圆的有关知识点及相关例题

圆的知识点及典型例题一、知识点总结圆的有关概念与性质1、圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．2、点和圆的位置关系设圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点P在圆外d＞r，点P在圆上d＝r，点P在圆内d＜r．3、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形4、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧．推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧；推论2：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，且平分弦所对的另一条弧；推论3：弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧．5、定理：在同圆或等圆中，等弦等弧等圆心角．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等6、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1 ：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对弦相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角相等，90°的圆周角所对的弧相等．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.7、圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角.与圆有关的位置关系1、点与圆的三种位置关系：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，点在圆内d＜r；点在圆上d＝r；点在圆外d＞r；2、直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则d＞r直线l与圆相离；d＝r直线l与圆相切；d＜r直线l与圆相交．3、切线的判定方法：①定义：和圆只有一个公共点的直线是远的切线；②和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线．4、切线的性质：①切线和圆心的距离等于半径；②切线垂直于过切点的半径；5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．6、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆.外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等。

内切圆：和三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫三角形的内心，它是三角形三个内角平分线的交点，三角形的内心到三边的距离相等．与圆有关的计算1、定理：把圆分成n(n≥3): （1）顺次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 .⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆2、正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n .3、如果弧长为l，圆心角的度数为n，弧所在的圆的半径为r，那么弧长的计算公式为；4、设扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，扇形的面积为s，则扇形的面积的计算公式为或（其中l表示扇形的弧长）；5、圆柱的侧面展开图为矩形，圆锥的侧面展开图是扇形；6、设圆柱的底面半径为R，圆柱的高为h，则圆柱的侧面积为S＝2πRh，圆柱的全面积为S＝2πR2＋2πRh；7、设圆锥的底面半径为r，母线长为a，则圆锥的侧面积为S＝πar，圆锥的全面积为S＝πr2＋πar．二．主要辅助线及其作用：1．作弦心距：弦的中点．弧的中点。

2．过某一点作弦：构造相等的圆周角。

3．作直径：构造直角三角形和同弧所对的圆周角。

4．连结过切点的半径：“题中若有圆切线圆心切点连一连”。

5．两圆相切和两圆相交时，作连心线和公共弦。

考点一圆的概念和性质考点突破：选择题或填空题，主要考查圆周角和圆心角的之间的相互转化，圆心角、弧和弦之间的关系，垂径定理等内容，解决这类问题要仔细观察图形，找到解题的突破点，并注意数形结合、分类讨论等思想的应用。

例1、如下图所示：四边形ABCD内接于o，AB为o的直径，点C为的中点.若40∠= ，则BA∠=度.例2、如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若，则⊙O的半径为（）．A．B． C．D．例3、如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD＝50°，求∠ACD的度数．例4、如图，点D为边AC上一点，点O为边AB上一点，AD＝DO，以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连EF．若∠BAC＝22°，求∠EFG的度数．考点二圆中的计算与证明考点突破：（1）圆中有关半径、弦长、弦心距、弓形高之间的计算.其常用处理方法是：利用半径、半弦长、弦心距组成直角三角形，结合勾股定理求解.(2)判断弦相等的方法：在圆中判断两条弦相等，经常考虑用圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系定理.(3)计算弧的度数常用的方法在圆中求弧的度数常用的方法是设法求出弧所对的圆心角（或所对的圆周角）度数.(4)判断圆的切线的方法判断圆的切线的方法有两种：一是说明圆心到直线的距离等于圆的半径；二是说明直线经过圆的半径外端并且垂直于这条半径.注意：圆的切线的性质与判定是中考的必考内容，经常与其他知识点相结合成为中考的压轴题.（5）不规则图形面积的求法设法把不规则图形转化成可求面积的图形的和差问题，可求面积的图形有：三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、圆、扇形等.例1、如图，已知⊙O的半径13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A.6B.5C.4D.3例2．（14分）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．例3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接CD．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．例4（9分）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．例5、（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．（1）求证：直线DF与⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．例6、（2014年山东烟台）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于．考点是三圆与三角形、四边形、函数的综合题考点突破：1、圆与函数及坐标系相结合的函数综合题，突破方法是先由已知条件求出点的坐标，再确定函数解析式。

2、圆与三角形或四边形相结合的几何综合题，突破方法是先由已知条件判断图形形状，再利用图形的性质解题。

例1、如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．（1）证明P A是⊙O的切线；（2）求点B的坐标；（3）求直线AB的解析式．例2.已知A， B，C是⊙O上的三个点，四边形OABC是平行四边形，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D.（Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小；（Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与AB交于点F，连接AF，求∠FAB的大小.考点四、与圆有关的动态问题考点突破：圆中的运动问题包括图形的平移、旋转和点的运动，解决这类问题的主要方法是“以静制动”.所谓“以静制动”，就是将各个时刻的图形分别画出或分析其特殊情形时的位置，找出他们的特点进行解题.这类问题同样是中考的热点问题，多以解答题的形式出现.例1、如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD 的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD 沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为105°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．圆的知识点及典型例题参考答案：考点一例1.70例2.连OA．设AB与OC交于D，则，设OA＝r，则，由勾股定理得，，故选A．例3、∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝90°，∵∠BAD＝50°，∴∠B＝40°，∴∠ACD＝∠B＝40°．例4、∵AD＝DO，∴∠DOA＝∠A＝22°，，∴∠EFG＝∠A＋∠AEF＝22°＋11°＝33°．考点二例1、B考点：垂径定理；勾股定理分析：过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．解答：解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选：B．点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．例2、考点：切线的判定．专题：证明题．分析：（1）连结OA、OD，如图，根据垂径定理的推理，由D为BE的下半圆弧的中点得到OD⊥BE，则∠D+∠DFO=90°，再由AC=FC得到∠CAF=∠CFA，根据对顶角相等得∠CFA=∠DFO，所以∠CAF=∠DFO，加上∠OAD=∠ODF，则∠OAD+∠CAF=90°，于是根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；（2）由于圆的半径R=5，EF=3，则OF=2，然后在Rt△ODF中利用勾股定理计算DF的长．解答：（1）证明：连结OA、OD，如图，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠D+∠DFO=90°，∵AC=FC，∴∠CAF=∠CFA，∵∠CFA=∠DFO，∴∠CAF=∠DFO，而OA=OD，∴∠OAD=∠ODF，∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵圆的半径R=5，EF=3，∴OF=2，在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2，∴DF==．点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理．例3、考点：切线的判定分析：（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；（2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切．解答：（1）证明：∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A；（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；解：连接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2，∵DM=CM，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直线DM与⊙O相切．点评：此题主要考查了切线的判定，以及圆周角定理，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．例4、考点：圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．专题：计算题．分析：（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由=得∠DAE=∠BAE，由AB为直径得∠AEB=90°，根据等腰三角形的判定方法即可得△ABC为等腰三角形；（2）由等腰三角形的性质得BE=CE=BC=6，再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE=8，接着由AB为直径得到∠ADB=90°，则可利用面积法计算出BD=，然后在Rt△ABD中利用勾股定理计算出AD=，再根据正弦的定义求解．解答：解：（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：连结AE，如图，∵=，∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∴△ABC为等腰三角形；（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，∴BE=CE=BC=×12=6，在Rt△ABE中，∵AB=10，BE=6，∴AE==8，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴AE •BC=BD •AC ， ∴BD==，在Rt △ABD 中，∵AB=10，BD=，∴AD==，∴sin ∠ABD===．例5、(1)证明：连接OE,∵CD 是⊙O 的切线， ∴OE⊥CD：），．．．．．．．．．1分 在Rt△OAD 和Rt△OED 中，OA=OE, OD=OD ， ∴Rt△OADcR≌t△OED， ∴∠AOD=∠EOD=21∠AOE，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分在⊙O 中，ABE=21∠AOE, ∴∠AOD=∠ABE， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分∴OD∥BE ..................4分 (2)同理可证：Rt△COE≌Rt△COB．∴∠COE=∠COB=21∠BOE, ∴∠DOE+∠COE=900，∴△COD 是直角三角形， ………………5分 ∵S △DEO=S△DAO, S△COE=S△COB,∴S 梯形ABCD =2(S△DOE+S△COE)=2S△COD=OC·OD=48，即xy=48， ．．．．．．．．．7分又∵x+y= 14，∴x 2+y 2=(x+y)2-2xy=142-2×48=100, 在Rt△COD 中,101002222==+=+=y x OD OC CD …………………9分即CD 的长为10． ……………1 0分例6、分析：先正确作辅助线，构造扇形和等边三角形、直角三角形，分别求出两个弓形的面积和两个三角形面积，即可求出阴影部分的面积．解：连接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，过O作OZ⊥CD于Z，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，由垂径定理得：OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，FN=DN，∵在Rt△BMO中，OB=4，∠BOM=60°，∴BM=OB×sin60°=2，OM=OB•cos60°=2，∴BD=2BM=4，∴△BDO的面积是×BD×OM=×4×2=4，同理△FDO的面积是4；∵∠COD=60°，OC=OD=4，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD=∠ODC=60°，在Rt△CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60°=2，∴S扇形OCD﹣S△COD=﹣×4×2=π﹣4，∴阴影部分的面积是：4+4+π﹣4+π﹣4=π，故答案为：π．点评：本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是求出两个弓形和两个三角形面积，题目比较好，难度适中．考点三例1、【答案】（1）证明：依题意可知，A（0，2）∵A（0，2），P（4，2），∴AP∥x轴．∴∠OAP=90°，且点A在⊙O上，∴P A是⊙O的切线；（2）解法一：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点D，∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP=90°，即∠OBP=∠PEC，又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC．∴△OBC≌△PEC．∴OC=PC．（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可）设OC=PC=x，则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，在Rt△PCE中，∵PC2=CE2+PE2，∴x 2=(4－x )2+22，解得x =25，…………………… 4分 ∴BC=CE =4－25=23， ∵21OB ·BC =21OC ·BD ，即21×2×23=21×25×BD ，∴BD =56． ∴OD =22BD OB -=25364-=58， 由点B 在第四象限可知B （58，56-）；解法二：连接OP ，OB ，作PE ⊥x 轴于点E ，BD ⊥y 轴于点D ，∵PB 切⊙O 于点B ，∴∠OBP =90°即∠OBP =∠PEC ． 又∵OB=PE =2，∠OCB =∠PEC ， ∴△OBC ≌△PEC ．∴OC=PC （或证Rt △OAP ≌△OBP ，再得到OC=PC 也可） 设OC=PC =x ，则有OE=AP =4，CE=OE －OC =4－x ， 在Rt △PCE 中，∵PC 2=CE 2＋PE 2, ∴x 2=(4－x )2+22，解得x =25，……………………………… 4分 ∴BC =CE =4－25=23， ∵BD ∥x 轴，∴∠COB =∠OBD ，又∵∠OBC =∠BDO=90°， ∴△OBC ∽△BDO ， ∴BD OB =OD CB =BOOC， 即BD 2=BD 23=225．∴BD =58，OD =56． 由点B 在第四象限可知B （58，56-）； （3）设直线AB 的解析式为y =kx +b ，由A （0，2），B （58，56-），可得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=5658,2b k b ；解得⎩⎨⎧-==,2,2k b ∴直线AB 的解析式为y =－2x +2．【考点解剖】 本题考查了切线的判定、全等、相似、勾股定理、等面积法求边长、点的坐标、待定系数法求函数解析式等．【解题思路】（1） 点A 在圆上，要证PA 是圆的切线，只要证PA ⊥OA （∠OAP =90°）即可，由A 、P 两点纵坐标相等可得AP ∥x 轴，所以有∠OAP +∠AOC =180°得∠OAP =90°；（2） 要求点B 的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点B 到x 轴、y 轴的距离，自然想到构造Rt △OBD ，由PB 又是⊙O 的切线，得R t △OAP ≌△OBP ，从而得△OPC 为等腰三角形，在Rt △PCE 中, PE=OA =2, PC+CE=OE =4,列出关于CE 的方程可求出CE 、OC 的长，△OBC 的三边的长知道了，就可求出高BD ,再求OD 即可求得点B 的坐标；（3）已知点A 、点B 的坐标用待定系数法可求出直线AB 的解析式． 【解答过程】 略.【方法规律】 从整体把握图形，找全等、相似、等腰三角形；求线段的长要从局部入手，若是直角三角形则用勾股定理，若是相似则用比例式求，要掌握一些求线段长的常用思路和方法.【关键词】 切线 点的坐标 待定系数法求解析式例2、考点四、例1、考点：圆的综合题．分析：（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进而得出答案；（2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，求出t的值，进而得出OO1=3t得出答案即可；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，分别求出即可．解答：解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，∴∠OAD=45°，∵AB=4cm，AD=4cm，∴CD=4cm，AD=4cm，∴tan∠DAC===，∴∠DAC=60°，∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，故答案为：105；（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，∴A1E==，∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，∴t﹣2=，∴t=+2，∴OO1=3t=2+6；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，如图，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，∴O2F⊥l1，O2G⊥A2G2，由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠O2A2F=60°，在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=，∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+，∴4t1+﹣3t1=2，∴t1=2﹣，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴+2﹣（2﹣）=t2﹣（+2），解得：t2=2+2，综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．点评：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及数形结合t的值是解题关键．。