椭圆焦点弦长公式推导
椭圆的焦点弦长公式可以用下面的方法推导：
首先，我们假设椭圆的两个焦点分别是F1(x1, y1)和F2(x2, y2)，半长轴a和半短轴b。
由于椭圆的特性，所有点P(x,y)都有如下关系：
$\frac{{{{(x - x_{1} )}^{2}} + {{(y - y_{1} )}^{2}}}}{{a^2}} = \frac{{{{(x - x_{2} )}^{2}} + {{(y -
y_{2} )}^{2}}}}{{b^2 }}$ 。
将此式两边各乘以$ab^2$可得：
${{a^ 2 b^ 2 }}\left[ {\frac{{{x^ 2 } - 2x{x_1 } + {x_1 }^ 2 + {y^ 2 } - 2y{y_1 } + {y_1 }^
2 }}{{{a^ 2 }}}} \right]=\left[ {\frac{{{x^ 2 } - 2x{x_2 } + {x_2 }^ 2 + {y^ 2 } - 2y{y_2 } + {y_2
直线与椭圆的位置关系之弦长公式
一、知识点
1） 弦长公式的推导、几何解释、作用
2） 弦长公式的应用
二、教学过程
1 弦长公式
引例：经过椭圆2212xy的左焦点F作倾斜角为60o的直线l，直线l与椭圆相交于,AB两点，求AB的长．
分析：左焦点(1,0)F，则直线:3(1)lyx代入椭圆方程2212xy，得到
271240xx，则=32
设1122(,),(,)AxyBxy，则
222212121212||()()3ABxxyyxxxx=122||2||xxa=827
一般：
若直线l上两点111222(,),(,)PxyPxy，则212121221||1||1||PPkxxyyk，上述公式称为弦长公式，有推导过程知，其实质是直线上两点距离公式的简化式；
说明：
1） 计算12||xx，可以通过2121212||()4xxxxxx方法计算，但通常利用12||||xxa计算，其中a为对应x的方程的二次项系数，为判别式；12||yy也同理计算，弦长公式体现了“设而不求”的思想
2） 如图，因为22112||:||:||||:1:1PMPMPPkk，又112||||PMxx，212||||PMyy，则可知，212121221||1||1||PPkxxyyk
这里体现了“化斜为直”的思想
2 例题 lM|y1-y2|P1(x 1,y1)P2(x 2,y2)|x1-x2|Oy x例1 经过椭圆2212xy的左焦点F作直线l，直线l与椭圆相交于,AB两点，若82||7AB，求直线l的方程．
解：设:(1)lykx，代入椭圆方程：22220xy，得到
2222(12)4220kxkxk，所以28(1)k
则22228182||11||127kABkkak
江南高级中学导学案 课题：《直线与椭圆——弦长》 日期： 11 月 26 日（编号 ）
姓名 班级
导
学
设
计
学习目标：
1. 理解直线和椭圆位置关系并能求相交时弦长。
2. 会求椭圆的切线方程和弦长及三角形有关问题
3. 理解点差法在解决与弦中点和斜率有关问题中所表现出的“设而不求”思想
问题探究：
一、直线和椭圆相交时的弦长问题
弦长公式22121221111ABkxxkyyak
注：2121212()4xxxxxx而12xx和12xx可用韦达定理解决，不必求出1x
和2x的精确值，“设而不求”思想初现。
二、三角形面积
（1）过x轴上一定点H的直线l与椭圆22221xyab交于A、B两点，求AOBS
1212AOBSOHyy
（2）过y轴上一定点H的直线l与椭圆22221xyba交于A、B两点，求AOBS
1212AOBSOHxx
（3）弦任意，点任意12S弦长×点线距
三、弦的中点问题
（1）中点弦所在直线方程问题（2）平行弦中点轨迹
（3）共点弦中点轨迹（4）其他问题
【例题解析】例1：设AB是过椭圆14522yx的右焦点的弦，且AB的倾斜角为3，求AB所在的直线方程及AB的弦长
江南高级中学导学案
导
学
设
计
例2：已知椭圆方程为2212xy，内有一条以点11,2P为中点的弦AB，求AB所在的直线l的方程及AB的弦长。
例3：点p是椭圆192522yx上一点，以点p及焦点21,FF为顶点的三角形的面积为8，求点p的坐标.
江南高级中学导学案
弦长公式椭圆与直线
弦长公式是指计算椭圆上任意两点间弦的长度的公式。椭圆是一个几何图形，由一组点构成，这些点到两个焦点的距离之和是一个定值。直线是一个几何图形，由无穷多个点构成，这些点在同一条直线上。本文将介绍弦长公式在椭圆和直线中的应用。
椭圆上任意两点间弦的长度可以用弦长公式进行计算，公式为：
s = 2a × sin(θ/2)
其中，s表示弦的长度，a表示椭圆的半长轴，θ表示弦与椭圆中心连线的夹角。这个公式可以用来计算任意两点间的弦长。
当弦与直线相交时，可以使用弦长公式计算弦长。具体地，将直线延长到椭圆外，并交于点P，那么椭圆上的任意一点Q与直线的交点为T。连接PT，QT两线段，那么QT就是弦，且θ=∠QPT。因此，可以使用弦长公式计算QT的长度。
除此之外，还可以利用椭圆的对称性来计算弦长。具体方法是，找到椭圆中心O，并将直线过O，与椭圆相交于点P和Q。将OP和OQ分别连接到椭圆上的两点，这时可以证明，PQ的中点即为弦的中点。因此，可以计算出OP和OQ的长度，然后用勾股定理计算PQ的长度。
综上所述，弦长公式可以用来计算椭圆上任意两点间弦的长度，在弦与直线相交时也可以使用该公式进行计算。在计算弦长时，还可以利用椭圆的对称性来简化计算过程。
椭圆双曲线弦长公式
椭圆和双曲线是常见的数学曲线，它们在物理学、工程学和其他领域中具有广泛的应用。在研究椭圆和双曲线时，弦长是一个重要的概念。
弦是连接椭圆或双曲线上两个点的线段。在椭圆上，弦始于一个焦点，结束于另一个焦点，通过椭圆的内部。在双曲线上，弦同样连接两个点，但它通过双曲线的外部。
我们可以通过弦的长度来描述椭圆或双曲线的形状。弦长公式是一个用于计算椭圆或双曲线弦长的公式。下面我们将分别介绍椭圆和双曲线的弦长公式。
1. 椭圆弦长公式：
对于一个椭圆，其长轴长度为2a，短轴长度为2b。如果我们选择椭圆上两个点，它们的坐标分别为(x, y)和(x, y)，那么它们之间的弦长可以通过以下公式计算：
S = 2a * sin(θ/2)
其中，θ是两个点所在的角度。注意，这里的角度是弧度制。
2. 双曲线弦长公式：
对于一个双曲线，其长轴长度为2a，短轴长度为2b。同样地，我们选择双曲线上两个点，它们的坐标为(x, y)和(x, y)。双曲线上这两个点之间的弦长可以通过以下公式计算：
S = 2a * sinh(d/2)
其中，d是两个点之间的距离，sinh表示双曲正弦函数。
椭圆和双曲线的弦长公式可以帮助我们计算曲线上两个点之间的距离，从而更好地理解和分析这些曲线的性质。它们在计算机图形学、天体力学、电磁学等领域中有重要的应用。
