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任意角的三角函数及诱导公式(学生版)

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任意角的三角函数及诱导公式【知识梳理】 1．任意角 (1)角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成)(3600Z k k ∈⋅+α．(3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，rl =||α,l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角叫做弧度制．比值rl与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：π23600=弧度；π=0180弧度． %⑤弧长公式：r l ||α=，扇形面积公式：2||2121r lr S α==扇形. 2．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义：设(),P x y 为角α终边上异于原点一点，则角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α=cos α=tan y xα=特别地，当221x y +=时，sin ,cos y x αα==，()cos ,sin P αα(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos ,sin αα，即()cos ,sin P αα，其中OM =αcos ，MP =αsin ，单位圆与x 轴的正半轴交于点)0,1(A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则AT =αtan .我们把有向AT MP 、叫做α的余弦线、正弦线、正切线.：(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ) 有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线(1)平方关系：()222222sincos 1 sin 1cos ,cos 1sin αααααα+==-=-．(2)商数关系：sin sin tan sin tan cos ,cos cos tan ααααααααα⎛⎫=== ⎪⎝⎭.对于角“)(2Z k ∈±α”的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．：【课前小练】1.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若(4,y)P 是角θ终边上一点，且sin 5θ=-，则y =_____________ 2.若4sin 5θ=，tan 0θ>，则cos ( )θ= A ．35 B ．35- C ．45 D ． 45-3.已知51sin()25πα+=，那么cos α=（ ）A.25-B.15-C. 15D. 25【例题解析】考点一 任意角的三角函数值例1 已知角α的终边过点(P -，求这个角的三个三角函数值。

'变式1 已知角α的终边在直线043=+y x 上，求αααtan ,cos ,sin 的值．考点二 三角函数线、三角函数值的符号 例2 已知cos tan 0θθ⋅<，那么角θ是（ ）A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角 《例3 函数=y ++的值域是（ ）A. {-1，1}B. {-1，1，3}C. {-1，3}D. {1，3}例4 已知sin sin αβ>，则下列命题成立的是 （ ）A ．若α、β是第一象限角，则cos cos αβ>B ．若α、β是第二象限角，则tan tan αβ>C ．若α、β是第三象限角，则cos cos αβ>D ．若α、β是第四象限角，则tan tan αβ> 变式2 4tan 3cos 2sin 的值 （ ） A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．不确定例5 已知21cos -≤α，求角α的集合．】变式3 23sin -=x y 的定义域为________． 考点三 扇形弧长、面积公式的应用例6 半径为πcm ，圆心角为120︒所对的弧长为（ ）A .3πcmB .23πcm C .23πcm D .|sin |sin x x cos |cos |x x |tan |tan x x223πcm 例7 (1)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度扇形的面积是多少(2)一扇形的周长为cm 20；当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大变式4 已知一扇形的圆心角为)0(>αα，所在圆的半径为R .—(1)若cm R 10,600==α，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值)0(>C C ，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积考点四 同角三角函数的关系题型一: sin ,cos ,tan ααα的相互转化 知一求二是基础 例8 若45sin θ=-，0tan θ>，则cos θ=（ ） A ．35 B ．35- C ．45- D ．45例9 （1）已知3tan =α，且α为第三象限角，求ααcos ,sin 的值；*（2）已知31cos -=α，求ααtan sin +的值； （3）已知2tan -=α，求值：①2sin cos sin cos αααα+-；②αααcos sin sin 2+．变式5 已知α为某三角形的一内角，且1sin cos 5αα+=，求sin α，cos α，tan α的值．变式6 已知3tan =α，求下列各式的值：①4sin cos 3sin 5cos αααα-+；②2222sin 2sin cos cos 4cos 3sin αααααα-⋅--；③222sin 3sin cos 2cos αααα--,变式7 已知sin 2cos 53sin 5cos αααα-=-+，那么tan α的值为（ ）A ．－2B ．2C ．1623D ．－1623题型二:22sincos 1αα+=的运用常用思路1:构建齐次式常用思路2：sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-的转化例10 已知4sin cos (0)34πθθθ+=<<,则sin cos θθ-的值为 （ ）A B ． C ．13D ．13-变式8 (1)若角α是第二象限角，化简tan ； (2)21301130sin +-.-变式9 （1）若1sin cos 8αα=，且42ππα<<，则cos sin αα-=_____ （2）若α是三角形的内角，且2sin cos 3αα+=，试判断三角形的形状；考点五 诱导公式题型一 利用诱导公式化简求值例11 已知51sin(),cos 25παα+==那么（ ） A. 25- B. 15- C. 15 D. 25变式10 已知sin()2sin()2ππαα-=-+,则=αtan __________;·例12 1cos()2πα+=-，322παπ<<，sin(2)πα-的值为 （ ） A.23 B. 21C. 23±D. —23变式11 1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么cos()2πα+=______变式12 已知tan 2x =，则52cos()3sin()224sin(2)9cos()x x x x ππππ--+-++变式13已知：sin()πθ+=，求值cos(3)cos(2)3cos()[cos()1]cos sin()cos 2πθθππθπθθθθ+-+----+变式14 2401sin 50--；]变式15 若(cos )cos 2f x x =,则(sin15)f ︒=____________.题型二 利用诱导公式求任意角的三角函数 负角变正，大角变小，小变锐角例13 0600sin 的值为 （）A.2 B. 2- C. 23- D. 23变式16 化简sin 2013︒的结果是 ( )A. sin33︒B. cos33︒C. sin33︒-D.cos33︒- 变式17 62013sinπ的值为 （ ）·A.12B. 21-C. 1D. 1-变式18 计算题：25π26π25πsin costan()634++-【课后练习】1．已知0tan cos <⋅θθ，那么角θ是 ( )A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．4 、C ．1或4D ．2或43．（吴家山中学·难度C ）已知sin sin αβ>，则下列命题成立的是 （ ）A ．若α、β是第一象限角，则cos cos αβ>B ．若α、β是第二象限角，则tan tan αβ>C ．若α、β是第三象限角，则cos cos αβ>D ．若α、β是第四象限角，则tan tan αβ> 4．（课本改编题）若sin tan cot ()22ππαααα>>-<<，则α∈ （ ）A. (,)24ππ-- B. (,0)4π- C. (0,)4π D. (,)42ππ5．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m ，3m ) (m >0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.6． 函数y ＝2cos x －1的定义域为________．7． 在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合:（1）sin 2α≥ （2）1cos 2α≤-8． 已知：)2,0(πα∈，求证：αααtan sin <<.。

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三角函数诱导公式及推导

三角函数诱导公式及推导

三角函数诱导公式：所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。

常用公式：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinα（k∈Z）cos（2kπ+α）=cosα（k∈Z）tan（2kπ+α）=tanα（k∈Z）cot（2kπ+α）=cotα（k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）= －sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）= tanαcot（π+α）=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）=－sinαcos（－α）= cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）= sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）=－sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）=－tanαcot（2π-α）=－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2+α）=－cotαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2+α）=－tanαcot（π/2－α）=tanα推算公式：3π/2 ±α与α的三角函数值之间的关系：sin（3π/2+α）=－cosαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2+α）=－cotαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2+α）=－tanαcot（3π/2－α）=tanα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。

任意角的三角函数及其诱导公式

任意角的三角函数及其诱导公式


-α
余弦函数的诱导公式 cos(2kπ+α)=cosα cos(-α)=cos α cos(2π-α)=cos α cos(π-α)= - cosα cos(π+α)= - cosα 函数名不变，符号看象限
2、研究角π/2+α与角α的正、余弦函数值的关系 在单位圆中，画出角α和角 π/2+α的终边， 由终边的位置关系可得
3)tan(-16500)的符号是——？
3)sin(-21π/5）的符号是——？
练习：求值 19 23 1、 sin ; 2、con(); 4 3 0 3、 tan （ 1110 ）
二、三角函数的诱导公式
1、若α是一个正锐角，怎样用α表示第一、二、 三、四象限角,并研究其终边位置关系.
一
任意角的三角函数及其诱导公式
一、 任意角的 的三角函数.
角的 终 边 与 单 位 圆 相 交 点 于P(a , b ); b 则 si n b 1
P(a,b)
b 称为角 的正弦函数； 记作 b=sin ;

一般用x表示自变量，y表示函数； 所以正弦函数表示：y＝sin x （x R） 相类似余弦函数是y＝cos x；正弦函数是y＝tan x
Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα Sin(π/2-α)=cosα #43;α)= -cotα => tan(π/2-α)=cotα
常用的正弦、余弦、正切诱导公式 1、同终边诱导公式 Sin(2kπ+α)=sin α cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tan α 2、负角诱导公式 Sin(-α)=- sin α cos(-α)=cos α tan(-α)= - tan α 3、四象限诱导公式 Sin(2π-α)=-sin α cos(2π-α)=cos α tan(2π-α)= - tan α
三角函数诱导公式大全

三角函数诱导公式大全

三角函数诱导公式大全三角函数诱导公式是数学中的重要内容，常用的诱导公式有以下几组：公式一：对于任意角α，终边相同的角的同一三角函数的值相等，即sin（2kπ＋α）＝sinα，cos（2kπ＋α）＝cosα，tan （2kπ＋α）＝tanα，cot（2kπ＋α）＝cotα。

公式二：对于任意角α，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系，即sin（π＋α）＝－sinα，cos（π＋α）＝－cosα，tan（π＋α）＝tanα，cot（π＋α）＝cotα。

公式三：对于任意角α，α与-α的三角函数值之间的关系，即sin（－α）＝－sinα，cos（－α）＝cosα，tan（－α）＝－tanα，cot（－α）＝－cotα。

公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系，即sin（π－α）＝sinα，cos（π－α）＝－cosα，tan（π－α）＝－tanα，cot（π－α）＝－cotα。

公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系，即sin（2π－α）＝－sinα，cos（2π－α）＝cosα，tan（2π－α）＝－tanα，cot（2π－α）＝－cotα。

公式六：对于π/2±α与α的三角函数值之间的关系，即sin（π/2＋α）＝cosα，cos（π/2＋α）＝－sinα，tan（π/2＋α）＝－cotα，cot（π/2＋α）＝－tanα，sin（π/2－α）＝cosα，cos （π/2－α）＝sinα，tan（π/2－α）＝cotα，cot（π/2－α）＝tanα。

为了更好地记忆这些公式，可以使用以下口诀：奇变偶不变，符号看象限。

具体来说，对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，当k是偶数时，得到α的同名函数值，函数名不改变；当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos，cos→sin，tan→cot，cot→tan。

三角函数诱导公式全集

三角函数诱导公式全集

三角函数诱导公式全集三角函数诱导公式一：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）=-sinαcos（-α）=cosαtan（-α）=-tanαcot（-α）=-cotα三角函数诱导公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）=-sinαcos（π+α）=-cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotα三角函数诱导公式三：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）=sinαcos（π-α）=-cosαtan（π-α）=-tanαcot（π-α）=-cotα三角函数诱导公式四：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinα(k∈Z)cos（2kπ+α）=cosα(k∈Z)tan（2kπ+α）=tanα(k∈Z)cot（2kπ+α）=cotα(k∈Z)三角函数诱导公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）=-sinαcos（2π-α）=cosαtan（2π-α）=-tanαcot（2π-α）=-cotα三角函数诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=-sinαtan（π/2+α）=-cotαcot（π/2+α）=-tanαsin（π/2-α）=cosαcos（π/2-α）=sinαtan（π/2-α）=cotαcot（π/2-α）=tanαsin（3π/2+α）=-cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=-cotαcot（3π/2+α）=-tanαsin（3π/2-α）=-cosαcos（3π/2-α）=-sinαtan（3π/2-α）=cotαcot（3π/2-α）=tanα（以上k∈Z）注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。