点将此小球以速度0.5v 0水平抛出，经t 2时间落到斜面上的C 点处，以下判断正确的是( )A.AB ∶AC ＝2∶1B.AB ∶AC ＝4∶1C.t 1∶t 2＝4∶1D.t 1∶t 2＝2∶1[解析] 由平抛运动规律有：x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，则tan θ＝y x ＝gt2v 0，将两次实验数据均代入上式，联立解得t 1∶t 2＝2∶1，C 、D 均错误；它们的竖直位移之比y B ∶y C ＝12gt 21∶12gt 22＝4∶1，所以AB ∶AC ＝y B sin θ∶y Csin θ＝4∶1，故A 错误，B 正确.[答案] B[变式1] (多选)如图所示，倾角为θ的斜面上有A 、B 、C 三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D 点，今测得AB ∶BC ∶CD ＝5∶3∶1.由此可判断( )A.A 、B 、C 处三个小球运动时间之比为1∶2∶3B.A 、B 、C 处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1C.A 、B 、C 处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1D.A 、B 、C 处三个小球的运动轨迹可能在空中相交答案：BC 解析：由于沿斜面AB ∶BC ∶CD ＝5∶3∶1，故三个小球竖直方向运动的位移之比为9∶4∶1，运动时间之比为3∶2∶1，A 项错误；斜面上平抛的小球落在斜面上时，速度与初速度之间的夹角α满足tan α＝2tan θ，与小球抛出时的初速度大小和位置无关，因此B 项正确；同时tan α＝gtv 0，所以三个小球的初速度之比等于运动时间之比，为3∶2∶1，C 项正确；三个小球的运动轨迹(抛物线)在D 点相交，因此不会在空中相交，D 项错误.考向2 对着斜面平抛[典例5] (多选)如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A 正上方的小球以初速度v 0正对斜面顶点B 水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t ，重力加速度为g ，则下列说法中正确的是( )A.若小球以最小位移到达斜面，则t ＝2v 0cot θgB.若小球垂直击中斜面，则t ＝v 0cot θgC.若小球能击中斜面中点，则t ＝2v 0cot θgD.无论小球到达斜面何处，运动时间均为t ＝2v 0tan θg[解题指导] (1)以最小位移到达斜面，小球的位移与斜面垂直，则需分解位移. (2)小球垂直击中斜面，则需分解末速度.[解析] 小球以最小位移到达斜面时即位移与斜面垂直，位移与水平方向的夹角为π2－θ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝y x ＝gt2v 0，即t ＝2v 0cot θg ，A 正确，D 错误；小球垂直击中斜面时，速度与水平方向的夹角为π2－θ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝gtv 0，即t ＝v 0cot θg ，B 正确；小球击中斜面中点时，令斜面长为2L ，则水平射程为L cos θ＝v 0t ，下落高度为L sin θ＝12gt 2，联立两式得t ＝2v 0tan θg，C 错误. [答案] AB[变式2] (2017·黑龙江哈尔滨第一中学期中)如图所示，斜面AC 与水平方向的夹角为α，在A 点正上方与C 等高处水平抛出一小球，其速度垂直落到斜面上D 点，则CD 与DA 的比值为( )A.1tan α B.12tan αC.1tan 2αD.12tan 2α答案：D 解析：设小球水平方向的速度为v 0，将D 点的速度进行分解，水平方向的速度等于平抛运动的初速度，通过角度关系求得竖直方向的末速度为v 2＝v 0tan α，设该过程用时为t ，则D 、A 间水平距离为x ＝v 0t ，故DA ＝x cos α＝v 0t cos α；C 、D 间竖直距离为h ＝v 2t2，故CD ＝h sin α＝v 2t 2sin α，得CD DA ＝12tan 2α，故选项D 正确.考点生活中的抛体运动 考向1 生活中的平抛运动[典例6] (2015·新课标全国卷Ⅰ)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示.水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )A.L 12g6h <v <L 1g 6hB.L 14g h <v < 4L 21＋L 22）g6hC.L 12g 6h <v <12 4L 21＋L 22）g6hD.L 14g h <v <124L 21＋L 22）g6h[解题指导] 求解本题的关键是确定两个临界状态：(1)发射速率较小时，乒乓球刚好沿中心线擦着球网的边缘落到球网右侧台面上； (2)发射速率较大时，乒乓球刚好能落在球网右侧台面上且落点是两台角处(而非中心线处).[解析] 当发射机正对右侧台面发射，乒乓球恰好过网时，发射速度最小.由平抛运动规律，L 12＝v 1t,2h ＝12gt 2，联立解得v 1＝L 14gh.当发射机正对右侧台面的某个角发射，乒乓球恰好到达角上时，发射速度最大.由平抛运动规律，L 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫L 222＝v 2t ′，3h ＝12gt ′2，联立解得v 2＝124L 21＋L 22）g 6h .即速度v 的最大取值范围为L 14g h <v <124L 21＋L 22）g6h，选项D 正确.[答案] D考向2 生活中的斜抛运动[典例7] 如图所示，将一篮球从地面上方B 点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上A 点，不计空气阻力，若抛射点B 向篮板方向水平移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A 点，则可行的是( )A.增大抛射速度v 0，同时减小抛射角θB.减小抛射速度v 0，同时减小抛射角θC.增大抛射角θ，同时减小抛射速度v 0D.增大抛射角θ，同时增大抛射速度v 0[解析] 由于篮球始终垂直击中A 点，可应用逆向思维，把篮球的运动看做从A 点开始的平抛运动.当B 点水平向左移动一小段距离时，A 点抛出的篮球仍落在B 点，则竖直高度不变，水平位移减小，球到B 点的时间t ＝2hg不变，竖直分速度v y ＝2gh 不变，水平方向由x ＝v x t 知x 减小，v x 减小，合速度v 0＝v 2x ＋v 2y 变小，与水平方向的夹角tan θ＝v yv x变大，综合可知选项C 正确.[答案] C[变式3] 如图所示，水平地面上不同位置的三个小球斜上抛，沿三条不同的路径运动最终落在同一点，三条路径的最高点是等高的，若忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是( )A.沿路径1抛出的小球落地的速率最小B.沿路径3抛出的小球在空中运动时间最长C.三个小球抛出的初速度竖直分量相等D.三个小球抛出的初速度水平分量相等答案：C 解析：根据运动的合成与分解，将初速度分解为竖直方向和水平方向的分速度，设初速度方向与竖直方向的夹角为θ，故有小球沿竖直方向的速度分量v 竖直＝v 0cos θ，根据小球的运动轨迹可知，三个小球沿竖直方向的分速度相同，根据竖直上抛运动特点可知，三个小球在空中运动时间相同，所以B 错误，C 正确；而θ1>θ2>θ3，故得知v 01>v 02>v 03，落地时重力做功为零，所以落地时的速率与初速度的大小相同，所以A 错误；小球沿水平方向的速度分量v 水平＝v 0sin θ，可知沿路径1抛出的小球水平速度分量最大，所以D 错误.1.斜抛运动的物体只受重力，运动性质为匀变速曲线运动.2.解决斜上抛运动的基本方法仍然是分解法，其水平分运动为匀速直线运动，竖直分运动为竖直上抛运动.3.斜上抛运动在最高点的速度水平，若从最高点考虑可按平抛运动处理.1.[水平面上的平抛运动]“套圈圈”是老少皆宜的游戏，如图所示，大人和小孩在同一竖直线上的不同高度处分别以水平速度v 1、v 2抛出铁圈，都能套中地面上同一目标，设铁圈在空中运动的时间分别为t 1、t 2，则( )A.v 1＝v 2B.v 1>v 2C.t 1＝t 2D.t 1>t 2答案：D 解析：根据平抛运动的规律h ＝12gt 2知，运动的时间由下落的高度决定，故t 1>t 2，所以C 错误，D 正确；由题图知，两铁圈水平位移相同，再根据x ＝vt ，可得：v 1<v 2，故A 、B 错误.2.[平抛运动的计算]以v 0的速度水平抛出一物体，当其水平分位移与竖直分位移大小相等时，下列说法错误的是( )A.此时速度的大小是5v 0B.运动时间是2v 0gC.竖直分速度大小等于水平分速度大小D.运动的位移是22v 2g答案：C 解析：物体做平抛运动，根据平抛运动的规律可得 水平方向上：x ＝v 0t 竖直方向上：h ＝12gt 2当其水平分位移与竖直分位移大小相等时，即x ＝h 所以v 0t ＝12gt 2解得t ＝2v 0g，所以B 正确；平抛运动竖直方向上的速度为v y ＝gt ＝g ·2v 0g＝2v 0，所以C 错误；此时合速度的大小为v 20＋v 2y ＝5v 0，所以A 正确；由于此时的水平分位移与竖直分位移相等，所以x ＝h ＝v 0t ＝v 0·2v 0g ＝2v 2g所以此时运动的合位移的大小为x 2＋h 2＝2x ＝22v 2g，所以D 正确.3.[斜面上的平抛运动]一个小球从一斜面顶端分别以v 10、v 20、v 30水平抛出，分别落在斜面上1、2、3点，如图所示，落到斜面时竖直分速度分别是v 1y 、v 2y 、v 3y ，则( )A.v 1y v 10>v 2y v 20>v 3yv 30 B.v 1y v 10<v 2y v 20<v 3yv 30C.v 1y v 10＝v 2y v 20＝v 3yv 30D.条件不足，无法比较答案：C 解析：设小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角为α，由tan α＝v y v 0＝gt v 0＝gt 2v 0t ＝2y x ＝2tan θ，所以v 1y v 10＝v 2y v 20＝v 3yv 30，选项C 正确. 4.[平抛运动中的相遇问题](多选)如图所示，a 、b 两个小球从不同高度同时沿相反方向水平抛出，其平抛运动轨迹的交点为P ，则以下说法正确的是( )A.a 、b 两球同时落地B.b 球先落地C.a 、b 两球在P 点相遇D.无论两球初速度大小多大，两球总不能相遇 答案：BD 解析：由h ＝12gt 2可得t ＝2hg，因h a >h b ，故b 球先落地，B 正确，A 错误；两球的运动轨迹相交于P 点，但两球不会同时到达P 点，故无论两球初速度大小多大，两球总不能相遇，C 错误，D 正确.5.[生活中的平抛运动]如图所示，窗子上、下沿间的高度H ＝1.6 m ，墙的厚度d ＝0.4 m ，某人在离墙壁距离L ＝1.4 m 、距窗子上沿h ＝0.2 m 处的P 点，将可视为质点的小物件以v 的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g ＝10 m/s 2.则v 的取值范围是( )A.v >7 m/sB.v <2.3 m/sC.3 m/s<v <7 m/sD.2.3 m/s<v <3 m/s答案：C 解析：小物件做平抛运动，可根据平抛运动规律解题.若小物件恰好经窗子上沿，则有h ＝12gt 21，L ＝v 1t 1，得v 1＝7 m/s ；若小物件恰好经窗子下沿，则有h ＋H ＝12gt 22，L＋d＝v2t2，得v2＝3 m/s，所以3 m/s<v<7 m/s，故只有C项正确.。