2019年江苏高考试题(数学_word解析版)
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2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学
（全卷满分160分，考试时间120分钟）
参考公式：
棱锥的体积13VSh，其中S为底面积，h为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．
1．（2019年江苏省5分）已知集合{124}A，，，{246}B，，，则AB ▲ ．
【答案】1,2,4,6。
【考点】集合的概念和运算。
【分析】由集合的并集意义得1,2,4,6AB。
2．（2019年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校
高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．
【答案】15。
【考点】分层抽样。
【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此，由350=15334知应从高二年级抽取15名学生。
3．（2019年江苏省5分）设abR，，117ii12iab（i为虚数单位），则ab的值为 ▲ ．
【答案】8。
【考点】复数的运算和复数的概念。
【分析】由117ii12iab得117i12i117i1115i14i===53i12i12i12i14ab，所以=5=3ab，，=8ab 。
4．（2019年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ▲ ．
【答案】5。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：
是否继续循环 k 2k5k4
循环前 0 0
第一圈 是 1 0
第二圈 是 2 －2
第三圈 是 3 －2
第四圈 是 4 0
第五圈 是 5 4
第六圈 否 输出5
∴最终输出结果k=5。
5．（2019年江苏省5分）函数xxf6log21)(的定义域为 ▲ ．
【答案】0 6，。
【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。
【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得
12660006112log0log6=620x>x>xxxx。
6．（2019年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．
【答案】35。
【考点】等比数列，概率。
【解析】∵以1为首项，3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，
∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是63=105。
7．（2019年江苏省5分）如图，在长方体1111ABCDABCD中，3cmABAD，12cmAA，则四棱锥11ABBDD的体积为 ▲ cm3．
【答案】6。
【考点】正方形的性质，棱锥的体积。
【解析】∵长方体底面ABCD是正方形，∴△ABD中=32BD cm，BD边上的高是322cm（它也是11ABBDD中11BBDD上的高）。
∴四棱锥11ABBDD的体积为133222=632。由
8．（2019年江苏省5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22214xymm的离心率为5，则m的值为 ▲ ．
【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由22214xymm得22==4=4ambmcmm，，。
∴24===5cmmeam，即244=0mm，解得=2m。
9．（2019年江苏省5分）如图，在矩形ABCD中，22ABBC，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若2ABAF，则AEBF的值是 ▲ ．
【答案】2。
【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。
【解析】由2ABAF，得cos2ABAFFAB，由矩形的性质，得cos=AFFABDF。
∵2AB，∴22DF，∴1DF。∴21CF。
记AEBF和之间的夹角为,AEBFBC，，则。
又∵2BC，点E为BC的中点，∴1BE。
∴=cos=cos=coscossinsinAEBFAEBFAEBFAEBF
=coscossinsin=122212AEBFAEBFBEBCABCF。
本题也可建立以, ABAD为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。
10．（2019年江苏省5分）设()fx是定义在R上且周期为2的函数，在区间[11]，上，
0111()201xxaxfxbxx≤≤≤，，，，其中abR，．若1322ff，
则3ab的值为 ▲
．
【答案】10。
【考点】周期函数的性质。
【解析】∵()fx是定义在R上且周期为2的函数，∴11ff，即21=2ba①。
又∵311=1222ffa，1322ff，
∴141=23ba②。
联立①②，解得，=2. =4ab。∴3=10ab。
11．（2019年江苏省5分）设为锐角，若4cos65，则)122sin(a的值为 ▲ ．
【答案】17250。
【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。
【解析】∵为锐角，即02<<，∴2=66263<<。
∵4cos65，∴3sin65。∴3424sin22sincos=2=3665525。
∴7cos2325。
∴sin(2)=sin(2)=sin2coscos2sin12343434aaaa
2427217==225225250。
12．（2019年江苏省5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为228150xyx，若直线2ykx
上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ▲ ．
【答案】43。
【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离
【解析】∵圆C的方程可化为：2241xy，∴圆C的圆心为(4,0)，半径为1。
∵由题意，直线2ykx上至少存在一点00(,2)Axkx，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有
公共点；
∴存在0xR，使得11AC成立，即min2AC。
∵minAC即为点C到直线2ykx的距离2421kk，∴24221kk，解得403k。
∴k的最大值是43。
13．（2019年江苏省5分）已知函数2()()fxxaxbabR，的值域为[0)，，若关于x的不等式
()fxc的解集为(6)mm，，则实数c的值为 ▲ ．
【答案】9。
【考点】函数的值域，不等式的解集。
【解析】由值域为[0)，，当2=0xaxb时有240abV，即24ab，
∴2222()42aafxxaxbxaxx。
∴2()2afxxc解得2acxc，22aacxc。
∵不等式()fxc的解集为(6)mm，，∴()()2622aaccc，解得9c。
14．（2019年江苏省5分）已知正数abc，，满足：4ln53lnbcaacccacb≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ．
【答案】 7e，。
【考点】可行域。
【解析】条件4ln53lnbcaacccacb≤≤≥，可化为：354acabccabccbec。
设==abxycc，，则题目转化为：
已知xy，满足35400xxyxyyex>y>，，求yx的取值范围。
作出（xy，）所在平面区域（如图）。求出=xye的切
线的斜率e，设过切点00Pxy，的切线为=0yexmm，
则00000==yexmmexxx，要使它最小，须=0m。
∴yx的最小值在00Pxy，处，为e。此时，点00Pxy，在=xye上,AB之间。
当（xy，）对应点C时， =45=205=7=7=534=2012yxyxyyxyxyxx，
∴yx的最大值在C处，为7。
∴yx的取值范围为 7e，，即ba的取值范围是 7e，。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．
15．（2019年江苏省14分）在ABC中，已知3ABACBABC．
（1）求证：tan3tanBA；
（2）若5cos5C，求A的值．
【答案】解：（1）∵3ABACBABC，∴cos=3cosABACABABCB，即cos=3cosACABCB。
由正弦定理，得=sinsinACBCBA，∴sincos=3sincosBAAB。
又∵0B>，。∴sinsin=3coscosBABA即tan3tanBA。
（2）∵ 5cos05C
∴tan2AB，即tan2AB。∴tantan21tantanABAB。
由 （1） ，得24tan213tanAA，解得1tan=1 tan=3AA，。
∵cos0A>，∴tan=1A。∴=4A。
【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。
【解析】（1）先将3ABACBABC表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。
（2）由5cos5C，可求tanC，由三角形三角关系，得到tanAB，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。
16．（2019年江苏省14分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，1111ABAC，DE，分别是棱1BCCC，上的点（点D 不同于点C），且ADDEF，为11BC的中点．
