2010年中考专题分类-------------四边形

由动点形生成的特殊三角形问题抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常风的基本形式（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形（2）抛物线上的点能否构成直角三角形（2）抛物线上的点能否构成相似三角形解决这类问题的基本思路是：假设存在，数形结合，分类讨论，逐一考查例题1：（2010重庆綦江县）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过点B(12，0)和C(0，－6)，对称轴为x＝2．(1)求该抛物线的解析式．(2)点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若存在，请说明理由．(3)在(2)的结论下，直线x＝1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若存在，请说明理由．例题2（2010四川巴中）如图12已知△ABC中，∠ACB＝90°以AB 所在直线为x 轴，过c 点的直线为y 轴建立平面直角坐标系．此时，A 点坐标为（一1 ， 0）， B 点坐标为（4，0 ）（1）试求点C 的坐标（2）若抛物线2=++过△ABC的三个顶点，求抛物线的解析式．y ax bx c（3）点D（ 1，m ）在抛物线上，过点A 的直线y=－x－1 交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B 的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE 相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由。

DHG例题3（2010湖北荆门）已知一次函数y ＝121+x 的图象与x 轴交于点A ．与y 轴交于点B ；二次函数c bx x y ++=221图象与一次函数y ＝121+x 的图象交于B 、C 两点，与x轴交于D 、E 两点且D 点的坐标为)0,1(（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEF 的面积S ；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由。

中考数学复习考点题型专题练习《四边形》1．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（，0），点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形；（Ⅲ）连接OC，在旋转的过程中，求△OEC面积的最大值（直接写出结果即可）．2．如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BE＝5cm，点E是AD边上的一点，AE、DE分别长acm、bcm，满足（a﹣3）2+|2a+b﹣9|＝0．动点P从B点出发，以2cm/s的速度沿B→C→D运动，最终到达点D．设运动时间为ts．（1）a＝ cm，b＝ cm；（2）t为何值时，EP把四边形BCDE的周长平分？（3）另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为1cm/s，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t为何值时，△BPQ的面积等于6cm2．3．如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AD＝13，AB＝25，∠DAB＝α，且cosα＝，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，连接CF． （1）求平行四边形ABCD的面积；（2）当点C、B、F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；（3）求线段CF的长度的最小值．4．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上任意一点（点E不与点B、C重合），连结DE，点C关于DE的对称点为C1，连结AC1并延长交DE的延长线于点M，F是AC1的中点，连结DF．【猜想】如图①，∠FDM的大小为 度．【探究】如图②，过点A作AM1∥DF交MD的延长线于点M1，连结BM．求证：△ABM≌△ADM1．【拓展】如图③，连结AC，若正方形ABCD的边长为2，则△ACC1面积的最大值为 ．5．如图，已知▱ABCD，E是CA延长线上一点，且∠EAB＝90°，AB＝AE，点F是BC下方一点，且FE＝FD，∠EFD＝90°，（1）求证：∠FEA＝∠FDC；（2）若AF＝3，求AC的长．6．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（5，0）在x轴的正半轴上，四边形OABC 为平行四边形，对角线OB＝OA，BC交y轴于点D，且S▱OABC＝20．（1）如图①，求点B的坐标：（2）如图②，点P在线段OD上，设点P的纵坐标为t，△PAB的面积为S，请用含t的式子表示S；（3）在（2）的条件下，如图③，点Q在x轴上，点R为坐标平面内一点，若∠OCB﹣∠CBP＝45°，且四边形PQBR为菱形，求t的值并直接写出点Q的坐标．7．已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝4，BC＝6．（1）如图1，P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H．求证：△ADP≌△HCQ；（2）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE．请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA（n为常数），以PE，PB为边作平行四边形PBQE．请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．8．如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∠ABC＝60°．AE平分∠BAD交CD于点F．动点P从点A出发沿AD向点D以每秒1个单位长度的速度运动．过点P作PQ⊥AD，交射线AE于点Q，以AP、AQ为邻边作平行四边形APMQ，平行四边形APMQ与△ADF重叠部分面积为S．当点P与点D重合时停止运动，设P点运动时间为t秒．（t＞0） （1）用含t的代数式表示QF的长．（2）当点M落到CD边上时，求t的值．（3）求S与t之间的函数关系式．（4）连结对角线AM与PQ交于点G，对角线AC与BD交于点O（如图②）．直接写出当GO与△ABD的边平行时t的值．9．如图①，正方形ABCD的边长为2，点P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PD，△PAB 为等边三角形．（1）求点P到边AD，AB的距离之和；（2）如图②，连结BD交PA于点E，求△PBD的面积以及的值．10．如图，已知∠MON＝90°，A，B分别是边OM和ON上的点，四边形ACDB和四边形OEFC 都是正方形．（1）当OA＝2，OB＝1时，求OC的长．（2）当OB＝1，点A在直线OM上运动时，求OC的最小值．（3）设S△CDF＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式．11．已知：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AB＝10，点P，E，F分别是AB，AC，BC上的动点，且AP＝2CE＝2BF，连结PE，PF，以PE，PF为邻边作平行四边形PFQE．（1）当点P是AB的中点时，试求线段PF的长．（2）在运动过程中，设CE＝m，若平行四边形PFQE的面积恰好被线段BC或射线AC分成1：3的两部分，试求m的值．（3）如图②，设直找FQ与直线AC交于点N，在运动过程中，以点Q，N，E为顶点的三角形能否构成直角三角形？若能，请直接写出符合要求的CE的长；若不能，请说明理由．12．定义：有三条边相等的四边形称为三等边四边形．（1）如图①，平行四边形ABCD中，对角线CA平分BCD．将线段CD绕点C旋转一个角度α（0°＜α＜∠B）至CE，连结AE．①求证：四边形ABCE是三等边四边形；②如图②，连结BE，DE．求证：∠BED＝∠ACB．（2）如图③，在（1）的条件下，设BE与AC交于点G，∠ABE＝3∠EBC，AB＝10，cos ∠BAC＝，求以BG，GE和DE为边的三角形的面积．13．如图，长方形ABCD在平面直角坐标系中，AD∥BC∥x轴，AB∥DC∥y轴，x轴与y轴夹角为90°，点M，N分别在xy轴上，点A（1，8），B（1，6），C（7，6），D（7，8）．（1）连接线段OB、OD、BD，求△OBD的面积；（2）若长方形ABCD在第一象限内以每秒0.5个单位长度的速度向下平移，经过多少秒时，△OBD的面积与长方形ABCD的面积相等请直接写出答案；（3）见备用图，连接 OB，OD，OD交BC于点E，∠BON的平分线和∠BEO的平分线交于点F．①当∠BEO的度数为n，∠BON的度数为m时，求∠OFE的度数．②请直接写出∠OFE和∠BOE之间的数量关系．14．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（8，0），点C（0，6）．P是边OC上的﹣一点（点P不与点O，C重合），沿着AP折叠该纸片，得点O的对应点O'．（Ⅰ）如图①，当点O'落在边BC上时，求点O'的坐标；（Ⅱ）若点O'落在边BC的上方，O'P，O'A与分别与边BC交于点D，E．①如图②，当∠OAP＝30°时，求点D的坐标；②当CD＝O'D时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．15．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝5，AD＝6，BC＝12．（1）梯形ABCD的面积等于 ．（2）如图1，动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C 点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q 点随之停止运动．当PQ∥AB时，P点离开D点多少时间？（3）如图2，点K是线段AD上的点，M、N为边BC上的点，BM＝CN＝5，连接AN、DM，分别交BK、CK于点E、F，记△ADG和△BKC重叠部分的面积为S，求S的最大值．16．【探索规律】如图①，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且DF∥BC，EF∥AB．设△ADF 的边DF上的高为h1，△EFC的边CE上的高为h2．（1）若△ADF、△EFC的面积分别为3，1，则＝ ；（2）设△ADF、△EFC、四边形BDFE的面积分别为S1，S2，S，求证：S＝2； 【解决问题】（3）如图②，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，点F，G在BC上，且DE∥BC，DF ∥BG．若△ADE、△DBF、△EGC的面积分别为3，7，5，求△ABC的面积．17．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10cm，CD＝4cm．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q从点C出发，沿DC方向在DC的延长线上匀速运动，速度为1cm/s；当点P到达点B时，点Q停止运动．过点P作PE∥BD，交AD于点E．连接EQ，BQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）连接PQ，当t为何值时，PQ∥AD？（2）设四边形PBQE的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PBQE的面积为四边形ABQD面积的，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使EQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．18．已知菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，连接PC，在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上，且BP＝3时，求PC的长；（2）当点P在射线BA上，且BP＝n（0≤n＜8）时，求QC的长；（用含n的式子表示）（3）连接PQ，直线PQ与直线BC相交于点E，如果△QCE与△BCP相似，请直接写出线段BP的长．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20．点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿BC向终点C运动，同时点M从点A出发，以相同速度沿AB向终点B 运动．过点P作PQ⊥AB于点Q，连结PQ，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P运动到终点时，整个运动停止，设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（S＞0），点P 的运动时间为l秒．（1）①BC的长为 ；②用含l的代数式表示线段PQ的长为 ．（2）当QM的长度为10时，求t的值；（3）求S与t的函数关系式；（4）当过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边时，直接写出t的值．20．在正方形ABCD中，E，F分别在AD，DC上，且AE＝DF，AF交BD于G．（1）如图1，求证：BE⊥AF．（2）如图2，在边AB上取一点K，使AK＝AE．过K作KS∥AF交BD于S，求证：G是SD 中点．（3）在（2）的条件下，如果AB＝8，BE是∠ABD的平分线，求△BSK的面积．参考答案 1．解：（Ⅰ）∵A（，0），点B（0，1），∴OA＝，OB＝1，在△AOB中，∠AOB＝90°，t an∠BAO＝＝，∴∠BAO＝30°．∴AB＝2OB＝2，由旋转性质得，DA＝OA＝，过D作DM⊥OA于M，如图①所示：则在Rt△DAM中，DM＝AD＝，AM＝DM＝，∴OM＝AO﹣OM＝﹣，∴D（﹣，）．（Ⅱ）延长OE交AC于F，如图②所示：在Rt△AOB 中，点E为AB的中点，∠BAO＝30°，∴OE＝BE＝AE．又∠ABO＝60°，∴△BOE是等边三角形，∴OE＝OB，∴∠BOE＝60°，∴∠EOA＝30°，由旋转性质，DC＝OB，∴OE＝DC．∵α＝60°，∴∠OAD＝60°，由旋转性质知，∠DAC＝∠OAB＝30°，∠DCA＝∠OBA＝60°， ∴∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝90°，∴∠OFA＝90°﹣∠EOA＝90°﹣30°＝60°，∴∠DCA＝∠OFA，∴OE∥DC．∴四边形OECD是平行四边形．（III）由旋转的性质得：在旋转的过程中，点C在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，如图③所示：过点A作AG⊥OE交OE的延长线于G，当G、A、C三点共线时，△OEC面积最大，∵点E是边AB中点，∠AOB＝90°，AB＝2，∴OE＝BE＝AE＝AB＝1＝OB，∴△OBE是等边三角形，∴∠OEB＝60°，∴∠AEG＝∠OEB＝60°，在Rt△AEG中，∠AGE＝90°，AE＝1，s in∠AEG＝，∴AG＝AE×isn∠AEG＝1×＝，∴CG＝AG+AC＝AG+AB＝+2，∴△OEC面积的最大值＝OE×CG＝×1×（+2）＝+1．2．解：（1）∵（a﹣3）2+|2a+b﹣9|＝0，∴a﹣3＝0，2a+b﹣9＝0，∴a＝3，b＝3；故答案为：3，3；（2）∵AE＝3cm，DE＝3cm，∴AD＝6cm＝BC，∴C四边形BCDE＝BC+CD+DE+EB＝18cm，∵EP把四边形BCDE的周长平分，∴BE+BP＝9cm，∴点P在BC上，BP＝4cm，∴t＝＝2s；（3）解：①点P在BC上（0＜t≤3），∵S△BPQ＝×2t×4＝6，∴t＝；②相遇前，点P在CD上（3＜t≤），∵S△BPQ＝×[（4﹣（t﹣3）﹣（2t﹣6）]×6＝6，∴t＝；③相遇后，点P在CD上（＜t≤5），∵S△BPQ＝×[（（t﹣3）+（2t﹣6）﹣4]×6＝6，∴t＝5；∴综上所述，当t＝s或s或5s时，△BPQ的面积等于6cm2． 3．解（1）如图1，作DK⊥AB于点K，∵将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，∴∠AEF＝α，AE＝EF，在Rt△DAK中，∵cos∠DAK＝cosα＝，且AD＝13，∴AK＝5，∴DK＝＝＝12，∴S平行四边形ABCD＝AB×DK＝25×12＝300；（2）如图2，延长CD至H，作∠AHD＝α，∵∠AHD＝∠ADH＝α，∴AH＝AD＝13，过点A作AM⊥DH于点M，由（1）知AM＝12，∴DM＝＝5，∴DH＝10，∵∠FEH＝∠DEA+∠α＝∠F+α，∴∠DEA＝∠F，在△AEH和△EFC中，，∴△AEH≌△EFC（AAS），∴EH＝CF，CE＝AH＝13，∴DE＝CD﹣CE＝12，BF＝CF﹣BC＝22﹣13＝9，∵BG∥CE，∴△FBG∽△FCE，∴，即，∴BG＝；（3）如图3，延长CD至P，使∠P＝∠ADP＝α，过点F作FM∥BC，交CD于点M，过点FN⊥CD，交CD于点N，由（2）可知∠AEP＝∠EFM，在△EAP和△FEM中．，∴△EAP≌△FEM（AAS），∴EM＝AP＝13，FM＝EP，设DE＝x，则FM＝EP＝10+x，CM＝25﹣（13+x）＝12﹣x，∴FN＝FM•s inα＝（10+x），MN＝FM•cosα＝（10+x）， ∴CN＝CM+MN＝12﹣x+（10+x）＝，在Rt△CFN中，CF2＝CN2+NF2＝（208x2﹣416x+56836）， 对称轴x＝﹣＝1，∴当x＝1时，CF的值最小，CF的最小值为． 4．解：（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C'D，∵F是AC'的中点，∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，∴∠FDM＝∠FDC'+∠EDC'＝∠ADC＝45°；故答案为：45；（2）∵DF⊥AC1，∴∠DFM＝90°，∵AM1∥DF∴∠MAM'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAM1＝∠BAM，由（1）可知：∠FDM＝45°∵∠DFM＝90°∴∠AMD＝45°，∴∠M1＝45°，∴AM＝AM1，在：△ABM和△ADM1中，∵，∴△ABM≌△ADM1（SAS）；（3）如图，过C1作C1G⊥AC于G，则＝AC•C1G，在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，∴AC＝＝2，即AC为定值，当C1G最大值，△AC1C的面积最大，连接BD交AC于O，当C1在BD上时，C1G最大，此时G与O重合， ∵CD＝C1D＝2，OD＝AC＝，∴C'G＝C1D﹣OD＝2﹣，∴＝AC•C1G＝×2（2﹣）＝2﹣，故答案为：2﹣．5．（1）证明：设AC与DF交于点O，如图1所示：∵∠EAB＝90°，∴∠BAC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，∴∠FDC+∠COD＝90°，∵∠EFD＝90°，∴∠FEA+∠FOE＝90°，又∵∠FOE＝∠COD，∴∠FEA＝∠FDC；（2）解：连接CF，如图2所示：∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD，在△AEF和△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（SAS），∴AF＝CF，∠AFE＝∠CFD，∴∠AFC＝∠EFD＝90°，∴△ACF是等腰直角三角形，∴AC＝AF＝3．6．解：（1）∵点A（5，0），OB＝OA， ∴OA＝OB＝5，∵S▱OABC＝OA×OD＝5OD＝20，∴OD＝4，∵四边形OABC为平行四边形，∴BC∥AO，BC＝AO＝5，∴∠BDO＝90°，∴DB＝＝＝3，∴点B（3，4）；（2）∵点P的纵坐标为t，∴OP＝t，∴DP＝4﹣t，∴S＝×（3+5）×4﹣×3×（4﹣t）﹣×5×t＝﹣t+10；（3）如图，由（1）知，B（3，4），OA＝5，BC∥OA，∴C（﹣2，4），∴CD＝2取OD的中点E，则DE＝OD＝2，∴DE＝CD，∴∠DCE＝45°，∴∠OCB﹣∠OCE＝45°，∵∠OCB﹣∠CBP＝45°，∴∠OCE＝∠CBP，过点E作EF⊥OC于F，∴∠CFE＝90°＝∠BDP，∴△CFE∽△BDP，∴，在Rt△CDE中，CD＝DE＝2，∴CE＝2，在Rt△ODC中，CD＝2，OD＝4，∴OC＝2，∵CE是△OCD的中线，∴S△OCE＝S△CDO＝××2×4＝2∵S△OCE＝OC•EF＝×EF＝2，∴EF＝，在Rt△CFE中，根据勾股定理得，CF＝， ∴，∴DP＝1，∴OP＝OD﹣DP＝3，∴t＝3，∴P（0，3），设Q（m，0），∵B（3，4），∴PQ2＝m2+9，BQ2＝（m﹣3）2+16，∵四边形PQBR为菱形，∴PQ＝BQ，∴m2+9＝（m﹣3）2+16，∴m＝，即Q（，0）．7．解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCH，∴∠ADP+∠PDC＝∠DCQ+∠QCH，∵四边形PCQD是平行四边形，∴PD∥CQ，PD＝CQ，∴∠PDC＝∠DCQ，∴∠ADP＝∠QCH，在△ADP和△HCQ中，，∴△ADP≌△HCQ（AAS）；（2）存在最小值，最小值为10，如图1，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，设PQ与DC相交于点G，∵PE∥CQ，∴△DPG∽△CQG，∴＝＝，由（1）可知，∠ADP＝∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△QCH，∴＝＝，∴CH＝2AD＝4，∴BH＝BC+CH＝6+4＝10，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为10；（3）存在最小值，最小值为（n+4），如图2，作QH∥DC，交CB的延长线于H，作CK⊥CD，交QH的延长线于K， ∵PE∥BQ，AE＝nPA，∴＝＝，∵AD∥BC，∴∠ADP+∠DCH＝90°，∵CD∥QK，∴∠QHC+∠DCH＝180°，∴∠QHC＝∠ADQ，∵∠PAD+∠PAG＝∠QBH+∠QBG＝90°，∠PAG＝∠QBG，∴∠PAD＝∠QBH，∴△ADP∽△BHQ，∴＝＝，∴BH＝2n+2，∴CH＝BC+BH＝6+2n+2＝2n+8，过点D作DM⊥BC于M，又∠DAB＝∠ABM＝90°，∴四边形ABMD是矩形，∴BM＝AD＝2，DM＝AB＝4，∴MC＝BC﹣BM＝6﹣2＝4＝DM，∴∠DCM＝45°，∴∠HCK＝45°，∴CK＝CH•cos45°＝（2n+8）＝（n+4）， ∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为（n+4）．8．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠D＝∠ABC，AD＝BC＝6，∵∠ABC＝60°，∴∠DAB＝120°，∠D＝60°，∵AE平分∠DAB，∴∠DAQ＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AF＝AD＝6，∵PQ⊥AD，∴∠APQ＝90°，∴AQ＝2AP＝2t，∴FQ＝AF﹣AQ＝6﹣2t；（2）如图2中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠D＝180°﹣∠DAB＝60°，∵PM∥AE，MQ∥AD，∴∠DPM＝∠DAQ＝60°，四边形APMQ是平行四边形， ∴△DPM是等边三角形，PM＝AQ＝2PA＝2t，∴DP＝PM，∴6﹣t＝2t，∴t＝2．（3）①当0＜t≤2时，如图1中，重叠部分是平行四边形APMQ，S＝AP•PQ＝t2． ②如图3中，当2＜t≤3时，重叠部分五边形APSTQ，S＝t2﹣（3t﹣6）2＝﹣t2+9t﹣9；③如图4中，当3＜t≤6时，重叠部分是四边形PSFA．S＝S△DAF﹣S△DSP＝×62﹣•（6﹣t）2＝﹣t2+3t．综上所述，S＝；（4）如图5中，当GO∥AB时，∵AG＝GM，∴点M在线段CD上，此时t＝2s．如图6中，当GO∥AD时，则B、C、Q共线，可得△ABQ是等边三角形，AB＝AQ＝BQ＝8，∴AQ＝2t＝8，∴t＝4s，综上所述，t＝2s或4s时，GH与三角形ABD的一边平行或共线． 9．解：（1）如图①，过P作PM⊥AD于M，PN⊥AB于N，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∴∠PMA＝∠DAB＝∠PNB＝90°，∴四边形ANPM是矩形，∴PM＝AN，AM＝PN，∵△ABP是等边三角形，∴AN＝AB＝1，PN＝，∴PM＝AN＝1，∴PM+PN＝+1，即点P到边AD，AB的距离之和为+1；（2）S△PBD＝S四边形ABPD﹣S△ABD＝AD（PM+PN）﹣AD•AB＝×2×（1+）﹣×2×2＝﹣1；如图②，过P作PG⊥BD于G，过A作AH⊥BD于H，∴∠PGE＝∠AHE＝90°，∵∠PEG＝∠AEH，∴△PGE∽△AHE，∴＝，∵＝＝＝＝+1，∴＝+1．10．解：（1）如图1所示，过点C作CG⊥OM于点G，∵四边形ACDB是正方形，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∵∠MON＝90°，∠AGC＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∠BAO+∠CAG＝90°，∴∠ABO＝∠CAG，∴△AOB≌△AGC（AAS）．∵OA＝2，OB＝1，∴CG＝OA＝2，AG＝OB＝1，∴OG＝3，∴在Rt△OGC中，由勾股定理得：OC＝＝．（2）如图2所示，由题意可得点C在直线l：y＝x﹣1上运动，∴OC的最小值为当OC与直线l垂直时，此时OC＝，∴OC的最小值为．（3）如图3所示，延长OC至点H，使CH＝OC，连接AH，过点C作CG⊥OM，∵CD＝CA，CH＝CF，∠DCF＝∠ACH＝90°+∠ACF， ∴△DCF≌△ACH（SAS），由（1）知△AOB≌△AGC（AAS），∴CG＝OA，∵C是OH的中点，∴S△ACH＝S△OAC，∵S△CDF＝y，OA＝x，∴y＝S△OAH＝S△OAC＝x2．∴y关于x的函数关系式为y＝x2．11．解：（1）如图①，作PH⊥BC于点H，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AB＝10，∴AC＝6．∵AP＝2CE＝2BF，∵点P是AB的中点，∴PA＝PB＝5．∴CE＝BF＝，PH＝3，BH＝CH＝4，∴FH＝．∴PF＝＝．（2）如图②，平行四边形PFQE的面积恰好被线段BC分成1：3的两部分时，则EM＝PF．∵PH⊥BC，∴∠PHF＝90°＝∠ACB，∴PH∥AC，∴△CEM∽△HPF，△PBH∽△ABC，∴PH＝2CE＝2m，＝．∴＝，∴m＝．如图③，平行四边形PFQE的面积恰好被线段AC分成1：3的两部分时，则FD＝QD，QN ＝PG，∴CF＝PG．∵△APG∽△ABC，∴＝．∴＝，∴m＝．∴m的值为或．（3）如图④，当∠QNE＝90°时，则点N与点C重合，设CE＝x，∵△PBH∽△ABC，∴＝，∴＝，∴x＝．如图⑤，当∠QNE＝90°时，则点P与点B重合，则2x＝10，∴x＝5．如图⑥，当∠QNE＝90°时，∵△FPR∽△PES，∴＝，∴＝，∴x＝．经检验，x值符合题意．综上，CE的长为或5或． 12．解：（1）①证明：如图①，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵CA平分∠BCD，∴∠BCA＝∠ACD，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD，∵CE＝CD，∴AB＝BC＝CE，∴四边形ABCE是三等边四边形．②证明：如图②，延长EC至点H，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED，∴∠HCD＝∠CDE+∠CED＝2∠CED，∵BC＝CE，∴∠CBE＝∠CEB，∴∠HCB＝∠CBE+∠CEB＝2∠CEB，∴∠HCD﹣∠HCB＝2（∠CED﹣∠CEB）， 即∠BCD＝2∠BED，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCD＝2∠ACB，∴∠BED＝∠ACB．（2）如图③，连接BD，DG，BD与AC交于点O，过点G作GP⊥BC于点P，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AO＝AC，BD＝2BO，∠DBC＝∠ABC，在Rt△ABO中，AB＝10，cos∠BAC＝，∴AO＝AB＝6，∴OC＝AO＝6，BO＝＝8，∴BD＝2BO＝16，∵∠ABE＝3∠EBC，∴∠ABC＝4∠EBC，∵∠DBC＝∠ABC，∴∠DBC＝2∠EBC，∴∠DBE＝∠EBC，∵GO⊥BD，GP⊥BC，∴GO＝GP，BP＝BO＝8，∴PC＝BC﹣BP＝10﹣8＝2，在Rt△GPC中，GC2﹣GP2＝PC2，∴（OC﹣OG）2﹣OG2＝PC2，即（6﹣OG）2﹣OG2＝4，∴OG＝，GC＝，∴BG＝＝，∵∠BED＝∠ACB，∠DBE＝∠EBC，∴△BED∽△BCG，∴，∴BE＝＝16×10÷＝6，DE＝＝16×＝2，∵AC垂直平分BD，∴DG＝BG＝，∴∠GDB＝∠GBD，∴∠GDE＝∠BDE﹣∠GDB＝∠BGC﹣∠GBD＝∠GOB＝90°，∴S△GDE＝DG•DE＝＝，∴以BG，GE和DE为边的三角形的面积是．13．解：（1）如图1，延长DA交y轴于H，如图1所示：则AH⊥y轴．∵A（1，8），B（1，6），C（7，6），D（7，8）∴OH＝8，DH＝7，AH＝1，AD＝6，AB＝2，∴S△OBD＝S△ODH﹣S△ABD﹣S梯形AHOB＝×OH×DH﹣×AB×AD﹣×（AB+OH）×AH＝×8×7﹣×2×6﹣×（2+8）×1＝17；（2）∵S长方形ABCD＝2×6＝12，∴S△OBD＝S△ODH﹣S△ABD﹣S梯形AHOB＝12，∴×（8﹣0.5t）×7﹣×2×6﹣×（2+8﹣0.5t）×1＝12，∴t＝；（3）①如图2，延长CB交y轴于P，延长EF交y轴于点G，∵EF平分∠BEO，OF平分∠NOB，∴∠GOF＝∠NOB＝m，∠BEF＝∠BEO＝n，∵∠EFO＝∠GOF+∠FGO，∠FGO＝∠GPE+∠BEF，∴∠EFO＝∠GOF+∠GPE+∠BEF＝m+n+90°；②∵EF平分∠BEO，OF平分∠NOB，∴∠GOF＝∠NOB，∠BEF＝∠BEO，∵∠EFO＝∠GOF+∠FGO，∠FGO＝∠GPE+∠BEF，∴∠EFO＝∠GOF+∠GPE+∠BEF＝90°+∠NOB+∠BEO，∵∠BOE＝90°﹣∠BON﹣∠BEO，∴2∠EFO+∠BOE＝270°．14．解：（Ⅰ）∵点A（8，0），点C（0，6），OABC为矩形， ∴AB＝OC＝6，OA＝CB＝8，∠B＝90°．根据题意，由折叠可知△AOP≌△AO'P，∴O'A＝OA＝8．在Rt△AO'B中，BO'＝＝2．∴CO'＝BC﹣BO'＝8﹣2．∴点O'的坐标为（8﹣2，6）．（Ⅱ）①∵∠OAP＝30°，∴∠OPA＝60°，∵∠OPA＝∠O'PA，∴∠CPD＝180°﹣∠OPA﹣∠O'PA＝60°．∵OA＝8，∴OP＝OA•t an30°＝．∴CP＝6﹣OP＝6﹣．∴CD＝CP•t an60°＝6﹣8．∴点D的坐标为（6﹣8，6）．②连接AD，如图：设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝8﹣x，O'D＝CD＝x，根据折叠可知AO'＝AO＝8，∠PO'A＝∠POA＝90°，∴在Rt△ADO'中，AD2＝AO'2+DO'2＝82+x2＝x2+64；在Rt△ABD中，AD2＝BD2+AB2＝（8﹣x）2+62＝x2﹣16x+100； ∴x2+64＝x2﹣16x+100，解得：x＝，∴CD＝，∴D（，6）．15．解：（1）如图1，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，则AE∥DF， ∵AD∥BC，AE⊥BC，∴四边形ADFE是矩形，∴AE＝DF，AD＝EF＝6，在Rt△ABE和Rt△DCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴BE＝CF，∴BE＝CF＝＝3，由勾股定理得，AE＝＝＝4，梯形ABCD的面积＝×（AD+BC）×AE＝×（12+6）×4＝36，故答案为：36；（2）如图3，过D作DE∥AB，交BC于点E，∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形，∴BE＝AD＝6，∴EC＝6，当PQ∥AB时，PQ∥DE，∴△CQP～△CED，∴，即＝，解得，t＝；（3）如图2，过G作GH⊥BC，延长HG交AD于I，过E作EX⊥BC，延长XE交AD于Y，过F作FU⊥BC于U，延长UF交AD于W，∵BM＝CN＝5，∴MN＝12﹣5﹣5＝2，∴BN＝CM＝7，∵MN∥AD，∴△MGN～△DGA，∴＝，即＝，解得，HG＝1，设AK＝x，∵AD∥BC，∴△BEN～△KEA，∴＝，即＝，解得，EX＝，同理：FU＝，S＝S△BKC﹣S△BEN﹣S△CFM+S△MNG＝×12×4﹣×7×﹣×7×+×2×1 ＝，当x＝3时，S的最大值为25﹣＝5.4．16．解：（1）∵DF∥BC，EF∥AB，∴∠AFD＝∠ACB，∠DAF＝∠EFC，∴△ADF∽△FEC，∵△ADF、△EFC的面积分别为3，1，∴，∴，∵△ADF的边DF上的高为h1，△EFC的边CE上的高为h2， ∴；故答案为：．（2）证明：如图①，设AD＝a，BD＝b，DB与EF间的距离为h，∵EF∥AB，DF∥BC，∴四边形DBFE是平行四边形，∴BD＝EF＝b，由（1）知△ADF∽△FEC，∴，∵S1＝ah，∴S2＝，∴S1S2＝，∴bh＝2，∵S＝bh，∴S＝2．（3）如图②，过点D作DM∥AC交BC于点M，∴∠DMF＝∠ECG，∵DE∥BC，DF∥BG，∴四边形DFGE为平行四边形，∴∠DF＝EG，∠DFM＝∠EGC，∴△DFM≌△EGC（AAS），∴S△DFM＝S△EGC＝5，∵S△DBF＝7，∴S△BDM＝7+5＝12，∵DE∥BM，DM∥AC，∴∠ADE＝∠DBM，∠BDM＝∠BAE，∴△DAE∽△BDM，∴＝，∴，∴，同理，△ADE∽△ABC，∴S△ABC＝9S△ADE＝9×3＝27． 17．解：（1）当PQ∥AD时，∵DC∥AB， ∴四边形APQD是平行四边形，∴AP＝DQ，即2t＝4+t，解得，t＝4，∴当t为4s时，PQ∥AD；（2）过点D作DF⊥AB于F，过点E作EM⊥AB于M，延长ME交CD的延长线于点N， ∴∠DFA＝∠DFB＝90°，∠EMA＝∠EMB＝90°，∵AB∥CD，∴∠CDF＝90°，∠CNM＝90°，∵∠ABC＝90°，∴四边形DFBC、NMFD是矩形，∴BF＝DC＝4，∴AF＝6，∴DF＝＝8，∴MN＝BC＝DF＝8，∵PE∥BD，∴，∵AB＝AD，∴AE＝AP＝2t，∵∠A＝∠A，∠EMA＝∠DFA，∴△AEM∽△ADF，∴，即，∴，∴，∴y＝S四边形PBQE＝S梯形ABQD﹣S△AEP﹣S△QED＝＝＝﹣t2+t+40，∴y与的函数关系式为：y═﹣t2+t+40（0＜t＜5）；（3）假设存在某一时刻t，四边形PBQE的面积为四边形ABQD面积的，则﹣t2+t+40＝××（4+t+10）×8，解得，t1＝4，t2＝﹣（不合题意，舍去），答：当t＝4时，四边形PBQE的面积为四边形ABQD面积的； （4）若存在某一时刻t，使EQ⊥BD，垂足为O，∴∠DOE＝∠DOQ＝90°，∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠DBA，∵AB＝AD，∴∠BDA＝∠DBA，∴∠BDC＝∠BDA，∴DE＝DQ，∴4+t＝10﹣2t，∴t＝2，∴当t为2s时，EQ⊥BD．18．解：（1）如图1中，作PH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝4，AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝120°，∴∠PBH＝60°，∵PB＝3，∠PHB＝90°，∴BH＝PB•cos60°＝，PH＝PB•s in60°＝，∴CH＝BC﹣BH＝4﹣＝，∴PC═＝＝．（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O． ∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠PCQ＝30°，∴∠PBO＝∠QCO，∵∠POB＝∠QOC，∴△POB∽△QOC，∴，∴，∵∠POQ＝∠BOC，∴△POQ∽△BOC，∴∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，∴PQ＝QC，∴PC＝QC，在Rt△PHB中，BP＝n，∴BH＝n，PH＝n，∵PC2＝PH2+CH2，∴3QC2＝（n）2+（4﹣n）2，∴QC＝（0≤n＜8）．（3）①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧的点E．此时∠CQE＝120°，∵∠PBC＝60°，∴△PBC中，不存在角与∠CQE相等，此时△QCE与△BCP不可能相似．②如图3中，若直线QP交直线BC于点C右侧的点E．则∠CQE＝∠B＝QBC+∠QCP＝60°＝∠CBP，∵∠PCB＞∠E，∴只可能∠BCP＝∠QCE＝75°，作CF⊥AB于F，则BF＝2，CF＝2，∠PCF＝45°， ∴PF＝CF＝2，此时BP＝2+2，③如图4中，当点P在AB的延长线上时，∵△CBE与△CBP相似，∴∠CQE＝∠CBP＝120°，∴∠QCE＝∠CBP＝15°，作CF⊥AB于F．∵∠FCB＝30°，∴∠FCB＝45°，∴BF＝BC＝2，CF＝PF＝2，∴BP＝2﹣2．综上所述，满足条件的BP的值为2+2或2﹣2． 19．解：（1）①∵∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20，∴BC＝＝＝16，故答案为：16；②∵s in B＝，∴，∴PQ＝3t，故答案为：3t；（2）在Rt△PQB中，BQ＝＝4t，当点M与点Q相遇，20＝4t+5t，∴t＝，当0＜t＜时，MQ＝AB﹣AM﹣BQ，∴20﹣4t﹣5t＝10，∴t＝，当＜t≤时，MQ＝AM+BQ﹣AB，∴4t+5t﹣20＝10，∴t＝，∵＞，∴不合题意舍去，综上所述：当QM的长度为10时，t的值为；（3）当0＜t＜时，S＝3t×（20﹣9t）＝﹣27t2+60t；当＜t≤时，如图，∵四边形PQMN是矩形，∴PN＝QM＝9t﹣20，PQ＝3t，PN∥AB，∴∠B＝∠NPE，∴t an B＝t an∠NPE，∴，∴NE＝＝﹣15，∴S＝3t×（9t﹣20）﹣×（9t﹣20）×（﹣15）＝﹣； （4）如图，若NQ⊥AC，∴NQ∥BC，∴∠B＝∠MQN，∴t an B＝t an∠MQN，∴，∴＝，如图，若NQ⊥BC，∴NQ∥AC，∴∠A＝∠BQN，∴t an A＝t an∠BQN，∴，∴，∴t＝综上所述：当t＝或时，过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边． 20．（1）证明：设BE与AF交于点H，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∴∠DAF+∠AEB＝∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠AHE＝90°，∴BE⊥AF；（2）证明：∵KS∥AF，∴，∵AB∥CD，∴△DGF∽△BGA，∵AK＝AE，AE＝DF，∴AK＝DF，∴＝，∴GS＝DG，∴G是SD中点；（3）解：作EP⊥BD于P，如图2所示：∵BE是∠ABD的平分线，EA⊥AB，∴AE＝PE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝8，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴BD＝AB＝8，∵EP⊥BD，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PD＝PE，DE＝PE＝PD，∴AE＝PE＝PD，∵AE+DE＝AD＝8，∴AE+AE＝8，解得：AE＝8﹣8，∴DF＝AE＝AK＝8﹣8，∴BK＝AB﹣AK＝8﹣（8﹣8）＝16﹣8，∵AB∥CD，∴△DGF∽△BGA，∴＝＝＝+1，∴DG＝＝＝8﹣8，∴BS＝BD﹣2DG＝8﹣2（8﹣8）＝16﹣8， 作SN⊥AB于N，则△BNS是等腰直角三角形，∴SN＝BN＝BS＝8﹣8，∴△BSK的面积＝BK×SN＝×（16﹣8）×（8﹣8）＝96﹣128．。

一、考点分析：二次函数的综合题中在第二三小问比较常考到四边形的问题，这类题目主要考察两种题型：1.四边形的面积最值问题 2.特殊平行四边形的存在性问题，这类包括平行四边形，矩形菱形等。

二、解决此类题目的基本步骤与思路1.四边形面积最值问题的处理方法：核心步骤：对于普通四边形要转化成两个三角形进行研究，然后用求三角形面积最值问题的方法来求解2对于特殊平行四边形问题要先分类，（按照边和对角线进行分类）3.画图，（画出大致的平行四边形的样子，抓住目标点坐标）4. 计算（利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质）三、针对于计算的方法选择1.全等三角形抓住对应边对应角的相等2.在利用点坐标进行长度的表示时要利用两点间距离公式3.平行四边形的对应边相等列相关的等式4.利用平行四边形的对角线的交点从而找出四个点坐标之间的关系X A+X C=X B+X D Y A+Y C=Y B+Y D （利用P是中点，以及中点坐标公式）A(x1,y1)、B（x2,y2），那么AB中点坐标就是（,）处理矩形菱形的方法与平行四边形方法类似注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想 3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。

4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。

四、二次函数问题中四边形面积最值问题1.如图，已知抛物线213y x bx c =++经过ABC V 的三个顶点，其中点(0,1)A ，点(9,10)B -，//AC x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的一个动点. (1)求抛物线的解析式;(2)过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标;【解析】：（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）设点P （m ， m2+2m+1），表示出PE=﹣m2﹣3m ，再用S 四边形AECP=S △AEC+S △APC=AC ×PE ，建立函数关系式，求出最大值即可设点P （m ，m 2+2m+1）∴E（m ，-m+1）∵﹣6＜m＜0∴当m=﹣时，四边形AECP的面积的最大值是此时点P（﹣，﹣）． *网2.抛物线y＝－x2＋6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B，过点C(2，0)作射线CD交MB于点D(D在x轴上方)，OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD的延长线于点F，作直线MF.(1)求点A，M的坐标；(2)当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？(3)当BD＝1时，①求直线MF的表达式，并判断点A是否落在该直线上；②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3＝__3∶4∶8__.解：(1)令y＝0，则－x2＋6x＝0，解得x1＝0，x2＝6，∴A(6，0)，∴对称轴是直线x＝3，∴M(3，9)；(3)①当BD＝1时，BE＝3，∴F(5，3)．设MF 的表达式为y ＝kx ＋b ，将M (3，9)，F (5，3)代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧9＝3k ＋b ，3＝5k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝18， ∴y ＝－3x ＋18.∵当x ＝6时，y ＝－3×6＋18＝0， ∴点A 落在直线MF 上； ②∵BD ＝1，BC ＝1， ∴△BDC 为等腰直角三角形， ∴△OBE 为等腰直角三角形，五、二次函数中特殊平行四边形的存在性问题（一）例题演示已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，将∠OBA 对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点C ． （1）直接写出点C 的坐标，并求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；【解析】：（1）点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）；点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）；由题意得：BC是∠ABO的角平分线，所以OC=CH，BH=OB=6。

四边形综合--中考数学必考考点总结+题型专训知识回顾1.平行四边形的性质：①边的性质：两组对边分别平行且相等。

②角的性质：对角相等，邻角互补。

③对角线的性质：对角线相互平分。

即对角线交点是两条对角线的中点。

④对称性：平行四边形是一个中心对称图形，绕对角线交点旋转180°与原图形重合。

⑤面积计算：等于底乘底边上的高。

等底等高的两个平行四边形的面积相等。

2.平行四边形的判定：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

∵AB∥DC，AB=DC，∴四边行ABCD是平行四边形②两组对边分别相等（两组对边分别平行）的四边形是平行四边形。

符号语言：∵AB=DC，AD=BC（AB∥DC，AD∥BC），∴四边行ABCD是平行四边形．③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠，∴四边行ABCD是平行四边形④对角线相互平行的四边形是平行四边形。

∵OA=OC，OB=OD，∴四边行ABCD是平行四边形3.矩形的性质：①具有平行四边形的一切性质。

②矩形的四个角都是直角。

③矩形的对角线相等。

④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。

对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直线是矩形的对称。

⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

4.矩形的判定：（1）直接判定：有三个角（四个角）都是直角的四边形是矩形。

（2）利用平行四边形判定：①定义：有一个角是直角（邻边相互垂直）的平行四边形是矩形。

②对角线的特殊性：对角线相等的平行四边形是矩形。

5.菱形的性质：①具有平行四边形的一切性质。

②菱形的四条边都相等。

③菱形的对角线相互垂直，且平分每一组对角。

④菱形既是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。

对称中心为对角线交点，对称轴为对角线所在直线。

⑤面积计算：除了用计算平行四边形的面积计算方法面积，还可以用对角线乘积的一半来计算面积。

6.菱形的判定：（1）直接判定：四条边都相等的四边形是菱形。

动态几何例题1(2010江苏苏州) (本题满分9分)刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4 cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E 两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐▲．(填“不变”、“变大”或“变小”)(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行?问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．例题2（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝－12x＋b交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.例题3（2010甘肃兰州）（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3；抛物线c bx x y ++-=2经过坐标原点O 和x 轴上另一点E （4,0）（1）当x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动.设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）.① 当411=t 时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由； ② 以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由．图1 图2例题4（2010山东烟台）如图，△ABC中，AB=AC，BC=6，点D为BC中点，连接AD，AD=4，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由.（2）将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，平移后的四边形A′D′C′E′与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围.（第25题图）（备用图1）（备用图2）练习1（2010 重庆）已知：如图（1），在直角坐标系xOy 中，边长为2的等边△OAB 的顶点B 在第一象限，顶点A 在x 轴的正半轴上. 另一等腰△OCA 的顶点C 在第四象限，OC AC =， 120=∠C ．现有两动点P ，Q 分别从A ，O 两点同时出发，点Q 以每秒1个单位的速度沿O C 向点C 运动，点P 以每秒3个单位的速度沿A O B →→运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．（1）求在运动过程中形成的△O PQ 的面积S 与运动的时 间t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（2）在等边△OAB 的边上（点A 除外）存在点D ，使得△O C D 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标； （3）如图(2)，现有 60=∠MCN ，其两边分别与OB ，AB 交于点M ，N ，连接M N ．将M C N ∠绕着点C 旋转（< 0旋转角 60<），使得M ，N 始终在边OB 和边AB 上．试判断在这一过程中，△BM N 的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．练习2（2010福建宁德）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______；⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.练习3（2010湖南长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y轴上，,8O A O C cm ==，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时，抛物线214y x bx c =++经过B 、P 两点，过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．练习4（2010福建福州）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ．（1）求证：AH AD ＝EF BC； （2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值；（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．(第21题)。

2010年部分省市中考数学试题分类汇编多边形与平行四边形一、选择题1. (2010年四川眉山市)．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】C2.（2010福建龙岩）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（ ）A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形 【答案】C 3．（2010年北京顺义）若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是A ．9B ．8C ．6D ．4 【答案】C4. （2010年台湾省） 图(十)为一个平行四边形ABCD ，其中H 、G 两点分别在BC 、 CD 上，AH ⊥BC ，AG ⊥CD ，且AH 、AC 、AG 将∠BAD 分成 ∠1、∠2、∠3、∠4四个角。

若AH =5，AG =6，则下列关系何者正确？ (A) ∠1=∠2 (B) ∠3=∠4 (C) BH =GD (D) HC =CG 【关键词】平行四边形【答案】A二、填空题1.（2010年福建福州）14.如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB 的周长为 .【答案】212.（2010年福建宁德）如图，在□ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝2，则FC 等于_____． 【答案43.(2010年山东滨州)如图,平行四边形ABCD 中, ∠ABC=60°,E 、F 分别在CD、BC 的延长线上,AE ∥BD,EF ⊥BC,DF=2,则EF 的长为ABCEFAB CD G H 123 4 图(十)FEDC BA【答案】4.（2010年福建宁德）如图，在△ABC 中，点E 、F 分别为AB 、AC 的中点．若EF 的长为2，则BC 的长为___________. 【答案】4三、解答题1. (2010年福建晋江)如图，请在下列四个关系中，选出两个恰．．．当．的关系作为条件，推出四边形ABCD 是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：①AD ∥BC ，②CD AB =，③C A ∠=∠，④︒=∠+∠180C B ．已知：在四边形A B C D 中， ， ； 求证：四边形ABCD 是平行四边形．解：已知：①③，①④，②④，③④均可,其余均不可以. （解法一）已知：在四边形ABCD 中，①AD ∥BC ，③C A ∠=∠.……………………（2分） 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：∵ AD ∥BC∴︒=∠+∠180B A ，︒=∠+∠180D C ………………………………………（5分） ∵C A ∠=∠，∴D B ∠=∠∴四边形ABCD 是平行四边形…………………………………………………（8分） （解法二）已知：在四边形ABCD 中，①AD ∥BC ，④︒=∠+∠180C B .………………（2分）ABCD第4题图FA E BCD求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵︒=∠+∠180C B ，∴AB ∥CD ……………………………………………………………………（5分） 又∵AD ∥BC∴四边形ABCD 是平行四边形．…………………………………………………（8分） （解法三）已知：在四边形ABCD 中，②CD AB =，④︒=∠+∠180C B .………………（2分） 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：∵︒=∠+∠180C B ，∴AB ∥CD ……………………………………………………………………（5分） 又∵CD AB =∴四边形ABCD 是平行四边形．…………………………………………………（8分） （解法四）已知：在四边形ABCD 中，③C A ∠=∠，④︒=∠+∠180C B .………………（2分） 求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵︒=∠+∠180C B ，∴AB ∥CD ……………………………………………………………………（4分） ∴︒=∠+∠180D A ………………………………………………………………（6分） 又∵C A ∠=∠ ∴D B ∠=∠∴四边形ABCD 是平行四边形．…………………………………………………（8分）2. (2010年浙江衢州)已知：如图，E ，F 分别是 ABCD 的边AD ，BC 的中点．求证：AF =CE ．证明：方法1： ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，且E ，F 分别是AD ，BC 的中点，∴ AE = CF ． ……2分又 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC ，即AE ∥CF ．∴ 四边形AFCE 是平行四边形． ……3分 ∴ AF =CE ．……1分方法2：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，且E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴ BF =DE ．……2分又 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ ∠B =∠D ，AB =CD ． ∴ △ABF ≌△CDE ．……3分A DE FB C ADEBC(第19题)∴ AF =CE ． ……1分3．（2010浙江省嘉兴）如图，在□ABCD 中，已知点E 在AB 上，点F 在CD 上且AE ＝CF ．（1）求证：DE ＝BF ；（2）连结BD ，并写出图中所有的全等三角形．（不要求证明） 【关键词】平行四边形的判定与性质、全等三角形【答案】（1）在□ABCD 中，AB //CD ，AB =CD ．∵AE =CF ，∴BE =DF ，且BE //DF ． ∴四边形BFDE 是平行四边形． ∴BF DE ． …5分 （2）连结BD ，如图， 图中有三对全等三角形： △ADE ≌△CBF ， △BDE ≌△DBF ，△ABD ≌△CDB ． …3分4. (2010年山东滨州)如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.(1)请判断四边形EFGH 的形状？并说明为什么.(2)若使四边形EFGH 为正方形，那么四边形ABCD 的对角线应具有怎样的性质？解：(1) 四边形EFGH 为平行四边形，连接AC ∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ∥AC ，EF=21AC.同理HG ∥AC ，HG=21AC.∴EF ∥HG, EF=HG.∴四边形EFGH 是平行四边形(2) 四边形ABCD 的对角线垂直且相等.5.（2010年江苏泰州）如图，四边形ABCD 是矩形，∠EDC =∠CAB ，∠DEC =90°．(1)求证：AC ∥DE ；(2)过点B 作BF ⊥AC 于点F ，连结EF ，试判断四边形BCEF 的形状，并说明理由．ABE（第3题）ABCD【答案】⑴在矩形ABCD 中，AC ∥DE ，∴∠DCA =∠CAB ，∵∠EDC =∠CAB ， ∴∠DCA =∠EDC ，∴AC ∥DE ； ⑵四边形BCEF 是平行四边形．理由：由∠DEC =90°，BF ⊥AC ，可得∠AFB =∠DEC =90°， 又∠EDC =∠CAB ，AB=CD ，∴△DEC ≌△AFB ，∴DE =AF ，由⑴得AC ∥DE ， ∴四边形AFED 是平行四边形，∴AD ∥EF 且AD =EF ， ∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC 且AD =BC ， ∴EF ∥BC 且EF =BC ，∴四边形BCEF 是平行四边形．【关键词】矩形的性质 平行四边形的判定 全等三角形的判定6.（2010年福建晋江）如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当．．．．的关系作为条件，推出四边形ABCD 是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：①AD ∥BC ，②CD AB =，③C A ∠=∠，④︒=∠+∠180C B ． 已知：在四边形A B C D 中， ， ； 求证：四边形ABCD 是． 【关键词】平行四边形的判定【答案】已知：①③，①④，②④，③④均可,其余均不可以. （解法一）已知：在四边形ABCD 中，①AD ∥BC ，③C A ∠=∠.……………………（2分） 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：∵ AD ∥BC∴︒=∠+∠180B A ，︒=∠+∠180D C ∵C A ∠=∠，∴D B ∠=∠ ∴四边形ABCD 是平行四边形 （解法二）已知：在四边形ABCD 中，①AD ∥BC ，④︒=∠+∠180C B . 求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵︒=∠+∠180C B ， ∴AB ∥CD 又∵AD ∥BC∴四边形ABCD 是平行四边形． （解法三）已知：在四边形ABCD 中，②CD AB =，④︒=∠+∠180C B . 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：∵︒=∠+∠180C B ， ∴AB ∥CD 又∵CD AB =∴四边形ABCD 是平行四边形． （解法四）已知：在四边形ABCD 中，③C A ∠=∠，④︒=∠+∠180C B . 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：∵︒=∠+∠180C B ， ∴AB ∥CD ∴︒=∠+∠180D A 又∵C A ∠=∠ ∴D B ∠=∠∴四边形ABCD 是平行四边形．7.（2010年贵州毕节地区）如图，已知： ABCD 中，B C D ∠的平分线C E 交边A D 于E ，AB C ∠的平分线B G 交C E 于F ，交A D 于G ．求证：A E D G =．【关键词】平行四边形、角平分线【答案】证明：∵ 四边形A B C D 是平行四边形（已知），A DBC ∴∥，A B CD =（平行四边形的对边平行，对边相等）G BC BG A ∴∠=∠，BC E C ED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）又∵ BG 平分A B C ∠，C E 平分B C D ∠（已知）ABG G BC ∴∠=∠，BC E EC D ∠=∠（角平分线定义） A B G G B A ∴∠=∠，EC D C ED ∠=∠．A B A G ∴=，C E D E =（在同一个三角形中，等角对等边） AG D E ∴=AG EG D E EG ∴-=-，即A E D G =． 分7.（2010年重庆市潼南县）如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. （1）证明：△AB E ≌△DAF ； （2）若∠AGB =30°，求EF 的长.ABCDE FG【关键词】全等三角形 【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴AB=AD在△ABE 和△DAF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠3412DA AB ∴△ABE ≌△DAF -----------------------4分（2）∵四边形ABCD 是正方形∴∠1+∠4=900∵∠3=∠4∴∠1+∠3=900∴∠AFD=900----------------------------6分 在正方形ABCD 中， AD ∥BC ∴∠1=∠AGB=300在Rt △ADF 中，∠AFD=900AD=2∴AF=3 DF =1----------------------------------------8分 由(1)得△ABE ≌△ADF ∴AE=DF=1∴EF=AF-AE=13- -----------------------------------------10分8.（2010年江苏宿迁）如图，在□ABCD 中，点E 、F 是对角线AC 上两点，且AE =CF ．求证：∠EBF =∠FDE ． 【关键词】平行四边形【答案】证明：连接BD 交AC 于O 点 …… 1分∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA=OC ，OB=OD ………………3分又∵AE=CF ∴OE=OF∴四边形BEDF 是平行四边形 …… 6分 ∴∠EBF=∠EDF …………… 8分9.（2010年浙江宁波）如图1，有一张菱形纸片ABCD ，8=AC ，6=BD . （1）请沿着AC 剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四边形，在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD 剪开， 请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边 形的周长。

知识点 A 要求 B 要求Ｃ要求矩形 会识别矩形掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质和判定解决简单问题 会运用矩形的知识解决有关问题1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30︒角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．重点：掌握矩形的性质，并学会应用． 难点：理解矩形的特殊性．关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．一、矩形的判定【例1】 在矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形【考点】矩形的性质和判定 【题型】填空 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略【答案】2BC AB =例题精讲重、难点中考要求中考要求矩形的性质 及判定【例2】 如图，在四边形ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒，AC BD =，求证：四边形ABCD 是矩形．CDB A【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略【答案】∵90ABC BCD ∠=∠=︒，∴AB ∥CD在Rt ABC ∆和Rt DCB ∆中BC CBAC BD =⎧⎨=⎩∴Rt ABC ∆≌Rt DCB ∆ (HL )∵AB CD =，∴四边形ABCD 是平行四边形 ∵AC BD =，∴四边形ABCD 是矩形【巩固】 矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【考点】矩形的性质和判定 【题型】选择 【难度】1星 【关键词】 【解析】省略 【答案】A【例3】 如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证四边形EFGH 是矩形．HG OFEDCB A【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略【答案】∵E 、F 、G 、H 分别是四边的中点∴EF 、GH 为中位线∴EF GH BD ∥∥且12EF GH BD ==∴四边形EFGH 为平行四边形∴四边形EFGH 是矩形．【巩固】 如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 的中点，且MB MC =，求证：四边形ABCD 是矩形．MCDB A【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =， 180A D ∠+∠=︒∵M 是AD 的中点，∴AM MD =在ABM ∆和CDM ∆中AM DM MB MC AB CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ABM ∆≌CDM ∆ (SSS )，∴A D ∠=∠ ∴90A ∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．NMQPDCBA【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】 【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB CD ∥，AD BC ∥∵AQ 、BN 分别是DAB ∠、ABC ∠的平分线 ∴180BAD ABC ∠+∠=︒ ∴90QPN ∠=︒同理90PQM QMN MNP ∠=∠=∠=︒ ∴四边形PQMN 是矩形．【例5】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连结BF ． ⑴ 求证：BD CD =．⑵ 如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．FED CB A【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2009年，安顺市中考 【解析】省略【答案】⑴ ∵AF BC ∥，AFE DCE ∠=∠E 是AD 的中点，∴AE DE = ∵AFE DCE AE DE AEF DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AEF DEC ∆∆≌ ∴AF DC =，∵AF BD = ∴BD CD =（2）四边形AFBD 是矩形∵AB AC =，D 是BC 的中点（利用全等） ∴AD BC ⊥ ∴90ADB ∠=︒∵AF BD =，AF BC ∥∴四边形AFBD 是平行四边形 又90ADB ∠=︒∴四边形AFBD 是矩形．【巩固】 如图，在ABC ∆中，点D 是AC 边上的一个动点，过点D 作直线MN BC ∥，若MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F （1）求证：DE DF =（2）当点D 运动到何处时，四边形AECF 为矩形？请说明理由！NMFEDCBA【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略【答案】⑴证明：ED DC DF DC ==，⑵当D 为AC 的中点时，四边形AECF 为矩形【例6】 如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，将Rt ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC ∆点E在AC 上，再将Rt ABC ∆沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF ∆连接AD ．⑵ 连接BE 并延长交AD 于G 连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？AB CDGEF【考点】矩形的性质和判定，菱形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2009年，襄樊市中考 【解析】省略【答案】⑴ Rt DEC ∆是由Rt ABC ∆绕C 点旋转60︒得到∴AC DC =，60ACB ACD ∠=∠=︒ ∴ACD ∆是等边三角形 ∴AD DC AC ==又∵Rt ABF ∆是由Rt ABC ∆沿AB 所在 直线翻转180︒得到∴AC AF =，90ABF ABC ∠=∠=︒ ∴180FBC ∠=︒∴点F 、B 、C 三点共线 ∴AFC ∆是等边三角形 ∴AF FC AC ==∴AD DC FC AF === ∴四边形AFCD 是菱形． ⑵ 四边形ABCG 是矩形．由⑴可知：ACD ∆是等边三角形，DE AC ⊥于E ∴AE EC =，又∵AG BC ∥∴EAG ECB ∠=∠，AGE EBC ∠=∠ ∴AEG CEB ∆∆≌，∴AG BC =∴四边形ABCG 是平行四边形，而90ABC ∠=︒ ∴四边形ABCG 是矩形．【巩固】 如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，AEF ∆的两条高相交于M ，20AC =，16EF =，求AM 的长．MF E DC BAGMF E DC BA【考点】平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，三角形的三线五心 【题型】解答 【难度】6星 【关键词】【解析】过C 作CG AD ⊥于G ，连接EG 、FG ．∵AE BC ⊥，FM AE ⊥，∴FM ∥EC∴四边形EMFC 为平行四边形，∴MF EC = 又∵AE BC ⊥，CG AD ⊥且BC ∥AD ∴90EAG AGC GCE AEC ∠=∠=∠=∠=︒ ∴四边形AGCE 为矩形∴EC AG =，EG AC =，∴MF AG = 又∵MF ∥AG∴四边形AGFM 为平行四边形，∴GF AM = ∵AM EF ⊥，∴GF EF ⊥，即90GFE ∠=︒∴GF =∴12AM =【答案】12【例7】 已知，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥．ABCE FDBCM【考点】矩形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】【解析】延长BF 交AD 于M ，连结DB ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC AD BC AC BD ==∥，， ∴M EBF ∠=∠，∵F 是AE 中点，∴AF EF =，在AFM △和EFB △中， ∵M EBF MFA BFE AF EF ∠=∠∠=∠=，，∴AFM EFG ∆∆≌．∴AM BE =，MF BF =，∴AD AM BC BE CE DM +=+== ∵CE AC AC BD ==，，∴DM DB = ∵MF BF =，∴BF DF ⊥【答案】见解析板块二、矩形的性质及应用【例8】 如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。

专题10：四边形一、选择题1.(2017北京第6题)若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）A ． 6B ． 12C . 16D ．18【答案】B .【解析】试题分析：设多边形的边数为n ,则有（n -2）×180°=n ×150°,解得：n =12.故选B .考点：多边形的内角与外角2. (2017河南第7题)如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下列条件不能．．判定ABCD 是菱形的只有（ ）A ．AC BD ⊥B ．AB BC = C .AC BD = D ．12∠=∠【答案】C .考点：菱形的判定.3. （2017湖南长沙第10题）如图，菱形ABCD 的对角线BD AC ,的长分别为cm cm 8,6，则这个菱形的周长为（ ）A ．cm 5B ．cm 10C ．cm 14D ．cm 20【答案】D【解析】试题分析：根据菱形的对角线互相垂直，可知OA =3，OB =4，根据勾股定理可知AB =5，所以菱形的周长为4×5=20.故选：D考点：菱形的性质4. （2017湖南长沙第12题）如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合（H 不与端点D C ,重合），折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ，设正方形ABCD 的周长为m ，CHG ∆的周长为n ，则mn 的值为（ ） A ．22 B ．21 C ．215- D ．随H 点位置的变化而变化【答案】B【解析】试题分析：设正方形ABCD 的边长为2a ，正方形的周长为m =8a ，设CM =x ，DE =y ，则DM =2a -x ，EM =2a -y ，∵∠EMG =90°，∴∠DME +∠CMG =90°．∵∠DME +∠DEM =90°，∴∠DEM =∠CMG ，又∵∠D =∠C =90°△DEM ∽△CMG ， ∴CG CM MG DM DE EM ==,即22CG x MG a x y a y==-- ∴CG =(2)(2)=,x a x x a y CG MG y y--= △CMG 的周长为CM +CG +MG =24ax x y-在Rt △DEM 中，DM 2+DE 2=EM 2即（2a -x ）2+y 2=（2a -y ）2整理得4ax -x 2=4ay∴CM +MG +CG =2444ax x ay a y y-===n ． 所以12n m = 故选：B ．考点：1、正方形，2、相似三角形的判定与性质，3、勾股定理5. （2017山东临沂第7题）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．八边形【答案】C【解析】试题分析：根据多边形的外角和为360°，可知其内角和为720°，因此可根据多边形的内角和公式（n -2）·180°=720°，解得n =6，故是六边形.故选：C考点：多边形的内外角和6. （2017山东临沂第12题）在ABC V 中，点D 是边BC 上的点（与B 、C 两点不重合），过点D 作DE AC ∥，DF AB ∥，分别交AB ，AC 于E 、F 两点，下列说法正确的是（ ）A ．若AD BC ⊥，则四边形AEDF 是矩形B ．若AD 垂直平分BC ，则四边形AEDF 是矩形C ．若BD CD =，则四边形AEDF 是菱形D ．若AD 平分BAC ∠，则四边形AEDF 是菱形【答案】D【解析】试题分析：根据题意可知：DE AC ∥，DF AB ∥，可得四边形AEDF 是平行四边形.若AD ⊥BC ，则四边形AEDF 是平行四边形，不一定是矩形；选项A 错误；若AD 垂直平分BC ，则四边形AEDF 是菱形，不一定是矩形；选项B 错误；若BD =CD ，则四边形AEDF 是平行四边形，不一定是菱形；选项C 错误；若AD 平分∠BAC ，则四边形AEDF 是菱形；正确．故选：D考点：特殊平行四边形的判定7. （2017山东青岛第7题）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC ，垂足为E ，3=AB ，AC ＝2，BD ＝4，则AE 的长为（ ）A ．23B ．23C ．721D ．7212 【答案】D考点：1、平行四边形的性质，2、勾股定理，3、面积法求线段长度8. (2017四川泸州第11题)如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE BD ⊥,垂足为F ，则tan BDE ∠的值是 （ ）A ．24B ．14C ．13D ．23【答案】A .【解析】试题分析：由AD ∥BC 可得△ADF ∽△EBF ，根据相似三角形的性质可得AD AF DF EB EF BF== ，因点E 是边BC 的中点且AD =BC ,所以AD AF DF EB EF BF ===2，设EF =x ，可得AF =2x ，在Rt △ABE 中，由射影定理可得BF =2x ，再由AD AF DF EB EF BF ===2可得DF =22x ，在Rt △DEF 中，tan BDE ∠=2422EF x DF x == ，故选A . 9. （2017江苏苏州第10题）如图，在菱形CD AB 中，60∠A =，D 8A =，F 是AB 的中点．过点F 作F D E ⊥A ，垂足为E ．将F ∆AE 沿点A 到点B 的方向平移，得到F '''∆A E ．设P 、'P 分别是F E 、F ''E 的中点，当点'A 与点B 重合时，四边形CD 'PP 的面积为A ．283B ．243C .323D ．3238-【答案】A .【解析】试题分析：作,,DH AB PK AB FL AB ⊥⊥⊥在菱形CD AB 中，60∠A =，D 8A =,F 是AB 的中点 423,3AF EF EL ∴==∴=，P 是F E 的中点，32PK ∴= 43DH = 1373322PP CD ∴-= 高为4 7382832S ∴=⨯=L K H故答案选A .考点：平行四边形的面积，三角函数. 10.（2017江苏苏州第7题）如图，在正五边形CD AB E 中，连接BE ，则∠ABE 的度数为A ．30B ．36C .54D ．72【答案】B .【解析】试题分析：∠ABE =3601=3652︒⨯︒ 故答案选B . 考点：多边形的外角，等腰三角形的两底角相等11.（2017浙江台州第10题） 如图，矩形EFGH 的四个顶点分别在菱形ABCD 的四条边上，BE BF =，将,AEH CFG ∆∆分别沿,EH FG 折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD 面积的116时，则AE EB 为 （ ）A ． 53B ．2C . 52D ．4 【答案】A考点：1、菱形的性质，2、翻折变换（折叠问题）二、填空题1.(2017天津第17题)如图，正方形ABCD 和正方形EFCG 的边长分别为3和1，点G F ,分别在边CD BC ,上，P 为AE 的中点，连接PG ，则PG 的长为 .【答案】5.【解析】试题分析：连结AC ,根据正方形的性质可得A 、E 、C 三点共线，连结FG 交AC 于点M ，因正方形ABCD 和正方形EFCG 的边长分别为3和1，根据勾股定理可求得EC =FG =2,AC =32,即可得AE =22,因P 为AE 的中点，可得PE =AP =2,再由正方形的性质可得GM =EM =22,FG 垂直于AC ，在Rt △PGM 中，PM =322,由勾股定理即可求得PG =5.2.(2017福建第15题)两个完全相同的正五边形都有一边在直线l 上，且有一个公共顶点O ，其摆放方式如图所示，则AOB ∠等于 度．【答案】108【解析】∵五边形是正五边形，∴每一个内角都是108°，∴∠OCD =∠ODC =180°-108°=72°，∴∠COD =36°，∴∠AOB =360°-108°-108°-36°=108°.D C3.（2017广东广州第16题）如图9，平面直角坐标系中O 是原点，OABC 的顶点,A C 的坐标分别是()()8,0,3,4，点,D E 把线段OB 三等分，延长,CD CE 分别交,OA AB 于点,F G ，连接FG ，则下列结论：①F 是OA 的中点；②OFD ∆与BEG ∆相似；③四边形DEGF 的面积是203；④453OD =；其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③【解析】试题分析：如图，分别过点A 、B 作AN OB ⊥ 于点N ，BM x ⊥ 轴于点M在OABC 中，(80)(34)(114)137A C B OB ∴= ，，，，，D E 、 是线段AB 的三等分点， 12OD BD ∴= ,CB OF ODF BDC ∴∆∆111222OF OD OF BC OA BC BD ∴==∴==， F ∴ 是OA 的中点，故①正确.(34)5C OC OA ∴=≠ ，，OABC ∴ 不是菱形.,DOF COD EBG ODF COD EBG ∴∠≠∠=∠∠≠∠=∠(40)17,F CF OC CFO COF ∴=<∴∠>∠ ，，DFO EBG ∴∠≠∠故OFD ∆ 和BEG ∆ 不相似.则②错误；由①得，点G 是AB 的中点，FG ∴ 是OAB ∆ 的中位线1137,22FG OB FG OB ∴== D E 、 是OB 的三等分点，1373DE ∴= 1118416222OAB S OB AN OA BM ∆=⋅=⋅=⨯⨯= 解得：1162AN OB= ,DF FG ∴ 四边形DEGH 是梯形()551202121223DEGF DE FG h S OB h OB AN -∴==⋅=⋅=四边形 则③正确 113733OD OB == ,故④错误. 综上：①③正确.考点： 平行四边形和相似三角形的综合运用4.（2017广东广州第11题）如图6，四边形ABCD 中，0//,110AD BC A ∠=，则B ∠=___________.【答案】70°【解析】试题分析：两直线平行，同旁内角互补，可得：B ∠=180°-110°＝70°考点：平行线的性质5.（2017山东临沂第18题）在ABCD Y 中，对角线AC ，BD 相交于点O .若4AB =，10BD =，3sin 5BDC ∠=，则ABCD Y 的面积是 ．【答案】24【解析】试题分析：作OE ⊥CD 于E ，由平行四边形的性质得出OA =OC ，OB =OD =12BD =5，CD =AB =4，由sin ∠BDC =35，证出AC ⊥CD ，OC =3，AC =2OC =6，得出▱ABCD 的面积=CD •AC =24． 故答案为：24.考点：1、平行四边形的性质，2、三角函数，3、勾股定理6.（2017山东青岛第13题）如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 为对角线AC 的中点，连接BE 、ED 、BD ，若∠BAD ＝58°，则∠EBD 的度数为__________度．【答案】32 【解析】 试题分析：如下图由∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 为对角线AC 的中点，可知A ，B ，C ，D 四点共圆，圆心是E ，直径AC 然后根据圆周角定理由∠BAD ＝58°，得到∠BED ＝116°，然后根据等腰三角形的性质可求得∠EBD =32°. 故答案为：32.考点:1、圆周角性质定理，2、等腰三角形性质7.(2017山东滨州第16题)如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在Q 处，点D 落在AB 边上的E 处，EQ 与BC 相交于点F ．若AD ＝8，AB ＝6，AE ＝4，则△EBF 周长的大小为___________．ABCDHQGFE【答案】8.【解析】由折叠的性质可得DH =EH ，设AH =x ，则DH =EH =8-x ，在Rt △AEH 中，根据勾股定理可得2224(8)x x +=- ，解得x =3，即可得AH =3，EH =5；根据已知条件易证△AEH ∽△BFE ，根据相似三角形的性质可得AH AE EH BE BF EF == ,即3452BF EF ==，解得BF =83 ,EF =103,所以△EBF 的周长为2+83+103=8. 8.(2017江苏宿迁第15题)如图，正方形CD AB 的边长为3，点E 在边AB 上，且1BE =．若点P 在对角线D B 上移动，则PA +PE 的最小值是 ．【答案】10.9.(2017辽宁沈阳第16题)如图，在矩形ABCD 中，53AB BC ==，,将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连接CE ，则CE 的长是 .【答案】3105. 【解析】试题分析：如图，过点C 作MN ⊥BG ，分别交BG 、EF 于点M 、N ，根据旋转的旋转可得AB =BG =EF =CD =5，AD =GF =3，在Rt △BCG 中，根据勾股定理求得CG =4，再由1122BCG S BC CG BG CM =⋅=⋅ ,即可求得CM =125 ,在Rt △BCM 中，根据勾股定理求得BM =22221293()55BC CM -=-=，根据已知条件和辅助线作法易知四边形BENMW 为矩形，根据矩形的旋转可得BE =MN =3,BM =EN =95,所以CN =MN -CM =3-125=35,在Rt △ECN 中，根据勾股定理求得EC =22223990310()()55255CN EN +=+==.考点：四边形与旋转的综合题.10．（2017江苏苏州第18题）如图，在矩形CD AB 中，将C ∠AB 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，C B 的对应边C ''B 交CD 边于点G ．连接'BB 、CC '，若D 7A =，CG 4=，G ''AB =B ，则CC '='BB （结果保留根号）．【答案】745. 【解析】试题分析：连接AG ,设DG =x ,则 G=4+x ''AB =B在'Rt AB G ∆ 中，22492(4)1x x x +=+⇒= ，则5,7AB BC =='254974'55CC BB +∴==考点：旋转的性质 ，勾股定理 .11. (2017山东菏泽第11题)菱形ABCD 中， 60=∠A ，其周长为cm 24，则菱形的面积为____2cm . 【答案】183. 【解析】试题分析：如图，连接BD ，作DE ⊥AB ,已知菱形的周长为cm 24，根据菱形的性质可得AB =6;再由 60=∠A ，即可判定△ABD 是等边三角形；求得DE =33,所以菱形的面积为：6×33=183.12. （2017浙江湖州第13题）已知一个多边形的每一个外角都等于72，则这个多边形的边数是 ． 【答案】5考点：多边形的外角和三、解答题1. (2017北京第20题) 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.,（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》） 请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：()ADC ANF FGC NFGD S S S S ∆∆∆=-+矩形，ABC EBMF S S ∆=-矩形（____________+____________）． 易知，ADC ABC S S ∆∆=，_____________=______________，______________=_____________． 可得NFGD EBMF S S =矩形矩形．【答案】,,,AEF CFM ANF AEF FGC CFM S S S S S ∆∆∆∆∆；；S . 【解析】试题分析：由矩形的对角线的性质，对角线把矩形分成两个面积相等的三角形计算即可. 本题解析：由矩形对角线把矩形分成两个面积相等的两部分可得：(),()ADC ANF FGC ABC AEF FMC NFGD EBMF S S S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-+矩形矩形 ,∴,,ADC ABC ANF AEF FGC FMC S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=== , ∴NFGD EBMF S S =矩形矩形 . 考点：矩形的性质，三角形面积计算.2. (2017北京第22题)如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，0//,2,90AD BC AD BC ABD =∠=，E 为AD 的中点，连接BE .（1）求证：四边形BCDE 为菱形；（2）连接AC ，若AC 平分,1BAD BC ∠=，求AC 的长. 【答案】（1）证明见解析.（2）3. 【解析】试题分析：（1）先证四边形是平行四边形，再证其为菱形；（2）利用等腰三角形的性质，锐角三角函数，即可求解.本题解析：(1)证明：∵E 为AD 中点，A D =2BC ,∴BC =ED , ∵AD ∥BC , ∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AD =2BE , ∠ABD =90°,AE =DE ∴BE =ED , ∴四边形ABCD 是菱形.(2)∵AD ∥BC ,AC 平分∠BAD ∴∠BAC =∠DAC =∠BCA ,∴BA =BC =1, ∵AD =2BC =2，∴sin ∠ADB =12,∠ADB =30°, ∴∠DAC =30°, ∠ADC =60°.在RT △ACD 中，AD =2，CD =1，AC = 3 .考点：平行线性质，菱形判定，直角三角形斜边中线定理.3. (2017天津第24题)将一个直角三角形纸片ABO 放置在平面直角坐标系中，点)0,3(A ，点)1,0(B ，点)0,0(O .P 是边AB 上的一点（点P 不与点B A ,重合），沿着OP 折叠该纸片，得点A 的对应点'A .（1）如图①，当点'A 在第一象限，且满足OB B A ⊥'时，求点'A 的坐标； （2）如图②，当P 为AB 中点时，求B A '的长；（3）当030'=∠BPA 时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）.【答案】（1）点A ’的坐标为（2，1）；（2）1；（3）3333(,)22--或2333(,)22- . 【解析】试题分析：（1）因点)0,3(A ，点)1,0(B ，可得OA =3 ,OB =1，根据折叠的性质可得△A ’OP ≌△AOP ，由全等三角形的性质可得OA ’=OA =3,在Rt △A ’OB 中，根据勾股定理求得'A B 的长，即可求得点A的坐标；（2）在Rt △AOB 中，根据勾股定理求得AB =2，再证△BOP 是等边三角形，从而得∠OPA =120°.在判定四边形OPA ’B 是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得B A '的长； 试题解析：（1）因点)0,3(A ，点)1,0(B ， ∴OA =3 ,OB =1.根据题意，由折叠的性质可得△A ’OP ≌△AOP .∴OA ’=OA =3,由OB B A ⊥'，得∠A ’BO =90°.在Rt △A ’OB 中，22''2A B OA OB =-=, ∴点A ’的坐标为（2，1）. (2) 在Rt △AOB 中，OA =3 ,OB =1, ∴222AB OA OB =+= ∵当P 为AB 中点， ∴AP =BP =1,OP =12AB =1. ∴OP =OB =BP , ∴△BOP 是等边三角形 ∴∠BOP =∠BPO =60°， ∴∠OPA =180°-∠BPO =120°. 由（1）知，△A ’OP ≌△AOP ，∴∠OPA ’=∠OPA =120°，P ’A =PA =1，又OB =PA ’=1，∴四边形OPA ’B 是平行四边形. ∴A ’B =OP =1. (3)3333(,)22--或2333(,)22- .4. (2017福建第24题)如图，矩形ABCD 中，6,8AB AD ==，,P E 分别是线段AC 、BC 上的点，且四边形PEFD 为矩形．（Ⅰ）若PCD ∆是等腰三角形时，求AP 的长； （Ⅱ）若2AP =，求CF 的长．【答案】（Ⅰ）AP 的长为4或5或145；（Ⅱ）CF =324【解析】试题分析：（Ⅰ）分情况CP =CD 、PD =PC 、DP =DC 讨论即可得；（Ⅱ）连结PF 、DE ，记PF 与DE 的交点为O ，连结OC ，通过证明△ADP ∽△CDF ，从而得34CF CD AP AD == ，由AP =2 ，从而可得CF =324. 试题解析：（Ⅰ）在矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，∠ADC =90°，∴DC =AB =6， AC =22AD DC + =10；要使△PCD 是等腰三角形，有如下三种情况： （1）当CP =CD 时，CP =6，∴AP =AC -CP =4 ；（2）当PD =PC 时，∠PDC =∠PCD ，∵∠PCD +∠PAD =∠PDC +∠PDA =90°，∴∠PAD =∠PDA ，∴PD =PA ，∴PA =PC ，∴AP =2AC，即AP =5；（3）当DP =DC 时，过D 作DQ ⊥AC 于Q ，则PQ =CQ ，∵S △ADC =12 AD ·DC =12AC ·DQ ，∴DQ =245AD DC AC = ，∴CQ =22185DC DQ -= ，∴PC =2CQ =365 ,∴AP =AC -PC =145. 综上所述，若△PCD 是等腰三角形，AP 的长为4或5或145；（Ⅱ）连结PF 、DE ，记PF 与DE 的交点为O ，连结OC ，∵四边形ABCD 和PEFD 都是矩形，∴∠ADC =∠PDF =90°，即∠ADP +∠PDC =∠PDC +∠CDF ，∴∠ADP =∠CDF ，∵∠BCD =90°，OE =OD ，∴OC =12 ED ，在矩形PEFD 中，PF =DE ，∴OC =12PF ，∵OP =OF =12PF ，∴OC =OP =OF ，∴∠OCF =∠OFC ，∠OCP =∠OPC ，又∵∠OPC +∠OFC +∠PCF =180°，∴2∠OCP +2∠OCF =180°，∴∠PCF =90°，即∠PCD +∠FCD =90°，在Rt △ADC 中，∠PCD +∠PAD =90°，∴∠PAD =∠FCD ，∴△ADP ∽△CDF ，∴34CF CD AP AD == ，∵AP =2 ，∴CF =324.5. （2017广东广州第24题）如图13，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，COD ∆关于CD 的对称图形为CED ∆．（1）求证：四边形OCED 是菱形；（2）连接AE ，若6cm AB =，5BC cm =． ①求sin EAD ∠的值；②若点P 为线段AE 上一动点（不与点A 重合），连接OP ，一动点Q 从点O 出发，以1/cm s 的速度沿线段OP 匀速运动到点P ，再以1.5cm /s 的速度沿线段PA 匀速运动到点A ，到达点A 后停止运动．当点Q 沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时，求AP 的长和点Q 走完全程所需的时间．【答案】（1）详见解析；（2）①2sin 3EAD ∠= ②32AP =和Q 走完全程所需时间为32s 【解析】（2）①连接OE ,直线OE 分别交AB 于点F ,交DC 于点GCOD ∆ 关于CD 的对称图形为CED ∆,OE DC DC AB ∴⊥ ,OF AB EF AD ∴⊥在矩形ABCD 中，G 为DC 的中点，且O 为AC 的中点OG ∴ 为CAD ∆ 的中位线 52OG GE ∴==同理可得：F 为AB 的中点，532OF AF ==， 22223593()22AE EF AF ∴=+=+= 32sin sin 932EAD AEFEAD AEF ∠=∠∴∠=∠==②过点P 作PM AB ⊥ 交AB 于点MQ ∴ 由O 运动到P 所需的时间为3s由①可得，23AM AP = ∴ 点O 以1.5/cm s 的速度从P 到A 所需的时间等于以 1/cm s 从M 运动到A 即：11OP PA OP MA t t t OP MA =+=+=+ Q ∴ 由O 运动到P 所需的时间就是OP +MA 和最小.如下图，当P 运动到1P ,即1PO AB 时，所用时间最短. 3t OP MA ∴=+=在11Rt APM ∆ 中，设112,3AM x APx == 2222211115(3)=(2)+()22AP AM PM x x =+∴ 解得：12x = 32AP ∴= 32AP ∴=和Q 走完全程所需时间为32s考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置6. （2017山东青岛第24题）（本小题满分12分）已知：Rt △EFP 和矩形ABCD 如图①摆放（点P 与点B 重合），点F ，B （P ），C 在同一条直线上，AB ＝EF ＝6cm ，BC ＝FP ＝8cm ，∠EFP ＝90°。