2014年普通高等学校招生全国统一考试
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2014年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（新课标卷Ⅱ）
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合0,1,2M｛｝，2{|320}Nxxx，则MN( )
A．{1} B．{2} C．{0,1} D．{1,2}
2．设复数12,zz在复平面内的对应点关于虚轴对称，12zi，则12zz（ ）
A．5 B．5 C．4i D．4i
3．设向量,ab满足||10ab，||6ab，则ab( )
A．1 B．2 C．3 D．5
4．钝角三角形ABC的面积是12，1AB，2BC，则AC( )
A．5 B．5 C．2 D．1
5．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是075．，连续两天优良的概率是06．，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A．08． B．075． C．06． D．045．
6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
A． 1727 B． 59 C． 1027 D． 13
7．执行右图程序框图，如果输入的,xt 均为2，则输出的S（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．设曲线ln(1)yaxx在点(0,0)处的切线方程为2yx，则a（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．设,xy满足约束条件70,310,350.xyxyxy则2zxy的最大值为（ ）
A．10 B．8 C．3 D．2
10．设F为抛物线2:3Cyx的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于,AB两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（ ）
A．334 B．938 C．6332 D．94
11．直三棱柱111ABCABC中，90BCA，MN,分别是1111ABAC,的中点，1BCCACC，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）
A．110 B．25 C．3010 D．22
12．设函数()3sinxfxm．若存在()fx的极值点0x满足22200[()]xfxm，则m的取值范围是（ ）
A．,66, B．,44, C．,22, D．,14,
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答．第结束 输出S 1M，3S 开始
输入x，t
1k
kt
MMxk
SMS
1kk 是 否 是 否
22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．
二．填空题
13．10()xa的展开式中，7x的系数为15，则a________．(用数字填写答案)
14．函数()sin(2)2sincos()fxxx的最大值为_________．
15．已知偶函数()fx在[0,)单调递减，(2)0f．若(1)0fx，则x的取值范围是______．
16．设点0(,1)Mx，若在圆22:1Oxy上存在点N，使得45OMN，则0x的取值范围是____．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）已知数列{}na满足11a，131nnaa．
（Ⅰ）证明1{}2na是等比数列，并求{}na的通项公式；
（Ⅱ）证明：1211132naaa．
18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PAABCD平面 ，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PBAEC∥平面；
（Ⅱ）设二面角DAEC为60°，1AP ，3AD ，求三棱锥EACD 的体积．
19． （本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2．9 3．3 3．6 4．4 4．8 5．2 5．9
（Ⅰ）求y关于的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
121niiiniittyybtt，ˆˆaybt
20．（本小题满分12分）设12,FF分别是椭圆22221xyab （0ab ）的左右焦点，M是C上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF与C的另一个交点为N．
（Ⅰ）若直线MN的斜率为34 ，求C的离心率；
（Ⅱ）若直线MN在y 轴上的截距为2，且1||5||MNFN，求,ab．
21．（本小题满分12分）
已知函数()2xxfxeex。
（Ⅰ）讨论()fx 的单调性；
（Ⅱ）设()(2)4()gxfxbfx ，当0x时，0gx,求b的最大值；
（Ⅲ）已知1.414221.4143，估计2ln 的近似值（精确到0.001）。
22．（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲
如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，2PCPA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E．证明：
（Ⅰ）BEEC ；
（Ⅱ）22ADDEPB。
23． （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ，0,2．
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线:32lyx垂直，根据（Ⅰ）中你得到的
参数方程，确定D的坐标．
24．（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲
设函数1()||||fxxxaa （0a ）。
（Ⅰ）证明：()2fx；
（Ⅱ）若(3)5f ，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．D
解析1：直接检验法
把0,1,2M｛｝中的数，代入不等式2320xx，经检验1,2x满足。
解析2：把0，1，2代人2203xx验证，只有1，2满足不等式，故选D.
考点：考查集合与一元二次不等式的知识，简单题.
2．A.
解析：12iz 与2z 关于虚轴对称，
22zi
∴12(2i)(2i)5zz ，故选A.
解析2：考察复平面坐标与复数一一对应，12zi对应点(2,1)关于虚轴（y轴）对称点为(2,1)，因此22122,45zizzi
考点：考查复数的基本知识，简单题.
3．A.
解析：||10,||6abab
222210,62244aabbaabbab
1ab，故选A.
解析2：考察向量的运算，是课本上的原型，222210abaabb（1）同理有22226abaabb（2），(1)-(2)= 44ab即1ab
考点：考查平面向量的数量积，中等题.
4．B.
解析1：∵△ABC面积为12
，1,2ABBC
∴11212sinsin45,135222BBB
当B=45°时，
222cos452122212112BCAACABBCCAB
此时，AC=AB=1,故A=90°，这与△ABC为钝角三角形矛盾.
当B=135°时，
2222cos135122125252BCACACABBCAB，故选B.
解析2：因为111sin21sin222ABCSacBB，所以2sin2B，所以4B，或34B。
当4B时，经计算ABC为等腰直角三角形，不符合题意，舍去。
所以34B，使用余弦定理，得2222cosbacacB5。
解析3：考察三角形面积公式与余弦定理的简单应用，11sin22SABBCABC则有2sin2ABC，因此当4ABC时2222cos1ACABBCABBCABC，AC=1注意此时为等腰直角三角形不合题意舍去，当34ABC时
2222cos5ACABBCABBCABC，5AC（大边对大角）满足条件
考点：考查正余弦定理的应用，中等题.
5．A.
解析1：设第i天空气优良记着事件iA ，则1(A)0.75,(AA)0.6(i1,2,)iiiPP ,
∴第1天空气优良，第2天空气也优良这个事件的概率为
12211()0.60.8((|).75)0AAPAAPPA，故选A.
解析2：考察独立事件的概率乘法，设某一天空气优良为事件A,后一天空气优良概B，则根据概率乘法有连续两天空气优良()()()PABPAPB，得()0.8PB
考点：考查条件概率的概率，简单题.
6．C.
解析1：毛胚的体积23654V
制成品的体积 221322434V
∴切削掉的体积与毛胚体积之比为：
13454101127VV ，故选C.
解析2：因为加工前的零件半径为3，高为6，所以体积19654v。
因为加工后的零件，左半部分为小圆柱，半径2，高为4，右半部分为大圆柱，半径为3，高为2，所以体积2449234v。
所以，削掉部分的体积与原体积之比等于5434105427 。
解析3：三视图，注意三视图位置为（正，侧，俯）由图可以看出相当于一个平躺的圆柱（底面圆的半径为3，高为6）外侧消掉一部分（剩余部分小圆柱底面半径为2，高为4，大圆柱底面半径为3，高为2）则原毛坯的体积为54V原，剩余部分体积为161834V剩，因此20105427VV削毛
考点：考查三视图于空间几何体的体积，中等题.
7．D.
解析1：第1次循环，1221M，235S，2k；
第2次循环，2222M，257S，3k。
退出循环，7S。
解析2：简单的程序框图，但由于变量涉及到5个，容易出错，同时一定要注意每一步执行的顺序根据流程图模拟运算有第一次结果2,5,2MSk，第二次结果2,7,3MSk，此时kt不成立退出循环，输出7S
