解决三次函数问题的几种方法..

下面几种方法仅供参考1、可以用待定系数法来解决.根据高等数学中的理论，任何一个高次多项式，都可以分解为若干个一次因式和判别式(B^2-4ac〈0）的二次因式的乘积。

所以你假设原始可以分解为（ax+b）(cx+d)(ex^2+fx+g）然后把这个式子展开，和你要分解的那个原式用对应系数相等的法则来求解出常数a，b,c,d,e，f，g 的值就可以了。

2、试根法例如x^3—5x^2+17x—13看看x等于什么可以使他等于0显然x=1可以所以有一个因式是x-1所以x^3-5x^2+17x-13=x^3-x^2-4x^2+4x+13x—13=x^2(x—1）—4x（x-1）+13（x-1）=（x-1）（x^2—4x+13)3一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。

归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^（1/3）+B^（1/3）型，即为两个开立方之和。

归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容,也就是用p和q表示A和B。

方法如下:（1）将x=A^（1/3）+B^（1/3）两边同时立方可以得到（2)x^3=（A+B）+3(AB）^（1/3）（A^(1/3)+B^（1/3））（3）由于x=A^(1/3）+B^(1/3），所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB）^（1/3）x，移项可得（4）x^3－3(AB）^(1/3）x－(A+B）＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知（5)－3(AB）^（1/3）＝p，－（A+B)=q，化简得(6）A+B＝－q，AB＝—（p/3）^3（7)这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而（6）则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理,即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1＊y2=c/a(9）对比（6）和(8)，可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3)^3＝c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2））/(2a)y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2））/(2a)可化为（11）y1＝－(b/2a）—（(b/2a)^2-(c/a）)^（1/2)y2＝－(b/2a)+（（b/2a)^2—(c/a））^（1/2)将（9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-(p/3)^3＝c/a代入（11）可得（12）A＝－(q/2）-(（q/2)^2＋(p/3）^3)^(1/2)B＝－（q/2)+（(q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2）（13)将A，B代入x=A^（1/3)+B^（1/3)得(14）x=（－（q/2)—（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2)）^（1/3)+（－（q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^（1/3）式（14）只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根,另两个根就容易求出了。

三次函数对称轴三次函数是指具有三次方项的多项式函数，其一般形式可以表示为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中 a、b、c、d 是常数且a ≠ 0。

对于三次函数，一个重要的特性是它的对称轴。

对称轴是指将函数图像分为两部分并且两部分是镜像对称的一条直线。

本文将探讨三次函数对称轴的性质和确定方法。

一、三次函数对称轴的性质三次函数的对称轴具有以下性质：1. 对称轴与 x 轴平行：三次函数的对称轴与 x 轴平行，这意味着对称轴的斜率为零。

从几何意义上理解，对称轴是函数图像左右对称的直线，因此与 x 轴平行。

2. 在对称轴上对称：对于三次函数，对称轴上的一点和它关于对称轴对称的点的纵坐标相等。

这是对称轴的定义，也是三次函数图像的基本性质。

3. 确定函数图像的形状：对称轴是确定三次函数图像形状的关键特征之一。

在对称轴上的点对称地分布在函数图像的两侧，因此对于左右对称的三次函数，对称轴将函数图像分为镜像对称的部分。

二、确定三次函数对称轴的方法确定三次函数的对称轴的方法如下：1. 利用函数的一般形式：对于一般形式为 f(x) = ax^3 + bx^2 +cx + d 的三次函数，可以通过观察系数 b 和 c 的关系来确定对称轴。

如果 b = 0，则对称轴为竖直线 x = 0；如果 c = 0，则对称轴为竖直线 x = -b/3a；如果b ≠ 0 且c ≠ 0，则对称轴为竖直线 x = -b/3a。

2. 利用函数图像的性质：三次函数的对称轴可以通过观察函数图像的形状来确定。

首先绘制函数的图像，然后观察图像左右对称的部分。

对称轴将图像分为两份，并且两份是镜像对称的。

找到对称轴上的一点，并确定其关于对称轴的对称点，连接这两点就是对称轴。

三、实例分析接下来通过实例分析来具体说明三次函数对称轴的确定方法。

例1：考虑三次函数 f(x) = 2x^3 - 4x^2 - x + 3。

首先观察系数，这里 a = 2，b = -4，c = -1。

(简易版)三次函数的解题技巧三次函数是一种具有三次方程（三次多项式）形式的函数。

在解题时，我们可以使用以下技巧，以便更有效地求解三次函数的问题。

1. 寻找零点为了找到三次函数的解，我们需要找到函数的零点，即函数取值为零的点。

有几种方法可以帮助我们确定零点。

a. 因式分解如果三次函数可以进行因式分解，我们可以通过将函数表达式分解为一次、二次和一次多项式相乘的形式来找到零点。

通过令每个因式为零，我们可以解出方程并确定零点。

b. 二次函数技巧有时，三次函数可以通过将其转化为二次函数来解决。

这可以通过使用代换来实现，其中我们将一个新的变量代入三次函数中，使其变为二次函数。

解出二次函数后，我们可以获得原始问题的解。

c. 图像分析绘制函数的图像可以提供关于零点位置的有用信息。

通过观察图像，我们可以估计零点的大致位置，并使用数值方法进一步精确地确定它们。

2. 使用因式定理因式定理是一种能够找到多项式的因式的方法。

对于三次函数，我们可以使用因式定理找到其可能的因式，并进一步推导出零点。

通过将候选因式代入函数，我们可以测试其是否为零点，并进一步确定函数的解。

3. 使用综合定理综合定理是一种将函数的根与系数之间的关系联系起来的方法。

对于三次函数，我们可以使用综合定理来计算可能的根，并通过验证是否满足定理中的条件来确定它们是否是零点。

4. 数值解法如果以上方法无法找到解或求解过于复杂，我们可以使用数值解法来近似求解三次函数的根。

常见的数值解法包括二分法、牛顿法和二次插值法等。

这些方法可以利用计算机和计算工具进行计算，并给出函数的近似解。

以上是解决三次函数问题的一些简易技巧。

根据具体问题的不同，我们可以选择适合的方法来求解三次函数的根。

在解题过程中，我们可以结合使用不同的方法，以便更有效地解决问题。

参考资料：。

三次型函数切线问题的求解策略三次函数频频出现在高考试卷中,成为高考试卷的一大亮点.其中三次函数的切线问题是高频考点，通常结合三次函数的零点问题考查.三次型函数最值问题是竞赛和自主招生的难点，有一定的思考力.三次型函数的切线问题（一）一、三次函数的概念：形如()320y ax bx cx d a =+++≠的函数，称之为三次函数. 二、三次函数的图象特征和零点分布：对于三次函数()32()0f x ax bx cx d a =+++≠，其导函数为二次函数()2()320f x ax bx c a '=++≠，()f x '的判别式()243b ac ∆=-.现以0a >为例，（1）若032≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数，)(x f 在R 上无极值； （2）若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中aacb b x a ac b b x 33,332221-+-=---=.)(x f 在R 上有两个极值，且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值.综上可得，当三次函数存在极值时，其图象、零点、极值的关系：问题一：过三次函数极值点的切线例1（2016年天津卷）设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中,.a b R ∈ 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=. 策略一：验证1032x x =-，即验证()()1032f x f x =-.()32200000001(32)(22)3(1)(32)(1)21()()f x x x x b x x b f x f x -=-----=----== 根据函数()f x 的单调性直接推出结论.本策略不具有一般性，能否寻求解决这类问题的一般性思路呢？策略二：直接求零点33010011()()[(1)][(1)]f x f x x ax b x ax b -=------- 330101(1)(1)()x x a x x =-----22010011()[(1)(1)(1)(1)]x x x x x x a =--+--+--2220100110()[(1)(1)(1)(1)3(1)]x x x x x x x =--+--+--- 22010011()[2(1)(1)(1)(1)]x x x x x x =---+--+- 20101()[2(1)(1)]x x x x =-----20101()(23)0x x x x =---+=（*）又01x x ≠，故1023x x +=.我们可以关注到策略二可以推广到一般情形，利用三次函数在极值点处的切线列出等式，（*）式的一般形式含有因式()20x x -，从而迅速求出另外一个交点横坐标.其一般形式如下：若0x 为三次函数32()f x ax bx cx d =+++的极值点，过00(,())x f x 的直线y k =与三次函数()f x 交于点11(,())x f x ，则研究函数()()g x f x k =-的零点问题可以利用201()()()g x a x x x x =--.例2（2012年江苏卷）若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点.已知,a b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点.设()(())h x f f x c =-，其中[]2,2c ∈-，求函数()y h x =的零点个数.思路分析：本题本质上是研究由三次函数复合的函数零点问题，可先从“形”入手，直接将c 的取值分为2c =和2c <两类.我们以2c =为例，直线2y =为过极值点1x =的切线，则32()232(1)(2)y f t t t t t =-=--=--，迅速求得另一交点横坐标为2.为零点的讨论带来极大的方便.解：易得==3a b -0，.令()=f x t ，则()()h x f t c =-. 先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈- 当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为1和一2 ，注意到()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为一和 2.当2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，(1)=(2)=20f d f d d <----- ，∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根.由（1）知()()()=311f'x x x +-.① 当()2x ∈+∞，时，()0f'x > ，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f . 此时()=f x d 在()2+∞，无实根. ② 当()12x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数.又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根.同理，()=f x d 在（一2 ，一1）内有唯一实根. ③ 当()11x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数.又∵(1)0f d >--， (1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根.因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，； 当2d < 时，()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x <i ，. 现考虑函数()y h x =的零点：（i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，. 而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个零点.（ⅱ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足2 =3, 4, 5i t <i ，. 而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点.综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9个零点. 拓展研究：当2c <-或2c >时，函数()y h x =的零点个数情形如下：当2(1)c f >=-时，方程()f t c =有且仅有一个大于2的实根，故()y h x =有且仅有一个零点；同理，当2c <-时，()y h x =有且仅有一个零点.提示：解决复合函数零点问题需要强化数形结合基本数学思想. 练习：设函数32()3f x x x bx c =-++的图象如图所示，且与直线y =0在原点处相切.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）设1m >，如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象 的三条切线，求证：13()m n f m -<<.解：（1）由图可知，函数的图象经过（0，0）点，∴0c =，又图象与x 轴相切于（0，0）点，2'()36f x x x b =-+，由'(0)0f =得b =0，32()3f x x x ∴=-.（2）由（1）可知2()36f x x x '=-，设函数在点(,())t f t 处的切线方程为232(36)()(3)y t t x t t t =--+-. 若切线过点(,)m n ，则存在实数t ，使232(36)()(3)n t t m t t t =--+-， 即322(33)60t m t mt n -+++=.令()g t =322(33)6t m t mt n -+++，则2()66(1)66()(1)g t t m t m t m t '=-++=--.1,m >∴Q 当1t <或t m >时，()0g t '>； 当1t m <<时，()0g t '<.()g t ∴在1t =时取得极大值(1)31g m n =+-，在t m =时取得极小值()()g m n f m =-.如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象的三条切线， 则方程322(33)60t m t mt n -+++=有三个相异的实数根， (1)310()()0g m n g m n f m =+->⎧∴⎨=-<⎩， ∴13()m n f m -<<. 三次型函数的切线问题（二）问题二：过三次函数图象上任一点的切线设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切.若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线. 证明：设),(11y x P ，过点P 的切线可以分为两类：①若P 为切点，则21111'()32k f x ax bx c ==++，切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-②若P 不是切点，则过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点22(,)Q x y ，12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--=()()22212112a x x x x b x x c =+++++xyO又22222'()32k f x ax bx c ==++ (1)∴c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223即0)2)((1212=++-ab x x x x ∴a bx x 22112--=代入（1）式得 c ab bx ax k +-+=4214321212，当21k k =时，=++c bx ax 12123c ab bx ax +-+421432121 ， ∴当a bx 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线；当abx 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线，其切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-，))(42143(121211x x c ab bx ax y y -+-+=- 综上可得：过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ，…，),(n n n y x P ，…，则abx x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点n P 趋近三次函数图象的对称中心，即三次函数图象上的拐点.特别地，过三次函数图象上拐点的切线只有一条.例3(2012北京卷)已知函数23()1(0),()f x ax a g x x bx =+>=+.（1）若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； （2）当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值． 思路分析：本题容易忽视“在它们的交点(1,)c 处具有公切线”的双重性而造成条件缺失，不能列出关于,a b 的方程组，从而使题目无法求解. 简析：（1）f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，所以(1)(1)'(1)'(1)f g f g =⎧⎨=⎩，容易求得3a b ==.（2）设h (x )＝f (x )＋g (x )，∵a 2＝4b ，∴h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1.则h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2，令h ′(x )＝0，解得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.(5分)由a >0，得h (x )与h ′(x )的变化情况如下：x ⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2 －a 2 ⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6 －a 6⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞ h ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋h (x )∴函数h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2和⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a6. ①当－1≤－a2，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －a 24；②当－a 2<－1<－a6，即2<a <6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－a 2，－1上单调递减，在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1； ③当－1≥－a 6，即a ≥6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6上单调递减，在区间⎝⎛⎦⎤－a 6，－1上单调递增，又因为h ⎝⎛⎭⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0， 所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 综上所述，当a ∈(0,2]时，最大值为h (－1)＝a －a 24；当a ∈(2，＋∞)时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 问题三：过三次函数图象外一点的切线设点),(00y x P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象外则过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切. 令00()()'()()g x y f x f x x x =-+-，则（1）若,30a bx -=则过点P 恰有一条切线； （2）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -0>，则过点P 恰有一条切线；（3）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -=0，则过点P 有两条不同的切线；（4）若,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<，则过点P 有三条不同的切线.证明：设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为),)(23(11211x x c bx ax y y -++=-把点),(00y x P 代入得：02)3(2001021031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ，设.2)3(2)(000203cx d y x bx x ax b ax x g --+--+=200'()62(3)2,g x ax b ax x bx =+-- ,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=∆令'()0,g x =则.3,0ab x x x -== ①0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴只有一个交点，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以03b x a=-或,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0>时，过点P 恰有一条切线. ②0)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -=0时，过点P 有两条不同的切线. ③0)(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有三个公共点，即)(x g y =有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<时，过点P 有三条不同的切线. 例4（2014·北京卷）已知函数f (x )＝2x 3－3x .(1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论) 解：(1)略(2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)，因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)，整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0，设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”．g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．当x 变化时，g (x )与g ′(x )的变化情况如下：所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．结合图象知，当g (x )有3个不同零点时，有⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＝t ＋3>0，g （1）＝t ＋1－0，解得－3<t <－1.故当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A (－1，2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点B (2，10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点C (0，2)存在1条直线与曲线y ＝f (x )相切．练习1：已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=,在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y .若过点)2)(,2(≠m m M ,可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围.解析：设切点坐标为()00,x y ，则30003y x x =-，200()33f x x '=-Q ,∴切线的斜率为203 3.x -则()()3200003332x x m x x --=--，即32002660x x m -++=.又过(2,)(2)M m m ≠可作三条切线，故关于0x 的方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解.即函数32()266x x x m ϕ=-++有三个不同的零点. 令2'()6120x x x ϕ=-=，解得或.20m ⎧⎨-<⎩，解得62m -<<. ∴实数m 的取值范围为(6,2).-练习2：（07全国II 理22）已知函数3()f x x x =-．设0a >，若过点()a b ，可作曲线．．．．()y f x =的三条切线．．．．．，证明：()a b f a -<<. 解：（1）()f x 的导数2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()0t t a =-=，解得0t =或t a =．()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上所述，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根， 则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即()a b f a -<<．点评： （1） 本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体； （2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法；（3）在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质. 小结：三次函数图象切线条数的研究：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，设其切线的斜率为.k 与系数的关系0a >0<aa b ac k 332-=一条 一条 a b ac k 332->两条 零条 ab ac k 332-<零条两条证明：2()32f x ax bx c '=++，若0>a ，则 当abx 3-=时，min 3().3ac b f x a -'=∴当a b ac k 332-= 时，方程ab ac c bx ax 332322-=++有两个相同解，所以此时切线有且只有一条；其方程为).3(33)3(2abx a b ac a b f y +-=-- 当a b ac k 332->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=ab 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称，所以斜率为k 的切线有两条.当ab ac k 332-<时，方程k c bx ax =++232无实根，所以斜率为k 的切线不存在.同理可证，0<a 时结论成立.例5（2015天津卷）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中*,2n N n ∈≥. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =， 求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（3）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实根12x x ，，求证：21|-|21ax x n<+-.【解析】（1）由()nf x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥，下面分两种情况讨论： ①当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时， ()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. ②当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. （2）证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-由于1()n f x nxn -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.（3）证明：不妨设12x x ≤，由（2）知()()2()g x n n x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202ax x n n'=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由（2）)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111121210(')(),',''1a h x a f x x x x x x x x n==<-<-=+-，12n -=1(11)n -+≥1+11n C n -=， 故2≥11n n-=0x ，原结论成立.三次函数通常围绕以下四个点进行命题： 第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是利用函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．。

运用导数解决三次函数问题作者：陈志国来源：《理科考试研究·高中》2014年第01期三次函数及其相关的问题，近年来在各级各类考查试卷中经常出现，其中大部分题型都可利用导数法来求解.本文介绍几种常见类型的求解方法，供参考.一、三次函数的切线例1 已知函数f（x）=x3-x+2，试求过点P（1，2）的曲线y=f（x）的切线方程.解析设切点P0（x0，y0），由f ′（x）=3x2-1，则f ′（x0）=3x20-1，过点P0的方程为y-y0=f ′（x0）（x-x0），即y-（x30-x0+2）=（3x20-1）（x-x0）. 又切线过点P（1，2），则2-（x30-x0+2）=（3x20-1）（1-x0），分解因式得（x0-1）2（2x0+1）=0，解之得x0=1或x0=-12.则f ′（-12）=-14，f ′（1）=2.故所求的切线方程为y-2=-14（x-1）和y-2=2 （x-1）.二、三次函数的单调性例2 已知函数f（x）=x3-ax+b，①若f（x）在实数集R上单调递增，求a的取值范围；②若f（x）在（-1，1）上单调递减，求a的取值范围.解析f ′（x）=3x2-a.①依题意，有3x2-a>0在R上恒成立，即a三、三次函数的极值例3 已知函数f（x）=13x3+12ax2+2bx+c，若当x ∈（0，1）时，f（x）取得极大值；x ∈（1，2）时，f（x）取得极小值；求b-2a-1的取值范围.解析f ′（x）=x2+ax+2b，令f ′（x）=0，由题意知，上述方程应满足：一根在（0，1）内，另一根在（1，2）内.由y=f ′（x）的图象知f ′（0）>0，f ′（1）f ′（2）>0b>0，a+2b+1a+b+2>0.图1在aOb坐标系中作出上述区域（如图1所示）.而b-2a-1的几何意义是：过两点P （a，b）与D（1，2）的直线斜率.而P（a，b）在区域内，由a+2b+1=0，a+b+2=0得A（-3，1），由b=0，a+b+2=0得B（-2，0），由b=0，a+2b+1=0得C（-1，0）.由图知kDA四、三次方程根的判定例4 设a∈R，试讨论关于x的三次方程x3-3x2-a=0有相异实根的个数.解析将方程变形为x3-3x2=a（*），令y= f（x）=x3-3x2，则y′=3x（x-2），令y′=0得x=0或x=2.当x∈（-∞，0）时，y′>0；图2当x∈（0，2）时，y′当x∈（2，+∞）时，y′>0.故f（x）的极大值是f（0）=0，极小值是f（2）=-4.于是函数y=f（x）=x3-3x2的大致图象如图2.因为方程（*）的相异实根的个数，是y= f（x）的图象和直线y=a的交点的个数，所以相异实根个数为：（1）当a0时，有1个；（2）当a=-4或a=0时，有2个；（3）当-4五、与三次函数有关的应用题例5 某工厂生产某种产品，已知该产品月产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为P=24200-15x2，且生产x吨的成本为R=50000+200x元，问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？解析每月生产x吨时的利润为f（x）= （24200-15x2）x-（50000+200x）=-15x3+24000 x-50000（x≥0）. 由f ′（x）=-35x2+24000=0解得x1=200， x2=-200（舍去）.因f（x）在[0，+∞）内只有一个极值点x=200，且x∈（0，200）时，f ′（x） >0，x∈（200，+∞）时，f ′（x）六、与三次函数有关的不等式问题例6 已知函数f（x）=x3+ax+b定义在区间[0，1]上，且f（0）=f（1），若x1，x2∈[0，1]，求证：|f（x1）-f（x2）|解析由f（0）=f（1），得1+a+b=ba=-1，所以f（x）=x3-x+b.f ′（x）=3x2-1，令f ′（x）=3x2-1=0，得x=±33.又x∈[0，1]，而x∈（0，33）时，f ′（x） 0.所以当x=33时，f （x）有最小值f（33）=b-239.又当x=0或1时，f（x）取最大值b.故|f（x1）-f（x2）|≤[f （x）]max- [f（x）]min=239。

三次方程的解法归纳总结
三次方程是高等数学中的常见问题，解三次方程可以通过多种方法来实现。

本文将总结并归纳了解三次方程的几种常见方法。

一、牛顿法
牛顿法是一种迭代求解方程根的方法，可以用于解三次方程。

具体步骤如下：
1. 选择一个初始近似值$x_0$；
2. 根据迭代公式$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$计算下一个近似值$x_{n+1}$，直到达到精度要求；
3. 最终得到的近似值即为方程的解。

二、代换法
代换法是一种将三次方程转化为二次方程来解决的方法。

具体步骤如下：
1. 将三次方程写成标准形式$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$；
2. 通过代换$x = y - \frac{b}{3a}$将三次方程转化为形如$y^3 + py + q = 0$的二次方程；
3. 解二次方程$y^3 + py + q = 0$，得到$y$的值；
4. 将$y$的值代入$x = y - \frac{b}{3a}$中，得到$x$的值；
5. 最终得到的$x$即为方程的解。

三、公式法
对于特定形式的三次方程，我们可以使用公式来直接求解。

常见的公式包括：
1. 比尔卡诺公式：用于求解齐次三次方程，形如$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$；
2. 卡戴尔公式：用于求解非齐次三次方程，形如$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$。

根据具体的方程形式，选择相应的公式进行求解即可。

综上所述，解三次方程的方法包括牛顿法、代换法和公式法。

选择合适的方法可以更快地求解三次方程，并得到准确的解。

课题：运用导数解决三次函数问题（教案）一．教学目标引导学生归纳反思运用导数工具研究三次函数的有关问题，进一步体会导数在研究函数性质中的重要作用。

二、教学重点：运用导数工具认识三次函数图像及与其有关的切线、极值等有关问题三、教学难点：灵活解决三次函数中含参数以及与坐标轴的交点问题。

课前准备：学生阅读教材并完成本节学案四、教学过程：引例1：画一画：如何画出下面函数函数的图像133123+--=x x x y 动画演示：（几何画板） （一）想一想:三次函数与其导函数图象之间的关系a>0 a<0 f′(x )= 3ax 2+ 2bx+c 判判别式△>0 △=0 △<0 △>0 △=0 △<0 图图象f (x )=ax 3+bx 2+cx +d单单调性图图象引例2：练一练：方程x 3－6x 2+9x －10=0的实根个数是（二）探一探：三次函数图像与x 轴交点有哪几种可能性？回顾三次函数的图像情况：结论：1. 三次函数没有极值或极大值小于零或极小值大于零时图像与x 轴交点只有一个；2. 三次函数极大值等于零或极小值等于零时图像与x 轴交点有二个；3. 三次函数极大值大于零且极小值小于零时图像与x 轴交点有三个.（三）与三次函数有关问题：例1：（2009北京文）设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点))2(,2(f 处与直线8y =相切，求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）()'233f x x a =-,∵曲线()y f x =在点))2(,2(f 处与直线8y =相切，∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩ （Ⅱ）∵()()()'230f x x aa =-≠, 当0a <时，()'0f x >，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，此时函数()f x 没有极值点.当0a >时，由()'0f x x =⇒=当(,x ∈-∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当(x ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当)x ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，∴此时x =()f x的极大值点，x =()f x 的极小值点.小结1：（1） 切线问题处理（2） 单调性、极值问题例2：设函数329()62f x x x x a =-+-,若方程 f (x )=0 有且仅有一个实根，求 a 取值范围． 解：'2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--, 因为 当1x <时, '()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >; 所以 当1x =时,()f x 取极大值 5(1)2f a =-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52a >. 变式：(1）若方程 f (x )=0 有三个不同的实根，求 a 的取值范围（2）若函数y=f (x )图象与直线y =4 有三个不同的实根，求 a 的取值范围（3）设函数 g (x )=2x+b-a .若f (x )、g (x )图像只有一 个公共点，求b 的取值范围.小结2：方程根的情况与相应函数图像与x 轴交点之间的关系。

怎么解三次方程解三次方程是高中数学中的一个重要内容，也是代数学的一部分。

三次方程是指含有三次幂未知数的方程，通常的形式为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c、d为已知系数，x为未知数。

解三次方程的方法有多种，下面将介绍其中几种常用的方法。

一、因式分解法当三次方程能够被因式分解时，可以通过因式分解法来求解。

具体步骤如下：1. 对三次方程进行因式分解，将其转化为两个一次方程的乘积。

2. 令每个因式等于零，求解得到各个因式的根。

3. 将得到的根代入原方程，验证是否满足。

二、换元法换元法是一种常用的解三次方程的方法，通过变量的替换来简化方程，使其转化为一次方程或二次方程。

具体步骤如下：1. 选取一个合适的变量替换，将原方程转化为一个新的方程。

2. 通过求解新方程，得到新方程的根。

3. 将得到的根代回原方程，验证是否满足。

三、Cardano公式Cardano公式是用来解三次方程的一个公式，可以解决一般形式的三次方程。

具体步骤如下：1. 将三次方程转化为一个已知系数的形式，即将方程化为x^3 + px + q = 0。

2. 令x = u + v，将方程转化为一个关于u和v的二次方程。

3. 求解二次方程，得到u和v的值。

4. 代入x = u + v，求解x的值。

四、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值解法，可以用来求解三次方程的近似解。

具体步骤如下：1. 选取一个初始值x0，通常可以选择0或者1作为初始值。

2. 根据牛顿迭代公式进行迭代计算，直到满足精度要求为止。

以上是解三次方程的几种常用方法，每种方法都有其适用范围和优缺点。

在实际运用中，可以根据具体情况选择合适的方法来求解三次方程。

解三次方程是数学中的一个重要内容，通过学习和掌握解三次方程的方法，可以提高我们的数学思维能力和问题解决能力。

同时，解三次方程也有着广泛的应用领域，如物理、经济学等。

因此，掌握解三次方程的方法对于我们的学习和工作都具有重要意义。

高中数学三次函数的所有题型及解答总计由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f其导函数为二次函数:)0(23)(2/≠++=a c bx ax x f ，判别式为：△=)3(412422ac b ac b -=-，设0)(/=x f 的两根为1x 、2x ，结合函数草图易得： (1) 若032≤-ac b ，则0)(=x f 恰有一个实根；(2) 若032>-ac b ,且0)()(21>⋅x f x f ，则0)(=x f 恰有一个实根； (3) 若032>-ac b ,且0)()(21=⋅x f x f ，则0)(=x f 有两个不相等的实根； (4) 若032>-ac b ,且0)()(21<⋅x f x f ，则0)(=x f 有三个不相等的实根.说明:(1)(2)0)(=x f 含有一个实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴只相交一次，即)(x f 在R 上为单调函数（或两极值同号），所以032≤-ac b （或032>-ac b ，且0)()(21>⋅x f x f ）;(3)0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以032>-ac b ，且0)()(21=⋅x f x f ;(4)0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有三个公共点，即)(x f 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以032>-ac b 且0)()(21<⋅x f x f . 【例题1】：设函数13-31)(23++=x x x x f ，求函数)(x f 的单调区间。

解析：)(x f 的定义域为R ，3-2)(2x x x f +=′03-2)(2>+=′x x x f ⇒），或（∞1,-3)∞-(+∈x ,此时为)(x f 的单调递增区间； 03-2)(2<+=′x x x f ⇒-3,1)(∈x ，此时为)(x f 的单调递减区间。

三次方程的求根公式三次方程是指形如ax^3 + bx^2 + cx + d=0的方程，其中a、b、c、d是已知常数且a≠0。

求解三次方程的根有一个标准的求根公式，即Cardano公式，公式非常复杂，涉及到复数的运算，因此并不常用。

在实际计算中，一般采用不同方法进行求解，下面将介绍几种求解三次方程的常用方法。

一、求解方法一：因式分解法对于特殊的三次方程，可以通过因式分解的方式求解。

例如，对于形如x^3 + px^2 + qx + r=0的方程，如果其中的一个根已知为x=a，则根据因式定理得到该方程可以因式分解为(x-a)(x^2 + (a+p)x + (aq+r))=0。

这样，我们就将原本的一个三次方程转化为了一次方程和一个一次和二次的二次方程。

进一步求解这两个方程，就可以得到三次方程的全部根。

二、求解方法二：综合除法法对于一些特殊类型的三次方程，可以通过将其与一个已知方程相除来进行求解。

例如，对于形如x^3 + px^2 + qx + r=0的方程，如果其中已知一个根x=a，则可以将该方程与(x-a)相除，得到一个二次方程x^2 +(a+p)x + (aq+r)=0。

进一步求解这个二次方程，就可以得到三次方程的其他两个根。

三、求解方法三：代数簇和韦达定理根据代数簇和韦达定理，三次方程的三个根之间存在一定的关系。

设三次方程的三个根分别为x1、x2、x3，则韦达定理可以表述为：x1+x2+x3=-b/ax1x2+x1x3+x2x3=c/ax1x2x3=-d/a四、求解方法四：卡尔达诺公式卡尔达诺公式是解决三次方程的一个通用公式。

设一个三次方程为ax^3 + bx^2 + cx + d=0，则根据卡尔达诺公式，其解可以表示为：x=u+v-b/3a其中u、v是满足u^3 = 2v^3 - (b^2-3ac)/3a 和v^3 = (9abc-2b^3)/27a^2的一对复数解。

卡尔达诺公式的推导非常复杂，而且运算过程中会涉及到复数的运算，在实际应用中并不常用。