数值分析第五版_李庆扬__课后习题答案

1 第一章 绪论

1．设0x,x的相对误差为，求lnx的误差。

解：近似值*x的相对误差为*****rexxexx=

而lnx的误差为1ln*ln*ln**exxxex

进而有(ln*)x

2．设x的相对误差为2%，求nx的相对误差。

解：设()nfxx，则函数的条件数为'()||()pxfxCfx

又1'()nfxnx, 1||npxnxCnn

又((*))(*)rprxnCx

且(*)rex为2

((*))0.02nrxn

3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*11.1021x,*20.031x, *3385.6x,

*456.430x,*571.0.x

解：*11.1021x是五位有效数字；

*20.031x是二位有效数字；

*3385.6x是四位有效数字；

*456.430x是五位有效数字；

*571.0.x是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124xxx,(2) ***123xxx,(3) **24/xx.

其中****1234,,,xxxx均为第3题所给的数。

解：

2 *41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102xxxxx

***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510xxxxxx

***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.6101.1021385.6102220.215xxxxxxxxxxxx

**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010xxxxxxx

5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？

解：球体体积为343VR

则何种函数的条件数为

23'4343pRVRRCVR

(*)(*)3(*)rprrVCRR

又(*)1rV

3 故度量半径R时允许的相对误差限为1(*)10.333rR

6．设028Y，按递推公式11783100nnYY （n=1,2,…）

计算到100Y。若取78327.982（5位有效数字），试问计算100Y将有多大误差？

解：11783100nnYY

100991783100YY

99981783100YY

98971783100YY

……

101783100YY

依次代入后，有10001100783100YY

即1000783YY，

若取78327.982, 100027.982YY

*310001()()(27.982)102YY

100Y的误差限为31102。

7．求方程25610xx的两个根，使它至少具有4位有效数字（78327.982）。

解：25610xx，

故方程的根应为1,228783x

故 1287832827.98255.982x

1x具有5位有效数字

2111287830.0178632827.98255.98228783x

2x具有5位有效数字

8．当N充分大时，怎样求1211NNdxx？

4 解 121arctan(1)arctan1NNdxNNx

设arctan(1),arctanNN。

则tan1,tan.NN

12211arctan(tan())tantanarctan1tantan1arctan1(1)1arctan1NNdxxNNNNNN

9．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过21cm？

解：正方形的面积函数为2()Axx

(*)2*(*)AAx.

当*100x时，若(*)1A,

则21(*)102x

故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过21cm

10．设212Sgt，假定g是准确的，而对t的测量有0.1秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。

解：21,02Sgtt

2(*)(*)Sgtt

当*t增加时，*S的绝对误差增加

2*2*(*)(*)*(*)1()2(*)2rSSSgttgttt

5 当*t增加时，(*)t保持不变，则*S的相对误差减少。

11．序列ny满足递推关系1101nnyy (n=1,2,…),

若021.41y（三位有效数字），计算到10y时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

解：021.41y

201(*)102y

又1101nnyy

10101yy

10(*)10(*)yy

又21101yy

21(*)10(*)yy

220(*)10(*)......yy

101001028(*)10(*)1101021102yy

计算到10y时误差为81102，这个计算过程不稳定。

12．计算6(21)f，取2，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？

61(21), 3(322), 31(322)， 99702。

解：设6(1)yx，

若2x，*1.4x，则*11102x。

若通过61(21)计算y值，则

6 ***7***7**1(1)6(1)yxxyxxyx

若通过3(322)计算y值，则

**2******(32)632yxxyxxyx

若通过31(322)计算y值，则

***4***7**1(32)1(32)yxxyxxyx

通过31(322)计算后得到的结果最好。

13．2()ln(1)fxxx,求(30)f的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。22ln(1)ln(1)xxxx

计算，求对数时误差有多大？

解

2()ln(1)fxxx, (30)ln(30899)f

设899,(30)uyf

则*u

*412u

故

7 ****310.0167yuuu

若改用等价公式

22ln(1)ln(1)xxxx

则(30)ln(30899)f

此时，

****7159.9833yuuu

第二章 插值法

1．当1,1,2x时，()0,3,4fx,求()fx的二次插值多项式。

解：

0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3xxxfxfxfxxxxxlxxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxlxxxxxxx

则二次拉格朗日插值多项式为

220()()kkkLxylx

0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623lxlxxxxxxx

2．给出()lnfxx的数值表

8 X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144

用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。

解：由表格知，

01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144xxxxxfxfxfxfxfx

若采用线性插值法计算ln0.54即(0.54)f，

则0.50.540.6

2112122111122()10(0.6)()10(0.5)()()()()()xxlxxxxxxlxxxxLxfxlxfxlx

6.93147(0.6)5.10826xx

1(0.54)0.62021860.620219L

若采用二次插值法计算ln0.54时，

1200102021101201220212001122()()()50(0.5)(0.6)()()()()()100(0.4)(0.6)()()()()()50(0.4)(0.5)()()()()()()()()()xxxxlxxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxlxxxxxxxLxfxlxfxlxfxlx

500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(4)(0xxxxxx2(0.54)0.615319840.615320L

3．给全cos,090xx的函数表，步长1(1/60),h若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。

解：求解cosx近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。