单位根检验

单位根检验单位根检验是一种用于检验指数时间序列是否稳定的方法。

在经济学中，许多变量都是随时间变化的，如股票价格、货币汇率、通货膨胀率等，而这些变量都可以被视为时间序列。

但是，这些时间序列是否稳定是一个重要的问题。

因为如果一个时间序列是不稳定的，那么它的预测结果就是不可靠的。

什么是单位根?单位根是指一个数学方程中的根等于1的根。

在统计学中，我们通常使用单位根来检验时间序列的稳定性。

如果时间序列有一个单位根，那么它就是不稳定的。

因此，我们需要通过时间序列的单位根检验来确定它是否是稳定的。

单位根检验是基于一个叫做“随机游走”的经济学理论的基础上的。

随机游走是指一个随机变量在未来的状态完全是随机的。

如果一个时间序列是随机游走的，那么它就是不稳定的。

因此，我们需要通过检验这个序列是否是随机游走来确定它是否是稳定的。

单位根检验的主要步骤如下：第一步：确定时间序列的类型。

我们需要确定这个时间序列的具体类型，是属于随机游走类型还是平稳类型，或者是介于两者之间的。

第二步：选择一种统计方法进行检验。

单位根检验有许多种不同的方法，每种方法都基于不同的假设。

第三步：计算检验统计量。

根据所选的统计方法，我们需要计算出检验统计量的值，然后与临界值进行比较。

第四步：做出结论。

如果检验统计量的值小于临界值，那么我们可以拒绝原假设，说明时间序列是稳定的；如果检验统计量的值大于临界值，那么我们接受原假设，说明时间序列是不稳定的。

常用的单位根检验方法包括ADF检验、PP检验，以及KPSS检验。

ADF检验ADF检验全称为“Augmented Dickey-Fuller test”。

这种检验方法用于检查一个时间序列是否具有单位根，并且可以给出序列是否是平稳序列的信息。

ADF检验的步骤如下：第一步：设定模型。

ADF模型可以通过以下方式表示：$\Delta Y_t=a+bY_{t-1}+\sum_{i=1}^{k-1}\delta\Delta Y_{t-i}+u_t $其中，$\Delta$表示差分运算符，$Y_t$表示时间序列，$k$表示差分的阶数，$u_t$是一个随机变量。

第2节 单位根检验由于虚假回归问题的存在，因此检验变量的平稳性是一个必须解决的问题。

在第十二章中介绍用相关图判断时间序列的平稳性。

这一章则给出序列平稳性的严格的统计检验方法，即单位根检验。

单位根检验有很多方法，这里主要介绍DF 和ADF 检验。

序列均值为0则无C ，序列无时间趋势则无trend在介绍单位根检验之前，先认识四种典型的非平稳随机过程。

1、四种典型的非平稳随机过程 （1）随机游走过程。

y t = y t -1 + u t , y 0 = 0, u t ~ IID(0, σ 2) 其均值为零，方差无限大（?），但不含有确定性时间趋势。

（见图1a ）。

-10-551020406080100120140160180200y=y(-1)+u12001400160018002000220050100150200250300图1a 由y t = y t -1+ u t 生成的序列 图1b 深证成指（2）随机趋势过程。

y t = α + y t -1 + u t , y 0 = 0, u t ~ IID(0, σ 2) 其中α称作位移项（漂移项）。

由上式知，E(y 1)= α（过程初始值的期望）。

将上式作如下迭代变换，y t = α + y t -1 + u t = α+ (α+ y t -2 + u t -1) + u t = … = αt +y 0 +∑-ti i u 1y t 由确定性时间趋势项αt 和y 0 +∑-t i i u 1组成。

可以把y 0 +∑-ti i u 1看作随机的截距项。

在不存在任何冲击u t 的情况下，截距项为y 0。

而每个冲击u t 都表现为截距的移动。

每个冲击u t 对截距项的影响都是持久的，导致序列的条件均值发生变化，所以称这样的过程为随机趋势过程（stochastic trend process ），或有漂移项的非平稳过程（non-stationary process with drift ），见图2，虽然总趋势不变，但随机游走过程围绕趋势项上下游动。

单位根检验的方法主要有以下几种：
1. ADF检验：即Augmented Dickey-Fuller检验，是对Dickey-Fuller检验的扩展，可以处理含有高阶滞后项的时间序列数据。

它通过在回归模型中加入差分滞后项来控制序列相关的干扰。

2. PP检验：即Phillips-Perron检验，与ADF检验类似，但使用非参数方法来修正序列相关的问题，对小样本性质有一定的改进。

3. KPSS检验：即Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin检验，是一种基于平稳序列的检验方法，原假设是序列是平稳的，而备择假设是序列存在单位根。

4. ERS检验：即Elliott-Rothenberg-Stock检验，是一种基于误差修正模型的单位根检验方法，适用于存在长期均衡关系的非平稳时间序列。

5. NP检验：即Nelson-Plosser检验，是一种专门用于检验宏观经济时间序列是否存在单位根的方法。

6. DF-GLS检验：即Dickey-Fuller Generalized Least Squares检验，是一种改进的Dickey-Fuller检验，使用广义最小二乘法来估计模型参数，以提高检验的功效。

7. 霍尔斯检验：即Hall测试，也是一种单位根检验方法，主要用于检测分数整合的存在。

8. 其他检验：还有一些其他的单位根检验方法，如Fisher类型的检验、Maddala-Wu检验等，它们在不同的情况下有各自的适用性和优势。

adf检验通俗解释
ADF检验，即单位根检验（Augmented Dickey-Fuller Test），是一种经济学时间序列分析中常用的统计方法。

它用来判断一个时间序列数据是否存在单位根，即是否存在趋势。

通俗地说，单位根检验用来判断时间序列数据的变化趋势是否随机性的，或者说是否存在长期趋势。

如果数据存在长期趋势，就不能用简单的方法进行分析和预测，因为数据变化是有规律的。

而单位根检验可以帮助我们识别数据是否存在长期趋势，从而选择合适的模型来进行进一步分析。

ADF检验的思路是将时间序列数据拆分成趋势项、季节项、残差项等不同部分，然后分别对这些部分进行统计检验。

如果残差项（即剔除了趋势项和季节项后的数据）不存在单位根，那么我们可以认为原始数据也不存在单位根，即没有长期趋势。

通过ADF检验，我们可以得到一个统计量，根据这个统计量的显著性水平，来判断时间序列是否存在单位根。

如果统计量的值小于某个阈值，即p值小于显著性水平，那么我们可以拒绝存在单位根的假设，认为数据不存在长期趋势。

总之，ADF检验是一种用来判断时间序列数据是否存在长期趋势的方法，通过检验序列的残差项是否存在单位根，来判断原始数据是否存在单位根。

什么是单位根检验如何进行单位根检验单位根检验是时间序列分析中常用的一种方法，用于判断一个序列是否具有单位根。

本文将介绍单位根检验的概念及其常见方法，并详细说明如何进行单位根检验。

一、单位根检验的概念单位根检验是用来判断一个时间序列数据是否具有单位根的方法。

单位根是指时间序列中的随机游走部分，即序列具有无界的随机性。

如果一个序列是单位根序列，那么它的均值和方差都会随着时间的推移而改变，无法稳定在一个特定的水平上。

单位根检验是为了验证时间序列是否平稳而进行的，平稳序列的均值和方差在时间推移的过程中是固定的，与时间无关。

二、如何进行单位根检验常见的单位根检验方法包括ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Test）和KPSS检验（Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin Test）。

ADF检验是一种常用的单位根检验方法，它的原假设是序列具有单位根，即非平稳；备择假设是序列是平稳的。

ADF检验会利用时间序列的滞后项来估计单位根系数，进而进行假设检验。

KPSS检验则是另一种常用的单位根检验方法，它的原假设是序列是平稳的；备择假设是序列具有单位根，即非平稳。

KPSS检验会计算序列的累积和，通过比较它与滞后项的关系来判断序列是否具有单位根。

在进行单位根检验时，一般需要确定检验的滞后阶数和选择合适的检验统计量。

通常会根据样本的性质和经验来选择合适的参数。

三、进行单位根检验的步骤下面将以ADF检验为例，介绍进行单位根检验的具体步骤。

1. 收集时间序列数据，确保数据已经按照时间顺序排列。

2. 导入统计软件，比如R或Python等，加载相关的统计函数库。

3. 指定滞后阶数。

根据样本的特点和经验选择合适的滞后阶数，一般建议初始滞后阶数为1或者自动选择。

4. 进行ADF检验，并取得检验统计量的值。

统计软件会输出检验统计量的值，一般为负数，可以与相应的临界值进行比较。

5. 进行假设检验。

第4章 单位根检验4.1 DF 分布由于虚假回归问题的存在，在回归模型中应避免直接使用非平稳变量。

因此检验变量的平稳性是一个必须解决的问题。

在第二章中介绍用相关图判断时间序列的平稳性。

这一章则给出严格的统计检验方法，即单位根检验。

在介绍检验方法之前，先讨论所用统计量的分布。

给出三个简单的自回归数据生成过程（d.g.p .）， y t =y t -1+u t,y 0=0,u t~IID(0,2)(4.1)y t = μ + y t -1 + u t , y 0 = 0, u t ~ IID(0,2)(4.2)y t = μ + α t + y t -1 + u t , y 0 = 0, u t ~ IID(0,2)(4.3)其中μ 称作位移项（漂移项），α t 称为趋势项。

显然，对于以上三个模型，当< 1时，y t 是平稳的，当= 1时，y t是非平稳的。

以模型 (4.1) 为例，若 = 0，统计量，)ˆ(βt = )ˆ(ˆββs ~ t (T -1) , (4.4)的极限分布为标准正态分布。

若< 1，统计量，)ˆ(βt = )ˆ()ˆ(βββs - (4.5)渐进服从标准正态分布。

根据中心极限定理，当T → ∞ 时， T(Tβˆ- ) → N (0,2(1-2) )(4.6) 那么在= 1条件下，统计量 )ˆ(βt 服从什么分布呢？当= 1时，变量非平稳，上述极限分布发生退化（方差为零）。

首先观察= 1条件下，数据生成系统(4.1)，(4.2) 和 (4.3)的变化情况。

= 1条件下的(4.1) 式是随机游走过程。

= 1条件下的 (4.2) 式是含有随机趋势项的过程。

将(4.2) 式作如下变换则展示的更清楚。

y t = μ + y t -1 + u t = μ + (μ + y t -2 + u t -1) + u t = … = y 0 + μ t +∑-t i i u 1= μ t + ∑-ti i u 1(4.7)-10-551020406080100120140160180200y=y(-1)+u12001400160018002000220050100150200250300图4.1 由y t = y t -1+ u t 生成的序列 图4.2深圳股票综合指数（file:stock ）这是一个趋势项和一个随机游走过程之和。

单整：如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，则称原序列是1阶单整的，记为I（1）。

一般地，如果时间序列经过d次差分后变成平稳序列，则称原序列是d阶单整序列，记为I（d）。

单位根检验：单位根检验是指检验序列中是否存在单位根，因为存在单位根就是非平稳时间序列了.单位根就是指单位根过程，可以证明，序列中存在单位根过程就不平稳，会使回归分析中存在伪回归。

单位根检验是随机过程的问题。

定义随机序列{ x_t}，t=1,2,…是一单位根过程，若x_t=ρx_t-1 +ε，t=1,2… 其中ρ=1，{ε }为一平稳序列(白噪声)，且E[ε ]=0, V(ε )=σ <∞, Cov(ε ,ε )=μ <∞这里τ=1,2…。

特别地，若{ε}是独立同分布的，且E[ε]=0，V(ε)=σ<∞，则上式就变成一个随机游走序列，因此随机游走序列是一种最简单的单位根过程。

将定义式改写为下列形式：（ 1-ρL）x_t =ε，t=1,2,…其中L 为滞后算子，1-ρL为滞后算子多项式，其特征方程为1-ρz=0,有根z= 1/ρ。

当ρ=1时，时间序列存在一个单位根，此时{x_t }是一个单位根过程。

当ρ<1时，{x_t }为[1]。

而当ρ〉1时，{x_t }为一类具有所谓爆炸根的非平稳过程，它经过差分后仍然为非平稳过程，因此不为单整过程。

一般情况下，单整过程可以称作单位根过程。

单位根检验时间序列的单位跟研究是时间序列分析的一个热点问题。

时间序列矩特性的时变行为实际上反映了时间序列的非平稳性质。

对非平稳时间序列的处理方法一般是将其转变为平稳序列，这样就可以应用有关平稳时间序列的方法来进行相应得研究。

对时间序列单位根的检验就是对时间序列平稳性的检验，非平稳时间序列如果存在单位根，则一般可以通过差分的方法来消除单位根，得到平稳序列。

对于存在单位根的时间序列，一般都显示出明显的记忆性和波动的持续性，因此单位根检验是有关协整关系存在性检验和序列波动持续性讨论的基础。

第6讲 单位根检验由于虚假回归问题的存在，在回归模型中应避免直接使用不存在协积关系的非平稳变量。

因此检验变量的平稳性是一个必须解决的问题。

在第二章中介绍用相关图判断时间序列的平稳性。

这一章则给出序列平稳性的严格的统计检验方法，即单位根检验。

在介绍单位根检验之前，先认识四种典型的非平稳随机过程。

4.1 四种典型的非平稳随机过程 （1）随机游走过程。

y t = y t -1 + u t , y 0 = 0, u t ~ IID(0, σ 2) (4.1) 由第2章知，其均值为零，方差无限大，但不含有确定性时间趋势。

（见图4.1a ）。

-10-551020406080140160y=y(-1)+u120014001600180020002200图4.1a 由y t = y t -1+ u t , u t ~ IID(0, 1)生成的序列 图4.1b 深证成指（file:stock ）（2）随机趋势过程。

y t = α + y t -1 + u t , y 0 = 0, u t ~ IID(0, σ 2) (4.2) 其中α称作位移项（漂移项）。

由上式知，E(y 1)= α（过程初始值的期望）。

将(4.2) 式作如下迭代变换，y t = α + y t -1 + u t = α + (α + y t -2 + u t -1) + u t = … = α t +y 0 +∑-ti i u 1y t 由确定性时间趋势项α t 和y 0 +∑-ti i u 1组成。

可以把y 0 +∑-ti i u 1看作随机的截距项。

在不存在任何冲击u t 的情况下，截距项为y 0。

而每个冲击u t 都表现为截距的移动。

每个冲击u t 对截距项的影响都是持久的，导致序列的条件均值发生变化，所以称这样的过程为随机趋势过程（stochastic trend process ），或有漂移项的非平稳过程（non-stationary process with drift ），有漂移项的随机游走过程（random walk with drift ）见图 4.2，虽然总趋势不变，但随机游走过程围绕趋势项上下游动。

单位根检验原理
单位根检验原理指的是一种检验时间序列稳定性的方法，它通过检验时间序列是否存在单位根来判断该序列是否具有平稳性。

单位根检验原理的核心是检验序列是否具有随机游走特征，如果序列具有随机游走特征，那么该序列将不具有平稳性。

因此，在时间序列分析中，单位根检验是一种非常重要的方法，它可以帮助分析者判断时间序列的平稳性，从而选择合适的时间序列模型进行预测和分析。

在实践中，常用的单位根检验方法包括ADF检验、Phillips-Perron检验、KPSS 检验等。

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