(全国I卷A)高考数学招生统一考试模拟试题(一)理(扫描版)

2023届高考理科数学模拟试题一(含答案及解析)本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1． 考生务必将自己的姓名、准考证号用黑墨水钢笔、签字笔写在答题卷上；2． 选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上，答在试题卷上不得分；3． 考试结束，考生只需将答题卷交回。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B *=*第一部分 选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数1z i =+，则2z= A ． i 2-B ．i 2C ．i -1D ．i +12. 设全集,U R =且{}|12A x x =->,{}2|680B x x x =-+<,则()U C A B =A ．[1,4)-B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(1,4)-3. 椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ．14B ．12C ． 2D ．4 4. ABC ∆中，3A π∠=，3BC =，AB =，则C ∠=A ．6πB ．4π C ．34π D ．4π或34π5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2510,55S S ，则过点(,)n P n a 和2(2,)n Q n a(n N ＋)的直线的斜率是A ．4B ．3C ．2D ．16.已知函数),2[)(+∞-的定义域为x f ,且1)2()4(=-=f f )()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如图所示， 则平面区域⎪⎩⎪⎨⎧<+≥≥1)2(00b a f b a 所围成的面积是A ．2B ．4C ．5D ．87. 一台机床有13的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ， 加工A 时,停机的概率是310，加工B 时，停机的概率是25，则这台机床停机的概率为( )A ． 1130B ．307 C ．107 D ．1018. 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()f x 的图象恰好通过()n n N +∈个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数。

全国卷Ⅰ新高考理科数学仿真模拟试卷一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A={x∈N|x+1>0},B={x|x2+2x-3≤0},则A∩B=A.{0,1}B.(0,1]C.(-1,1]D.[-1,1]2．设i为虚数单位,则复数z=1+2ii的虚部为A.-2B.-iC.iD.-13．已知a>1,则“log a x<log a y”是“x2<xy”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．已知|a|=1,|b|=√2,且a⊥(a-b),则向量a与向量b的夹角为A.π6B.π4C.π3D.2π35．设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),若函数f(x)在x=1处取得极大值,则函数y=−x f′(x)的图象可能是A. B. C. D.6．如图是甲、乙两位同学高二上学期历史成绩的茎叶图,有一个数字被污损,用a(3≤a≤8且a∈N)表示被污损的数字.则甲同学的历史平均成绩不低于乙同学的历史平均成绩的概率为A.13B.56C.16D.237．已知直线a⊥平面α,则“直线b∥平面α”是“b⊥a”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为A.-√33B.2-√3C.-2-√3D.√39．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n 2-9=4(S n -n ),数列{1a n ·a n+1}的前n 项和为T n ,则T 10=A.13B.17C.235D.22510．已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),双曲线C 2:x 2b 2−y 2a 2-2b 2=1,F 1,F 2分别为C 2的左、右焦点,P为C 1和C 2的交点,若三角形PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标为2,C 1和C 2的离心率之积为32,则该内切圆的半径为A.4√2-2√6B.4√2-2√3C.4√3-2√6D.4√6-2√311．已知函数f (x )= A sin(x +π3)+b (A >0)的最大值、最小值分别为3和-1,关于函数f (x )有如下四个结论:①A =2,b =1;②函数f (x )的图象C 关于直线x =-5π6对称;③函数f (x )的图象C 关于点(2π3,0)对称;④函数f (x )在区间(π6,5π6)内是减函数.其中,正确结论的个数是A.1B.2C.3D.412．如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E,F,且EF=12,则下列结论中错误的是___.A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF 的体积为定值D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．曲线f (x )=sin(x +π2)在点P (π2,f (π2))处的切线方程为 .14．已知在等比数列{a n }中,a n >0且a 3+a 4=a 1+a 2+3,记数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 6-S 4的最小值为 .15．某统计调查组从A ,B 两市各随机抽取了6个大型商品房小区调查空置房情况,并记录他们的调查结果,得到如图所示的茎叶图.已知A 市被调查的商品房小区中空置房套数的平均数为82,B 市被调查的商品房小区中空置房套数的中位数为77,则x -y = .16．已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线与x 轴的交点为Q ,双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被抛物线截得的弦为OP ,O 为坐标原点.若△PQF 为直角三角形,则该双曲线的离心率等于 .三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,sin 2A +sin 2B =4sin A sin B cosC.(1)求角C 的最大值;(2)若b =2,B =π3,求△ABC 的面积.18．(本题12分)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D 为BC 的中点,AB =AC ,BC 1⊥B 1D.求证:(1)A 1C ∥平面ADB 1; (2)平面A 1BC 1⊥平面ADB 1.19．(本题12分)某车床生产某种零件的不合格率为p (0<p <1),要求这部车床生产的一组5个零件中,有2个或2个以上不合格品的概率不大于0.05.为了了解该车床每天生产零件的利润,现统计了该车床100天生产的零件组数(1组5个零件),得到的条形统计图如下.现以记录的100天的日生产零件组数的频率作为日生产零件组数的概率. (1)设平均每天可以生产n 个零件,求n 的值; (2)求p 的最大值p 0;(3)设每个零件的不合格率是p 0,生产1个零件的成本是20元,每个合格零件的出厂价为120元,不合格的零件不得出厂,不计其他成本.假设每天该机床生产的零件数为n ,X 表示这部车床每天生产零件的利润,求X 的数学期望E (X ). (参考数据:0.924×1.32的取值为0.95)20．(本题12分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(-1,32),且它的右焦点为F (1,0).直线l :y =kx +1与椭圆C 有两个不同的交点A ,B. (1)求椭圆C 的方程;(2)设点M 在y 轴上(M 不在l 上),且满足S1S 2=|AM||BM|,其中S 1,S 2分别为△OAM ,△OBM 的面积,求点M 的坐标.21．(本题12分)已知函数f (x )=e x -12ax 2+b (a >0),函数f (x )的图象在x =0处的切线方程为y =x +1.(1)当a =1时,求函数f (x )在[0,2]上的最小值与最大值; (2)若函数f (x )有两个零点,求a 的值.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。

★启用前注意保密2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学本试卷共5页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上。

将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x|lnx＜1}，N＝{x|x2﹣4≥0}，则M∩（∁U N）＝（）A．（﹣2，e）B．（﹣2，2）C．（0，e）D．（0，2）2．（5分）复数1+i+i2+…+i15等于（）A．0B．i C．﹣i D．13．（5分）已知直线l1：ax+2y+3＝0，l2：x+（3﹣a）y﹣3＝0，则“a＝6”是“l1⊥l2”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）23456销售额y（万元）1925343844根据上表可得回归直线方程为y=6.3x+a，下列说法正确的是（）A．回归直线y=6.3x+a必经过样本点（2，19）、（6，44）B．这组数据的样本中心点(x，y)未必在回归直线y=6.3x+a上C．回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元D．据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元5．（5分）若a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．|a |＞|b |B ．a 2＞b 2C ．1a＞1bD ．1a−b＞1a6．（5分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DC 的中点，则异面直线BM 与A 1C 所成角的正弦值为（ ）A ．√21015B ．√1515C ．√6565D ．865√657．（5分）若函数f （x ）＝（3a ﹣1）x 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(23，+∞)B ．(0，23)C ．(13，23)D ．(−∞，23)8．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝3，√15bcosA =asinB ，则△ABC 面积的最大值是（ ） A ．3√152B ．3√154C ．3√158D ．3√15169．（5分）若函数f （x ）＝cos （2x +θ）+sin 2x 的最大值为G （θ），最小值为g （θ），则以下结论正确的个数为（ ）（1）∃θ0∈R ，使G （θ0）+g （θ0）＝π （2）∃θ0∈R ，使G （θ0）﹣g （θ0）＝π （3）∃θ0∈R ，使|G （θ0）•g （θ0）|＝π （4）∃θ0∈R ，使|G(θ0)g(θ0)|=πA ．3B ．2C ．1D ．010．（5分）点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点，动点P 在正方形BCC 1B 1（包括边界）内运动，且P A 1∥面AMN ，则P A 1的长度范围为（ ） A ．[1，√52]B ．[3√24，√52]C ．[3√24，32]D ．[1，32]11．（5分）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ） A ．经过点O B ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP12．（5分）在△ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足BA →+BC →=3BP →，则△ABP 与△ABC 面积之比为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．16二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）若sin2α1−cos2α=13，tan （β﹣2α）＝1，则tan （α﹣β）＝ ．14．（5分）若（2a 2+b 3）n 的二项展开式中有一项为ma 4b 12，则m ＝ ．15．（5分）已知梯形ABCD 满足AB ∥CD ，∠BAD ＝45°，以A ，D 为焦点的双曲线Γ经过B ，C 两点．若CD ＝7AB ，则Γ的离心率为 ．16．（5分）已知函数f （x ）＝|4x ﹣3|+2，若函数g （x ）＝[f （x ）]2﹣2mf （x ）+m 2﹣1有4个零点，则m 的取值范围是 ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）S n 为各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，3a 3是a 4和a 5的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =a n (a n +1)(a n+1+1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜12．18．（12分）如图，在棱长均为2的三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面A 1CB ⊥平面A 1ABB 1，AB 1＝A 1B ，O 为AB 1与AB 的交点． （1）求证：AB 1⊥CO ；（2）求平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．19．（12分）第十三届全国人民代表大会第二次会议和政协第十三届全国委员会第二次会议（简称两会）将分别于2019年3月5日和3月15日在北京开幕．全国两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，网约车安全问题是百姓最为关心的热点之一，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人赠送礼品，求抽取的3人中至少有1人年龄在第3组的概率；（Ⅱ）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注网约车安全问题的人数为X ，求X 的分布列与期望；（Ⅲ）把年龄在第1，2，3组的人称为青少年组，年龄在第4，5组的人称为中老年组，若选出的200人中不关注网约车安全问题的人中老年人有10人，问是否有99%的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关？附： P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d20．（12分）过平面上点P 作直线l 1：y =12x ，l 2：y =−12x 的平行线分别交y 轴于点M ，N 且|OM |2+|ON |2＝8． （1）求点P 的轨迹C 方程；（2）若过点Q （0，1）的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，若S △AOB =√7，求直线l 的方程．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣1﹣xlnx ．（1）判断函数f （x ）的单调性；（2）设函数h （x ）＝f （x ）﹣ax ﹣1，讨论当x ∈[1，+∞）时，函数h （x ）的零点个数． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：{x =√3+2cosαy =−1+2sinα（其中α为参数）．以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系的单位长度相同） （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设点A的极坐标为（3，﹣2π3），点B在曲线C上运动，求△OAB面积的最大值以及此时点B的极坐标．五．解答题（共1小题）23．（1）设a，b∈（0，+∞），且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．（2）设a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，求证：1a +1b+1c＞√a+√b+√c．2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x|lnx＜1}，N＝{x|x2﹣4≥0}，则M∩（∁U N）＝（）A．（﹣2，e）B．（﹣2，2）C．（0，e）D．（0，2）【解答】解：∵M＝{x|0＜x＜e}，N＝{x|x≤﹣2或x≥2}，U＝R，∴∁U N＝{x|﹣2＜x＜2}，M∩（∁U N）＝（0，2）．故选：D．2．（5分）复数1+i+i2+…+i15等于（）A．0B．i C．﹣i D．1【解答】解：1+i+i2+…+i15=1×(1−i16)1−i=1−141−i=0．故选：A．3．（5分）已知直线l1：ax+2y+3＝0，l2：x+（3﹣a）y﹣3＝0，则“a＝6”是“l1⊥l2”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：l1：ax+2y+3＝0，l2：x+（3﹣a）y﹣3＝0，l1⊥l2⇔a×1+2×（3﹣a）＝0⇔a＝6．故“a＝6”是“l1⊥l2”的充分必要条件，故选：C．4．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）23456销售额y（万元）1925343844根据上表可得回归直线方程为y=6.3x+a，下列说法正确的是（）A．回归直线y=6.3x+a必经过样本点（2，19）、（6，44）B．这组数据的样本中心点(x，y)未必在回归直线y=6.3x+a上C ．回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元D ．据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元【解答】解：回归直线y =6.3x +a ，不一定经过任何一个样本点，故A 错；由最小二乘法可知，这组数据的样本中心点(x ，y)一定在回归直线y =6.3x +a 上，故B 错；回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，预测销售额增加6.3万元，故C 错； x =15(2+3+4+5+6)=4，y =15(19+25+34+38+44)=32， 将（4，32）代入y =6.3x +a ，可得a =6.8，则回归方程为y =6.3x +6.8， x ＝7时，y =6.3×7+6.8=50.9，故D 正确． 故选：D ．5．（5分）若a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．|a |＞|b |B ．a 2＞b 2C ．1a＞1bD ．1a−b＞1a【解答】解：∵a ＜b ＜0，∴|a |＞|b |，a ab＜bab ，即1b ＜1a ，a 2＞b 2，因此A ，B ，C 正确． 对于D ：∵0＞a ﹣b ＞a ，∴a−b a(a−b)＞aa(a−b)，即1a ＞1a−b，因此D 不正确．故选：D ．6．（5分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DC 的中点，则异面直线BM 与A 1C 所成角的正弦值为（ ）A ．√21015B ．√1515C ．√6565D ．865√65【解答】解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DC 的中点，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中设棱长为2，则B （2，2，0），M （0，1，0），A 1（2，0，2），C （0，2，0）， BM →=（﹣2，﹣1，0），A 1C →=（﹣2，2，﹣2），cos ＜BM →，A 1C →＞=BM →⋅A 1C→|BM →|⋅|A 1C →|=2√5⋅√12=√1515， 则异面直线BM 与A 1C 所成角的正弦值为1−(√1515)2=√21015．故选：A ．7．（5分）若函数f （x ）＝（3a ﹣1）x 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(23，+∞)B ．(0，23) C ．(13，23) D ．(−∞，23)【解答】解：函数f （x ）＝（3a ﹣1）x 是R 上的增函数， 则3a ﹣1＞1， 解得a ＞23；所以实数a 的取值范围是（23，+∞）．故选：A ．8．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝3，√15bcosA =asinB ，则△ABC 面积的最大值是（ ） A ．3√152B ．3√154C ．3√158D ．3√1516【解答】解：因为√15bcosA =asinB ， 所以由正弦定理可得√15sinBcosA =sinAsinB ， 因为sin B ≠0，所以√15cosA =sinA ，即tanA =√15， 则sinA =√154，cosA =14．由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即9=b2+c2−12bc≥2bc−12bc=32bc，则bc≤6，故△ABC的面积S=12bcsinA≤12×6×√154=3√154．故选：B．9．（5分）若函数f（x）＝cos（2x+θ）+sin2x的最大值为G（θ），最小值为g（θ），则以下结论正确的个数为（）（1）∃θ0∈R，使G（θ0）+g（θ0）＝π（2）∃θ0∈R，使G（θ0）﹣g（θ0）＝π（3）∃θ0∈R，使|G（θ0）•g（θ0）|＝π（4）∃θ0∈R，使|G(θ0)g(θ0)|=πA．3B．2C．1D．0【解答】解：f（x）＝cos（2x+θ）+sin2x＝cos2x cosθ﹣sin2x sinθ+12（1﹣cos2x）＝﹣sinθsin2x+（cosθ−12）cos2x+12=√sin2θ+(cosθ−12)2sin（2x+φ）+12，∴G（θ）=√sin2θ+(cosθ−12)2+12=√54−cosθ+12，g（θ）=−√54−cosθ+12，所以G（θ）+g（θ）＝1，G（θ）g（θ）＝cosθ﹣1∈[﹣2，0]，G（θ）﹣g（θ）＝2√54−cosθ∈[1，3]，当g（θ）≠0时，|G(θ0)g(θ0)|=√54−cosθ+12√54−cosθ−12=1√54−cosθ−12∈[2，+∞），所以（1）（2）（3）错误，（4）正确．故选：C．10．（5分）点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且P A1∥面AMN，则P A1的长度范围为（）A．[1，√52]B．[3√24，√52]C．[3√24，32]D．[1，32]【解答】解：取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A 1O ，∵点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点， ∴AM ∥A 1E ，MN ∥EF ， ∵AM ∩MN ＝M ，A 1E ∩EF ＝E ， ∴平面AMN ∥平面A 1EF ，∵动点P 在正方形BCC 1B 1（包括边界）内运动，且P A 1∥面AMN ， ∴点P 的轨迹是线段EF ，∵A 1E ＝A 1F =√12+(12)2=√52，EF =12√12+12=√22， ∴A 1O ⊥EF ，∴当P 与O 重合时，P A 1的长度取最小值：A 1O =(√52)2+(√24)2=3√24， 当P 与E （或F ）重合时，P A 1的长度取最大值：A 1E ＝A 1F =√52．∴P A 1的长度范围为[3√24，√52]． 故选：B ．11．（5分）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ） A ．经过点O B ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP【解答】解：（本题属于选择题）不妨设抛物线的方程为y 2＝4x ，则F （1，0），准线为l 为x ＝﹣1， 不妨设P （1，2）， ∴Q （﹣1，2），设准线为l 与x 轴交点为A ，则A （﹣1，0），可得四边形QAFP 为正方形，根据正方形的对角线互相垂直， 故可得线段FQ 的垂直平分线，经过点P ， 故选：B ．12．（5分）在△ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足BA →+BC →=3BP →，则△ABP 与△ABC 面积之比为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．16【解答】解：D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足BA →+BC →=3BP →， 设AC 的中点为M ，又因为BA →+BC →=2BM →，所以BP →=23BM →， 可得B ，P ，M 三点共线，且P 为三角形ABC 的重心， 由重心性质可得：S △ABP S ABC=13．故选：B ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）若sin2α1−cos2α=13，tan （β﹣2α）＝1，则tan （α﹣β）＝ 2 ．【解答】解：由sin2α1−cos2α=13，得2sinαcosα2sin 2α=13，即tan α＝3．又tan （β﹣2α）＝1，∴tan （α﹣β）＝tan[﹣α﹣（β﹣2α）]＝﹣tan[α+（β﹣2α）] =−tanα+tan(β−2α)1−tanαtan(β−2α)=−3+11−3×1=2． 故答案为：2．14．（5分）若（2a 2+b 3）n的二项展开式中有一项为ma 4b 12，则m ＝154．【解答】解：根据二项式的展开式的通项为T r+1=C n r 2n−r a 2n−2r b 3r，令{2n −2r =43r =12，解得{n =6r =4， 所以m =C 6422=60．故答案为：60．15．（5分）已知梯形ABCD 满足AB ∥CD ，∠BAD ＝45°，以A ，D 为焦点的双曲线Γ经过B ，C 两点．若CD ＝7AB ，则Γ的离心率为3√24．【解答】解：如图：连接AC ，BD ；设双曲线的焦距AD ＝2c ；实轴长为2a ；则BD ﹣AB＝AC ﹣CD ＝2a ；设AB ＝m ，则CD ＝7m ，BD ＝2a +m ，AC ＝2a +7m ，依题意，∠BAD ＝45°，∠ADC ＝135°， 在△ABD 中，由余弦定理及题设可得：（2a +m ）2＝m 2+4c 2﹣2√2mc ； 在△ACD 中，由余弦定理及题设可得：（2a +7m ）2＝49m 2+4c 2+14√2mc ； 整理得：√2（c 2﹣a 2）＝m （√2a +c ）； √2（c 2﹣a 2）＝7m （ √2a ﹣c ）； 两式相结合得：√2a +c ＝7（√2a ﹣c ）⇒6 √2a ＝8c ； ∴双曲线Γ的离心率为e =ca =3√24； 故答案为：3√24．16．（5分）已知函数f （x ）＝|4x ﹣3|+2，若函数g （x ）＝[f （x ）]2﹣2mf （x ）+m 2﹣1有4个零点，则m 的取值范围是 （3，4） ．【解答】解：g （x ）＝[f （x ）]2﹣2mf （x ）+m 2﹣1＝0， 即[f （x ）﹣（m +1）][f （x ）﹣（m ﹣1）]＝0， 解得f （x ）＝m ﹣1或f （x ）＝m +1． 由f （x ）的图象， 可得{2＜m −1＜52＜1+m ＜5，解得3＜m ＜4，即m 的取值范围是（3，4）． 故答案为：（3，4）．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）S n为各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和，a1＝1，3a3是a4和a5的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n(a n+1)(a n+1+1)，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜12．【解答】（Ⅰ）解：由题意，设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），则a3＝q2，a4＝q3，a5＝q4，∵3a3是a4和a5的等差中项，∴6a3＝a4+a5，即6q2＝q3+q4，化简整理，得q2+q﹣6＝0，解得q＝﹣3（舍去），或q＝2，∴a n＝1•2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*，（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），可得b n=a n(a n+1)(a n+1+1)=2n−1(2n−1+1)(2n+1)=12n−1+1−12n+1，∴T n＝b1+b2+…+b n=11+1−121+1+121+1−122+1+⋯+12n−1+1−12n+1=12−12n+1＜1 2，∴T n＜1 2．18．（12分）如图，在棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1CB⊥平面A1ABB1，AB1＝A1B，O为AB1与AB的交点．（1）求证：AB1⊥CO；（2）求平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵在棱长均为2的三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中， 四边形A 1ABB 1是菱形， ∴A 1B ⊥AB 1，∵平面A 1CB ⊥平面A 1ABB 1，平面A 1CB ∩平面A 1ABB 1＝A 1B ， ∴A 1B ⊥平面A 1CB ，∵CO ⊂平面A 1CB ，∴AB 1⊥CO ．（2）解：∵AB 1＝A 1B ，∴菱形A 1ABB 1为正方形， 在Rt △COA 中，CO =√AC 2−OA 2=√2，在△COB 中，CO ＝OB =√2，CB ＝2，CO 2+OB 2＝CB 2， ∴CO ⊥OB ，又CO ⊥AB 1，A 1B ∩AB 1＝O ， ∴CO ⊥平面A 1ABB 1，以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， A （√2，0，0），A 1（0，−√2，0），C （0，0，√2），B （0，√2，0）， AA 1→=（−√2，−√2，0），AC →=（−√2，0，√2），AB →=（−√2，√2，0）， 设平面ACC 1A 1的一个法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AC →=−√2x +√2z =0n →⋅AA 1→=−√2x −√2y =0，取x ＝1，n →=（1，﹣1，1）， 设平面ABC 的一个法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AC →=−√2x +√2z =0m →⋅AB →=−√2x +√2y =0，取x ＝1，得m →=（1，1，1）， 设平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=1√3×√3=13，∴平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为13．19．（12分）第十三届全国人民代表大会第二次会议和政协第十三届全国委员会第二次会议（简称两会）将分别于2019年3月5日和3月15日在北京开幕．全国两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，网约车安全问题是百姓最为关心的热点之一，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人赠送礼品，求抽取的3人中至少有1人年龄在第3组的概率；（Ⅱ）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注网约车安全问题的人数为X，求X 的分布列与期望；（Ⅲ）把年龄在第1，2，3组的人称为青少年组，年龄在第4，5组的人称为中老年组，若选出的200人中不关注网约车安全问题的人中老年人有10人，问是否有99%的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关？附：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d【解答】解：（I）由10（0.01+a+0.015+0.03+0.01）＝1，得a＝0.035，所以第1，2，3组的人数分别为20，30，70，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2，3，7，记从12人中随机抽取3人，至少有1人年龄在第3组为事件A，则P(A)=1−C53C123=2122，（II ）由题知参与调查的人中关注网约车安全问题的概率为45，X ＝0，1，2，3，X ～B （3，45），P(X =0)=C 30(1−45)3=1125，P(X =1)=C 3145(1−45)2=12125， P(X =2)=C 32(45)2(1−45)1=48125，P(X =3)=C 33(45)3=64125所以X 的分布列为：X 0123P 1125121254812564125E(X)=3×45=125； （III ）由题意得2×2列联表如下：关注网约车安全不关注网约车安全合计 青少年 90 30 120 中老年 70 10 80 合计16040200K 2=200×(90×10−70×30)2160×40×80×120=7516=4.6875＜6.635，所以没有99%的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关．20．（12分）过平面上点P 作直线l 1：y =12x ，l 2：y =−12x 的平行线分别交y 轴于点M ，N 且|OM |2+|ON |2＝8． （1）求点P 的轨迹C 方程；（2）若过点Q （0，1）的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，若S △AOB =√7，求直线l 的方程．【解答】解：（1）设P （x 0，y 0），若P 为原点，则M ，N 都为原点O ，|OM |＝|ON |＝0，不合题意， 所以P 不为原点，由题设y =12(x −x 0)+y 0，令x ＝0，得y M =y 0−12x 0， 再由y =−12(x −x 0)+y 0，令x ＝0，得y N =y 0+12x 0，又|OM |2+|ON |2＝8，即(y 0−12x 0)2+(y 0+12x 0)2=8 化简整理得：x 0216+y 024=1，所以点P 的轨迹C 方程x 216+y 24=1．（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，A ，B ，O 在一条直线上，不合题意，直线l 的斜率存在，故设其方程为y ＝kx +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， {y =kx +1x 216+y 24=1⇒(4k 2+1)x 2+8kx −12=0，则x 1+x 2=−8k4k 2+1，x 1⋅x 2=−124k 2+1，从而|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=√256k 2+484k 2+1，又S △AOB=12|OQ|⋅|x 1−x 2|=12×1×√256k 2+484k 2+1=3√72， 所以k 2=14⇒k =±12， 故直线l 的方程为y =±12x +1． 21．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣1﹣xlnx ．（1）判断函数f （x ）的单调性；（2）设函数h （x ）＝f （x ）﹣ax ﹣1，讨论当x ∈[1，+∞）时，函数h （x ）的零点个数． 【解答】解：（1）f （x ）的定义域是（0，+∞）， f ′（x ）＝e x ﹣1﹣lnx ﹣1，f ″（x ）＝e x ﹣1−1x ，∵f ″（x ）在（0，+∞）递增，且f ″（1）＝0， 故x ∈（0，1）时，f ″（x ）＜0，f ′（x ）递减， 当x ∈（1，+∞）时，f ″（x ）＞0，f ′（x ）递增，从而当x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）≥f ′（1）＝0，f （x ）递增， 故函数f （x ）在（0，+∞）递增，无递减区间；（2）h （x ）＝f （x ）﹣ax ﹣1＝e x ﹣1﹣xlnx ﹣ax ﹣1，x ＞0，令h （x ）＝0，得a =e x−1x −lnx −1x ，令g （x ）=e x−1x −lnx −1x ，则函数h （x ）在x ∈[1，+∞）的零点个数即直线y ＝a 和函数g （x ）的图象在[1，+∞）上的交点个数， 又g ′（x ）=(ex−1−1)(x−1)x 2，故当x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）递增， 故g （x ）在[1，+∞）的最小值是g （1）＝0， 又∵当x →+∞时，g （x ）→+∞，故①a ≥0时，直线y ＝a 与函数g （x ）的图象在[1，+∞）上有1个交点， ②当a ＜0时，直线y ＝a 与函数g （x ）的图象在[1，+∞）上没有交点， 综上，当a ≥0时，函数h （x ）在[1，+∞）上有1个零点， 当a ＜0时，函数h （x ）在[1，+∞）上没有零点． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：{x =√3+2cosαy =−1+2sinα（其中α为参数）．以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系的单位长度相同） （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设点A 的极坐标为（3，﹣2π3），点B 在曲线C 上运动，求△OAB 面积的最大值以及此时点B 的极坐标．【解答】解：（1）曲线C ：{x =√3+2cosαy =−1+2sinα（其中α为参数），转换为直角坐标方程为(x −√3)2+(y +1)2=4， 整理得x 2+y 2−2√3x +2y =0， 根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为：ρ2−2√3ρcosθ+2ρsinθ=0，化简为：ρ=4cos(θ+π6)．（2）设B （ρ，θ），A 的极坐标为（3，﹣2π3），所以OA 和OB 的夹角为θ+2π3，所以S △OAB =12×3×ρ×sin(θ+2π3)=32×4×cos(θ+π6)×sin(θ+2π3)，=6cos2(θ+π6)，当θ+π6=0时，S△OAB的最大值为6，即B（4，−π6）．五．解答题（共1小题）23．（1）设a，b∈（0，+∞），且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．（2）设a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，求证：1a +1b+1c＞√a+√b+√c．【解答】（1）方法一（分析法）：要证a3+b3＞a2b+ab2成立，即需证（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b）成立，又因a+b＞0，故只需证a2﹣ab+b2＞ab成立，即需证a2﹣ab+b2＞0 成立，即需证（a﹣b）2＞0 成立，而依题设a≠b，则（a﹣b）2＞0 显然成立，由此命题得证；方法二（综合法）：a≠b⇔a﹣b≠0⇔（a﹣b）2＞0⇔a2﹣2ab+b2＞0⇔a2﹣ab+b2＞ab，注意到a，b∈（0，+∞），a+b＞0，由上式即得（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b），所以a3+b3＞a2b+ab2；（2）解：∵a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，∴1a +1b+1c=bc+ca+ab，又bc+ca≥2√bc⋅√ca=2√c，ca+ab≥2√ca⋅√ab=2√a，ab+bc≥2√ab⋅√bc=2√b，且a，b，c不全相等，∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立，∴2bc+2ca+2ab＞2√c+2√a+2√b，即bc+ca+ab＞√c+√b+√a，故1a+1b+1c＞√a+√b+√c．。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.1.已知集合A=(X |y=logax},B=(X-2≤X≤2),则AnB=()A(0,2) B[1.2] C(-的，2) D.[-2,2]2.若复数：=1-1.:为二的共轭复数，则复的虚部为《)A- 1 B.i C.- 1 D.13.如图所示的是一块儿童玩具积木的三视图，其中俯视图中的半曲线段为半固，则该积木的表面积为《)A.26+π4.已知命题P:3xg∈(-9,0),2 <3,则～p 为() A3XgE(-0,0),25≥35 8.3Xg ∈(0,+0),2S<34 C.VK ∈(-2,0),2⁷≥32 D.VTg ∈(0,+0),2⁵<3*5.在某校连续5次考试成绩中，统计甲，乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图。

已知甲同学5次成绩 的平均数为81,乙同学5次成绩的中位数为73,则x+y 的值为()甲A4 8.3 C.6 D.56.若执行如图所示的程序框图，其中rand[0,1]表示区间[0,1]上任意一个实数，则输出数对(共》)的概率为 《)7.已如，b 表示两条不同的直线，在，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是() A .若ala,b1β,a1b,则a1β B .若a1a,b18,8//β,则x//b C 若an β=a,α//b,则b//a 或b//β D .若a1m,a1b,g//β,则b//8.若实数x,y 满是、则E=1--9最大值是()A.19.将y=3sin4x 的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度得到y=f(x)的图象，若f(m)= a,A.-a-3B.-6 C-a-6 D.-8+310.已知圆C:x²+y²-kx+2y=0与圆Cz:x²+y²+ky -4=0的公共弦所在直线恒过定点P(a,b),且点P 在直线mx-my-2=0上，则州判的取值范围是() A. (0, 8. ((11. 已 知 在 · A B C 中 ， 角A , B , C 所 对 的 边 分 别 为a , b , e , b e e s C = a ,点M 在 线 段A 5上 ， 且Z A C M =ZBCM .着b=6CN=6,则c05ZBCM=()12.设函数/(×)=In(x+1)+8(²-x),若f(x)在区间(0,+0)上无零点，则实数a 的取值范围是()A.[- 1,0]B.[0,1] C[- 1,1] D([0,2) 二、填空题(每题5分，满分20分，将著案填在等题纸上)=已知焦点在x 轴上的双曲线 它的焦点F 到渐近线的距离的取值芯围是第1页其10页 ○ 第2页其10页四x=ra/[0.1] J=1 41 +4? 2错出整对(y )皆魂西2020年全国高考1卷理科数学模拟试卷(一) D.26-πB.266.0乙已知在20AB中，0A=0B=2,AB=2V3,动点P位于线段AB上，则当PA+PO取最小值时，自量βA与PO的夹角的余弦值为已知定义在R上奇函数f(×)和偶函数g(4)满是若g(x+5)+8(一)<g(x)+8(G,则莲的取仙范围!二、解等题(本大题共5小题，共70分，解等应写出文宇说用、证明过程或演算步骤.)设等差数列{4-)的前的项和为S,点(1 Sn)在函数f(x)=r²+Bx+C-1(8,CeR)的图象上，Hai=C.《1)求数列[0。