椭圆的焦点弦长公式

椭圆的焦点弦长公式

222221cos2caabFF及其应用

在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢首先我们有命题：

若椭圆的焦点弦21FF所在直线的倾斜角为，a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有222221cos2caabFF。

上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长AB8，焦距21FF24，过椭圆的焦点1F作一直线交椭圆于P、Q两点，设XPF1)0(，当取什么值时，PQ等于椭圆的短轴长

分析：由题意可知PQ是椭圆的焦点弦，且4a，22c，从而22b，故由焦

点弦长公式222221cos2caabFF及题设可得：24cos816)22(4222，解得cos22，即arc22cos或arc22cos。

例2、在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F（3，1），相应于F的准线为Y轴，直线l通过点F，且倾斜角为3，又直线l被椭圆E截得的线段的长度为516，求椭圆E的方程。

分析：由题意可设椭圆E的方程为1)1()3(2222byacx，又椭圆E相应于F的准线为Y轴，故有32cca （1），

又由焦点弦长公式有3cos22222caab516 （2）又 222cba （3）。解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42a，32b，1c，从而所求椭圆E的方程为13)1(4)4(22yx。

例3、已知椭圆C：12222byax（0ba），直线1l：1byax被椭圆C截得的弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的52，求椭圆C的方程。

分析：由题意可知直线1l过椭圆C的长、短轴的两个端点，故有822ba， （1）又由焦点弦长公式得2222cos2caab=54a， （2） 因tan=3，得3，（3）

高中数学中的四大类弦长公式

一、平面直角坐标中的全场通用弦长公式

1、已知两点坐标：11,yxA，22,yxB，则221221yyxxAB

2、已知直线上两点：若11,yxA，22,yxB两点在直线bkxy（直线的斜率存在并且不为0）上，则

akxxkAB221211（,,21xx是02cbxax的两根和判别式）

akyykAB22121111（,,21yy是02cbyay的两根和判别式）

注：以上公式适用于直线与曲线相交，将直线与曲线联立但不易求出交点坐标

时，采用设而不求思想的解决弦长问题，以上公式的证明会用到韦达定理）

二、平面直角坐标中特殊曲线（例如：圆，抛物线，椭圆）中的弦长公式

1、直线0:CByAxl与圆222:rbyaxM相交于BA,，则 222drAB（其中22BACBbAad为圆心),(baM到直线l的距离）

注：此公式证明需用垂径定理

2、抛物线中的焦点弦弦长公式，过抛物线交点F直线l与抛物线相交的弦长,BFAFAB

①221sin2pxxpAB（其中抛物线开口向右，方程为pxy22）

②)(21xxpAB（其中抛物线开口向左，方程为pxy22）

③21yypAB（其中抛物线开口向上，方程为pyx22）

④)(21yypAB（其中抛物线开口向下，方程为pyx22）

注：此公式的证明需用到抛物线的定义和焦半径公式.

3、椭圆中的焦点弦的弦长公式,BFAFAB

①过椭圆)0(12222babyax的左焦点)0,(1cF的直线l与椭圆相交于

11,yxA，22,yxB两点，则212xxeaAB.

②过椭圆)0(12222babyax的左焦点)0,(2cF的直线l与椭圆相交于 11,yxA，22,yxB两点，则212xxeaAB.

高中数学椭圆弦长公式推导过程

全文共四篇示例，供读者参考

第一篇示例：

椭圆是数学中常见的曲线形状之一，在高中数学学习中，我们经常会接触到椭圆的相关知识，其中就包括椭圆的弦长公式。椭圆弦长公式是求椭圆上任意两点之间的弦长的公式，通过推导可以得到其具体表达式。下面，我将详细介绍椭圆弦长公式的推导过程。

让我们来了解一下椭圆的基本定义和性质。椭圆可以看作是一个平面内到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。我们用椭圆的两个焦点表示为F1和F2，椭圆的长半径为a，短半径为b，焦距为2c。椭圆的标准方程可以表示为：

\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)

椭圆上的一点P(x, y)到两个焦点的距离之和等于常数2a，即：

\( PF1 + PF2 = 2a \)

我们将这个式子记为(1)。

接下来，我们需要推导出椭圆的弦长公式。假设椭圆上有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们要求这两点之间的弦长AB的长度。我们需要找到连接两点A和B的直线方程。 由于椭圆是一个二次曲线，因此椭圆上的点满足椭圆的标准方程。点A(x1, y1)和B(x2, y2)分别满足椭圆方程：

连接两点A和B的直线方程可以表示为：

\( (y-y1) = \frac{y2-y1}{x2-x1} \times (x-x1) \)

将这个直线方程代入椭圆的标准方程，可以得到连接两点A和B的方程。

接下来，我们要求直线与椭圆的交点，即求方程组：

可以得出AB弦长的计算公式为：

可见，椭圆弦长公式的推导过程并不复杂，只要我们掌握了椭圆的基本性质和相关知识，就可以很轻松地推导出弦长公式。通过这个推导过程，我们可以更加深入地理解椭圆的性质和特点，为我们深入学习和理解椭圆奠定了基础。

高中椭圆的知识点总结

关键信息：

1、 椭圆的定义

2、 椭圆的标准方程

3、 椭圆的性质

4、 椭圆的焦点、焦距

5、 椭圆的离心率

6、 椭圆中的弦长公式

7、 椭圆与直线的位置关系

11 椭圆的定义

平面内与两个定点$F_1$，＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

111 数学表达式

若点$M$到两定点$F_1$，＄F_2$的距离之和为$2a$，两定点之间的距离为$2c$（＄2a ＞ 2c$），则椭圆的定义可以表示为$｜MF_1|

＋ ｜MF_2| ＝ 2a$。 12 椭圆的标准方程

焦点在$x$轴上的椭圆标准方程为：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋ ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为椭圆的长半轴长，＄b$为椭圆的短半轴长，＄c ＝ ＼sqrt{a^2 b^2}＄为半焦距。

焦点在$y$轴上的椭圆标准方程为：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋ ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$）。

121 推导过程

以焦点在$x$轴上为例，设椭圆的两个焦点分别为$F_1(c, 0)＄，＄F_2(c, 0)＄，点$M(x, y)＄为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义可得：＄＼sqrt{（x ＋ c)＾2 ＋ y^2} ＋ ＼sqrt{（x c)＾2 ＋ y^2} ＝ 2a$，经过一系列的化简可得椭圆的标准方程。

13 椭圆的性质

131 对称性

椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。

132 顶点

焦点在$x$轴上的椭圆，顶点坐标为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上的椭圆，顶点坐标为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b,

0)＄。

133 范围 焦点在$x$轴上的椭圆，＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；焦点在$y$轴上的椭圆，＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。