《等差数列前n项和公式》教学设计

2.3《等差数列的前n项和公式》教学设计

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《等差数列的前n项和公式》教学设计

大理州实验中学 赵高锦

一．课标分析：

高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。

二．教材分析：

数列在生产实际中的应用范围很广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，同时也是学生进一步学习高等数学的必备的基础知识。

三．学生分析：

数列在整个高中阶段对于学生来说是难点，因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础，所以新课的引入非常重要。

四．教学目标：

知识与技能目标：

掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。

过程与方法目标：

培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。

情感、态度与价值观目标：

体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。

五．教学重点与难点：

等差数列前n项和公式是重点。

获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

六．教学用具：ppt

七：教学过程

整节课分为三个阶段：

问题呈现阶段

探究发现阶段

公式应用阶段

问题呈现1：

首先讲述世界七大奇迹之一泰姬陵的传2.3《等差数列的前n项和公式》教学设计

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说（泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝，成为世界七大奇迹之一。）

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？也就是计算1+2+3+…+100。

紧接着讲述高斯算法：高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。

200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？

据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，

10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：

（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050（首尾配对相加）

【设计说明】 了解历史，激发兴趣，提出问题，紧扣核心。

问题呈现2：1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1)＋n

如果用首尾配对相加，要如何讨论？

你能不能对小高斯的算法进行一个优化？

记:S= 1 + 2

+ 3 +… + (n-1) + n——①

S= n + (n-1) + (n-2) … + 2 + 1——②

① +②

【设计说明】

• 源于历史，富有人文气息.

• 图中算数，激发学习兴趣.

这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想,这是在高中数学学习中非常重要的思想方法.借助图形理解倒序相加,也为后面公式的推导打下基础.

教师给出数列前n项和的定义：

一般地，我们称 123naaaaL为数列｛an｝的前n项和，用Sn表示，

即 123nnsaaaaL

探究发现1：

问题3：

由前面的例子，不难用倒序相加法推出

【设计说明】

在前面两个问题的基础上，问题呈现3提出了等差数列求和公式的推导，鼓励学生利用“倒序相加”的数学方法推导公式。 ?nna如何求等差数列的前n项和S1231211()12nnnnnnnnsaaaasaaaanaasQLL公式(1)2nnS2(1)Snn2.3《等差数列的前n项和公式》教学设计

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探究发现2：

根据等差数列求和公式1和等差数列通项公式,推出等差数列公式2

问题4

探究发现3：

有这样一个梯形，上底长为)(1ma，下底长为)(man，高为)(mn，求这个梯形的面积为多少平方米？

面积公式：

【设计说明】

利用梯形的面积公式，帮助学生记忆等差数列的求和公式，让学生对于“数形结合”的理解更加深一层。

公式应用

• 根据题目选用公式

• 利用通项求中间量

• 依据条件变用公式 dnnnaSn2)1-(+=1,,?nnaa1已知首相项数n公差d如何求等差数列的前n项和S11aandn复习回顾:等差数列通项公式:1()2nnnaaS公式111111[1]()22212122nnnaandnaaSnandnannd1(1)22nnnSnad公式12nnaaS2.3《等差数列的前n项和公式》教学设计

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练习：

1、根据下列条件，求相应的等差数列{an}的Sn

2、求等差数列-13，-9，-5，-1,3…的前100项的和

例题

例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

小结：解实际问题的注意：

① 从问题中提取有用的信息，构建等差数列模型；

② 写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n项和公式进行求解.

例2 已知一个等差数列{}na前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？

小结：等差数列前n项和公式就是一个关于11naanand、、或者、、的方程，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 在等差数列{}na中，10120S，那么110aa（ ）.

A. 12 B. 24 C. 36 D. 48

2. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）.

A．5880 B．5684 C．4877 D．4566

3. 在等差数列{}na中，12a，1d，则8S .

4. 在等差数列{}na中，125a，533a，则6S .

课堂小结：

回顾从特殊到一般的研究方法；

体会等差数列的基本元表示方法，逆序相加的算法，及数形结合的数学思想；

掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。

1(1)5,95,10;naan1(2)100,2,50;adn2.3《等差数列的前n项和公式》教学设计

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八．作业布置：

1、P46 A组2、5

2、查找有关数学家高斯的故事，你能从这些故事中得到什么启示呢？

【设计说明】出选做题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间。

九．板书设计：

十．课后反思

在解题教学中比较注意启发引导学生，通过自然习得，从而顺理成章达到水到渠成。从题目的设计到解题思路的分析都考虑到了学生的接受能力，从具体到抽象，通常是把问题摆出来、提一句、点一下，尽量不包办代替，努力引发学生的体验和思考，比较注重知识形成过程的教学。同时注意通过多种途径，多种角度，一题多解解决问题，杜绝直接把结果强加给学生，使学生不知所云。

当然这节课的教学也存在着这样那样的不足，比较典型的有以下两点。

1、对于基本公式的掌握仍需加强落实

部分同学公式的记忆仍成问题，本以为课上可以一带而过，不成想主动举手、信心满满、自以为可以完美表现的同学站起来仍然把等比数列的公式说错了，可想而知其他同学的情况了，恐怕也不容乐观，可见连基本公式的强化记忆都是需要老师不厌其烦加以督促的。

2、由于课堂时间容量的限制，学生们的思维活动展现得还不够充分，问题也没有完全暴露出来。 2.3 等差数列的前n项和

一．前n项和的定义 三.典例讲解

二．等差数列的前n项和公式 四.课堂小结