初中数学竞赛二次函数习题
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初中数学竞赛⼆次函数习题
§6.3⼆次函数
6.3.1
1.设抛物线y=2x2，把它向右平移P个单位，或向下平移q个单位，都能使得抛物线与直线y=x-4恰好有⼀个交点，求p、q的值；2.把抛物线y=2x2向左平移p个单位，向上平移q个单位，则得到的抛物线经过点（1,3）与（4,9），求p,q的值。
3.把抛物线
y=a x2+bx+c向左平移三个单位后，所得的图像是经过点 ?1，?1
的抛物2
线y=a x2,求原⼆次函数的解析式。6.3.2 已知抛物线y=a x2+bx+c的⼀段图像如图所⽰
（1）确定a，b，c的符号；
（2）求a+b+c的取值范围
6.3.3 ⼀条抛物线y=a x2+bx+c的顶点为（4，-11），且与x轴的两个交点的横坐标为⼀正⼀负，则a、b、c中为正数的（）
6.3.4已知⼆次函数y=a x2+bx+c（其中a是正整数）的图像经过点A（-1,4）与点B（2,1），并且与x 轴有两个不同的交点，求b+c的最⼤值。
6.3.5 RT三⾓形ABC，的三个顶点A、B、C均在抛物线
y=x2上，并且斜边AB 平⾏于X轴，若斜边上的⾼位h，则（）
A．h<1 B.h=1 c. 12
6.3.6 在直⾓坐标系中，抛物线y=x2+mx?3
4
m2(m>0）与X轴交与A、B两
点，若A、B两点到原点的距离分别为OA,OB，且满⾜1OB ?1
OA
=2
3
，求M的值。6.3.7不论M取任何实数，抛物线y=x2+2mx+m2+m?1的顶点都在⼀条直线上，求这条直线的函数解析式。
6.3.8设a、b为常数，并且b<0，抛物线y=a x2+bx+a2+2a?4的图像为图中的四个图像之⼀，求a的值。
6.3.9已知抛物线y=ax2?a+c x+c(其中a≠c)不经过第⼆象限。
（1）判断这条抛物线的顶点A（x0,y0)所在象限，并说明理由。
（2）若经过这条抛物线顶点A（x0,y0)的直线y=?x+k与抛物线的另⼀个交点为B(a+c
,?c),求抛物线的解析式
a
6.3.10设⼆次函数f(x)=ax2+bx+c满⾜条件：f0=2,f(1)=?1,且其图像在X 轴上所截得的线段长为2
6.3.11 设⼆次函数f(x)=ax2+bx+c,当x=3时取得的最⼤值10 ，并且它的图像在x轴上截得的线段长度为4，求a、b、c的值。
6.3.12 如图, 点A，C在函数
x>0的图像上，点B,D都在x轴上，使得?OAB，
y=33
x
BCD都是等边三⾓形，求D点的坐标
6.3.13 已知点A、B的坐标分别为A（1,0）、B（2,0），若⼆次函数y=x2+a?3x+ 3的图像与线段AB恰有⼀个交点，求a的取值范围。6.3.14 已知关于正整数n的⼆次式y=n2+an(a为常实数），若当且仅当n=5 时，Y有最⼩值，求实数a的取值范围。
6.3.15已知f(x)=x2+6ax?a,y=f x的图像与x轴有两个不同的交点
（x1,0)、(x2,0),且a
（1+x1)(1+x2)?31?6a?x11?6a?x2
=8a?3, 求a的值。
6.3.16已知⼆次函数y=x2?m?3x?m,求所有的m值，使得此⼆次函数图像与x轴的两个交点不可能都落在x 轴的正半轴上。
6.3.17设有⼆次函数 f x=x2+bx+c与x 轴交于两点A、B，现有直线y=
x?1过其中⼀交点且与抛物线交于另⼀点C，⼜若s?abc=3,求抛物线的⽅程。
6.3.18 已知⼆次函数y=(m?m2)x2+2m2?2m+1m≠0,1,求证：对任意m≠0,1的实数，这些⼆次函数的图像恒过定点A,B，并求出A,B的坐标。
6.3.19 设A,B是抛物线y=2x2+4x?2上的点，原点位于线段AB的中点处，试求：A,B两点的坐标。
6.3．20已知⼆次函数y=x2+2m+1x?m+1
(1)随着m的变化，该⼆次函数图像的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由；
（2）如果直线y=x+1经过⼆次函数y=x2+2m+1x?m+1图像的顶点P，求此时的m的值。6.3.21设有整系数⼆次函数f(x)=ax2+bx+c,其图像开⼝⽅向朝上，且与x轴有两个交点，分别在（-1,0），（1，+∞）内，且f x=0.的判断式等于5，试求a,b,c的值。
6.3.22求所有的整系数⼆次函数f(x)=ax2+bx+c a≠b,使得f a=b,f(b)= a
6.3.23 已知⼆次函数y=ax2+bx+c(a
b?a
恒成⽴，求实数m的取值范围。6.3.24 已知⽅程x2+bx+c=0有两个实数根s,t，并且s<2,t<2,证明：
（1）c<4(2)b<4+c
n≤x≤n+1,
6.3.25设函数f x=x2+x+1
2
这⾥n是正整数，则在f(x)的值域中有多少个整数？6.3.26设m,n为正整数，且m≠2,如果对⼀切实数t,⼆次函数y=x2+
3?mt x?3mt的图像与x轴的两个交点间的距离不⼩于
2t+n,求m,n的值。
6.3.27 设m,n为正整数，且m≠2,⼆次函数y=x2+3?mt x?3mt的图像与x轴的两个交点间的距离为d1,⼆次函数y=?x2+2t?n x+2nt的图像与x轴的两个交点间的距离为d2,如果d1≥d2，对于⼀切实数t 恒成⽴，求m,n的值。6.3.28已知函数f(x)=?9x2?6ax?a2+2a ?1
3≤x≤1
3
,有最⼤值?
3，求实数a的值
6.3.29设a,b为常实数，当k 取任意实数时，函数y=k2+K+1x2?
2a+k2x+k2+3ak+b的图像与x轴都交于点A1，0
（1）求a,b的值
（2）若函数图像与x轴的另⼀个交点为B，当k变化时，求AB的最⼤值。6.3.30若抛物线y=x2+ax+2
与连结两点M0,1、N2,3的线段包括M,N两点有两个相异的交点，求a的取值范围。
