2020-2021福州市高三数学上期中第一次模拟试卷含答案
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2020-2021福州市高三数学上期中第一次模拟试卷含答案
一、选择题
1．已知首项为正数的等差数列na的前n项和为nS，若1008a和1009a是方程2201720180xx的两根，则使0nS成立的正整数n的最大值是（ ）
A．1008 B．1009 C．2016 D．2017
2．已知关于x的不等式224300xaxaa的解集为12,xx，则1212axxxx的最大值是（ ）
A．63 B．233 C．433 D．433
3．设{}na是首项为1a，公差为-1的等差数列，nS为其前n项和，若124,,SSS成等比数列，则1a=（ ）
A．2 B．-2 C．12 D．12
4．已知{}na为等差数列，nS为其前n项和，若3572aa，则13S（ ）
A．49 B．91 C．98 D．182
5．在斜ABC中，设角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sinsinsin4sincosaAbBcCbBC，CD是角C的内角平分线，且CDb，则cosC= （ ）
A．18 B．34 C．23 D．16
6．已知数列{an} 满足a1=1，且111()(233nnnaan，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为（ ）
A．32nnan B．23nnna C．an=n+2 D．an=（ n+2）·3n
7．在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc， 2cos22Abcc，则ABC的形状为
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
8．已知等比数列na的各项均为正数，若3132312logloglog12aaa，则67aa＝（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
9．如图，有四座城市A、B、C、D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30°方向，且与A相距60km；C在B的北偏东30°方向，且与B相距6013km，一架飞机从城市D出发以360/kmh的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有（ ）
A．120km B．606km C．605km D．603km
10．若函数1()(2)2fxxxx在xa处取最小值，则a等于（ ）
A．3 B．13 C．12 D．4
11．在等差数列na中，如果123440,60aaaa，那么78aa（ ）
A．95 B．100 C．135 D．80
12．在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若sin23sin0bAaB，3bc，则ca的值为（ ）
A．1 B．33 C．55 D．77
二、填空题
13．设0,0,25xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为______.
14．等差数列na中，1351,14,aaa其前n项和100nS，则n=＿＿
15．在无穷等比数列na中，123,1aa，则1321limnnaaa______．
16．已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc.若1c，ABC的面积为2214ab，则ABC面积的最大值为_____.
17．在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，5cos23C，且coscos2aBbA，则ABC面积的最大值为 ．
18．若两个正实数,xy满足141xy，且不等式234yxmm有解，则实数m的取值范围是____________ .
19．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？
20．在锐角ΔABC中,内角,,ABC的对边分别为,,abc,已知24,sin4sin6sinsinabaAbBaBC,则ABCn的面积取最小值时有2c__________.
三、解答题
21．已知,,abc分别是ABC△的角,,ABC所对的边，且222,4cabab．
（1）求角C；
（2）若22sinsinsin(2sin2sin)BACAC，求ABC△的面积．
22．若nS是公差不为0的等差数列na的前n项和，且124,,SSS成等比数列，24S.
（1）求数列na的通项公式；
（2）设13,nnnnbTaa是数列nb的前n项和，求使得20nmT对所有nN都成立的最小正整数m.
23．如图，在平面四边形ABCD中，42AB，22BC，4AC.
（1）求cosBAC；
（2）若45D，90BAD，求CD.
24．在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果A、B、C成等差数列且3b．
（1）当4A时，求ABC的面积S；
（2）若ABC的面积为S，求S的最大值．
25．在ABC角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若3asinBbcosA．
（1）求角A；
（2）若ABC的面积为235a，，求ABC的周长．
26．在△ABC中，角,,ABC所对的边分别是,,abc，且4cos5A．
（1）求2sincos22BCA的值；
（2）若2b，ABC的面积3S，求a的值．
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
依题意知100810091008100920170,20180aaaa，Q数列的首项为正数，1201610081009100810092016201620160,0,022aaaaaaS，12017201710092017201702aaSa，使0nS成立的正整数n的最大值是2016，故选C.
2．D
解析：D
【解析】
：不等式x2-4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），
根据韦达定理，可得：2123xxa，x1+x2=4a，
那么：1212axxxx=4a+13a．
∵a＜0，
∴-（4a+13a）≥2143aa=433，即4a+13a≤-433
故1212axxxx的最大值为433．
故选D．
点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
把已知2214SSS=用数列的首项1a和公差d表示出来后就可解得1a．，
【详解】
因为124SSS，，成等比数列，所以2214SSS=，即211111(21)(46).2aaaa， 故选D.
【点睛】
本题考查等差数列的前n项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．
4．B
解析：B
【解析】
∵3572aa，∴11272(4)adad，即167ad，∴13711313(6)13791Saad，故选B．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用正弦定理角化边可构造方程2coscosbCCa，由cos0C可得2ab；利用ABCACDBCDSSS可构造方程求得3cos24C，利用二倍角公式求得结果.
【详解】
由正弦定理得：22224cosabcbC
则22224cos2coscos22abcbCbCCababa
ABCQ为斜三角形 cos0C 2ab
ABCACDBCDSSSQ 1112sinsin2sin22222CCbbCbbbb
即：2sin4sincos3sin222CCCC
0,CQ 0,22C sin02C 3cos24C
291cos2cos1212168CC
本题正确选项：A
【点睛】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.
6．B
解析：B
【解析】 试题分析：由题可知，将111()(233nnnaan，两边同时除以，得出，运用累加法，解得，整理得23nnna；
考点：累加法求数列通项公式
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择.
【详解】
因为2cos22Abcc，所以1cosA22bcc, ccosAb,sinCcosAsinBsinAC,sinAcosC0,因此cosC0C2，,选A.
【点睛】
本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
首先根据对数运算法则，可知31212log...12aaa，再根据等比数列的性质可知6121267.....aaaaa，最后计算67aa的值.
【详解】
由3132312logloglog12aaaL ，
可得31212log12aaaL，进而可得6121212673aaaaaL ，
679aa .
【点睛】
本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
