11动量定理

A
此系统质心坐标为
xC22(m m11 m m22)lcost Fx
O
将xC对时间取二阶导数
Fy
B x
FN
aCx xC2 2(m m 11 m m 22)l2cost
代入上式，求得 F x (2 m 1 m 2)d d 2 tx 2 C 22 l(m 1 m 2)cots
思考 曲柄轴 O 所受的铅垂反力如何求？
rC
miri miri mi M
其中：M ＝∑m k 质点系总的质量。
rC
注意：系统的质心可以不在具体物体上, 而是在空间的某一特定点上.
5
——基本概念
质心
◆ 质心位置也可用直角坐标表示:
x C
m kxk M
y C
m kyk M
z C
m kzk M
注意：从上述公式很容易看出，质心和重心在地球表面附近是重
本章开始讲述动量定理、质心运动定理及其应用。
动量法— 动量定理 动量矩定理
能量法— 动能定理
3
动力学概述
动力学部分主要包括以下几章内容：
动量法— 动量定理 动量矩定理 动能定理 达朗伯原理（动静法） 虚位移原理（静平衡问题）
本章开始讲述动量定理、质心运动定理及其应用。
4
——基本概念
质心
◆ 质心：质点系的质量分布中心。一般用C 表示质心。 ◆ 质心的位置和质点系各质点的质量分布有关。 ◆ 质心的位置可用矢径确定如下：
——基本概念
方法二 先求出质心C 的坐标及速度，然后再求系统动量，
由质心坐标公式得：
Xc
mixi m1L2cos2m1Lcos2m2Lcos(5m 21 2m2)Lcos

内力: F i ( i )
内力性质: （1） Fi(i) 0
（2） M O (F i(i))0
（3） Fi(i)dt0
质 点: 质点系:
d(m dtivi)Fi(e)Fi(i)
d(m dtivi) F i(e) F i(i)
得
dp dt
Fi(e)
或 d p F i(e ) d t d I i(e )
F N *m g( tt1)1656kN
二.质点的动量守恒定律
d(mv) F dt
若F=0，则有
mv常矢量
质点的动量守恒定律：若质点不受力或作用于质点上的合 力恒为零，则质点的动量保持不变。，此时质点将作匀速 直线运动或静止。这个结论就是牛顿第一定律。
三、质点系的动量定理
外力: F i ( e ),
【解】 pm2e
pxm2esint
py m2ecost
由
dpx dt
Fx
dpy dt
Fy
m1gm2g
v
ωt
得 Fxm2e2cots
F y(m 1 m 2)g m 2 e2sin t
Fxm2e2cots
F y(m 1 m 2)g m 2 e2sin t
电机不转时, Fx 0,Fy (m1m2)g称静约束力;
几个有意义的实际问题
？ 地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
偏心转子电动机 工作时为什么会左 右运动；
这种运动有什么 规律；
会不会上下跳动；
？ 利弊得失。
？ 蹲在磅秤上的人站起来时
磅秤指示数会不会发生的变化
？ 台式风扇放置在光滑的台面上的台
式风扇工作时，会发生什么现象
隔板
抽去隔板后将
水池

∑
i =1
n
Fi ( e ) dt = ∑ dI i( e )
i =1
n
dp =
∑
n
i =1
d I i( e )
质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和
d (∑ mi vi ) = ∑ Fi ( e ) dt
i =1 i =1
n
n
质点系动量定理的微分形式
n d p = ∑ Fi ( e ) dt i =1
应用动量定理解题的步骤
1）取研究对象 2）分析质点系所受的全部外力，包括主动力和约束反力； 3）运动分析，表达动量； 4）应用质点或质点系动量定理的微分形式和积分形式列出 运动和力关系 5）求解未知力。
例 ： 一个网球质量为 0.125 kg, 飞来的初始速度为 v0 =2.5j-2 k m/s, 球拍施加变力为F=5t i N，作用时 间为 0.5s后，网球飞回，求飞出时的速度。 解： 1) 取网球为研究对象 2）受力分析 外力有重力mg , F 3）运动分析 网球初始动量： p 0 = 网球末动量： 4） 质点动量定理
p x = m2 v2 + m3 v3 cosθ = 2.707m3 v
py = −m1v1 + m3v3 sinθ = −3.293m3v
px ( p, i ) = arccos = −50.58 p py ( p, j ) = arccos = −140.58 p
3、动量分析 、
dri d p = ∑ mi vi = ∑ mi = ∑ mi ri dt dt
n
n
∑
i =1
n
d (mi vi ) = ∑ Fi dt + ∑ Fi(i) dt

rC =
式中
∑ m r = ∑ mr M ∑m
i i i
（11-3）
M = ∑ mi 为质点系总质量。质心在直角坐标系中的坐标可表示为
xC =
∑ mx
M
yC =
∑ my
M
zC =
∑mz
M
（11-4）
质点的位置反映了质点系各质点的分布情况。若质点系在地球附近受重力作用，则质 点 mi 的重量为 mi g，质点系总重量为 Mg。只要对质心坐标公式的分子分母同乘以 g，即得 到静力学中的重心坐标公式。可见，在重力场中，质心与重心相重合，但应注意，重心只 在地球表面附近才有意义，而质心在宇宙间依然存在。 当质点系运动时，它的质心也随着运动。质心运动的速度
（11-13）
式（11-13）表明质点系的动量在任一轴上的投影对时间的导数，等于作用于质点系的外力
dp = ∑ F e dt
将上式两边对应积分，时间从 t1 到 t2，动量从 p1 到 p2，得
p2 − p1 = ∑ ∫ F e dt = ∑ I e
t2 t1 e
（11-14）
式中 I e 表示力 F 在时间（t2-t1）内的冲量。式（11-14）表示质点系动量在任一时间内的 改变，等于作用在该质点系所有外力在同一时间内冲量的矢量和，这就是积分形式的质点 系动量定理，也称为质点系的冲量定理。 将式（11-14）投影到直角坐标轴上，得
p y = − m A v A sin θ + 0 = − mv sin θ
系统的动量大小为
p=
2 px + p2 y = mv 2 (1 + cos θ )
其方向可由方向余弦来确定
cos α = px =− p 1 + cos θ 2 (1 + cos θ ) , sin β = py p =− sin θ 2 (1 + cos θ )