球的体积和表面积 高中数学必修二总复习课件

8.3 简单几何体的表面积与体积

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

基础过关练

题组一 棱柱、棱锥、棱台的面积

1.(2020湖南怀化高一上期末)已知正四棱柱的底面边长为3 cm,侧面的对角线长是3√5 cm,则这个正四棱柱的表面积为( )

A.90 cm2 B.36√5 cm2 C.72 cm2 D.54 cm2

2.(2019江苏南京六校联合体高一下期中)已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16,侧棱长为10,则该棱台的侧面积为( )

A.80 B.240 C.350 D.640

3.(2020安徽马鞍山二中高二上期末)正三棱锥的底面边长为a,高为√66a,则此棱锥的侧面积等于 .

4.(2019福建三明三地三校高一下联考)一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形,矩形的长和宽分别为5 cm,4 cm,则该棱柱的侧面积为

cm2.

5.(2020安徽合肥一中高二上月考)已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2,其侧面积恰好等于两底面面积之和,则该正四棱台的高为 . 6.如图,在正四棱锥S-ABCD中,SO是这个四棱锥的高,SM是斜高,且SO=8,SM=11.

(1)求这个四棱锥的侧棱长;

(2)求这个四棱锥的表面积.

题组二 棱柱、棱锥、棱台的体积

7.(2019北京高二学业考试)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,如果AB=3,AC=1,AA1=2,那么直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为( )

A.2 B.3 C.4 D.6

8.(2020辽宁丹东高二上期末)一个正四棱锥的侧面是正三角形,斜高为√3,那么这个四棱锥的体积为( ) A.43 B.4√23 C.83 D.8√23

9.(2020江西景德镇高一上期末)已知一个正三棱锥的高为3,如图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图,其中O'B'=O'C'=1,则此正三棱锥的体积为( )

RCBAO《1.3.2球的体积和表面积》教学设计

教材：人民教育出版社A版普通高中课程标准实验教科书《数学必修2》

一、 教学目标

知识目标：

1、掌握球的体积公式343VR、表面积公式24SR.

2、会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力．

3、能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题．

能力目标：

通过类比、归纳、猜想等合情推理培养学生勇于探索的精神. 提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力

情感目标：

通过寻求如何研究球的内切与外接的方法，培养学生将数学知识和生活实际相联系的意识，对学生进行“事物具有多面性”的辩证唯物主义思想教育.

二、 教学重点、难点

重点：球的体积和表面积的计算公式的应用.

难点：解决与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题

三、教学方法

采用试验探索，启发式的教学方法.

教辅手段：圆柱、圆锥、半球容积比实物模型；一盆水；多媒体.

四、教学过程

教学环节 教学内容 师生互动 设计意图

复

习

引

入 1.球的概念：

球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面所为成的几何体叫做球体，简称球. 一个球用表示它的球心的字母表示，例如球O． 教师提出问题，学生思考作答. 方面唤起学生对球体的概念的认识，加2. 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式分别是什么？柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？

（1）．多面体的面积和体积公式

名称 侧面积(S侧) 全面积(S全) 体 积(V)

棱

柱 棱柱 直截面周长×l S侧+2S底 S底·h=S直截面·h

直棱柱 ch S底·h

棱

锥 棱锥 各侧面积之和 S侧+S底 31S底·h

正棱锥 21ch′

棱

台 棱台 各侧面面积之和

S侧+S上底+S下底 31h(S上底+S下底+下底下底SS)

正棱台 21

(c+c′)h′

表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。

一、球的体积与表面积

1．球的体积

设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么它的体积V .

2．球的表面积

设球的半径为R，它的表面积由半径R唯一确定,即它的表面积S是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积S .

二、球的截面

1．球的截面在解决球的相关计算问题中的作用

（1）当截面过球心时，截面圆的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；

（2）当截面不过球心时，截面圆的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.

2．球的截面的性质

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；

（2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式: 22dRr.

三、球的切、接问题（常见结论）

（1）若正方体的棱长为a，则正方体的内切球半径是12a；正方体的外接球半径是32a；与正方体所有棱相切的球的半径是22a．

（2）若长方体的长、宽、高分别为a，b，h，则长方体的外接球半径是22212abh．

（3）若正四面体的棱长为a，则正四面体的内切球半径是612a；正四面体的外接球半径是64a；与

正四面体所有棱相切的球的半径是24a．

（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．

（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．

K知识参考答案：

一、1．34π3R

2．24πR

K—重点：球的体积和表面积.

K—难点：球的截面问题、球与几何体的切、接问题.

K—易错：空间能力想象不足、考虑不全出错等.

1．K重点——球的体积与表面积

确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.

若球的表面积膨胀为原来的3倍，则膨胀后的球的体积为原来的

A．3倍 B．23倍

课题： 球的体积和表面积

课 型：新授课

一. 教学目标

1.知识与技能

⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

2.过程与方法

通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝34πR3和面积公式Ｓ＝４πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。

3.情感与价值观

通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二. 教学重点、难点

重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

三. 学法和教学用具

１． 学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。

２． 教学用具：多媒体课件 四. 教学设计

（一） 创设情景

⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。

⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。

（二） 探究新知

1．球的体积：

如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。

步骤：

第一步：分割

如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为nR，底面是“小圆片”的底面。 如图：