2018年考研数学一真题及全面解析(Word版)

学习文档 仅供参考 2021年全国硕士研究生入学统一考试

数学一考研真题与全面解析

一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

1. 以下函数中在0x处不可导的是〔 〕

〔A〕()sinfxxx 〔B〕()sinfxxx

〔C〕()cosfxx 〔D〕()cosfxx

【答案】(D)

【解析】根据导数定义，A. 000sin()(0)limlimlim0xxxxxxxfxfxxx ，可导；

B.000sin()(0)limlimlim0xxxxxxxfxfxxx, 可导；

C. 20001cos1()(0)2limlimlim0xxxxxfxfxxx ，可导；

D. 200011cos122limlimlimxxxxxxxxx ，极限不存在。应选〔D〕.

2. 过点(1,0,0)，(0,1,0)，且与曲面22zxy相切的平面为〔 〕

〔A〕01zxyz与 〔B〕022zxyz与2

〔C〕1xyxyz与 〔D〕22xyxyz与2

【答案】〔B〕

【解析一】设平面与曲面的切点为000(,,)xyz，那么曲面在该点的法向量为

00(2,2,1)nxy，切平面方程为

000002()2()()0xxxyyyzz

切平面过点 (1,0,0)，(0,1,0)，故有 学习文档 仅供参考 000002(1)2(0)(0)0xxyyz，〔1〕

000002(0)2(1)(0)0xxyyz，〔2〕

又000(,,)xyz是曲面上的点，故 22000zxy ，〔3〕

解方程 〔1〕〔2〕〔3〕，可得切点坐标 (0,0,0) 或 (1,1,2)。因此，切平面有两个

0z 与 222xyz，应选〔B〕.

【解析二】由于xy不经过点(1,0,0) 和 (0,1,0)，所以排除〔C〕〔D〕。

对于选项〔A〕，平面1xyz的法向量为(1,1,1)，曲面220xyz的法

向量为(2,2,1)xy，如果所给平面是切平面，那么切点坐标应为111(,,)222，而曲面在该点处的切平面为12xyz，所以排除〔A〕.所以唯一正确的选项是〔B〕.

3.

023(1)(21)!nnnn〔 〕

sin1cos12sin1cos12sin12cos12sin13cos1ABCD　　　　　

【答案】〔B〕

【解析】因为 21200(1)(1)sin,cos,(21)!(2)!nnnnnnxxxxnn

而

00023212(1)(1)(1)(21)!(21)!(21)!nnnnnnnnnnn

00(1)(1)cos12sin1(2)!(21)!2nnnnnn，应选〔B〕。

4. 设2222(1)1xMdxx，221xxNdxe，22(1cos)Kxdx，那么〔 〕

〔A〕MNK 〔B〕MKN

〔C〕KMN 〔D〕KNM 学习文档 仅供参考 【答案】〔C〕

【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分那么最简化积分。

22222222222(1)122(1)111xxxxMdxdxdxxxx，

2222(1cos)1Kxdxdx，

令()1,(,)22xfxexx，那么()1xfxe，当(,0)2x时，()0fx，

当(0,)2x时，()0fx，故 对(,)22x，有()(0)0fxf，因而

11xxe，222211xxNdxdxe，故KMN。应选〔C〕.

5. 以下矩阵中阵，与矩阵110011001相似的是〔 〕

〔A〕111011001 〔B〕101011001 〔C〕111010001 〔D〕101010001

【答案】〔A〕

【解析】记矩阵110011001H，那么秩()3rH，迹()3trH,特征值1

〔三重〕。观察,,,ABCD四个选项，它们与矩阵H的秩相等、迹相等、行列式相等，特征值也相等，进一步分析可得：()2rEH,()2rEA，()1rEB

()1rEC, ()1rED。如果矩阵A与矩阵X相似，那么必有kEA与学习文档 仅供参考 kEX相似〔k为任意常数〕，从而()()rkEArkEX〕，应选〔A〕,

6. 设,AB是n阶矩阵，记()rX为矩阵X 的秩，(,)XY表示分块矩阵，那么〔 〕

〔A〕(,)()rAABrA 〔B〕(,)()rABArA

〔C〕(,)max{(),()}rABrArB 〔D〕(,)(,)TTrABrAB

【答案】〔A〕

【解析】把矩阵,AAB 按列分块，记1212(,,),(,,)nnAAB，那么向量组12,,n 可以由向量组12,,n线性表出，从而12,,n与

12,,n，12,,n，等价，于是(,)()rAABrA，应选〔A〕。

7. 设随机变量X的概率密度()fx满足(1)(1)fxfx，且20()0.6fxdx

那么{0}PX ( )

〔A〕0.2 〔B〕0.3 〔C〕0.4 〔D〕0.5

【答案】〔A〕

【解析】由(1)(1)fxfx可知概率密度函数()fx关于1x对称，

结合概率密度函数的性质()1fxdx及条件20()0.6fxdx，容易得出

0201{0}()[()()]0.22PXfxdxfxdxfxdx，应选〔A〕。

8. 设 总体X服从正态分布2(,)N,12,,,nXXX是来自总体X的简单随机样本，据此样本检测，假设 0010:,:,HH那么〔 〕

〔A〕如果在检验水平0.05下拒绝0H，那么在检验水平0.01下必拒绝0H； 学习文档 仅供参考 〔B〕如果在检验水平0.05下拒绝0H，那么在检验水平0.01下必接受0H；

〔C〕如果在检验水平0.05下接受0H，那么在检验水平0.01下必拒绝0H；

〔D〕如果在检验水平0.05下接受0H，那么在检验水平0.01下必接受0H。

【答案】〔D〕

【解析】正确解答该题，应深刻理解“检验水平〞的含义。

统计量 __0~(0,1)XNn,在检验水平0.05下接受域为__00.025Xun,

解得 接受域的区间为 ____0.0250.025(,)XuXunn；

在检验水平0.01下接受域的区间为 ____0.0050.005(,)XuXunn。

由于0.0250.005uu，0.01下接受域的区间包含了0.05下接受域的区间，应选〔D〕。

二、填空题：914小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.

9. 假设1sin01tanlim1tankxxxex，那么____k 。

【答案】2

【解析】 00111tan12tanlimlnlimln1sinsin1tansin1tan01tanlim1tanxxxxkxkxxkxxxxeeex

012tan2limsin1tan2xxkxxkeek

10. 设函数()fx具有二阶连续导数，假设曲线()yfx过点(0,0)，且与2xy在点(1,2)处相切，求10()______xfxdx。

【答案】2(ln21) 学习文档 仅供参考 【解析】由条件可得：(0)0,(1)2,(1)2ln2,fff

故 11110000()()()()xfxdxxdfxxfxfxdx

10(1)()(1)(1)(0)ffxfff

2(ln21)

11、设函数(,,)Fxyzxyiyzjzxk，那么(1,1,0)_____rotF。

【答案】(1,0,1)

【解析】 (,,)ijkrotFxyzyizjxkxyzxyyzzx

故 (1,1,0)(1,0,1)rotF。

12. 设L是曲面2221xyz与平面0xyz的交线，那么___Lxyds。

【答案】3

【解析】先求交线L:22210xyzxyz，由于曲面方程与平面方程中的,,xyz满足轮换对称性，因此在曲线L上,,xyz具有轮换对称性。又知

2222()2()0xyzxyzxyyzzx12xyyzzx

由轮换对称性可得 ：111()23663LLLxydsxyyzzxdsds。

13. 设二阶矩阵A有两个不同的特征值，12,是A的线性无关的特征向量，且满足

21212()A，那么____A。

【答案】1

【解析】设12,对应的特征值分别是12,，那么 学习文档 仅供参考 222221212112212()AAA，

221122(1)(1)0，由于12,线性无关，故 22121,1，

从而A的两个不同的特征值为1,1，于是111A。

14. 设随机事件AB与相互独立，AC与相互独立，BC,1()()2PAPB，

1()4PACABC,那么()____PC。

【答案】14

【解析】{()}()()()()()()PACABCPABCACPACABCPABCPABPCPABC

()()()()1()()()()()()()4PABCPACPAPCPAPBPCPABCPAPBPC

1()112()1144()22PCPCPC,

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 〔此题总分值10分〕求不定积分2arctan1xxeedx.

【解析】221arctan1arctan12xxxxeedxede