高中数学 必修二 1.3.2 球的体积和表面积教案 新人教A版必修2
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1 1.3.2 球的体积和表面积
（一）导入新课
思路1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨，有一座新异奇秀的半球形建筑.由香港好世界饮食服务（中国）有限公司等三方合资兴建，1996年9月正式开业，既是岛城饮食服务业的“特一级”店，又是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积11 380平方米，现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？
思路2.球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积.
（二）推进新课、新知探究
球的半径为R，它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么S=4πR2,V=334R.
注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明.
（三）应用示例
思路1
例1 如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
图1
（1）球的体积等于圆柱体积的32；
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形.
证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.
则有V球=334R，V圆柱=πR2·2R=2πR3，所以V球=圆柱V32.
（2）因为S球=4πR2，S圆柱侧=2πR·2R=4πR2，所以S球=S圆柱侧.
点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征.
变式训练
1.如图2(1)所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.
图2 2 解：设球的半径为R，正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA′=14,AC=a2,又∵4πR2=324π,∴R=9.
∴AC=28''22CCAC.∴a=8.
∴S表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为576.
2有一种空心钢球，质量为142 g,测得外径（直径）等于5 cm，求它的内径（钢的密度为7.9 g/cm3，精确到0.1 cm）.
解：设空心球内径（直径）为2x cm,则钢球质量为
7.9·［3334)25(34x］=142,
∴x3=14.349.73142)25(3≈11.3,∴x≈2.24,∴直径2x≈4.5.
答：空心钢球的内径约为4.5 cm.
例2 如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m、高为3 m的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1）?
图3
活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含下底面）与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积.
解：圆柱形物体的侧面面积S1≈3.1×1×3=9.3(m2),
半球形物体的表面积为S2≈2×3.1×(21)2≈1.6(m2),
所以S1+S2≈9.3+1.6=10.9(m2).
10.9×150≈1 635(朵).
答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花.
点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力.
变式训练
有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？
分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决.
解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示，
3 图4
圆锥底面半径r=RR330tan,
圆锥母线l=2r=R32，圆锥高为h=r3=3R，
∴V水=334332Rhr·3R2·3R333534RR，
球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r=R3,设上底面半径为r′，
则高h′=(r-r′)tan60°=)'3(3rR,
∴'3353hR(r2+r′2+rr′),∴5R3=)3'3')('3(322RRrrrR,
∴5R3=)'33(333rR，
解得r′=6331634RR,
∴h′=(3123)R.
答：容器中水的高度为(3123)R.
思路2
例1 （2006广东高考，12）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________.
活动：学生思考长方体和球的结构特征.教师可以借助于信息技术画出图形.
分析：画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以球的半径R=233，则该球的表面积为S=4πR2=27π.
答案：27π
点评：本题主要考查简单的组合体和球的表面积.球的表面积和体积都是半径R的函数.对于和球有关的问题，通常可以在轴截面中建立关系.画出轴截面是正确解题的关键.
变式训练
1.（2006全国高考卷Ⅰ，理7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A.16π B.20π C.24π D.32π
分析：由V=Sh，得S=4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以，球的半径为R=642221222，所以球的表面积为S=4πR2=24π.
答案：C
2.（2005湖南数学竞赛，13）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为_____________. 4 分析：把正四面体补成正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为a22，于是球的半径为a42，V=3242a.
答案：3242a
3.（2007天津高考，理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为___________.
分析：长方体的对角线为14321222，则球的半径为214,则球的表面积为4π(214)2=14π.
答案：14π
例2 图5是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？
图5
活动：学生思考杯里的水将下降的原因，通过交流和讨论得出解题思路.因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20 cm的圆，它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度.
解：因为圆锥形铅锤的体积为2)26(31×20=60π（cm3），
设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为x2)220(=100πx（ cm3）.
所以有60π=100πx，解此方程得x=0.6（ cm）.
答：杯里的水下降了0.6 cm.
点评：本题主要考查几何体的体积问题，以及应用体积解决实际问题的能力.明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问题的关键.解实际应用题的关键是建立数学模型.本题的数学模型是下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积.明确其体积公式中的相关量是列出方程的关键.
变式训练
1.一个空心钢球，外直径为12 cm，壁厚0.2 cm，问它在水中能浮起来吗？（钢的密度为7.9 g/cm3）和它一样尺寸的空心铅球呢？（铅的密度为11.4 g/cm3）
分析：本题的关键在于如何判断球浮起和沉没，因此很自然要先算出空心钢球的体积，而空心钢球的体积相当于是里、外球的体积之差，根据球的体积公式很容易得到空心钢球的体积，从而算出空心钢球的质量，然后把它与水的质量相比较即可得出结论，同理可以判断铅球会沉没.
解：空心钢球的体积为V钢=348.53463433×20.888≈87.45(cm3)，
∴钢的质量为m钢=87.45×7.9=690.86(g). 5 ∵水的体积为V水=34×63=904.32(cm3)，
∴水的质量为m水=904.32×1=904.32(g)＞m钢.
∴钢球能浮起来，而铅球的质量为m铅=87.45×11.4=996.93(g)＞m水.
∴同样大小的铅球会沉没.
答：钢球能浮起来，同样大小的铅球会沉没.
2.（2006全国高中数学联赛试题第一试，10）底面半径为1 cm的圆柱形容器里放有四个半径为21cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水___________cm3.
分析：设四个实心铁球的球心为O1、O2、O3、O4，其中O1、O2为下层两球的球心，A、B、C、D分别为四个球心在底面的射影，则ABCD是一个边长为22 cm的正方形，所以注水高为(1+22) cm.故应注水π(1+22)-4×)2231()21(343π cm3.
答案：（31+22）π
（四）知能训练
1.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）
A.1倍 B.2倍 C.59倍 D.47倍
分析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r，则另两个为2r、3r，所以各球的表面积分别为4πr2、16πr2、36πr2，5916436222rrr（倍）.
答案：C
2.（2006安徽高考，理9）表面积为32的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ）
A.32 B.3 C.32 D.322
分析：此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8×32432a知，a=1，则此球的直径为2.
答案：A
3.（2007北京西城抽样，文11）若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，则球的表面积是____________.
