云南省昆明市2020届高三“三诊一模”高考模拟考试（三模）数学试题（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.在复平面内，复数21iz i=+所对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限『答案』A 『解析』22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-， ∴复数z 所对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限．故选：A ．2.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}2|B b b A =+∈，则A B =（ ）．A. {}2,1,0--B. {}1,0,1-C.2,0,2D. {}0,1,2『答案』D『解析』因为集合{}2,1,0,1,2A =--，所以{}{}2|0,1,2,3,4B b b A =+∈=，因此{}0,1,2AB =.故选：D.3.已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是（ ）． A. 各月的利润保持不变B. 各月的利润随营业收入的增加而增加C. 各月的利润随成本支出的增加而增加D. 各月的营业收入与成本支出呈正相关关系『答案』D『解析』对于A ，通过计算可得1至5月的利润分别为0.5，0.8，0.7，0.5，0.9，故A 错误； 对于B ，由A 所得利润，可知利润并不随收入增加而增加，故B 错误； 对于C ，同理可得C 错误；对于D ，由折线图可得支出越多，收入也越多，故而收入与支出呈正相关，故D 正确， 故选：D ．4.已知点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上，该双曲线的离心率为（ ）A.B.C. 2D. 4『答案』C『解析』由题，点P 在直线b y x a =b a =，故离心率2c a ==.故选：C5.已知点()cos10,sin10A ︒︒，()cos100,sin100B ︒︒，则AB =（ ）A. 1B.C.D. 2『答案』B 『解析』点(cos10,sin10)A ︒︒，(cos100,sin100)B ︒︒，||AB ∴=====6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）A. 216B. 108C. D. 36『答案』B『解析』根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰三角形，高为6的三棱柱体， 如图所示：所以：16661082V =⨯⨯⨯=．故选：B ．7.材料一：已知三角形三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为S =，其中2a b cp ++=．这个公式被称为海伦-秦九韶公式 材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius ）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知ABC 中，4BC =，6AB AC +=，则ABC 面积的最大值为（ ）A.B. 3C. D. 6『解析』由材料二可得点A 的轨迹为椭圆，其焦距24c =，长轴26a =，短轴2b =当点A 运动到椭圆短轴的顶点时，可得ABC 的面积取得最大值，∴max 142S =⋅= 故选：C.8.已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象向左平移2π个单位后与()f x 的图象重合，则ω的最小值为（ ） A. 8B. 4C. 2D. 1『答案』B『解析』因为函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象向左平移2π个单位后与()f x 的图象重合， 所以*,2nT n N π=∈（其中T 为函数()f x 的最小正周期），即22n ππω⋅=，所以4n ω=，因为*n N ∈，所以min 4ω=.故选：B.9.如图1，已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB BC ⊥，D 在线段PC 上，AD PC ⊥．将PAD △沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接PB ，PC ，设PB 的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是（ ）A. 平面PAB ⊥平面PBCB. BC ⊥平面PDC C PD AC ⊥D. 2PB AN =『答案』A『解析』由已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB BC ⊥，AD PC ⊥得四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ,AD DC ⊥,AD PC ⊥，PD DC D ⋂= 所以AD ⊥平面PCD ,又AD ∥BC ,BC ∴⊥平面PDC ,所以B 正确 平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD平面ABCD AD =,PD AD ⊥PD ∴⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD PD AC ∴⊥,所以C 正确PD ⊥平面ABCD ,PD AB ⊥又AB AD ⊥,PD DA D ⋂=AB ∴⊥平面PAD ,AB PA ∴⊥,PAB ∴是直角三角形，又PB 的中点为N所以2PB AN =，所以D 正确. 故选：A10.已知F 为抛物线()220x py p =>的焦点，点P 为抛物线上一点，以线段PF 为直径的圆与x 轴相切于点M ，且满足MF PM =，2PF =，则p 的值为（ ） A. 4B. 3C. 2D. 1『答案』C『解析』如下图所示，设线段PF 的中点为点N ，由题意可知，圆N 与x 轴相切于点M ，则MN x ⊥轴， 又MF PM =，N 为PF 的中点，MN PF ∴⊥，//PF x ∴轴，由于2PF =，则点2,2p P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入抛物线方程得242p p ⋅=，即24p =， 0p >，解得2p =.故选：C.11.已知函数()()221()4442xf x exx k x x =--++，2x =-是()f x 的唯一极小值点，则实数k 的取值范围为（ ）A. )2,e ⎡-+∞⎣B. )3,e ⎡-+∞⎣ C.)2,e ⎡+∞⎣D. )3,e ⎡+∞⎣『答案』D『解析』求导有()()()()()228242x xf x e x x k x e x k x ⎡⎤=--++=-++⎣⎦'.设()()4xg x ex k =-+，则()()3x g x e x '=-，故当(),3x ∈-∞时()0g x '<，()g x 单调递减；()3,x ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调递增. 故若()()4xg x ex k =-+有两个零点，则必有一根03x >，则此时有()03,x x ∈时()0f x '<；()0,x x ∈+∞时()0f x '>，故0x x =为()f x 的极小值点，与题意不符.故()()40xg x ex k =-+≥恒成立，故()()min 30g x g =≥，即()3340e k -+≥，解得)3,k e ⎡∈+∞⎣.故选：D 12.ABC 中，2A π=，2AB AC ==，有下述四个结论：①若G 为ABC 的重心，则1331AG AB AC =+ ②若P 为BC 边上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+为定值2③若M ，N 为BC 边上的两个动点，且MN =AM AN ⋅的最小值为32④已知P 为ABC 内一点，若1BP =，且AP AB AC λμ=+，则λ+的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④『答案』A『解析』因为在ABC 中，2A π=，2AB AC ==； 所以ABC 为等腰直角三角形；①如图1，取BC 中点为D ，连接AD ，因为G 为ABC 的重心，所以G 在AD 上，且23AG AD =， 所以()2211133233AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+，故①正确； ②如图1，同①，因为D 为BC 中点，ABC 为等腰直角三角形，所以AD BC ⊥， 若P 为BC 边上的一个动点，则AP 在AD 上的投影为cos AP PAD AD ∠=，因此221()22242AP AB AC AP AD AD BC ⎛⎫⋅+=⋅==⨯= ⎪⎝⎭，故②错；③如图2，以A 点为坐标原点，分别以AB 、AC 所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,2C ，易得，BC 所在直线方程为：2x y +=； 因为M ，N 为BC 边上的两个动点，所以设()11,2M x x -，()22,2N x x -，且[]12,0,2x x ∈，不妨令12x x <，因为MN =()()2212212x x x x -+-=，即()2121x x -=，则211x x -=， 所以()()()()()12121111221221AM AN x x x x x x x x ⋅=+--=++---221111332222222x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当112x =时，等号成立；故③正确；④同③建立如图3所示的平面直角坐标系，则(2,0)AB =，(0,2)AC =，设(),P x y ，则(,)=AP x y ，又AP AB AC λμ=+，所以22x y λμ=⎧⎨=⎩，即22x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为P 为ABC 内一点，且1BP =，设PBA θ∠=， 则0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 2cos B x x BP θθ=-=-，sin sin y BP θθ==，因此11cos sin 122226x y πλθθθ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,6612πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以sin 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭无最值，即λ+无最值，故④错.故选：A.二、填空题：本題共4小题，每小题5分，共20分．13.若5250125(21)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则1a =__________．『答案』10『解析』因为5250125(21)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，5(21)x -的展开式的通项为()()51521rrrr T C x -+=-，令51r -=，得4r =，则()()44552110T C x x =-=故110a = 故答案为：1014.若“0x ∃∈R ，()20ln 10x a +-=”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．『答案』[0,)+∞ 『解析』“200,(1)0x R ln x a ∃∈+-=”是真命题，20(1)10a ln x ln ∴=+=；故答案为：[0,)+∞．15.在ABC 中，4AB =，BC =6B π=，D 在线段AB 上，若ADC 与BDC 的面积之比为3:1，则CD =__________．『答案』1 『解析』如图，因为ADC 与BDC 的面积之比为3:1，所以:3:1AD DB =，又因为4AB =，所以1BD =， 在BDC 中，由余弦定理得，22222cos 121cos16CD BD BC BD BC DBC π=+-⋅⋅∠=-⨯=所以1CD =. 故答案为：1.16.某校同时提供A 、B 两类线上选修课程，A 类选修课每次观看线上直播40分钟，并完成课后作业20分钟，可获得积分5分；B 类选修课每次观看线上直播30分钟，并完成课后作业30分钟，可获得积分4分．每周开设2次，共开设20周，每次均为独立内容，每次只能选择A 类、B 类课程中的一类学习．当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分共_______分．如果规定学生观看直播总时间不得少于1200分钟，课后作业总时间不得少于900分钟，则通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共________分．『答案』 (1). 180 (2). 190『解析』根据题意，当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分520420180⨯+⨯=分.设学生选择A 类选修课()x x N ∈次，B 类选修课()y y N ∈次，则x 、y 所满足的约束条件为40301200203090040,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩，即43120239040,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩，目标函数为54z x y =+，如下图所示：则可行域为图中阴影部分中的整数点（横坐标和纵坐标均为整数的点），联立402390x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得3010x y =⎧⎨=⎩，可得点()30,10A ，平移直线54z x y =+，当直线54z x y =+经过可行域的顶点A 时，直线54z x y =+在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 530410190z =⨯+⨯=. 因此，通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共190分. 故答案为：180；190.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.已知数列{}n a 为正项等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若321S =，2316a a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）从三个条件：①3nn n a b =；②2n n b a n =+；③2log 3n n a b =中任选一个作为已知条件，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，因为：2316a a a +=，所以21116a q a q a +=，故：260q q +-=，解得：2q或3q =-（舍去），故2q．由：321S =，得：()21121a q q ++=，将2q代入得：13a =，所以数列{}n a 的通项公式为：132n n a -=⨯；（2）选择①3nn na b =： 11322333n n n n n na b --⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭，数列{}n b 是首项为11b =，公比为23的等比数列， 所以2123312313nn n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，选择②2n n b a n =+：12322n n n b a n n -=+=⨯+，所以()()2312(22)321122n n nn n T n n -+=+=⨯-++- 选择③2log 3nn a b =： 1122232log log log 2133n n n n a b n --⨯====-，数列{}n b 是首项为0，公差为1的等差数列． 所以(1)2n n n T -=． 18.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △为正三角形，M 是PC 的中点，过M 的平面α平行于平面PAB ，且平面α与平面PAD 的交线为ON ，与平面ABCD 的交线为OE ．（1）在图中作出四边形MNOE （不必说出作法和理由）；（2）若PC =，求平面α与平面PBC 形成的锐二面角的余弦值．解：（1）如图，四边形MNOE 即为所求，其中N 为PD 中点，O 为AD 中点，E 为BC 中点；（2）连接OP ，依题意：PC ==，所以222PC DC PD =+，则DC PD ⊥，又因为DC AD ⊥且PD AD D ⋂=， 所以DC ⊥平面PAD ，则DC PO ⊥， 因为PAD △为正三角形且O 为AD 中点， 所以PO ⊥平面ABCD ，则PO OA ⊥，PO OE ⊥，OA OE ⊥， 以O 为原点建立如图坐标系O xyz -，因为4AB =，所以(2,4,0)B ，(0,4,0)E ，(N -，(1,M -，则(0,2,0)NM =，(1,2,ME =，(2,0,0)EB =， 设平面α的一个法向量为()111,,m x y z =，则11112020y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(3,0,1)m =， 设平面NME 的一个法向量为()222,,n x y z =，则22222020x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(0,3,2)n =．则cos ,7||||27m n mn m n ⋅〈〉===，所以平面α与平面PBC 形成的锐二面角的余弦值为7. 19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左焦点为1(1,0)F -，经过点1F 的直线l 与圆222:(1)8F x y -+=相交于P ，Q 两点，M 是线段2PF 与C 的公共点，且1||MF MP =．（1）求椭圆C 的方程；（2）l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求2ABF 的面积． 解：（1）如图：由圆222:(1)8F x y -+=可得2PF =，因为1||MF MP =，所以12222||a MF MF MP MF PF =+=+==， 即a =1c =，故1b =，所以椭圆的方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，易知2(1,0)F ， 因为A 为线段PQ 的中点，则12AF AF ⊥，所以22212111111111(1,)(1,)(1)(1)10AF AF x y x y x x y x y ⋅=---⋅--=---+=+-=，又221112x y +=，解得10x =，11y =±， 若11y =，则(0,1)A ，直线l 的方程为1y x =+，由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2340x x +=，所以1243x x +=-，所以243x =-，213y =-，即41,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 所以2ABF 的面积1212114422233S F F y y =⋅-=⨯⨯=． 若1y =-，同理可求得2ABF 的面积43S =． 综上，2ABF 的面积为43. 20.近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业．某高校毕业生小张自主创业从事苹果的种植，并开设网店进行销售．为了做好苹果的品控，小张从自己果园的苹果树上，随机摘取150个苹果测重（单位：克），其重量分布在区间[]100,400内，根据统计的数据得到如图1所示的频率分布直方图．（1）以上述样本数据中频率作为概率，现一顾客从该果园购买了30个苹果，求这30个苹果中重量在(300,400]内的个数X 的数学期望；（2）小张的网店为了进行苹果的促销，推出了“买苹果，送福袋”的活动，买家在线参加按图行进赢取福袋的游戏．该游戏的规则如下：买家点击抛掷一枚特殊的骰子，每次抛掷的结果为1或2，且这两种结果的概率相同；从出发格（第0格）开始，每掷一次，按照抛掷的结果，按如图2所示的路径向前行进一次，若掷出1点，即从当前位置向前行进一格（从第k 格到第1k +格，k ∈N ），若掷出2点，即从当前位置向前行进两格（从第k 格到第2k +格，k ∈N ），行进至第3l 格（获得福袋）或第32格（谢谢惠顾），游戏结束．设买家行进至第i 格的概率为(0,1,2,,32)i p i =⋅⋅⋅，01p =．（ⅰ）求1p 、2p ，并写出用2i p -、1i p -表示(2,3,,31)i p i =⋅⋅⋅的递推式；（ⅱ）求32p ，并说明该大学生网店推出的此款游戏活动，是更有利于卖家，还是更有利于买家．解：（1）由图可知，苹果的重量在(]300,400内的频率为：(0.00360.0020)500.28+⨯=． 一顾客从该果园购买的30个苹果中重量在300,(400]内的个数为X ，则~(30,0.28)X B ，所以()300.288.4E X =⨯=（个）．（2）（i ）买家要行进至第1格的情况只有一种：买家第一次抛掷骰子，结果为1，行进至第一格，其概率为12，则112p =； 买家要行进至第2格的情况有以下两种：①当前格在第0格，第一次抛掷骰子，结果为2，行进至第2格，其概率为12； ②当前格在第1格，第二次抛掷骰子，结果为1，行进至第2格，其概率为111224⨯=； 所以2113244p =+=． 买家要行进至第i 格(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅的情况有以下两种：①当前格在第2i -格，抛掷一次骰子，结果为2，行进至第i 格，其概率为212i p -；②当前格在第1i -格，抛掷一次骰子，结果为1，行进至第i 格，其概率为112i p -； 所以121122i i i p p p --=+(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅． （ii ）由（i ）得，()()11212i i i i p p p p ----=--，即11212i i i i p p p p ----=--(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅， 又10111022p p -=-=-≠， 所以数列{}1i i p p --(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅是首项为1012p p -=-，公比为12-的等比数列．所以112ii i p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅，所以()()()112100i i i i i p p p p p p p p ---=-+-+⋅⋅⋅+-+11111222i i -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111221113212i i ++⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭， 即121132i i p +⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅．所以买家行进至第31格（获得福袋）的概率为3232312121113232p ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； 又买家行进至第32格（谢谢惠顾）的概率为3131323011************p p ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由于32313031322111111110323232p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=->⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以买家行进至第31格的概率大于行进至第32格的概率，即小张网店推岀的此款游戏活动是更有利于买家．21.已知()sin f x x =，()ln g x x =，2()1h x x ax =--． （1）若[0,1]x ∈，证明：()(1)f x g x ≥+；（2）对任意(]0,1x ∈，都有()e()()0f x h x g x +->，求整数a 的最大值． 解：（1）设()sin ln(1)(01)F x x x x =-+≤≤，则1()cos 1F x x x '=-+， 因为21()sin (1)F x x x ''=-+，且[0,1]x ∈，则()F x ''在[0,1]单调递减，因为1(1)sin104F ''=-<，(0)10F ''=>， 所以存在唯一零点0(0,1)x ∈，使得()00F x ''=，所以x ∈()00,x 时，()0F x ''>，x ∈()0,1x 时，()0F x ''<， 则()F x '在()00,x 时单调递增，在()0,1x 上单调递减， 又11(1)cos1cos 0223F π'=-+>-+=，(0)0F '=， 所以()0F x '>在()0,1上恒成立，所以()F x 在[]0,1上单调递增， 则()(0)0F x F ≥=，即()0F x ≥． 所以()(1)f x g x ≥+．（2）因为对任意的(]0,1x ∈，不等式()()()0f x eh x g x +->， 即sin 21ln 0x e x ax x +--->恒成立，令1x =，则sin1e a >，由（1）知sin1ln 2>，所以ln2sin1123e e e =<<<，由于a 为满足sin 21ln 0x e x ax x +--->的整数，则2a ≤，因此sin 2sin 21ln 21ln xx e x ax x e x x x +---≥+---．下面证明sin 2()21ln 0xH x ex x x =+--->在区间(0,1]恒成立即可．由（1）知sin ln(1)x x >+，则sin 1x e x >+， 故22()121ln ln H x x x x x x x x >++---=--， 设2()ln G x x x x =--，(0,1]x ∈，则1(21)(1)()210x x G x x x x+-'=--=≤， 所以()G x 在(0,1]上单调递减，所以()(1)0G x G ≥=，所以()0H x >在(0,1]上恒成立． 综上所述，a 的最大值为2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分． 『选修4-4：坐标系与参数方程』22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()1,0P ，倾斜角为α．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2sin 2cos ρθθ=．（1）写出直线l 的参数方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且2||3PM =，求sin α． 『答案』（1）直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 曲线C 的直角坐标方程为22y x =．（2）sin α=解：（1）根据直线过点()1,0P ，倾斜角为a 可得直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），由2sin 2cos ρθθ=得22sin 2cos ρθρθ=，将sin y ρθ=，cos x ρθ=代入可得曲线C 直角坐标方程：22y x =.（2）将1cos x t α=+，sin y t α=代入到22y x =，得22sin 2cos 20t t αα--=，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则M 对应的参数为122t t +，由韦达定理得1222cos sin t t αα+=，所以122cos 2||||||2sin 3t t PM αα+===，所以24cos 4sin 9αα=，所以241sin 4sin 9αα-=， 所以4299sinsin 044αα+-=，解得23sin 4α=， 由[0,)απ∈，所以sin α=. 『选修4-5：不等式选讲』23.设函数()()lg 12f x x x a =-+++． （1）当5a =-时，求函数()f x 的定义域； （2）设()12g x x x a =-+++，当[]2,1x ∈-时，()2g x x a ≥-成立，求a 的取值范围．解：（1）当5a =-时，要使函数()y f x =有意义，需满足1250x x -++->. 当2x -≤时，则有1250x x ---->，即260x -->，解得3x <-，此时3x <-； 当21x -<<时，则有1250x x -++->，即20->，不合乎题意； 当1x ≥时，则有1250x x -++->，即240x ，解得2x >，此时2x >. 综上所述，不等式1250x x -++->的解集为()(),32,-∞-+∞. 因此，当5a =-时，函数()y f x =的定义域为()(),32,-∞-+∞；（2）当[]2,1x ∈-时，由()2g x x a ≥-可得23x a a -≤+，则30a +≥，可得3a ≥-，由23x a a -≤+可得323a x a a --≤-≤+，解得333a x a -≤≤+，[][]2,13,33a a ∴-⊆-+，323313a a a -≤-⎧⎪∴+≥⎨⎪≥-⎩，解得213a -≤≤.因此，实数a 的取值范围是2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
