重庆中考数学中考26题训练

中考26题第二小问专项讲解第一大类:线段最大值一、基本题型：_ _丄2 3 9例1：如图，抛物线J = _7X +T X + 2与兀轴交于A.B两点，与y轴交于C点, P为抛物线上BC±方的一点。

1、过点P作y轴的平行线交BC于M,求PM的最大值。

2、过点P作X轴的平行线交BC于M,求PM的最大值。

二、变式题型1：过点P作y轴的平行线交BC于M,作PN丄BC于N。

3、求PN的最大值，PM+PN的最大值。

4、求APMN周长的最大值。

5、求APMN面积的最大值。

三、变式题型2：P为抛物线上E C上方的一点。

D为E C延长线上的一点且C D = B C 6、求APBC面积的最大值。

7、求APDC面积的最大值。

例2：如图，抛物线与y = -yx2+|x + 2兀轴交于4, B两点，与y轴交于C点,P为抛物线的顶点。

1、M是BC上的一点，求PM + AM最小时M点的坐标。

2、D为点C关于x轴的对称点，M是BC±的一点，求DM+PM最小时M点的坐标。

3、M是BC上的一点，N是AC上的一点，求° OMN周长的最小值及M点的坐标。

4、M. N为直线B C±的动点，N在下方且MN = V5 ,最小值。

5、M. N为直线BC上的动点，N在下方且MN = V5 , D在抛物线上且在D与C对称。

求四边形PMND周长的最小值。

6、M为对称轴上的一点，MN丄y轴于N, D在抛物线上且在D与C对称。

求DM + MN + N A的最小值。

7、M为对称轴上的一点，MN丄y轴于N, D在抛物线上且在D与C对称。

求DM + MN + N B的最小值。

8、M为对称轴上的一点，N为y轴上一点，D在抛物线上且在D与C对称。

求OM + MN + N D第二大类: 线段和的最小值9、M为EC上的一点，求PM + 討的最小值。

求PM + MN + AN 的10、D在抛物线上且在D与C对称，在BC±找一点N, M是x轴上的一点。

2021年重庆中考数学第26题几何证明专题训练1.如图1，在Rt△ACB中，AC=BC，过B点作BD⊥CD于D点，AB交CD于E．(1)如图1，若AC=6，tan∠ACD=2，求DE的长；(2)如图2，若CE=2BD，连接AD，在AD上找一点F，使CF=DF，在FD上取一点G，使∠EGF=∠CFG，求证：AF=EG；(3)如图3，D为线段BC上方一点，且∠BDC=90°，AC=6，连接AD，将AD绕A点逆时针旋转90°，D点对应点为E点，H为DE中点，求当AH有最小值时，直接写出△ACH 的面积．2.在△ABC中，∠BAC=90°，点E为AC上一点，AB=AE，AG⊥BE，交BE于点H，交BC于点G，点M是BC边上的点．(1)如图1，若点M与点G重合，AH=2，BC=√26，求CE的长；(2)如图2，若AB=BM，连接MH，∠HMG=∠MAH，求证：AM=2√2HM；(3)如图3，若点M为BC的中点，作点B关于AM的对称点N，连接AN、MN、EN，请直接写出∠AMH、∠NAE、∠MNE之间的角度关系．3.如图，在△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF=120°，线段BC与EF相交于点O．(1)若点O恰好是线段BC与线段EF的中点．①如图1，当点D在线段BC上，A、F、O、E四点在同一条直线上时，已知BC=4√3，DE=√3，求AD的长；②如图2，连接AD，CF相交于点G，连接OG，BG，当BG⊥OG时，求证：BG=√3CG．2(2)若点D与点A重合，CF//AB，H、K分别为OC、AF的中点，连接HK，直接写出HKAE−OF 的值．AC，连接4.在△ABC和△AEF中，∠AFE=∠ABC=90°，∠AEF=∠ACB=30°，AE=12 EC，点G是EC中点，将△AEF绕点A顺时针旋转．(1)如图1，若E恰好在线段AC上，AB=2，连接FG，求FG的长度；(2)如图2，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：GB=√3AB+GC；2GC最大时，直接写出直线AB，(3)如图3，若AB=3，在△AEF旋转过程中，当GB−12AC，BG所围成三角形的面积．5.如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF=90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．(1)如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．(2)将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，(1)中的结论是否成立？说明理由．(3)若AB=5，AE=1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．6.如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．(1)若点E为BD的中点，AD=4，CD=5，求△BCE的面积；(2)如图2，若BC=CD，点F为CD的中点，求证：AB=2AF；(3)如图3，若AB//CD，∠BAD=90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD=90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ.当AB=6√2，AD=4√2，tan∠ABC=2时，求CQ+√10BQ的最小值．107.已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC．(1)如图①，若AB=BD，AB⊥BD，求证：CD=√2AB；(2)如图②，若AB=AD，AB⊥AD，BC=1，求CD的长；(3)如图③，若AD=BD，AD⊥BD，AB=2√5，求CD的长．8.在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．(1)如图1，若AB=3√2，BC=5，求AC的长；(2)如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．9.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥CD交AE于点F，连接OF.以OF为直角边作Rt△OFG，其中∠OFG=90°，连接AG．(1)如图1，若∠EAB=30°，OA=2√3，AB=6，则求CE的长度；(2)如图2，若CF=CD，∠FGO=45°，求证：EC=√2AG+2EF；(3)如图3，动点P从点A运动到点D(不与点A、点D重合)，连接FP，过点P作FP的垂线，又过点D作AD的垂线交FP的垂线于点Q，点A′是点A关于FP的对称点，连接A′Q.若AE=2EC，FG=2OF，EF=1，AG=√5，则在动点P的运动过程中，直接写出A′Q的最小值．10.在正方形ABCD中，E为边CD上一点(不与点C、D重合)，垂直于BE的一条直线MN分别交BC、BE、AD于点M、P、N，正方形ABCD的边长为6．(1)如图1，当点M和点C重合时，若AN=4，求线段PM的长度；(2)如图2，当点M在边BC上时，判断线段AN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线AC上运动时，连接NB，将△BPN沿着BN翻折，点P落在点P′处，AB的中点为Q，直接写出P′Q的最小值．11.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．(1)求∠CPE的度数；(2)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．12. 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，分别过点B 作BC 的垂线，过点D 作CD 的垂线，两垂线相交于点E ．(1)如图1，若AD =4，连接AE ，BD ，求三角形ADE 的面积；(2)如图2，点F 是DE 延长线上的一点，点G 为EB 延长线上的一点，且EF =BG ，连接BF ，DG ，DG 交FB 的延长线于点H ，连接AH ，试猜想线段AH ，BH ，HD 的数量关系并证明你的结论；(3)如图3，在(2)的条件下，在AH 上取得一点P ，使得HP =3AP ，已知Q 为直线ED 上一点，连接BQ ，连接QP ，当BQ +QP 最小时，直接写出S △QDC S 菱形ABCD 的值．13. 如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，CD 是边AB 上的高线，E 是AC 上一点，连接BE ，交CD 于点F ．(1)如图1，若∠ABE =15°，BC =√3+1，求DF 的长；(2)如图2，若BF =AC ，过点D 作DG ⊥BE 于点G ，求证：BE =CE +2DG ；(3)如图3，若R 为射线BA 上的一个动点，以BR 为斜边向外作等腰直角△BRH ，M 为RH 的中点.在(2)的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，得到△CE′F′，E ，F 的对应点分别为E′，F′，直线MF′与直线AB 交于点P ，tan∠ACD =13，直接写出当MF′取最小值时RMPF′的值．14. 如图△ABC 为等腰直角三角形，∠A =90°，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，连接DE ，以DE 为直角边向上作等腰直角三角形DEF ，连接BE 、BF ．(1)如图1，当CE =AD 时，求证：BF ⊥BD ；(2)如图2，H 为BE 的中点，过点D 作DG ⊥BC 于点G ，连接GH.求证：BF =2HG ；(3)如图3，BE 与DF 交于点R ，延长BF 交AC 于点P ，∠APB 的角平分线交BE 于点Q.若点E 为AC 上靠近点A 的三等分点，且tan∠AED =67，请直接写出BR QR 的值．15. 如图，△ABC 是等边三角形，△BDE 是顶角为120°的等腰三角形，BD =DE ，连接CD ，AE ．(1)如图1，连接AD ，若∠ABE =60°，AB =BE =√3，求CD 的长；(2)如图2，若点F 是AE 的中点，连接CF ，DF.求证：CD =2DF ；(3)如图3，在(2)的条件下，若AB =2√3，BD =2，将△BDE 绕点B 旋转，点H 是△AFC 内部的一点，当DF 最大时，请直接写出2HA +HF +√5HC 的最小值的平方．16.如图，点B，C，D在同一条直线上，△BCF和△ACD都是等腰直角三角形.连接AB，DF，延长DF交AB于点E．(1)如图1，若AD=BD，DE是△ABD的平分线，BC=1，求CD的长度；(2)如图2，连接CE，求证：DE=√2CE+AE；(3)如图3，改变△BCF的大小，始终保持点F在线段AC上(点F与点A，C不重合).将ED绕点E顺时针旋转90°得到EP.取AD的中点O，连接OP.当AC=2时，直接写出OP 长度的最大值．17.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AB=AC且∠CAB=90°，E为BC上一点，且BE=AC，过E作EF⊥BC且EF=EC，连接CF．(1)如图1，已知AB=2，连接AE、AF，求△AEF的面积；(2)如图2所示，D为AB上一点，连接DB，作∠DBH=45°交EF于H点，求证：CD=HF+√2CE；(3)已知△ABC面积为8+4√2，D为射线AC上一点，作∠DBH=45°，交射线EF于H，连接DH，点M为DH的中点，当CM有最小值时，请直接写出△CMD的面积．18.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E是边BC上的一个动点，点D是射线AC上的一个动点；连接DE，以DE为斜边，在DE右侧作等腰Rt△DFE，再过点D 作DH⊥BC，交射线BC于点H．(1)如图1，若点F恰好落在线段AE上，且∠DEH=60°，CD=3√2，求出DF的长；(2)如图2，若点D在AC延长线上，此时，过F作FG⊥BC于点G，FG与AC边的交点记为M，当AE=DE时，求证：FM+√2MD=AB；(3)如图3，若AB=4√10，点D在AC延长线上运动，点E也随之运动，且始终满足AE=DE，作点E关于DF的对称点E′，连接CF、FE′、DE′，当CF取得最小值时，请直接写出此时四边形CFE′D的面积．19.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A顺时针旋转90°，得到AE，连接DE．(1)如图1所示，若BC=4，在D点运动过程中，当tan∠BDE=8时，求线段CD的长；11(2)如图2所示，点F是线段DE的中点，连接BF并延长交CA延长线于点M，连接DM，交AB于点N，连接CF，AF，当点N在线段CF上时，求证：AD+BF=CF；(3)如图3，若AB=2√3，将△ABC绕点A顺时针旋转得△AB′C′，连接CC′，P为线段CC′上一点，且CC′=√3PC′，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BQ，连接PQ，K 为PQ的中点，连接CK，请直接写出线段CK的最大值．20.在△ABC中，AC=BC，D为△ABC外一点，连接CD．(1)如图1，若∠ACB=60°，CD//AB，连接BD交AC于点E，且CD=2AB=2，求S△BCE．EC，(2)如图2，CE=CD，∠ECB=∠DCA，ED交AB于点F，FG垂直平分EC，且FG=12BF．M，N分别为AF，CD中点，连接MN，求证：MN=12(3)如图3，若∠ACB=90°，CD//AB，将AD绕着A点顺时针旋转60°得到AD′，连接DD′，BD′，且AC=√6，求BD′的最小值．21.已知，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB边上的一点，连接CD，以CD为斜边向右侧作直角△CDE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．(1)如图1，当∠CDE=30°，AD=1，BD=3时，求线段DE的长；(2)如图2，当CE=DE时，求证：点E为线段AF的中点；(3)如图3，当点D与点A重合，AB=4时，过E作EG⊥BA交直线BA于点G，EH⊥BC交直线BC于点H，连接GH，求GH长度的最大值．22.如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，点D是边BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE交AC于点F．(1)如图1，若∠ADC=60°，求证：DF=AF+EF；(2)如图2，在点D运动的过程中，当∠ADC是锐角时，点M在线段DC上，且AM=AD，连接ME，猜想线段ME，MD，AC之间存在的数量关系，并证明你猜想的结论；(3)在点D运动的过程中，当∠ADC是钝角时，点N是线段DE上一动点，连接CN，若AF=m，请直接用含m的代数式表示2CN+√2NE的最小值．CF=3523.如图1，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，∠BAC=60°，CE⊥AB交AB于点E，AE=AD，点F在线段BD上，连接AF．(1)若AC=4，求线段BD的长；(2)如图2，若∠DAF=60°，点M为线段BF的中点，连接CM，证明：2CM=BF+√3AC；(3)如图3，在(2)的条件下，将△ADF绕点A旋转得△AD′F′，连接BF′，点M为线段BF′的中点，连接D′M，当D′M长度取最小时，在线段AB上有一动点N，连接MN，将线段MN绕点M逆时针旋转60°至MN′，连接D′N′，若AC=4，请直接写出(2MN′−√2D′N′)的最小值．。

1xyOx =4ABCPHM重庆数学中考题26题专题训练26．四边形OABC 是等腰梯形，OA ∥BC ，在建立如图的平面直角坐标系中，A （10，0），B （8，6），直线x =4与直线AC 交于P 点，与x 轴交于H 点；（1）直接写出C 点的坐标，并求出直线AC 的解析式；（2）求出线段PH 的长度，并在直线AC 上找到Q 点，使得△PHQ 的面积为△AOC 面积的51，求出Q 点坐标；（3）M 点是直线AC 上除P 点以外的一个动点，问：在x 轴上是否存在N 点，使得 △MHN 为等腰直角三角形？若有，请求出M 点及对应的N 点的坐标，若没有，请说明理由．26． 解:(1)C(2，6)…… (1分)直线AC 过点A(10，0)，C(2，6)， 设直线AC 解析式为: y=kx+b(k≠0) 根据题意得：⎩⎨⎧+=+=bk b k 26100 解得：k= 43-，b=215，即直线AC ：y=43-x+215……（3分） （2）将x=4代入上述解析式，y=29，即PH=29……（4分）∵Q 点在直线AC 上，设Q 点坐标为（t ，43-t+215）2由题知：21PH ·|t-4|=51×21OA ·|y C |，解得t=320或34，……（6分） 即满足题意的Q 点有两个，分别是Q 1（320，25）或Q 2（34，213）……（7分）（3）存在满足题意的M 点和N 点，……（8分）设M 点坐标为（a ，43-a+215）， 当a ﹥10时，无满足题意的点； ①若∠MNH 为直角，则MN=HN ，即43-a+215=︱a -4︱,解得a=746或-14，此时M 点坐标为（746，718）或（-14,18）；…… (10分)②若∠HMN 为直角，则过M 作MM ′⊥x 轴交于M ′点，则H M ′= M ′N=M M ′， 综上，当M 点坐标为（746，718）时，N 点坐标为N 1（746，0）或N 2(764，0)； 当M 点坐标为（-14,18）时，N 点坐标为N 3（-14，0）或N 4(-32，0).26．如图，在直角梯形ABCD 中，∠D =∠BCD = 90°，∠B = 60°，AB = 6，AD = 9，点E 是CD 上的一个动点（E 不与D 重合），过点E 作EF ∥AC ，交AD 于点F （当E 运动到C 时，EF 与AC 重合），把△DEF 沿着EF 对折，点D 的对应点是点G ,如图①．（1）求CD 的长及∠1的度数；（2）设DE = x ，△GEF 与梯形ABCD 重叠部分的面积为y ．求y 与x 之间的函数关系式， （3）当点G 刚好落在线段BC 上时,如图②,若此时将所得到的△EFG 沿直线CB 向左平移，速度为每秒1个单位，当E 点移动到线段AB 上时运动停止.设平移时间为t （秒）,在平移过程中是否存在某一时刻t ，使得△ABE 为等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.26题图①26题图②26.（1）过点A作AH⊥BC于点H（1∵在Rt△AHB中，AB=6，∠B=60°∴AH=AB·sin B=∵四边形ABCD∴四边形为矩形∴CD=AH=（2分）∵tan CDCADAD==∠=∴∠CAD=30°∵EF∥AC∴∠1=∠CAD=30°（4分）（2）点G恰好在BC上，由对折的对称性可知△FGE≌△FDE∴ GE=DE =x，∠FEG=∠FED=60°∴∠GEC=60°因为△CEG是直角三角形∴∠EGC=30°∴在Rt△CEG中，EC=12EG=12x由DE+EC=CD 得12x x+=∴x=（5分）当0x＜≤EGF EDFy S S==△△12DE DF=⋅⋅12x=⋅2x当x≤FG，EG分别交BC于点M∵DE=x∴EC=x，NE=2()x∴NG=G E－NE=()2x x-=3x-又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°∴MG=tan30NG⋅︒3x-(113322MNGS NG MG x x=⋅⋅=--△23x=-（9分）(3)由题意可知:AB=6,分三种情况：①若AE=BE, 解得t=9②若AB=AE,解得③若BA=BE，解得分)3。

2020年中考几何题专题训练一答案解析\1、已知：在△ABC中，BC＝2AC，∠DBC＝∠ACB，BD＝BC，CD交线段AB于点E．（1）如图1，当∠ACB＝90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为；（2）如图2，当∠ACB＝120°时，求证：DE＝3CE；（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG 关于直线DG对称（点B的对称点是点K，延长DK交AB于点H．若BH＝10，求CE的长．2、（2016春•重庆校级期中）在△ABC中，AB＝AC，D为射线BC上一点，DB＝DA，E为射线AD上一点，且AE＝CD，连接BE．（1）如图1，若∠ADB＝120°，AC＝2，求DE的长；（2）如图2，若BE＝2CD，连接CE并延长交AB于点F，求证：CF＝3EF；（3）如图3，若BE⊥AD，垂足为点E，猜想AE，BE，BD之间的数量关系，直接写出关系式．3、（2019秋•江岸区校级月考）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°（1）如图1，P是边BD延长线上一点，以AP为边向右作等边△APE，连接BE、CE．①求证：CE⊥AD；②若AB＝，BE＝，求AE的长；（2）如图2，P是边CD上一点，点D关于AP的对称点为E，连接BE并延长交AP的延长线于点F，连接DE、DF．若BE＝11，DE＝5，求△ADF的面积．4、（2016秋•南岗区校级月考）已知：如图，在等边△ABC中，点D是AC上任意一点，点E在BC延长线上，连接DB，使得BD＝DE．（1）如图1，求证：AD＝CE；（2）如图2，取BD的中点F，连接AE、AF．求证：∠CAE＝∠BAF；（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作AE的垂线，垂足为H，若AH＝．求EH的长．5、已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在边BC上，连接AD，作DE⊥AD，且DE＝AD，连接BE、AE，DE与AB交于点H，（1）如图1所示，求证：∠C＝∠ABE；（2）如图2，把射线AD沿AB折叠，分别交BE、DE的延长线于点F、点G．若∠AEB＝75°，求证：HG＝2DH；（3）在（2）的条件下，若BE＝3，求DH的长？6、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是△ABC内部一点，连接AD，BD和CD．（1）如图1，若∠BDC＝90°，BD＝1，CD＝2，求AC的长．（2）如图2，若CD平分∠ACB，∠BDC＝90°，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，求证：AD ＝DE．（3）如图3，若CD＝CB，∠BCD＝30°，取线段AC的中点F，连接DF，求证：∠AFD＝45°7、（2013•洪山区模拟）如图1，直角梯形ABCD中，BC＝CD，AB∥CD，∠ABC＝90°，点P为边AD上一点，BC＝PB．（1）求证：∠CBP＝2∠DCP；（2）如图2，若∠ABP的平分线交CP的延长线于点E，连接DE，求证：BE+DE＝CE；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，请直接写出线段CE的长度．8、（2016秋•松北区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，点D在射线BC上，AB＝AD．（1）如图1，求证：BC+CD＝AC；（2）如图2，取AB的中点F，延长CA至点E，连接BE、DE、EF，使得∠ABE＝∠CAD，EF＝AE，求证：∠BEF＝2∠ABD；（3）如图3，在（2）的条件下，FG⊥BE于点G，FG＝4，EF＝，求△AED的面积．9、（2016•九龙坡区校级一模）已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，分别以AB、AC为边，向Rt△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（1）如图1，连接BE、CD，若BC＝2，求BE的长；（2）如图2，连接DE交AB于点F，作BH⊥AD于H，连接FH．求证：BH＝2FH；（3）如图3，取AB、CD得中点M、N，连接M、N，试探求MN和AE的数量关系，并直接写出结论．10、重庆八中初2020级九上期末11、重庆实验外国语学校初2020级九上期末12、重庆双福育才中学初2020级九上期末2020年中考几何题专题训练一答案解析\1、已知：在△ABC中，BC＝2AC，∠DBC＝∠ACB，BD＝BC，CD交线段AB于点E．（1）如图1，当∠ACB＝90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为DE＝2CE；（2）如图2，当∠ACB＝120°时，求证：DE＝3CE；（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG 关于直线DG对称（点B的对称点是点K，延长DK交AB于点H．若BH＝10，求CE的长．（1）解：∵∠DBC＝∠ACB＝90°，∴∠DBC+∠ACB＝180°，∴AC∥BD，∴∠DBE＝∠CAE又∵∠DEB＝∠AEC，∴△DBE∽△CAE，∴＝，又∵BD＝BC＝2AC，∴DE＝2CE；故答案为：DE＝2CE．（2）证明：如图2，∵∠DBC＝∠ACB＝120°，BD＝BC，∴∠D＝∠BCD＝30°，∴∠ACD＝90°，过点B作BM⊥DC于M，则DM＝MC，BM＝BC，∵AC＝BC，∴BM＝AC，∵在△BME和△ACE中∴△BME≌△ACE（AAS），∴ME＝CE＝CM，∴DE＝3EC；（3）解：如图，过点B作BM′⊥DC于点M′，过点F作FN⊥DB交DB的延长线于点N，设BF＝a，∵∠DBF＝120°，∴∠FBN＝60°，∴FN＝a，BN＝a，∵DB＝BC＝2BF＝2a，∴DN＝DB+BN＝a，∴DF＝＝＝a，∵AC＝BC，BF＝BC，∴BF＝AC，∴△BDF≌△BCA（SAS），∴∠BDF＝∠CBA，又∵∠BFG＝∠DFB，∴△FBG∽△FDB，∴＝＝，∴BF2＝FG×FD，∴a2＝a×FG，∴FG＝a，∴DG＝DF﹣FG＝a，BG＝＝a，∵△DKG和△DBG关于直线DG对称，∴∠GDH＝∠BDF，∴∠ABC＝∠GDH，又∵∠BGF＝∠DGH，∴△BGF∽△DGH，∴＝，∴GH＝＝a，∵BH＝BG+GH＝a＝10，∴a＝2；∴BC＝2a＝4，CM′＝BC cos30°＝2，∴DC＝2CM′＝4，∵DE＝3EC，∴EC＝DC＝．2、（2016春•重庆校级期中）在△ABC中，AB＝AC，D为射线BC上一点，DB＝DA，E为射线AD上一点，且AE＝CD，连接BE．（1）如图1，若∠ADB＝120°，AC＝2，求DE的长；（2）如图2，若BE＝2CD，连接CE并延长交AB于点F，求证：CF＝3EF；（3）如图3，若BE⊥AD，垂足为点E，猜想AE，BE，BD之间的数量关系，直接写出关系式．（1）解：∵DA＝DB，∠ADB＝120°，∴∠ABC＝∠BAD＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝30°，∴∠CAD＝90°，在RtACD中，tan30°＝，∴AD＝2×＝2，AE＝CD＝2AD＝4 ∴DE＝AE﹣AD＝CD﹣AD＝4﹣2＝2；（2）证明：如图，过A作AG∥BC，∵DB＝DA，AB＝AC，∴∠BAD＝∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB，∵AE＝CD，在△ABE和△CAD中∴△ABE≌△CAD（SAS），∴BE＝AD，∵BE＝2CD，∴AD＝2CD＝2AE，∴AE＝DE，∵AG∥BC，∴∠G＝∠DCE，∠GAE＝∠CDE，在△AGE和△DCE中∴△AGE≌△DCE（AAS），∴GE＝CE，AG＝CD＝AE，∴△AGE为等腰三角形，∴∠GAF＝∠ABC＝∠BAD，∴F为GE的中点，∴CE＝EG＝2EF，∴CF＝3EF；（3）如图3，取BE中点M，延长AM至N，使MN＝AM，连接BN，EN，∴四边形ABNE是平行四边形，∴AE∥BN，∴∠NBC＝∠D，BN＝AE＝CD，∵AB＝AC，DB＝DA，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAD，∴∠BAC＝∠D＝∠NBC，∵∠ABN＝∠NBC+∠ABC，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∴∠ABN＝∠ACD，在△ABN和△ACD中∴△ABN≌△ACD（SAS），∴BD＝AD＝AN＝2AM，∵BE⊥AD，∴AE2+ME2＝AM2，∴AE2+（BE）2＝（AN）2，∴AE2+BE2＝BD2．3、（2019秋•江岸区校级月考）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°（1）如图1，P是边BD延长线上一点，以AP为边向右作等边△APE，连接BE、CE．①求证：CE⊥AD；②若AB＝，BE＝，求AE的长；（2）如图2，P是边CD上一点，点D关于AP的对称点为E，连接BE并延长交AP的延长线于点F，连接DE、DF．若BE＝11，DE＝5，求△ADF的面积．（1）①证明：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝60°，且AB＝BC＝DA＝DC，∴△ADC和△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠CAD＝60°，又∵△APE是等边三角形，∴AE＝AP，∠EAP＝60°，∴∠BAC+∠CAP＝∠PAE+∠CAP，即∠BAP＝∠CAE，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABP＝∠ABC＝30°，∵∠CAD＝60°，∴∠ACE+∠CAD＝90°，∴CE⊥AD；②解：如图1，设AC与BD交于点O，由①知，∠ACE＝30°，且∠ACB＝60°，∴∠ACE+∠ACB＝∠BCE＝90°，∵在Rt△BCE中，BC＝AB＝，BE＝，∴CE＝＝4，由①知，△BAP≌△CAE，∴BP＝CE＝4，在Rt△BOC中，∠ACB＝60°，∴BO＝BC＝，CO＝AO＝BC＝，∴OP＝BP﹣BO＝，∴在Rt△AOP中，AP＝＝＝，∴AE＝AP＝；（2）解：如图2，连接AE，过点A作AH⊥BF于点H，∵点D关于AP的对称点为E，∴AP垂直平分DE，∴AD＝AE，FD＝FE，∴∠EAF＝∠DAF＝∠EAD，∠DFA＝∠EFA＝∠DFE，又∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∴AB＝AE，∴AH垂直平分BE，∴EH＝BH＝BE＝，∠BAH＝∠EAH＝∠BAE，∴∠HAF＝∠EAH+∠EAF＝∠BAD，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠HAF＝60°，∴∠AFH＝90°﹣∠HAF＝30°，∴∠DFE＝60°，∴△DEF为等边三角形，∴EF＝DE＝5，∴HF＝HE+EF＝+5＝，在Rt△AHF中，∠AFH＝30°，∴AH＝HF＝，∴S△AEF＝EF•AH＝×5×＝，∵AD＝AE，FD＝FE，AF＝AF，∴△ADF≌△AEF（SSS），∴△ADF的面积为．4、（2016秋•南岗区校级月考）已知：如图，在等边△ABC中，点D是AC上任意一点，点E在BC延长线上，连接DB，使得BD＝DE．（1）如图1，求证：AD＝CE；（2）如图2，取BD的中点F，连接AE、AF．求证：∠CAE＝∠BAF；（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作AE的垂线，垂足为H，若AH＝．求EH的长．解：（1）如图1，作DF∥AB，∵DF∥AB，∴，∵AC＝BC，∴CF＝CD，∴BF＝AD，∵DF∥AB，∴∠DFC＝60°，∴∠BFD＝120°，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBE，在△BDF和△EDC中，，∴△BDF≌△EDC，（AAS）∴BF＝CE，∴AD＝CE，（2）如图2，过点B作BG∥AC交AF的延长线于G，∴∠G＝∠DAF，∠CBG＝∠ACB＝60°，∴∠ABG＝∠ABC+∠CBG＝120°＝∠ACE，∵点F是BD中点，∴BF＝DF，在△BFG和△DFA中，，∴△BFG≌△DFA，∴BG＝AD，由（1）知，AD＝CE，∴BG＝CE，在△ABG和△ACE中，，∴△ABG≌△ACE，∴∠BAF＝CAE；（3）由（2）知，∠BAF＝∠CAE，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，∵FH⊥AE，∴∠AHF＝90°，∴∠AFH＝90°﹣∠FAE＝30°，在Rt△AFH中，AH＝，∴AF＝2，由（2）知，△BFG≌△DFA，∴GF＝AF＝2，由（2）知，△ABG≌△ACE，∴AE＝AG＝2AF＝4，∴EH＝AE﹣AH＝4﹣＝3．5、已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在边BC上，连接AD，作DE⊥AD，且DE＝AD，连接BE、AE，DE与AB交于点H，（1）如图1所示，求证：∠C＝∠ABE；（2）如图2，把射线AD沿AB折叠，分别交BE、DE的延长线于点F、点G．若∠AEB＝75°，求证：HG＝2DH；（3）在（2）的条件下，若BE＝3，求DH的长？证明：（1）如图1，过点E作EM⊥BC于M，∵∠ACB＝90°，AD⊥DE∴∠ACB＝∠ADE＝90°∵∠ADB＝∠ACB+∠DAC＝∠ADE+∠EDB∴∠DAC＝∠EDB，且∠ACD＝∠EMD＝90°，AD＝DE ∴△ACD≌△DME（AAS）∴AC＝DM，CD＝EM∵AC＝BC，∴BC＝DM∴CD＝BM∴BM＝EM，且EM⊥BM∴∠EBM＝45°∵∠C＝90°，AC＝BC∴∠ABC＝∠BAC＝45°∴∠ABE＝180°﹣∠ABC﹣∠EBM＝90°∴∠C＝∠ABE（2）如图2，过点E作EM⊥BC于M，∵∠C＝90°，AC＝BC，∠ADE＝90°，AD＝DE∴∠CAB＝∠DAE＝∠AED＝45°由（1）可知∠EBM＝45°，∴∠CBE＝135°，∵∠DAE+∠AEB+∠DBE+∠ADB＝360°，且∠AEB＝75°，∴∠ADB＝105°∴∠ACD+∠CAD＝∠ADB＝105°∴∠CAD＝15°∴∠DAB＝30°∵把射线AD沿AB折叠，分别交BE、DE的延长线于点F、点G．∴∠DAB＝∠BAG＝30°∴∠DAG＝60°，且∠ADE＝90°∴∠G＝30°＝∠BAG∴AH＝HG∵∠ADE＝90°，∠DAH＝30°∴AH＝2DH∴HG＝2DH（3）作EN平分∠DEB交BC于点N，∵EM＝BM，∠EMB＝90°∴BE＝EM，且BE＝3，∴EM＝∵∠AEB＝75°，∠AED＝45°∴∠DEN＝30°∵EN平分∠DEB∴∠DEN＝15°∵∠EDM＝∠CAD＝15°∴∠DEN＝∠EDB＝15°，∴DN＝EN，∠ENM＝30°，且EM⊥BM∴NE＝2EM＝3，NM＝EM＝在Rt△DEM中，DE＝＝3+3＝AD∵∠DAH＝30°，∠ADH＝90°∴AD＝DH＝3+3∴DH＝3+6、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是△ABC内部一点，连接AD，BD和CD．（1）如图1，若∠BDC＝90°，BD＝1，CD＝2，求AC的长．（2）如图2，若CD平分∠ACB，∠BDC＝90°，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，求证：AD ＝DE．（3）如图3，若CD＝CB，∠BCD＝30°，取线段AC的中点F，连接DF，求证：∠AFD＝45°解：（1）如图1，∵∠BDC＝90°，BD＝1，CD＝2，∴BC＝＝＝，∵AB＝BC＝，由勾股定理得：AC＝＝＝；（2）如图2，延长BD交AC于P，∵DC平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD，∵∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠PDC＝90°，∵CD＝CD，∴△BDC≌△PDC，∴BD＝PD，∵BE∥AC，∴∠E＝∠EAC，∠EBD＝∠DPA，∴△BDE≌△PDA，∴AD＝DE；（3）如图3，以BD为边作等边三角形BDE，连接BF、CE，∴BD＝DE＝BE，∵AB＝BC，F是AC的中点，∴BF⊥AC，∴∠AFB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴BF＝AF，∵CD＝BC，∠BCD＝30°，∴∠CBD＝∠CDB＝75°，∵CE＝CE，∴△CEB≌△CED，∴∠BCE＝∠DCE＝15°，∵∠CBD＝75°，∠DBE＝60°，∴∠CBE＝75°﹣60°＝15°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°﹣75°＝15°，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE＝15°，∴∠ABD＝∠BAD＝15°，∴AD＝BD，∵DF＝DF，∴△ADF≌△BDF，∴∠AFD＝∠BFD＝∠AFB＝×90°＝45°．7、（2013•洪山区模拟）如图1，直角梯形ABCD中，BC＝CD，AB∥CD，∠ABC＝90°，点P为边AD上一点，BC＝PB．（1）求证：∠CBP＝2∠DCP；（2）如图2，若∠ABP的平分线交CP的延长线于点E，连接DE，求证：BE+DE＝CE；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，请直接写出线段CE的长度．解：（1）取CP的中点F，连接BF，如图1，∵BC＝BP，BF是底边上的中点，∴∠CBF＝∠PBF＝∠CBP，BF⊥PC，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∵∠BCF+∠DCP＝90°，∴∠DCP＝∠CBF，∴∠CBP＝2∠DCP；（2）过得C作CG⊥CE交EB的延长线于点G，连接BD，如图2，∵BC＝CD，∠BCD＝90°，∴∠CBD＝45°，∵∠EBF＝∠EBP+∠PBF＝∠ABP+∠CBP＝45°，∴∠BEF＝180°﹣∠EBF﹣∠BFE＝45°，∴△CEG是等腰直角三角形，∴EG＝CE，CG＝CE，∵∠ECG＝90°＝∠BCD，∴∠BCG＝∠DCE，在△CBD和△CDE中∴△CBD≌△CDE（SAS），∴BG＝DE，∴DE+BE＝BG+BE＝EG＝CE；（3）CE＝，理由如下；取CD的中点M，连接MF，设MF的延长线交直线AB与B′，如图2，∵F是PC的中点，∴FM∥AD，∵AB∥CD，∴四边形AB′MD是平行四边形，∴AB′＝DM＝1＝AB，∴B′与B重合，即B、F、M在一条直线上，∴BM⊥CE，∵∠CBF＝∠MBC，∴△BFC∽△BCM，∴＝，即＝，∴BF＝2CF，∵∠BEF＝45°，∠BFE＝90°，∴EF＝BF＝2CF，∵CF＝PF，∴CF＝PF＝PE，CE＝3CF，∵S△BCM＝CF•BM＝BC•CM，∴CF＝＝＝，∴CE＝3CF＝．8、（2016秋•松北区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，点D在射线BC上，AB＝AD．（1）如图1，求证：BC+CD＝AC；（2）如图2，取AB的中点F，延长CA至点E，连接BE、DE、EF，使得∠ABE＝∠CAD，EF＝AE，求证：∠BEF＝2∠ABD；（3）如图3，在（2）的条件下，FG⊥BE于点G，FG＝4，EF＝，求△AED的面积．（1）证明：延长DB至E，使BE＝CD，连接AE，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABE+∠ABD＝180°，∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ABE＝∠ADC，在△ABE和△ADC中，，∴△ABE≌△ADC，∴∠C＝∠E＝60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC＝CE，∵BC+BE＝CE，∴BC+CD＝AC；（2）证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠CAD+∠ADB＝∠ACB＝60°，∠CAD＝∠ABE，∴∠ABE+∠ABD＝∠CAD+∠ADB＝60°，∴△BEC为等边三角形，过点A作AN∥BC交EB于N，∴△ENA为等边三角形，∠NAB＝∠ABD，∴AN＝AE，∴BN＝AC，∴∠NAB＝∠ADC，在△BNA和△ACD中，，∴△BNA≌△ACD，∴AN＝CD，∴CD＝AE，延长EF至M使得EF＝FM，连接BM，∴△AEF≌△BMF，∴AE＝BM，AE∥BM，∴BM＝CD，∠MBC＝∠ECB＝60°，∴∠EBM＝∠EBC+∠MBC＝120°，又∵∠ECD＝∠EBM＝120°，∴△BEM≌△CED，∴∠BEF＝∠CED，∵EF＝AE，∴∠EFA＝∠EAF，∴∠BEF+∠EBF＝∠ACB+∠ABD，∴∠BEF+60°﹣∠ABD＝∠ABD+60°，∴∠BEF＝2∠ABD∠CED＝2∠ABD；（3）解：由（2）得，△EMD是等边三角形，∴，过点A作AP⊥DE于P，由（2）可证△EFG≌△EAP，∴AP＝FG＝4，∴S△AED＝DE×AP＝××4＝37．9、（2016•九龙坡区校级一模）已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，分别以AB、AC为边，向Rt△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（1）如图1，连接BE、CD，若BC＝2，求BE的长；（2）如图2，连接DE交AB于点F，作BH⊥AD于H，连接FH．求证：BH＝2FH；（3）如图3，取AB、CD得中点M、N，连接M、N，试探求MN和AE的数量关系，并直接写出结论．解：（1）如图1，Rt△ABC中，∠CAB＝30°，BC＝2，∴AB＝4，AC＝2，∵△ACE是等边三角形，∴AE＝AC＝2，∠EAC＝60°，∴∠EAB＝60°+30°＝90°，在Rt△EAB中，EB＝＝＝2；（2）如图2，过E作EG∥BD，交BA的延长线于G，∴∠EGA＝∠ABD，∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠EGA＝60°，Rt△AEG中，设AG＝x，∴EG＝2x，AE＝x，∴AC＝AE＝BH＝x，∵∠BDH＝60°，∴BD＝2x，∴EG＝BD＝2x，∵∠EFG＝∠BFD，∴△EFG≌△DFB，∴EF＝DF，等边△ABD中，∵BH⊥AD，∴AH＝DH，∴FH是△AED的中位线，∴FH＝AE＝BH，∴BH＝2FH；（3）如图3，连接BN，并延长交AD于H，∵∠CBA＝60°＝∠BAD，∴BC∥AD，∴∠BCN＝∠NDH，∵CN＝ND，∠CNB＝∠DNH，∴△CNB≌△DNH，∴BN＝NH，BC＝DH，∵M是AB的中点，∴MN是△ABH的中位线，∴MN＝AH，设BC＝x，则DH＝x，AB＝AD＝2x，∴AH＝x，∴MN＝x，Rt△ACB中，AC＝2x，∴AE＝2x，∴＝＝，∴AE＝4MN．10、重庆八中初2020级九上期末11、重庆实验外国语学校初2020级九上期末12、重庆双福育才中学初2020级九上期末。