线面角的求法总结
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线面角的三种求法
1. 直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。 通常是
解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形， 垂线段是其中最重要的元
素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （如图1 ）四面体 ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，/ SBA=45 , / SBC=60 , M 为 AB的中点，求（1）
BC与平面SAB所成的角。
（2） SC与平面ABC所成的角。
解：（1） •/ SC± SB,SC丄 SA,
••• SC丄平面SAB 故SB是斜线BC在平面SAB上的射影，
•••/ SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。
（2） 连结 SM,CM，贝U SM 丄 AB,
又••• SC± AB, • AB 丄平面 SCM,
•••面ABC丄面SCM
过S作SH丄CM于H, 则SH丄平面 ABC
• CH即为SC在面ABC内的射影。
/ SCH为SC与平面ABC所成的角。
sin / SCH=SH /SC
• SC与平面ABC所成的角的正弦值为V 7/7
（“垂线”是相对的， SC是面SAB的垂线，又是面 ABC的斜线.作面的垂线常根据面面 垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面， 然后一面内找出或作出交线的 垂线，则得面的垂线。）
2.利用公式sin 0 =h/ i
其中0是斜线与平面所成的角， h是 垂线段的长，i是斜线段的长，其中求出垂线段 的长（即斜线上的点到面的距离） 既是关键又是难点， 为此可用三棱锥的体积自等来求垂线 段的长。
例 2 （如图 2） 长方体 ABCD-A 1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求 AB 与面 AB1C1D
解：设点 B到ABiCiD的距离为h,
T V B - ABC=VA-BBC.'. 1 / 3 S^ ABC h= 1/3 SMBC AB，易得 h=12/ 5 设AB与 面A B1C1D所成的角为0 ,则sin 0
=h/AB=4 /5
图2 3. 利用公式 cos0 =cos 0 i cos 0 2
已知，如图，AO是平面〉的斜线，A是斜足，0B垂直于平面 直线AB是斜线在平面a内的射影。设AC是平面
BC _ AC，垂足为C，又设AO与AB所成角为
T _日2, AO与AC^成角为日』易知：
| AB ^|AO | co^1, | AC | =| AB | cosr2 =| AO | cos^ cos》 又 T |
AC |=| AO |cosn , 可以得到： COST - COS^ COSV2 ,
jr
注意：& * （0,—）
2
易得： COST ::： COS4 又二，弓-（0, ?）即可得： M - V
则可以得到：
平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中 最小的角；（最小角定理）
例3 （如图4）已知直线 OA,OB,OC两两所成的角为 60° ,求直线OA与面OBC所 成的角的余弦值。
解：T/ AOB= /AOC . OA在面OBC内的射影在/ BOC的平分线OD上，贝U
/ AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
/ DOC=30 ,cos/ AOC=cos / AOD cos/ DOC
.cos60°=cos/ AOD cos30°
••• cos/ AOD= V3/3 ••• OA与 面OBC所成的角的余弦值为V 3/3。
:,B为垂足，则
:-内的任意一条直线，且
宀,AB与AC所成角为
D 练习•如图，在正方体 AC1中，求面对角线 A,B与对角面BB1D1D所成的角。
〖解〗（法一）连结 A1C1与B1D1交于0，连结0B ,
DD1 I A]C1， B1D1 I AC 1 ,.•. AO I 平面 BB1D1D ,
••• . A,BO是A,B与对角面BB1D1D所成的角，
1
在 Rt ABO 中，A1O A,B . ABO =30： •
（法二）由法一得 NABO是AB与对角面BB1D1D所成的角，
2 B.B 6
又T cos^ABBt = cos45 , cos./BtBO -
2 1 BO 3
• COS. ABO 二 cos ABB1 二 2 3 ABO=30： •
cosNQBO V6 2 1
3
【基础知识精讲】
1. 直线和平面的位置关系
一条直线和一个平面的位置关系有且只有如下三种关系：
(1) 直线在平面内一一直线上的所有点在平面内，根据公理 1,如果直线上有两个点在
平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内
直线a在平面a内，记作a _ a .
(2) 直线和平面相交一一直线和平面有且只有一个公共点
记作an a = A
(3) 直线和平面平行一一如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平 面平行•记作a //
a .
直线和平面相交或平行两种情况统称直线在平面外，记作 a - a .
2. 直线和平面平行的判定
判定 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面
平行.(简记“线线平行，则线面平行” )
即 a / b,a ：丄 a , b _ a — a/ a
证明 直线和平面平行的方法有：
① 依定义采用反证法
② 利用线面平行的判定定理
③ 面面平行的性质定理也可证明
3. 直线和平面平行的性质定理
性质 如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这 条直线就和交线平行(简记为“线面平行，线线平行” ).
即 a // a ,a _ 3 , a n 3 = b — a // b.
这为证线线平行积累了方法：
①排除异面与相交 ②公理4 ③线面平行的性质定理 【重点难点解析】
本节重点是直线与平面的三种位置关系， 直线和平面平行的判定和性质， 难点是直线和 平面平行的性质的应用•
例1 如图，ABCD和ABEF均为平行四边形，M为对角线AC上的一点，N为对角线FB 上的一点，且有
AM： FN= AC： BF,求证：MIN/平面 CBE.
分析：欲证MIN/平面CBE当然还是需要证明 MN平行于平面 CBE内的一条直线才行• 题目上所给的是线段成比例的关系， 因此本题必须通过三角形相似， 由比例关系的变通， 才 能达到“线线平行”到“线面平行”的转化 •
证：连AN并延长交BE的延长线于P.
BE// AF,「. △ BNP^ A FNA.
FN AN FN AN
••• 二= 」，则打•门=
FN AN
即 ，= . AM AC AM FN
又 =一」，J = -,
AM AN
• 二 .
MIN/ CP, CP_ 平面 CBE.
MIN/平面 CBE.
例2 一直线分别平行于两个相交平面，则这条直线与它们的交线平行
已知：a A 3 = a,l // a ,l // 3 •求证：I // a.
分析：由线面平行推出线线平行， 再由线线平行推出线面平行， 反复应用线面平行的判
定和性质.
证明：过I作平面交a于b. T I // a ,由性质定理知I // b. 过I作平面交3于c. V I // 3 ,由性质定理知I // c.
b // C,显然 c _ 3 .二 b // 3 . 又 b _ a , a A3 =a,「・ b II a.
又 I I b.
••• I I a.
评注：本题在证明过程中注意文字语言、符号语言，图形语言的转换和使用
例3 如图，在正四棱锥 S—ABCD中，P在SC上，Q在SB上，R在SD上，且SP： PC
=1 : 2, SQ： SB= 2 : 3, SR： RD= 2 : 1.求证：SA//平面 PQR.
分析：根据直线和平面平行的判定定理， 必须在平面PQR内找一条直线与 AS平行即可. 证：连AC
BD,设交于 0,连S0,连RQ交SO于 M 取SC中点N,连ON,那么ON/ SA.
SQ SR 2
••• E = - = _■
• RQ/ BD
EM 2 SP 2
= 1 而—
SM SP_ • PM// ON •/ SA// ON；. SA// PM,PM_ 平面 PQR
• SA// 平面 PQR.
评析：利用平几中的平行线截比例线段定理 .
三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化
例4 证明：过平面上一点而与这平面的一条平行线平行的直线，在这平面上
如图，设直线 a//平面a ,点A€ a ,A €直线b,b // a,欲证b _ a .事实上, •/ b // a，可确定平面3 , 3与a有公共点A,. a , B交于过A的直线C,T a // a , • a// c, 从而在3上有三条直线，其中 b、C均过点A且都与a平行.于是b、C重合，即b_ a . 证明 Z【难题巧解点拨】
例1 S是空间四边形 ABCD勺对角线BD上任意一点，E、F分别在AD CD上，且AE ：
AD= CF： CD BE与AS相交于 R, BF与SC相交于 Q.求证：EF// RQ.
证 在厶 ADC中,因 AE： AD= CF： CD 故 EF/ AC,而 AC_ 平面 ACS 故 EF/ 平面 ACS.
而只3平面ACS平面RQEF故EF/ RQ（线面平行性质定理）.
例2 已知正方体ABC—A B' C D'中，面对角线 AB'、BC'上分别有两点 E、F
且B' E= C' F求证：EF//平面 AC.
分析 如图，欲证 EF/平面AC,可证与平面 AC内的一条直线平行，也可以证明 EF 所在平面与平面AC平行.
证法1 过E、F分别做 AB BC的垂线EM FN交AB BC于M N,连接 MN
•/ BB'丄平面 AC ••• BB'丄 AB, BB'丄 BC
••• EML AB, FN丄 BC
• EM// FN,v AB = BC , B ' E= C' F
• AE= BF又/ B' AB=Z C BC= 45°
• Rt △ AME^ Rt △ BNF
• EM=FN
•四边形MNFE是平行四边形
• EF/ MN又 MN_平面 AC
• EF//平面 AC
证法2 过E作EG/ AB交BB'于G连GF
BfE BJG
• -= J?
•/ B ' E= C' F, B ' A= C' B
CF BV
•二=三 E • FG// B ' C' / BC
又••• EGH FG= G,ABA BC= B •平面EFG//平面 AC
