山东省泰安市新泰一中2020-2021学年高二上学期第二次质量检测考试数学试题

2020-2021学年山东省泰安一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（3分）直线l1：ax+2y+a＝0与直线l2：2x+ay﹣a＝0互相平行，则实数a＝（）A．﹣4B．4C．﹣2D．22．（3分）如图，已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别是OA，BC的中点，点G为线段MN 上一点，且MG＝2GN，若记，则＝（）A．B．C．D．3．（3分）若圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，则m＝（）A．21B．19C．9D．﹣114．（3分）已知＝（2，﹣1，2），＝（﹣1，3，﹣3），＝（13，6，λ），若向量，，共面，则λ＝（）A．2B．3C．4D．65．（3分）对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为（0，1）B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为（1，0）D．开口向右，焦点为6．（3分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤2，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．B．C．D．7．（3分）已知F1，F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F1AF2＝60°，若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．（3分）椭圆+＝1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[，1]B．[，]C．[，1）D．[，]二、多选题（共4小题）9．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为CC1、BC、CD、BB1的中点，则下列结论正确的是（）A．B1G⊥BCB．平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1C．A1H∥面AEFD．二面角E﹣AF﹣C的大小为10．（3分）已知直线x sinα+y cosα+1＝0（α∈R），给出下列命题正确的是（）A．直线的倾斜角是π﹣αB．无论α如何变化，直线不过原点C．无论α如何变化，直线总和一个定圆相切D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于111．（3分）已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（）A．当k＝4时，曲线C为圆B．当k＝0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为C．“k＞4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为12．（3分）已知F1、F2是椭圆C：的左、右焦点，M、N是左、右顶点，e为椭圆C的离心率，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，已知＝0，3，|AF1|＝2|AF2|，设直线AB的斜率为k，直线AM和直线AN的斜率分别为k1，k2，直线BM和之间BN的斜率分别为k3，k4，则下列结论一定正确的是（）A．e＝B．k＝C．k1•k2＝﹣D．k3•k4＝三、填空题（共4小题）13．（3分）已知点P（2，﹣3），Q（3，2），直线ax+y+2＝0与线段PQ相交，则实数a 的取值范围是．14．（3分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，则异面直线BD1与AM所成角的余弦值为．15．（3分）若△ABC的两个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为．16．（3分）设F1，F2是双曲线﹣＝1的两个焦点，P是该双曲线上一点，且|PF1|：|PF2|＝2：1，则△PF1F2的面积等于四、解答题（共6小题）17．已知P（3，2），一直线l过点P，①若直线l在两坐标轴上截距之和为12，求直线l的方程；②若直线l与x、y轴正半轴交于A、B两点，当△OAB面积为12时，求直线l的方程．18．已知过点M（0，2）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2＝1交于A，B两点．（1）求斜率k的取值范围；（2）以点M为圆心，r为半径的圆与圆C总存在公共点，求r的取值范围；（3）O为坐标原点，求证：直线OA与OB斜率之和为定值．19．如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，AB＝BC＝AC＝4，AD＝CD＝，O是AC的中点，E是BD的中点．（1）证明：DO⊥底面ABC；（2）求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．20．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y＝±x，且双曲线过点（，）．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过双曲线右焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A，B，求|AB|．21．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由．22．已知椭圆C：的离心率，且圆x2+y2＝2过椭圆C的上，下顶点．（1）求椭圆C的方程．（2）若直线l的斜率为，且直线l交椭圆C于P、Q两点，点P关于原点的对称点为E，点A（﹣2，1）是椭圆C上一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理由．参考答案一、选择题（共8小题）1．（3分）直线l1：ax+2y+a＝0与直线l2：2x+ay﹣a＝0互相平行，则实数a＝（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【分析】根据两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得a的值．解：∵直线l1：ax+2y+a＝0与直线l2：2x+ay﹣a＝0互相平行，∴a≠0，且＝≠，则实数a＝2，故选：D．2．（3分）如图，已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别是OA，BC的中点，点G为线段MN 上一点，且MG＝2GN，若记，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理、平行四边形法则即可得出．解：＝+，＝，＝﹣，＝＝，＝（+）＝（+），可得：＝++．故选：C．3．（3分）若圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，则m＝（）A．21B．19C．9D．﹣11【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值．解：由C1：x2+y2＝1，得圆心C1（0，0），半径为1，由圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25﹣m，∴圆心C2（3，4），半径为．∵圆C1与圆C2外切，∴，解得：m＝9．故选：C．4．（3分）已知＝（2，﹣1，2），＝（﹣1，3，﹣3），＝（13，6，λ），若向量，，共面，则λ＝（）A．2B．3C．4D．6【分析】根据所给的三个向量的坐标，写出三个向量共面的条件，点的关于要求的两个方程组，解方程组即可．解：∵＝（2，﹣1，2），＝（﹣1，3，﹣3），＝（13，6，λ），三个向量共面，∴，∴（2，﹣1，2）＝x（﹣1，3，﹣3）+y（13，6，λ）∴解得：故选：B．5．（3分）对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为（0，1）B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为（1，0）D．开口向右，焦点为【分析】根据二次函数的性质进行判断．解：∵a＝4＞0，∴图象开口向上，焦点为．故选：B．6．（3分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤2，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．B．C．D．【分析】求出A关于x+y＝4的对称点A'，根据题意，A'C﹣为最短距离，求出即可．解：设点A关于直线x+y＝4的对称点A'（a，b），设军营所在区域为的圆心为C，根据题意，A'C﹣为最短距离，先求出A'的坐标，AA'的中点为（，），直线AA'的斜率为1，故直线AA'为y＝x﹣3，由，联立得故a＝4，b＝1，所以A'C＝，故A'C﹣＝，故选：B．7．（3分）已知F1，F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F1AF2＝60°，若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】先假设A在右支上，利用角平分线的性质和双曲线定义可求出|AF1|，|AF2|与a 的关系，然后在三角形中利用余弦定理化简即可求解．解：设OF2的中点为M，另设|AF1|＝m，|AF2|＝n，假设A在双曲线的右支上，由角平分线的性质可得＝＝，又M是OF2的中点，则，根据双曲线的定义可得：m﹣n＝2a，所以m＝3a，n＝a，则在三角形AF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1AF2＝，所以cos60°＝＝，化简可得，即，所以双曲线的离心率为，故选：B．8．（3分）椭圆+＝1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[，1]B．[，]C．[，1）D．[，]【分析】设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|＝2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|＝|AF′|，推知|AF|+|BF|＝2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|＝2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|＝2a中即可表示出即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．解：∵B和A关于原点对称∴B也在椭圆上设左焦点为F′根据椭圆定义：|AF|+|AF′|＝2a又∵|BF|＝|AF′|∴|AF|+|BF|＝2a…①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|＝2c又|AF|＝2c sinα…②|BF|＝2c cosα…③②③代入①2c sinα+2c cosα＝2a∴＝即e＝＝∵a∈[，]，∴≤α+π/4≤∴≤sin（α+）≤1∴≤e≤故选：B．二、多选题（共4小题）9．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为CC1、BC、CD、BB1的中点，则下列结论正确的是（）A．B1G⊥BCB．平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1C．A1H∥面AEFD．二面角E﹣AF﹣C的大小为【分析】建立空间坐标系，求出各向量坐标，利用向量的平行和垂直关系判断．解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，设正方体棱长为1，则A（1，0，0），E（0，1，），F（，1，0），B1（1，1，1），G（0，，0），H（1，1，），A1（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），∴＝（0，1，﹣），＝（﹣，1，0），＝（﹣，0，），＝（﹣1，0，1），＝（﹣1，0，0），＝（﹣1，﹣，﹣1），∴＝2，∴AD1∥EF，∴平面AEF与平面ADD1A1的交线为AD1，故B正确；∵＝1≠0，∴B1G与BC不垂直，故A错误；设平面AEF的法向量为＝（x，y，z），则，∴，令y＝1可得＝（2，1，2），•＝0+1﹣1＝0，∴A1H∥平面AEF，故C正确；平面ABCD的一个法向量为＝（0，0，1），∴cos＜＞＝＝＝，设二面角E﹣AF﹣C的大小为θ，则cosθ＝，故D错误．故选：BC．10．（3分）已知直线x sinα+y cosα+1＝0（α∈R），给出下列命题正确的是（）A．直线的倾斜角是π﹣αB．无论α如何变化，直线不过原点C．无论α如何变化，直线总和一个定圆相切D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1【分析】根据倾斜角的范围，可判断A；将（0，0）代入直线方程，可判断B；将原点和直线方程代入直线距离公式，可得直线总和单位圆相切，可判断C；求出三角形面积公式，结合三角函数的图象和性质，可判断D．解：根据倾斜角的范围为[0，π），而π﹣α∈R，可知A错误；当x＝y＝0时，x sinα+y cosα+1＝1≠0，故直线必不过原点，故B正确；原点到直线的距离d＝1，故直线总和单位圆相切，故C正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积S＝||＝≥1，故D正确；故选：BCD．11．（3分）已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（）A．当k＝4时，曲线C为圆B．当k＝0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为C．“k＞4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为【分析】通过k的值，判断曲线的形状，然后判断选项的正误即可．解：曲线C的方程为，当k＝4时，方程为x2+y2＝2，曲线C为圆，所以A正确；当k＝0时，曲线C为，是双曲线，其渐近线方程为，所以B正确；“6＞k＞4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充要条件，所以“k＞4”是“曲线C 为焦点在x轴上的椭圆”的必要而不充分条件，所以C不正确；k＞6时，曲线C为双曲线，其离心率为e＝＝，如果＝，可得k﹣4＝k﹣2，无解，所以k＜2时，＝，然后＝，可得4﹣k＝6﹣k，显然不成立，所以≠，所以D不正确．故选：AB．12．（3分）已知F1、F2是椭圆C：的左、右焦点，M、N是左、右顶点，e为椭圆C的离心率，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，已知＝0，3，|AF1|＝2|AF2|，设直线AB的斜率为k，直线AM和直线AN的斜率分别为k1，k2，直线BM和之间BN的斜率分别为k3，k4，则下列结论一定正确的是（）A．e＝B．k＝C．k1•k2＝﹣D．k3•k4＝【分析】过点F2作F1B的平行线，交AF1于点E，设|F2A|＝2t，|F1A|＝4t，可得AB|＝5t，由椭圆定义可得a＝3t．|BF1|＝|BF2|＝3t，在△EF1F2中，由勾股定理可得：c，b即可判断AB的正误，设A（x，y），则＝，即可判断CD正误．解：∵＝0，∴AF1⊥BF1，过点F2作F1B的平行线，交AF1于点E，∴AF1⊥EF2．设|F2A|＝2t，|F1A|＝4t，又3，∴|AB|＝5t，∵AF1⊥BF1，∴|F1B|＝3t，∴12t＝4a，∴a＝3t．∴|BF1|＝|BF2|＝3t＝a，∴B（0，b），在△EF1F2中，EF1＝＝，EF2＝＝，F1F2＝2c，∵EF12+EF22＝F1F22，∴，b＝＝，∴椭圆离心率e＝，故A正确，k＝，故B错，设A（x，y），易得M（﹣a，0），N（a，0），则＝，故C正确，同理，故D错．故选：AC．三、填空题（共4小题）13．（3分）已知点P（2，﹣3），Q（3，2），直线ax+y+2＝0与线段PQ相交，则实数a 的取值范围是．【分析】分别求出直线MQ、MP的斜率，进而即可求出直线MN的斜率的取值范围．解：画出图象∵，＝﹣．要使直线ax+y+2＝0与线段PQ相交，则满足．∴，∴．故答案为．14．（3分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，则异面直线BD1与AM所成角的余弦值为．【分析】分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则异面直线BD1与AM所成角的余弦值，转化为求向量与的夹角的余弦值，利用向量夹角公式即可求得，注意向量夹角与异面角间的关系．解：分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），M（0，1，），D1（0，0，1），所以＝（﹣1，﹣1，1），＝（﹣1，1，），则cos＜，＞＝＝＝，即异面直线BD1与AM所成角的余弦值为，故答案为：．15．（3分）若△ABC的两个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（y≠0）．【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．解：（1）∵△ABC的两顶点A（﹣4，0），B（4，0），周长为18，∴AB＝8，BC+AC ＝10，∵10＞8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，∵2a＝10，2c＝8，∴b＝3，所以椭圆的标准方程是（y≠0）．故答案为：（y≠0）16．（3分）设F1，F2是双曲线﹣＝1的两个焦点，P是该双曲线上一点，且|PF1|：|PF2|＝2：1，则△PF1F2的面积等于12【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|＝6，再由|PF1|：|PF2|＝2：1，求出|PF1|，|PF2|，由此转化求出△PF1F2的面积．解：F1，F2是双曲线﹣＝1的两个焦点，F1（﹣3，0），F2（3，0），|F1F2|＝6，∵|PF1|：|PF2|＝2：1，∴设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，由双曲线的性质知|2x﹣x|＝2，解得x＝2．∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴cos∠F1PF2＝＝，sin∠F1PF2＝．∴△PF1F2的面积为×4×2×＝12．故答案为：12．四、解答题（共6小题）17．已知P（3，2），一直线l过点P，①若直线l在两坐标轴上截距之和为12，求直线l的方程；②若直线l与x、y轴正半轴交于A、B两点，当△OAB面积为12时，求直线l的方程．【分析】设斜率为k，得出直线的点斜式方程，从而求出截距，再根据条件列方程求出k，从而得出直线l的方程．解：①显然直线l有斜率且不为0，设斜率为k，则直线l的方程为：y＝k（x﹣3）+2，令x＝0得y＝﹣3k+2，令y＝0得x＝+3．∴﹣3k+2++3＝12，解得k＝﹣或k＝﹣2．∴直线l的方程为y＝﹣（x﹣3）+2或y＝﹣2（x﹣3）+2．②∵直线l与x、y轴交于正半轴，∴﹣3k+2＞0，+3＞0，∴（﹣3k+2）（+3）＝12，解得k＝﹣．∴直线l的方程为y＝﹣（x﹣3）+2．18．已知过点M（0，2）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2＝1交于A，B两点．（1）求斜率k的取值范围；（2）以点M为圆心，r为半径的圆与圆C总存在公共点，求r的取值范围；（3）O为坐标原点，求证：直线OA与OB斜率之和为定值．【分析】（1）写出直线l的方程，若直线与圆相交，则圆心C到直线l的距离d小于半径r，进而解得k的取值范围．（2）若若以点M为圆心，r为半径的圆与圆C总存在公共点，则直线与圆外切，相交，内切，所以|r﹣1|≤|MC|≤r+1，进而解除r的取值范围．（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与圆方程，消去y整理得（k2+1）x2+（4k﹣2）x+4＝0，韦达定理得，代入化简k OA+k OB＝+＝2k+＝1，进而得出答案．解：（1）根据题意可得，直线l的方程为：y﹣2＝k（x﹣0），即kx﹣y+2＝0，圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝1，则其圆心C（1，0），半径r＝1，若直线与圆相交，必有d＜r，即，解得k＜﹣，所以斜率k的取值范围为k＜﹣．（2）若以点M为圆心，r为半径的圆与圆C总存在公共点，则|r﹣1|≤|MC|≤r+1，即|r﹣1|≤≤r+1，所以﹣1≤r≤+1．（3）证明：联立直线与圆的方程：，消去y整理得（k2+1）x2+（4k﹣2）x+4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理得，则k OA+k OB＝+＝+＝2k+＝2k+＝2k+＝2k﹣2k+1＝1，故直线OA与直线OB的斜率之和为定值1．19．如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，AB＝BC＝AC＝4，AD＝CD＝，O是AC的中点，E是BD的中点．（1）证明：DO⊥底面ABC；（2）求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．【分析】（1）证明DO⊥AC．利用平面DAC⊥底面ABC，推出DO⊥底面ABC．（2）以点O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴建立空间0﹣xyz直角坐标系．求出平面ADE的一个法向量，平面AEC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角D﹣AE﹣C的余弦值即可．【解答】（1）证明：∵AD＝CD＝，O是AC的中点，∴DO⊥AC．∵平面DAC⊥底面ABC，平面DAC∩底面ABC＝AC，∴DO⊥底面ABC．（2）解：由条件易知DO⊥BO，BO⊥AC．OA＝OC＝OD＝2，OB＝如图，以点O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴建立空间0﹣xyz直角坐标系．则A（2，0，0），，C（﹣2，0，0），D（0，0，2），，，，．设平面ADE的一个法向量为，则即令z1＝1，则，所以．同理可得平面AEC的一个法向量．．因为二面角D﹣AE﹣C的平面角为锐角，所以二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．20．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y＝±x，且双曲线过点（，）．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过双曲线右焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A，B，求|AB|．【分析】（Ⅰ）设双曲线方程为：3x2﹣y2＝λ，点代入，即可求双曲线的方程；（Ⅱ）直线AB的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理及弦长公式，即可求|AB|．解：（Ⅰ）设双曲线方程为：3x2﹣y2＝λ，点代入得：λ＝3，所以所求双曲线方程为：…（6分）（Ⅱ）直线AB的方程为：y＝x﹣2，由得：2x2+4x﹣7＝0，…（10分）∴．…（12分）21．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由．【分析】（I）因为PO⊥AD，又CD⊥平面PAD，得到PO⊥CD，进而证明结论；（II）以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，平面EFG的法向量，又平面ABCD的法向量，利用夹角公式求出即可；（III）假设线段PA上存在点M，设，由直线GM与平面EFG 所成角为，得到关于λ的方程，解方程判断即可．解：（Ⅰ）证明：因为△PAD是正三角形，O是AD的中点，所以PO⊥AD．又因为CD⊥平面PAD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥CD，AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ABCD，所以PO⊥面ABCD；（Ⅱ）如图，以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则，，，设平面EFG的法向量为，由，得令z＝1，则，又平面ABCD的法向量，设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为θ，所以．所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为；（Ⅲ）假设线段PA上存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，设，由，所以．所以＝，整理得2λ2﹣3λ+2＝0，无解，所以，不存在这样的点M．22．已知椭圆C：的离心率，且圆x2+y2＝2过椭圆C的上，下顶点．（1）求椭圆C的方程．（2）若直线l的斜率为，且直线l交椭圆C于P、Q两点，点P关于原点的对称点为E，点A（﹣2，1）是椭圆C上一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理由．【分析】（1）由题意可得b，运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，c，进而得到所求椭圆方程；（2）可设直线l的方程为y＝x+t，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，化简整理，计算可得所求定值．解：（1）椭圆C：的离心率，且圆x2+y2＝2过椭圆C的上，下顶点，可得b＝，e＝＝，c2＝a2﹣b2，解得a＝2，c＝，则椭圆的方程为+＝1；（2）若直线l的斜率为，可设直线l的方程为y＝x+t，联立椭圆方程x2+4y2﹣8＝0，可得x2+2tx+2t2﹣4＝0，则△＝4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，解得﹣2＜t＜2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），E（﹣x1，﹣y1），可得x1+x2＝﹣2t，x1x2＝2t2﹣4，则k AE+k AQ＝+＝+＝+＝•＝•＝•＝0．则直线AE与AQ的斜率之和为定值0．。

山东省新泰一中2020学年高二数学上学期期中试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两卷，满分150分，测试时间120分钟，第Ⅰ卷将正确的选项填涂在答题卡的相应地点，第Ⅱ卷直接答在试卷上。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．命题“存在x Z，使x22x m0”的否认是（）．A．存在x Z，使x22x m0B．不存在x Z，使x22x m0C．关于随意x Z，都有x22x m0D．关于随意xZ，都有x22x m02．等差数列｛a｝中，已知前15项的和S1590，则a8等于（）．nA．45B．12C．45D．6243、抛物线y216x的焦点坐标为（）A.(0,4)B.(4,0)C.(0,4)D.(4,0)4．在ABC中，“A”是“cosA 1”的（）23A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件5.已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（）A．8，2B．2，4C．4，10D．2，86．已知m0,n0，则112mn的最小值是（）m nA．5B．4C．22D．27．若b a0，则以下不等式①ab ab；②|a||b|;③11；④b a2中，a b a b正确的不等式有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知F1(1,0),F2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M,N两点，若MF2N 的周长为8，则椭圆方程为（）（A）x 2y21（B）y2x21（C）x2y21（D）y2x21434316151615 9.等差数列的前n项和为30，前2n项的和为100，则它前3n项的和为（）A.130 C.21010、探照灯反射镜的轴截面是抛物线y22pxx0)的一部分，光源位于抛物线的焦点处，(已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，则抛物线的焦点坐标为（）A、45,0B、45,0C、45,0D、45,0 2481611．数列{a n}的前n项和为s n，若，则s5等于（）A．1B．C．D．12、双曲线C的左右焦点分别为F1,F2，且F2恰巧为抛物线y24x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A、2B、12C、13D、23二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．若椭圆x2y21，则实数x的取值范围是. 5414．已知x＜0，则24的最大值等于. 3xx15．将全体正整数摆列成一个三角形数阵：依据以上摆列的规律，第16行从左向右的第3个数为．16、已知双曲线x2y21的一条渐近线和圆x2y24x30相切，则该双曲线的m离心率为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出说明文字、演算式、证明步骤．（此题满分10分）等差数列a n的前n项和记为S n，已知a1030，a2050．（１）求通项a n；（2）若S n242，求n．18．（此题满分12分）若不等式a2x22a2x40对x R恒建立，务实数a的取值范围。

山东省泰安市新泰市新泰中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 已知两个非零向量，，则这两个向量在一条直线上的充要条件是（）．B．A．C．D．存在非零实数，使2. 已知、两点，则直线与空间直角坐标系中的平面的交点坐标为（）A．B．C．D．3. 设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（）．D．A．B．C．4. 已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（）A．B．D．C．5. 已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为（）A．B．C．D．6. 若圆上有且仅有两个点到原点的距离为，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．7. 已知椭圆的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于、两点，若是等腰三角形，且．则的周长为（）A．B．C．D．9. 下列命题中正确的是（）A．若、、、是空间任意四点，则有B．若，则、的长度相等而方向相同或相反C．是非零向量、共线的充分条件D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若，则、、、四点共面二、多选题10. 已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（）D．y=2x+1A．y=x+1 B．y=2C．11. 定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．B．C．D．若，，则12. 已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（）A．C的焦距为B．C的离心率为C．圆D在C的内部D．的最小值为三、填空题13. 已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为________．14. 已知过点的直线与轴，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，当的面积最小时，直线的方程为______．15. 如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是_______．16. 如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是______．四、解答题17. 已知圆和(1)求证：圆和圆相交；(2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长．18. 已知直线.（1）若直线过点，且，求直线的方程；（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.19. 如图，在长方体中，，，点在线段上．（1）求异面直线与所成的角；（2）若二面角的大小为，求点到平面的距离．20. 已知：椭圆，求：（1）以为中点的弦所在直线的方程；（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．21. 已知椭圆的离心率为，且椭圆的右顶点到直线的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值为坐标原点）．22. 如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体，如图．1若，证明：平面；2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．。

2022级高二上学期第二次质量检测数学试题时间：120分钟；满分150分一、单选题（每小题5分，共40分）1.抛物线22y x =的焦点到准线的距离为（）A.18B.12C.14D.42.若直线20ax y +=与直线2(1)(1)0x a y a +++-=平行，则a 的值是（）A.1或2- B.1- C.2- D.2或1-3.如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c = ，点M 在OA上，且2OM MA =，点N 为BC 中点，则MN =（）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +-D.2132a b c +- 4.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的左支交于A ，B 两点，且112AF F B =，290ABF ∠=︒，则C 的渐近线为（）A.223y x =±B.324y x =±C.62y x =±D.102y x =±5.在数列{}n a 中，1210,8a a ==，且()*1122,n n n a a a n n +-+=≥∈N ，则数列{}na 的前15项和为（）A.84B.102C.120D.1386.已知F 是双曲线221412y x -=的下焦点，(4,1)A 是双曲线外一点，P 是双曲线上支上的动点，则PF PA +的最小值为（）A.9B.8C.7D.67.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最小值，且2022202310a a -<<，则使0n S >成立的正整数n 的最小值为（）A.2022B.2023C.4043D.40448.已知圆:C 224410x y x y +---=，AB 是圆C 上的一条动弦，且AB =，O 为坐标原点，则+OA OB 的最小值为（）A.2- B.1- C. D.二、多选题（每小题5分，共20分）9.已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +-+=+，下列说法正确的是（）A.两圆的公共弦所在的直线方程为22y x =+B.圆O 上有2个点到直线20x y ++=的距离为C.两圆有两条公切线D.点E 在圆O 上，点F 在圆M 上，EF 310.如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n 层有n a 个球，从上往下n 层球的总数为n S ，则（）A.535a =B.535S =C.11n n a a n +-=+ D.不存在正整数2m >，使得m a 为质数11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别是1DD ，11A B ，CD ，BC的中点，则下列说法正确的有（）A.E ，F ，G ，H 四点共面B.BD 与EF 所成角的大小为3πC.在线段BD 上存在点M ，使得MC 1⊥平面EFGD.在线段1A B 上任取一点N ，三棱锥N EFG -的体积为定值12.法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q 的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形G 的四边均与椭圆22:154x y C +=相切，则下列说法正确的是（）A.椭圆C 的蒙日圆方程为229x y +=B.若G 为正方形，则G 的边长为C.若P 是直线l ：230x y +-=上的一点，过点P 作椭圆C 的两条切线与椭圆相切于M ，N 两点，O 是坐标原点，连接OP ，当MPN ∠为直角时，0OP k =或43-D.若H 是椭圆C 蒙日圆上一个动点，过H 作椭圆C 的两条切线，与该蒙日圆分别交于P ，Q 两点，则HPQ △面积的最大值为18三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知点F 为抛物线24y x =的焦点，点P 在抛物线上，O 为坐标原点，若OFP △的面积为2，则O 到直线PF 的距离为______.14.已知数列{}n a 满足1111,2n n n n a a a a a ++=-=，则8a =__________．15.在以O 为中心，1F 、2F 为焦点的椭圆上存在一点M ，满足1222MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为_____________.16.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，经过仿射变换x x a y y b =⎧'='⎪⎨⎪⎩，则椭圆变为了圆222x y a ''+=，并且变换过程有如下对应关系：①点()0,Px y 变为00,a P x y b⎛⎫' ⎪⎝⎭；②直线斜率k 变为a k k b '=，对应直线的斜率比不变；③图形面积S 变为aS S b'=，对应图形面积比不变；④点、线、面位置不变（平行直线还是平行直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）．过椭圆2214x y +=内一点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭作一直线与椭圆相交于C 两点,A B ，则AOB 的面积的最大值为______．四、解答题（17题10分，18-22每小题12分，共70分）17.已知数列{}n a 的前n 项和公式为2230n S n n =-：（1）求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列；（2）求n S 的最小值，并求n S 取得最小值时n 的值.18.已知ABC 的三个顶点是(1,2),(1,4),(4,5)A B C -．（1）求AB 边的高所在直线的方程；（2）若直线l 过点C ，且点A ，B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程．19.已知圆O ：224x y +=及点()4,0M ，动点P 在圆O 上运动，线段MP 的中点为Q ．（1）求点Q 的轨迹方程；（2）过点3,22⎛⎫-⎪⎝⎭作直线l 与Q 的轨迹交于A ，B两点，满足AB =l 的方程．20.已知平面内一动点()(),0P x y x ≥到点()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()2,0Q 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点M 使得AMQ BMQ ∠=∠？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.21.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，O 为边AD 的中点，AB =，PA PD ==PB =（1）证明：PD OB ⊥；（2）试判断线段PC 上是否存在点M 使得二面角M OB C --的余弦值为277，若存在求出点M 的位置；若不存在，请说明理由.22.如图，已知圆()221:3100F x y -+=，动圆P 过点()23,0F -且与圆1F 内切于点N ，记动圆圆心P 的轨迹为E ．（1）求E 的方程；（2）过点()(),05M m m >的直线l （不与x 轴重合）与E 交于A ，B 两点，点C 与点B 关于x 轴对称，直线AC 与x 轴交于点Q ，已知点()5,0D ，试问MD DQ MD DQ-是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．新泰一中东校2022级高二上学期第二次质量检测数学试题时间：120分钟；满分150分一、单选题（每小题5分，共40分）1.抛物线22y x =的焦点到准线的距离为（）A.18B.12C.14D.4【答案】C 【解析】【分析】由22y x =可得抛物线标准方程为：212x y =，由焦点和准线方程即可得解.【详解】由22y x =可得抛物线标准方程为：212x y =，所以抛物线的焦点为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为18y =-，所以焦点到准线的距离为14.故选：C.2.若直线20ax y +=与直线2(1)(1)0x a y a +++-=平行，则a 的值是（）A.1或2- B.1- C.2- D.2或1-【答案】C 【解析】【分析】根据两直线平行的条件，列出方程组，即可求解.【详解】由直线20ax y +=与直线2(1)(1)0x a y a +++-=平行，可得2(1)2110a a a +=⨯⎧⎨-≠⎩，解得2a =-，所以实数a 的值为2-.故选：C.3.如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c = ，点M 在OA上，且2OM MA =，点N 为BC 中点，则MN =（）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +- D.2132a b c +- 【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量线性运算，结合图形分析可得．【详解】因为2OM MA =，点N 为BC 中点，所以13MA OA = ，12BN BC =，故1132MN MA AB BN OA OB OA BC=++=+-+ ()()11213232a b a OC OB a b c b =+-+-=-++- 211322a b c =-++．故选：B ．4.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的左支交于A ，B 两点，且112AF F B =，290ABF ∠=︒，则C 的渐近线为（）A.223y x =±B.324y x =±C.62y x =±D.102y x =±【答案】A 【解析】【分析】由题意设1BF x =，则12AF x =，根据双曲线定义可得222AF a x =+，22BF a x =+，在2ABF △，12BF F △中分别利用勾股定理可求得答案.【详解】如图．设1BF x =，12AF x =，则222AF a x =+，22BF a x =+，在2ABF △中由勾股定理：()()()2223222x a x a x ++=+，解得：23x a =，在12BF F △中，由勾股定理：222222433a a a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：22179c a =，所以2289b a =，所以渐近线方程为：3y x =±.故选：A ．5.在数列{}n a 中，1210,8a a ==，且()*1122,n n n a a a n n +-+=≥∈N ，则数列{}na 的前15项和为（）A.84B.102C.120D.138【答案】C 【解析】【分析】先利用等差中项判断数列为等差数列，然后利用通项公式基本量的运算求出通项，利用求和公式求出和，然后分组求和即可求解.【详解】因为()*1122,Nn n n a a a n n +-+=≥∈，所以{}na 是等差数列，又1210,8a a ==，所以等差数列{}n a 的公差212d a a =-=-，所以()11122n a a d n n =+-=-，所以{}n a 单调递减，且60a =，所以{}n a 的前n 项和()210122112n n n S n n +-==-，所以数列{}n a 的前15项和为()()1231512678151562120a a a a a a a a a a S S ++++=++++----=-+= .故选：C6.已知F 是双曲线221412y x -=的下焦点，(4,1)A 是双曲线外一点，P 是双曲线上支上的动点，则PF PA +的最小值为（）A.9B.8C.7D.6【答案】A 【解析】【分析】求出上焦点1F F1的坐标，由双曲线的定义可得1122PF PA a PF PA a AF +=++≥+，从而求得12a AF +的值，推出结果．【详解】解：∵F 是双曲线221412y x -=的下焦点，∴2,a b ==，c ＝4，F （0，−4），上焦点为1F （0，4），由双曲线的定义可得112249PF PA a PF PA a AF +=++≥+=+=，当A ，P ，H 三点共线时，PF PA +取得最小值9．故选：A ．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．7.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最小值，且2022202310a a -<<，则使0n S >成立的正整数n 的最小值为（）A.2022 B.2023C.4043D.4044【答案】D 【解析】【分析】根据题意分析出20220a <、20230a >、202220230a a +>等，利用等差数列的前n 项和公式()12n n n a a S +=分析出结果.【详解】解：因为等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最小值，所以等差数列{}n a 的公差0d >，因为202220230a a <，所以20220a <，20230a >，所以202220232022410a a a a a <<<<<<< ，又因为202220231a a >-，所以2022202310a a +>，即2022202320230a a a +>，故202220230a a +>，所以()1404320224043404340432022a a a S +⨯==<，()()1404420222023404440444044022a a a a S ++==>，当4043n ≤时，0nS <；当4044n ≥时，0n S >；故使0n S >成立的正整数n 的最小值为4044.故选：D.8.已知圆:C 224410x y x y +---=，AB 是圆C 上的一条动弦，且AB =，O 为坐标原点，则+OA OB 的最小值为（）A.2-B.1- C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，设弦AB 的中点为H ，则2OA OB OH +=，由弦AB 的值求出1CH =，即可得到点H 在以C 为圆心，1为半径的圆上，从而求出OH 的最小值，即可得解.【详解】圆:C 224410x y x y +---=，即()()22229x y -+-=，圆心()2,2C ，半径3r =,设弦AB 的中点为H ，则CH AB ⊥,2OA OB OH +=，且AB =，所以1CH ==，所以点H 在以C 为圆心，1为半径的圆上，所以11OH OC ≥-=，所以+OA OB 的最小值为2.故选：A ．二、多选题（每小题5分，共20分）9.已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +-+=+，下列说法正确的是（）A.两圆的公共弦所在的直线方程为22y x =+B.圆O 上有2个点到直线20x y ++=的距离为2C.两圆有两条公切线D.点E 在圆O 上，点F 在圆M 上，EF 53【答案】BCD 【解析】【分析】先判断两圆的位置关系，得出公切线条数，由此判断C ；两圆作差得公共线直线方程，由此判断A ；求出圆心到直线AB 的距离，从而得到2R d -<，进而判断B ；EF 的最大值为OM 加上两圆半径，由此判断D.【详解】对于C ，因为圆22:4O x y +=，所以圆心()0,0O ，半径为2R =，因为圆22:4240M x y x y +-+=+，可化为()()22211x y ++-=，所以圆心()2,1M -，半径为1r =，则21521OM -<=<+，所以两圆相交，则两圆有两条公切线，故C 正确；对于A ，两圆作差得4244x y -+=-，即24y x =+，所以公共弦所在的直线方程为24y x =+，故A 错误；对于B ，圆心()0,0O 到直线20x y ++=的距离为d ==则2R d -=<，所以圆O 上有2个点到直线20x y ++=的距离为，故B 正确；对于D ，max ||213EF OM =++=，故D 正确．故选：BCD ．10.如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n 层有n a 个球，从上往下n 层球的总数为n S ，则（）A.535a =B.535S =C.11n n a a n +-=+ D.不存在正整数2m >，使得m a 为质数【答案】BCD 【解析】【分析】根据每层的球的个数可得1n n a a n --=，利用累加法求得(1)2n n n a +=，即可求得55,a S 的值，判断A ，B ；根据1n n a a n --=，可判断C ；根据(1)2n n n a +=，结合数的奇偶性，可判断D.【详解】依题意因为1213211,2,3,n n a a a a a a a n -=-=-=-=，，以上n 个式子累加可得︰(1)123,(2)2n n n a n n +=++++=≥ ,又11a =满足上式，所以(1)2n n n a +=,故556152a ⨯==，故A 错误；因123451,3,6,10,15a a a a a =====，所以512345136101535S a a a a a =++++=++++=，故B 正确；因为1n n a a n --=，所以11n n a a n +-=+，故C 正确；因为(1)2n n n a +=，故当2m >且为整数时，(1)2m m m a +=，此时(1)m m +必为偶数，则(1)2m m +为整数，且为合数，则不存在正整数2m >，使得m a 为质数，D 正确，故选：BCD11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别是1DD ，11A B ，CD ，BC 的中点，则下列说法正确的有（）A.E ，F ，G ，H 四点共面B.BD 与EF 所成角的大小为3πC.在线段BD 上存在点M ，使得MC 1⊥平面EFGD.在线段1A B 上任取一点N ，三棱锥N EFG -的体积为定值【答案】AD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A 选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B 选项，假设在线段BD 上存在点M ，设BM BD λ=，01λ≤≤，利用坐标法验证线面垂直，可判断C 选项；分别证明EFG 与1A B 上的所有点到平面EFG 的距离为定值，即可判断D 选项.【详解】以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()12,0,2B ，()10,2,2D ，()0,2,1E ，()1,0,2F ，()2,1,0H ，()1,2,0G ，设AH xAE y AF z AG =++，则()()()()2,1,00,2,11,0,21,2,0x y z =++，所以222120y z x z x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得11232x y z ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，故1x y z ++=，即E ，F ，G ，H 四点共面，故A 正确；因为()2,2,0BD =-uu u r，()1,2,1EF =- ，所以cos ,2BD EF BD EF BD EF⋅==⋅ ，所以BD 与EF 所成角的大小为6π，故B 错误；假设在线段BD 上存在点M ，符合题意，设BM BD λ=（01λ≤≤），则()1112,22,2MC BC BM BC BD λλλ=-=-=- ，若MC 1⊥平面EFG ，则10MC EF ⋅= ，10MC EG ⋅=,因为()1,2,1EF =- ，()1,0,1EG =-，所以24420220λλλ-++=⎧⎨-=⎩，此方程组无解，所以在线段BD 上不存在点M ，使得MC 1⊥平面EFG ，故C 错误；因为()12,0,22A B EG =-=，所以1//A B EG ，又1⊄A B 平面EFG ，EG ⊂平面EFG ，所以1//A B 平面EFG ，故1A B 上的所有点到平面EFG 的距离即为B 到平面EFG 的距离，是定值，又EFG 的面积是定值，所以在线段1A B 上任取一点N ，三棱锥N EFG -的体积为定值，故D 正确；故选：AD.12.法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q 的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形G 的四边均与椭圆22:154x y C +=相切，则下列说法正确的是（）A.椭圆C 的蒙日圆方程为229x y +=B.若G 为正方形，则G 的边长为C.若P 是直线l ：230x y +-=上的一点，过点P 作椭圆C 的两条切线与椭圆相切于M ，N 两点，O 是坐标原点，连接OP ，当MPN ∠为直角时，0OP k =或43-D.若H 是椭圆C 蒙日圆上一个动点，过H 作椭圆C 的两条切线，与该蒙日圆分别交于P ，Q 两点，则HPQ △面积的最大值为18【答案】ABC 【解析】【分析】A 3==，得到蒙日圆方程；B 选项，设出边长，得到方程，求出答案；C 选项，直线l ：230x y +-=与229x y +=的交点即为所求P 点，联立后得到P 点坐标，得到斜率；D 选项，2236HP HQ +=，由基本不等式求出最值.【详解】A选项，3==，故椭圆C 的蒙日圆方程为229x y +=，A 正确；B 选项，由题意，G 为圆229x y +=的内接矩形，若G 为正方形，设G 的边长为t ，则2226t t +=，解得t =B 正确；C 选项，由题意得，直线l ：230x y +-=与229x y +=的交点即为所求P 点，则222309x y x y +-=⎧⎨+=⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩或95125x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故()3,0P 或912,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，故00030OP k -==-或12459305OP k -==---，C 正确.D 选项，由对称性可知，四边形BQHP 为矩形，其中PQ为对角线，且2236HP HQ +=，故()2211924HPQ S HP HQ HP HQ =⋅≤+= ，当且仅当HP HQ =时等号成立，故D 错误.故选：ABC【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解蒙日圆的定义与性质，从而得解.三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知点F 为抛物线24y x =的焦点，点P 在抛物线上，O 为坐标原点，若OFP △的面积为2，则O 到直线PF 的距离为______.【答案】45##0.8【解析】【分析】根据三角形面积公式，即可求出点()4,4P ，然后抛物线定义，求出PF 长度，根据等面积法即可求出.【详解】()1,0F ，设()24,4P t t ，因为1422OFP S OF t =⋅= ，所以1t =，不妨取()4,4P ，则5PF =,122OFPS PF h =⋅= ,则45h =，故O 到PF 距离为45.故答案为：4514.已知数列{}n a 满足1111,2n n n n a a a a a ++=-=，则8a =__________．【答案】115【解析】【详解】分析：由题，1111,2n n n n a a a a a ++=-=则1112,n na a +-=由此可求出n a ，即可得到8a 详解：由题，1111,2n n n n a a a a a ++=-=则1112,n n a a +-=则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，2为公差的等差数列，则()8111121,,.2115n n n a a a n =+-∴=∴=-即答案为115.点睛：!本题考查数列通项公式的求法，属基础题.15.在以O 为中心，1F 、2F 为焦点的椭圆上存在一点M ，满足1222MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为_____________.【答案】63【解析】【分析】根据题意结合椭圆定义可得124223MF MO MF a ===，进而利用余弦定理列式求解.【详解】因为12222232MF MF MF MF MF a +=+==，所以124223MF MO MF a ===，因为1F OM ∠与2F OM ∠互补，且1212222F F OF OF c ===，由余弦定理可得2222224164499990222233c a a c a a c a c a+-+-+=⨯⨯⨯⨯，可得2223c a =，所以3e ==.故选：C．16.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，经过仿射变换x xa y yb =⎧'='⎪⎨⎪⎩，则椭圆变为了圆222x y a ''+=，并且变换过程有如下对应关系：①点()0,Px y 变为00,a P x y b⎛⎫' ⎪⎝⎭；②直线斜率k 变为a k k b '=，对应直线的斜率比不变；③图形面积S 变为aS S b'=，对应图形面积比不变；④点、线、面位置不变（平行直线还是平行直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）．过椭圆2214x y +=内一点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭作一直线与椭圆相交于C 两点,A B ，则AOB 的面积的最大值为______．【答案】1【解析】【分析】根据新定义求得仿射变换后圆的方程及P '点坐标，求得A O B '''V 的面积最大值，结合定义即可求出AOB 的面积的最大值.【详解】2214x y +=，2a =，1b =，有仿射变换2x x y y =⎧⎨=''⎩，椭圆方程变换为：224x y ''+=，11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭变换为()1,1P '，如图所示：所以：222221424222A OB d d S r d d d d '''-+'=⨯-=-≤=而：2AO B AOB S S ''''=△，所以：1AOB S ≤△，即AOB 的最大面积为1．故答案为：1.四、解答题（17题10分，18-22每小题12分，共70分）17.已知数列{}n a 的前n 项和公式为2230n S n n =-：（1）求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列；（2）求n S 的最小值，并求n S 取得最小值时n 的值.【答案】（1）432n a n =-，{}n a 是等差数列（2）最小值112-，7n =【解析】【分析】（1）根据1n n n a S S -=-计算，然后验证即可；（2）结合二次函数性质求解n S 取得最小值时n 的值.【小问1详解】当1n =时，有11a S ==203028-=-.当2n ≥时，有2212302(1)30(1)n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=-----=⎣⎦432n -.又因为413228⨯-=-，所以1n =时432n a n =-也成立，因此数列的通项公式为：432n a n =-.因为14(1)32(432)4n n a a n n +-=+---=，所以{}n a 是等差数列.【小问2详解】（方法一）因为()22215225230215222n S n n n n n ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭，又因为n 是正整数，所以当7n =或8时，n S 最小，最小值是227307112⨯-⨯=-.（方法二）由432n a n =-可知数列{}n a 是递增的等差数列，而且首项1280a =-<.令0n a ≤，可得4320n -≤，解得8n ≤，而且8a =0.由此可知，7n =或8时，n S 最小，最小值是8(280)1122⨯-+=-.18.已知ABC 的三个顶点是(1,2),(1,4),(4,5)A B C -．（1）求AB 边的高所在直线的方程；（2）若直线l 过点C ，且点A ，B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程．【答案】（1）1y x =+（2）9y x =-+或132y x =+【解析】【分析】（1）根据点斜式求得AB 边的高所在直线的方程.（2）对l 是否与直线AB 平行进行分类讨论，由点斜式或斜截式求得直线l 的方程.【小问1详解】直线AB 的斜率为42111-=---，所以AB 边的高所在直线的斜率为1，所以AB 边的高所在直线的方程为()514,1y x y x -=⨯-=+.【小问2详解】直线AB 的斜率为1-，若直线l 与直线AB 平行，则直线l 的方程为()54,9y x y x -=--=-+.线段AB 的中点坐标为()0,3，若直线l 过()0,3，则直线l 的方程为5313,3402y x y x -=+=+-.19.已知圆O ：224x y +=及点()4,0M ，动点P 在圆O 上运动，线段MP 的中点为Q ．（1）求点Q 的轨迹方程；（2）过点3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭作直线l 与Q 的轨迹交于A ，B两点，满足AB =l 的方程．【答案】（1）()2221x y -+=（2）32x =或1577816y x =-【解析】【分析】（1）解法1：设()00,P x y ，(),Q x y ，由中点坐标公式可得00242x x y y =-⎧⎨=⎩，再将点P 代入圆O 的方程即可得出答案；解法2：设线段OM 的中点为N ，连接NQ ，由题意可得点Q 的轨迹为以N 为圆心，1为半径的圆，即可得出答案.（2）讨论直线斜率存在或不存在，设出直线方程，设圆心Q 到直线l 的距离为d，由AB =入求解即可得出答案.【小问1详解】解法1：设()00,P x y ，(),Q x y ，由中点坐标公式可得：00242x x y y =+⎧⎨=⎩解得：00242x x y y=-⎧⎨=⎩由于点P 在圆O ：224x y +=上，所以：22004x y +=，代入可得：()()222424x y -+=化简可得点Q 的轨迹方程为：()2221x y -+=．解法2：设线段OM 的中点为N ，连接NQ ，∵Q 为MP 的中点，∴112NQ OP ==，∴点Q 的轨迹为以N 为圆心，1为半径的圆，则点Q 的轨迹方程为：()2221x y -+=．【小问2详解】当k 不存在时，直线l 的方程为32x =．此时圆心Q 到直线l 的距离为31222d =-=所以：AB ===满足条件．当k 存在时，直线l 的方程为322y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，设圆心Q 到直线l 的距离为d ，则AB ===12d =而Q 到直线l的距离为12d ===，解得：158k =此时直线l 方程为：1531577282816y x x ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭．综上：满足条件的直线l 的方程为：32x =或1577816y x =-，20.已知平面内一动点()(),0P x y x ≥到点()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()2,0Q 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点M 使得AMQ BMQ ∠=∠？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()240y x x =≥（2）存在，()2,0M -【解析】【分析】（1）由动点P 到点()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1，可得点P 到F 的距离等于P 到直线=1x -的距离，从而可得点P 的轨迹为以()1,0F 为焦点的抛物线，即可求得轨迹C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),0M t ，直线:2l x my =+，代入24y x =可得2480y my --=，由根与系数的关系可得124y y m +=，128y y =-，由AMQ BMQ ∠=∠，可得AM BM k k =，计算可求得t 的值，即可得结论．【小问1详解】动点()(),0P x y x ≥到定点()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1，又0x ≥ ，P 到F 的距离等于P 到直线=1x -的距离，∴动点P 的轨迹为以()1,0F 为焦点的抛物线，∴轨迹C 的方程()240y x x =≥；【小问2详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，(),0M t ，直线l 过点()2,0Q ，∴设直线l 方程：2x my =+，代入24y x =，可得2480y my --=，显然216320m ∆=+>，则124y y m +=，128y y =-，AMQ BMQ∠=∠∴AM BMk k =∴()()21120y x t y x t -+-=∴()()2112220y my t y my t +-++-=得()()1212220my y t y y +-+=又 124y y m +=，128y y =-()()28240m t m ∴-+-⨯= 得()20m t --=2t ∴=-，即()2,0M -.故在x 轴上存在点()2,0M -使得AMQ BMQ∠=∠21.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，O 为边AD 的中点，AB =，PA PD ==PB =（1）证明：PD OB ⊥；（2）试判断线段PC 上是否存在点M 使得二面角M OB C --的余弦值为7，若存在求出点M 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点M 在PC 的五等分点的二等分点处（靠近P ）【解析】【分析】（1）连接PO ，通过证明OB ⊥平面PAD 来证得PD OB ⊥.（2）建立空间直角坐标系，设出M 点的坐标，利用二面角M OB C --的余弦值求得M 点的位置.【小问1详解】连接PO ，因为PA PD ==PO AD ⊥，因为底面ABCD 是菱形，AB =AD =O 为边AD 的中点，所以AO =∴2PO ===，因为60BAD ∠=︒，所以22212cos 312292BO AO AB AO AB BAO =+-⋅⋅∠=+-=，因此2224913PO BO PB +=+==，即PO OB ⊥，又因为2223912OA OB AB +=+==，所以AD OB ⊥，又AD PO O = ，AD ⊂平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，所以OB ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，所以OB PD ⊥，即PD OB ⊥.【小问2详解】由（1）知OA ，OB ，OP 两两垂直，故以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴建立如图示空间直角坐标系，则()0,0,0O ，)A ，()0,3,0B ，()002P ,,，()C -，于是()2PC =-- ，()0,0,2PO =- ，()0,3,0OB = ，令(01)PM PC λλ=<< ，则(),3,22OM PM PO PC PO λλλ=-=-=-- ，取平面OBC 的一个法向量为()0,0,1m = ，设平面OBM 的一个法向量为(),,n x y z =r ，因为00n OB n OM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以()301,0,13220y n x y z λλλ=⎧⎛⎫⎪⇒= ⎪⎨ ⎪--++-=⎪⎝⎭⎩ ，又二面角M OB C --为锐二面角且设为θ，所以cos cos ,7m n m n m n θ⋅===⨯ ，277=，2=5λ（负值舍去），故存在点M 使得二面角M OB C --的余弦值为277，此时点M 满足25PM PC =.22.如图，已知圆()221:3100F x y -+=，动圆P 过点()23,0F -且与圆1F 内切于点N ，记动圆圆心P 的轨迹为E．（1）求E 的方程；（2）过点()(),05M m m >的直线l （不与x 轴重合）与E 交于A ，B 两点，点C 与点B 关于x 轴对称，直线AC 与x 轴交于点Q ，已知点()5,0D ，试问MD DQ MD DQ -是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）2212516x y +=（2）是定值，为15.【解析】【分析】（1）设动圆圆心P 的坐标为(),x y ，动圆P 的半径为r ，根据条件可得1210PF PF +=，故动圆圆心P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，根据椭圆定义即可求出轨迹方程；（2）设直线l 的方程为,5x ky m m =+>，11(,)A x y ，22(,)B x y ，22,()C x y -，与椭圆方程联立，然后利用韦达定理求出直线AC 与x 轴交于点Q 的坐标，，直接计算MD DQ MD DQ -即可得答案.【小问1详解】设动圆圆心P 的坐标为(),x y ，动圆P 的半径为r ，则由已知2PF r =，110PF r =-，消去r 得1210PF PF +=，故动圆圆心P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，设为22221,0x y a b a b+=>>，则210a =，5a ∴=，225916b ∴=-=则E 的方程为2212516x y +=；【小问2详解】设直线l 的方程为,5x ky m m =+>，11(,)A x y ，22(,)B x y ，22,()C x y -联立221625400x ky m x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得222(1625)32164000k y kmy m +++-=，21212223216400,16251625km m y y y y k k -∴+=-=++，又直线AC 的方程为121112()y y x x y x x y +=-+-令0y =，得112111222122211221()()2()x y x y ky m y ky m ky y m y y x y y y y y y y ++++++===+++2222164003222516251625321625m km k m k k km m k -⎛⎫⋅+- ⎪++⎝⎭==-+，即25,0Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()111151255555555MD DQ m MD DQ DQ MD m m m m-∴=-=-=-=----MD DQ MD DQ -∴是定值，且为15.。

2021——2021高三上学期第二次大单元检测理科数学本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.共150分.考试时间120分钟．第一卷〔选择题 共60分〕一、选择题：本大题共12小题．每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．集合{},3M m =-,{}22730,N x x x x =++<∈Z ,如果MN ≠∅,那么m 等于A ．1-B ．2-C ．2-或1-D ．32-2．函数2log ,0()91,0xx x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，那么()31((1))log 2f f f +的值是A ．7B ． 2C ．5D ．33．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩,A B 〔如图〕，要测算,A B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得50BC m =，105,45ABC BCA ∠=∠=，就可以计算出,A B 两点的距离为A．m B．m C．mD. 2m4．设m ,n 是两条不同的直线, α,β,γ是三个不同的平面．有以下四个命题： ①假设//αβ，m α⊂，n β⊂，那么//m n ； ②假设m α⊥，//m β，那么αβ⊥； ③ 假设n α⊥，n β⊥，m α⊥，那么m β⊥；④ 假设αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，那么m β⊥．其中错误．．命题的序号是 A ．①③ B．①④ C ．②③④ D ．②③ 数学试题第1页〔共5页〕BACy x cos x =⋅的图象大致是6．函数()295y x =--的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，那么以下不可能成为该等比数列的公比的数是 A ．34B ．2C ．3D ．57.向量(3,1),(0,1),(,3),2,a b c k a b c k ===+=若与垂直则〔 〕A ．—3B ．—2C ．1D ．－18.211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值是A.3+ln2B.3ln 22+ C.4+ln2 D.7ln 22+ 9.某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆的半径为1，那么该几何体的体积为 A ．3242π-B ．243π-C ．24π-D ．242π-10．以下命题中为真命题的是 A ．假设21,0≥+≠xx x 则 B ．直线b a ,为异面直线的充要条件是直线b a ,不相交C ．“1=a 〞是“直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直〞的充要条件D ．假设命题2:R,10p x x x ∃∈-->“”，那么命题p 的否认为：“2R,10x x x ∀∈--≤〞数学试题第2页〔共5页〕{}n a 中，13213a ,a ,2a 2成等差数列，那么1113810a a a a +=+A.1-或3B.3 C12．定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的x R ∈，都有(4)()f x f x +=；②对于任意的121212,,02,()();x x R x x f x f x ∈≤<≤<且都有③函数(2)y f x =+的图象关于y 轴对称，那么以下结论中正确的选项是〔 〕A ．(4.5)(7)(6.5)f f f <<B ．(7)(4.5)(6.5)f f f <<C ．(7)(6.5)(4.5)f f f <<D ．(4.5)(6.5)(7)f f f <<第二卷〔非选择题 共90分〕二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，且直线2x cos α－2y sin α＋1＝0与圆(x －cos β)2＋(y ＋sin β)2＝1相切，那么向量a 与b 的夹角为________．22334424,39,41633881515+=⨯+=⨯+=⨯，…，观察以上等式，假设999k m n +=⨯〔m ，n ，k 均为实数〕，那么m+n －k=_______.15．设x 、y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，那么目标函数22z x y =+的最大值为 .()f x ，对x R ∀∈，满足()()()()f 1x f 1x ,f x f x -=+-=-，且()f x 在[]0,1上是增函数.以下结论正确的选项是___________.〔把所有正确结论的序号都填上〕 ①()f 00=；数学试题第3页〔共5页〕②()()f x 2f x +=-；③()f x 在[]6,4--上是增函数； ④()f x 在x 1=-处取得最小值.三、解答题：〔本大题共6小题，共74分。

山东省泰安市新泰第一中学（东校）2020-2021学年高二数学上学期期中试题一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．已知向量(,a x =2，1)-，(2,b =4，2)-，如果//a b ，那么x 等于( ) A ．1-B ．1C ．5-D ．52．直线320x my ++=的倾斜角为23π，则m =（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．抛物线22y x =的焦点坐标是（ ）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭4．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与1C M 相等的向量是（ ）A ．1122a b c -++ B ．1122a b c ++ C ．1122a b c --- D ．1122a b c --+ 5．直线():11l y k x -=-和圆2240x y x +-=的位置关系是（ ） A ．相离B ．相切或相交C ．相交D ．相切6．“13m ”是“曲线131m m +=--表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设点()4,3A -，()2,2B --，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．1k或4k ≤- B ．413k k ≥≤-或 C ．41k -≤≤D ．413k -≤≤8．已知圆221:0C x y kx y +--=和圆222:210C x y ky +--=的公共弦所在的直线恒过定点M ，且点M 在直线1mx ny +=的最小值为（ ）A ．B ． 15C D ．45 二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．经过点()4,2P -的抛物线的标准方程为（ ）A ．2y x =B ．28x y =C ．28xy D ．28y x =-10．已知1v ，2v 分别为直线1l ，2l 的方向向量（1l ，2l 不重合），1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中正确的有（ ）A ．1212//v v l l ⇔⊥B ．1212v v l l ⊥⇔⊥C ．12////n n αβ⇔D ．12//n n αβ⊥⇔11．已知曲线C 的方程为1()26k R k k+=∈--，则下列结论正确的是（ ）A ．不存在k 使得曲线C 为圆B ．当0k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为3y x =±C ．“4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要而不充分条件D ．存在实数k 使得曲线C 为双曲线，其离心率为212．如图，已知在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，点E ，F ，H 分别是AB ，1DD ，1BC 的中点，下列结论中正确的是（ ）A ．11//C D 平面CHDB ．直线EF 与1BC 所成的角为60° C ．三棱锥11—D BAC 的体积为13D ．1AC ⊥平面1BDA 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为_____________.14．已知双曲线221612x y -=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是双曲线上一点，若1260F MF ∠=，则三角形12F MF 的面积为______.15．已知圆22:(3)4C x y ++=及点(3,0)A ，Q 为圆周上一点，AQ 的垂直平分线交直线CQ 于点M ，则动点M 的轨迹方程为__________．16.有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率分别为1e，2e，点A为两曲线的一个公共点，且满足∠F1AF2＝90°，则221211e e+的值为_______．四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本题满分10分）已知向量(2,1,2)=--a，(1,1,2)b=-，(,2,2)x=c.（Ⅰ）当||22c=时，若向量ka b+与c垂直，求实数x和k的值；（Ⅱ）若向量c与向量a，b共面，求实数x的值.18．（本题满分12分）已知圆C与直线1x y+=相切于()2,1A-，且圆心在直线2y x=-上.（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.19．（本题满分12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，,,E F G分别是1,,AB CC AD的中点．（1）求异面直线1B E与BG所成角的余弦值；（2）棱CD上是否存在点T，使得//AT平面1B EF？请证明你的结论．20．（本题满分12分）已知抛物线C ：2y 2px(p 0)=>过点()M 4,42.-()1求抛物线C 的方程；()2设F 为抛物线C 的焦点，直线l ：y 2x 8=-与抛物线C 交于A ，B 两点，求FAB 的面积．21．（本题满分12分）如图，在等腰梯形PDCB 中，3PB =，1DC =，2PD BC ==，AD PB ⊥，将PAD ∆沿AD折起，使平面PAD ⊥平面ABCD .（1）若M 是侧棱PB 中点，求证：//CM 平面PAD ； （2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 22．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率6e =，短轴长为2，M 、M '是椭圆C 上、下两个顶点，N 在椭圆C 上且非顶点，直线M N '交x 轴于点P ，1A ，2A 是椭圆C 的左，右顶点，直线1A M ，2A N 交于点Q ．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线PQ与y轴平行．期中考试数学试题 参考答案1．B 2．A 3．C 4．C 5．C 6．B 7．B 8．A 9．AC 10．BC 11．BC 12．ACD 13．y x =-或11542y x =-+ 14．15． 2218y x -= 16． 217．解：(Ⅰ)因为||22c =,0x ==. 且ka b =+(21,1,22)k k k ---+.因为向量ka b +与c 垂直, 所以()0ka b c =+⋅.即260k +=.所以实数=03x k =-；(Ⅱ)因为向量c 与向量a ，b 共面,所以设c a b λμ=+（,R λμ∈）. 因为(,2,2)(2,1,2)(1,1,2)x λμ=--+-,2,2,222,x λμμλλμ=--⎧⎪=-⎨⎪=+⎩ 所以1,21,23.2x λμ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩所以实数x 的值为12-. 18.（1）圆C 的圆心在直线2y x =-上，设所求圆心坐标为(,2)a a -，又因为圆C 与直线1x y += 相切于(2,1)A -，=，化简为2210a a -+=，解得1a =，所以圆心为(1,2)-，半径r =22(1)(2)2x y -++=；（2）直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，由题意可得211k =+，解得34k =-，所以直线l 的方程为34y x =-.综上所述，则直线l 的方程为0x =或3+40x y =.19.以D 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：设正方体棱长为2a则()2,2,0B a a ，()12,2,2B a a a ，()2,,0E a a ，(),0,0G a ，()0,2,0C a ，()0,0,0D ，()0,2,F a a ，()2,0,0A a（1）设异面直线1B E 与BG 所成角为θ()10,,2B E a a =--，(),2,0BG a a =--2112cos 555B E BGa a B E BGθ⋅∴===⋅，即异面直线1B E 与BG 所成角的余弦值为：25（2）假设在棱CD 上存在点()0,,0T t ，[]0,2t a ∈，使得//AT 平面1B EF 则()10,,2B E a a =--，()2,,EF a a a =-，()2,,0AT a t =-设平面1B EF 的法向量(),,n x y z =12020B E n ay az EF n ax ay az ⎧⋅=--=∴⎨⋅=-++=⎩，令1z =，则2y =-，12x =- 1,2,12n ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭20AT n a t ∴⋅=-=，解得：2at =14DT DC ∴= ∴棱CD 上存在点T ，满足14DT DC =，使得//AT 平面1B EF20.（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>：过点(4,M -，所以(2832p -==，解得4p =，所以抛物线C 的方程为28y x =．（2）由抛物线的方程可知()2,0F ，直线:28l y x =-与x 轴交于点()4,0P ，联立直线与抛物线方程2288y x y x=-⎧⎨=⎩，消去x 可得24320y y --=， 所以128,4y y ==-，所以12112121222FAB S PF y y ∆=⨯-=⨯⨯=， 所以FAB ∆的面积为12．21.（1）在梯形PDCB 中，3PB =，1DC =，PD BC ==AD PB ⊥，2AB ∴=，1PA =，1AD =，取PA 的中点N ，连接MN 、DN ，则////MN AB CD ，且1MN CD ==， 则四边形MNDC 为平行四边形，//CM DN ∴，CM ⊄平面PAD ，DN ⊂平面PAD ，//CM ∴平面PAD ；（2）∵PA AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，面PAD 面ABCD AD =，PA ⊂面PAD ，PA ∴⊥面ABCD ，以A 为坐标原点，以AD 、AB 、AP 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系如图：则()0,0,0A ，()1,0,0D ，()0,2,0B ，()0,0,1P ，()1,1,0C ， 则()0,2,1PB =-，()0,1,0DC =，()1,0,1DP =-，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，则由00n DC y n DP x z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩，令1x =，则1z =，即()1,0,1n =，设直线PB 与平面PCD 所成的角为θ，则110sin cos ,102510n PB PB n n PBθ⋅-=<>====⨯.22.（1）由题意可得6c e a ==，22b =，又222c a b =-， 所以可得23a =，21b =，所以椭圆的方程为：2213x y +=；（2）证明：因为M ，M '是椭圆的上下两个顶点，则(0,1)M ，(0,1)M '-，设(,0)P m ，0(N x ，0)y ，设直线MN 的方程为：x ty m =+，又(0,1)M '-，故直线M N '的方程为x my m =+，令0y =，可得P x m =，11 联立2233x my mx y =+⎧⎨+=⎩，整理可得2222(3)2(3)0m y m y m +++-=， 则42244(3)(3)360m m m ∆=-+-=>， 202313m y m --⋅=+，则20233m y m -=+，由题意可得1(A 0)，2A ，0)， 所以直线1A M的方程为：13y x =+，直线2A N的方程为：y x =，联立方程：1y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即13Q Q x x +，解得Q x ===222233)333)3m m m m m m m -+⋅-+===--++，所以P Q x x m ==，所以直线//PQ y 轴．。

山东省泰安市新泰一中2019-2020学年高二上学期第二次质量检测考试数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 准线方程为的抛物线的标准方程为（）A．B．C．D．2. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．3. 在R上定义运算，若成立，则x的取值范围是 ( )A．B．C．D．4. 设等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则=（）C．17 D．5A．B．5. 设向量，，，其中为坐标原点，，若三点共线，则的最小值为（）.A．4 B．6 C．8 D．96. 如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．7. 已知点M是抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，点A在圆上，则的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．58. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆交渐近于点（在第一象限），交双曲线左支于，若是线段的中点，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．二、多选题9. 如果，那么下列不等式正确的是（）A．B．C．D．10. 已知为等差数列，其前项和为，且，则以下结论正确的是（）.A．B．最小C．D．11. 下列说法正确的有（）A．不等式的解集是B．“”是“”成立的充分条件C．命题，，则D．“”是“”的必要条件12. 已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（）A．的方程为B．的离心率为C．曲线经过的一个焦点D．直线与有两个公共点三、填空题13. 过点的等轴双曲线的标准方程为__________．14. 数列满足，，则______.15. 若中，，，，，则的值=_____．16. 在一直角坐标系中，已知，，现沿x轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为__________．四、解答题17. 已知命题关于x的不等式的解集是；命题双曲线的离心率不小于．若命题p和q都是真命题，求实数a 的取值范围．18. 已知数列的前项和，数列为等比数列，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.19. 过抛物线的焦点F的直线交地物线于点A．B（其中点A在第一象限），交其准线l于点C，同时点F是AC的中点（1）求直线AB的倾斜角；（2）求线段AB的长．20. 如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，，AD＝CD ＝，O是AC的中点，E是BD的中点．（1）证明：DO⊥底面ABC；（2）求二面角D-AE-C的余弦值．21. 为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该公司第年需要付出的超市维护和工人工资等费用为万元，已知为等差数列，相关信息如图所示.（Ⅰ）求；（Ⅱ）该超市第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）（Ⅲ）该超市经营多少年，其年平均获利最大？最大值是多少？（年平均获利）22. 已知是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，且，是以为直径的圆，直线与相切，并且与椭圆交于不同的两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）当，且满足时，求弦长的取值范围．。

2020-2021学年山东省泰安市新泰第一中学（东校）高二上学期第二次质量检测数学试题一、单选题1．抛物线28y x =的准线方程为（ ） A ．2x =- B ．2y =- C ．132x =-D ．132y =-【答案】D【解析】试题分析：抛物线28y x =化为标准方程218x y =，则128=p ，所以准线方程为132y =-，故答案为D ． 【解析】抛物线的性质．2．已知向量(2,0,1)n =为平面α的法向量，点(1,2,1)A -在α内，则点(1,2,2)P 到平面α的距离为（ ）A B C ．D 【答案】B【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可 【详解】因为(1,2,1)A -，(1,2,2)P 所以(2,0,1)PA =--，因为平面α的法向量(2,0,1)n =，所以点P 到平面α的距离||||PA n d n ⋅===故选：B【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题3．若直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，则k ，b 的值分别为（ ）A ．12k =-，4b =- B ．12k =，4b = C ．12k =，4b =- D ．4k =，3b =【答案】C【分析】由圆的对称性可得20x y b ++=过圆的圆心且直线y kx =与直线20x y b ++=垂直，从而可求出,k b .【详解】因为直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，故直线y kx =与直线20x y b ++=垂直， 且直线20x y b ++=过圆心()2,0， 所以()21k ⨯-=-，2200b ⨯++=， 所以12k =，4b =-. 故选：C.【点睛】关键点睛：根据圆的对称性来探求两条直线的位置关系以及它们满足的某些性质是解题的关键.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51 B ．57C ．54D ．72【答案】B【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a +=1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯=故选：B5．经过点P (2，－2)且与双曲线C ：2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程是( )A ．22142x y -=B ．22124y x -=C ．22124x y -=D ．22142-=y x【答案】B【分析】设所求的双曲线方程是22x -y 2=k ，由点P （2，﹣2）在双曲线方程上，求出k值，即得所求的双曲线方程．【详解】由题意知，可设所求的双曲线方程是22x -y 2=k ，∵点P （2，﹣2）在双曲线方程上，所以222--22（）=k ，∴k=﹣2， 故所求的双曲线方程是22124y x -=，故选B ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，解题的关键是根据渐近线方程相同设所求的双曲线方程是22x -y 2=k ，属于基础题．6．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ） A ．4 B ．－4 C ．±4 D ．不确定【答案】A【分析】根据等比中项的性质有216x =，而由等比通项公式知2x q =，即可求得x 的值.【详解】由题意知：216x =，且若令公比为q 时有20x q =>，∴4x =， 故选：A7．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（ ）A ．104B ．64C ．105D ．155【答案】C【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值.【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥， 所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =. 如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ， 则()3,0,0CB =，()0,4,2CP =，()13,0,3BC =-. 设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =，则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量. 设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ，则(111sin cos ,5n BC n BC n BC θ⋅=<>===⋅-. 故选：C.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角； （2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅（其中AB 为平面α的斜线，n 为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.8．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.则下列埃及分数113⨯，135⨯，157⨯，…，120192021⨯的和是（ ）A ．20202021 B ．10102021 C ．10092019D ．20182019【答案】B【分析】根据裂项相消法即可求和. 【详解】因为()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭111113355720192021∴++++⨯⨯⨯⨯11111111123355720192021⎛⎫=-+-+-+⋯+- ⎪⎝⎭ 11122021⎛⎫=- ⎪⎝⎭10102021=， 故选：B二、多选题9．设几何体1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体，1A C 与1B D 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A ．211A B AC a ⋅= B ．212AB AC a ⋅= C ．21CD AB a ⋅=- D ．2112AB AO a ⋅= 【答案】ACD【分析】建立空间直角坐标系，找出各坐标，根据向量数量积的坐标求法逐项判断即可．【详解】如图，建立空间直角坐标系，则(,0,0)A a ，(,,0)B a a ，(0,,0)C a ，(0,0,0)D ，1(,0,)A a a ，1(,,)B a a a ，,,222a a a O ⎛⎫⎪⎝⎭，∴11(0,,0)A B a =，(,,0)AC a a =-，(0,,0)AB a =，1(,,)AC a a a =--，()0,,0CD a =-，1(0,,)AB a a =，1,,222a a a A O ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．∴211A B AC a ⋅=，A 对；21AC AB a ⋅=，B 错；12CD A a B ⋅=-，C 对；2112AB AO a ⋅=，对． 故选：ACD.【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中根据几何体的结构特征建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N )的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>0【答案】AC【分析】由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案【详解】解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误， 所以110105610()5()02a a S a a +==+>，11111611()1102a a S a +==<， 所以C 正确，D 错误， 故选：AC11．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=.若直线()1y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取可以是() A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】AB【分析】先得到P 的轨迹方程为圆，与直线()1y k x =+有交点，得到k 的范围，得到答案.【详解】222240(2)4x y x x y +-=∴-+=P 所作的圆的两条切线相互垂直，所以P ，圆点C ，两切点构成正方形=PC 即22(2)8x y -+=P 在直线()1y k x =+上，圆心距d =≤计算得到k -≤≤ 故答案选AB【点睛】本题考查了圆的切线问题，通过切线垂直得到P 的轨迹方程是解题的关键.12．过点(03)P ，的直线l 与圆C ：22(2)(3)4-+-=x y 交于A 、B 两点，当30CAB ∠=时，直线l 的斜率为（ ）A．B．-C．3D【答案】BC【分析】由题意得圆心角120ACB ∠=，得圆心(2,3)C 到直线l 的距离为1，直线l 的斜率存在，设方程为3y kx =+，由圆心到直线的距离可求得k ． 【详解】由题意得120ACB ∠=，则圆心(2,3)C 到直线l 的距离为1，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，此时直线l 与圆相切，不合题意，舍去，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+，1==，解得k =， 故选：BC.三、填空题13．坐标平面内过点(2,1)A -，且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为___________. 【答案】12y x =-或1y x =--. 【分析】按照截距是否为0分两种情况讨论，可求得结果.【详解】当直线l 在在两坐标轴上截距相等且为0时，直线l 的方程为12y x =-； 当直线l 在在两坐标轴上截距相等且不为0时，设直线l 的方程为1x ya a+=， 又直线l 过点(2,1)A -，则211a a-+=，解得1a =-，所以直线l 的方程为1y x =--； 所以直线l 的方程为12y x =-或1y x =--. 故答案为：12y x =-或1y x =--. 【点睛】易错点睛：本题考查了直线方程的截距式，但要注意：截距式1x ya b+=，只适用于不过原点或不垂直于x 轴、y 轴的直线，表示与x 轴、y 轴相交，且x 轴截距为a ，y 轴截距为b 的直线，考查学生分类讨论思想，属于基础题. 14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，2(1)n n S a =+，则4a =_____． 【答案】-16【分析】根据递推公式，求得12n n a a -=，再根据条件式子可求得1a ，进而求得数列{}n a 的通项公式，即可得4a 的值． 【详解】由()21n n S a =+ 得()1121n n S a --=+ 两式相减得122n n n a a a -=-， 化简可知12n n a a -=，即12nn a a -= 由题意可知()1121a a =+，解得12a =-所以数列{}n a 的通项公式为122n n a -=-⨯所以342216a =-⨯=-.【点睛】本题考查了递推公式的应用，等比数列通项公式的求法，特殊项的求值，属于基础题．15．已知点F 为抛物线28y x =-的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且||4AF =，则||||PA PO +的最小值为_______________【答案】【分析】首先确定准线方程，然后结合对称性求解PA PO +的最小值即可. 【详解】()28,2,0y x F =-∴-，准线方程为2x =，设(),A A A x y ，则24A x -+=，即2A x =-，代入28y x =-，得216y =，不妨取4A y =，即()2,4A -，设A 关于准线2x =的对称点为()','Q x y ，可得()6,4Q ，故PA PO OQ +≥== 即PA PO +的最小值为故答案为【点睛】本题主要考查抛物线中的最值问题，对称转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．如图，1F 、2F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A 、B 分别是1C 、2C 在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是________．【答案】62【分析】先由椭圆方程，求出半焦距为3c =2122AF AF -=，利用双曲线的定义，以及离心率计算公式，即可求出结果.【详解】由椭圆方程，可得半焦距为413c =-，因为四边形12AF BF 是矩形，所以22221(2)12AF AF c +==； 由A 在椭圆上，根据椭圆定义可得，214AF AF +=， 则()()22222212121221248AF AF AF AF AF AF -=+-+=⨯-=，所以2122AF AF -=，设双曲线2C 的实轴长为2m ，则222m =2m =，所以其离心率为362c e m ===． 6【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据椭圆定义，以及题中条件，求出2122AF AF -=，根据双曲线的定义，求出其实轴长，再根据两曲线共焦点，即可求解.四、解答题17．已知平面内两点()1,2A -，()1,4B .（1）求过点()2,3P -且与直线AB 平行的直线l 的方程；（2）一束光线从B 点射向（1）中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在的直线方程.【答案】（1）50x y --=；（2）3570x y +-=.【分析】（1）本题首先可求出AB k ，然后根据直线l 过点()2,3P -且与直线AB 平行即可求出直线l 的方程；（2）本题可求出()1,4B 关于直线l 的对称点B '的坐标，然后求出B A k '的值，最后根据直线的点斜式方程即可得出结果.【详解】（1）因为()1,2A -，()1,4B ，所以42111AB k ，因为直线l 过点()2,3P -且与直线AB 平行， 所以直线l 方程为()312y x +=⨯-，即50x y --=. （2）设()1,4B 关于直线l 的对称点为(),B m n '，则411145022n m m n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩，解得94m n =⎧⎨=-⎩，()9,4B '-，因为()1,2A -，所以()423915B A k '--==---，则反射光线所在的直线方程为()3215y x -=-+，即3570x y +-=. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据两直线平行求直线方程以及求反射光线所在的直线方程，若两直线平行，则这两直线的斜率相等，考查点关于直线的对称点的求法，考查计算能力，是中档题.18．张先生2018年年底购买了一辆1.6L 排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中）的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了 2亩荒山用于植树造林.科学研究表明：轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳.（1）若张先生第一年（即2019年）会用车1.2万公里，以后逐年增加1000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？（2）若种植的林木第一年（即2019年）生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量（参考数据：141.1 3.7975≈，151.1 4.1772≈，161.1 4.5950≈）? 【答案】（1）55吨；（2）15年【分析】（1）分析出小轿车排出的二氧化碳的吨数构成等差数列，利用等差数列求和公式求和即可；（2）分析出林木吸收二氧化碳的吨数构成等比数列，根据题意利用等比数列求和公式列出不等式，再利用参考数据求出n 的范围即可得解.【详解】（1）设第n 年小轿车排出的二氧化碳的吨数为()*n a n N ∈，则11200043000a ==，2130001330003a ==，3140001430003a ==，…， 显然其构成首项为14a =，公差为2113d a a =-=的等差数列，记其前n 项和为n S ，则1010911045523S ⨯=⨯+⨯=， 所以该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨. （2）记第n 年林木吸收二氧化碳的吨数为()*n b n N∈，则11 1.8b =⨯，21(110%) 1.8b =⨯+⨯，231(110%) 1.8b =⨯+⨯，…，显然其构成首项为1 1.8b =，公比为 1.1q =的等比数列， 记其前n 项和为n T ，由题意，有()()1.81 1.118 1.11551 1.1n nn T ⨯-==⨯-≥-，解得15n ≥.所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量.【点睛】本题考查数列的应用、等差数列求和公式、等比数列求和公式，属于基础题. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90ADC ∠=︒，PA PD ⊥，PA PD =.（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若1BC =，2AD CD ==，求二面角A PC B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（215. 【分析】（1）由面面垂直的性质得CD ⊥平面PAD ，从而得CD PA ⊥，再由PA PD ⊥即可得出PA ⊥平面PCD ，即得证；（2）取AD 中点O ，连接OP ，OB ，以OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求出.【详解】（1）证明：在四棱锥P ABCD -中， 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，又因为CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD .因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥. 因为PA PD ⊥，CD PD D =，CD ，PD ⊂平面PCD ，所以PA ⊥平面PCD . 因为PA ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PCD .（2）解：取AD 中点O ，连接OP ，OB ， 因为PA PD =，所以.PO AD ⊥ 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =， 因为PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 所以PO OA ⊥，PO OB ⊥.因为CD AD ⊥，//BC AD ，2AD BC =， 所以//BC OD ，BC OD = 所以四边形OBCD 是平行四边形，所以//OB CD ，所以OB AD ⊥.以OA ，OB ，OP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,0O，()1,0,0A ，()0,2,0B ，()1,2,0C -，()0,0,1P ，所以()2,2,0AC =-，()1,0,1AP =-，()1,0,0BC =-，()0,2,1BP =- 设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =， 则00AC n AP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则()1,1,1n =.设平面BPC 的法向量为(),,m a b c =，则00BC m BP m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020a b c =⎧⎨-+=⎩，令1b =，则()0,1,2m =.所以15cos ,5||||m n m n m n ⋅〈〉==⋅. 易判断二面角A PC B --为锐角， 所以二面角A PC B --的余弦值为155. 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 20．已知数列{}n a 满足：1a =1，11(2)n n n a a n n++=+. （1）求证：数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设n n c a n =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析；（2）1(1)22n n T n +=-+.【分析】（1）根据递推公式，构造等比数列的定义，证明数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2） 由（1）可知2nn n c a n n =+=⋅，利用错位相减法求和. 【详解】（1）设1nn a b n =+，则1111n n a b n ++=++， ∴112112()1211n n n n n nn n a a n b a n n n a a b a n n n+++++++====+++ ∵1112b a =+=，∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，即数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列（2）由（1）得，1222n n n b -=⨯=，即12n na n+= ∴2nn n c a n n =+=⋅.∴1231122232...(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+∴23412122232...(1)22nn n T n n +=⨯+⨯+⨯++-+两式相减得231222 (22)n n n T n +-=++++-⋅∴1(1)22n n T n +=-+.【点睛】方法点睛：本题考查已知数列求通项公式，和错位相减法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.21．已知直线20x y -+=和圆22:8120C x y x +-+=，过直线上的一点()00,P x y 作两条直线PA ，PB 与圆C 相切于A ，B 两点.（1）当P 点坐标为()2,4时，求以PC 为直径的圆的方程，并求直线AB 的方程； （2）设切线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，且127k k ⋅=-时，求点P 的坐标. 【答案】（1）圆的方程为()()22325x y -+-=，直线AB 的方程为220x y --=；（2）()3,5或711,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【分析】（1）求出圆心即PC 中点坐标，和半径可得圆方程，与已知圆方程相减可得直线AB 方程；（2）设过P 的直线l 方程，整理得到：含k 的方程，进而利用韦达定理，求出点P 的坐标【详解】解：（1）圆22:8120C x y x +-+=，可化为22(4)4x y -+=，PC 中点为()3,2，25PC =∴以PC 为直径的圆的方程为圆()()22:325E x y -+-=， ∵PA AC ⊥，PB BC ⊥， ∴P ，A ，B ，C 四点共圆E ，∴直线AB 的方程是两圆公共弦所在直线方程， 两方程相减可得直线AB 的方程为220x y --=； （2）设过P 的直线l 方程为()00y y k x x -=-，由于C 与直线l 相切，得到00221d k ==+，整理得到：()()2220000442440k x y x k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦，∴20122047(4)4y k k x -⋅==--- 002y x =+，代入，可得200213210x x -+=，∴03x =或72，∴点P 坐标()3,5或711,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：设过P 的直线l 方程，由于C 与直线l 相切，得到00221d k ==+，进而得到方程()()22200020442444k x y x k y k ⎡⎤--+-+=+⎣⎦，最后利用韦达定理求出点P 坐标，属于中档题22．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线MA ，MB 分别与抛物线C 相切于点A ，B .（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k ⋅为定值； （3）求AB 的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析；（3）4.【分析】（1）由椭圆的方程可得右焦点的坐标，由题意可得抛物线的焦点坐标，进而可得抛物线的方程；（2）可设M 的坐标，设过点(1,)M t -的直线方程为(1)y k x t =++，与抛物线方程24y x =联立，消去x 得：24440ky y k t -++=，利用判别式等于零可得结论；（3）设A ，B 的坐标，由（2）可得参数t ，k 的关系，代入过M 的切线方程与抛物线的方程中，可得A ，B 用参数1k ，2k 表示的坐标，代入弦长公式中求||AB 的表达式，由参数的范围求出||AB 的最小值．【详解】（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为(1,0)∴抛物线的焦点为(1,0)F ，2p ∴=，所以抛物线的标准方程：24y x =． （2）抛物线C 的准线方程为1x =-． 设(1,)M t -，设过点(1,)M t -的直线方程为(1)y k x t =++，与抛物线方程24y x =联立，消去x 得：24440ky y k t -++=．其判别式△1616()k k t =-+，令△0=，得：210k kt +-=． 由韦达定理知12k k t +=-，121k k =-， 故121k k =-（定值）．（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由210k kt +-=，得21k t k-=，故2222214244444440k ky y k t ky y k ky y k y k k k -⎛⎫-++=-++⨯=-+=-= ⎪⎝⎭， 所以2y k =，代入抛物线方程得21x k=， 所以211(A k ，12)k ，221(B k ，22)k ，||AB ==因为121k k =-，12k k t +=-，所以12|||AB k k -2212124()4t k k k k =++-2244t t =++ 244t =+，当且仅当0t =时取等号． 当且仅时取等号． 故||AB 的最小值为4．【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式2121l k x =+-；（2）利用12211l y k=+-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.。