【2020】最新九年级数学上册第1章二次函数1-4二次函数的应用第2课时利用二次函数解决距离、利润最值问题同

二次函数的实际应用(距离和利润问题)知识讲解用二次函数知识解决实际问题时，通常是将实际问题转化为数学问题．其步骤一般为：(1)寻找实际问题中两个变量之间的等量关系，并用字母表示这两个变量；(2)用含自变量的代数式表示相关的量；(3)根据给出的数据确定函数的表达式；(4)利用二次函数的有关知识求解；(5)检验结果的合理性．典型例题例：某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．(1)当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？(2)当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？解答：(1)(30－20)×[105－5×(30－25)]＝800(元)，即一个月可获利800元．(2)设售价为每件x元时，一个月的获利为y元．由题意，得y＝(x－20)×[105－5(x－25)]＝－5x2＋330x－4600＝－5(x－33)2＋845.∵a＝－5<0，∴当x＝33时，y取得最大值，为845.故当售价定为每件33元时，一个月的获利最大，最大利润是845元．同步练习一、选择题1．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是(C)A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0C ．有最小值－1，有最大值3D ．有最小值－1，无最大值2．当m 在取值范围内取不同的值时，代数式27－4m ＋2m 2的最小值是( B )A ．0B ．5C ．33D ．91. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( A )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米2. [2018·连云港]已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h (m)与飞行时间t (s)满足函数表达式h ＝－t 2＋24t ＋1.则下列说法中正确的是( D )A ．点火后9 s 和点火后13 s 的升空高度相同B ．点火后24 s 火箭落于地面C ．点火后10 s 的升空高度为139 mD ．火箭升空的最大高度为145 m【解析】 A ．当t ＝9时，h ＝－81＋216＋1＝136，当t ＝13时，h ＝－169＋312＋1＝144，升空高度不相同，故A 选项说法错误；B.当t ＝24时，h ＝－576＋576＋1＝1，火箭的升空高度是1 m ，故B 选项说法错误；C.当t ＝10时，h ＝－100＋240＋1＝141，故C 选项说法错误；D.根据题意，可得最大高度为4ac －b 24a ＝－4－576－4＝145(m)，故D 选项说法正确，故选D.3. 如图，小强在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数h ＝3.5t －4.9t 2(t 的单位：s ，h 的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间约是( D )A ．0.71 sB ．0.70 sC ．0.63 sD ．0.36 s【解析】 ∵抛物线h ＝3.5t －4.9t 2的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫514，58，而514≈0.36，∴他起跳后到重心最高时所用的时间约为0.36 s ．故选D.6．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 ( C )A ．50 mB ．100 mC ．160 mD ．200 m二、填空题1. 函数y ＝x 2－2x ＋3(－2≤x≤2)的最小值为_2_______，最大值为_11_______．2. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）关于水平距离x （m ）的函数表达式为 y ＝－112（x －4）2＋3（如图所示），由此可知铅球推出的距离是 10 m.3．[2018·武汉]飞机着陆后滑行的距离y (单位：m)关于滑行时间t (单位：s)的函数表达式是y ＝60t －32t 2.在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是__24__m.【解析】 ∵y ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，∴当t ＝20时，滑行到最大距离600 m 时停止；当t ＝16时，y ＝576，所以最后4 s 滑行24 m.4. 竖直上抛的小球离地高度是关于它运动时间的二次函数，小军相隔1 s 依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1 s 时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t （s ）时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t ＝ 1.6 Ｗ.【解】 设各自抛出后1.1 s 时到达相同的最大离地高度为h ，则小球的高度y ＝a （t －1.1）2＋h . 由题意，得a （t －1.1）2＋h ＝a （t －1－1.1）2＋h ，解得t ＝1.6.5. 如图，线段AB ＝10，点P 在线段AB 上，在AB 的同侧分别以AP ，BP 为边长作正方形APCD 和正方形BPEF ，M ，N 分别是EF ，CD 的中点，则MN 的最小值为 5 Ｗ.【解】 过点M 作MG ⊥DC 交DC 的延长线于点G .设MN ＝y ，PC ＝x .根据题意，得GN ＝5，MG ＝10－2x .在Rt △MNG 中，由勾股定理，得MN 2＝GN 2＋MG 2，即y 2＝52＋（10－2x ）2. ∵0<x <10，∴当10－2x ＝0，即x ＝5时，y 2最小，为25，∴y 最小＝5，即MN 的最小值为5.三、解答题1. 水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y 1(元)与销售时间第x 月之间存在如图1所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x 月满足函数表达式式y 2＝mx 2－8mx ＋n ，其变化趋势如图2所示．(1)求y 2的表达式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意，得函数y 2的图象经过两点(3,6)，(7,7)，∴⎩⎨⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎨⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的表达式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b .∵函数y 1的图象过两点(4,11)，(8,10)，∴⎩⎨⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的表达式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元，则w ＝y 1－y 2＝⎝⎛⎭⎫－14x ＋12－⎝⎛⎭⎫18x 2－x ＋638＝－18x 2＋34x ＋338＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)．∴当x ＝3时，w 取最大值214.故第3月销售这种水果，每千克所获得利润最大， 最大利润是214元/千克．2.某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t 个月该新型药的月销售量为P （单位：t ），P 与t 之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P ＝120t ＋4（0＜t ≤8）的图象与线段AB 的组合.设第t 个月销售该新型药每吨的毛利润为Q （单位：万元），Q 与t 之间满足如下关系：Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋8（0<t ≤12），－t ＋44（12<t ≤24）.（1）当8＜t ≤24时，求P 关于t 的函数表达式. （2）设第t 个月销售该新型药的月毛利润为w （单位：万元）. ①求w 关于t 的函数表达式.②该药厂销售部门分析认为，336≤w ≤513是最有利于该新型药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P 的最小值和最大值.【解】（1）当8＜t ≤24时，设P ＝kt ＋b ，将点A （8，10），B （24，26）的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧8k ＋b ＝10，24k ＋b ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝2，∴P ＝t ＋2.（2）①当0＜t ≤8时，w ＝（2t ＋8）·120t ＋4＝240；当8＜t ≤12时，w ＝（2t ＋8）（t ＋2）＝2t 2＋12t ＋16；当12＜t ≤24时，w ＝（－t ＋44）（t ＋2）＝－t 2＋42t ＋88.综上所述，w ＝⎩⎪⎨⎪⎧240（0＜t ≤8），2t 2＋12t ＋16（8＜t ≤12），－t 2＋42t ＋88（12＜t ≤24）.②当8＜t ≤12时，w ＝2t 2＋12t ＋16＝2（t ＋3）2－2，∴当8＜t ≤12时，w 随t 的增大而增大，当2（t ＋3）2－2＝336时，解得t 1＝10，t 2＝－16（不合题意，舍去），当t ＝12时，w 取得最大值，最大值为448， 此时月销量P ＝t ＋2在t ＝10时取得最小值12，在t ＝12时取得最大值14.当12＜t ≤24时，w ＝－t 2＋42t ＋88＝－（t －21）2＋529，当t ＝12时，w 取得最小值448，解－（t －21）2＋529＝513，得t 1＝17，t 2＝25（不合题意，舍去），∴当12＜t ≤17时，448＜w ≤513， 此时P ＝t ＋2的最小值为14，最大值为19.综上所述，此范围所对应的月销售量P 的最小值为12 t ，最大值为19 t.3. (2018·湖北)绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出.如图，线段EF ，折线ABCD分别表示该有机产品每千克的售价y 1(元)，生产成本y 2(元)与产量x (kg)之间的函数关系. (1)求该产品的销售价y 1(元)与产量x (kg)之间的函数表达式. (2)直接写出生产成本y 2(元)与产量x (kg)之间的函数表达式.(3)当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？【解析】 (1)设y 1与x 之间的函数表达式为y 1＝kx ＋b ，把点(0，168)，(180，60)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝168，180k ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－35，b ＝168.∴产品的售价y 1(元)与产量x (kg)之间的函数表达式为y 1＝－35x ＋168(0≤x ≤180).(2)当0≤x ≤50时，y 2＝70；当130≤x ≤180时，y 2＝54；当50＜x ＜130时，设y 2与x 之间的函数表达式为y 2＝mx ＋n ，把点(50，70)，(130，54)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧50m ＋n ＝70，130m ＋n ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－15，n ＝80，∴当50＜x ＜130时，y 2＝－15x ＋80.综上所述，生产成本y 2(元)与产量x (kg)之间的函数表达式为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧70（0≤x ≤50），－15x ＋80（50＜x ＜130），54（130≤x ≤180）.。

浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》说课稿2一. 教材分析浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》是学生在学习了二次函数的图象与性质的基础上进行的一节应用性课程。

本节课的主要内容是让学生掌握二次函数在实际问题中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教材通过举例说明了二次函数在几何、物理、化学等学科中的应用，让学生体会数学与其它学科的密切联系。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图象与性质有一定的了解。

但是，学生在应用二次函数解决实际问题时，往往由于对实际问题的理解不深，无法将实际问题转化为二次函数问题。

因此，在教学过程中，教师需要帮助学生建立实际问题与二次函数之间的联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

三. 说教学目标1.让学生掌握二次函数在实际问题中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

2.培养学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力。

3.让学生体会数学与其它学科的密切联系，提高学生的学习兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数在实际问题中的应用。

2.教学难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，以及如何运用二次函数解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.采用案例教学法，通过具体的实际问题，引导学生运用二次函数知识进行分析。

2.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数在实际问题中的应用。

3.利用多媒体教学手段，展示二次函数图象，帮助学生更好地理解实际问题与二次函数之间的关系。

六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何运用二次函数知识解决问题。

2.新课导入：介绍二次函数在几何、物理、化学等学科中的应用。

3.案例分析：分析具体的实际问题，引导学生将实际问题转化为二次函数问题。

4.学生探究：让学生分组讨论，运用二次函数知识解决实际问题。

5.总结提升：对二次函数在实际问题中的应用进行总结，强调关键步骤。

三、课后“静思2分钟”大有学问
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课 后复习30分钟。
图 1－4－5
1.4 二次函数的应用
筑方法
类型一 二次函数与一元二次方程的关系
例1 [教材例5针对练] 利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－ 10＝0的近似解(精确到0.1)．
【解析】 欲估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的解，必须先画出函数y＝ x2＋2x－10的图象，确定解的大致范围，再进一步估算．
1.4 二次函数的应用
【解析】对于(1)，爆竹离地15米，就是求h＝15时t的值；(2)利用二次函数的 增减性判断．
解：(1)∵g＝10，v0＝20，∴h＝20t－5t2. 当h＝15时，15＝20t－5t2，解得t＝1或t＝3. 又0<t≤2，∴t＝1.即这种爆竹在地面点燃后，经过1秒，离地面15米． (2)上升． 理由：∵h＝20t－5t2＝－5(t－2)2＋20， ∴当t＝2时，爆竹达到最高点， 即在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，爆竹处于上升阶段．
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1.4 二次函数的应用
类型三 一元二次方程在二次函数中的应用
例3 [教材补充例题] 某种爆竹点燃后，其上升高度h(米)和时间t(秒)之 间的关系符合表达式：h＝v0t－gt2(0<t≤2)，其中重力加速度g以10米/ 秒2计算．这种爆竹点燃后以v0＝20米/秒的初速度上升． (1)这种爆竹在地面点燃后，经过多长时间离地面15米？ (2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升还是下 降，并说明理由．

浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》说课稿一. 教材分析浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》这一节，主要介绍了二次函数在实际生活中的应用。

教材通过具体的例子，让学生了解二次函数在解决实际问题中的重要性。

这部分内容是学生在学习了二次函数的基本性质和图象后，进一步深入理解和运用二次函数的知识点。

教材内容紧密联系生活实际，激发学生的学习兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识和图象，对于二次函数的概念、性质和图象有一定的了解。

但学生在解决实际问题中的应用能力还有待提高。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的已有知识基础，通过实例分析，引导学生将二次函数知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次函数在实际问题中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

2.过程与方法：通过实例分析，培养学生将二次函数知识应用于解决实际问题的方法。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极面对数学问题的态度，提高学生的自信心。

四. 说教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用。

2.难点：如何将二次函数知识灵活运用于解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用实例分析法、问题驱动法、小组合作法等，引导学生主动探究、积极参与。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合数学软件、网络资源等现代教学手段，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入二次函数在实际中的应用。

2.知识讲解：讲解二次函数在实际问题中的具体应用，引导学生理解并掌握相关知识点。

3.实例分析：分析几个典型的实际问题，让学生运用二次函数知识解决问题。

4.小组讨论：让学生分组讨论，分享各自解决问题的方法和思路，互相学习，共同提高。

5.总结提升：对二次函数在实际问题中的应用进行总结，提炼关键知识点，引导学生形成系统化的知识结构。