回归方程的相关系数公式

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线性回归方程中的相关系数r

r=∑(Xi-X的平均数)(Yi-Y平均数)/根号下[∑(Xi-X平均数)^2*∑(Yi-Y平均数)^2]

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R2就是相关系数的平方，R在一元线性方程就直接是因变量自变量的相关系数，多元则是复相关系数判定系数R^2 也叫拟合优度、可决系数。表达式是: R^2=ESS/TSS=1-RSS/TSS 该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，R2往往增大这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。——但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整。这就有了调整的拟合优度: R1^2=1-(RSS/(n-k-1))/(TSS/(n-1)) 在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响: 其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。总是来说，调整的判定系数比起判定系数，除去了因为变量个数增加对判定结果的影响。R = R接近于1表明Y与X1，X2 ，…，Xk之间的线性关系程度密切；R接近于0表明Y与X1，X2 ，…，Xk之间的线性关系程度不密切

相关系数就是线性相关度的大小，1为（100%）绝对正相关，0为0%，-1为（100%）绝

对负相关

相关系数绝对值越靠近1，线性相关性质越好，根据数据描点画出来的函数-自变量图线越趋近于一条平直线，拟合的直线与描点所得图线也更相近。

如果其绝对值越靠近0，那么就说明线性相关性越差，根据数据点描出的图线和拟合曲线相

差越远（当相关系数太小时，本来拟合就已经没有意义，如果强行拟合一条直线，再把数据点在同一坐标纸上画出来，可以发现大部分的点偏离这条直线很远，所以用这个直线来拟合

是会出现很大误差的或者说是根本错误的）。

数学线性回归方程公式大R与小r

在线性回归方程式中大R与小r没有实质性大区别，自己喜欢用哪个，就用哪个。

在圆中大R与小r的区别是代表着两个不同的圆的半径。R： 直径；

r： 半径 ； 关系： R=2r。

1、r的取值介于－1与1之间。

2、当r＝0时，X与Y的样本观测值之间没有线性关系。

3、在大多数情况下，0＜｜r｜＜1，即X与Y的样本观测值之间存在着一定的线性关系，当r＞0时，X与Y为正相关，当r＜0时，X与Y为负相关。

4.如果｜r｜＝1，则表明X与Y完全线性相关，当r＝1时，称为完全正相关，而r＝－1时，称为完全负相关。

样本相关系数的定义公式是：样本相关系数r有以下特点：

5、r的取值介于－1与1之间。

6、当r＝0时,X与Y的样本观测值之间没有线性关系。但在大多数情况下，0＜｜r｜＜1。

R回归方程公式是r=∑（xi-μx）(yi-μy)/√∑（xi-μx）^2√∑（yi-μy）^2，回归方程是根据样本资料通过回归分析所得到的反映一个变量对另一个或一组变量。

科技信息　博士・专家论坛　

相关系数和回归系数的空间几何翩释　

常州工学院理学院　姚俊　

［摘要］将变量的样本观察值看作空间向量，从空间几何角度阐明了样本线性相关系数和回归系数的意义和作用。　［关键词］相关系数回归系数几何解释　

变量间除了确定性的函数关系之外，还可能是不确定性的相关关　

系，相关分析和回归分析就是处理变量与变量之间关系的重要统计方　

法。相关分析主要测定变量之间关系的密切程度和变化方向，回归分析　

在相关分析和因果关系分析的基础上建立回归模型描述变量之间具体　

的变动关系，其中最基本的理论是处理两个变量的简单相关分析和～　

元回归分析。简单相关分析通过相关系数反映两个变量线性相关程度　的强弱，一元回归分析通过回归系数说明解释变量对因变量具体影响　

的大小，但在教学中，学生较难理解相关系数和回归系数的统计意义和　

作用，本文旨在从几何角度更直观的揭示这两个统计概念的本质。　

一、线性相关系数的几何解释　在相关分析中，变量ｘ和Ｙ的相关程度用英Ｐｅａｒｓｏｎ提出的积矩　

相关系数ｐｘｖ来衡量，计算公式为　

ｐ　盟　Ｏ＂ｘ’Ｏ＇ｙ　其中，Ｏ＇Ｘｙ为变量ｘ和Ｙ的协方差，口　分别是变量ｘ和Ｙ的标　准差。然而在实际中，由于变量的确切分布往往是未知的，无法直接计　

算ｐｘｖ，所以只能通过变量ｘ和Ｙ的随机样本的观察值ｘ。，ｘ　，…，ｘ　和ｙ。，　

ｙ：，…，ｙｎ计算样本相关系数ｒ，来反映变量ｘ和Ｙ的相关程度。样本相关　系数的计算公式为：　

（　。＝　）ｆＹ！＝　）　ｆ１　１　Ｖ∑（ｘ　一ｘ）　Ｖ∑（ｙ．一ｙ）　

其中，　＿＿　∑　啊＿　∑　为样本均值。　ｎ　ｎ　将样本观察值ｘｉ，ｙｊ（ｉ＝ｌ，２，…，ｎ）看作是ｎ维欧氏空间Ｒｎ中的两个向　

量　＝ｘ。，ｘ　，…，ｘｎ）Ｔ和　＝ｆｙＩ，ｙ　…，ｙｎ）Ｔ，并记　－－Ｘ一一　，　＝　，其中　为ｎ　

维单位向量（１，１，…，１）　，那么在　中向量　，　的夹角＜Ｘ　ｔ，；＝；＞的余弦为　

Ｔ　。　—ｘ　Ｔ，　：—　一：—　一　ＩＩ　Ｙ’ＩＩ　、／Ｚ（ｘ，—　、／Ｅ（ｙ　—＿）　

因变量y关于自标量nxxx21,的多元回归方程如下：

nnxwxwxwwy22110

其中，nwwww210,,为回归系数

离散化数据（m组离散数据）代入，可得：

121211101nnxwxwxwwy

222212102nnxwxwxwwy

……

写成矩阵形式如下：

nmnnnmmmxxxwxxxwxxxwwyyy21222212112111021

写成矩阵形式为：

XWY

myyyY21，nmmnnxxxxxxX1212111111　　　　，nwwwW10

则系数求解公式如下：YXXXwTT1)(

其中，TX代表X的转置矩阵，1)(XXT中的-1代表矩阵的逆矩阵。