随机振动及试验技术(第三讲)-单自由度与多自由度随机振动概述

kx H sin(t ) m x
2 令 n k , h H 则 m m 2 x x h sin(t ) n
无阻尼受迫振动微分方程的标准形式 ，二阶常系数非齐次线性微分方程。
x x1 x2
x1 A sin( n t ) 为对应齐次方程的通解 x2 b sin(t ) 为特解 h h b 2 , x sin(t ) 2 2 2 2 n n h x A sin( t ) sin(t ) 全解为 n 2 2 n ：
——初相位，决定振体运动的起始位置。
T ——周期，每振动一次所经历的时间。
2 f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T，T 。 n n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
n 1 c fn 2 2 a
n反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
则自由振动的微分方程的标准形式 ： 2
q q 0
其解为 也可以写成 有
q A sin(nt ) q C1 cos nt C2 sin nt
2 1 2 2
A C C
C1 tg C2
1
6
对于初始扰动引起的自由运动
=q 0 设 t = 0 时， q = q0 , q
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的例子

J
k
实验确定转动惯量装置
5
二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位 置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：
c a, c是与系统的物理参数有关的常数，令 a
2 n

在机械工程领域，随机振动分析还用 于研究机械设备的动态特性和稳定性 、振动噪声和疲劳寿命等。这些研究 有助于工程师更好地了解机械设备的 性能和安全性，并采取相应的措施来 提高机械设备的稳定性和可靠性。
06
随机振动的发展趋势与 展望
新材料的应用
高强度材料
随着新材料技术的不断发展，高强度、轻质材料在随机振动 领域的应用越来越广泛。这些材料能够提高结构的刚度和稳 定性，降低振动响应，从而提高结构的可靠性和安全性。
研究时变系统在随机激励下的响应特性， 包括时变系统的随机响应计算、自适应控 制和鲁棒稳定性等问题的分析。
02
随机振动分析方法
概率密度函数法
概率密度函数法是一种基于概率论的方法，用于描述随机振动信号的概率分布特性。
通过概率密度函数，可以计算随机振动信号的统计特性，如均值、方差、偏度、峰 度等。
该方法适用于分析具有复杂分布特性的随机振动信号，如非高斯、非线性、非平稳 等。
随机振动的应用领域
01
02
03
04
航空航天
飞机和航天器的起落架、机身 等部件在着陆和发射过程中的
振动。
交通运输
铁路、公路和地铁等交通工具 的减震和隔震设计，以及车辆 零部件的振动疲劳寿命分析。
土木工程
高层建筑、桥梁和隧道的抗震 设计，以及建筑结构的振动控
制。
机械工程
机械设备和精密仪器的振动隔 离和减振设计，以及振动测试
随机振动课件
目录
• 随机振动概述 • 随机振动分析方法 • 随机振动的影响因素 • 随机振动控制技术 • 随机振动在工程中的应用 • 随机振动的发展趋势与展望
01
随机振动概述
定义与特点
定义

取出质量 m 为隔离体，见图 3.6（b），则由轴向（ z 向）的平衡条件得： mz kz z 0
可以看出，运动方程与上面弯曲振动公式的形式是一样的，但 kz 的含义与弯曲振动略 有不同。弯曲振动中的 k 是垂直于杆轴线方向移动单位位移所需的力，而轴向振动中的 kz 则 为沿着轴向方向移动单位位移所需的力，对于图 3.6（a）所示的体系 kz EA / H 。
y2

1
t F ( )sin (t )d
0
解为通解 特解：
30
y

A sin(t
)

1
t
0
F (
) sin (t

)d
⑥如果杆件的刚度为 EI
，则两端刚结的杆的侧移刚度为 12EI l3
；一端铰结的杆的侧移刚度
为 3EI 。 l3
§3.1 无阻尼体系自由振动
数，由初始条件确定。
② y(t) y x,t C1sin t C2 cost
t
y(t)

y2 x,
t 2
t


2C1 cos t

2C 2
sin
t
③ eix cos x i sin x
e(r1r2 ) er1 er2
④单质点体系一般振动形式：
T

2

2 3.14 62.574
0.1(s)
例 3.3 已知一简支钢梁，如图 3.5（a）所示，跨度 l 100cm ，弹性模量 E 2.110５MPa ，
36
惯性矩 I 80cm4 ，在跨中有一重物W mg 作用，略去钢梁本身质量不计，振动 的初始条件为：初位移 y0 正好等于 s ，初速度 y0 2.81cm / s 。试求该梁的固有 圆频率 ，振幅 A 及初相 ，总位移 。

3.1.2 几个概念和定义
图 3.1 弹簧连 接 的两个物体
研究系统的振动问题时，常常把它简化成由若干个“无质量”的弹簧和“无弹性”
3-2
的质量所组成的模型，称为弹簧－质量系统（spring mass system）。如图 3.2，就是最简 单的振动系统，只包含一个弹簧 和一个质量 。
图 3.2 弹簧－质量体系
如果要取 个数字才能确定一个机械系统的位置，这个机械系统就叫做具有 个自由 度的系统。例如：在自身平面无约束地运动的一个圆盘具有三个自由度：重心的 位移 和 位移，以及绕重心的转动角。
一个系统究竟有多少个自由度，常常是很复杂的问题，这不仅取决于系统本身的结 构特性，还要根据所研究问题的性质、要求的精度以及振动的实际情况来确定。简化的 结果是否正确，还要经过实验来检验。
用一根弹簧把一个质量 悬挂在刚性天花板上。弹簧的刚度由弹性系数 表示。在质 量和刚性天花板之间有油或者空气缓冲器机构。质量静止时，缓冲器不传递力，质量运 动时，缓冲器的阻尼力与速度成正比，即 。 叫做阻尼常数或粘性阻尼常数。
在实际机械系统中所发生的阻尼常数并不按照 这个关系这样简单，而往往是非常 复杂的情况，但是使用这个关系进行分析是很简单的，因此得到大量的应用。
Contents
第 3 章 单自由度系统自由振动 ........................................................................................... 3-2 3.1 引言 .......................................................................................................................... 3-2 3.1.1 自由度 ........................................................................................................... 3-2 3.1.2 几个概念和定义 ........................................................................................... 3-2 3.2 振动微分方程的推导 .............................................................................................. 3-3 3.2.1 单自由度弹簧线振动 ................................................................................... 3-3 3.2.2 单自由度扭转系统 ....................................................................................... 3-4 3.2.3 单自由度电路的微分方程 ........................................................................... 3-5 3.2.4 直线、扭转和电路的比拟关系 ................................................................... 3-5 3.2.5 弹簧顶部运动导致的振动 ........................................................................... 3-7 3.3 单自由度无阻尼自由振动 ...................................................................................... 3-9 3.3.1 一般解 ........................................................................................................... 3-9 3.3.2 静变形法 ..................................................................................................... 3-10 3.3.3 能量法 ......................................................................................................... 3-10 3.3.4 瑞利法 ......................................................................................................... 3-12 3.3.5 等效刚度 ..................................................................................................... 3-13 3.3.6 单摆和复摆 ................................................................................................. 3-16 3.4 有粘性阻尼的自由振动 ........................................................................................ 3-17 3.4.1 阻尼 ............................................................................................................. 3-17 3.4.2 有阻尼的自由振动 ..................................................................................... 3-18 3.5 对数衰减 ................................................................................................................ 3-21 3.6 习题 ........................................................................................................................ 3-25

1
例3 品質彈簧系統，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm,
A21=0.16cm。 求阻尼係數μ 。
解：n
g
st
9.8 31.3rad / s 0.01
A21 A2 A3 A21 (e ) nT1 20
A1 A1 A2
A20
0.16 (enT1 )20 0.8
ln( 0.16) 0.8
由 dHI
dt
mI (F )
，
有
(
3 2
M
m)Rx
4k xR
振動微分方程：
x
8k 3M
2m
x
0
固有頻率：
n
8k 3M 2m
1
解2 ： 用機械能守恆定律 以x為廣義座標（取靜平衡位置為 原點）
T 1 Mx2 1 MR2 ( x )2 1 mx2
2
22 R 2
1 ( 3 M m)x2 22
1
§12-2 單自由度系統的有阻尼自由振動
自由振動是簡諧運動，振幅不隨時間而變。但實際中振 動的振幅幾乎都是隨時間逐漸減小的（也稱為衰減振動）， 這是因為有阻尼。 一、阻尼的概念：
阻尼：振動過程中，系統所受的阻力。
粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時，介質粘性引起 的阻尼力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。
mg F mx
F k(x st ) st — 振体静止平衡时弹簧的 变形：mg k st
1
mx mg F mg k(x st ) kx
令
2 n
k m
则：x
2 n
x
0
這就是品質——彈簧系統無阻尼自由振動的
微分方程。
對於其他類型，同理可得。如

各杆EI＝ 。 【例12-5】试求图示结构的ω。各杆 ＝C。 】
3l 4 B C D m B y A l l l 4 A l C D l
1
M1 图
解：
δ 11
7l 3 = 12 EI
1 12 EI EI = = 1.309 ω= 3 mδ11 7ml ml 3
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
【注二】惯性力 FI = −m&& = maω 2 sin(ωt + α ) = mω 2 y ， 注二】 y FI 永远与位移方向一致，在数值上与位移成比例， 永远与位移方向一致，在数值上与位移成比例，其比例系 数为 mω 2 。
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
12.3.4 自振周期与自振频率
1.自振周期 自振周期 因
y = a sin (ωt + α ) = a sin (ωt + α + 2 π ) 2π = a sin ω t + + α = a sin[ω (t + T ) + α ] ω
所以自振周期
T =
2π
ω
表示体系振动一次所需要的时间，其单位为 （ 表示体系振动一次所需要的时间，其单位为s（秒） 。
式中， 为重力加速度 为重力加速度； 式中，g为重力加速度；W=mg为质点 为质点 的重力； 表示将重力W=mg 的重力；∆st=Wk11，表示将重力 施加于振动方向所产生的静位移。 施加于振动方向所产生的静位移。
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
T = 2π ∆st g
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®

图11-19
& m&&(t ) + cy(t ) + k11y(t ) = 0 y
令
ω2 =
k 11 , m
ξ =
c 2mω
ξ 式中， 称为阻尼比， 式中， 称为阻尼比，则方程式可改写为
&&(t ) + 2ξωy (t ) + ω 2 y (t ) = 0 & y
y ( t ) = Ce rt
这是一个线性常系数齐次微分方程， 这是一个线性常系数齐次微分方程，设 其解的形式为
I10 = m1 A1ω 2 = mlαω 2 ,
0 I 2 = m2 A2ω 2 =
3 mlαω 2 2
图11-18
I = m1 A1ω = mlαω ,
0 1 2 2
3 I = m2 A2ω = mlαω 2 2
0 2 2
这时弹性支座B的反力 这时弹性支座 的反力 为 由平衡方程 Σ M 得 由此解得
m&&(t ) + k11 y (t ) = 0 y
令
则方程式成为
k 11 ω = m
2
&&(t ) + ω 2 y (t ) = 0 y
这是二阶常系数线性齐次微分方程，它的通解为 这是二阶常系数线性齐次微分方程，
y(t ) = C1 cos ωt + C 2 sin ωt
对时间t的一阶导数 取y(t)对时间 的一阶导数，则得质点在任一时刻的速度 为 对时间 的一阶导数，
图11-20
(2)小阻尼对自振频率和自振周期的影响很小 小阻尼对自振频率和自振周期的影响很小
一般建筑物的值在0.01~0.1之间，例如钢筋混凝土结构的值 之间， 一般建筑物的值在 之间 大约为0.05，而钢结构的大约为 大约为 ，而钢结构的大约为0.01～0.02。由于实际结构的 ～ 。 阻尼比很小，因此计算结构的自振频率和自振周期时， 阻尼比很小，因此计算结构的自振频率和自振周期时，可以 不考虑阻尼的影响，即式(11-16)可写成 不考虑阻尼的影响，即式 可写成

= 1 1 (ka 2θ 2 − mglθ 2 ) = ( ka 2 − mgl )θ 2 2 2 ka 2 − mgl ω0 = ml 2
x(t ) = A sin( ω0t + ϕ )
Tmax = U max
θ&max = ω0θ max
单自由度系统的自由振动-能量法
•
单自由度系统的自由振动-能量法
2
振动初始条件：
kx0 = mg × sin 30
0
考虑方向
x0 = −0.1 (cm)
& 初始速度： x0 = 0
运动方程： x(t ) = −0.1 cos( 70t ) (cm)
x(t ) = x0 cos(ω0t ) +
ω0
& x0
sin( ω0t )
单自由度系统的自由振动-无阻尼系统 • 例题
概述
• 时不变系统：指系统的物理特征或性质恒定，不随时间变 化。反之，则称为时变系统。 • 线性系统：指系统的运动规律可由线性方程描述。反之， 则称为非线性系统。线性系统满足如下的叠加原理，即
f表示激励，x表示响应。 • 一般而言，非线性系统不适用叠加原理。 • 实际的机械系统往往是非线性的，但多数系统在特定范围 或条件下，可以近似为线性系统。
ω0
A = x0 + (
2
ω0
& x0
) , ϕ = arctan
ω0 x0
& x0
• 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是 以为振动频率的简谐振动，并且永无休止 • 初始条件的说明 初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即传 入了弹性势能，有初始速度即传入了动能
单自由度系统自由振动

写成: 其中， 下形式:
2 x(t ) 2n x(t ) n x(t ) 0
（2-18a）
（2-18b）
c / 2m n称为粘性阻尼因子。设（2-18b）式的解有如
x(t ) Ae
2
st
（2-19）
将（2-19）代入（2-18b）中，可得代数方程
s 2n s 0

gR 2 sin d
（b）

2 gR 2 sin
其中， dw是给定角φ位置的微元体重量，ρ是壳体单位面积 的质量。 壳体对C 点的转动惯量为:
2 I c R sin R 2 (1 cos ) 2 dm
2


2
2.1 单自由度系统的自由振动
阻尼元件 阻尼元件通常称为阻尼器，一般也假设为无质量。 常见的阻尼模型三种形式:
由物体在粘性流体中运动时受到的阻力所致的粘滞阻尼。 由相邻构件间发生相对运动所致的干摩擦（库仑）阻尼。 由材料变形时材料内部各平面间产生相对滑移或滑动引起
内摩擦所致的滞后阻尼。 粘滞阻尼是一种最常见的阻尼模型。
飞行器结构动力学
第2章
单自由度系统的振动
第2章
单自由度系统的振动
2.1 单自由度系统的自由振动 2.2 单自由度系统的强迫振动 2.3 单自由度系统的工程应用
第2 章
单自由度系统的振动
2.1 单自由度系统的自由振动
2.1 单自由度系统的自由振动
正如第一章所述，振动系统可分为离散模型和连 续模型两种不同的类型。离散模型具有有限个自由度 ，而连续模型则具有无限个自由度。 系统的自由度定义为能完全描述系统运动所必 须的独立的坐标个数。 在离散模型中，最简单的是单自由度线性系统， 它用一个二阶常系数常微分方程来描述。这类模型常 用来作为较复杂系统的初步近似描述。

如果水在U形管中往复地振动，那么运 动质量就是 。 注意到，在这个问 题中，没有涉及弹簧。实际上，重力的 作用把水柱恢复到它的平衡位置，因此 在题目中有一个重力弹簧，按定义它的 弹性常数是单位位置变化所需要的力。
42
2014/9/28
管中其中一个臂的水位升高1厘米，另一个臂的水位就
降低1厘米，因此就给出2厘米水柱的失衡重量，产生
-任意瞬时的位置与平衡位置 之间的距离）?
10
2014/9/28
弹簧力
阻尼力
作用在质量块的力总计 sin
应用牛顿第二定律： 单自由度系统运动微分方程
mx cx kx P0 sin t
惯性力 阻尼力 弹性力 外来的谐力
单自由度扭转系统振动方程
圆盘的惯性矩为 轴的抗扭刚度为 外加扭矩 0 用于转动物体的广义牛顿定律
弹簧－质量系统
研究系统的振动问题时，常常把它简化成由若干个“ 无质量”的弹簧和“无弹性”的质量所组成的模型， 称为弹簧－质量系统(spring mass system)
角振动(angular vibration)：以角位移作为独立坐标的系 统。例如后面将要介绍的圆盘的扭振(Torsional vibration)。
用一根弹簧把一个质量m悬挂 在刚性天花板上。弹簧的刚度 由弹性系数 表示
在质量和刚性天花板之间有油 或者空气缓冲器机构
质量静止时，缓冲器不传递力 质量运动时，缓冲器的阻尼力与
速度成正比，即 c:阻尼常数或粘性阻尼常数
9
2014/9/28
假设一个交变外力作用在质 量上
计算外力造成的质量的运动 ，即求出质量运动距离 的时 间函数
振动理论(3) 第3章 单自由度系统自由振动
自由度
自由度

自振周期和频率
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题 例.求图示体系的自振频率和周期.
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、 刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状 态，建立(动)平衡方程。 静平衡位置
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然， 应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为 ：

（3-13） ） （3-14） ）
R R R
ρ ρ ρ
y0
y0 y0
y0 ρ y0 y0
ω
. .
. . y y0000
. . .
ρ
y0
.
ρ y
I
0
I II y0
y0 .ω y0
ω
.
y0
ω
.
ω
ρ
y0
y0
y0
ω
.
y0
ω
.
y0
ω
.
ω .y0 ω y0 y0 ρ ω . . y0 y0 y
ω ω
0
.
ρ
ρ ρ y00 ρ y0000
1.临界阻尼 1.临界阻尼
自由振动方程： 自由振动方程： 特征方程： 特征方程：
m&& + cy + ky = 0 y &
2
（3-2） ）
c c 2 s=− ± −ω 2m 2m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记 当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为 ， 显然，应有c 作cc。显然，应有 c/2m=ω，即： ω
第 3 章 单自由度体系的振动分析
3.1 单自由度体系的自由振动分析
y (t) c F (t) m k
最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系 最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系. 已经得到单自由度体系的运动方程： 已经得到单自由度体系的运动方程：
& m&& + cy + ky = FP (t ) y
位移反应： 位移反应：
y( t ) = A sin ωt + B cos ωt & & y ( 0) = y 0

{x} qr { r }
r 1
• 代入运动方程得
n n n [ M ] qr {r } [C ] qr {r } [ K ] qr {r } { f (t )} r 1 r 1 r 1
[mr ] diag[m1 , m2 , [cr ] diag[c1 , c2 , [kr ] diag[k1 , k2 ,
mn ] mi {i }T [ M ]{i } cn ] ci {i }T [C ]{i } kn ] ki {i }T [ K ]{i }
线性系统的输入与输出关系
• 根据傅里叶变换时域卷积性质，在时域的卷积在频域应为乘积
x(t ) h(t ) * f (t )
单位力作用下 的系统时域与 频域的响应
X ( ) H ( ) F ( )
不同激励下频响函数表达式
• 简谐激励下，频响函数定义为系统的稳态响应幅值与激励的幅值 之比
单自由度及多自由度系统 模态分析
结构振动分析基本理论
• 振动分析的“理论路线”
空间模型 模态模型 响应模型
（质量、阻尼、 刚度）
（固有频率， 模态振型）
（频率响应、 脉冲响应）
• 空间模型——用于描述结构的物理特性，即质量、刚度和阻尼特性。 • 模态模型——一系列固有频率及相应的模态阻尼系数和模态振型。 • 响应模型——一系列响应函数组成 • 在理论分析中，首先从空间模型开始最终到响应模型。 • 在实验分析中，首先从响应特性开始，最终推求空间模型。
多自由度系统的振动 ——粘性阻尼系统
n n n [ M ] qr {r } [C ] qr {r } [ K ] qr {r } { f (t )} r 1 r 1 r 1

ent D1d sin d t D2d cos d t
35
关于解的讨论——小阻尼振动系统
在t=0时有 x0 D1, 解得
x0 n x0 D2d
D2 x0 n x0
D1 x0 ,
d
经 D1与D2代入式(2.4-17)即得系统对于初始条件x0 0 的响应。 与x
另一方面使系统振动的振幅按几何级数衰减。 相邻两个振幅之比
A1 Ae nTd n (t1 T d ) e A2 Ae
n d
nt1
(2.4-21)
式中称为减幅系数。可见在一个周期内，振幅 T 1 e 减缩到初值的 。 在ζ=0.05时， =1.366，A2=A1/1.366=0.73A1 亦即在每一个周期内振幅减小27%，振幅按几何 41 级数缩减，衰减是显著的。
x0 A1 cosn 0 A2 sinn 0 0 A1n sinn 0 A2n cosn 0 x
A1 x0 0 n A2 x
22
0 x0 , x
x (t ) x0 cos n t
n
0 x
sin n t
关于解的讨论——小阻尼振动系统
为了避免取指数值的不方便，常用对数减幅 来代替减幅系数，即 A1 2 T ln ln e nTd (2.4-22) A2 1 2 即对数缩减表示为唯一的变量ζ的函数。
n d
同样相对阻尼系数可以确定 为 2 (2） 2 当ζ <<1时
20
单自由度振动系统自由振动微分方程：
kx 0 m x
改写为标准方程：
x x 0
2 n
从数学上看，这是二阶常系数线性齐次常微分方程。