24.4 解直角三角形(2)

第2课时仰角、俯角问题1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点)2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点)一、情境导入在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题．二、合作探究探究点：利用仰(俯)角解决实际问题【类型一】利用仰角求高度星期天，身高均为16米的小红、小涛到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度．如图，小红站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小涛站在B处测得塔顶的仰角β为30°，他们又测出A、B两点的距离为415，假设他们的眼睛离头顶都是10c，求塔高(结果保留根号)．解析：设塔高为，利用锐角三角函数关系得出PM的长，再利用P＝tan30°，求出的值即可．解：设塔底面中心为O，塔高，MN∥AB与塔中轴线相交于点P，得到△PM、△PN是直角三角形，则－（16－01）PM＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM＝P＝－15在Rt△PN中，PPN＝tan30°，即－15－15＋415＝33，解得＝833＋894答：塔高为833＋894方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．【类型二】利用俯角求高度如图，在两建筑物之间有一旗杆EG，高15米，从A点经过旗杆顶部E点恰好看到矮建筑物的墙角点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°若旗杆底部G点为B的中点，求矮建筑物的高D解析：根据点G是B的中点，可判断EG是△AB的中位线，求出AB在Rt△AB和Rt△AFD中，利用特殊角的三角函数值分别求出B、DF，继而可求出D的长度．解：过点D作DF⊥AF于点F，∵点G是B的中点，EG∥AB，∴EG是△AB 的中位线，∴AB＝2EG＝30在Rt△AB中，∵∠AB＝30°，∴B＝AB tan∠BA＝30×33＝103在Rt△AFD中，∵AF＝B＝103，∴FD＝AF·tanβ＝103×33＝10，∴D＝AB－FD＝30－10＝20答：矮建筑物的高为20方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．【类型三】利用俯角求不可到达的两点之间的距离如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21的建筑物D的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、在同一条直线上)，则河的宽度AB约是多少(精确到01，参考数据：2≈141，3≈173)?解析：在Rt△AD中，根据已知条件求出A的值，再在Rt△BD中，根据∠EDB＝45°，求出B＝D＝21，最后根据AB＝A－B，代值计算即可．解：∵在Rt△AD中，D＝21，∠DA＝30°，∴A＝Dtan30°＝2133＝213∵在Rt△BD中，∠EDB＝45°，∴∠DB＝45°，∴B＝D＝21，∴AB＝A－B＝213－21≈153()．则河的宽度AB约是153方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．【类型四】仰角和俯角的综合某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们到与建筑物AB在同一平地且相距12的建筑物D上的处观察，测得此建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°求建筑物AB的高(精确到1，可供选用的数据：2≈14，3≈17)．解析：过点作AB的垂线E，垂足为E，根据题意可得出四边形DBE是正方形，再由BD＝12可知BE＝E＝12，由AE＝E·tan30°得出AE的长，进而可得出结论．解：过点作AB的垂线，垂足为E，∵D⊥BD，AB⊥BD，∠EB＝45°，∴四边形DBE是正方形．∵BD＝12，∴BE＝E＝12，∴AE＝E·tan30°＝12×33＝43()，∴AB＝43＋12≈19()．答：建筑物AB的高为19方法总结：本题考查的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．三、板书设计1．仰角和俯角的概念；2．利用仰角和俯角求高度；3．利用仰角和俯角求不可到达两点之间的距离；4．仰角和俯角的综合．备课时尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学过程中的每一个细节．上课前多揣摩，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率。

第24章 解直角三角形24.4解直角三角形第2课时 俯角、仰角问题学习目标：1.理解仰角、俯角的概念（重点）.2.能够解决与仰角、俯角有关的实际问题（难点）.自主学习一、新知预习当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做_______，在水平线下方的角叫做_______．合作探究一、探究过程 探究点：利用仰角、俯角解决实际问题 【问题1】 如图，为了测量山的高度AC ，在水平面B 处测得山顶A 的仰角为30°，AC ⊥BC ，从B 出发沿着BC 方向向前走1000 m ，到达D 处，又测得山顶A 的仰角为45°，求山的高度AC (结果保留根号)．【归纳总结】在解直角三角形时，若仰角、俯角不是直角三角形的内角时，应利用已知条件将它转化为直角三角形的内角，再利用直角三角形的边角关系列方程求解．【问题2】 如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB ，已知观察点C 到旗杆的距离(CE 的长度)为8m ，测得旗杆顶的仰角∠ECA 为30°，旗杆底边的俯角∠ECB 为45°，那么旗杆AB 的高度是( )A ． (82＋83)mB ．(8＋83)mC ．(82＋833)mD ．(8＋833)m 【归纳总结】解此类问题，要作好辅助线，将问题分为仰角和俯角两个问题来解直角三角形．【针对训练】1.如图,某飞机在空中A 处探测到地面的目标B,此时从飞机上看目标B 的俯角为α,若测得飞机与目标B 之间的距离AB 大约为2400米,且sinα=0.52,求飞机的飞行高度AC .2.如图,一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树10m的E处,测得树顶的仰角∠ACD=54°.已知测角器的架高CE=1.5 m,求树高AB(精确到0.1 m.参考数据：tan54°≈1.38).二、课堂小结仰角俯角问题图解在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平方向上时，叫做_____角；当视线在水平方向下时，叫做_____角当堂检测1．如图某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞机高度AC＝b（m），从飞机上看地面上挥台B的俯角为α，则飞机A到指挥台B的距离为（）A．m B．b cosαm C．m D．B sinαm第1题图第2题图2．如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点5m 的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为60°，若测角仪的高度是1.6m，则旗杆AB的高度约为（）（精确到0.1m，参考数据：＝1.73）A．8.6m B．8.7m C．10.2m D．10.3m3．为加快5G网络建设，某移动通信公司在山顶上建了一座5G信号通信塔AB，山高BE＝100米（A，B，E在同一直线上），点C与点D分别在E的两侧（C，E，D在同一直线上），BE⊥CD，CD之间的距离1000米，点D处测得通信塔顶A的仰角是30°，点C 处测得通信塔顶A的仰角是45°（如图），则通信塔AB的高度约为（精确到1米.参考数据：≈1.414，≈1.732）.A．350 B．270 C．200 D．150第3题图第4题图4．如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝米（结果保留根号）．5．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是米（结果保留根号）．6．如图，无人机A的高度为270m，从A处看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看底部C的俯角为60°，求这栋大楼的高度BC．能力提升7．某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝308米，步行道BD＝336米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°，求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．参考答案 自主学习一、新知预习仰角 俯角合作探究一、探究过程【问题1】解：在Rt △ABC 中，由tan B ＝，得BC ＝＝3AC ①， 在Rt △ACD 中，由tan ∠ADC ＝，得CD ＝＝AC ②，由①﹣②，得BD=（3-1）AC=1000m,则AC=131000 =500（+1）（m ）．即山高为500（+1）m ． 【问题2】 D【针对训练】 1. 解：由题意得∠B ＝α，∠C ＝90°．∴sinB ＝sin α≈0.52．∵sinB ＝，∴AC ＝AB •sinB ＝2400×0.52＝1248（米）． 答：飞机飞行的高度约为1248米．2. 解：由题易得四边形CEBD 是矩形，BD ＝CE ＝1.5 m .在Rt △ACD 中，CD ＝EB ＝10 m ， ∠ACD ＝54°，∵tan ∠ACE ＝，∴AD ＝CD •tan ∠ACD ≈10×1.38＝13.8 (m).∴AB ＝AD +BD ＝13.8+1.5＝15.3(m)．答：树的高度AB 约为15.3 m ．二、课堂小结仰俯当堂检测1.C2.D3.2664.（20﹣20）5. （15+15）6.解：过点A作AD⊥BC，交CB延长线于点D，由题意可知：∠DAB＝30°，∠DAC＝60°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴AB＝CB.设BD＝x m，∴AB＝2x m，∴CB＝AB＝2x m.∴CD＝BC+DB＝3x m.由题意可知CD＝270 m，∴3x＝270.∴x＝90.∴BC＝2x＝180 m.即大楼的高度为180 m.7.解：作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F.则四边形DECF为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC.在Rt △DBE中，∠DBC＝30°，∴DE＝BD＝168米，∴FC＝DE＝168米，∴AF＝AC﹣FC＝308﹣168＝140（米）.在Rt△ADF中，∵∠ADF＝45°，∴AD＝AF＝140（米）. 答：电动扶梯DA的长为140米．~。