2014年北师大版数学必修四课件：两角和与差的正弦、余弦

1 π 3 π (2)法一：原式＝2( sin － cos ) 2 2 2 12 π π π π ＝2(sin sin －cos cos ) 6 12 6 12 π π π ＝－2cos( ＋ )＝－2cos ＝－ 2. 6 12 4 1 π 3 π 法二：原式＝2( sin － cos ) 2 12 2 12 π π π π ＝2(cos sin －sin cos ) 3 12 3 12 π π ＝2sin( － ) 12 3 π ＝－2sin ＝－ 2. 4
π π [解题过程] (1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋ 3 3 π π 2π 2sin xcos －2cos xsin － 3cos cos x－ 3sin 3 3 3 2π sin x 3 π π 2π ＝cos 3＋2cos 3－ 3sin 3 sin x＋ π π 2π sin －2sin － 3cos 3 3 3 cos x 1 3 3 3 ＝ ＋1－ 3× sin x＋ － 3＋ cos x＝0. 2 2 2 2
[题后感悟] 解此类问题的关键是把“所求角” 用“已知角”表示出来． (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示 为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求 角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱 导公式把“所求角”变成“已知角”． (3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆 分方式．
[题后感悟]
对比法一和法二，用 sin(α－β)的值
π π 求解时比较简单，因为－ <x< 时，y＝sin x 是单 2 2 调的，而用 cos(α－β)较麻烦，还需要将角的范围 缩小，一方面计算麻烦，另一方面容易求出两解 导致错误，请同学们注意二者的区别，在具体解 题中合理地选择和运用．

sin(α－β)＝ sinαcosβ－cosαsinβ
.
1．cos(α－β)与cos α－cos β相等吗？是否有相等的情况？ 提示：一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时 候．例如：当取α＝0°，β＝60°时，cos(0°－60°)＝cos 0°－ cos 60°. 2．公式(Cα±β)和(Sα±β)中，对于角α与β的范围有没有规定？
∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) 4 12 3 5 63 ＝－5×13＋(－5)×13＝－65.
解答此类题目要注意以下两点： (1)拆拼角技巧 先分析已知角与所求角之间的关系， 再决定如何利用已 知角表示所求角，避免对已知条件用公式，造成不必要的麻 烦．常见的拆角、拼角技巧： α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；2α＝(α＋β)＋(α－β)； α＋β α－β β＝ 2 － 2 ；
§3.2.1两角差的余弦函数 两角和与 差的正弦、余弦函数
两角和与差的余弦、正弦公式 公式 cos(α＋β)＝ cosαcosβ＋sinαsinβ cos(α－β)＝ cosαcosβ－sinαsinβ sin(α＋β)＝ sinαcosβ＋cosαsinβ . . . 简记 (Cα＋β) (Cα－β) (Sα＋β) (Sα－β)
cos α.
π π π 12 π 5 解： 由于 0<α－6<3， cos(α－6)＝13， 所以 sin(α－6)＝13. π π π π π 所以 cos α=cosα－6＋6＝cosα－6cos 6－sinα－6 sin π 6 12 3 5 1 12 3－5 ＝13× 2 －13×2＝ 26 .

第三章 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式知识点一： 两角和与差的正弦、余弦、正切公式βαβαβαsin c cos s )(s os in in +=+ ）（βα+Sβαβαβαsin c cos s )(s os in in -=- ）（βα-S βαβαβαsin sin cos cos )(cos +=- ）（βα-C βαβαβαsin sin -cos c )(c os os =+ ）（βα+Cβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ ）（βα+T βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- ）（βα-T 变形公式：)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=± )4sin(2cos sin πααα±=±.知识点二： 二倍角的正弦、余弦、正切公式：S 2α：sin 2α＝2sinαcosα；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.变形公式： 22cos 1cos 2αα+=, 22cos 1sin 2αα-= 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2, 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 知识点三： 辅助角公式辅助角公式：asinx ＋bcosx ＝22a b +sin(x ＋φ)（其中cosφ＝22a ba +，sinφ＝22b ba +）.函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f(α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．知识点四: 常见的公式变形及逆用(1)1＋cosα＝2cos 2α2； 1－cosα＝2sin 2α2；(2)1＋sinα＝(sin α2＋cos α2)2； 1－sinα＝(sin α2－cos α2)2. (3)tan α2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.夯实基础要点1 两角差的余弦公式1.1 差角的余弦公式：C(α－β)：βαβαβαsin sin cos cos )(cos +=- （组合可为任意角或几个角的与βα） 1.2 公式记忆要点: 左端为两角差的余弦，右端为βα，的同名三角函数的积。

tantantan1tantantantantan1tantansinsincoscossinsincoscossincoscossinsincoscoscoscos利用公式可以求非特殊角的三角函数值化简三角函数式和证明三角恒等式灵活使用使用公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式
阳谷三中 刘广礼2013.4.18
cos(α+β) = cosαcosβ－ sinαsinβ
1、
上述公式就是两角和的余弦公式，记作 c( )。
探索新知二
cos 75 cos(30 45 )
cos30 cos 45 sin 30 sin 45


6 2 4
思考：如何求 sin( ) ? sin cos[ ( )] cos[( ) ]
2、
sin cos cos sin
2 2 cos cos sin sin 2 2
sin( ) sin cos cos sin
S( ) 。
上述公式就是两角和的正弦公式，记作
cos( ) cos cos cos cos
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1 - tanαtanβ
tan(α-β)=
tanα- tanβ 1+ tanαtanβ
2 、利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角 函数式和证明三角恒等式,灵活使用使用公式.
探索新知一 思考：由 cos( ) cos cos sin sin 如何 求: cos( ) ? 分析：注意到 ） ，结合两角差的余 （ 弦公式及诱导公式，将上式中以代得